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Herramientas digitales para el aprendizaje

activo de los estudiantesUna tendencia creciente en colegios y universidades es incorporar al proceso de aprendizaje de los alumnos, herramientas tecnológicas como ejercitación en linea. Existen actualmente disponibles en la red una bateria de ejercicios en distintos temas y en diferentes plataformas.

Este artículo pretende dar a conocer la forma en que se construyen actualmente estas preguntas en Moodle, algunos tipos de preguntas y los cuidados que hay que tener al programarlas de modo que resulten un real aporte a quien las utiliza.

Viviana BarileUniversidad Adolfo Ibáñez

Hugo CaerolsUniversidad Adolfo Ibáñez

Jorge GaonaEstudiante de postgrado en Didáctica de

la Matemática en Université Paris VII

1. Introduccion

Una corriente de creciente desarrollo en nuestropaıs y en el mundo es incorporar la tecnologıa paramejorar los procesos de aprendizaje de los alumnos.

En este artıculo pretendemos explicar detalles res-pecto a la construccion de un sistema electronico deayuda a la ejercitacion de los estudiantes, con laidea de introducir a los profesores en las potenciali-dades de este trabajo y que quizas puedan generargrupos de desarrollo en sus respectivos colegios queles permitan apoyar y gestionar el trabajo de susestudiantes.

Para realizar este trabajo a nivel de un colegiose requiere instalar Moodle, que es un sistema degestion de cursos gratuito y de amplia difusion envarias universidades y colegios de nuestro paıs. Ha-blar de las potencialidades de este sistema tomarıamucho tiempo, alejandonos del objetivo central deeste trabajo. Solo mencionaremos que permite: me-jorar la interaccion profesor-alumno, subir guıas deejercicios, trabajar con foros y disenar cuestionariosy encuestas entre muchas otras posibilidades.

Utilizamos un complemento de Moodle llamadoWiris, que dota a Moodle de CAS (Computer Alge-bra System), que fortalece de sobremanera el gene-rador de preguntas de Moodle en matematica.

La ventaja fundamental de este complemento,versus la pregunta estatica clasica, es que hace po-sible la aleatoriedad en una pregunta y posee unagran variedad de formas de respuesta. Para hacer-se una idea, es como tener un pequeno Maple den-tro de Moodle, es decir, una misma pregunta al serejecutada por distintos alumnos incluso simultanea-mente, tiene distintas presentaciones y resultados,lo que ayuda a mejorar la ejercitacion de los alum-nos en tareas matematicas especıficas, evitando la

mecanizacion.

Todas estas nuevas potencialidades requieren deun aprendizaje por parte del profesor que se intere-se por construir evaluaciones con esta herramienta.Por esta razon al momento de adaptar una preguntay parametrizarla tendra que pensar en en una seriede elementos para que esta sea valida matematica-mente y ademas tenga sentido en el caso de unapregunta aplicada.

Los problemas pueden generarse de distinta for-ma, por ejemplo, pueden obtenerse mirando los pro-blemas de algun libro o una guıa y pasandolos alformato digital o bien considerando un objetivo adesarrollar y generando un problema adecuado pa-ra lograrlo.

A continuacion presentaremos algunos problemasque esperamos ilustren la capacidades de la herra-mienta.

2. Generando los primeros pro-blemas

Nuestro primer ejemplo es de la unidad de com-binatoria que permite adaptar las preguntas de ma-nera bastante amigable.

Problema 1 ¿De cuantas maneras puedo escoger14 personas de un total de 37 ?

Aquı los numeros 14(m) y 37(n) pueden escoger-se como parametros de modo que cada vez que losalumnos ejecuten esta pregunta, estos numeros cam-bien y les fuercen a utilizar en este caso las combi-naciones para contar.

La persona que confecciona la pregunta debe te-ner cuidados basicos pero importantes. Programaraalgo como lo siguiente:

m y n deben ser numeros enteros aleatorios en

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cierto rango por ejemplo 1 ≤ n ≤ 40 y 1 ≤ m ≤n. Miremos esta eleccion de forma mas cuidadosa.¿Tiene sentido que en alguna iteracion el total depersonas sea 1 ? Esto nos hace refinar esta elec-cion inicial y escoger por ejemplo 5 ≤ n ≤ 40. Noteque con estas restriciones la cantidad de personasde un grupo parte de 1. ¿Tiene sentido grupos deuna persona o del total de personas ? Esto nos ha-ce refinar la eleccion del otro parametro y escoger2 ≤ m ≤ n− 1.

