Grado: ............... Seccion: ........................ Area: ..................................................

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INTEGRANDOCOLEGIO ““Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”

IntegrandoIntegrandoIntegrandoIntegrandoInstitucion Educativa ParticularInstitucion Educativa ParticularInstitucion Educativa Particular

ColegioINTEGRANDO

Av. Berriozabal 312

982 002972INTEGRAN DO

COLEGIO

1

INTE

GRANDO

COLEGIO

I. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) El MCM de un conjunto de números es el menor de

los múltiplos comunes positivos a dicho conjunto de números.

Ejemplo:

Números Múltiplos8 8; 16; 24; 32; 40; 48; ...

12 12; 24; 36; 48; 60; 72; ...

El menor múltiplo común

⇒ MCM (8; 2) = 24

II. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) El MCD de un conjunto de números es el mayor de

los divisores comunes de dicho conjunto de núme-ros.

Ejemplo:

Números Divisores8 1; 2; 4; 8

12 1; 2; 3; 4; 6; 12

Mayor divisor común ⇒ MCD (8;12) = 4

Determinación de MCD y MCM

1. Por descomposición simultánea Ejemplo: calcula el MCD y el MCM de 100;

180; 240.

Para calcular el MCD, se toman solamente los divisores comunes.

10050255

––––

18090459

––––

240120606

225

MCD (100; 180; 240) = 2 x 2 x 5

20

Para calcular el MCM, se continúa la descomposición considerando todos los divisores que admitan los números hasta que cada número se reduzca a la unidad.

10050252525252551

–––––––––

1809045454515511

–––––––––

2401206030155511

22223355

MCM (100; 180; 240) = 24 . 32 . 52

2. Por descomposición canónica Ejemplo: P = 24 . 33 . 5 x 73

R = 23 x 32 x 53 x 112

MCM – MCD I

INTEGRAND OCOLEGIO

AcademiaINTEGRANDO

Av. Berriozabal 312ColegioIntegrando

“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”MATEMATICAMATEMATICA

2

INTE

GRANDO

ACADE

MIATrabajando en clase

Integral1. Calcula el MCD de 48; 24 y 16.2. Calcula el MCM de 54; 30 y 27. 3. ¿Cuál es la suma del MCD de 48 y 24 con el MCM

de 60 y 180?Católica

4. Si se cumple lo siguiente: A = 25 x 34 x 53

B = 23 x 36 x 5 x 7 Determina MCD (A; B) y MCM (A; B) expresado

canónicamente.Resolución:MCD (A; B) = 23 x 34 x 5

(Divisores primos comunes elevados al menor ex-ponente)

MCM (A; B) = 25 x 36 x 53 x 71

(Todos los divisores primos elevados al mayor exponente)

5. Si se cumple lo siguiente: P = 24 x 32 x 5 E = 23 x 36 x 74

determina el MCD (P; E) y el MCM (P; E) expresado canónicamente.

6. ¿Cuál es el producto del MCD de 420 y 144 con el MCD de 390 y 360?

7. Calcula el valor de «x» si el MCD de A y B tiene 12 divisores: A = 2x . 75

UNMSM8. Si se cumple lo siguiente: E = 12 x 15 x 20 P = 3 x 10 x 16 determina el MCM (E; P) canónicamente.

Resolución: Para hacer el MCM (E; P) canónicamente, hay que

descomponer E y P canónicamente. E = 12 x 15 x 20 ⇒ E22 x 3 x 3 x 5 x 22 x 5 E = 24 . 32 x 52

De la misma manera descomponemos: P = 3 x 5 x 2 x 24

P = 25 x 31 x 51

E = 24 . 32 . 52

P = 25 x 31 x 51

MCM (E; P) = 25 x 32 x 52

9. Si se cumple lo siguiente: G = 25 x 30 x 48 C = 4 x 81 x 120 determina el MCM (G; C) canónicamente.10. Divide el MCM de 240 y 180 con el MCD de 800 y 850.11. Si MCM (6A; 6B) = 48, calcula MCM (A; B)

UNI12. Si el MCD (P; P–1) = m3 – 26 , calcula 4m.

