004-t-funciones y ecuaciones lineales

8/20/2019 004-T-Funciones y Ecuaciones Lineales

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ÁLGEBRA Y CÁLCULO NUMÉRICOFacultad de Ciencias Económicas y Jurídicas – UNLPam

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Capítulo 4

FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES

Función l ineal. Conc epto

En el capítulo 2 vimos la clasificación de las funciones, en trascendentes y algebraicas, y duranteel capítulo anterior nos dedicamos a analizar las funciones trascendentes más importantes. Ahora nosabocaremos a las funciones algebraicas, aunque específicamente a un tipo de ellas. En tal sentido,recordemos que las funciones algebraicas son aquellas en las cuales las variables están sometidas aoperaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, éstas últimascuando el exponente o el índice son números), y que se subdividen en racionales e irracionales, y dentro

de las primeras se encuentran las enteras y las fraccionarias.

Las funciones enteras son aquellas cuyas variables están sometidas a operaciones de suma, resta,multiplicación o potenciación con exponente natural. Una función del tipo y = f (x) (en dos variables) quereuniera la característica de algebraica entera, tendría una forma genérica como la siguiente:

y = f (x) = an x n + an-1 x

n-1 + a n-2 x n-2 + . . . + a1 x + a0

donde an , an-1, a n-2, .... , a1, a0 son constantes numéricas y n es un número natural.

La expresión anterior representa una función polinomial de grado n. Se denomina polinomial porque la regla de correspondencia está dada por un polinomio, expresión algebraica entera de varios

(poli = muchos) términos o monomios, y es de grado n porque es el grado correspondiente al término demayor grado que lo compone. Así las funciones:

g(x) = 2 x7 + 3 x2 - 9 y h(x) = - 2 x + 3 + x3

son funciones polinomiales de grado 7 y 3, respectivamente.

Si el grado de una función polinomial es uno, la función recibe el nombre de función lineal. Laforma general de una función lineal en dos variables es igual a:

y = f (x) = a1 x + a0

donde a1 y a0 son constantes numéricas.

Si bien una función lineal puede tener más de dos variables, en principio nos concentraremos enaquellas que tienen sólo dos, una variable independiente y otra dependiente. En tal situación, la función sehalla definida por una ecuación del tipo y = a1 x + a0, que recibe el nombre de ecuación lineal puestoque sus variables están elevadas a exponente uno, y para la que su dominio y rango es el conjunto de losnúmeros reales.

Ecuación l ineal. Conc epto

Ya habíamos visto en el capítulo 1 el concepto de ecuación, donde dijimos que se define como tal

a una proposición que expresa la igualdad condicional entre dos expresiones. Las letras que aparecen en


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dichas expresiones, que representan valores no conocidos, se denominan incógnitas (ó variables si laecuación define una función).

De ahí que suele interesar analizar el número de incógnitas que contenga una ecuación, ya quese dice que una ecuación tiene una, dos, tres o más incógnitas según presente respectivamente, una, dos,tres o más letras que representan cantidades desconocidas.

Así la ecuación 3 x + 2 y = 8 tiene dos incógnitas y la ecuación 3 x = 2 z + y - 5 tiene tres.

Otro aspecto que se analiza generalmente es el grado de una ecuación, el cual está dado por lasuma de los exponentes de las incógnitas en el término que esta suma resulte mayor. Así se denominaecuaciones de primer grado o lineales a aquellas en que dicha suma es igual a uno. Por ejemplo:

3 x + 2 y = 8 3 x = 2 z + y - 5 5 x + 3 = -1

son ecuaciones de primer grado o lineales.

Son ecuaciones de segundo grado, de grado dos o cuadráticas,x2 - x = 4 -2 y2 - 4 = 0 z - 3 z2 = 9

en tanto que

x2 = 6 + x3

es una ecuación de grado tres, de tercer grado o cúbica.

Dicho de otro modo, el grado de la ecuación es el grado del polinomio que se logra al pasar todoslos términos de la misma a un solo miembro. En los ejemplos propuestos anteriormente los polinomios

serían:

3 x + 2 y - 8 3 x - 2 z - y + 5 5 x + 3 +1

para las ecuaciones de grado uno,

x2 - x - 4 -2 y2 - 4 z - 3 z2 - 9

para las de grado dos, y

x3 + x2 - 6

para la de grado tres.