Otra cosa que se nos habıa pasado: Tratemos decontestar la pregunta ¿De cuantas maneras puedoescoger 20 personas de un total de 40 ? Si hace-mos el calculo con nuestra calculadora obtendremos!

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"= 1,378465288× 1011. Como queremos que

los alumnos puedan entregar este resultado en formanumerica acotaremos el numero total de personas nen 5 ≤ n ≤ 36, de esta forma el numero mas grande

que aparecera es

!3618

"= 9,875, 135, 300 que cabe

en una calculadora de 10 dıgitos.

Lo que explicamos anteriormente es muy impor-tante. Al parametrizar debemos tener el cuidado quela eleccion aleatoria de los valores de los parametrosse haga de forma que no se estropee la preguntapara alguna iteracion del programa, que como buenprograma hara lo que nosotros le digamos que haga.El codigo inicial de la pregunta sera algo como:

n aleatorio entre 5 y 36m aleatorio entre 2 y n− 1¿De cuantas maneras puedo escoger mpersonas de un total de n ?

El algoritmo para esta pregunta aparece en la Fi-gura 1.

Al ejecutar la pregunta tiene la presentacion queaparece en la Figura 2.

Figura 1: Algoritmo pregunta combinatoria

Figura 2: Enunciado pregunta combinatoria

El alumno ingresara un valor como respuesta yel programa internamente compara el resultado delalumno con el valor que se le asocia en la progra-macion y de acuerdo a esto asigna como correcta oincorrecta la respuesta. No hemos incluido la ven-tana en que se escribe la pregunta, iremos con unpoco mas de detalle en el siguiente ejemplo que tienerelacion con las aplicaciones de la trigonometrıa.

Problema 2 Desde un punto A un observadorve la cima C de una montana con un angulo deelevacion ∠DAC = γ = 30◦. Luego se traslada hastaun punto B, 130 metros, los angulos ∠CAB = α

y ∠ABC = β miden 45◦ y 60◦ respectivamente.Determine la altura de la montana.

Este problema fue extraıdo de un libro clasico unavez parametrizado e ingresado a la plataforma losestudiantes veran la pregunta como aparece en laFigura 3. La imagen que aprece en a Figura 3 sehizo aparte y se inserto en el texto de la pregunta,es decir es una imagen fija que aparece cada vez quese ejecuta la pregunta.

Figura 3: Enunciado pregunta de trigonometrıa

Aquı los valores iniciales de los posibles parame-tros son:

0 < α < 180◦, 0 < β < 180◦, 0 < γ < 90◦ y ladistancia AB mayor que cero.

Una primera disyuntiva es si deseamos que losangulos sean valores conocidos, como 30◦, 45◦, 60◦

en cuyo caso esperaremos respuestas exactas conraıces y fracciones que una calculadora ordinaria nopuede entregar o bien permitimos valores razonables

en estos rangos y aceptamos una respuesta como co-rrecta si coincide hasta un cierto valor decimal quepodemos indicarle al programa.

Otro elemento a tener en cuenta es el hecho queal hablar de una montana, esta altura deberıa estaren un rango razonable digamos entre 1000 y 8848metros que es la altura del monte Everest, del Hi-malaya, la montana mas alta de nuestro planeta.

El lector puede verificar que la altura es

AB sen(β) sen(γ)

sen(α+ β)

Otra condicion que no se puede pasar por alto, esque al ser ABC un triangulo α+ β debe ser menorque 180◦, lo que restrige la eleccion de los parame-tros iniciales.

Para conctruir esta pregunta con Moodle y Wirissiga los siguientes pasos:

Ingrese a su plataforma Moodle para luego in-gresar al ambiente Banco de Preguntas.

En Banco de Preguntas, seleccione el tipo depregunta que creara. En este caso crearemosuna pregunta de Respuesta corta.

Se desplegara una ventana donde tiene que lle-nar el espacio denominado Texto de la preguntadonde se escribe el enunciado de esta. Se escri-be el problema de manera normal, salvo quelos elementos que queremos que sean variablesse escriben precedidos del signo #. Estos ele-mentos se definen mas tarde en la ventana dealgoritmo de la pregunta que se muestra en laFigura 4.

Se define la solucion que tambien es una varia-ble precedida de # pues depende de los parame-tros aleatorios de los que se hablo mas arriba.

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En Respuesta abra la pantalla indicada por elsımbolo del editor de ecuaciones (amarillo). Es-to le permitira llegar al ambiente de trabajodonde se programan las preguntas. En la Figu-ra 4 se muestra en deatalle el algoritmo de estapregunta.

Figura 4: Algoritmo pregunta de trigonometrıa

Guarde todos los cambios y realice una vistaprevia del problema.

