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UNIDAD 06 | CINEMÁTICA | FÍSICA Y QUÍMICA

CINEMÁTICA06

PROGRAMACIÓN DE AULA

CONTENIDOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE COMPETENCIAS CLAVE

1. 1.1. CMCT

1.2.

2. 2.1. CLCMCT

3. 3.1. CMCT

3.2.

4. 4.1. CSC

Consulta la versión digital de esta unidad

FÍSICA Y QUÍMICA | CINEMÁTICA | UNIDAD 06


5. 5.1. CMCT

6. 6.1. CMCT

7. 7.1. CMCT

8. 8.1. CMCT

8.2. CMCT

8.3. CMCT

56


PROGRAMACIÓN DE AULA


9. 9.1. CMCT

9.2. CMCT

9.3. CMCT

9.4. CMCT

9.5. CMCT

9.6. CMCTCD

(CL)(CMCT) (CD)

(AA) (CSC)(SIEE) (CEC)

57


U06 CINEMÁTICA112

02.2 Velocidad

r (m)

t (s)t2t1

x1

x2

r

v2

v1

v3

v4

r (m)

t (s)

Si se quiere saber la velocidad que lleva un móvil en un punto determinado de la trayecto-ria y en un instante concreto, se deberá medir la velocidad instantánea.

La velocidad instantánea, v , es la que lleva una partícula en un instante determinado de tiempo y se obtiene hallando el valor del límite del vector de posición, r , cuando t tiende a cero:

vtrlim

0t=

El límite se calcula mediante derivadas. Así, la velocidad instantánea, v , es la derivada del vector posición, r , con respecto al tiempo, t:

vtr

td

tx

tyx y

v vdd

d( i j )

dd i

dd

j i jx y= =+

= + = +

Velocidad instantánea

La velocidad media, vm , se define en función del desplazamiento realizado por un móvil

y el tiempo transcurrido para efectuarlo:

vtr

t tr r

–m

0

0

f

f –= =

La ecuación de la velocidad también se puede expresar en función de las componentes

cartesianas (vx, vy) del vector velocidad:

vtr

tx

tv v r x yi j i j siendo i jx ym == = + = + +y

El módulo del vector velocidad es:

v v vm2 2x y= +

El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento.

Velocidad media

El velocímetro marca la velocidad que lleva el automóvil en cada instante.

En un movimiento variado en el que se representa el espacio recorrido frente al tiempo empleado en recorrerlo, el módulo de la velocidad media es la relación entre el espacio total y el tiempo total.

La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria y tiene un valor diferente para cada instante. Si el movimiento es uniforme y la trayectoria es rectilínea, las velocidades media e instantánea coinciden.

U06 CINEMÁTICA116

a (m/s2)

t (s)

–a

a (m/s2)

t (s)

v (m/s)

t (s)

a < 0

v (m/s)

t (s)

v0

x (m)

t (s)

a < 0

x (m)

t (s)

x0

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado05

v

v2 v

a

a

a > 0

a < 0

v1

Gráfica a-t

La aceleración es constante, no varía en el tiempo. La gráfica es una línea recta paralela al eje de abscisas. Dicha recta se representará en la parte positiva del eje de ordenadas, si a > 0, y en la parte negativa, si a < 0.

Gráfica v-t

La representación gráfica de la ecuación de la velocidad es una recta cuya pendiente coincide con el valor de la aceleración.

La velocidad inicial puede ser nula o positiva.

Si a > 0, v aumenta; el movimiento es de aceleración.

Si a < 0, v disminuye; el movimiento es de desaceleración (frenado).

Gráfica x-t

La representación gráfica de la ecuación de posición es una parábola.

Si x0 = 0, la curva parte del origen de coordenadas; si x0 ≠ 0, corta el eje de ordenadas.

Si a < 0, la v del móvil disminuye y el espacio recorrido tiene que seguir aumentando, aunque cada vez menos.

Gráficas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Ecuación de posición

x = x0 + v0t + 21 at2

Ecuación de velocidad

v = v0 + atEl vector aceleración, a, tiene signo positivo cuando el valor de v aumenta con respecto a la velocidad inicial, v0 ; por tanto, la aceleración y la velocidad tienen el mismo sentido. En caso contrario, la aceleración tiene signo negativo.

U06 CINEMÁTICA120

Movimiento circular uniformemente acelerado

cte ≠ 0dd ≠ 0 ≠ ctea a

tv vt t= =

dd

dd( )

dda

tv

tr

rt

r a rt t= = = = =

La variación del ángulo de giro en un movi-miento circular es el equivalente al espacio recorrido en un movimiento rectilíneo.

El espacio angular, , se mide en radianes (rad) y los grados angulares se relacionan con los radianes mediante esta expresión:

360º = 2 rad

Por tanto:

N.º de radianes360º

grados 2·=

RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y RADIANES

La aceleración tangencial tiene la misma dirección que la velocidad lineal que lleva el móvil. La normal o centrípeta se dirige hacia el centro de la circunferencia.

rar ar

at

atvv

07

Relación entre magnitudes lineales y angulares

Movimiento rectilíneo

Movimiento circular

Relación entre magnitudes

Espacio x (m) (rad) x = r

Velocidad v (m/s) (rad/s) v = r

Aceleración a (m/s2) (rad/s2) at = r

EJEMPLO

Una rueda de 40 cm de radio que gira a 180 rpm se detiene por la acción constante de unos frenos en 5 s. Calcula la aceleración angular de frenado.

La velocidad angular se obtiene de forma directa teniendo en cuenta que una vuelta es 2 rad y que 1 min son 60 s:

180 rpm 180min

vueltas1 vuelta2

60 s1 min 18,85 rad srad· ·π 1–= = =

La aceleración angular se calcula aplicando esta expresión:

5 s0 rad/s 18,85 rad/st t

– –0

0

–2

= + = =

–3,77 rad s=

Aceleración normal

= 0 + 0t + 21 t 2


= 0 + t

01 Elementos fundamentales del movimiento

01.1 Móvil o punto material

01.2 Sistema de referencia

CINEMÁTICA06

Cuerpo en movimiento.

P está localizado en el sistema de coordenadas por (x1 , y1).

Y

X0

P

x1

y1

U06 CINEMÁTICA114

Componentes intrínsecas de la aceleración

a

a

a

at

at

at

A

B

C

an

an

an

aat

ut

un an

Produce cambios en el módulo de la ve-locidad. Su módulo nos indica la varia-ción de la velocidad con respecto al tiempo. Su dirección es tangente a la trayectoria en cada punto, al igual que el vector velocidad. Su sentido coincide con el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta, y es contrario, si el módulo de la velocidad disminuye:

dd uatv

t t=

Aparece cuando los movimientos son curvilíneos y produce cambios en la di-rección de la velocidad sin afectar a su módulo. Su módulo es el cociente del cuadrado de la velocidad instantánea y el radio de curvatura, r. Su dirección es perpendicular a la trayectoria y su senti-do, hacia el centro de la curva:

ua vrn

2

n=

Aceleración tangencial Aceleración normal o centrípeta

La suma vectorial de ambas componentes es la aceleración instantánea que lleva el móvil en cada punto de la trayectoria:

dd u ua a a a tv v

rt n t

2

n= + = +

Su módulo es:

dda a tv

rva t

2n2

2 2 2

= = ++

EJEMPLO

El vector de posición de un móvil es (2 5) ir t t–3= + m, siendo t, el tiempo (s). Calcula:

a. La posición y la velocidad en el instante 1 s.

Se sustituye t = 1 s en la ecuación de posición:

(2 5) i (2 · 1 1 5) i 6 i mr t t– –3 3= + = + =

A partir de la ecuación de posición, se calcula la velocidad:

dd

dd (2 5) i (6 1) i m/sv

tr

tt t t– –3

2= = + = i 1sS t = 5 i m/sv = 5 m sv 1–=

a. Las componentes intrínsecas de la aceleración para t = 1 s, siendo r = 2 m.

Las expresiones de la aceleración tangencial y normal son:

dd (12 ) i m s (12 ·1) i m s 12 i m s a

2 m5 m s

12m satv t a

rv

t2

t2 2

t

n

2 2 1

2

–2

– – –

–

–= = = = =

12,5 m sa = = =

Movimiento circular. En cada punto de la trayectoria el vector velocidad cambia de dirección.

La composición de ya at n constituye la aceleración del cuerpo. La aceleración tangencial puede ser positiva o negativa, según esté dirigida en el mismo sentido de v o en sentido contrario, mientras que la aceleración normal siempre es positiva.

Componentes de la aceleración.

Los vectores yu ut n son vectores unitarios en las direcciones tangente y perpendicular a la trayectoria de y aat n , respectivamente, y sus módulos son la unidad.

RECUERDA

U06 CINEMÁTICA118

05.1 Caída libre de los cuerpos y lanzamiento vertical

gg

9,8 m/sa g 2=g

g

El campo gravitatorio terrestre, g , es una magnitud vectorial responsable de que un cuerpo sea atraído por la Tierra en cada uno de los puntos del espacio.

En la superficie terrestre el campo gravita-torio tiene un valor de 9,8 m/s2. Todos loscuerpos caen sobre la superficie con la mis-ma aceleración, independientemente de sumasa.

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

EJEMPLO

Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de tenis con una velocidad de 25 m/s.¿Qué altura máxima alcanzará? ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se lanza hasta queregresa al suelo?

El movimiento se puede descomponer en dos partes: ascenso y descenso.

En el ascenso, al llegar a la altura máxima la velocidad final se hace cero. Para calcular la altura máxima, se necesita calcular, previamente, el tiempo que se tarda en alcanzarla:

0 25 , · 2,55 s

21 25 m s · 2,55 s 9,8 m s · 0,5 · 2,55 s 31,89 m

v v gt t

h h v t gt h–

01 29 8

0 0v 2 125 m s 2 2· 0 5 · 2 55 2

9 8

–2 55 s 9 8 m s11

= +v0

= +h0 + =21 gt2

0 25 m s 9,8 m s t29 8 m s9 8 m s25 m s 9 8 m s ·29 8 m s

El tiempo en el ascenso coincide con el del descenso; por tanto:

ttotalt = 2tascenso = 2 · 2,55 s = 5,1 s

LANZAMIENTO VERTICAL

g

m/s–9,8 m 2

0 = 25 m/s

21

+g

v0 = 0

v ≠ 0

x0 = 0

MOVIMIENTO DESCENDENTE

21

MOVIMIENTO ASCENDENTE

21


(movimiento descendente)

21


–g

v = 0

v0 ≠ 0

+g

v0 ≠ 0

v ≠ 0

v0 = 0 m/s

g = 9,8 m/s2

113

02.3 Aceleración

A B

C D

Fam

v (m/s)

t (s)

t1 t2 t3

a1

a2

a3

v (m/s)

t (s)

La aceleración media, am , es el cambio de la velocidad de un móvil en un intervalo con-creto de tiempo:

xat t t

i jv vm

y= = +v

También se puede definir en función de las coordenadas cartesianas (ax, ay ) de la aceleración:

xat t t

i j a i a jv vm

yx y= = + = +

v

El módulo de la aceleración es:

a a am2 2x y= +

La aceleración media es un vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector variación de velocidad.