Resolución: Por propiedad, si dos números son consecutivos,

son PESI, y si A y B son PESI, MCD(A; B) = 1; entonces, para P; P – 1 (dos números consecutivos).

El MCD (P; P–1) = 1 = m3 – 26 ⇒ m3 – 26 ⇒ m3 = 37 m = 3 Piden: 4 x 3 = 12 13. Si MCD (a – 1; a) = P3 – 7, calcula «4p».

14. Calcula el MCD (32; 24; 64; 40)

MCD (P;R) = producto de los divisores primos comunes con sus menores exponentes.

⇒ MCD (P;R) = 23 x 32 x 5

MCM (P;R) = producto de los divisores primos comunes y no comunes con sus mayores exponentes.

⇒ MCM (P;R) = 24 x 33 x 53 x 73 x 112

III. PROPIEDADES 1. Si A y B son dos números PESI, entonces:

● MCD (A; B) = 1 ● MCM (A; B) = A x B

2. Si A = B, entonces: ● MCD (A; B) = B ● MCM (A; B) = A

3. Si: ● MCD (nA; nB) = n MCD (A; B) ● MCM (nA; nB) = n MCM (A; B)

El MCM (A;B) = MCD (A; B)

Observación:

4. Para dos números A y B se cumple: ● MCD (A; B) x MCM(A; B) = A x B

INTEGRAND OCOLEGIO

ColegioINTEGRANDO

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982 002972

GRUPOEDUCATIVOGRUPOEDUCATIVO ININTETEGRAGRANNDODO

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INTE

GRANDO

COLEGIO

Trabajando en claseIntegral

1. Calcula el MCD de 48; 24 y 16.2. Calcula el MCM de 54; 30 y 27. 3. ¿Cuál es la suma del MCD de 48 y 24 con el MCM

de 60 y 180?Católica

4. Si se cumple lo siguiente: A = 25 x 34 x 53

B = 23 x 36 x 5 x 7 Determina MCD (A; B) y MCM (A; B) expresado

canónicamente.Resolución:MCD (A; B) = 23 x 34 x 5

(Divisores primos comunes elevados al menor ex-ponente)

MCM (A; B) = 25 x 36 x 53 x 71

(Todos los divisores primos elevados al mayor exponente)

5. Si se cumple lo siguiente: P = 24 x 32 x 5 E = 23 x 36 x 74

determina el MCD (P; E) y el MCM (P; E) expresado canónicamente.

6. ¿Cuál es el producto del MCD de 420 y 144 con el MCD de 390 y 360?

7. Calcula el valor de «x» si el MCD de A y B tiene 12 divisores: A = 2x . 75

UNMSM8. Si se cumple lo siguiente: E = 12 x 15 x 20 P = 3 x 10 x 16 determina el MCM (E; P) canónicamente.

Resolución: Para hacer el MCM (E; P) canónicamente, hay que

descomponer E y P canónicamente. E = 12 x 15 x 20 ⇒ E22 x 3 x 3 x 5 x 22 x 5 E = 24 . 32 x 52

De la misma manera descomponemos: P = 3 x 5 x 2 x 24

P = 25 x 31 x 51

E = 24 . 32 . 52

P = 25 x 31 x 51

MCM (E; P) = 25 x 32 x 52

9. Si se cumple lo siguiente: G = 25 x 30 x 48 C = 4 x 81 x 120 determina el MCM (G; C) canónicamente.10. Divide el MCM de 240 y 180 con el MCD de 800 y 850.11. Si MCM (6A; 6B) = 48, calcula MCM (A; B)

UNI12. Si el MCD (P; P–1) = m3 – 26 , calcula 4m.

