¿ Por qué los profesores de enseñanza básica necesitan saber matemáticas?

Dr. Solomon FriedbergProfesor de Matemáticas y DirectorDepartamento de MátemáticasBoston CollegeChestnut Hill, MA 0467friedber@bc.eduhttp://www2.bc.edu/~friedber

“Saber Matemáticas”

Las siguientes afirmaciones son ampliamente aceptadas en EEUU:1) Cuando un profesor enseña matemáticas, su conocimiento

matemático es un factor crucial en el éxito de los estudiantes.

Por ejemplo, el conocimiento le permite al profesor:

• Reconocer los momentos propicios de enseñanza.• Estimular y responder preguntas.• Reconocer un razonamiento correcto que está fuera de los

márgenes conocidos, es decir, un razonamiento correcto pero no estándar.

Dar explicaciones, para que las matemáticas sean apreciadas como un asunto coherente y no como un montón de reglas arbitrarias.

Reconocer cuáles cosas son importantes y priorizar. (Por ejemplo, la importancia de la suma automática de un solo dígito , lo mismo en la resta, multiplicación y la división; la ley distributiva).

Fomentar el razonamiento matemático en equilibrio con los conocimientos técnicos (ambos son importantes).

2) El conocimiento matemático necesario para enseñar bien matemáticas, es un conocimiento avanzado. Y NO es cierto que quienes entran a la universidad poseen este conocimiento.

• ¿Puedes explicar por qué el algoritmo de la división funciona?¿Por qué al multiplicar fracciones lo hacemos multiplicando numeradores y denominadores, pero la suma no funciona de la misma manera?

3) Este conocimiento no es adquirido en un curso de Cálculo. Sino que debe ser transmitido en cursos dedicados especialmente a ello.

4) Este conocimiento se relaciona con didáctica de las matemáticas, pero no es lo mismo. Aprender acerca de bloques de base 10, no garantiza un buen conocimiento acerca del papel que juega el valor posicional en la matemática de enseñanza básica, pero ciertamente están relacionados.

Un famoso problema estudiado por Liping Ma es dar un problema de enunciado (word problem) cuya respuesta resulte de dividir

2 1/2 en 3/8 Para responder a esto, hay que entender los

diferentes modelos o representaciones de la división. Los profesores en EEUU (incluso aquellos con experiencia) tuvieron un desempeño bastante pobre en esta pregunta. Ellos no tenían los conocimientos matemáticos necesarios.

5) El Razonamiento matemático juega un papel importante en el éxito de la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas. Tal razonamiento requiere que los futuros profesores descubran situaciones matemáticas, por sí mismos.

6) Matemáticos, educadores matemáticos, profesores de colegio, deben trabajar unidos para preparar adecuadamente a los futuros profesores, en todos los niveles.

El problema en EEUU

Muchos maestros de escuelas primarias en EEUU son débiles en matemáticas.

Carecen de un conocimiento profundo de las matemáticas que enseñan.

Si profesores de tercero básico leen (ellos mismos) al nivel de sexto básico, entonces habrá que hacer algo al respecto de manera urgente.

Sin embargo, muchos profesores de primaria en EEUU, no pueden “hacer” la matemática de sexto.

¿Cómo enseña matemáticas cuando Ud. no las entiende a fondo?

Ud. se centra en reglas, procedimientos y memorización, o en herramientas manipulables, juegos y actividades que no se pueden conectar facilmente con conceptos.

¿Por qué ha pasado esto?Son pocos los profesores en EEUU a los cuales

se les pidió aprender más matemáticas en sus programas de preparación.

En contraste, tienen muchos cursos de escritura y lectura.

Frecuentemente los cursos de matemáticas que ellos toman no son relevantes respecto a la tarea de enseñar matemáticas en la escuela primaria.

Pensamos que la matemática de Kinder a sexto es fácil.

La matemática de la enseñanza básica no es

básica.Elementary School Math

is not elementary

Nuestras metas deben apuntar a:

Proporcionar profesores de enseñanza básica, con un profundo conocimiento de la matemática que enseñan.

Incluir un foco en “explicar por qué”

Afirmaciones deben tener razones  

“Es importante que desde la infancia temprana, las experiencias con las matemáticas, ayuden a entender que las afirmaciones siempre deben tener razones. Preguntas como "¿Por qué crees que es cierto?" Y "¿Alguien cree que la respuesta es diferente, y por qué piensas así? “ ayudan a los estudiantes a ver que las afirmaciones deben ser apoyadas o refutadas por pruebas ".