En este capítulo concentraremos nuestra atención en las ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Rectas. Ecuación general.

Una función lineal de dos variables es un conjunto de pares ordenados (x ; y) tales querepresentados en un plano cartesiano dan por resultado una recta. Geométricamente una recta es una líneasin curvatura alguna que en todo su recorrido reúne los puntos de un plano que están alineados entre sí.

Partiendo del concepto geométrico de recta procuraremos encontrar la expresión matemática que

nos permita describir a través de una fórmula, el conjunto de puntos que componen la recta, y luegoverificaremos si dicha expresión es una ecuación lineal que puede definir una función también lineal.


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Evidentemente una línea de este tipo puede adoptar cualquier posición en el plano. De todas las

posiciones posibles que puede presentar tomaremos en primer término una que pase por el origen decoordenadas, como la siguiente:

y

x

0

Si sobre dicha recta tomamos diferentes puntos y trazamos sus coordenadas, así como lo hemoshecho en la figura siguiente, donde marcamos los puntos A (x1 ; y1), B (x2 ; y2), C (x3 ; y3) y D (x4 ;y4), con sus respectivas coordenadas, quedan determinados una serie de triángulos diferentes entre sí, peroque tienen las siguientes características:

a) Son rectángulos dado que los ángulos OA’A, OB’B, OC’C y OD’D miden 90°;

b) Tienen en común el vértice O y el ángulo interior con vértice en dicho punto;c) Si dos ángulos en cada triángulo son iguales, el tercero también lo será dado que los ángulos internosde los triángulos suman 180°. También podemos asegurar que los ángulos OAA’, OBB’, OCC’ y ODD’ tienen la misma medida por ser correspondientes entre paralelas.

y

x0

A’ B’ C’ D’

A

BC

D

Por lo expuesto, los triángulos OAA’, OBB’, OCC’ y ODD’ son semejantes y al reunir estacondición sabemos que sus lados homólogos son proporcionales, por lo tanto, los cocientes que secalculen entre sus catetos resultan ser una constante, es decir que:


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AA

OA

BB

OB

CC

OC

DD

OD

'

'

'

'

'

'

'

'= = =

lo que en definitiva es el cociente entre ordenada y abscisa de cada uno de los puntos, o sea que:

y

x

y

x

y

x

y

x

1

1

2

2

3

3

4

4

= = = lo que podemos generalizar comoy

x

porque en cualquier punto de la recta el cociente resulta ser coincidente.

Queda a consideración del lector demostrar que lo anteriormente dicho resulta también válido para los puntos P y Q marcados en la siguiente figura:

y

x

0

A’ B’ C’ D’

A

BC D

P

P’

Q

Q’

Si llamamos a al cocientey

x resulta que a

y

x = , de donde puede obtenerse que

y = a x

Ésta la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas, en la cual la constante arecibe el nombre de pendiente de la recta e indica la inclinación de la recta respecto de la horizontal.

Si bien con esta ecuación podríamos describir todas las rectas que pasan por el origen decoordenadas, por supuesto que con diferentes valores de a , existen otras rectas que no pasan por el origen.Para cualquiera de éstas últimas siempre existe otra, que siendo paralela, pase por el origen decoordenadas y en consecuencia tiene una ecuación conocida.

Así podemos observar que para cualquier valor de x que consideremos, el valor de y en la nuevarecta se logra sumando al valor de y de la paralela que pasa por el origen, una cantidad constante (quellamaremos b ) y que es la distancia vertical que separa a las dos rectas paralelas entre sí. Dicho de otromodo, los valores de ordenada de ambas rectas difieren en una cantidad constante b , para un mismo valorde abscisa.


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y

x

0

b

b

b

Este valor de b puede ser positivo o negativo, y es una constante que no es ni más ni menos quela distancia que hay entre el origen de coordenadas y el punto de intersección de la recta con el eje deordenadas. Si b es positivo el punto de intersección será sobre el semi-eje positivo de ordenadas, por lotanto la ecuación de la recta será:

y = a x + b

Si en cambio la recta corta al eje negativo de las ordenadas, el valor de b será negativo y laecuación de la recta igual a:

y = a x - b

En general se adopta la fórmula y = a x + b que se da en llamar ECUACIÓN GENERAL DELA RECTA.