Aceleración media

Se puede medir la aceleración en intervalos de tiempo infinitamente pequeños, por lo que se define el vector aceleración instantánea, o simplemente vector aceleración, a, de la forma:

at t t t

lim i j i jvdd

d da a

0t

x yx y= = = + = +d dv v v

Aceleración instantánea

EJEMPLO

La velocidad de un móvil en un movimiento rectilíneo es (2 3 5) iv t t–3= + m/s. Calcula:

a. La aceleración media entre 3 s y 7 s.

En la ecuación de la velocidad se sustituye t por 3 s y por 7 s, respectivamente:

(3 s) (2 · 3 3 · 3 5) i 50 i m/s

i

v –3

3

= + =

(7 s) (2 · 7 3 · 7 5) 670 i m/sv –= + =

a7 3

(7) (3) i4 s

670 50 i m s 155 i m sv v–– –

m1 2– –= = =

b. La aceleración en un instante, t.

Para el cálculo de la aceleración instantánea:

yxa dd

dd

i dd

j d(2 3 5)

itv

tv

tv

tt td –3

= = + =+

a (6 3) i m st –2 2–=

Un instante antes de iniciar la carrera, el corredor está en reposo, v = 0. La velocidad durante la carrera no es siempre la misma. Para medir los cambios de velocidad se utiliza la aceleración. ¿Qué ocurre con la velocidad y la aceleración al pasar la meta?

Se observa la variación de la velocidad con respecto del tiempo. El vector aceleración instantánea es tangente en cada punto de la curva obtenida al representar la velocidad en cada instante.

Se observan diferentes tramos de variación de velocidades. La aceleración media de dicho movimiento se representa con el vector que une los estados inicial y final.

117

EJEMPLO 1

Un autobús sale de la ciudad A y llega a otra B a las seis de la tarde. Si hubiera viajado a 15 m/s, habría llegado a las siete y si el viaje lo hubiera realizado a 20 m/s, habría llegado a las cinco. ¿Qué distancia hay entre ambas ciudades? ¿A qué hora salió de la ciudad A? (Supón que la trayectoria entre las ciudades es rectilínea y las velocidades son siempre uniformes.)

Se sabe que son MRU:

Si 15 m sv11–= 15 m s · ( 60 · 60) s 15 54000 mx v t t t1 1

1–= = + = +

Si 20 m sv21–= 20 m s ( 60 60) s 20 72 000 mx v t t t· – · –2 2

1–= = =

Igualando ambas expresiones se obtiene:

15t + 54 000 = 20t – 72 000 t = 25 200 s = 7 h

Es decir, el autobús salió de A siete horas antes de la llegada. Para calcular la distancia entre A y B se sustituye el valor del t (s) en cualquiera de las ecuaciones de partida:

15 m s · ( 60 · 60) s 15 m s · (25 200 60 · 60) s 432000 mx v t t1 11 1– –= = + = + =

EJEMPLO 2

La distancia entre dos puntos, A y B, es de 10 km. Dos móviles salen de forma simultá-nea hacia el punto C, situado sobre la recta AB y más cerca del punto B que de A. El que sale del punto A va a 30 m/s y el que sale de B, a 20 m/s. Calcula el tiempo que tarda el móvil más rápido en dar alcance al más lento y el espacio que recorren ambos.

En este caso, los movimientos descritos son rectilíneos y uniformes.

30 m s

20 m s ·

x v t x t

x v t x t

·A A A1

B B B1

A B

–

–

= =

= =

10 000x x= +

De estas tres ecuaciones se obtiene:

xA = 30 000 m xB = 20 000 m t = 1 000 s

EJEMPLO 3

La distancia entre dos puntos, A y B, es de 10 km. Dos móviles salen de forma simultá-nea hacia el punto C, situado sobre la recta AB y más cerca del punto B que de A. El que sale de A parte del reposo con una una aceleración constante de 0,5 m/s2 y el que sale del punto B va a 25 m/s. Calcula el tiempo que tarda el móvil más rápido en dar alcance al más lento y el espacio que recorren ambos.

El móvil que parte de A tiene MRUA (v0 = 0) y el que sale de B, MRU. Como ambos móviles se encontrarán en el mismo instante, se sustituye en la ecuación de posición de A y B:

21

21 0,5 m s

25 m s ·

x v t at t

x v t x t

· ·A 0A2 2 2

B B B

A B

1

–

–

= + =

= =

10 000x x= +

De estas tres ecuaciones se obtiene:

21 0,5 16 404 m 10 000

256,16 s

6 404 m

t

x t x x· –A2

B A

=

= = = =

Burgos

León

Benavente

Zamora

Valladolid

Palencia

Segovia

Ávila

Arandade Duero

E-80

E-5 E-

E-90E-803

AP-6A

B

vA

CA B

vA vB

Relación entre velocidad, espacio recorrido y aceleración

Si se elimina el tiempo, en las ecuaciones de velocidad y de posición que rigen el MRUA:

v = v0 + at

x = x0 + v0t + 21 at 2

Se obtiene así una ecuación que resultará útil en la resolución de ejercicios; se puede medir la velocidad sin conocer el tiempo:

v 2 = v02 + 2ax

En un MRU la velocidad es constante.

121

Ejemplo de composición de movimientos: el movimiento del río y el de la barca.

vb

vc

vreal

orilla A

orilla B

El vector velocidad viene dado por su posición en el eje X e Y :

v v v

v v v )( ) (

i j

cos i sen jx yb b b

b b b

= +

+=

vbx

vbvby

vc

orilla A

orilla B

Composición de movimientos

vb vc

iv vc c=

jv vb b=

i jv v vreal c b= +

v v vc2

b2= +

( ) iv vc bx+

jvby

v

( ) i jv v v vc b bx y= + +

=

cos i v sen j

cos sen

v v v

v v v v

b c b

b c2

b2

x y

x y

= + +

+ +

08

EJEMPLO

Por un río de 100 m de ancho navega una barca a 20 m/s. Si la velocidad de la corriente del río es de 5 m/s, calcula la velocidad de la barca respecto a la orilla en estos casos:

a. La barca inicia su movimiento de forma perpendicular a la corriente del río.

cos sen

(20 m s cos 90 5 m s ) (20 m s sen 90 )

(20 m s 0 5 m s ) (20 m s 1)

v v v v

v

· ·

· ·

0 b r2

b2

1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

0–1

– – –

– – –

= + + =

+ +

+ +

=

=

20,61 m s=

b. La barca inicia su movimiento formando un ángulo de 30º con la corriente del río.

Se aplica la misma fórmula del caso anterior; ahora el ángulo es de 30º:

cos senv v v v0 b r2

b2= + +

Para = 30º:

(20 m s 30 5 m s ) (20 m s sen 30 )v

v

· ·01 1 2 1 2

0–1

– – –= + +

24, 46 m s=

c. ¿Cuántos metros se habrá desviado la barca cuando se en-cuentre en la otra orilla en el caso a)?

La distancia horizontal recorrida se calcula mediante el des-plazamiento horizontal:

ty vy=

100 m 20 5 st t·= =m s 2–

Por tanto:

x = vxt x = 5 m/s · 5 s x = 25 m

111

Y

X0

A B

ABrA

rB

AB

02 Magnitudes del movimiento

02.1 Posición, desplazamiento, trayectoria

y espacio recorrido

rA

rB

r

i jr x y= +

r rB rA

ABr r r–B A=

r

Vector de posición de los puntos A y B, r r,A B : es aquel cuyo origen se halla siempre en el origen del sistema de referencia y cuyo extremo coincide con el punto.

Vector desplazamiento,AB : es el que une dos posiciones diferentes, en este caso, A y B, es decir, la variación de la posición.

Trayectoria, AB: es el camino seguido por el móvil, en este caso, la curva descrita por el avión en su movimiento. La longitud de dicha trayectoria es lo que se conoce como espacio recorrido, s, por el móvil y, por tanto, se trata de un escalar.

el l punto. y y

Y

y

BB

115

Gráfica x-t

La gráfica es una línea recta cuya pendiente coincide con el valor de la velocidad (tg = v, siendo el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas) y corta el eje de ordenadas en el punto x0.

Si v > 0, el móvil se aleja de la posición inicial.

Si v < 0, el móvil se acerca (retrocede) a la posición inicial.

Gráfica v-t

La gráfica es una línea recta paralela al eje de abscisas en un punto que coincide con el valor de la velocidad, v.

Si v > 0, el móvil se mueve en sentido positivo.

Si v < 0, el móvil se mueve en sentido contrario.

Tipos de movimiento03

Movimiento rectilíneo uniforme

v tx x

x x vt– 0

0= = +

04

TIPOS DE MOVIMIENTOS

RECTILÍNEO Trayectoria recta

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU),

(velocidad constante)

Movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado (MRUA), (aceleración constante)

ARMÓNICO Trayectoria recta/curva

Movimiento periódico (velocidad

y aceleración no constantes)

CIRCULAR Trayectoria curva

Movimiento circular uniforme (MCU),

(velocidad angular constante)

Movimiento circular uniformemente acelerado

(MCUA), (aceleración angular constante)

v

v (m/s)

t (s)

v (m/s)

–v

t (s)a (m/s2)

t (s)

x0

x (m)

t (s)

x0

La luz. La caída de un cuerpo. Las agujas de un reloj. La variación lineal de la velocidad de un coche.

Un péndulo.

Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme

119

Movimiento circular uniforme

t– 0=

06

Movimiento circular uniforme.

rA

rA

rB

rB

vA2

vA1

vB2

vB1

La velocidad angular, , es un vector per-pendicular al plano de la circunferencia en-gendrada por v y r y cuyo sentido viene dado por la regla del sacacorchos:

sen2

v r v r r= = =

REGLA DEL SACACORCHOS

Un radián es la unidad del ángulo plano equivalente a uno cuyo arco tiene igual lon-gitud que el radio.

