Estudiantes  de  Mate  3172.  

La  Universidad  de  Puerto  Rico.  Recinto  Universitario  de  Mayagüez  está  invirtiendo  unos  recursos  con  el  propósito  de  mejorar  los  rendimientos  en  el  curso  de  Mate  3172.  Con  esos  fines  se  ha  nombrado  tutores,  estudiantes  graduados  del  área  de  matemáticas,  así  como  un  coordinador.  

Hemos  notado  que  varios  estudiantes  no  están  haciendo  el  trabajo  requerido  en  la  forma  correcta.  

Les  indicaré  a  continuación  la  forma  correcta  de  hacer  el  trabajo.  Tomaré  como  modelo  el  Taller  9.  

En  lo  sucesivo  no  se  recibirá  ningún  taller  que  no  venga  en  la  forma    como  se  muestra  a  continuación.  

1. Todos  los  ejercicios  deben  estar  resueltos  en  hojas  aparte    incluyendo  los  de  selección  múltiple  y  las  hojas  debidamente  grapadas.  Deben  ser  entregadas  al  llegar  al  salón  donde  se  realiza  el  taller.  En  el  taller  se  trabajará  en  los  ejercicios  que  corresponden  al  taller  de  ese  día  y  no  en  el  taller  que  deben  traer  hecho  y  que  han  tenido  una  semana  para  completar  lo  que  no  se  pudo  terminar  en  el  taller.  

2. No  se  recibirá  ningún  taller  en  otro  tiempo  y  si  no  viene  en  la  forma  correcta.    

Taller  9.      Nombre  ______________.  Profesor_____________.  Sección  _______.  Fecha______  

1. Encuentre el valor exacto de las siguientes funciones trigonométricas. (a) 0780sen     (b)   ( )0tan 510−   (c)   ( )0csc 315     (d)   ( )sec 3060

Solución. ( )0 0 0780 2 360 60 ,= +   0 0 3780 602

sen sen= =  (b)   ( )0 0510 510 360 150− = − − = −  

( ) ( )0 0 0 3tan 150 tan150 tan30 tan303

− = − = − − = =  (c)   0 0csc315 csc45 2= − = −  

(d)   ( )0sec 3060 ,   ( )3060 8 360 180= + , ( )0sec 3060 0sec180 1= −  

2.  Resuelva  los  siguientes  triángulos.  Exprese  las  respuestas  con  aproximación  de  dos  cifras  decimales.  

Use  para  los  vértices  letras  mayúsculas    A,  B,  C,  etc.    y  para  los  lados  opuestos    a,    b,    c,    etc.  

Los  ángulos  señalados  en  la  figura  están  medidos  en  grados  

 

 

Solución.    (a)  Sea  A  el  ángulo  opuesto  al  lado  de  longitud  5,  B  el  ángulo  opuesto  al  lado  de  longitud  3  y  sea  C  el  ángulo  opuesto  al  lado  desconocido  c.  Tenemos   2 2 25 3 16, 16 4c c= − = ⇒ = =  

A∠  es  el  ángulo  recto.  Tenemos   1 03 3, 36.875 5

sen B B sen−∠ = ∠ = = ,   0 090 36.87 53.13B∠ = − =  

(b)  Sea   A∠ = 090 ,   B∠  el  opuesto  al  lado    de  longitude  8,   050C∠ = .  Tenemos   A∠0 0tan50 8tan50 9.538c c= ⇒ = =  (c)   A∠ = 090 ,   2 212 5 169 13a = + = = ,  sea   B∠  el  ángulo  opuesto  al  lado  

de  12,  tenemos   1 0 0 012 12tan tan , 67.38 , 90 67.38 22.625 5

B B B C−= ⇒ = ∠ = ∠ = − =  

3.  Encuentre  el  valor  de  los  lados  señalados  con  x,  y  

 

 

(a) 0 036 12 36 7.0512hsen h sen= ⇒ = = ,   0 7.05tan36 9.70

tan36 tan36h hyy

= ⇒ = = = ,  

2 2 28 64 7.05 3.7x h= − = − = 8  

(b)   ( ) 2 21 5 4 9 3 1 3, 3 1 2x x x+ = − = = ⇒ + = = − = ,   2 24 2 20 2 5y = + = =  

