01 campo eléctrico, ley de gauss, potencial

Fsica II Carrera de Geologa

Campo Elctrico, Ley de Gauss, Potencial

2007

Fsica II, Carrera de Geologa. Texto de Campo Elctrico, Ley de Gauss, Potencial Clases del Prof. Diego E. Garca

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Campo Elctrico, ley de Gauss, Potencial, corresponde a Clases de Fsica II, para la carrera de Geologa, Profesor Diego E. Garca. F. de C. E. F. y N. de la U.N.C. Texto editado entre 2003 y 2010.


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Qu es la carga elctrica? Electrizacin por frotamiento.

La palabra electricidad viene del griego electrn que significa mbar. Es de antiguo conocido que al frotar el mbar este se electriza (el mbar no es un mineral, es una resina fsil). Decimos que un cuerpo esta cargado elctricamente cuando dicho cuerpo tiene electrones en exceso, en ese caso, la carga del cuerpo se dice que es una carga negativa. El exceso de electrones representa una carga negativa justamente porque los electrones son partculas que tienen carga negativa. La carga elctrica de un electrn corresponde al valor ms pequeo de carga elctrica conocida, y como se dijo se le atribuye signo negativo. El valor de la carga elctrica de un electrn es sumamente pequeo, se indica con la letra e

y vale .10.6.1 19 Coule ; el culombio es la unidad de carga elctrica en el Sistema Internacional de

Medidas, que es S.I., que coincide con el sistema M.K.S. y con el SIMELA. Debemos adems aclarar que cuando un cuerpo en vez de tener exceso o sobrante de

electrones, tiene defecto de electrones, decimos que esta cargado con una carga elctrica de signo positivo. En resumen: cuando un cuerpo gana electrones se carga negativamente y cuando pierde electrones se carga positivamente. Desde luego que el estado natural de un cuerpo corresponde a una situacin en que no sobran ni tampoco faltan electrones, es decir el cuerpo est sin carga elctrica, esta descargado. De que forma es posible lograr que un cuerpo se cargue elctricamente?

Hay varias respuestas posibles, pero por ahora estudiaremos la forma de cargar un cuerpo por frotamiento. Si frotamos con un pao de lana una barra de vidrio veremos que luego de hacerlo, la barra queda cargada negativamente, y el pao habr quedado con carga con signo contrario. Esto se debe a que por causa del frotamiento un cuerpo gana y el otro perdi electrones. Algo parecido ocurre cuando frotamos un trozo de baquelita aunque el signo de la carga de la baquelita ser contrario al del vidrio.

El electroscopio.

+ + +

+ + +

+ + + + + +

+ +

+ + +

+ + + + +

Hojuelas metlicas

Disco metlico

Barra cargada

Soporte aislante

Mango aislante

Aislante

Figura 1


4

El electroscopio es un instrumento que permite detectar la carga elctrica de un cuerpo. (figura 1). Al tocar con una barra cargada un electroscopio (mejor dicho su parte metlica) las cargas elctricas se transfieren a las delgadas hojuelas metlicas las cuales se separan por el efecto de repulsin que ejercen entre s las cargas elctricas del mismo signo. La mayor o menor separacin de las hojas pone de manifiesto la existencia de las cargas elctricas. Conservacin de la carga elctrica. Conductores y Aisladores

Es un principio consagrado por la experiencia que la carga elctrica, es decir la carga de electrones, no se pierde, si no que se conserva. Como ejemplo podemos citar el caso de la barra de vidrio frotada con la lana en el cual la carga perdida por un cuerpo fue ganada por el otro.

Se dice que un cuerpo es conductor de la electricidad cuando a travs de l pasan o se transportan fcilmente las cargas elctricas. Ejemplos de buenos conductores de la electricidad son todos los metales, y en particular el oro, la plata y el cobre; este ltimo es el ms utilizado universalmente. Tambin es buen conductor el aluminio, aunque no tanto como el cobre.

Los conductores metlicos conducen las cargas elctricas porque los electrones pueden moverse con toda libertad dentro de un metal. Estos conductores metlicos suelen conocerse con el nombre de conductores de primera clase. Pero no slo los metales son buenos conductores de electricidad: tambin lo son las soluciones de tipo salinas, como por ejemplo el cloruro de sodio disuelto en agua: al disociarse el cloruro de sodio aparecen los iones Cl y Na y precisamente, estos iones son los que se mueven en la solucin transportando cargas elctricas. La palabra ion significa que se trata de un tomo con carga positiva o negativa y viene del griego que quiere decir caminante. Estas soluciones salinas suelen llamarse conductores de segunda clase.

Cabe agregar por ltimo que tambin, bajo ciertas condiciones. se puede tener movimiento de cargas elctricas dentro de los gases: un buen ejemplo de ello son los tubos fluorescentes que en su interior tienen una mezcla de gases (entre ellos vapor de mercurio) a muy baja presin; las cargas elctricas al pasar a travs de este gas producen alteraciones en los niveles energticos de los electrones de los tomos del gas; dichos electrones de los tomos pasan de un nivel energtico mas alto a uno ms bajo y al hacerlo, pierden energa. Esa energa perdida por los electrones se transforma en energa radiante en la gama ultravioleta; a su vez esa radiacin, al incidir sobre el revestimiento fluorescente interior del interior del tubo produce un efecto luminoso visible. El movimiento de cargas elctricas a travs de un gas se conoce como conduccin en gases. Los aisladores son los cuerpos que no conducen la electricidad; ejemplos de buenos aisladores son la mica, el vidrio, la porcelana, la losa, la madera y con respecto a los aislantes sintticos un buen material aislante es el PVC (policloruro de vinilo), material con el cual se fabrican muchos revestimientos de cables elctricos; La baquelita, que es uno de los materiales plsticos ms antiguos, es tambin un excelente aislador. En la industria de componentes elctricos de potencia (transformadores, interruptores de potencia), se usan con mucha frecuencia los aceites aislantes.