RECUERDA

v

r vr

rradián

longitud = r

Aceleración normal

an = cte ≠ 0 an = rv2

= cte

Aceleración tangencial

at = 0 at = ddtv = 0 v = cte

La frecuencia, v, es el número de vueltas (oscilaciones) por unidad de tiempo. La unidad de medida es el s–1.

El periodo, T, es el tiempo empleado en realizar una vuelta completa. Se mide en segun-dos (s).

La relación entre el periodo y la frecuencia:

1T=

Como T es el tiempo que un móvil tarda en recorrer una vuelta completa, es decir, 2 rad, la relación entre el periodo, T, y la velocidad angular, , se expresa:

2 2T

v= =

Características del movimiento circular uniforme

EJEMPLO

Un ciclista se mueve en línea recta con una velocidad constante de 45 km/h. Si las ruedas tienen un diámetro de 622 mm, calcula la frecuencia, el periodo y la velocidad angular.

Se expresan las unidades de la velocidad en m/s: 12,5 m/s. En un segundo las ruedas avanzan 12,5 m, por lo que las vueltas que da una rueda en en segundo, es:

longitud de la circunferenciaespacio recorrido en1s

2 20,62

m

12,5 m s 6,42 s·

1–1

–

= = =

1 ; 2 20,16 s 40,32 rad sT v vT

–1= = = = =

110-131 DESARROLLO DE LA UNIDAD

58


U06 CINEMÁTICA124

EJEMPLO 1

Un bombero situado en la azotea de un edificio, a una altura de 15 m, lanza agua horizontalmente con una velocidad de 10 m/s. Calcula:

a. La velocidad de la caída.

b. El tiempo que tarda en llegar el agua al suelo.

c. La distancia horizontal que alcanzará medida desde la base del edificio.

a. La velocidad v0 = cte; por tanto, el movimiento horizontal es un MRU, y el vertical, un MRUA, donde el valor de la aceleración es el de la gravedad, g.

Se calcula en primer lugar la velocidad de la caída (MRUA):

0; 9,8 m sv a g02

y–= = =

La velocidad vertical con la que llega al suelo es:

2 2v v gh v gh–202

y y y= =

2 9,8sm 15 m 17,15 m sv · ·2

1y

–= =

Esta velocidad expresada de forma vectorial es:

(10 17,15 ) m sv i – j 1–=

Su módulo es:

10sm 17,15

sm 19,85 m sv 2

2

22

2

2–1= + =

b. El tiempo que está descendiendo es:

9,8sm

17,16 sm 0 s

m1,75 sv v gt t g

v v– –0

0

2

y yy y= + = = =

c. El desplazamiento horizontal en un MRU es:

10 m s 1,75 s 17,5 mx v t ·1x

–= = =

EJEMPLO 2

Continuamos con el ejercicio anterior. Ahora, el bombero lan-za agua desde la misma altura y a la misma velocidad de sali-da con un ángulo de 30º sobre la horizontal. Calcula:

a. La altura máxima que alcanza el chorro.

b. La velocidad con la que llega al suelo.

c. El tiempo que tarda en llegar el agua al suelo.

d. La distancia horizontal que alcanzará.

h =15 m

x

v0 = 10 m/s

h =

15

m

x

y

H =

h+

y

v 0 = 10 m/s

v0x

v0y30º

El movimiento se divide en tres partes: ascenso (MRUA), des-censo (MRUA) y desplazamiento horizontal (MRU).

cos 30º 8,66 m s ; sen 30º 5 m sv v v v0 01

0 01

x y– –= = = =

a. En el ascenso:

00,51st g

v––

1oy= =

2 2 · ( 9,8)m s(0 5 )m s

1,28 my gv v–

––0

2 2

2 2

2 2 2y y

–

–

= = =

H = 15 m + 1,28 m = 16,28 m

b. En el descenso:

2 17,86 m sv gH 1y

–= =

El vector velocidad es:

(8,66 17,86 ) m sv v vi j i – j 1x y

–= + =

8,66sm 17,86

sm 19,85 m sv 2

2

22

2

21–= + =

(Nota: observa que el módulo de la velocidad coincide con el del ejercicio anterior. Esto es consecuencia de que la energía se conserva y que no se considera el rozamiento, como se verá en unidades posteriores.)

c. El tiempo que tarda en llegar el agua al suelo es el tiempo del ascenso más el descenso como t2 = 1,82 s:

ttotal = t1 + t2 = 0,51 s + 1,82 s = 2,33 s

d. La distancia de alcance es:

8,66 m s 2,33 s 20,18 mx v t ·01

x–= = =

U06 CINEMÁTICA128

Ecuación de aceleración

dd

dd cos( )a

tv

tA t= = +

sen( )a A t– 2= +

sen( ) sen( )tx A t Ax= + + =

sen( )a A t

a A Ax

–

–

2

2

= +

=

a x– 2=

Valores máximos y nulos de x, v y a

Posición, x

sen ( )x A t= +

x = 0 en el punto de equilibrio

xmáx en los extremos (x = –A, x = A)

Velocidad, v

( )cosv A t = +

v A x–2 2=vmáx en x = 0

v = 0 en (x = –A, x = A)

Aceleración, a

sen ( )ta A– 2= +

a x– 2=

a = 0 en x = 0

amáx en (x = –A, x = A)

a (m/s2)

t (s)0

–A 2

A 2

4 23 4

ω

ω

TTTT

Ax (m)

0

–A

( t + )

2 23

v (m/s)

t (s)0

A

–A

4 23 4

ω

ω

TTT T

3

a (m/s2)

t (s)TTTT0

–A 2

A 2

4 2 4

ω

ω

Representación gráfica de la aceleración en función del tiempo.

U06 CINEMÁTICA122

08.1 Lanzamiento horizontal

i

21

i jv v v–x y=

Lanzamiento horizontal.

v0x

v0x

v0x

v1

v

h

Y

xmáxX

vy = gt1

vy = gt

Al lanzarse al agua, la nadadora describe la mitad de una parábola.

h

EJEMPLO

Una avioneta vuela horizontalmente a una velocidad de 90 m/s y lanza un paquete desde una altura de 200 m. Calcula:

a. El tiempo que tardará el paquete en llegar al suelo y la velo-cidad del impacto.

En el eje vertical: v0y = 0 m/s; a = g = 9,8 m/s2; h = 200 m

El tiempo que tarda en llegar al suelo se obtiene de:

h = h0 + v0t + 21 gt2

9,8 m/s2 200 m 6,39 st ·

2= =

La velocidad, vy , en el momento del impacto es:

0 m s 9,8 m s 6,39 s 62,62m sv v gt ·01 2 –1

y y– –= + = + =

La velocidad total será una composición vectorial:

(90 i 62,62 ) m sjv v v – 1x y

–= + =

El módulo de la velocidad es:

(90 m ) (62,62 m s )s 117,2 m sv 2 1 21 1–– –= + =

b. La distancia que recorrerá el paquete desde el lanzamiento hasta el punto de impacto.

En eje horizontal: v0x = vx = 90 m s–1

Como el tiempo que el objeto tarda en caer es el mismo que el de desplazarse horizontalmente, el alcance será:

x = vxt = 90 m s–1 · 6,39 s = 575,1 m

U06 CINEMÁTICA126


–A A

P1

P’1

P2

P’2

P0

P’0

t1

t2

Ax1

P1

r = A

P’1

t1

A

X

0 2

–A

( t + )

232

Relación entre la posición del móvil y el tiempo.

Los argumentos (ángulos) tienen que estar expresados en radianes.

es la velocidad angular, pulsación o frecuencia angular. Su unidad es el ra-dián por segundo, rad/s.

( t + ) es la fase. Su unidad es el ra-dián, rad.

es el desfase inicial, o simplemente desfase. Su unidad es el radián, rad.

RECUERDA

Representación gráfica de la ecuación general de movimiento.

125

Movimientos periódicos, oscilatorios y vibratorios

09

09.1 Cinemática del movimiento armónico simple

Valores medidos por Galileo al observar la oscilación de la lámpara.

x = –Av = 0

amáx

x = 0vmáx

a = 0

x = Av = 0

amáx

Ejemplos de movimientos periódicos, oscilatorios y vibratorios.

129

EJEMPLO 1

Una partícula oscila armónicamente en una trayectoria rectilínea. La velocidad máxima y la aceleración máxima de dicho movimiento son de 0,5 m s–1 y 0,75 m s–2, respectiva-mente. Para t = 0, x = 0, calcula:

a. El periodo, la frecuencia y la amplitud.

Las expresiones de la velocidad máxima y de la aceleración máxima que permitirán conocer la frecuencia y el periodo son:

yv A a Amáx2

máx ==

Si se divide ambas, se obtiene el valor de la velocidad angular:

10,75 m s0,5 m s 1 0,67 s rad 1 1,5 rad s

vav

AA

amáx2

máx

máx2

11 1máx

–

–– –= = = = =

Para calcular el periodo y la frecuencia:

2 21,5 rad s

2 rad 14,19 s

14,19 s 0,24 sT

T fT1

–1–= = = = = = =

La amplitud, una vez conocida la pulsación, , se obtiene a partir de la expresión de la velocidad máxima o de la aceleración máxima:

1,5 rad s0,5 m s 0,33 mA

v1

1máx

–

–

= = =

b. La ecuación del movimiento.

Para calcular el desfase hay que tener en cuenta que para t = 0, x = 0:

sen ( ) 0,33 m sen (1,5 ) (0 s) 0 m 0 radx A t t x= + = + = =

Por lo que la ecuación de la elongación es:

x = 0,33 sen (1,5t) m

EJEMPLO 2

Un péndulo de 2 m de longitud oscila 2,84 s armónicamente cuando se ha desviado 10º de la vertical. Se comienza a tener en cuenta la oscilación cuando x = 0,2 m. Escribe la ecuación del movimiento. Calcula la aceleración máxima y representa gráficamente la ecuación de la posición.

Como el periodo de un péndulo simple es 2,84 s, la pulsación del movimiento es: 2,21 rad s–1

En el dibujo se observa un triángulo rectángulo, de ahí se obtiene: A = 2 sen 10º = 0,35 m. Los 10º hay que pasarlos a radianes; por tanto, son: (5 /9) rad

La ecuación de posición es:

x = A sen ( t + ) = 0,35 sen 9

5 t +

Para determinar el desfase, x (t = 0) = 0,2 m, en la ecuación del movimiento, se sustituyen estos valores y se obtiene: = 0,61 rad

Luego, la ecuación del movimiento es: x = 0,35 sen 9

5 0,61t +

La aceleración máxima es: amáx = A 2 = 0,35 · 9

5 2

= 1,07 m s–1

La función elongación se representa en la gráfica de la derecha.