Con esta fórmula podemos determinar la ecuación de la recta que pasa por el origen decoordenadas cuando b es igual a cero, de una que corte el eje de ordenadas por encima del origen cuandoel valor de b adopta un valor positivo, o bien de una recta que corte al eje de ordenadas en su partenegativa cuando b es negativo.

De acuerdo con lo visto, b mide la distancia vertical entre cualquier ordenada de una recta que pasa por el origen y la de una paralela a ella que no pasa por dicho origen. Si bien esta distancia puede

medirse para cualquier valor de abscisa, cuando la medimos en el valor cero, para la recta que pasa por elorigen es justamente cero (o sea el origen), y para la recta que no pasa por el origen es b , (el valor deordenada). Por ello el valor de b se conoce con el nombre de ordenada al origen o ordenada al origende coordenadas.

En consecuencia, podemos decir que la ecuación de una recta adopta la forma esquemática:

y = a . x + b

variable dependiente = pendiente . variable independiente + ordenada al origen

Los valores de a y b son constantes numéricas, que las podemos asimilar a las constantesnuméricas de a1 y a0 de la expresión y = f (x) = a1 x + a0 , de ahí que podemos confirmar que la ecuación


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de la recta define a una función lineal de dos variables, o que, el conjunto de puntos que conforman unalínea sin curvatura es la gráfica de una función lineal, cuyo dominio y rango coincide con el conjunto denúmeros reales y su regla de correspondencia es una ecuación lineal de dos variables o ecuación de unarecta.

Gráfic a de la rec ta

Si tenemos la ecuación de una recta es posible que se nos presente la necesidad de graficarla. Paraello, una de las formas de hacerlo es confeccionar una tabla de valores, que contenga como mínimo dos puntos que pertenecientes a la recta en cuestión nos permita su ubicación en el plano. Por ejemplo, siqueremos representar la ecuación y = 2 x + 5 la tabla podría ser la siguiente:

x y1 7-3 -1

Dado que por dos puntos pasa una única recta, una vez marcados en el plano los puntos obtenidosen la tabla anterior y trazando una línea recta que pase por los mismos, se obtiene el gráfico de la rectadada como ejemplo:

21

3

4

5

y

x

6

0

-1-2-3-4-5-6

1 2 3 4

-1-2-3-4

7

Ahora bien, cuando se cuenta con la ecuación de la recta, presentada de acuerdo a la forma de laecuación general, es posible mediante la simple observación tener una idea bastante aproximada de la

forma que tendrá su gráfica.

Uno de los aspectos a tener en cuenta es la ordenada al origen, ya que el valor de la misma nosindica el punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas. Es decir que, en la ecuación dada como ejemploanteriormente, el valor 5 nos está determinando que la recta corta al eje de ordenadas en dicho valor,situación que se puede confirmar en el gráfico obtenido precedentemente. En consecuencia, uno de los puntos por donde pasa la recta puede ser establecido sin cálculo alguno.

Otro aspecto a tener en cuenta que nos ayudará a precisar la forma de la gráfica es la pendiente ola inclinación de la recta. Al respecto, es necesario aclarar que se llama pendiente de la recta a la medidade la inclinación de dicha recta con respecto a la horizontal, la que se determina a través de la tangentetrigonométrica del ángulo positivo que forma la recta con el eje de las abscisas. Observemos que la


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pendiente en la ecuación general de la recta es el valor a que provenía del cocientey

x , o sea el cociente

entre ordenada y abscisa.

eje y

eje x

0

y

x

α

Recordemos que la función trigonométrica que relaciona ordenada con abscisa es la funcióntangente, por lo tanto si llamamos α al ángulo positivo que determina la recta con el eje de x , resulta que:

Tg ordenada

abscisa a $α = =

Dicho de otro modo, la pendiente de la recta, representada por el coeficiente a que acompaña ala x en la ecuación general de la recta, es igual a la tangente trigonométrica del ángulo positivo formado por la recta y el sentido positivo del eje de abscisas, que nace en éste y muere precisamente en la recta.