De los principios y normas del NCTM para la Matemáticas escolares (capítulo 3) (PSSM), 2000.

Algunas Preguntas

¿Por qué “guardar” en la suma con reserva?

¿Cuál es una forma eficiente de restar 999?

Cuando tu multiplicas por 10, ¿Por qué “agregas un cero” al final del número?

¿Por qué no se puede dividir por cero?

Hábitos MatemáticosLas matemáticas deben enseñarse en todos los

niveles con un foco en la comprensión.

Memorización de hechos numéricos es esencial, pero es más fácil cuando hay comprensión.

23571-999=?

23571-999 =23571-(1000-1)

=23571-1000+1.

Los Profesores necesitan un entendimiento sofisticado de la matemática de enseñanza básica.

Por ejemplo, para calcular 23571-999 como antes, nosostros usamos:

Resultados de números La ley distributiva [quizás implicitamente] El sistema de valor posicional

Un profesor que no maneja esto fluidamente no está preparado para enseñar la resta.

Conociendo el edificio y edificar fluidez en los cálculos Una vez que los niños han usado el “atajo”

999=1000-1 en restas (o sumas), ellos la pueden usar en la multiplicación:

Usar la propiedad distributiva y el hecho que 999 = 1000-1 para encontrar 999 x 213

Por el contrario, el hábito de memorizar reglas y algoritmos sin entendemiento es contraproducente. Estos efectos negativos aparecen particularmente en el segundo ciclo básico.

Profesores que no entienden bien matemáticas tipicamente no enseñanan para que los estudiantes entiendan, ellos no ayudan a sus estudiantes a razonar matematicamente.

Algunas evidencias de esto:

1) Clases de matemáticas en 7 países: Resultados de estudio de videos de clases TIMSS 1999

Porcentaje de clases de octavo básico (en una sub-muestra) que contienen el desarrollo de racionales: Australia, Suiza: 25%. EEUU: 0%.

2) El estudio comparativo de Liping Ma entre los profesores de primaria en China y EEUU: Los profesores americanos no conocen muchos tópicos y desaprovechan muchos momentos cruciales de enseñanza.

¿Cuáles son los cambios que están ocurriendo en Massachusetts?

• Nuevos requisitos de certificación.

• Nuevos cursos a nivel universitario.

¿Cuáles Cursos?

1. Números y operaciones (“aritmética”)

2. Geometría, Medida, Probabilidad y Estadística.

3. Patrones, Funciones y Álgebra (“álgebra para profesores”)

Números y Operaciones

Valor Posicional Definiciones de las 4 operaciones y modelos para explicarlas. Resolución de Problemas. Desarrollo de algoritmos, ¿Por qué funcionan?, Variaciones de

ellos. Teoría básica de números – primos, divisibilidad, mcm,MCD Fracciones Razones, Porcentajes, tasas Números negativos Decimales

Este es un curso fundamental.

Aritmética es fundamental para el resto de las matemáticas y en gran parte de las ciencias, de la misma manera que leer es fundamental para la educación.

Metas del Curso Presentar la aritmética como un tópico

coherente partiendo de definiciones y resultados básicos.

Cambiar la perspectiva del “¿cómo?” al “¿por qué?”

Aritmética no es solo un montón de reglas las cuales hay que memorizar.

Entender tópicos importantes que son pasados por alto (rol del valor posicional, ley distributiva).

Ejemplo - Fracciones

• Es importante que los profesores sepan como sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones y por qué se hace de ese modo.

• Es también importante que ellos entiendan que las operaciones con fracciones son solo extensiones de las operaciones con números naturales, y que esas operaciones son las que se extienden a números reales y complejos.

Ejemplo - Multiplicación3 x 5

10 2

3

3 ×12 = (3 × 10) + (3 × 2)

24 × 32

20

30

4

2

120

600 40

8

2 2( )( ) 2a b a b a ab b

a

a

b

b

ab

a2 ab

b2

Ejemplo de preguntas del examen final ¿Cuántos millones son 23 billones?

  Explica por que 9:0 no está definido.

Usa la propiedad distributiva y el hecho que 2000 = 2000-2 para encontrar 1998 x 213. ¿Cuál otra propiedad de números y operaciones usas en ese cálculo?

Haga un problema corto para ilustrar la división 15 ÷ ¾

Si un auto recorre 4/5 km in 2/3 minutos, cuál es su rapidez en

a. kms por minuto

b. kms por hora.

