GEOMETRÍA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN

En un trazado de rectas y curvas circulares, la curvatura pasa de 0 en la recta,

a un valor finito y constante en la curva, lo que produce incomodidad y puede

causar accidentes por la aparición brusca de la fuerza centrífuga.

Para alcanzar el peralte requerido en una curva debe pasarse del bombeo a

dicho peralte, lo cual se reparte 2/3 antes del TE y 1/3 después.

Estas cusas hacen necesario el empleo de un alineamiento de transición.

Otras causas:

- Se tiende alentar la uniformidad de la velocidad.

- Permite el cambio gradual de la deflexión de las ruedas.

- El mayor número de accidentes se relaciona a efectos de entrada y

salida.

CLOTOIDE

La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor

de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen

y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la

distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el

radio es infinito.

La expresión matemática usual es:

Siendo:

ρ = el radio de curvatura.

s = el desarrollo o arco.

C= la constante de la espiral.

Numerosas curvas cumplen las condiciones requeridas de cambio de

curvatura:

El ovalo.

La parábola cúbica.

La lemniscata de Bernoulli.

La espiral de Cornu o Clotoide. (*)

(*) Avanzada por Max Von Leber 1860, introducida en la práctica de la

ingeniería por L. Oerley en 1937.

Ventajas de la Clotoide:

1. La clotoide es una espiral cuya curvatura varía proporcionalmente con la

longitud comenzando en cero desde el origen.

2. Esta característica le da la propiedad de que un móvil que la recorra a

velocidad constante experimente una variación uniforme de la fuerza

centrífuga.

F = WV 2

g R

3. La parte de la clotoide a usar es un segmento que no permite apreciar la

forma de la espiral.

L

Tc Le

4. La fórmula de la Clotoide es sencilla; el producto del radio de curvatura

(R) por la longitud (L) desde el origen hasta ese punto, es constante (K2)

donde K se denomina el parámetro de la curva.

Para K = 8 R L RxL K2

2 32 64

4 16 64

8 8 64

16 4 64

5. La magnitud de K se denomina; parámetro de la curva.

6. Todas las Clotoides poseen la misma forma pero distinto tamaño, son

homotéticas con K, pueden desarrollarse tablas para la clotoide unitaria

K=1 y obtener valores para otra clotoide por simple proporción.

7. Las Clotoides de parámetro grande aumentan más lentamente su

curvatura, siendo apropiadas para marcha rápida de vehículos. Las de

R x L = K2

parámetro pequeño aumentan rápidamente la curvatura, siendo aptas

para velocidades reducidas y para suavizar sinuosidades del trazado.

USOS DE LAS CLOTOIDES

a) Transición entre recta y arco de círculo.

b) Enlace de círculos.

c) Como curva de transición total.

d) Curva revertida.

e) Problemas de distribuidores.

f) Clotoide como curva compuesta.

ECUACIONES DE LA CLOTOIDE

Los radios de curvatura están en razón inversa a los desarrollos de sus

respectivos arcos.

R X L = K2

Donde:

L= longitud del arco.

R= radio de curvatura.

K= parámetro.

Para reducir el valor del parámetro se hace:

Considérese la siguiente figura:

Considérese un elemento diferencial dl:

dl = Rdθ dθ = dlR

R = K2

L dθ =

LdlK2

θ= L2

2K2

Sustituyendo K2 = R x L Integrando:

θ= L2

2 Rl θ= L

2 R K2= L2

2θ K= L

√2θ

En el punto paramétrico o punto característico L = R:

θ=12x 180o

Π 28o 38' 52,4”

Refiriendo la clotoide a un sistema de coordenadas cuyos ejes son la tangente

y su perpendicular en el origen, donde L = 0

dx=dlcos θ

dy=dl senθ

x=∫0

L

dl cosθ y=∫0

L

dl senθ

Desarrollando en serie cos θ y sen θ e integrando se obtiene:

a. Ecuaciones que definen la clotoide por su longitud.

x=l(1− θ2

5 x2 !+ θ4

9 x4 !− θ6

13x 6 !+ ..)

y=l( θ3− θ3

7 x3 !+ θ5

11 x5 !− θ7

15x 7 !+..)

b. Definen a la clotoide por su parámetro. Sustituyendo l=K √2θ

x=K [√2θ (1− θ2

5 x2 !+ θ4

9 x 4 !− θ6

13 x6 !+..)]

y=K [√2θ( θ3− θ3

7 x3 !+ θ5

11 x 5!− θ7

15 x 7!+..)]

ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE

Puntos:

TE = tangente - espiral.

ET = espiral – tangente.

EC = espiral – curva.

CE = curva – espiral.

PC = punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular.

PI = punto de intersección.

Ángulos:

Δo = ángulo de deflexión entre tangentes.

Θ = deflexión entre tangente de entrada y tangente de un punto.

