Σ Ε Λ . 1 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

Aσκήσεις Επανάληψης για τις Τελικές Εξετάσεις Γ΄Λυκείου Κατεύθυνσης MΕΡΟΣ Α

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ : ΤΕΥΧΟΣ Α 1) Να δείξετε ότι :

α) 2

11 lim

20x

β) 5

22

3 lim

2

3

0x

xe γ)

3

1 lim

30x

Σ Ε Λ . 2 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

2) Να υπολογίσετε την τιμή του a R αν ισχύει ότι

0

2 1lim

5 2axx

ax

a e x a

(απ.α=1)

3) (α) Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle.

(β) Nα εξετάσετε ποιες από τις κάτω συναρτήσεις ικανοποιούν το θεώρημα Rolle και

να βρείτε τα 𝜉 ∈ (𝛼, 𝛽) για τα οποία ισχύει το θεώρημα.

i.𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 στο [0,3]

ii. 𝑓(𝑥) = |𝑥| στο [−3,3]

Σ Ε Λ . 3 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

4) Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 4𝑥3 + (𝜆 − 1)𝑥2 − 3𝜆𝑥 + 2(𝜆 + 3) ,𝜆 ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 𝜉 ∈ (1,2) τέτοιο ώστε 𝑓′(𝜉) = 0.

5) Να δείξετε ότι η εξίσωση 𝑥3 + 9𝑥2 + 24𝑥 + 𝑒2020 =0 έχει το πολύ μία λύση στο διάστημα (0,3).

Σ Ε Λ . 4 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

6) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3𝑒𝑥 + 𝑥3 = 3𝑥2 − 3𝑥 έχει μοναδική λύση στο διάστημα

(-1,0).

7) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2𝑥 = 𝜎𝜐𝜈𝑥 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα η οποία ανήκει στο

διάστημα (0,𝜋

2).

Σ Ε Λ . 5 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

8) α) Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής. β)Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 και 0 < 𝑎 < 𝛽. Να δικαιολογήσετε ότι ικανοποιούνται οι

υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα α,β και να δείξετε ότι:

1 lnβ lnα 1

β β α α.

9) Αν για τη παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: [0,1] → ℝ ισχύει 𝑓(0) = 2, 𝑓(1) = 4, να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο 𝜉 ∈ (0,1) ,ώστε η εφαπτομένη της 𝑓 στο (𝜉, 𝑓(𝜉)) να είναι παράλληλη με την ευθεία 𝑦 = 2𝑥 + 2020.

Σ Ε Λ . 6 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

10) Δίνεται η συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ με τύπο 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 12𝑥 + 2 . Να βρείτε τις τιμές του 𝛼 ∈ ℝ, ώστε η συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.(𝛼𝜋. −4 ≤ 𝛼 ≤ 4)

11) Δίνεται η συνάρτηση ( f(x) ln lnx) ln x, x 1.

α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.(απ.(𝑒, −1))

β) Αν e α β , να δείξετε ότι: β αα β

Σ Ε Λ . 7 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

12) Αν Rxx)x(f)x(f 3 , όπου f : R R συνάρτηση που είναι δύο φορές

παραγωγίσιμη: α) να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

β) να δείξετε ότι 0)0(f .

γ) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο της με τετμημένη x=0 .(απ. 𝑦 = 𝑥)

13) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xf(x) 2xe

α) Να βρείτε το τοπικό ακρότατό της και να το χαρακτηρίσετε. (Απ. max2

1 , e

)

β) Να δείξετε ότι xe 2x , για κάθε x R .

Σ Ε Λ . 8 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

14) Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 + 𝑥 + 𝛽 έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο (0,3).Να βρείτε τις τιμές των α,β.(απ. α=-1, β=2)

15) Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥+𝛽

𝑥2−𝑥−2 έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο (0,-1).Να βρείτε τις τιμές

των α,β.(Απ. α=1)

16) Η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥 + 𝛽𝑥2 + 𝛽έχει σημείο καμπής στο σημείο (0,-1). Να βρείτε τις τιμές των α,β.(απ. α=-2,α=2,β=-2)

Σ Ε Λ . 9 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

17) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥 + 1 στα σημεία καμπής της είναι κάθετες.(απ. Σ.Κ.(-1,1),(0,1))

18) Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f , ορισμένης στο R . Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο:

αχ 5

f χ2χ β

, α,β R , έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία ψ 1 και κατακόρυφη

ασύμπτωτη την ευθεία χ 2 , να υπολογίσετε τις τιμές των α και β .(απ.𝛼 = 2, 𝛽 = −4)

Σ Ε Λ . 10 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

19) Δίνεται η καμπύλη 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, τα σημεία τομής με τους άξονες χχ’και ψψ’, τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της , το σημείο καμπής της και να την παραστήσετε γραφικά.