Ahora bien, el ángulo que forma la recta con el eje x puede variar entre 0° y 180°. Si mide menosde 90°, es decir, que pertenece al primer cuadrante, la función tangente tendrá un valor positivo, enconsecuencia a será mayor que cero. En este caso gráficamente la recta se desplazará de izquierda aderecha, de abajo hacia arriba, o sea que tendrá sentido creciente.

Los siguientes son ejemplos gráficos de rectas con valores de a positivos:

y

x

0α

y

x

0 α

y

x

0 α


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Si el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las x es mayor de 90° y menor a 180°, al serun ángulo del segundo cuadrante la función tangente es negativa, por lo tanto el valor de a es tambiénmenor que cero. La gráfica de una recta de este tipo va de izquierda a derecha, de arriba hacia abajo, esdecir que tien sentido decreciente.

Los siguientes son ejemplos gráficos de rectas con valores de a negativos:

y

x0

α

y

x0

α

y

x0

α

Cuando la recta es paralela al eje de abscisas forma con dicho eje un ángulo de 0°, cuya funcióntangente es también nula, por lo tanto aplicando la ecuación general de la recta, la expresión resultaríay = 0 x + k , de donde surge que la ecuación será en definitiva y = k , donde k es la ordenada al origen positiva o negativa según corte al eje de ordenadas por encima o por debajo del origen. Dicho de otromodo la ecuación y = k define una función constante porque todos los valores del dominio (conjunto delos números reales) tienen una misma imagen k .

La siguiente figura muestra tres rectas de este tipo:

y

x0

k

y = k

k

y = - k

destacándose entonces que la ecuación de la recta que representa al eje de abscisas es y = 0 ya que k adopta valor nulo.

Cuando la recta es paralela al eje de ordenadas forma con el eje de abscisas un ángulo de 90°, porlo tanto como la función tangente de un ángulo de esa medida es indeterminada, también lo es la pendiente de la recta. Si llamamos h a la abscisa del punto en donde la recta corta al eje x , todos los puntos de la recta tendrán la misma abscisa h , es decir que para todos esos puntos se verificará que x = h .

Esta relación como es cumplida por todos los puntos de la recta y solamente por ellos, es la ecuación de larecta.


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La siguiente figura muestra tres rectas de este tipo:

y

x0

h h

x = hx = -h

ya que cuando h = 0 tenemos la ecuación x = 0 que representa a la recta que coincide con el eje deordenadas. Téngase presente que esta ecuación lineal no define una función lineal, ya para un mismovalor del dominio existen múltiples imágenes o valores del rango, en consecuencia no estamos en presencia de una función.

La pendiente también puede determinarse analíticamente si conocemos dos puntos cualesquierade la recta distintos entre sí, por ejemplo los puntos A (x1 ; y1) y B (x2 ; y2), que suponemos ubicados deacuerdo al siguiente gráfico:

y

x

0

A

B

x1 x2

y1

y2

Si trazamos una paralela al eje de abscisas que pase por el punto A y corte a la proyección de B sobre el eje x en el punto C, queda determinado un triángulo rectángulo en C, como muestra la siguientefigura. En este triángulo ABC el ángulo BAC es igual al ángulo que forma la recta con el eje de abscisasque llamamos α, por tratarse de ángulos correspondientes entre paralelas. De ahí pues que al ángulo BAC lo denominaremos directamente α.


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y

x

0

A

B

x1 x2

y1

y2

α

Cα

En el triángulo ABC la tangente de α resulta igual al cociente BC AC

, pero como el segmento BC

es igual a la diferencia entre las ordenadas de B y A, es decir y2 - y1, y el segmento AC es equivalente ala diferencia entre las abscisas de los mismos puntos, o sea x2 - x1, resulta que:

Tg α = BC AC

=y y

x x

2 1

2 1

−

−

Como ya hemos visto que la función tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las x esel valor de pendiente, podemos decir que:

a = y y

x x

2 1

2 1

−

−

De ahí que:

la pendiente de una recta puede definirse como el cociente obtenido al dividir la diferencia

entre las ordenadas por la diferencia entre las abscisas de dos puntos distintos cualesquiera

de la recta.

