Transformada de Laplace 1

Transformada de LaplaceLa transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional)para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidaden 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe latransformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constanteque depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Perspectiva históricaLa transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que lapresentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integralesde la forma:

— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación.Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de laprobabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató deemplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, yreenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a lastransformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

— análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraicade la que buscó su solución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna formareconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusiónpodría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en elcampo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo comoobjetos matemáticos meramente teóricos.

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La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surge en realidad en la segundamitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, elingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarseanalíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuacióndiferencial de la forma:

— donde D es el operador diferencial, esto es, , entonces la solución general a dicha ecuación es de laforma:

.

Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente lasolución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:

— ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba presentada, se llega a la solución dela ecuación diferencial:

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de la física y la ingeniería hizo quepronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunosmatemáticos puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no podían surgir de talforma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, demanera que al final atrajo la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de manerarigurosa. Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglono sólo ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía unaalternativa mucho más sistemática a tales métodos.Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una herramienta común de la teoría devibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, latransformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en elorigen. Una de sus ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten enmultiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas,mucho más fáciles de resolver.

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Propiedades

Linealidad

Derivación

Integración

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal

Nota: es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Condiciones de convergencia

(que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es unafunción de orden exponencial de ángulos.

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Tabla de las transformadas de Laplace más comunesLa siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la sumade la transformada de Laplace de cada término.

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella denota a la llamada función de Heaviside o funciónescalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumentovale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

ID Función Dominio en el tiempo Dominio en la frecuencia Región de laconvergencia

para sistemas causales

1 retraso ideal

1a impulso unitario

2 enésima potencia retrasada ycon

desplazamiento en lafrecuencia

2a n-ésima potencia

2a.1 q-ésima potencia

2a.2 escalón unitario

2b escalón unitario con retraso

2c Rampa

2d potencia n-ésima con cambiode frecuencia

2d.1 amortiguación exponencial

3 convergencia exponencial

3b exponencial doble

4 seno

5 coseno

5b Seno con fase

6 seno hiperbólico

7 coseno hiperbólico

8 onda senoidal conamortiguamiento exponencial

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9 onda cosenoidal conamortiguamiento exponencial

10 raíz n-ésima

11 logaritmo natural

12 Función de Besselde primer tipo,

de orden n

13 Función de Bessel modificadade primer tipo,

de orden n

14 Función de Besselde segundo tipo,

de orden 0

15 Función de Bessel modificadade segundo tipo,

de orden 0

16 Función de error

Notas explicativas:

• representa la función escalónunitario.

• representa la Delta de Dirac.• representa la función gamma.• es la constante de Euler-Mascheroni.

• , un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variableindependiente.

• es la frecuencia angular compleja.• , , , y son números reales.• es un número entero.

sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causalesno es el mismo que el ROC para sistemas anticausales. Véase también causalidad.

Relación con otras transformadasLa transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z.

Véase también• Transformada de Mellin.

Enlaces externos• C. Fernández, Transformada de Laplace y Ecuaciones de Volterra, Licenciatura en Educación Matemática y

Computación, USACH, 2006. [1]

• C. Gabriel Alberto Ventura García, Demostración matemática de la Transformada de Laplace,IngenieríaMecánica Eléctrica, FIME XALAPA, 2010. [2]

• La transformada de Laplace [3] Richard Baraniuk• Ejercicios y problemas resuelto de la transformada de Laplace [4]

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Referencias[1] http:/ / netlizama. usach. cl/ tesis%20final%202006%2007%2026%20version%20para%20pdf. pdf[2] http:/ / www. ilustrados. com/ documentos/ notas-sobre-transformada-04032010. pdf[3] http:/ / cnx. org/ content/ m12978/ latest/[4] http:/ / www. wikimatematica. org/ index. php?title=La_Transformada_de_Laplace

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