Con respecto al agua cabe decir que en teora, el agua absolutamente pura no seria buena conductora de la electricidad, aunque sin embargo cuando es sometida a una diferencia de tensin elctrica las molculas de agua tambin se pueden ionizar y quedan con cargas elctricas; Sin embargo una mnima cantidad de sales en disolucin hace que se transforme en una buena conductora de electricidad. Por esta razn es sumamente peligrosa la presencia de artefactos elctricos en locales hmedos o en contacto con el agua.

Electrones libres Se llaman electrones libres a aquellos electrones que se pueden mover con entera libertad

dentro de una sustancia; estos electrones libres no estn ligados a ningn tomo en particular y por esa razn se pueden desplazar libremente. Los metales como el cobre, el hierro o el aluminio


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tienen gran cantidad de electrones libres en su interior los cuales se estn moviendo permanentemente dentro de la estructura cristalina del metal. Estos electrones libres de los metales forman una verdadera nube de electrones; en cambio las sustancias aisladoras no tienen electrones libres y precisamente por esa razn no son conductores de la electricidad. Cuando decimos que a lo largo de un conductor metlico circula una corriente elctrica, decimos que en definitiva lo que esta circulando, es una gran cantidad de electrones libres a lo largo del conductor.

Los electrones libres estn siempre atrapados dentro del metal: no pueden escapar de l a las temperaturas normales.

Debe tenerse presente lo siguiente: en todo cuerpo metlico, aunque no tenga carga elctrica, siempre hay en su interior una gran cantidad de electrones libres, que adems no estn quietos, estos electrones, se estn moviendo en forma espontnea a grandes velocidades permanentemente dentro de la red cristalina del metal, chocando y rebotando una y otra vez contra los ncleos atmicos.

Fenmeno de induccin electrosttica, carga de un cuerpo conductor por induccin. Los dos dibujos que se muestran a continuacin explican el fenmeno de induccin

electrosttica. (Figura 2).

En la parte (a) de la figura vemos un cuerpo metlico apoyado sobre un soporte aislante. En la parte (b) se acerca al cuerpo una barra cargada positivamente (las cargas de la barra se representan con signos +), las cargas positivas de la barra, por el conocido fenmeno de atraccin de cargas de distinto signo atraen a los electrones libres del cuerpo, los que se ubican en el sector izquierdo del cuerpo. De esta manera podemos decir que hay una redistribucin de las cargas pero sin embargo la carga resultante del cuerpo sigue siendo nula. Cmo podemos hacer ahora para que el cuerpo quede verdaderamente cargado utilizando el fenmeno de induccin? Lo que hacemos es lo siguiente: (2c)

Conectamos un cuerpo metlico (por ejemplo una cadena) entre el sector opuesto a la varilla inductora y la tierra; al hacer esto subirn los electrones por la cadena desde la tierra hacia el cuerpo y estos electrones neutralizarn completamente las cargas positivas.

Soporte Aislante

Cuerpo Metlico

(a) (b)

Figura 2


6

A continuacin desconectamos la cadena sin retirar la barra inductora (figura 2.d), y por ultimo retiramos tambin la barra inductora, luego de lo cual las cargas negativas quedaran uniformemente distribuidas en la superficie del cuerpo metlico (figura 2.e).

Tierra

Figura 2.c

Tierra

Figura 2.d

Desconectar

Figura 2.e


7

La secuencia que acaba de explicar ilustra una de las formas que se puede cargar un cuerpo por induccin electrosttica.

Descargas Atmosfricas Supongamos, como muestra la figura 3, que la nube tiene cargas elctricas de signo positivo (+); estas cargas inducirn cargas negativas en la tierra y puede ocurrir que por efecto de la concentracin de cargas negativas que se produce en un saliente del terreno (efecto de puntas), se produzca una descarga elctrica entre la nube y la tierra; esta descarga elctrica, consiste en el paso instantneo de gran intensidad de carga elctrica entre la nube y la tierra o viceversa (rayo); esta descarga puede ser tambin entre nubes.

Distribucion de las cargas elctricas sobre la superficie de un conductor.

La figura 4 muestra un cuerpo metlico que tiene una carga elctrica que, en este caso, es positiva. Las cargas elctricas en un conductor, se ubican siempre distribuidas en la superficie del mismo, nunca en su interior. Es fcil imaginar porqu siempre ocurre as: basta con suponer que las cargas estuviesen en el interior, y en ese caso la fuerza de repulsin que se ejercera entre ellas hara que dichas cargas se separen entre s y terminen lo ms alejadas posibles una de otras y por eso se van a parar a la superficie.

Figura 3

Cuerpo conductor (metal)

Figura 4


8

Efecto de puntas.