Resolución: Por propiedad, si dos números son consecutivos,

son PESI, y si A y B son PESI, MCD(A; B) = 1; entonces, para P; P – 1 (dos números consecutivos).

El MCD (P; P–1) = 1 = m3 – 26 ⇒ m3 – 26 ⇒ m3 = 37 m = 3 Piden: 4 x 3 = 12 13. Si MCD (a – 1; a) = P3 – 7, calcula «4p».

14. Calcula el MCD (32; 24; 64; 40)

MCD (P;R) = producto de los divisores primos comunes con sus menores exponentes.

⇒ MCD (P;R) = 23 x 32 x 5

MCM (P;R) = producto de los divisores primos comunes y no comunes con sus mayores exponentes.

⇒ MCM (P;R) = 24 x 33 x 53 x 73 x 112

III. PROPIEDADES 1. Si A y B son dos números PESI, entonces:

● MCD (A; B) = 1 ● MCM (A; B) = A x B

2. Si A = B, entonces: ● MCD (A; B) = B ● MCM (A; B) = A

3. Si: ● MCD (nA; nB) = n MCD (A; B) ● MCM (nA; nB) = n MCM (A; B)

El MCM (A;B) = MCD (A; B)

Observación:

4. Para dos números A y B se cumple: ● MCD (A; B) x MCM(A; B) = A x B

Integral

16. Calcula el MCD de 96; 48 y 32.a) 16 c) 960 e) 160 b) 32 d) 480

17. Calcula el MCM de 108; 60 y 54.a) 1080 c) 540 e) 1200b) 600 d) 1440

18. ¿Cuál es la suma del MCD de 27 y 54 con el MCM de 39 y 78.a) 135 c) 132 e) 95b) 93 d) 105

19. Si D = 26 x 72

U = 23 x 32

K = 24 x 5 E = 23 x 3 x 52

calcula el MCM (D; U; K; E) canónicamente.a) 26 × 32 x 52 × 72 b) 23 × 53 × 72 c) 24 × 32 × 52

d) 24 × 32 × 52 × 72

e) 23 × 3 × 5 × 72

Católica

20. ¿Cuál es el producto del MCD de 240 y 420 con el MCD de 50 y 150?a) 600 c) 6000 e) 3000b) 300 d) 100

21. Calcula el valor de «m» si el MCD de J y L tiene 15 divisores.

J = 25 . 3m . 54

L = 22 . 32m . 73

a) 2 c) 4 e) 5b) 3 d) 6

22. Si el MCM de dos números es 300 y su MCD es 12 y además uno de ellos es 25, ¿cuál es la raíz cuadrada del otro número?a) 15 d) 6b) 12 e) 9c) 10

23. El MCM de dos números es 630. Si su producto es 3780, ¿cuál es su MCD?

a) 15 d) 6b) 12 e) 9 c) 10

UNMSM

24. Divide el MCM de 600 y 400 con el MCD de 120 y 40.a) 60 d) 6b) 30 e) 3c) 120

25. Si MCM (15P; 30M) = 600, el MCM (P; 2M) es:

a) 10 d) 20b) 30 e) 40c) 60

26. Si el MCD de dos números es 8 y su MCM es 72, calcula el quíntuple del producto de dichos números.a) 2880 d) 846b) 1440 e) 5660c) 576

27. Si A = 3B, calcula MCD (A; B) + MCM (A; B)

a) A d) 4Bb) 3B e) 5Bc) 4A

UNI

28. Calcula el MCD (120; 80; 240; 40)

a) 40 b) 80 c) 120d) 240e) 360

29. Si A = 3(m + 1) y B = 3m, calcula el MCD (A; B)

a) 3 d) 2b) 6 e) 1c) 4

30. Si G = 47x y P = 47(x – 1), calcula el MCD (G; P)

a) 1 c) 6 e) 7 b) 3 d) 5

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