Θe = deflexión entre tangentes de extremos de la clotoide.

Distancias:

Rc = radio de la curva circular.

R = radio de la curvatura de la espiral en cualquier punto.

Le = longitud total de la espiral.

L = longitud de la espiral desde el origen a un punto.

TL = tangente larga.

TC = tangente corta.

TT = tangente total.

Xc, Yc = coordenadas del EC.

K, P = coordenadas de PC.

CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE

Topografía:

Vproy. Rc

Dato ℓe

R x ℓ = Rc x ℓe

Radio a una longitud ℓ del origen

θ = l ²

2k ² en EC θe = l e ²2k ² θe =

l e ²2Rc l e

Radianes

ℓe = 2 Rc θe

Rc = l e

2θe

θ = l ²

2Rc l e = l ²

2( l e2θe )l e =

l ²le ² θe = (

lle

¿ ² θe

Angulo de deflexión a una distancia l del origen

Es una transición de tipo clotoide – curva circular – clotoide

Υ=Δc=Δ−2θe

R = Rc .l e

l

Θe = l e2Rc l e

θ = ( lle

¿ ² θe

L=¿+ lc+¿=2≤+lc

L=4 Rcθe+Rc Δc

L=ℜ (4θe+δ )

Siendo L la longitud de la curva, θe y Υ en radianes

Sistema de coordenadas cartesianas (X, Y) en el origen de la clotoide.

×=l(1− θ10

2

+ θ216

4

−…)

Y=l( θ3− θY 2

3

+…)

Para EC Xc, Yc se obtienen haciendo l = le

Sistema de coordenadas polares de un punto (Ø, C):

C=√ x2+ y2

Ø=Arctang[ yx]

Donde:

C= cuerda

Φ= ángulo de la cuerda

Para Ec:

CL = √Xc ²+Yc ²

Φe = arcTang (YcXc )

Si la curva circular se prolonga en θe se obtiene la coordenada k , ρ

k=Xc−Rc senθe

ρ=Yc−Rc (1−cosθe )

k es aproximadamente igual a la mitad d la longitud de la clotoide.

La clotoide bisecta a ρ en partes prácticamente iguales.

Para Clotoides iguales a la entrada y salida:

Tangente Total

Ee = (ρ + Rc) Sec (Δ/2) – Rc

Externa

En términos de la Semitangente y la Externa de la curva circular:

Para calcular la Tangente Larga y la Corta:

Tt = k + (Rc + ρ) Tang (Δ/2)

Ee = Rc (Sec (Δ/2) – 1) + ρ Sec (Δ/2)

Tt = T+ ρ Sen (Δ/2) + k

Ee = E+ ρ Sec (Δ/2)

TL = Xc – Yc Cotg θe

Valores de X, Y Tablas, Programas

LONGITUD MÍNIMA DE LA CLOTOIDE

Cambio de dirección del vehículo.

Tres Criterios Transiciones del peralte.

Aparición de la fuerza centrifuga.

1. Le ≥ 30m

2. Le ≥ a x p x n

3. Le ≥ 0,0522 Vp ³Rc - 6,64 Vp e (Smirnoff)

Donde:

a = ancho del canal (m)

e = peralte (decimales)

n = 1S s: pendiente borde exterior calzada

n = 200

3 + 53 Vp

Le (m)

Vp = Velocidad de Proyecto (Km/h)

Rc = Radio de la curva (m)

TL = Xc – Yc Cotg θe

Tc = Yc

Senθe

NORMAS VENEZOLANAS

Longitud de transición para ancho de rotación de 1 canal

Rc Le

50 55

60 60

70 60

80 65

90 70

100 70

120 75

140 80

150 80

160 85

180 85

200 90

440 90

450 85

520 85

540 80

600 80

700 70

750 70

800 65

850 60

900 60

950 55

1000 55

1100 50

1200 45

1300 40

1400 35

1500 30

Ejemplo:

Carretera de dos canales x 3,60 m; Vp = 80 K/h ; Re = 200m; P= 10% rotación

del peralte por el eje.

1. ¿≥30m

2. ¿≥a x p xn

3. ¿≥0,0522 x 803

200−6,64 x80 x0,10=81

Ejemplo Nª 1

Datos:

Re = 250

Le= 90

∆ = 40º

Incógnitas:

a) K ,θe , Xc ,Yc ,CL,∅ e , (k , ρ ) , Tt , E , Lc ,Tc ,Tl

b) coordenadas cartesianas y polares de P1 a 45 m de Te.