El efecto de puntas consiste en que las cargas se concentran en las protuberancias. Las cargas superficiales no se distribuyen de manera uniforme sobre la superficie de un conductor de forma cualquiera; se concentran en la parte de la superficie que tienen menos radio de curvatura y en cambio, en las partes ms planas la densidad de carga es menor. Adems en las concavidades de esa superficie se produce el efecto contrario, es decir, no se ubican cargas en el interior de las concavidades. Cuando la saliente es muy pronunciada y tiene verdadera forma de punta aguda puede ocurrir que se produzca un escape de cargas por esa punta. Si el conductor es de forma perfectamente esfrica las cargas se distribuyen uniformemente sobre la superficie.

Definicin de campo elctrico.

Soporte Aislante

Concavidad, no se ubican cargas

Figura 5

En las zonas de mayor curvatura se concentran las cargas

1E 1

2 3

q

r

Pi

4

2E

6E

4E

3E

q

2

1

5E

5

Figura 6


9

En la figura 6 se muestra una carga q que puede estar distribuida sobre la superficie de una esfera. Llamaremos a esta carga, carga productora del campo; a una cierta distancia r del centro de la carga productora de campo, colocamos una pequea carga positiva que la indicamos con q. Lla maremos a esta pequea carga positiva q, carga de prueba.

Definiremos ahora la intensidad de campo electrico en un punto, como el cociente entre la fuerza ejercida sobre la carga de prueba q y el valor de dicha carga q; aclaramos que la fuerza F ejercida sobre la carga es una fuerza de repulsin que ocurre siempre entre dos cargas elctricas del mismo signo. Escribimos entonces:

'

FEq

E es la intensidad del campo electrico. Adems el campo electrico en un punto es una magnitud que tiene carcter vectorial y por eso decimos que el campo elecrico en un punto es un vector aplicado en dicho punto y que tiene intensidad, direccion y sentido como todo vector; con respecto la intensidad, la acabamos de definir; la direccion corresponde a la recta que une ambas cargas y el sentido del vector campo electrico es el mismo sentido que tiene la fuerza que obra sobre la carga. En la figura 6 se ha dibujado el vector campo electrico en puntos diferentes (puntos 1, 2, 3, 4, 5y 6).

Las unidades en que se mide el campo electrico en el sistema M.K.S. son unidades de fuerza en el numerador y unidades de carga en el denominador:

NEC

Aclaracion: la carga de prueba se toma siempre positiva. Si la carga productora del campo en positiva el vector campo en cualquier punto sera saliente, en cambio si la carga q productora del campo es negativa, el vector campo en cualquier punto sera entrante. Es importante no confundir la carga de prueba con la carga productora del campo.

Puede decirse algo ms sobre el concepto de campo electrico: teniendo en cuenta que en toda la region del espacio que rodea la carga q productora del campo aparece una fuerza de repulsin sobre una carga de prueba q, (cualquiera sea el punto donde pongamos esa carga), suele llamarse campo electrico a todo el espacio que rodea la carga q; esta ultima representacion considera al trmino campo electrico no como un vector aplicado en un punto, sino como una regin del espacio donde se manifiestan fuerzas de origen electrico.

Ley de Coulomb.

Esta clebre ley expresa que las cargas elctricas experimentan una fuerza de atraccion o repulsion segn su signo, y que dicha fuerza es proporcional al valor de las cargas e inversamente

2q

F

F

r

1q

Figura 7


10

proporcional al cuadrado de las distancias que lo separan (figura 7). La expresion matematica de dicha ley es la siguiente:

22

. .ik q qFr

Las cargas elctricas se miden en culombios y la distancia se mide en metros; la fuerza se mide en Newton; la constante k depende del sistema de unidades que elijamos y depende tambin del medio en el que estn las cargas elctricas. En el vaco, o en el aire, en el sistema M.K.S. dicha constante vale:

29

2.9.10 N mk

coultanto en el aire como en el vaco.

Tambin se define una constante relacionada con la anterior, a la que llamaremos constante elctrica. La indicaremos con el smbolo 0 y su valor es:

k41

0

Sus unidades son inversas a las de k, es decir:

m

coulN 2

2

0

De la ley de Coulomb ya expresada, puede definirse la unidad de carga elctrica, es decir el coulomb; para ello supongamos que dos cargas de un coulomb separadas entre s una distancia de un metro: en este caso, la fuerza que se ejercer entre ellas ser de 99.10 N . Por eso decimos que un coulomb es una cantidad de carga elctrica tal que a un metro de distancia de otro coulomb produce una fuerza de repulsin igual a 99.10 N . Como vemos la cantidad de carga elctrica que corresponde a un coulomb es muy grande ya que la fuerza de repulsin vale nueve mil millones de Newton.

Por esta razn para la unidad de carga elctrica se utiliza frecuentemente un submltiplo que es el micro culombio C que es la millonsima parte de un culombio ( 61 10C C ).

Calculo del Campo Elctrico, a partir de la Ley de Coulomb.

La figura 8 muestra una carga q productora del campo yuna carga de prueba q situada a

una distancia r; la intensidad del campo electrico en el punto p vale: '

FEq

pero como el valor de la fuerza segn la ley de Coulomb es: 2. . 'k q qFr

reemplazando el valor de la fuerza en la expresion del campo electrico nos queda:

2qE kr

'q

E

r

q

Figura 8


11

Con esta expresin se puede calcular el campo electrico para una carga puntual. Debe tenerse presente siempre que la carga de prueba q es mucho menor que la carga productora del campo, es decir que: [q


12

Ley de variacin de la intensidad del campo elctrico de una carga puntual en funcin de la distancia r.