Ejemplo: Si los puntos P (-1; 5) y Q (1; 3) pertenecen a una determinada recta, la pendiente de lamisma resultaría igual a:

a = y y

x x

2 1

2 1

−

− =

1

1

2

2

)1(1

53 −=

−=

−−

−= - 1

Este cociente nos está indicando que por cada unidad de abscisa positiva la recta decrece unaunidad de ordenada; o dicho de otra manera, por cada unidad de x que nos movamos a la derecha en el plano, la recta disminuye una unidad en la ordenada. En el siguiente gráfico podemos corroborar loexpresado:


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4

21

3

4

5

y

x

6

0-1-2-3-4-5-6

1 2 3-1-2-3-4

7

Por lo tanto, también podríamos decir que la pendiente de la recta nos está indicando que por cada(x2 - x1) unidades de abscisa, la recta se incrementa (si el signo es positivo) o disminuye (si el signo esnegativo) (y2 - y1 ) unidades de ordenada; o dicho de otro modo, en el recorrido de x1 a x2 la recta seeleva (o decrece si el signo es negativo) desde y1 a y2. Por lo tanto, partiendo de un punto cualquiera de larecta si nos movemos en forma horizontal tantas unidades como indica el denominador de la pendiente yluego, en forma vertical tantas unidades como indica el numerador de la pendiente, hacia arriba si el valortiene signo positivo o hacia abajo si tiene signo negativo, al concluir el trayecto, quedaríamos posicionados en otro punto de la recta. Si trazamos una línea recta que una el primer y segundo puntoobtendríamos la gráfica de la recta.

De acuerdo con lo visto, y volviendo a la ecuación y = 2 x + 5 planteada al inicio como ejemplo, podemos efectuar su graficación sin necesidad de armar una tabla de valores. En tal sentido, habíamosdicho que la recta cortaba al eje de ordenadas en el valor 5 (ordenada al origen) y ahora, según loexpuesto respecto a la pendiente, podríamos graficar la recta analizando el valor de la misma en laecuación. Dicho valor nos está indicando que por cada unidad de abscisa la ordenada se incrementa endos unidades. Por lo tanto, partiendo del punto que identifica la ordenada al origen de la recta, si nosdesplazamos en forma horizontal tantas unidades como indica el denominador de la pendiente y luego, enforma vertical tantas unidades como indica el numerador de la pendiente, en este caso hacia arriba porqueel valor tiene signo positivo, al concluir el trayecto, quedaríamos posicionados en un segundo punto pordonde pasa la recta. Unido con una línea recta este punto con aquel que identifica la ordenada al origen,nos daría la gráfica de la recta.

Para nuestro ejemplo, a partir del valor 5 de ordenada al origen, punto (0; 5), tomamos la

pendiente que es igual a 2, expresión que puede escribirse como1

2, lo que nos permite decir que por cada

unidad de abscisa que nos desplacemos hacia la derecha (sentido positivo), la recta aumenta dos unidadesde ordenada. Por lo tanto, el segundo punto es (1 ; 7), con lo cual uniendo ambos puntos obtenemos lagráfica de la recta:


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21

34

5

y

x

6

0

-1-2-3-4-5-6

1 2 3 4

-1-2-3-4

7Ordenada alorigen

1 unidad a la derecha

2 unidades hacia arriba

El signo positivo de la pendiente está indicando que la gráfica formará con el eje de abscisas unángulo agudo, circunstancia que se puede verificar en la recta obtenida.

Siguiendo este mismo procedimiento de graficación si la ecuación de la recta fuera 2 x + 3 y = -6,la primera tarea sería expresar la ecuación dada, en la forma de la ecuación general, es decir, y = a x + b,

lo que nos daría para este ejemplo 23

2−−= x y . Luego, ubicamos en el plano cartesiano un primer

punto por donde pasa la recta que es la ordenada al origen, en nuestro caso -2, a partir de este punto nosdesplazamos hacia la derecha tres unidades (denominador de la pendiente) y hacia abajo (por el signonegativo) dos unidades (numerador de la pendiente) concluyendo en el segundo punto por donde pasa la

recta. Por los dos puntos obtenidos se traza la recta que representa la ecuación dada.

El gráfico logrado sería el siguiente:

21

34

5

y

x

6

0

-1

-2-3-4-5-6

1 2 3 4-1-2-3-4

7

Ordenada alorigen

3 unidades a la derecha

2 unidadeshacia abajo


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Otros t ipo s de ecuacion es de rectas.

