ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES

TAMBIEN SE CONOCE COMO SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

Es un conjunto de ecuaciones en donde cada ecuacion es de primer grado.

EJEMPLO:

1 2 3 3X + 2X + X = 1

1 2 3 2X + 2X +4X = -2

1 2 3 -X +1/2 X -X = 0

EL PROBLEMA CONSISTE EN ENCONTRAR LOS VALORES CONOCIDOS DE LAS VARIABLES :X1, X2 Y X3, QUE SATISFACEN LAS TRES ECUACIONES.

A P L I C A C I O N E S :

ES UNO DE LOS MAS ANTIGUOS EN LAS MATEMATICAS Y TIENE UNA INFINIDAD DE APLICACIONES COMO EN EL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES, ANALISIS ESTRUCTURAL, ESTIMACION, PREDICCION Y EN PROGRAMACION LINEAL.

T I PO S DE S I S T E M A S

LOS SISTEMAS DE ECUACIONES SE PUEDEN CLASIFICAR SEGUN EL NUMERO DE SOLUCIONES QUE PUEDEN PRESENTAR

SISTEMA INCOMPATIBLE:

Este se da si no tiene ninguna solucion

SISTEMA COMPATIBLE

Si tiene alguna solucion y se subdivide en:

DETERMINADO.-Cuando tiene una unica solucion

INDETERMINADO.- Cuando admite un numero infinito de soluciones.

METODOS DE SOLUCION

SUSTITUCION: CONSISTE EN DESPEJAR EN UNA DE LAS ECUACIONES CUALQUIER INCOGNITA , DE PREFERENCIA LA QUE TENGA MENOR COEFICIENTE, PARA LUEGO SUSTITUIRLA EN OTRA ECUACION POR SU VALOR.

EJEMPLO. . .

IGUALACION: ES UN CASO PARTICULAR DEL METODO DE SUSTITUCION, EN ESTE SE DESPEJA LA MISMA INCOGNITA EN DOS ECUACIONES Y LUEGO SE IGUALAN ENTRE SI LA PARTE DERECHA DE AMBAS ECUACIONES .

EJEMPLO . . .

REDUCCION: PROCEDIMIENTO DISEÑADO PARA ECUACIONES CON 2 ECUACIONES E INCOGNITAS , CONSISTE EN TRANSFORMAR 1 DE LAS ECUACIONES DE MANERA QUE OBTENGAMOS 2 ECUACIONES EN LA QUE LA MISMA INCOGNITA APAREZCA CON EL MISMO COEFICIENTE Y DISTINTO SIGNO, LUEGO SE SUMAN LAS DOS ECUACIONES, DANDOSE ASI LA REDUCCION O CANCELACION DE DICHA INCOGNITA, QUEDANDO DE 1 SOLA INCOGNITA DONDE EL METODO DE RESOLUCION ES SIMPLE. EJEMPLO…

METODO GRAFICO CONSISTE EN CONSTRUIR LA GRAFICA DE

CADA UNA DE LAS ECUACIONES DEL SISTEMA. ESTE SOLO RESULTA EFICIENTE EN EL PLANO CARTESIANO. ES EN DOS PASOS:

1.- SE DESPEJA LA INCOGNITA EN LAS 2 ECUACIONES

2.-SE CONSTRUYE PARA CADA UNA LA TABLA DE VALORES CORRESPONDIENTES

3.- SE PRESENTA GRAFICAMENTE LAS DOS RECTAS EN LOS EJES COORDENADOS.

EN ESTE PASO PODREMOS SABER SI TIENE O NO SOLUCION.

1/a + X = 1/b

EC

UA

CIO

NES

FR

AC

CIO

NA

RIA

S

ECUACION FRACCIONARIA.

ECUACION QUE CONTIENE FRACCIONES ALGEBRAICAS,

ES DECIR DONDE LA VARIABLE APARECE EN LOS DENOMINADORES DE LAS FRACCIONES, AL MENOS EN UNO DE ELLOS .

RESOLUCION:

1.- SI EN LOS NUMERADORES HAY BINOMIOS O POLINOMIOS, DEBEMOS ENCERRARLOS EN PARENTESIS PARA EVITAR ERRORES CON LOS SIGNOS, EL SIGNO MENOS QUE APARECE ANTES DE UNA FRACCION AFECTA A TODO EL NUMERADOR.

2.- BUSCAMOS EL MINIMO COMUN MULTIPLO DE LOS DENOMINADORES.

3.- MULTIPLICAMOS CADA TERMINO DE LA ECUACION POR EL MINIMO COMUN MULTIPLO ENCONTRADO.

4.- SIMPLIFICAMOS LOS DENOMINADORES DE LOS TERMINOS FRACCIONARIOS CON EL MINIMO COMUN MULTIPLO

5.- RESOLVEMOS LOS PARENTESIS EFECTUANDO LAS OPERACIONES INDICADAS.

6.- CONTINUAMOS RESOLVIENDO LA ECUACION CON LOS NUMEROS ENTEROS QUE SE OBTUVIERON.

LAS ECUACIONES FRACCIONARIAS SE RESUELVEN TRANSFORMANDOLAS EN ECUACIONES ENTERAS, POR LO CUAL ES NECESARIO ELIMINAR LOS DENOMINADORES, DE LA SIGUIENTE MANERA:

1.- SE HALLA EL MINIMO CUMUN MULTIPLO DE LOS DENOMINADORES

2.-SE MULTIPLICAN AMBOS MIEMBROS DE LA ECUACION POR EL MIN COM MULT DE LOS DENOMINADORES, EJEMPLO. . .