La ley de variacin de la intensidad de campo producido por una carga puntual es inversamente cuadrtica con respecto al radio. A mayor distancia menor intensidad de campo.

Lneas de campo elctrico. Las lneas de campo elctrico son lneas que se dibujan en el papel para representar

grficamente las caractersticas de una regin del espacio donde hay campo elctrico. Las lneas de campo se dibujan de manera tal que el vector campo elctrico en cualquier

punto sea tangente a la lnea de campo que pasa por ese punto. Dichas lneas siempre llevan una flecha para indicar el sentido del vector campo. La figura 11 nos muestra las lneas de fuerza de una carga puntual.

Atencin: no debe confundirse lo que es una lnea de campo que pasa por un punto con el vector campo elctrico que es aplicado en uno solo de los infinitos puntos de esa lnea, una cosa

NEC

2qE Kr

r m

Figura 10

1

2

3

1E

2E

3E

Lnea de Campo que pasa por el punto 1.

q

Figura 11


13

es la lnea de campo que pasa por el punto 1 y otra muy distinta es el vector campo 1E

que tiene su origen en el punto 1.lneas de campo elctrico en diversas distribuciones de carga.

Una distribucin de cargas elctricas que aparecen con frecuencia en la electrosttica es lo que se conoce como dipolo elctrico. Un dipolo consiste en dos cargas elctricas puntuales q+ y q-, situadas a una cierta distancia. Dibujaremos la forma que toman las lneas de campo en este caso. Recordemos el significado de carga puntual: Se trata de una carga que no ocupa volumen, es decir, que se encuentra concentrada en un punto

En el punto P1 , 1E es el campo que produce la carga +q1; 2E es el campo que produce la carga q2; E es el campo resultante en el punto P1 el cual es tangente a la lnea de campo que pasa por ese punto. En el punto P2 ; el campo de dicho punto se obtiene de la misma manera; tambin es tangente a la lnea de campo. Entonces, si querremos encontrar la forma que tienen las lneas de campo no tenemos ms remedio que dibujar punto por punto el campo resultante. Si lo hacemos llegaremos a la conclusin de que las lneas de campo tienen la forma que se muestran en la figura. Como ejemplo de dipolos elctricos en la naturaleza podemos citar una molcula de H2O.

Los tomos de H que forman la molcula tienen carga (+), y el tomo de oxigeno tiene carga (-); Las cargas positivas y negativas en esta molcula son de igual valor y est separadas a una cierta distancia. Por eso decimos que una molcula de H2O elctricamente puede considerarse como un dipolo.

H

O

Figura 13

H

1P

2P

1q

2q

1E

2E

Figura 12

21 EEE

1E

2E

21 EEE


14

Lneas de campo de dos placas cargadas enfrentadas entre si La figura 14 muestra dos placas metlicas enfrentadas, una de las cuales tiene una carga

positiva, y la otra placa que esta enfrentada tiene una carga negativa, inducida por la primera.

Debe observarse que las cargas se han dibujado sobre la superficie, y no en el interior de las placas y adems del lado que mira hacia la otra placa porque las cargas se atraen. Las lneas de campo nacen en una carga positiva y terminan en una carga negativa. Esta disposicin de placas enfrentadas se llama condensador elctrico. Importante: las lneas de campo elctrico son lneas abiertas; abiertas quiere decir que tienen un inicio en una carga positiva y terminan en una carga negativa, es decir no forman un recorrido cerrado. Las lneas de campo de una esfera metlica cargada se muestran en la figura 15.

Figura 14

2.

r

qkE

q

Punto situado a una distancia r del centro.

En el interior

0E

Figura 15


15

La intensidad de campo de un punto situado a una distancia r del centro de la esfera se

calcula con: 2qE kr

(la constante k se indica con minscula). Todas las lneas de campo nacen en las cargas que estn ubicadas en la superficie del conductor y tienen una direccin radial. Dentro del cuerpo metlico ya se dijo que no hay cargas elctricas; tampoco hay campo elctrico en el interior. En este caso de la esfera metlica cargada; la intensidad de campo producido por la carga q de la esfera se puede calcular con la misma formula que se uso para calcular el campo de una carga q concentrada en un punto; r es la distancia del punto al centro de la esfera.

Flujo del campo elctrico a travs de una superficie.

La figura 16 muestra un conjunto delineas de campo que pasan a travs de una superficie A, normal a dichas lneas de campo. Se dice que existe flujo de campo elctrico a travs de una superficie cuando las lneas de campo atraviesan esa superficie. En el caso de la figura se tiene un caso muy particular: la superficie es plana y adems las lneas de campo son perpendiculares al plano; en ese sencillo ejemplo se define el flujo del campo elctrico como:

.E A

Importante: la superficie A es una superficie imaginaria, no es obligacin que sea una superficie de ningn cuerpo y sirve solamente para usarla en la definicin. Para entender mejor el concepto de flujo de campo elctrico podemos decir que dicho flujo es una magnitud indicativa de la cantidad de lneas de campo que pasan a travs de una superficie; si pasan muchas lneas a travs de la misma, habr mucho flujo y viceversa. Cuando la superficie plana sea perpendicular a las lneas de campo, el valor de flujo ser mximo; en cambio si dicha superficie plana no es perpendicular, el flujo ser menor y deber calcularse por la expresin (figura 17):

. .E A Cos

Aclaracin: para indicar el flujo del campo elctrico E , deberamos usar el subndice E y escribir E . Por razones de comodidad de notacin escribiremos y daremos por entendido que es E .