3. Retroalimentacion

Un elemento muy importante que se puede agre-gar a cada una de las preguntas es la retroalimenta-cion. Esta puede mejorar de manera sustancial losaprendizajes y la motivacion de los estudiantes.

La plataforma Moodle, por defecto, permite retro-alimentar de tres formas diferentes. Retroalimenta-cion de tarea, retroalimentacion personal y retroali-mentacion de procesos.

En el caso de la retroalimentacion de proceso, esposible dar un desarrollo paso a paso del problemaplanteado, en funcion de los parametros aleatoriosde la pregunta.

En la Figura 3 se muestra la retroalimentacionde tarea que le indica al alumno que la respuestaingresada es la correcta, En la Figura 5 se le en-trega una frase de felicitacion por haber ingresadola respuesta correcta (retroalimentacion personal) yademas se le da una posible solucion paso a paso(retroalimentacion de proceso).

Note que esta ultima cambia en funcion de losvalores aleatorios de los angulos y de la ditancia quese traslada para hacer la medicion. Este desarrollopaso a paso puede ser tan detallado como lo quierael profesor que construye la pregunta y puede incluirmas de una solucion.

Para escribir la retroalimentacion siga la mismaestructura que en la escritura del enunciado. Cadavez que se quiera escribir un objeto que contenga unelemento variable se antepone el sımbolo # y a suvez estos se tienen que definir en el mismo espaciodedicado a la programacion. En esta pregunta hu-bo que definir dos variables nuevas c1 y c2 que soncalculos intermedios que permiten explicar el desa-rrollo.

Figura 5: Retroalimentacion pregunta trigonometrıa

4. Incluyendo graficos aleatorios

Como ultimo ejemplo para mostrar las distintasposibilidades de programacion mostraremos comogenerar graficos aleatorios. El lenguaje puede pare-cer un poco tecnico pero hemos decidido escribirlode esta forma, para dar una mayor claridad a quie-nes comiencen a construir sus propias preguntas. Laidea de esta pregunta es ir desde la representaciongrafica de la recta a su ecuacion, que es lo contra-rio a lo que se solicita usualmente. El enunciado semuestra en la Figura 6. Detallamos ahora todos lospasos a seguir en la plataforma Moodle.

Para poder crear esta pregunta hay que ir al menuCrear una nueva pregunta de Moodle, se elige Ma-tematicas y Ciencias Wiris, se despliegan varias op-ciones de preguntas y se hace un click sobre Res-puesta Corta - Ciencias.

Figura 6: Enunciado pregunta que incluye un graficoaleatorio

Esto abrira una ventana de edicion de la preguntadonde hay dos elementos que se tienen que definircomo mınimo para que cualquier pregunta funcione:el enunciado y la respuesta correcta.

En el enunciado se escribe:Observe la siguiente recta#grafDetermine su ecuacion.

En el espacio de respuesta se escribe:

Respuesta 1#solCalificacion 100%

En la defincion del enunciado, #graf representa elgrafico y #sol la respuesta correcta, ambos elemen-tos dependen de parametros aleatorios y se definenen la pestana Variables que se abre al hacer click so-

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bre el sımbolo de raız que esta al costado del espaciodonde se escribe la respuesta correcta. El algoritmoque define estos objetos se muestra en la Figura 7.

Figura 7: Algoritmo de pregunta que incluye ungrafico aleatorio

Para definir #graf se necesita, a su vez, definirdos elementos previos: el plano cartesiano sobre elque se va a graficar y el objeto a graficar.

La configuracion del plano cartesiano es bastanteflexible, pero para simplificar el ejemplo y centrarseen la definicion del objeto, se eligieron las dimesionesde los ejes de una medida estatica y se definio de talforma que el eje x y el eje y esten entre −5 y 5. Es-tas caracterısticas se configuran mediante el coman-do tablero: t1 = tablero(punto(0, 0), 10, 10), dondepunto(0, 0) es el centro del tablero y los numeros 10que aparecen dos veces, corresponden a la distanciaque hay entre el mınimo y maximo que hay entre

los valores del eje x y eje y.

Una vez definido el plano, se define el objeto agraficar. En este caso es una recta por lo que hayque elegir una de las varias maneras que hay paradefinirla: con dos puntos, un punto y una pendienteo utilizando algunas de sus ecuaciones caracterısti-cas.

En este caso elegimos la ecuacion principal, por loque se necesita definir la pendientem y el coeficientelibre b.