10°

A

A = 2sen 10° = 0,35 m

15 cm

0

0,2

0,55 1,45

2,35

3,25 4,15

–0,35

0,35x (m)

t (s)

123

08.2 Lanzamiento parabólico

La componente vertical de la veloci-dad inicial es:

v0y = v0 sen

La velocidad final es nula: vy = 0

La aceleración es gy = –9,8 m/s2

La altura máxima alcanzada:

vy2 = v0y

2 + 2gh

El tiempo que tarda el móvil en alcan-zar la altura máxima se obtiene de:

vy = v0y + gt

La velocidad inicial es nula:

v0y = 0

La aceleración es: g = 9,8 m/s2

La altura de descenso coincide con la de la fase de ascenso, h.

La velocidad final es:

vy2 = v0y

2 + 2gh

El tiempo que el móvil tarda en subir coincide con el que emplea en des-cender.

Fase de ascenso

Fase de descenso

La velocidad es constante y coincide con la componente horizontal de la velocidad inicial:

vx = cte v0x = v0 cos

El tiempo que tarda el móvil en el des-plazamiento horizontal es el doble que el que utiliza en una de sus fases: tT = 2t

El alcance es:

x = v0y + ttotal

Fase de desplazamiento horizontal

v0

vx = v0x

v = v0x

vx = v0x

vx = v0x

v0x = v0cos

v 0y =

v0s

en

vy = –v0y

alcance = xmáx

hmáx

y vy = 0vy

vy

v

v

v

EJEMPLO

Se lanza desde el suelo un objeto con una velocidad de 15 m/s y una inclinación con respecto a la horizontal de 45º. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo, el alcance y la altura máxima.

Se descompone la velocidad inicial según los ejes de coordena-das; se toma como origen del sistema de referencia el punto de lanzamiento (observa la gráfica):

cos 45 i 15 m s · cos 45 i 10,6 i m sv0 01 1

0 01 1

x

y

– –

– –

= = =v

sen 45 j 15 m s · sen 45 j 10,6 j m sv v= = =

La velocidad inicial es v0y y la final, 0.

La aceleración es –g.

El tiempo que tarda en subir hasta la altura máxima es:

9,8 m s(0 10,6) m 1,08 ssv v gt t g

v v–––

0 1 10

2

total 1 2

1

y yy y

–

–

= + = = =

1,08 s 1,08 s 2,16 st t t= + = + =

La altura máxima alcanzada es:

22

2 ( 9,8) m s(0 9,64 ) m s

v v gh hg

v v–

–

· ––

202

202

2

2 2 2 2

y yy y

–

–

= =

5,73 mh = =

Como v0x = cte, el alcance es:

x = voxt = 10,6 m/s · 2,16 s = 22,9 m

t1

t2

v0x

v0x

v = v0x

v0x

v0x

hmáx

45º

xmáx

vy

vy

v

v

vy

vy

vy = 0

v

v

Fases de ascenso y descenso (MRUA)

Se estudian como un lanzamiento vertical, con aceleración negativa en

la subida y positiva en la bajada.

Fase del desplazamiento horizontal (MRU)

La velocidad es constante y la aceleración es cero.

127

A

v (m/s)

t (s)0

–A

4 23 4

ω

ω

TTTT


dd

dd sen( ) cos ( )v

tx

tA t A t = = + = +

cos ( )v A t= +

sen cos 1 cos 1 sen–2 2 2+ = =

cos( ) 1 sen ( )v A t v A t– 2= + = +

sen( ) sen ( )x A t t Ax= + + =

sen ( )tAx2

2

2+ =

1 sen ( ) 1v A t AAx A

AA x–– –2

2

2

2

2 2= + = =

v A x–2 2=

EJEMPLO

La ecuación de un móvil que describe un MAS, expresada en unidades internacionales, es:

5 sen 7 6x t= +

a. ¿Cuáles son la amplitud, la frecuencia, el periodo y la pulsa-ción de dicho movimiento?

Se compara la ecuación dada con la ecuación general de posi-ción para obtener los datos:

x = A sen ( t + )

La amplitud, A = 5 m

La pulsación o velocidad angular, = 7 rad/s

Como la relación entre la velocidad y la frecuencia es: = 2 f

Se despeja la frecuencia:

2 27

radrad/s

27 sf –1= = =

El periodo, T:

1 0,29 sTf

= =

b. ¿Cuál es la posición del móvil inicialmente? ¿Y a los 0,2 s?

La posición inicial cuando t = 0 es:

0 s rad· +(0 s) 5 m · sen 7 srad

6 2,5 mx = =

La posición para t = 0,2 s es:

(0,2 s) 5 m · sen 7 0 26s

rad , s rad –4,89 mx ·= + =

c. Calcula la velocidad del móvil para t = 0,3 s.

Se calcula la velocidad en función del tiempo a partir de la si-guiente expresión:

cos·

cos ( )

7 0 36s

rads

rad , s rad

A tv

·

= +

+ 5 m 7v ·=

73 57 m/s,v =

Representación gráfica de la velocidad en función del tiempo.

122-129 DESARROLLO DE LA UNIDAD

Complementarios

C-06-01. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

C-06-02. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

C-06-03. Caída libre

C-06-04. Movimiento circular

C-06-05. Lanzamiento horizontal

C-06-06. Lanzamiento parabólico

C-06-07. Vocabulario científico

E-06-01. Test científico

RECURSOS

Páginas web

https://www.youtube.com/watch?v=D-d-vQLtCFs

59


130-131 ACTIVIDADESU06 CINEMÁTICA130

ELABORA TU PROYECTO

ELABORA TU ORGANIZADOR VISUAL

CINEMÁTICA

Sistemas de referencia MagnitudesTipos

de movimientos

SEGURIDAD VIALPautas de presentación

del informe científico

1 Definición del problema científico: formulación concreta del interrogante científico propuesto. Para contestar las preguntas anteriores y en la elaboración de la presentación, se pueden utilizar fotografías, esquemas y gráficos estadísticos que consideres oportunos para completar la explicación.

2 Datos: relación de los datos de interés necesarios para resolver el problema científico.

3 Conclusión: exposición de los resultados que responden al interrogante científico.

4 Bibliografía: listado de las fuentes de información consultadas.

Recursos

Busca información en diferentes recursos, como libros, revistas científicas, páginas web, vídeos…

La página de web de tráfico te puede resultar útil:

http://revista.dgt.es/es/Las inclemencias influyen

en la seguridad vial.

ELABORA TU PROYECTO

131

ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

Puede haber más de una respuesta correcta; razona las respuestas.

Robin Hood está apuntando con su arco a una manzana madura que ve a su misma altura. En el momento de soltar la flecha, la manzana se desprende del árbol:

a. La flecha pasa por encima de la manzana.

b. La alcanza.

c. No la alcanza.

d. La flecha pasa por debajo de la manzana.

Dos objetos se lanzan desde una azotea con un retardo de 1 s:

a. Siempre estarán a la misma distancia en su caída.

b. La distancia será cada vez mayor.

c. Su separación temporal siempre será de 1 s.

d. No tengo datos suficientes para responder; me falta conocer la masa de los objetos.

Si la gráfica v-t de un movimiento es una recta paralela al eje de abscisas, dicha gráfica corresponde a:

a. Un MRUA.

b. Un MRU.

c. Un MCU.

d. Un movimiento vertical y ascendente.

Dos puntos de una rueda de automóvil situados uno en el extremo de la llanta y el otro en el extremo del neumático:

a. Tienen la misma velocidad lineal y diferente velocidad angular.

b. La misma velocidad angular y diferente velocidad lineal.

c. Las mismas velocidades lineal y angular.

d. Tienen diferentes ambas velocidades.

En un MRUA:

a. La velocidad media es mayor que la instantánea.

b. Las velocidades media e instantánea coinciden.

c. La velocidad instantánea es siempre mayor que la velocidad media.

d. Depende del intervalo de tiempos.

El desplazamiento coincide con la distancia recorrida por un cuerpo:

a. Cierto.

b. Falso.

c. A veces.

d. Si no hay cambios de sentido.

La pendiente de la recta de una gráfica velocidad-tiempo de un MRUA coincide con:

a. El espacio recorrido.

b. La velocidad instantánea.

c. La aceleración del móvil.

d. Ninguna de las anteriores.

En un lanzamiento parabólico en el que el inicio y el final están a la misma altura:

a. El tiempo de subida y el de bajada coinciden.

b. El tiempo de subida es mayor que el de bajada.

c. El tiempo de subida y la velocidad inicial son exactamente iguales que el tiempo de bajada y la velocidad final.


Se lanzan simultáneamente desde la misma altura dos cuerpos de masa diferentes y con la misma velocidad:

a. Van siempre a la par y llegan a la vez.

b. El cuerpo con más masa llega antes.

c. El cuerpo más ligero llega antes.

d. No hay datos suficientes para contestar.

Imagina que se practica un agujero diametral que atraviesa la Tierra. Si se lanza una mochila por el agujero y no se consideran los rozamientos:

a. Realiza un MRU, entrando por un lado y saliendo por el otro.

b. Realiza un MRUA, aumentando su velocidad de manera constante hasta que sale por el lado opuesto.

c. Realiza un MAS, de manera que aumenta su velocidad hasta el centro para después reducirla hasta llegar al extremo opuesto y entonces volver a caer.


Cuál de las afirmaciones es correcta si se aumenta la frecuencia de un cuerpo que oscila armónicamente y se mantiene constante la amplitud

a. La velocidad máxima aumenta, pero no la aceleración máxima.

b. Aumentan la velocidad máxima y la aceleración máxima.

c. La aceleración máxima aumenta, pero no la velocidad máxima.

d. Ni la velocidad máxima ni la aceleración máxima se ven modificadas, pues no se ha variado la amplitud.

1.

2.

3.

SOLUCIONES PÁG. 130

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

SOLUCIONES PÁG. 131

Página web

http://cmaptools.softonic.com/

INNOVACIÓN EDUCATIVA

Aprendizaje cooperativo

GRUPOS DE INVESTIGACIÓN,Seguridad vial

MAPA CONCEPTUAL A CUATRO BANDAS.

CADENA DE PREGUNTAS

LA SUSTANCIA,

RECURSOS

60


58-59 CINEMÁTICA

60 PRÁCTICA DE LABORATORIO. CAÍDA LIBRE. DESACELERACIÓN

CINEMÁTICA06CINEMÁTICA

El movimiento independientemente de las causas que lo producen.

estudia

es necesario conocer con

SISTEMA DE REFERENCIA

Es inercial cuando se encuentra en reposo o se mueve con velocidad constante.