A Lneas de campo que pasan a travs de una superficie plana A, perpendicular a dichas Lneas de campo

Figura 16

Sup. plana

.)(max.AE

90

CosAE ..

090.. CosAE

Figura 17


16

Calculo de flujo en el caso ms general en el que la superficie sea curvada.

La figura 18 muestra una superficie alabeada (quiere decir que si cortamos la superficie no tenemos una lnea recta sino curva). A travs de dicha superficie alabeada pasan lneas de un campo elctrico E . Alrededor de un punto P de la superficie alabeada hemos dibujado una pequea superficie S , la cual es razonable aceptar que sea plana; n

Es el versor normal a S , E

es el vector campo elctrico en el punto P,

es el ngulo que forman los vectores E

y n . Entonces podemos escribir:

j jE S Cos para 1,2,3,...j n

j , es el pequeo flujo que pasa travs del rea S . Pero nosotros necesitamos conocer el flujo total que pasa a travs de la superficie y para ello lo que hacemos es sumar todos los pequeos

j , para 1j , 2j , . . . j n . jLim para j o

o lo que es lo mismo, si reemplazamos j , podemos escribir:

0jj j jS

Lim E S Cos

Es usual escribir una de muchos trminos que tienden a cero utilizando un smbolo muy parecido al de sumatoria, llamado signo integral. El signo integral es como si el signo sumatoria se hubiera estilizado.

super

E Cos dS

Al poner el signo integral, S se transforma en dS (diferencial de superficie). El smbolo

S

se lee integral extendida a toda la superficie S y debe entenderse como una

sumatoria de infinitos trminos, cada uno de los cuales es un diferencial de flujo. d E Cos ds

Si la superficie es plana no hace falta usar esta definicin general. Hasta ahora hemos estudiado el flujo del campo elctrico E

a travs de una superficie abierta, que quiere decir que tiene un permetro claramente definido donde se termina la superficie. En cambio una superficie cerrada no lo tiene. Ejemplo de una superficie abierta un sector de la superficie de una esfera, mientras que la esfera completa es una superficie cerrada.

E

Figura 18

S

P

Lneas de Campo

S


17

Flujo de campo elctrico a travs de una superficie cerrada en la cual no hay cargas en su interior.

Como no hay cargas negativas en el interior (figura 19), todas las lneas de campo que entran tambin salen, ya que ninguna se queda en alguna carga negativa interior de manera que no hay ninguna lnea que nazca dentro de la superficie, es decir no hay ninguna lnea que salga sin haber entrado. En otras palabras la cantidad de lneas de campo que entran es igual a la cantidad de lneas que salen.

Definimos ahora el flujo de campo elctrico a travs de una superficie cerrada mediante la expresin:

. .

Supcerrada

E Cos ds

El smbolo S

quiere decir integral extendida a una superficie cerrada. El resultado de esa

integral corresponde a la suma de todos los flujos entrantes (negativos) ms todos los flujos salientes (positivos). Pero como ya se dijo, si la superficie no tiene carga en su interior, el resultado tiene que ser cero. La expresin matemtica para este caso es:

Flujo resultante: . . 0Supcerrada

E Cos ds

Resumen: el flujo resultante a travs de una superficie cerrada es proporcional a la diferencia entre la cantidad de lneas de campo que entran a la superficie y la cantidad de lneas de campo que salen de ella. Y adems cuando no hay cargas, dentro de la superficie ese flujo es cero. Teorema de Gauss.

El teorema de Gauss se refiere al flujo de las lneas de campo elctrico a travs de una superficie cerrada. Ya hemos visto que cuando dentro de una superficie cerrada no haba cargas en el interior el flujo resultante era cero. Era cero porque la cantidad de lneas de campo que entraban eran igual a las que salan. Qu ocurra con el valor del flujo, si dentro de la superficie cerrada hubiese cargas elctricas? La respuesta a esta pregunta la da el teorema de Gauss, el cual se enuncia a continuacin: el flujo resultante de lneas de campo elctrico a travs de una superficie cerrada es proporcional a la carga elctrica existente en el interior de dicha superficie cerrada.

Al flujo resultante a travs de la superficie cerrada, lo podemos expresar como la sumatoria de los flujos elementales a travs de cada uno de los elementos diferenciales de superficie que conforman la misma y a ese flujo, lo igualamos a la sumatoria de cargas (con sus

E

Figura 19


18

signos) que hay en el interior. A su vez, a esa sumatoria de flujos elementales, la escribimos como una integral extendida a la superficie. Expresamos entonces:

0

j

superf

qE Cos ds

La constante elctrica 0

se incluye en el denominador del segundo miembro para que resulten iguales las unidades en ambos miembros.

A la carga 2q

(figura 20), llega una lnea de campo que entro pero que no sale, de las cargas 1q , 3q , 5q , salen lneas de campo que no entraron; las nicas lneas que entran y salen en el dibujo son las a y b. En resumen el teorema de Gauss dice que la diferencia entre la cantidad de lneas de campo que entran y salen es proporcional a la suma, con sus signos, de las cargas que hay en el interior de la superficie. Debe observarse que si en el interior de la superficie gaussiana hay cargas (+) con el mismo valor absoluto que cargas (-) dentro de la superficie, el flujo resultar cero. Igualmente si no hay cargas dentro, tampoco habr flujo resultante porque:

0jq

Algunos ejemplos de aplicacin del teorema de Gauss

a) Clculo del campo elctrico en los puntos que rodean a una esfera conductora cargada q es la carga elctrica que esta distribuida en la superficie de la esfera, r es la distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto del exterior de la esfera.