Teniendo en cuenta la restriccion de la cuadrıcula,la recta debe estar en el cuadrado [−5, 5] × [−5, 5]y ademas, como el estudiante debe extraer informa-cion del grafico, la imagen debe mostrar pares orde-nados (x1, y1) de la recta que sean numeros enterospara que se los pueda identificar.

Por esta razonm y b tomaran valores enteros tales−4 ≤ m ≤ 4, observe que si, por ejemplo, se elegıacomo mınimo y maximo a −5 y 5 para las varia-bles m y b respectivamente, podıa aparecer la rectay = 5x + 5 que solo tiene el par ordenado (−1, 0)con coordenadas x e y enteras dentro del cuadradodefinido previamente.

Otro elemento importante a considerar es quetanto m como b podrıan tomar como valor el 0, porlo que podrıan aparecer las siguientes rectas:

y = mx con m = 0.

y = b con b = 0.

y = 0.

¿Cual de estos casos se descartan? y ¿por que? Laeleccion que se hizo en este caso fue descartar solola ultima opcion y es por razones practicas: la grafi-ca de y = 0 no se distingue tan facilmente en laimagen que ven los estudiantes, razon por lo cual seutiliza el comando repetir ... hasta, de tal forma que

WIRIS haga iteraciones hasta que uno de los dosparametros sea distinto de cero o hasta que ambossean distintos de cero.

Por ultimo, se define la solucion simplemente co-mo sol = y = m · x + b y el grafico mediante elcomando dibujar : graf = dibujar(t1, sol).

Cabe observar que al estudiante no se le esta so-licitando una forma particular de responder, por loque a pesar de que el objeto es unico, para un valorparticular de m y b este puede ser escrito de variasmaneras,

Por ejemplo, si la respuesta fuese y = 3x+2 el es-tudiante podrıa responder entre otras posibilidades:y − 3x− 2 = 0 o 2y = 6x+ 4.

Para que acepte las infinitas posiblidades de res-puesta, en el caso particular de objetos definidosmediante una igualdad, es necesario activar la ca-silla ecuaciones equivalentes que esta en la pestanaValidacion de Wiris y que se muestra en la Figura 8,de tal forma que el sistema use el CAS incorporadopara comparar la respuesta del estudiante con la de-finida previamente y concluir que son equivalentesmatematicamente.

Figura 8: Opcion para que el sistema acepte ecua-ciones equivalentes

Observe que cada vez que usted ejecuta la pre-gunta aparecen datos diferentes.

De esta forma usted puede confeccionar un ban-

co de preguntas de distintos temas y niveles. Puedeseleccionar estas preguntas para construir un cues-tionario de preguntas aleatorias.

Cada vez que un alumno ingrese quedaran regis-trados una serie de indicadores: como el tiempo quedemora en contestar, la respuesta que ingreso en ca-da pregunta, el numero de intentos y la distribucionen el tiempo de su trabajo en la plataforma. Conesta informacion es posible determinar temas queno han sido asimilados por sus alumnos de la formaesperada.

El lector interesado se dara cuenta que recien co-mienza a introducirse en un mundo en el que nosolo hay que considerar restricciones matematicassino tambien de espacio y presentacion. Al aprendery aplicar todo esto, podra hacer buenas preguntas,que ademas resulten muy flexibles en terminos depresentacion.

Por lo anterior, se hace muy necesario formarequipos de trabajo en los que participen distin-tas personas, algunas de las cuales deben tenerhabilidades de programacion, creatividad y sobretodo conocimientos de matematica, para que elmaterial desarrollado resulte interesante y deun nivel adecuado con respecto a los propositosrequeridos. Esto lo trataremos en el siguiente punto.

Comentarios sobre la construccion de las pre-guntas.

Para trabajar en el desarrollo de bancos de pre-guntas hay ciertas condiciones que son necesariaspara que el banco construido sea de buena calidaden relacion al proyecto que se este comenzando adesarrollar.

Un primer elemento que hay que considerar, estener claridad de los objetivos de aprendizaje delcurso o tema y que estos objetivos se traduzcan en

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criterios de evaluacion que guıen la construccion delas preguntas.

Una vez que estan claros los objetivos de aprendi-zaje que se pretenden desarrollar, es recomendableno hacer doble trabajo y utilizar las preguntas queesten en lınea con los objetivos descritos mas arribay que otras instituciones y profesores ya confeccio-naron y que han compartido de manera libre en unpagina disenada para este proposito [2].

Estas preguntas, pueden ser descargadas ysubidas a la plataforma Moodle donde este traba-jando y dentro ella puede modificar tanto los ele-mentos del enunciado como los elementos del algor-timo que no se ajusten a sus requerimientos.