EJES DE COORDENADAS

TIEMPO

se define por

MAGNITUDES

POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO

RECORRIDO

Describen los movimientos

r x i jy= x ir r rAB –B Arr rrAB

Trayectoria recta

RECTILÍNEO

x = x x0 + v t

vt

x x0=

MRU

x x v t at21

0 0v 2= +x0 +

v = v v0 + at

MRUA

y y v t gt21

0 0vv 2+y0 +

v = v v0 +

Caída libre de los cuerpos

son

VELOCIDAD

ACELERACIÓN

vmvv

t tr r

vfttfrr

mvv0

0rr=

v

tr vv

dd i jvx yv i v= =

am

atv

ti j

tmxv y= ix vyvyvy

aa a i jax yi a= a

2

son

TIPOS DE MOVIMIENTOS

hay diferentes

pueden ser

Trayectoria circular

CIRCULAR

t– 0=

a rv cten

2= =

Tf2 2= =

fT1=

= 0 + t

t t21

0 02= + +

MCU

MCUA

son

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS

son

vy = v0y –

v0y = 0vy = v0y +

v0x = v0 cosx = v0xt

Lanzamiento vertical

x = x0 + vt

x x v t gt21

0 02= + +

Lanzamiento horizontal

Ecuaciones de movimiento

ARMÓNICO SIMPLE

x A tsen= +

v A tcos= +

a A t– sen2= +

Trayectoria recta o curva

se define por

U06 CINEMÁTICA060 PRÁCTICA DE LABORATORIO

Caída libre

Material

Procedimiento

Resultados y conclusiones

Desaceleración

Material

Procedimiento

Resultados y conclusiones

10o




NÚMEROS IGUALES JUNTOS,


LA SUSTANCIA

61


61 CIENCIA AL DÍA. LA FÍSICA DE LOS LANZAMIENTOS

62-67 ACTIVIDADES RESUELTAS

061

CIENCIA AL DÍA

LA FÍSICA DE LOS LANZAMIENTOS

El saltador de esquí planea para alcanzar la máxima distancia.

La velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento son fundamentales para que el martillo alcance la máxima velocidad.



LECTURA COMPARTIDA

U06 CINEMÁTICA064

Desde un acantilado de 50 m de altura se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad de 20 m/s. Calcula:

a. El tiempo que tarda en llegar a la superficie del agua.

b. El alcance máximo.

c. La velocidad que tiene cuando llega al agua.

a. v0y v0x

a = 2; h = 50 m

h = v0t + 21 2

50 m = 0 + 21 2 t2

t

t

b.

x = vt

x = 20

c.

v = v0 + at 2

v v vx y2 2= +

, ,v 20 31 26 37 11m/s m/s2 2= + =

Una ambulancia que circula por una carretera rectilínea con una velocidad constante de 120 km/h solicita escolta policial por radio. Si el coche de policía está detenido en el arcén y se pone en movimiento justo cuando la ambulancia pasa por delante con una aceleración constante de 5 m/s2, calcula:

a. ¿Cuándo y dónde se produce el alcance?

b. ¿Qué velocidad lleva en ese instante la policía?

c. ¿Cuánto tiempo estará expuesto el coche de policía al alcance de un radar de control de velocidad si el límite de velocidad es de 120 km/h?

a. Para resolver este problema se han de tener en cuenta

momento del alcance son idénticos.

·11000

3 6001

km sh

x = v0t t

x = x0 + v0t + 21 at2

x = 0 + 0 + 21 2 t 2

t = 21 2 t 2 t

x = v0t

b.

v = v0 + at

v 2

c.

v = v0 + at

t

t = av v– 0 =

,

533 33 0

m/sm/s –

2

t

h

x

v0

v1

v2

U06 CINEMÁTICA062

Actividades resueltas

El vector de posición de un móvil es: r t t4i j m3 2= + , donde t se mide en segundos. Calcula:

a. La velocidad media en los 5 primeros segundos y la velocidad que tendrá en ese instante.

b. La aceleración media en los 5 primeros segundos y la aceleración que tendrá en ese instante.

a.

t tr r

v––

m5 0

5 0=

v5

5 4 525 20

i · ji j m/sm

3 2

=+

= +

rv t t t3 8dd i j m/s2= = +

t

v 3 5 8 5 75 40· i · j i j m/s2= + = +

v

v 75 40 85 m/s2 2= + =

b.

a t tv v

––

m5 0

5 0=

a5

75 4015 8

i ji j m/sm

2=+

= +

atv t6 8

dd i j m/s2= = +

Para t

·a tv 6 5 8 30 8d

d i j i j m/s52= = + = +

a

,a 30 8 31 05 m/s2 2 2= + =

Halla el valor de la aceleración con la que se mueve un objeto que, partiendo del reposo, es capaz de recorrer en línea recta una distancia de 130 m en 5 s, suponiendo que la aceleración sea uniforme.

x x v t at21

0 02= + +

t x = 0.

,atx a2

52 130 10 4

s· m m/s2 2

2= = =

Un móvil parte del reposo hasta alcanzar en 5 s una velocidad de 30 m/s, se mantiene con MRU durante 10 s y posteriormente se detiene en un tiempo de 3 s.

a. Halla los valores de las aceleraciones y el espacio recorrido desde que el móvil inicia el movimiento hasta que se detiene.

b. Realiza una representación gráfica v(t).

a. suman los resultados de cada tramo.

Tramo 1: MRUA

v v at at

v v–0

0= + =

a5

30 0 6s

m/s – m/s2= =

v v ax xa

v v2

2–2

02

202

= + =

x2 6

(30 ) 0 75 m· m/sm/s –

2

2

= =

Tramo 2: MRU

x = vt x

Tramo 3: MRUA

v v at a t

v v3

0 30 10s

– m/s – m/s–

00 2= + = = =

( )( )v v ax x

av v

22 2 10

0 30 45–

· – m/s– m/s m2

02

202

2

2

= + = = =

xt = x + x2 + x3 = 75 m + 300 m + 45 m = 420 m

b.

5 10 15 t (s)

10

20

30

5

15

25

20 25

v (m/s)

U06 CINEMÁTICA066

Una noria de feria tarda 30 s en alcanzar su velocidad crucero, que es de una vuelta por minuto. Calcula:

a. La aceleración de la noria.

b. La cantidad de vueltas que da en 5 min.

c. La velocidad lineal de un punto de la periferia si la noria tiene un radio de 25 m.

a.

tiempo.

1602

30minvuelta

srad

srad= = =

t t 3030 0

s

rad/s ––0

0= + = =

, ·3 49 10s

rad32

–=

b.

completar los 5 min.

t t21

1 0 02= + +

· , · ·0 021 3 49 10 30rad/s s1

3 2 2 2–= + +

· ( , · ) ,t t30

4 5 60 28 27min s/min rad22= = = =

= + 2

21

radvuelta

c.

v r=

· ,v 30 25 2 62 m/s= =

Un cuerpo realiza un MAS de acuerdo con la ecuación:

x t4 6 2sen= +

donde todo está expresado en el SI.

a. Calcula la amplitud, la frecuencia y el periodo del movimiento.

b. Escribe las ecuaciones de la velocidad y la aceleración del movimiento.

c. Halla la elongación, la velocidad y la aceleración en el instante t = 2,12 s.

a.

= 4 m

= 6

fT

2 2= =

f26 3 s 1–= =

,Tf1 0 33 s= =

b.

cosv t24 62

= +

ta 144 62

– sen2= +

c. Los valores de x v y a en t

modo RAD

( , ) , ,x t 2 12 4 6 2 122

2 55s sen · – m= = + =

vtx

dd=

( , ) , ,v t 2 12 24 6 2 122

58 1s cos · – m/s= = + =

atv

dd=

( , ) , ,a t 2 12 144 6 2 122

905 92s – sen · – m/s2 2= = + =

065

Desde la torre de retransmisiones de un campo de atletismo, de 30 m de altura, se lanza una jabalina con una velocidad de 15 m/s y con una inclinación con respecto a la horizontal de 40º. Calcula el tiempo de vuelo, el alcance horizontal, la altura máxima, la velocidad con la que llega al suelo y el ángulo con el que se clava en el césped.

,

,

v v

v v

40 15 40 11 49

40 15 40 9 64

· cos ° i · cos ° i i m/s

· sen ° j · sen ° j j m/sx

y

0

0

0

0

= = =

= = =

Fase 1

La velocidad inicial es v0y y la final es cero.

.

,, ,v v gt t g

v v9 8

0 9 64 0 98– m/s– m/s s

–0 1 1

02= + = = =

v v gh2– y2

02 =

· ( , ), ( ) ,h

gv v

2 2 9 80 9 64 4 74

–– m/s

– m/s my2

02

2

2 2 2

= = =

Hay que sumar a h

h

y y v t at21

0 0 1 12= + +

,· , , t g

h29 8

2 4 74 0 98m/s

m/s s1 2= = =

Fase 2

v0 = 0 y a = +

h0

h h v t at21

0 0 2 22= + +

,

, , t gh2

9 82 34 74 2 66

m/s· m s2 2= = =

t + t2

Y

( ) ( )v v gt – j y y0 2= +

( , , ) ( ) ,·v 0 9 8 2 66 26 07m/s s – j – j m/sy2= + =

Con estos resultados podemos obtener la velocidad

( , , )v v v 11 49 26 07i – j m/sx y0= + =

11,49 ( ) 26,07 ( )

28,49

v

v

m/s m/s

m/s

2 2 2 2= +

=

,, , °

11 4926 07 66 22arctg= =

Fase 3

Como v0x

x = v0xt

DIBUJO107736_065_A

ACTIVIDADES RESUELTAS

H

40o

v

x

h

v0x

v0y

vx

vy

v0 v0x

v vy

Desde un punto situado a 130 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 30 m/s; 3 s más tarde se lanza otro cuerpo desde el suelo a 200 m/s. Calcula:

a. La altura máxima que alcanza cada cuerpo.

b. El tiempo que tarda el segundo cuerpo en alcanzar al primero.

c. La altura a la que lo alcanza.

d. La velocidad que tienen ambos cuerpos en el momento del alcance.

a.

2

v v gh2202= +

( , )( )h

gv v

2 2 9 80 30–

· – m/s– m/s2

02

2

2

= =

,h 45 92 m=

h

( , )( )h

gv v

2 2 9 80 200–

– m/s– m/s2

02

2

2

= =

h

b.