Figura 20

b

a

b

a

1q

2q

3q

4q

r

1S

2S q

0E

E

Superficie Gaussiana

Esfera conductora cargada

r

2r

qkE

Grafica de la variacin del modulo del vector, en funcin del radio. En el interior, es

0E

Figura 21


19

Anlisis en el interior de la esfera. Imaginemos una superficie gaussiana 1S

dentro del volumen de la esfera (figura 21); dentro de ella no hay ninguna carga elctrica porque ya dijimos que las mismas estn en la superficie, y si no hay cargas elctricas dentro de 1S

quiere decir que no hay flujo de campo elctrico a travs de 1S , en otras palabras, no sale ninguna lnea de campo de 1S , y si no sale ninguna lnea de campo es porque el campo adentro es cero.

Anlisis en el exterior. Consideremos una segunda superficie gaussiana esfrica 2S

de radio r. La carga que hay en el interior de esta superficie es la carga que esta sobre la superficie de la esfera, o sea q. Apliquemos el teorema de Gauss a la superficie 2S (figura 22).

Al pasar de un punto a otro de la superficie 2S , el vector E

cambia su orientacin, pero su modulo permanece constante.

2superf SE Cos dS

Como el modulo E es constante, lo hemos escrito fuera del signo integral.

2superf SdS : superficie de la esfera 2S

.E Sup de la Esfera

24E r (1) Por otra parte, por el teorema de Gauss sabemos que el flujo de campo a travs de la

esfera S vale

0

q (2)

Igualando (1) y (2) resulta que: 2

0

4 qE r 20

14

qEr

o bien:

2r

qkE

siendo: 0

14

k

2

0 ; 1: .

superf SE Cos dS

E constanteCos

ng entre E y n

2S E

Esfera conductora

Esfera Gaussiana de radio r

r

q

Figura 22

n


20

Concluimos que el campo E

producido por una esfera cargada es el mismo que se producira si la carga q

en vez de estar en la superficie, estuviese en el centro de la misma; esto es as porque la ecuacin del campo que acabamos de obtener es la misma ecuacin que habamos obtenido para el caso de la carga q concentrada en un punto carga puntual.

b) Uso del teorema de Gauss para calcular el campo elctrico en un punto ubicado entre dos placas cargadas.

Usaremos el teorema de Gauss para calcular el campo elctrico en un punto ubicado en el interior de dos placas cargadas elctricamente de distinto signo. (fig. 23).

Este dispositivo se llama condensador o capacitor, q

es la carga que est distribuida en la superficie de una de las placas (del lado de adentro porque son atradas por las cargas q , que es la carga en la otra placa).

es la densidad superficial de carga, que se obtiene dividiendo la carga por el rea A de la placa.

Elegimos una superficie gaussiana cuya vista en corte esta marcada por la lnea de puntos. El dibujo en perspectiva (figura 24) da idea de la forma de esta superficie gaussiana.

La cara A

tiene un rea de A cm2 y es paralela a la placa del condensador. Digamos tambin que las Lneas de campo atraviesan a la cara A

en forma perpendicular. Dentro de la superficie gaussiana elegida habr una carga elctrica que es igual a la carga que tiene la parte de la placa que esta dentro de la superficie gaussiana. Dicha carga vale:

q A

(1) Por otra parte el flujo de campo E

a travs de la superficie gaussiana elegida vale CosAE .. (2)

vale cero porque el campo E es perpendicular al rea A y por lo tanto 1Cos .

A

Figura 24

Figura 23

Nos proponemos calcular el valor de la intensidad de campo E , aplicado en un punto p que esta en el espacio entre las placas.


21

Adems

por el teorema de Gauss podemos escribir: 0

q

reemplazando y q por sus valores dados por (1) y (2) nos queda:

0

.

AE A

o bien 0

E ; 2

2

2

CmEC

Nm

; NEC

La formula 0

E

sirve para calcular el campo elctrico en cualquier punto del interior de las

placas cargadas; el modulo de E no cambia al pasar de un punto a otro.

Efecto de jaula de Faraday El campo elctrico no ingresa al interior de un recinto cuya superficie exterior es metlica.

Si ubicamos una superficie gaussiana en el interior del recinto, la misma no es atravesada por ninguna lnea de campo. Ejemplo: una onda de radio (onda electromagntica) tiene un campo magntico oscilante; dicho campo no ingresa al interior de un recinto cuyas paredes tengan una red o cascaron metlico.

Uso del teorema de Gauss para calcular el valor de la intensidad del campo elctrico en un punto prximo a la superficie de un cuerpo metlico cargado

Figura 25

Cargas inducidas

Recinto de paredes metlicas

Metal

0E

Propagacin de las ondas

Campo E

oscilante

Antena emisora de ondas de radio

El campo elctrico de la onda de radio no penetra al interior de este recinto metlico

Figura 26


22

La figura 26 muestra un cuerpo metlico con cargas elctricas distribuidas en su superficie. De cada una de las cargas nacen lneas de campo elctrico; quiere decir que en cualquier punto prximo a la superficie de un cuerpo metlico cargado, existir un campo elctrico. Las lneas de campo elctrico inmediatamente prximas a la superficie son perpendiculares a la misma, tambin, cerca de la superficie, el campo elctrico E

tambin ser perpendicular a la misma.