En algunas situaciones se conocen ciertos datos de una recta pero no su ecuación. Sin embargo, es posible encontrar la misma si por lo menos se cuenta con al menos dos datos sobre su comportamiento.

Entre otros, se nos pueden presentar los siguientes casos:• que conozcamos únicamente la pendiente de la recta y un punto de la misma;

• que conozcamos dos puntos de la recta;

• que conozcamos las coordenadas al origen de la recta.

Analizaremos a continuación cada una de estas situaciones.

a) Conociendo la pendiente y un punto de la recta: En esta circunstancia, si biendesconocemos la ecuación, sabemos que ella deberá responder a la forma general, es decir a:

y = a x + b (1)

Pero también sabemos que pasa por un punto P, cuyas coordenadas conocemos y que las podemos definir como (x1 ; y1), por lo tanto en dicho punto la forma general será igual a:

y 1 = a x 1 + b (2)

Tanto (1) como (2) son igualdades, de ahí que si se restan miembro a miembro, el resultadologrado será una nueva igualdad, o sea:

- y = a x + b

y 1 = a x 1 + by - y 1 = a x + b - a x 1 - b

operando la misma se logra:

y - y 1 = a ( x - x 1 )

Esta expresión es la que sirve para determinar la ecuación buscada, bastando reemplazar en ella elvalor de la pendiente y las coordenadas del punto, ambos datos conocidos.

Por ejemplo: si de una recta se conoce que su pendiente vale -2 y que pasa por el punto A (-1; 3),

la ecuación de dicha recta resultará igual a:

y - y 1 = a ( x - x 1 )

y - 3 = -2 [( x - (-1)]

Si operamos esta última igualdad resulta:

y - 3 = -2 [ x + 1]

y = -2 x -2 +3

y = -2 x + 1

que es la ecuación que pretendíamos encontrar. Queda a consideración del lector comprobar gráfica yanalíticamente que esta ecuación responda a los datos iniciales.


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b) Conociendo dos puntos de la recta: En esta situación también contamos con dos datosconocidos de la recta que son dos puntos por donde pasa. Supongamos que los puntos fueran A y B decoordenadas (x1 ; y1) y (x2 ; y2), respectivamente. Si conociéramos el valor de la pendiente podríamosaplicar la fórmula de la recta que pasa por un punto y tiene la pendiente conocida que hallamosanteriormente, lo que resultaría:

y - y 1 = a ( x - x 1 ) (3)

si tomamos como punto conocido el A; o

y - y 2 = a ( x - x 2 ) (4)

si tomamos el punto B.

Sin embargo, ninguna de estas dos fórmulas anteriores puede ser aplicada en esta circunstancia porque desconocemos el valor de la pendiente, o sea de a . Pero, cuando vimos el concepto de pendiente ladefinimos como el cociente obtenido al dividir la diferencia entre las ordenadas por la diferencia entre lasabscisas de dos puntos cualesquiera de la recta. Por lo tanto, en este caso podríamos calcular la pendiente,

utilizando las coordenadas conocidas de A y B. En tal caso:

a = y y

x x

2 1

2 1

−

− (5)

Esta expresión puede ser utilizada para reemplazar el valor de a en las igualdades (3) ó (4),quedando:

y - y 1 =y y

x x

2 1

2 1

−

− ( x - x 1 )

o,

y - y 2 = y y

x x

2 1

2 1

−

− ( x - x 2 )

siendo cualquiera de las dos expresiones válidas para solucionar una situación como la planteada.

Es necesario aclarar que el valor de a también pudo haberse calculado como:

a = y y

x x

1 2

1 2

−

−

expresión que resulta equivalente a la obtenida en (5) por cuanto simplemente presenta el numerador ydenominador multiplicados por menos uno.

c) Conociendo las coordenadas al origen de la recta: Una recta cualquiera que no pase por elorigen de coordenadas, ni resulte paralela a ninguno de los ejes, corta a éstos en puntos distintos delorigen formando con ellos un triángulo rectángulo, cuyo ángulo recto coincide con el ángulo formado pordichos ejes y la hipotenusa es un segmento de la recta en cuestión.