Una vez definidos estos dos primeros elementos,es muy importante trabajar en equipo. No solo pararepartir el trabajo, sino que para discutir sobre lasdudas que a cada profesor le iran surgiendo en elproceso de construccion y obtener un resultado demejor calidad.

A modo de ejemplo, compartiremos algunas expe-riencias que conocemos, e indicaremos aquellos fac-tores que han hecho que el resultado no haya sidotan bueno como se esperaba, las que sin embargo,han dejado valiosas lecciones.

Una primera modalidad de trabajo observada fuetotalmente horizontal. Se establecio una lista de loscriterios de evaluacion. En base a esta lista, cadaprofesor del equipo creaba una pregunta para com-pletarla. Efectivamente se construyeron las pregun-tas, pero como no hubo mucha comunicacion, losniveles de dificultad estaban un poco desalineados yen general no se veıa un hilo conductor entre ellas.

En un trabajo de autoevaluacion que se hizo mastarde, los profesores mencionaron que todos tuvie-ron dudas en las elecciones que hacıan, pero que noencontraron los canales de comunicacion para ex-

presarlas, por lo que recurrieron a la intuicion parasalir del paso.

Una segunda modalidad observada, fue totalmen-te opuesta, el coordinador del equipo de construc-cion indicaba a cada profesor que pregunta cons-truir, por lo que la responsabilidad del diseno recaıaen una sola persona.

Al hacer una autoevaluacion se pudo constatarque se desaprovecho la capacidad creativa de los pro-fesores, lo que conlleva una baja en su compromisocon el proyecto. Adems, toda la arquitectura de laconstruccion dependıa de una sola persona, lo queimpidio que los distintos puntos de vistas que enri-quecieran el trabajo de creacion.

Entonces, ¿como encontrar un equilibrio? Una po-sibilidad es trabajar en un punto intermedio entrelas dos experiencias presentadas anteriormente, esdecir, que se formen pequenos grupos de trabajo,de 2 o 3 personas, que esten a cargo de unidadesespecıficas, pero, que a su vez cada una de las per-sonas de ese equipo sepa periodicamente lo que estanconstruyendo los otros equipos con el fin de visuali-zar conexiones entre las distintas preguntas.

Recomendamos establecer reuniones para conver-sar sobre los codigos utilizados y analizar en equipolas preguntas. A traves de esta interaccion se pue-den mejorar las preguntas, pueden aparecer nuevaspreguntas, y a veces, se constata la necesidad de re-disenarlas por que no se adecuan a los niveles dedificultad o a los objetivos de aprendizaje para loscuales fueron construidas.

Es importante que los profesores que trabajan enlos cursos se involucren de alguna manera en la ge-neracion y/o validacion de las preguntas para quede esta forma se sientan parte del proceso.

No hemos tocado aun un tema muy importanteque es como se integra este trabajo en la estructura

metodologica de un curso y este es un gran tema delque se puede escribir mucho. No hay una receta es-pecıfica sino distintas experiencias que integran estetrabajo en los cursos de diferente manera. Tareas se-manales, pruebas semanales, ejercitacion libre. Es-peramos mas adelante tener algunos resultados a es-te respecto y poder contarles algunas experiencias.

Finalizamos este artıculo con una serie de referen-cias de manera que los lectores interesados puedancomenzar a entrar en este nuevo mundo al que noslleva la tecnologıa, cuyo avance nos hacen reflexionarpermanentemente sobre las estrategias metodologi-cas utilizadas.

La tecnologıa ha cambiado definitivamente la for-ma en que se accede al conocimiento y es nuestrodeber estar al dıa en los avances de manera de me-jorar la formacion de nuestros futuros profesores yestudiantes.

Para contactar a los autores

viviana.barile@uai.cl, hugo.caerols@uai.cl,jorge.gaona@quinan.cl

Referencias

[1] Blog sobre aprendizaje de matematicas contecnologıa.http://www.matematicacontecnologia.org

[2] Comunidad colaborativa de preguntasconstruidas con Wiris.http://stemcollection.com

[3] Manual y librerıa de comandos Wiris CAS.http://www.wiris.net/demo/wiris/manual/es/

[4] Manual Wiris CAS.http://www.infoymate.es/wiris/

[5] Manual Wiris Quizzes.http://www.wiris.com/es/quizzes/docs/moodle

Entre una esfera y un segmento de recta, ¿cuál de las dos figuras tiene más puntos?

Sorprendentemente ambas tienen la misma cantidad de puntos. Esta cantidad es mayor que la cantidad de átomos que forman nuestro universo...!

Lee una explicación en el próximo número de RPMat.