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Problemas de matematicas

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  • GRADO DE ADMINISTRACIN Y DIRECCIN DE EMPRESAS 1

    2011 2012 MATEMTICAS I PROBLEMAS

    U.N.E.D. GRADO DE ADMINISTRACIN Y DIRECCIN DE EMPRESAS

    6502102- MATEMTICAS I PROGRAMA Tema 1. Espacios vectoriales. Tema 2. Aplicaciones lineales. Tema 3. Matrices. Tema 4. Sistemas de ecuaciones lineales. Tema 5. Sucesiones de nmeros reales

    Apndice A. Temas preliminares (conjuntos, relaciones, aplicaciones, grupos y cuerpos, polinomios) Apndice B. Determinantes.

  • GRADO DE ADMINISTRACIN Y DIRECCIN DE EMPRESAS 2

    2011 2012 MATEMTICAS I PROBLEMAS

    Problemas 6502102- Matemticas I

    I. Espacios vectoriales Problemas resueltos 1. Sea ),,(

    +n un espacio vectorial sobre y u un vector dado de dicho espacio vectorial.

    Indicando cada una de las propiedades utilizadas, resolver en ),,(

    +n la ecuacin:

    [ ] xuuxuux 22

    1)2(2 +=

    + .

    Solucin: Por la propiedad distributiva se tiene: xuuxuux 22

    142 +=++

    Por la regularidad de los elementos de V, resulta: 02

    14 =+ uxu

    Por la distributiva: 0602

    130

    2

    1)14( =+==+ xuxuxu

    Esto quiere decir que los vectores u6 y x son opuestos, es decir: ux 6= 2. Demostrar que si el espacio vectorial ),,(

    +n , contiene por lo menos dos vectores, entonces

    dicho espacio vectorial es infinito, es decir, posee infinitos vectores. Solucin: Supongamos que tuviera el nmero mnimo de vectores, dos. Uno de ellos, por lo

    menos, tiene que ser distinto del vector nulo, es decir u 0 . Por la definicin de espacio vectorial, en lo referente a la operacin interna, se verifica que

    nu y como tiene infinitos elementos, existirn infinitos vectores proporcionales al vector no nulo.

    3. Dado el espacio vectorial ),,( 2

    + sobre , se consideran los subconjuntos:

    { } = xxA 2)0,( y { } = yyB 2),0( . Demostrar que ambos son subespacios vectoriales de ),,( 2

    + y que son suplementarios.

    Solucin: Veamos que verifican el teorema de caracterizacin:

    AbabayxAyx

    +=+=+

    )0,()0,()0,(,

    , Anlogamente con el otro subconjunto:

    BdcdcyxByx

    +=+=+

    ),0(),0(),0(,

    , En consecuencias, ambos subconjuntos son subespacios vectoriales de ),,( 2

    + .

    Veamos que su suma es 2 y su interseccin el vector nulo:

    BABbAayxbabax +=+== 22 ),0(,)0,(),0()0,(),(:),(

  • GRADO DE ADMINISTRACIN Y DIRECCIN DE EMPRESAS 3

    2011 2012 MATEMTICAS I PROBLEMAS

    { }00),(

    0),(),( =

    =

    = BA

    xByx

    yAyxBAyx

    Luego ambos subespacios constituyen suma directa de 2 , es decir: BA =2 4. En ),,( 3

    + se consideran los vectores x x x x= ( , , )1 2 3 tales que se verifica:

    052 321 =+ xxx . Forma su conjunto un subespacio vectorial de ),,(3

    + ? En caso

    afirmativo hallar una base. Solucin: Tenemos el conjunto: { }052),,( 3213321 =+= xxxxxxA . Para ver si es

    subespacio vectorial empleamos el teorema de caracterizacin:

    =+++=+

    ),,(),,(),,(,

    ,3322213213213

    yxyxyxyyyxxxyx

    = (teniendo en cuenta que 052 321 =+ xxx y que 052 321 =+ yyy ) =

    ( ) =+++++= 33223232 ,,)52()52( yxyxyyxx ( ) Ayxyxyxyx +++++= 33223322 ,,)(5)(2

    en consecuencia, es subespacio vectorial. Para hallar una base, vemos que cualquier vector de A se puede escribir:

    ( , , )x x x A1 2 3 : )1,0,5()0,1,2(),,52(),,( 323232321 xxxxxxxxx +=+= Esto nos dice que el sistema formado por los vectores { }( , , ),( , , )2 1 0 5 0 1 forma un sistema

    generador de A. Veamos que es libre: 0)0,0,0()1,0,5()0,1,2(:, ===+ Por tanto dicho sistema constituye una base del subespacio vectorial ),.,( R+A 5. Hallar la interseccin y la suma de los subespacios vectoriales de ),,( 3

    + :

    )011(,)101( ,,,,A = y )1,0,0(,)3,2,1(=B . Son suma directa de ),,( 3

    + . Solucin: En primer lugar hallamos las ecuaciones de ambos subespacios:

    =

    =

    +=

    +=

    z

    y

    x

    zyxAzyx )0,1,1()1,0,1(),,(:),,(

    Eliminando los parmetros, se tiene: x y z = 0 .

    Anlogamente:

    +=

    =

    =

    +=

    3

    2)1,0,0()3,2,1(),,(:),,(

    z

    y

    x

    zyxBzyx

    De donde se deduce: zyx = ,02 . Cualquier vector de la interseccin habr de verificar las ecuaciones de ambos subespacios, es

    decir:

    =

    =

    =

    =

    xz

    xy

    yx

    zyxBAzyx

    .2

    02

    0:),,(

  • GRADO DE ADMINISTRACIN Y DIRECCIN DE EMPRESAS 4

    2011 2012 MATEMTICAS I PROBLEMAS

    Por tanto, todos los vectores de la forma: ( ,2. , ) .( ,2, )x x x x = 1 1 pertenecen a la interseccin de los subespacios.