El flujo que atraviesa la superficie de Gauss es AE.

(1), pero tambin por Gauss al flujo se lo puede expresar como

0E

q (2), adems q

A lo que implica

.Aq (3).

Teniendo en cuenta (1), (2) y (3) nos queda: 0

E A A 0

E que es la expresin que

sirve para calcular el campo elctrico prximo a la superficie de un conductor cargado. Obsrvese que a mayor densidad de carga, tanto mas intenso es al campo E .

Distribucin de cargas en una superficie cualquiera: efecto de puntas, explicacin complementaria. En la figura 27 se observa un conductor cargado, en cuya superficie la carga no est distribuida uniformemente, debido a que hay diferentes radios de curvatura. En los tramos de menor radio de curvatura, es decir, donde la superficie es ms puntiaguda, la densidad de cargas elctricas es mayor. En esos tramos, los vectores campo elctrico se han indicado con E1 y E2 respectivamente. En los tramos en que la superficie es ms plana, el campo es E3 y ser menor que los anteriores, porque all la densidad de carga es menor. El campo E1 se ha dibujado de mayor mdulo que el campo E2 porque E1 est en un punto de menor radio de curvatura. Este fenmeno se conoce como efecto de puntas. En el caso de tenerse un cuerpo cargado, en forma de punta de lanza, el campo es all muy intenso y las cargas tienden a escapar por dicha punta. Inversamente, en los tramos en que la superficie presenta una concavidad, prcticamente no hay densidad de cargas, y tampoco hay campo. La explicacin de porqu el campo es ms intenso cuando hay mayor densidad de cargas, se tiene a partir de la expresin, ya vista, de la intensidad de campo en un punto prximo a una superficie cargada.


23

Potencial elctrico. En lo que sigue, haremos referencia a la figura 28: q

es una carga puntual que produce un campo elctrico; 'q es una carga de prueba que ha sido lanzada con cierto impulso inicial en el campo elctrico, la fuerza del campo que acta sobre la carga 'q en cada instante vale 'F E q .La trayectoria que sigue la partcula por efecto de su impulso inicial y de la fuerza de campo es la

ba . La fuerza de campo forma con dl en cada punto el ngulo , dl es un recorrido elemental a lo largo del trayecto. El trabajo elemental que realiza la fuerza de campo es 'F E q , al desplazarse un recorrido dl , vale 'dW E q Cos dl .

El trabajo que realiza la fuerza de campo para trasladar la carga desde el punto a hasta el punto b vale:

CosdlFWb

a

ba ..

o bien 'b

aba

W q E dl Cos

Unidades:

'q C ; NEC

dl m

abW joule Joule

abW es el trabajo de la fuerza entre los puntos a

y b y se mide en Joule. Definimos ahora una nueva magnitud que se llama diferencia de potencial elctrico entre el punto a

y b del campo, que lo definiremos con la letra V ; aV : potencial en el punto a ; bV : potencial en el punto b .

Figura 28


24

'qWVV abba [joule/coul]

La diferencia de potencial entre un punto a y otro punto b es igual al trabajo de la fuerza de campo entre esos dos puntos por unidad de carga trasladada. Se mide en joule/coul que es igual a volt, siendo esta unidad correspondiente al potencial elctrico en el sistema M.K.S.

Aclaracin importante: el trabajo que realiza la fuerza de campo elctrico entre dos puntos cualquiera a y b no depende del camino recorrido. Slo depende de los puntos a y b . Esto es as porque el campo de la fuerza de Coulomb es un campo conservativo, que quiere decir que el trabajo de la fuerza en un recorrido cerrado es cero. Recorrido cerrado quiere decir que sale de un punto y vuelve al mismo punto. Podemos escribir:

b

aba

W F Cos dl

pero EqF '.

entonces

'

b

aba

W q E dl Cos

y teniendo en cuenta que

'qWVV abba

resulta b

a ba

V V E dl Cos

La expresin anterior es de carcter general y permite calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualquiera de un campo elctrico.

Clculo de potencial elctrico en cualquier punto prximo a una carga puntual. En lo que sigue, haremos referencia a la figura 29: q es una carga elctrica que produce a su alrededor un campo elctrico E . a es un punto cualquiera situado a una distancia r

de q .

Definiremos el potencial V absoluto en un punto cualquiera del campo mediante la siguiente expresin:

r

V E dl Cos

De acuerdo con la expresin anterior, podemos decir que el potencial absoluto en un punto del campo elctrico de una carga puntual, es la diferencia de potencial entre el punto considerado y otro punto, situado hipotticamente en el infinito, al cual le corresponde potencial cero. Por infinito entendemos un punto que este suficientemente lejos de la carga q , de tal forma que el campo de esa carga sea cero.