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y

x0

y

x0

y

x0

Para las rectas que cumplen esta condición se diseña una ecuación específica que recibe elnombre de forma segmentaria de la recta, justamente porque la recta al cortar los ejes determina dossegmentos que se denominan coordenadas al origen, siendo abscisa al origen el segmento sobre el eje x,que denotaremos con una n, y ordenada al origen el segmento sobre el eje y, que simbolizaremos comom.

y

x

0

m

n

A

B

Si conocemos las coordenadas al origen de una recta es posible hallar su ecuación aplicando lamencionada forma segmentaria de la recta, la cual procederemos a encontrarla utilizando la gráfica

anterior. Este caso la recta forma el triángulo AOB al pasar por los puntos A (0 ; m) y B (n ; 0), por lotanto para hallar su ecuación podemos utilizar la fórmula de la recta que pasa por dos puntos, es decir:

y - y 1 =y y

x x

2 1

2 1

−

− ( x - x 1 )

en la cual reemplazando a x1, y1, x2 e y2, por las coordenadas de los puntos A y B conocidos, resulta:

y - m =0

0

−

−

m

n ( x - 0 )

Operando la anterior igualdad se logra:


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y - m =−m

n x

y +m

n x = m

Dividiendo miembro a miembro por m quedaría:

y

m

m x

n m

m

m + =

.

.

de donde resulta:

y

m

x

n + = 1

Esta última igualdad es la llamada forma segmentaria de la recta, que presenta trescaracterísticas fundamentales:

1.- El primer miembro es la suma de dos fracciones

2.- Los numeradores de las fracciones del primer miembro son las variables de la ecuación, presentadas por los ejes de coordenadas y los denominadores son los segmentos determinados por la recta en el ejeconsiderado en el numerador. O sea, que cuando el numerador es y su denominador es m que es elsegmento que la recta determina en el eje de ordenadas, y cuando el numerador es x su denominador es n que es el segmento que la recta determina en el eje de abscisas.

3.- El segundo miembro es siempre la unidad.

En consecuencia, si sabemos que una recta corta al eje de abscisas en el punto -4 y al deordenadas en el valor 5, su ecuación aplicando la forma segmentaria vista resulta igual a:

145

=−

+ x y

Asimismo, si nos encontramos ante una ecuación que no reúne estos requisitos podemos medianteoperaciones algebraicas llevarla a la forma segmentaria, siempre que se trate de una recta que no pase porel origen y corte a ambos ejes.

Ejemplo: si tenemos la siguiente ecuación 2x - 3 y = 6, podemos dividir miembro a miembro por6, en cuyo caso se transforma en:

2

6

3

6

6

6

. .x y − =

x y

6

2

6

3

1+−

=

x y

3 21+

−=


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Cuando la recta se encuentra expresada de esta manera resulta muy simple su graficación porqueal estar determinada la abscisa y la ordenada al origen, ya resultan conocidos dos puntos que una vezubicados en plano cartesiano nos permite trazar directamente la recta que pasa por ambos.

Téngase presente, además, que cualquier ecuación expresada en la forma general y = a x + b , puede ser llevada a la forma segmentaria en forma muy sencilla, ya que el denominador de la fracción

cuyo numerador es y resulta ser b , mientras que el de la que tiene a x como numerador es - b a

Rectas paralelas.

Dos rectas resultan paralelas entre sí cuando en todo su recorrido no cuentan con

punto en común alguno, o dicho de otro modo cuando no se cortan entre sí.

y

x

0

r1

r2

Frente a la gráfica de dos rectas, suele resultar en la mayoría de los casos la condición de paralelismo casi evidente, pero puede ocurrir que algunas rectas aparezcan a simple vista como paralelasy en realidad no lo sean, mientras que otras que no lo parecen en principio, lo sean en realidad. Por ello esnecesario que contemos con herramientas matemáticas para determinar en forma categórica si dos rectasresultan paralelas o no.

Dadas dos rectas, una denominada r1 cuya ecuación es y = a 1 x + b 1 y otra llamada r2 cuyaecuación es y = a 2 x + b 2 si son paralelas los ángulos que cada una de ellas forman con el eje de abscisasdeben ser iguales, por tratarse de ángulos correspondientes entre paralelas.