Los tiempos de uno y otro cuerpo tienen un retraso

t2 = t – 3 s

h

v

v02

c.

h = h + v t + 21 2 t +

21 t 2

h2 = v02t2 + 21

22 t2 +

21 2 t2

2

t2 = t – 3 s

h2 t21 2 t 2

h t + 21 2 t 2

t + 21 2 t 2 =

t21 2 t 2

30 t + 21 t 2

t – 600 + 21 t 2 +

21 t –

21

t

t2 = t

h

h t + 21 2 t 2

h21 2 2

h

d. v = v + 2

v

v2 = v02 + 22

Una corredora realiza un circuito en el que hay tramos de subidas y bajadas de igual longitud. En los tramos de subida va a 6 km/h y en los de bajada alcanzan una velocidad de 15 km/h. ¿Cuál ha sido la velocidad media del recorrido realizado?

r. El

r.

;t vr r t v

r r6 15

h hsubirsubir

bajarbajar

= = = =

·t t t r r307 3600 840h h

s ssubirtotal bajar= + = =

v ttramo de subida tramo de bajada

total=

+

,vr

r840

2 10 2 38s

km · m/km m/s3

= =


063

067

Un cuerpo que se mueve con MAS se encuentra en el instante inicial a 10 cm de la posición de equilibrio y su velocidad es nula. Si el periodo del movimiento es de 15 s, escribe las ecuaciones de la elongación, de la velocidad y de la aceleración.

Parece claro que el cuerpo se encuentra en x = o en x = –

v t t +

( · )0 02

cos rad+ = =

dice que x t

( )x t A A0 10 02

10cm sen · cm= = = + =

Como T

T2=

152

srad=

,x t0 1152

2sen= +

,v t0 042152

2cos= +

,a t0 018152

2– sen= +

Dada la siguiente gráfica:

a. Deduce los valores de amplitud, periodo, frecuencia, pulsación y desfase.

b. Escribe la ecuación del movimiento.

c. Escribe las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración.

d. Calcula la posición que tiene un punto cuando su aceleración es de 5,3 m · s–2.

a.

, , , ( , )T 4 1 1 1 2 6 0 4 3s – s s – – s s= = =

,fT1

31 0 33s

s 1–= = =

,f2 2 09 rad s 1–= =

= 3 m

b.

( ) ( , )x A t t3 2 09sen sen= + = +

( , ) ( , · , )x t 1 1 0 2 09 1 1s sen rad/s s= = + =

,0 84 rad=

( , , )x t3 2 09 0 84sen= +

t

c.

( ) , ( , , )v A t t6 27 2 09 0 84cos cos= + = +

( ) , ( , , )a A t t13 1 2 09 0 84– –sen sen2= + = +

d.

, ( ), ,a x x a

2 095 3 1 21–

rad/s– rad/s – m–2

2 2 2

2

= = = =


1,7 t (s)

+3

x (m)

−3

−0,4 2,6 4,3

62


Antes de iniciar la resolución de todas las actividades propuestas en esta sección es recomendable que los alumnos trabajen individualmente en las actividades re-sueltas de la sección anterior, pues representan los pro-blemas tipo de los contenidos tratados en la unidad.

Sugerencias metodológicas

68-73 ACTIVIDADES PROPUESTAS Y EVALUACIÓNU06 CINEMÁTICA070

Una rueda de 0,25 m de radio gira a razón de 30 rpm. Calcula:

a. La velocidad angular y la lineal.

b. El periodo y la frecuencia.

c. La aceleración angular si la rueda se detiene completamente en 10 s.

d. El número de vueltas que da la rueda desde que comienza a variar su velocidad hasta que se detiene.

Una rueda de 0,5 m de radio inicia su movimiento con una velocidad lineal de 30 m/s. Una vez que actúa sobre ella el sistema de frenado, la rueda es capaz de detenerse en 60 s. Calcula:

a. La velocidad angular antes de comenzar la frenada.

b. La aceleración angular.

c. El número de vueltas que da hasta detenerse.

Los álabes de una aeroturbina de energía eólica tienen una longitud de 40 m y giran, en un instante dado, con una frecuencia de 0,35 Hz. Calcula:

a. La velocidad angular en ese instante.

b. La velocidad lineal de un punto de la periferia expresada en km/h.

¿Qué velocidad lineal lleva un coche con unas ruedas de 634 mm de diámetro que giran con un periodo de 0,15 s?

Una pelota de 10 cm de radio rueda a razón de 3 vueltas por segundo. Calcula la velocidad angular, la frecuencia, el periodo, la velocidad lineal de un punto de la periferia y el tiempo que tarda en recorrer 10 m.

Un tiovivo de 3 m de radio se mueve con una frecuencia de 0,2 Hz. Se sabe que desde que se oye la sirena hasta que se detiene transcurren 30 s.

a. ¿Cuál es la velocidad angular del tiovivo en su régimen normal de funcionamiento?

b. ¿Cuál es la velocidad lineal en un punto de la periferia?

c. ¿Cuál es la aceleración angular de frenado?

d. ¿Cuántas vueltas da hasta que se detiene?

Una rueda de 10 cm de radio se pone en movimiento con una aceleración angular de 0,2 rad/s2.

a. ¿Cuánto tiempo tarda en dar 50 vueltas?

b. ¿Qué velocidad angular lleva en ese instante?

c. ¿Qué velocidad lineal lleva en un punto de la periferia a los 6 s?

d. ¿Qué ángulo ha girado entre 6 s y 8 s?

Halla la profundidad a la que se encuentra el agua de un pozo si cuando se deja caer una piedra se oye el golpe contra el agua al cabo de 1 s. (Dato: vsonido = 340 m/s en el aire).

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 54 km/h. Calcula la altura alcanzada, el tiempo de ascenso, la velocidad con la que llega al suelo y el tiempo total que está en el aire.

Dos pelotas de tenis se lanzan verticalmente hacia arriba con una velocidad de 200 m/s y un retardo de 4 s. Calcula:

a. La altura a la que se cruzan en el aire.

b. El tiempo que tardan en cruzarse.

c. La velocidad de cada pelota en el momento del encuentro.

Desde un elevador de obra que asciende a 5 m/s se desprende un saco de cemento en el instante en que se encuentra a 100 m de altura. Calcula:

a. La altura máxima alcanzada por el saco de cemento.

b. La velocidad con la que el saco llega al suelo.

U06 CINEMÁTICA068

Un coche teledirigido se mueve en línea recta con una velocidad constante de 0,35 m/s. Calcula la distancia que recorre en 2 min.

Un vehículo asciende el puerto de una montaña por una carretera de 5 km en 14,4 min y tarda 4,8 min en bajar los 6 km de la otra cara del monte. Calcula la velocidad media del movimiento completo.

Una ciclista que se mueve en línea recta pasa por tres puntos de control en las siguientes posiciones (vectores de posición referidos al punto de partida) y tiempos: x1 = 8 m en t1 = 2 s; x2 = 40 m en t2 = 12 s; x3 = 80 m en t3 = 28 s. Calcula las velocidades medias de la ciclista en:

a. El intervalo de tiempo t2 – t1.

b. El intervalo de tiempo t3 – t1.

Un móvil se desplaza del punto A (0 , 0) a B (0 , 3), de B a C (2 , 3), de C a D (2 , –2), de D a E (–2 , –2) y de E a F (–2 , –1). Representa gráficamente las posiciones del móvil y calcula el desplazamiento total, el espacio recorrido y la distancia entre el punto inicial y el final.

El vector de posición de un móvil es: r t t t2 5 6 5– i j m3 2= + + , donde t se mide en segundos. Calcula:

a. La velocidad media en los 2 primeros segundos y la velocidad que tendrá en ese instante.

b. Las aceleraciones tangencial y normal en el instante t = 3 s, con un radio de curvatura de 5 m.

Representa las gráficas x (t) y v (t) de un móvil, según estos datos:

x (m) 0 70 0

t (s) 0 5 20 25 40

Interpreta esta gráfica y calcula:

a. El espacio recorrido y la velocidad media.

b. La velocidad en 25 s, 75 s y 125 s.

Un tren se mueve en línea recta y en 2 min su velocidad cambia de 4,87 m/s a 91 km/h. Calcula:

a. La aceleración y la velocidad media.

b. La distancia recorrida en esos 2 min.

c. La velocidad del tren a los 45 s de iniciarse la aceleración.

Un móvil parte del reposo con una aceleración de 12 m/s2 a lo largo de los 200 primeros metros. Mantiene constante la velocidad alcanzada durante los 10 s siguientes, para después frenar a –3 m/s2 hasta detenerse. Permanece en reposo durante 5 s y después acelera durante los próximos 5 s hasta alcanzar una velocidad de 25 m/s, velocidad que conserva durante 10 s más. Representa en una gráfica v(t) la situación anterior.

Un ciclista se mueve a 25,2 km/h y aumenta su velocidad 2 m/s mientras recorre 20 m. Calcula:

a. La ecuación de la velocidad en función del tiempo.

b. La ecuación del espacio recorrido en función del tiempo.

c. La ecuación de la aceleración en función del tiempo.

60 70 80t (s)

60

15

30

90 100

v (m/s)

0 110 120 130

A

C

DE

F

B

U06 CINEMÁTICA072

Un jugador de tenis lanza una pelota con una velocidad de 72,57 km/h. Supón que el tenista y la jugadora que recibe tienen la misma altura y golpean la pelota a la misma altura. Calcula:

a. El ángulo que forma la pelota con la horizontal.

b. El tiempo de subida y la altura máxima.

c. La distancia a la que se debe encontrar otro tenista de la misma altura para devolver la pelota.

Por un tejado que tiene una inclinación de 30° con la horizontal rueda una pelota. Si la pelota ha alcanzado el extremo del tejado con una velocidad de 9 m/s y dicho extremo está a una altura de 30 m sobre el suelo, calcula:

a. La ecuación del movimiento.

b. La distancia al pie de la fachada a la que cae la pelota.

c. El tiempo que tarda en caer.

d. La velocidad en el momento en el que toca el suelo.

Por una rampa de 50 m inclinada 30° con la horizontal asciende un móvil que parte del reposo con una aceleración de 10 m/s2. ¿Qué velocidad llevará al final de la rampa? Si al llegar al final, la abandona:

a. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

b. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo desde que abandona la rampa?

c. ¿Con qué velocidad llega al suelo?

d. ¿A qué distancia horizontal se encuentra desde que comenzó el movimiento?

Desde una altura de 10 m se dispara a 10 m/s una flecha hacia una manzana que se encuentra a 10 m de altura y a 15 m de distancia.

a. ¿A qué distancia pasa la flecha por debajo de la manzana?

b. Si la manzana se hubiera desprendido justo en el momento de disparar la flecha, ¿la habría alcanzado?