    En cuanto a la suma de los subespacios, se tiene que los cuatro vectores dados forman un sistema generador de esta. De ellos tres son linealmente independientes y, por tanto, forman una base.

    Por la razn anterior, la suma es todo 3 , es decir: 3=+ BA . Esta suma no es suma directa pues la interseccin de los subespacios no es el vector nulo, como

    se ha comprobado anteriormente: { }A B 0 . 6. En el espacio vectorial ),,( 3

    + se consideran los subespacios:

    )0,2,0(,)1,0,1(1 =S y )1,0,0(,)2,1,1(2 =S

    Hallar los subespacios S S1 2+ y S S1 2 . Qu conclusin se puede obtener de las respuestas anteriores?

    Solucin: a. La suma estar engendrada por los vectores generadores de ambos subespacios, esto es:

    )1,0,0(,)2,1,1(,)0,2,0(,)1,0,1(21 =+ SS . Este sistema de vectores es ligado, pues son cuatro

    vectores en un espacio tridimensional. Eliminando, por ejemplo, el ( , ,2)11 queda un sistema que tambin es generador y adems se

    comprueba que es libre, por lo que forman una base. As pues se tiene: 321 =+ SS . b. Estudiamos la interseccin: Sea u S S 1 2 . Este vector se puede escribir como

    combinacin lineal de los sistemas generadores de los dos subespacios:

    +=

    =

    =

    +=

    +=

    ''2

    '2

    '

    )1,0,0(')2,1,1('

    )0,2,0()1,0,1(

    u

    u

    Este vector genrico de la interseccin es, por tanto: u = + =2 1 0 1 0 0 2 111 ( , , ) ( ,2, ) ( , , )

    Por tanto, la interseccin de los subespacios ser: { } = xxxxSS 321 ),,( c. La consecuencia que se obtiene de las dos ideas anteriores es que los dos subespacios NO

    son suplementarios. 7. Demostrar que los sistemas de vectores: { }( ,2, ), ( , , ),( , , )1 1 2 3 3 3 71 y { }( , , ),( ,2, ),( , , )31 4 5 3 11 61 son

    bases de 3 . Existe algn vector no nulo cuyas coordenadas sean iguales en ambas bases? Solucin: Puesto que la dimensin de 3 es 3, bastar con estudiar si son linealmente

    independientes para decidir si constituyen una base:

    =++

    =++

    =++

    =++

    03

    0732

    032

    )0,0,0()1,7,3()3,3,2()1,2,1(

    La nica solucin de este sistema es la solucin nula, en consecuencia, los tres vectores son linealmente independientes y por tanto forman una base de 3 .

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    2011 2012 MATEMTICAS I PROBLEMAS

    Anlogamente, se tiene:

    =++

    =++

    =++

    =++

    06134

    02

    053

    )0,0,0()61,1,1()3,2,5()4.1.3(

    En la misma forma, la solucin de este sistema es la nula y los vectores propuestos forman una base de 3 .

    Para estudiar la existencia de algn vector cuyas coordenadas sean iguales en ambos sistemas, se

    habr de verificar la igualdad: )61,1,1()3,2,5()4,1,3()1,7,3()3,3,2()1,2,1( ++=++

    siendo , y las coordenadas del vector buscado. Por tanto: )0,0,0()60,6,2()0,1,3()3,1,2( =++

    En consecuencia, se obtiene el sistema:

    =

    =

    =+

    =

    =+

    14

    20

    0603

    06

    0232

    Luego cualquier vector cuyas coordenadas sean proporcionales a -20, 14 y 1, respectivamente, verifica la condicin del enunciado.

    8. Demostrar que los vectores ( ,2, )1 3 y ( , , )2 11 engendran el mismo subespacio vectorial de

    ),,( 3

    + que los vectores ( , , )1 0 1 y ( , , )0 11 . Solucin: Hallamos la ecuacin de los subespacios engendrados por ambos pares de vectores:

    0)1,1,2()3,2,1(),,(:),,( =++= zyxzyxAzyx Por otro lado: 0)1,1,0()1,0,1(),,(:),,( =++= cbacbaBcba Por tanto, ambos pares de vectores engendran el mismo subespacio:

    { }0),,( 3 =+== zyxzyxBA 9. a. En el espacio vectorial ),,( 4

    + , determinar a y b para que los vectores v a1 1 1= ( ,2, , ) ,

    v a2 1 3= ( , ,2, ) y v b3 0 1 0= ( , , , ) , referidos a la base cannica, sean linealmente dependientes.

    b. Con estos valores de a y b, qu relacin liga a los 3 vectores? c. Hallar la ecuacin del subespacio engendrado por los 3 vectores anteriores. Solucin: a. Debemos buscar la solucin de: . . .v v v1 2 3 0+ + = con algn coeficiente distinto de

    cero. Se tiene:

    =+

    =++

    =++

    =+

    =++

    03

    02

    02

    0

    )0,0,0,0()0,,1,0()3,2,1,()1,,2,1(

    ba

    a

    baa

    La solucin del sistema con las condiciones indicadas es: a = 3 , b = 7 5 . b. Del mismo sistema obtenemos que: 3= y 5= En consecuencia tenemos: 312321 53053 vvvvvv ==++ .

  • GRADO DE ADMINISTRACIN Y DIRECCIN DE EMPRESAS 6

    2011 2012 MATEMTICAS I PROBLEMAS

    c. Cualquier vector del subespacio engendrado por los 3 vectores dados ser:

    +=

    ++=

    ++=

    +=

    ++=

    35

    723

    2

    3

    )0,5