Solución:

a)

Rc * le = k2

k=√250∗90=150

θe= lc2 Rc

= 902∗250

= 0,18 = 10,31 º = 10º 18´47”

Xc=lc(1− θe2

52!+ θe4

94 !+ θe6

136 !+…)

Xc=90 (1−0,182

52!+ 0,184

94 !+ 0,186

136 !+…)

Xc=90 (1−0,00324+0 ,00000486−0,00000000363 )=89 ,709

Yc=lc(θ3− θ3

7∗3!+ θ5

11∗5 !− θ7

15∗7 !+…)

Yc=90(0,183

− 0,183

7∗3 !+ 0,185

11∗5 !− 0,187

15∗7 !+…)

Yc=90¿

Yc=5 ,388

CL=√Xc2+Yc2=√ (89,709 )2+(5,388 )2

CL=89 ,871

∅ e=arctg YcXc

=arctg 5,38889,709

=3,437

Øe=¿03 º 26´13,58” k=Xc−ℜ senθe=89,709−250 sen10 º18 ´ 47,67

k=44 ,952

ρ=Yc−ℜ¿

P = 1.349

Tt=k+ ( ℜ+ ρ ) tan(∆2 )=44,952+ (250+1,349 ) tan( 402 )

Tt=136.435

E=Rc(sec(∆2 )−1)+ ρ sec(∆2 )=250( 1cos20

−1)+1,349( 1cos20 )

E=17 ,48

Lc=ℜ x δ

δ=∆−2θe=40−2∗10 º 18´ 47,67 = 19,373 = 19º 22´24.66”

Lc=250∗19,373( π180 )=84 ,533

TL=Xc−Yc cot θe=89,709−5,388 cot 10º 18 ´ 47,67

TL= 60,100

Tc= Ycsenθe

= 5,388sen10 º 18´ 47,67 ¿

Tc=30 ,096

b) Calcular coordenadas P1 a 45m TE

Θ = l12

2Rc lc = 452

2x 250 x 90=0,045=2,5783

Θ ¿20 34 ’ 41,92’ ’

X1=¿ ¿ l1( 1 - Ѳ2

52!+ Ѳ4

94 !− Ѳ6

13 x6 !+…¿

X1=¿ ¿ 45 (1 – (0,045)2

10 + (0,045)4

216 - (0,045)6

9360 +…)

X1=¿ 44,991¿

Y 1= l1 ( Ѳ3 - Ѳ3

7 x3 ! + Ѳ5

11 x5 ! - Ѳ7

15x 7 ! + … )

Y 1= 45 ( 0,0453

−(0,045)3

45 + (0,045)5

1320 - (0,045)7

75600 +…)

Y 1= 0,675

C1= √X12+Y 1

2 = √(44,991)2+(0,675)2

C1= 44,996

Φ= arc tang Y 1

X1 = arc tang (

0,67544,991 )

Φ= 0º 51’34,36”

USO DE LAS TABLAS

Para resolver un problema de clotoide necesitamos dos datos en un punto

cualquiera. Generalmente Ec.

Los datos pueden ser:

( le , Rc ¿ (p ,R c) (K , le) (K , Rc ) (K ,θe) (θe , le) (θe , Rc )(Cl ,Φe)

Para encontrar en la tabla el punto de semejanza entramos con un coeficiente

de forma:

- Un ángulo.

- Relación de dos elementos lineales.

En la fila del coeficiente de forma leemos todos los elementos. Para la clotoide

real los multiplicamos por el parámetro.

Ejemplo Nª 2

Datos:

Carretera de 2 canales x 360m

Vp= 80Km/h

∆= 30º20’38”

Re= 250

e= 9%

Incógnitas:

a) Determine le según normas.

b) θe ,K , X c , Y c ,Cl ,Φe, (K , p ) ,T t , E , lc

Solución:

a) Tabla ----------- Rc = 250 ------------ le= 90m

b) En Ec conocemos Le y Rc, por lo tanto tenemos el coeficiente de forma:

leR c

=¿ 90250 = 0,360000

Fila L = 0,600 (datos de la tabla para lR = 0,360000)

L = 0,600 x = 0,598059 K = 0,299676

Θ = 10º18’48” y = 0,035917 d = 0,008990

r = 1,666667 c = 0,599136 t = 0,604595

Φ = 3º26’12”

Calculamos el parámetro

K = √R x le = √250 x90 = 150

le = K x l 90 = K x 0,600 K = 150

Rc= K x r 250= K x 1, 66667 K = 150

Multiplicamos por 150 los datos de la tabla.

le = 150 x 0,600 = 90

Rc= 150 x 1,666667 = 250

θe= θ = 10º18’48”

Xc= 150 x 0,598059 = 89,709

Yc= 150 x 0,035917 = 5,388

Cl = 150 x 0,599136 = 89,870

Φe= Φ = 3º29’12”

K = 150 x 0, 29967 = 44,951

p = 150 x 0,008990 = 1,349

δ =∆-2θe = 30º20’38” – 2 (10º18’48”) = 9º43’02”

le= Rc δπ

180 = 42,399

T t= [ (Rc x p ) tg π2 ]+K = 113,109

E = Rc+ p

cos ∆2

−Rc=10,426