Una partícula que oscila con MAS inicia su movimiento en un extremo de su trayectoria y tarda 0,35 s en llegar al centro de esta, que se halla a 45 cm de distancia.

a. Calcula el periodo, la frecuencia, la amplitud del movimiento y la frecuencia angular.

b. Escribe la ecuación de la elongación en función del tiempo.

La ecuación de un MAS es x = 0,13 sen(0,3 t), expresada en unidades del SI. Calcula:

a. El periodo y la amplitud del movimiento.

b. La velocidad y la aceleración en función del tiempo.

c. Representa gráficamente x (t), v (t) y a (t).

Una partícula describe un MAS de 1 Hz de frecuencia. Se sabe que en t = 0 su elongación es de x = 2,15 cm y su velocidad, de v = 9 cm/s. Calcula:

a. La amplitud, la frecuencia y la ecuación del movimiento.

b. La velocidad máxima de la partícula.

45 cm

071

Un astronauta está en un planeta en el que es capaz de saltar una distancia horizontal de 86,6 m, con una velocidad inicial de 10 m/s y con un ángulo de 30° con la horizontal. Calcula:

a. La aceleración de la gravedad en ese planeta.

b. La altura máxima que alcanza el astronauta.

c. El tiempo que está en el aire.

d. Si en la Tierra es capaz de saltar en vertical una altura de 1,2 m, ¿cuánto podrá saltar en ese planeta?

Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo una bombeta pirotécnica con una velocidad inicial de 10 m/s, la cual detona al alcanzar el suelo. El tiempo transcurrido entre el lanzamiento y la detonación es de 5 s. Calcula:

a. La altura desde la que ha sido lanzada.

b. La velocidad con la que llega al suelo. (Dato: vsonido = 340 m/s).

La altura de la ventana de un edificio es de 2,5 m. Se deja caer un objeto desde la terraza y tarda 0,3 s en recorrer los 2,5 m de la ventana. Calcula:

a. La velocidad con la que pasa el objeto por delante de los puntos superior e inferior de la ventana.

b. La altura desde la que se ha lanzado el objeto, medida desde la parte inferior de la ventana.

La corriente de un río lleva una velocidad uniforme de 2 m/s. Se quiere cruzar el río empleando una canoa que alcanza una velocidad de 5 m/s. Si la anchura del río en el punto por donde va a cruzar la canoa es de 72 m, calcula:

a. El ángulo que tiene que llevar la canoa con respecto a la corriente del río para llegar a la otra orilla justo enfrente del punto de partida.

b. El tiempo que tarda en realizarse el cruce.

Por un río de 120 m de ancho navega una barca a 30 m/s. Si la velocidad de corriente del río es de 5 m/s, calcula la velocidad de la barca si inicia su movimiento formando un ángulo de 150º con la corriente del río.

¿Qué velocidad debe llevar un móvil para que al lanzarlo horizontalmente desde una altura de 10 m recorra una distancia horizontal de 15 m?

Un saltador de trampolín llega al agua con una velocidad de 27,72 km/h. Si el salto descrito es una parábola:

a. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada en el salto? (Supón la superficie del agua como el origen de la altura.)

b. Si la aceleración de frenado que soporta desde la superficie de la piscina es de 4,3 m/s2, ¿cuánto tiempo tarda en detenerse?

Un avión que vuela a 1 200 m de altura lanza un paquete de ayuda humanitaria 2 km antes de sobrevolar la zona de descarga. Calcula:

a. La velocidad del avión.

b. El tiempo que está cayendo el paquete.

Si el paquete está preparado para resistir un impacto a una velocidad de 555 km/h, ¿resistirá la caída?

ACTIVIDADES PROPUESTAS

069

Un coche pasa de 0 a 100 km/h en 5 s. Calcula:

a. La velocidad media y la aceleración media.

b. La velocidad que tiene a los 2 s de iniciado el movimiento.

c. La distancia que ha recorrido en ese tiempo.

Una estudiante se mueve en monopatín con una velocidad de 4,17 m/s. En el momento en que se pone en marcha el reloj comienza a frenar de forma uniforme hasta que se detiene tras recorrer 10 m. Halla:

a. La aceleración de frenado.

b. La ecuación de la velocidad de este movimiento.

c. El tiempo que tarda en detenerse.

Por un puesto de control pasa un vehículo con una velocidad constante de 20 m/s. A los 2 s, parte del mismo punto en la misma dirección y sentido otro vehículo con una aceleración constante de 2 m/s2. Calcula:

a. El tiempo que tarda el segundo vehículo en alcanzar al primero.

b. La distancia desde el puesto de control hasta el punto de alcance.

c. La velocidad del segundo vehículo en el momento en el que se produce el alcance.

Un móvil que parte del reposo alcanza en 10 s una velocidad de 30 m/s. En ese instante mantiene la velocidad durante los siguientes 20 s para, posteriormente, frenar durante 5 s hasta detenerse. Haz una representación gráfica v(t) de la trayectoria del móvil. Además, calcula:

a. El espacio total recorrido por el móvil.

b. La velocidad media.

c. La velocidad a los 5 s.

d. La velocidad que lleva a los 32 s de iniciarse el movimiento.

Un conductor viaja por una autopista recta con una velocidad inicial de 130 km/h. A los 200 m un animal se para en mitad de la carretera. ¿Cuál es la desaceleración mínima que puede evitar el accidente si el conductor tarda en reaccionar 0,5 s?

Un coche está detenido frente a un semáforo en rojo. Cuando se pone en verde, arranca con una aceleración constante de 2 m/s2 y en ese mismo instante pasa por delante de él una furgoneta de reparto con una velocidad uniforme de 54 km/h. Calcula:

a. El tiempo que transcurre hasta que se produce el alcance.

b. El espacio recorrido por ambos vehículos.

c. La velocidad del coche en ese momento.

Los puntos A y B están separados 50 km. De A sale un móvil a 65 m/s con MRU hacia B. Desde B sale simultáneamente hacia A otro móvil a 0,05 m/s2 con MRUA. Calcula:

a. La distancia desde A hasta el punto en el que se encuentran.

b. El tiempo que tardan en encontrarse.

c. La velocidad que lleva el móvil que ha salido de B en el momento del encuentro.

Un coche lleva una velocidad de 90 km/h y ve a 50 m una camada de ciervos en medio de la carretera. ¿Cuál será el valor de la aceleración de frenado para evitar la colisión?

Los puntos A y B están separados 50 km. De A sale un móvil a 0,05 m/s2 con MRUA hacia B. Simultáneamente sale desde B hacia A un móvil a 40 m/s con MRU.

a. ¿Cuánto tiempo tarda el móvil que parte de A en alcanzar al móvil que sale de B?

b. ¿Cuánto espacio recorre el móvil que sale de A?

c. ¿Qué velocidad lleva en el instante en que lo alcanza?

ACTIVIDADES PROPUESTAS

EVALUACIÓN FINAL

073

a.

b.

a. acantilado.

b.

. Cuando el

libertad.

a.

b.

a. El periodo.

b.

c.

t = 0 su

a.

del tiempo.

b. t

a.

b.

ACTIVIDADES

DIARIO DE APRENDIZAJE

1. x

2.

,vt tx x

864 2885000 6000 9 55

s sm m m/sm

1 2

1 2=++

=++ =

3. a.12 2

40 8 3,2vt tx x

––

s – sm – m m/s21

2 1

2 1= = =

b. 28 s 2s

80 m 8m 2,77 m/svt tx x

––

––

313 1

3 1= = =

4.

SOLUCIONES PÁG. 68

A

Y

B C

DE

FX

63


( 2 0, 1 0) ( 2, 1) 2 i j (m)r – – – – – – – –= = =

x

( , ) ( 2 0, 1 0) ( 2) ( 1) 5 md A F AF – – – – – –2 2= = = + =

5. a.

2 0 2(2 2 5 2 6) i 5 2 j

i 5 j m/svr r

–– · – · ·2 0

3 2

m = =+ +

= +

dd (6 10 ) i 5 j m/sv r

tt t–2= = +

t

(6 · 2 10 · 2) i 5 j 4 i 5 j m/sv –22= + = +

4 5 6,40 m/sv 2 2= + =

b.

dd (12 10) i 0 j m/sta vt

– 2t = = +

( 3) 16 i m/sa t 2t = =

(6 · 3 10 · 3) i 5 j 24 i 5 j m/sv –32= + = +

24 5 24,52 m/sv 2 2= + =

5 m(24,52 m/s) 120,20 m/sa

rv2 2

n = = =

6. x

t

5 070 0 14 m/sv

tx

––

1 = = =10 5

100 70 6 m/svtx

––

2 = = =

15 10100 100 0 m/sv

tx

––

3 = = =20 1580 100 4 m/sv

tx

–– –4 = = =

25 20120 80 8 m/sv

tx

––

5 = = =40 250 120 8 m/sv

tx

–– –6 = = =

t

7. a.

Tramo OA

60 s30 m/s 0 0,5 m/s

2 2 0,5 m/s(30 m/s) 0

ta

v v

av v

–

·–

–

–

a0 2

a

202

2

2 2

= = =

900 mx = = =

Tramo AB

30 m/s (70 s 60 s) 300 mx v t· · –b = = =

Tramo BC

80 s 70 s60 m/s 30 m/s 3 m/s

2 2 3 m/s(60 m/s) (30m/s)

ta

v v

av v

––

–·

–

–c

0 2

c

202

2

2 2

= = =

450 mx = = =

Tramo CD

100 s 80 s15 m/s 60 m/s 2,25 m/s

2750 m

at

v v

xa

v v–

– –

–

–d

0 2

d

202

= = =

= =

Tramo DE

15 m/s 20 s 300 mx v t· ·e = = =

Tramo EF

10 s0 15 m/s 1,5 m/s

2

at

v v

av v

– –

–

–f

0 2

f

202

= = =

75 mx = =

xT

130 s2775 m 21,35 m/sv

txT

m = = =

b.

t at

t at

t at

5 10 15 t (s)

10

20 25

x (m/s)

30 35 40

2030405060708090

100110120

5 10 15 t (s)

20

−10

10

20 25

v (m/s)

30 35 40

−20

64


8. a.

12025,28 4,87 0,17 m/sv v at a

tv v ––

00 2= + = = =

21 4,87 120 2

1 0,17 120 1808,4 ms s v t at · · ·0 02 2= + + = + =

1201808,4 14,37 m/sv

ts

m = = =

b.

21 4,87 ·120

21 · 0,17 ·120 1808,4 ms s v t at0 0

2 2= + + = + =

c.

t at

9.