Σ Ε Λ . 11 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

20) Στις πιο κάτω συναρτήσεις να βρείτε : Το πεδίο ορισμού , τα σημεία τομής με τους άξονες χχ’και ψψ’, τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα (αν υπάρχουν) , τις ασύμπτωτες και να τις παραστήσετε γραφικά.

(α) 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥+4

Σ Ε Λ . 12 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

(β) 𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥2−4

Σ Ε Λ . 13 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

Σ Ε Λ . 14 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

(γ) 𝑓(𝑥) =𝑥2−𝑥−2

𝑥+2

Σ Ε Λ . 15 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

Σ Ε Λ . 16 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

(δ) 𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥2

Σ Ε Λ . 17 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

Σ Ε Λ . 18 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

(ε) 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥−1

𝑒𝑥+1

Σ Ε Λ . 19 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

(στ) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥

Σ Ε Λ . 20 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

Σ Ε Λ . 21 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

(ζ) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥

Σ Ε Λ . 22 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

21) Γεωργός θέλει να κατασκευάσει δεξαμενή νερού σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ανοικτή στο πάνω μέρος . Η βάση του είναι τετράγωνο πλευράς χ και ο

όγκος του είναι ίσος με 300 𝑐𝑚2 .

(α) Να δείξετε ότι 𝐸 = 𝑥2 +1200

𝑥 αν Ε είναι η επιφάνεια της λαμαρίνας που θα

χρησιμοποιηθεί. (β)Αν το κόστος για τη βάση είναι €2/m² και για τα πλάγια τοιχώματα €6,75/m² να βρεθεί το ελάχιστο κόστος για την κατασκευή της δεξαμενής.(απ.χ=12,65)

Σ Ε Λ . 23 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

22) Δίνεται η καμπύλη 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2.Σε αυτή εγγράφεται ορθογώνιο με τις δύο κορυφές του Α,Β στο άξονα χχ’ και τις άλλες δύο Γ,Δ στη καμπύλη. Να βρείτε τα μήκη του ορθογωνίου

ΑΒΓΔ ώστε να έχει μέγιστο εμβαδόν καθώς και το εμβαδόν αυτό.(απ. 4√3

3,

8

3)

23) Η μεγάλη βάση ισοσκελούς τραπεζίου έχει μήκος 2χ+2 μέτρα ,ενώ κάθε μία από τις υπόλοιπες τρεις πλευρές του έχει μήκος 2 μέτρα. Να βρείτε τη τιμή του χ ώστε το τραπέζιο να έχει μέγιστο εμβαδόν.(απ. χ=1)

Σ Ε Λ . 24 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

24) Δίνεται η καμπύλη 𝑓(𝑥) = 𝑥2και το σημείο της Σ(χ,ψ). Αν Α(3,0) να βρείτε τις συντεταγμένες του Σ ώστε η απόσταση ΣΑ να είναι ελάχιστη καθώς και την ελάχιστη αυτή

απόσταση.(απ. (1,1),√5)

25) Δίνεται ο κύκλος 𝑥2 + 𝑦2 = 4 και 𝑀(2𝜎𝜐𝜈𝜃, 2𝜂𝜇𝜃) ,0 < 𝜃 <𝜋

2 τυχαίο σημείο του . Αν η

εφαπτομένη του πιο πάνω κύκλου στο σημείο του Μ τέμνει τους ημιάξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ ώστε το εμβαδόν του

τριγώνου ΟΑΒ να είναι ελάχιστο.(απ. 𝛭(√2, √2))

Σ Ε Λ . 25 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

26) Αν 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝜏𝜊𝜉𝜀𝜑𝑥 να δείξετε ότι : (1 + 𝑥2)𝑓′′(𝑥) − 2𝑥(1 − 𝑓′(𝑥)) = 0

27) Να αποδείξετε ότι: (𝜏𝜊𝜉𝜎𝜐𝜈𝑥)′ = −1

√1−𝑥2, 𝑥 ∈ (−1,1)

Σ Ε Λ . 26 | 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΕΥΧΟΣ Α

2019-2020

28) Να δείξετε ότι 𝑥 ≤ 𝜏𝜊𝜉𝜂𝜇𝑥,𝑥 ∈ [0,1]

29) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = 4𝜏𝜊𝜉𝜀𝜑𝜒 − 2𝜒, 𝜒 ∈ ℝ

30) Να δείξετε ότι 𝑥 −𝜒3

3< 𝜏𝜊𝜉𝜀𝜑𝑥, 𝑥 ∈ (0, +∞)