Para multiplicar 2.37 x 1.256 nosotros primero multiplicamos 237 x 1256. Luego contamos 5 puestos desde la derecha e insertamos una coma. Explica por qué esto es correcto. (Por favor no diga que así es la regla!)

Explica por qué el producto de dos negativos es un número positivo.

Explica el criterio de “divisibilidad por 3”, y por qué funciona.

Ejemplo: Proyecto Especial de asignación de tareas para mi curso

1) Escriba un resumen de una página de uno de los capítulos del 1 al 4 del libro de Liping Ma “Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States.”

2) Diseña una serie de 5 problemas “multi-partes” o actividades multi-pasos que traten algún tópico del curriculum de básica en el área de “Números y operaciones” y que sean adecuados para el uso en la sala de clases. Algunos otros ejemplos de temas apropiados son la comprensión de valor posicional, multiplicación de números de varias cifras y la multiplicación de fracciones. Hay muchos otros. Sus prácticas deben construir tanto habilidad algorítmica y comprensión del tema que nos ocupa, y debe basarse en su propia comprensión profunda del tema. Por lo menos un ejercicio debería incluir un aspecto de la matemática o la exploración de un problema que requiere que los estudiantes amplíen su comprensión.

3) Explica en un máximo de una página, como la serie de problemas de la parte (2) construye conocimiento matemático en los estudiantes y como tu lo descubres desde tu propio conocimiento pedagógico.

Para más información de mi curso:

www2.bc.edu/~friedber/mt190

Geometría y Medida

Atributos de figuras geométricas. Propiedades de líneas y ángulos Semejanza y congruencia Construcciones geométricas Demostraciones básicas/geometría deductiva Análisis de la dimensión. Desarrollo de fórmulas estándar de área y volumen Teorema de Pitágoras y la fórmula de distancia

Probabilidad y Estadisticas

Estadística Descriptiva Gráfico de datos Tendencia Central y desviaciónProbabilidad básica, definiciones y conceptosConteo; Experimentos de varios pasosUsos errados o abusivos de la estadística.

Patrones, Funciones y Álgebra

Aprender aritmética correcta y conceptualmente potencia a los estudiantes a aprender álgebra después. Por ejemplo, factorizar por 5:

5x^2 + 20 x - 10 se refiere a la propiedad distributiva. Multiplicar polinomios está muy cerca de multiplicar números.

El concepto de “función” clave en matemáticas. Pero no siempre son bien tratadas en el nivel básico. La enseñanza de los patrones es con frecuencia un asunto problemático (¿Cuál es el siguiente término de la secuencia “3,1,4,1,5?”) Y los profesores no saben cuál es el objetivo de esto.

En un curso de primer año universitario, nosotros queremos que los futuros profesores reconozcan el álgebra como una extensión natural de la aritmética. Esto les ayudará a preparar estudiantes para el álgebra.

Identificación de profundo conocimiento pedagogíco en contenido

Un grupo liderado por Deborah Ball ha escrito ítems diseñados para testear “pedagogical content knowledge”, y confirmar que altos puntajes en sus tests están correlacionados con profesores exitosos en la enseñanza de las matemáticas.

Ejemplo de Pregunta

El curso de la Sra. López ha trabajado en encontrar patrones en una tabla de 10x10 que contiene los primeros 100 números. Una estudiante, María, reconoce un interesante patrón. Ella dice que si dibujas un “signo mas” (+) como mostramos en la siguiente diapositiva, la suma vertical es igual a la suma horizontal (es decir, 22 + 32 + 42 = 31 + 32 + 33).

Regularidad de María

¿Cuál de las siguientes explicaciones dadas por los estudiantes muestra una comprensión suficiente de por qué esto es cierto para todos los signos mas? (Marca SI, NO or NO ESTOY SEGURO para cada una de ellas.)

El promedio de los tres números en la vertical es igual al promedio de los tres números en la horizontal.

Ambas partes del signo igual suman 96. No importa donde el “signo mas” esté, ambas partes

suman el triple del número del medio. Los números de la vertical son “10 menos” y “10

más” que el término del medio.

Comentarios Finales

Dictar estos cursos es profesionalmente satisfactorio.

Hay una profundidad sorprendente en la mátemática de K-8.

Enseñar a los futuros profesores de primaria puede romper el círculo de fracaso matemático que vemos día a día en nuestras aulas.

Matemáticos y educadores en matemáticas son importantes en esta tarea.