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y

x0

α1

α2

r 1 r 2

Para el caso mostrado gráficamente, si r1 es paralela a r2 entonces:$ $α α 1 2=

Si aplicamos la función tangente a cada uno de los miembros de la anterior igualdad, resulta unanueva igualdad que será:

Tg Tg $ $α α 1 2= (6)

y como por lo visto en oportunidad de tratar el concepto de pendiente resulta que Tg $α 1 1= a que es la

pendiente de r1 y Tg $α 2 2= a que es la pendiente de r2. Por lo tanto, reemplazando en la igualdad (6)

por sus equivalentes, determinamos que:

a 1 = a 2

con lo cual concluimos que dos rectas para ser paralelas deben tener necesariamente iguales pendientes.

Cabe aclarar que algunos autores consideran también paralelas a dos rectas que tienen pendiente yordenada al origen iguales. Este caso especial de paralelismo recibe el nombre de rectas coincidentes, yaque todos los puntos de su gráfica coinciden. Estos mismos autores suelen denominar rectas paralelas propiamente dichas a aquellas que no tienen punto en común alguno.

Rectas perpend iculares.

Dos rectas resultan ser perpendiculares entre sí cuando al cortarse forman cuatro

ángulos iguales, los cuales obviamente serán rectos.


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y

x0

90°

r 1r 2

Al igual que lo hicimos con las rectas paralelas es necesario determinar qué condiciones debenreunir las ecuaciones de las rectas para que sea posible afirmar que son perpendiculares.

Para ello utilizaremos dos rectas perpendiculares entre sí, una denominada r1 cuya ecuación esy = a 1 x + b 1 y otra llamada r2 cuya ecuación es y = a 2 x + b 2, que se cortan en un punto que llamaremosP.

Si trazamos una circunferencia con centro en el punto P y denominamos A y B a los puntos en loscuales dicha circunferencia corta a cada recta, de la forma que muestra la siguiente figura:

y

x0

r 1r 2

P

AB

C D

quedan determinados dos segmentos BP y PA, que resultan tener igual longitud por tratarse de radios dela circunferencia.

Luego, trazaremos una paralela al eje de abscisas que pase por P y sobre esta línea proyectaremoslos puntos A y B en forma perpendicular. Al hacer esta proyección quedan determinados los puntos C y D, respectivamente, sobre la paralela antes citada, tal como muestra la gráfica anterior.

Sobre dicha gráfica han quedado determinados dos triángulos rectángulos por construcción, elBPC y el APD, respecto a los cuales podemos decir que:


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• los ángulos internos BPC y APD son complementarios entre sí, ya que suman en conjunto 90°. Estoes simple de observar dado que el ángulo CPD es llano y el ángulo BPA es recto porque es el queforman las rectas perpendiculares entre sí;

• como en cualquier triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios entre sí porque enconjunto miden 90°, por lo tanto el ángulo PAD es complementario del APD en el triángulo APD;

•

por lo antes expuesto, si los ángulos BPC y APD son complementarios y los ángulos PAD y APD son complementarios, entonces BPC y PAD miden lo mismo, porque dos ángulos complementariosa un tercero resultan ser iguales entre sí;

• las hipotenusas, segmentos BP y PA, son iguales por construcción;

por lo tanto, los lados homólogos de estos triángulos resultan ser iguales, es decir que:

BC = PD por ser lados opuestos a ángulos iguales; yCP = AD debido a que son lados adyacentes a ángulos iguales.

Ahora bien, si determinamos la pendiente de la recta r1 resulta ser PD

ADa =1 ; en tanto que la

pendiente de r2 es igual a CP

BC a −=2 . Si en esta última igualdad realizamos el reemplazo de los

segmentos por sus equivalentes según lo demostrado anteriormente, resulta que:

AD

PD

CP

BC a −=−=2

En consecuencia, si registramos las dos pendientes logradas tenemos:

PD

ADa =1 y

AD

PDa −=2

lo que nos permite observar que la pendiente de una de las rectas es la inversa multiplicativa de la otracambiada de signo. Para una mejor visualización podemos expresar la pendiente de r2 como

PD

ADa

12 −= con lo cual podemos llegar a la conclusión de que:

21

1

a a o también

12

1

a a

Por lo tanto, si dos rectas resultan ser perpendiculares entre sí, debemos observar sus pendientes.Serán perpendiculares si la pendiente de una de ellas resulta ser la inversa multiplicativa de la pendientede la otra, cambiada de signo.

004-t-funciones y ecuaciones lineales

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