25

Tambin podemos definir el potencial absoluto en un punto, como el trabajo que debe hacer la fuerza del campo elctrico, para trasladar una carga de prueba 'q , desde dicho punto hasta el infinito, medido ese trabajo por unidad de carga trasladada, es decir, medido en

joulecoulomb

. Calcularemos seguidamente, el valor de ese potencial absoluto. Para ello,

recordemos que 2.r

qkE . Reemplazamos este valor en la expresin del potencial absoluto, y

queda:

2r

k qCosV dr

r

Como nos estamos desplazando a lo largo de una direccin radial, el ngulo , que forma la direccin del campo con dicha direccin radial, vale 0

y entonces 1cos . Asimismo, como k y q son constantes, los sacamos fuera de la integral, de lo que resulta:

2r

drV k qr

Pero sabemos que el resultado de la integral 2drr

vale 21dr

r r . Adems, como la

carga de prueba se desplaza entre r r y r , debemos integrar entre esos lmites, entonces: 1

.

r

V k qr

Aplicamos ahora la regla de Barrow para la integral definida: 1 1

.V k qr

Por lo tanto, el potencial elctrico absoluto, a una distancia genrica r

de la carga

productora del campo, vale: 1V k qr

.k qVr

Figura 29


26

Potencial producido por una esfera cargada

El potencial en el exterior de la esfera metlica cargada lo calculamos con la misma expresin con la que calculamos el potencial de una carga puntual, porque decir que las cargas estn en la superficie de la esfera es lo mismo que decir que estn concentradas, a ese efecto, en el centro de la misma; esto es debido a la simetra central de la forma esfrica. El potencial en la superficie de la esfera vale:

00

k qVr

; Potencial en la superficie de la esfera.

En el interior, el potencial es constante porque all 0E ; el trabajo del campo para pasar de un punto del interior a otro punto del interior de la esfera vale cero, y si el trabajo para pasar de un punto a otro vale cero quiere decir que la diferencia de potencial entre dos puntos del interior de la esfera ser siempre cero.

Por lo tanto, si la diferencia de potencial vale cero, el potencial es el mismo; no olvidar que en el interior de la esfera metlica no hay cargas elctricas.

La funcin que permite obtener el potencial (variable dependiente), en funcin del radio, (variable independiente), es la siguiente:

qV kr

Esta funcin tiene validez para valores de la variable r que van desde r= r0 hasta llegar a valores de r igual a infinito. Cuando r=r0 el valor de la funcin da el potencial en la superficie de la esfera, en tanto que cuando r vale infinito, el potencia se hace cero. Para valores de la variable r menores que el radio de la esfera, la funcin no tiene validez, y el potencial es constante, ver la

grfica de variacin de la funcin en la figura 30. La forma de la funcin qV kr

corresponde a una hiprbola equiltera.

Figura 30


27

Superficies equipotenciales. Se llaman superficies equipotenciales a aquellas en las cuales todos los puntos tienen el mismo potencial elctrico. Veamos la forma que tienen estas superficies en algunos casos particulares:

Superficies equipotenciales correspondientes a una carga puntual: en este caso las superficies equipotenciales tienen forma de esferas. El potencial de la esfera situado a una

distancia 1r de la carga es 11

qV kr

. Todos los puntos que estn a la distancia 1r tienen el

potencial 1V . Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las lneas de campo.

Superficies equipotenciales en el campo de un dipolo elctrico: debe observarse que la superficie equipotencial que pasa por el punto medio entre las dos cargas es un plano perpendicular al eje dipolar.

Figura 31

Figura 32


28

Superficies equipotenciales en el campo de dos placas planas cargadas enfrentadas (condensador):

Las superficies equipotenciales son planos paralelos a las placas y perpendiculares a las lneas de campo.

Superficies equipotenciales en el campo de un conductor metlico de forma cualquiera: La superficie del cuerpo es en si misma una superficie equipotencial y por esa causa

las lneas de campo arrancan o nacen perpendiculares a las lneas equipotenciales

Figura 33

Figura 34

Figura 34


29

Superficies equipotenciales en el campo de una esfera metlica cargada positivamente:

Generador de Van De Graaf En lo que sigue, haremos referencia a la figura 36

Figura 35

Figura 36


30

La polea inferior es accionada por un motor; al girar la polea inferior hace girar la correa de goma ubicada entre las poleas.

Mediante un determinado procedimiento auxiliar, que no consideramos aqu, la banda de goma se carga elctricamente. Esas cargas suben hasta ingresar en el interior de la bocha metlica y a travs de un peine metlico, por efecto de puntas, saltan cargas elctricas desde la banda hasta la bocha metlica la cual se va cargando y adquiere un potencial elctrico que puede llegar a ser muy alto. El potencial de la esfera puede llegar a valer varios miles de volt.

El esquema simplificado que aqu se muestra corresponde a un tipo sencillo de generador usado en laboratorios de enseanza. En generadores de Van De Graaf que se emplean en investigaciones con alta tensin, se utiliza un generador auxiliar de aproximadamente 10000 volt para suministrar las cargas y se logran potenciales de centenares de miles de volt.

Experimento de Millikan. Tiene valor histrico ya que sirvi para determinar por primera vez el valor de la carga

elctrica de un electrn. Bsicamente consiste en lo siguiente: una gota de aceite cargada negativamente cae en una atmsfera viscosa que ofrece cierta resistencia. La fuerza hacia arriba esta dada por la atraccin electrosttica ejercida sobre la carga y adems por las fuerzas de frenado o viscosa. Igualando ambas fuerzas al paso de la partcula (hacia abajo) puede obtenerse una ecuacin que permita calcular la carga de un electrn. Podemos decir que la carga elctrica de un electrn es la carga ms pequea que existe. La carga del electrn vale, segn comprob esta experiencia, 1910.6,1e Coul.

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01 campo eléctrico, ley de gauss, potencial

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