2 2 2 12 200 69,28 m/sv v ax v ax– · ·202 = = = =

1269,28 5,77 sv v at t

av v–

00= + = = =

30 69,28 23,09 st

av v

––– 0= = =

11. a.

527,78 0 5,56 m/sa

tv v –– 0 2

m = = =

269,40 mx

av v–2

02

= =

569,40 13,88 m/sv

tx

m = = =

b. t

t at

c.

( 2 s)21

21 · 5,56 2 11,12 mx t x v t at ·0 0

2 2= = + + = =

12. a. x

20,87 m/sa

xv v–

–2

02

2= =

b. t at t

c.

0,870 4,17 4,79 st

av v

––– 0= = =

13. a

a. t

x t t

21

21 2 · ( 2)x a t t –2 2

2 2= =

2021 2 · ( 2)tt – 2=

tt

t

b. x t

c.

at

14. a.

10. a.

x

at

t t

b.

21 ( ) 7

21 1,6 7 0,8tx x v t at x t t t t0 0

2 2 2= + + = + = +

c. t

10 t (s)20

v (m/s)

30 35

20

40

60

5 15 25 40 45 50 55

10

30

50

70

SOLUCIONES PÁG. 69

10 t (s)20

v (m/s)

30 35

10

20

30

65


t

3 m/s

22 2 3

30 150 m

at

v v

v v ax xa

v v–

–·

– 0 2

202

1

202 2

= =

= = = =

t x

t

6 m/s

22 2 ( 6)

30 75 m

at

v v

v v ax xa

v v

–

––

· ––

– 0 2

202

3

202 2

= =

= = = =

xT

b.

10 20 5825 23,57 m/sv

xttotal

mT= =

+ +=

c.

t at

d.

t at’

15. x

x

x’

2 '2 ' 2 181,94

0 36,11 3,58 m/sv v ax ax

v v–

–·– –2

02

202 2 2

2= = = =

16. a.

t

21

21 2x x v t at t0 0

2 2= + + =

t t

t

b. x t

c.

at

17. a.

x t

21 50 000

21 0,05x x v t at x t–2 0 0

21

2= + + =

xt

x t

b.

c.

at

18. x

22 2 50

0 25 6,25 m/sv v ax ax

v v–

–·– –2

02

202 2 2

2= = = =

19. a.

x t

21

21 0,05x x v t at x t0 0

2 2= + + =

t x

b.

21 · 0,05 824,81 17 007,79 mx · 2= =

c. at

SOLUCIONES PÁG. 70

20. a.

30 rpm 30602 rad/s= = =

b. 2

0,5 s , 10,51 2 sf T

f1–= = = = =

c.

100 0,31rad/st

t– – –0

0 2= + = = =

d.

22 2 ( 0,31)

0 15,92 rad––

· –02 0

2 22

2

= = = - =

n.º vueltas2

15,92 2,53 vueltas= =

21. a.

0,530 60 rad/sv r0 0 0= = =

b.

600 60 1rad/st

t– – –0

0 2= + = = =

c.

22 2 ( 1)

0 60 1800 rad––

· ––

02 0

2 22

2

= = = =

vueltas2

1800 286,48= =

22. a.

b.

66


23.

20,317 m 2 41,89 rad/s

Tr D= = = =

24.

1 0,33 sTf

= =

0,110 100 rad

rx= = =

6100 5,31st t

π= = = =

25. a. t

b.

c.

300 1,26 0,042 rad/st

t– – –0

0 2= + = = =

d.

21 1,26 · 30

21 · ( 0,0042) · 30

18,9 rad2

18,9 vueltas 3 vueltas

t t –0 02 2= + + = + =

= = =

26. a.

21 100

21 (0,2) 100 56,05 st t t t0 0

2 2= + + = = =

b.

t

c. t

t t

d.

( 8 s) ( 6 s)21 8

21 6 2,8 radt t– –2 2= = = =

27.

a

21

21 9,8y at t

y vt

2 2= =

=1t t s+ =

340 (1 )21 9,8 0,99 st t t– 2= =

21 9,8 4,85 my t2= =

28. Subida: a

9,815 1,53 st

av v

––– 0= = =

22 2 ( 9,8)

0 15 11,48 mv v ah ha

v v–

–––2

02

202 2

= = = =

Bajada: a

2 2 2 9,8 11,48 15 m/sv v ah v ah– · ·202 = = = =

9,815 1,53 st

av v– 0

total

= = =

2 1,53 3,06 st t t ·= + = =

29. a. b.

t t

21 200

21 ( 9,8)y y v t gt t t–1 0

2 2o= + + = +

21 200 ( 4)

21 ( 9,8) ( 4)y y v t gt t t–– –2 0

2 2o= + + = +

200 21 ( 9,8) 200 ( 4) 2

1 ( 9,8) ( 4)y y t t t t– –– –1 22 2= + = +

t

200 22,4121 · ( 9,8) 22,41 2 021,18 my · –1

2= + =

c.

30. a.

Ascenso

a

ay y

b. a

2 2 44,55 m/sv v aH v aH–202 = = =

31. a. x

X Y

243,3 mx k= =

SOLUCIONES PÁG. 71

67


8,6643,3 5 sk v t t0x= = =

50 5 1m/sv v at a

tv v – –

–0

0 2= + = = =

a

b.

22 ( 1)0 5 12,5 mv v ah h–

· ––2

02

2= = =

c. t

d. a

2 2 2 ( 9,8) 1,2 4,85 m/sv v as v v as– – – · – ·202

02= = = =

22 2 ( 1)

0 4,85 11,76 mv v as sa

v v–

–· –

–202

202 2

= = = =

32. a.

21 10

21 9,8h h v t at t t0 0

2 2= + + = +

340h vt t= =

5 st t ttotal = + =4,57 s y 0,43 st t= =

340 146,2 mh vt t= = =

b.

10 9,8 · 4,57 54,79 m/sv v at0= + = + =

33. a.

21 2,5 0,3

21 · 9,8 0,3 6,86 m/sh h v t at v v· ·0 0

20

20= + + = + =

2 2 6,86 2 9,8 2,5 9,8 m/sv v ah v v ah– · ·202

02 2= = + = + =

b.

22 2 9,8

9,8 4,9 mv v ah ha

v v–

–·

202

202 2

= = = =

34. a.X

cos52 0,4 66,4º

vvx= = = =

b.

y

4,5872 15,75 st

vy

= = =

35.

5 i m/s

( cos30° i sen30° j ) m/s ( 30 cos30° i 30 sen30° j )

( 25,98 i 15 j) m/s

v

v v v –

–

r

b b b

=

= + = + =

= +

( 20,98 i 15 j ) m/sv v v –r b= + = +

( 20,98) 15 25,79 m/sv – 2 2= + =

arc tg20,9815 35º

––= =

36.

x

21 10

21 9,8 1,43 sh at t2 2= =

151,4315 10,49 m/sv

t= = =

37. a.

22 2 9,8

7,7 0 3,03 mv v ah ha

v v–

–·

–202

202 2 2

= = = =

b. a

4,37,7 1,79 sv v at t

av v

–––

00= + = = =

38. a. x

21 1200

21

21 9,8 15,65 sx x v t at at t t0 0

2 2 2= + + = = =

2 000 127,8 m/s 460,06 km/hvt

= = =

b. t

c. X

2 2 0 2 9,8 1200 153,36 m/sv v ah v v ah– · ·202

02= = + = + =

(127,8 i 153,36 j ) m/sv –=

127,8 ( 153,36) 199,63 m/s 718,67 km/hv –2 2= + = =

555 km/h,v

vr

vb vb . sen 30o

vb . cos 30o

30o150o

68


39. a.

9,85,22 0,53 sv v at t

––

0= + = =

22 2 ( 9,8)

5,22 1,39 mv v ah ha

v v–

–· ––2

02

202 2

= = = =

b.

2 · 0,53 1,06 st t ttotal = + = =

x t

40. a.

Horizontal: x

Vertical:

21 30 4,5

21 9,8y y v t at y t t– –0 0

2 2= + + =

t t

b.

21 0 30 4,5

21 9,8 2,06 sy y v t at t t t– –0 0

2 2= + + = =

x t t

c.

d.

at

(7,79 i 24,59 j) m/sv –=

41. a. 2 2 10 50 31,62 m/sv v as v– · ·202 = = =

22 2 ( 9,8)

15,81 12,75 mv v ah ha

v v–

–· –

–202

202 2

= = = =

b.

sen 30º 50 sen 30º 25 msh h= = =

21h h v t gt0 0

2= + +

t t

c.

at

X

d.

cos30°50

43,3 mx

x11= =

x t

x x x

42. b.:

a.

1012 1,2 st v

x= = =

a

21

21 · 9,8 ·1,2 7,06 my y v t at0

2 2o= + + = =

43. a.T

1 0,71sfT

1–= =

b.

sen ( )

( 0) 2 rad

sen( ) 0,45 1,42 2sen

x A t

x t A

x A t t

= +

= = =

= + = +

SOLUCIONES PÁG. 72

69


EVALUACIÓN

1. a. Y

b. y x

y x

21

14 3,3421 9,8

y v t at

t t

02

2

= +

= +

t

X

2. a.

21

0 30,5 sen 37º21 9,8

y y v t at

v t t–

0 02

02

= + +

= +

cos 37º61v

t0 =

b.

ay

3. a.

b.

21

21

y y v t at0 02

2

= + +

0 5 10 9,8t t= + +

t

4. a.

'2

''

1/21 2 2

f f

Tf f f

T

=

= = = =

b.

c.

a

SOLUCIONES PÁG. 73

44. a.

2 0,3π rad/s 0,15 sf f 1–= = =

b. t t

a t t

c.

45. a.

x t

t

x t t

t t

x

1 t 0,98 radgvx = =

x t

x t

b. x t

t (s)

t (s)

t (s)

0,13

a (m/s2)

v (m/s)

x (m)

0,012 2

0,04

0,13

1,67 3,53 6,67 8,33 10 11,665

0,04

0,012 2

70


5. a.

2

2t +

b.

0,1 cos 0,252

4,44 m/sv –= + =

sen

0,1 sen 0,252

0,70 m/s

a A t

a · ·

2

2 2

= +

= + =

6. a.

21

3021 9,8

y y v t at

y t t–

0 02

12

= + +

=

30 0,321 9,8 0,3y t t– –2

2= +

y y

t

b.

y


Metacognición

Diario de aprendizaje,

E-06-01. Test científico

RECURSOS

· unidad 06 | cinemÁtica | fÍsica y quÍmica 06 cinemÁtica programaciÓn de aula contenidos...

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