4.  Mediante  las  identidades  trigonométricas  que  ya  conoces  y  que  te  las  recuerdo:  2 2 2 2 2 2cos 1, 1 tan sec , 1 cot csc , csc 1, cos sec 1, tan cot 1sen senθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ+ = + = + = = = =  

Escriba  la  primera  función  trigonométrica  en  términos  de  la  segunda  para  θ  en  el  cuadrante  dado  

(a)   , cossenθ θ      θ  en  I  cuadrante    (b)  cot , cscθ θ ,  θ  en  III  cuadrante  (c)     , secsenθ θ θ ∈cuad  IV  

Solución.    

(a) 21 cossenθ θ= −            (b)   2cot csc 1θ θ= − ,        (c)  2

22

1 sec 11 cos 1secsec

sen θθ θ

θθ−

= − = − = −  

 

5.  Encuentre  el  área  del  triángulo  con  la  información  dada.  

(a)  Dos  lados  del  triángulo  miden  15cms  y   24cms  y  el  ángulo  formado  por  dichos  lados  mide   080  

Solución.     12

Area bcsenA= ,   01 (15)(24) 80 177.272

A sen= = 2cm      

(b)  Se  tiene  un  triángulo  isósceles  cuyos  lados  iguales  miden  8  cms    y  uno  de  los  ángulos  de  la  base   054  

Halle  el  área  del  triángulo.  

Solución.  

Los  ángulos  de  la  base  son  iguales,  entonces  el  ángulo  vertical  es   ( ) 0180 2 54 72− = ,    el  área  es:  

( )( ) 01 8 8 72 30.432

A sen= = 2cm  

(c).  Halle  el  área  de  un  triángulo  equilátero  de  lado    x    en  función  del  lado.  

Los  ángulos  del  triángulo  equilátero  son  iguales  a   060 ,  luego  2

0 21 1 3 3602 2 3 4

xA xxsen x= = =  

6.  Encuentre  el  área  de  la  región  sombreada.  

 

En  la  parte  (a)  el  ángulo  esta  expresado  en  grados,  el  radio  es  8,  en  la  parte  (b)  el  radio  es  10,  el  ángulo  6π  

 

(a) A(sombreada)  =   ( ) ( )secA tor A triangulo− =

( ) ( )( ) ( )2 0 21 5 1 1 58 8 8 75 8 75 10.992 12 2 2 12

sen senπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

(b) A(sombreada)=A(círculo)   ( )secA tor− = ( ) ( ) ( )2 221 110 10 10 1 297.982 6 12

ππ π ⎛ ⎞− ≈ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠  

7.  (a)  El  área  de  un  triángulo  es   224.64cm    y  dos  de  sus  lados  miden    12    y  15    cms.  Halle  el  ángulo  formado  por  dichos  lados    en  grados  con  aproximación  de  dos  cifras  decimales.  

Solución.      

( )( )( )0 1 02 24.641 1, 24.64 12 15 , A 0.2737777 ~ 15.89

2 2 12(15)A bcsenA senA senA sen−= = ⇒ = = ≈  

8.  Seleccione  la  mejor  contestación:  

(a)    Una  escalera  de  longitud  14  pies  está  recostada  a  una  pared  y  forma  un  ángulo  de   063  con  el  piso  

La  distancia  del  extremo  inferior  de  la  escalera    a  la  pared  es:  

0 0cos63 14cos63 6.3614x x= ⇒ = = pies  

(a)  15.71  pies     (b)  6,36  pies     (c)  12.47  pies     (d)   27.48 pies    (c)  Ninguna  es  correcta  

9,  El  triángulo  que  se  indica  es  formado  partiendo  del  punto  A  de  forma  tal  que  por  cada  8  pies  que  se  camina  horizontalmente  se  sube  horizontalmente  5  pies  y  finalmente  se  llega  a  una  elevación  de  750  pies.  

Halle  b,  c  y   BAC∠    

                           b=  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐,            c=  -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐     BAC∠  =    -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

1 05 5tan tan ~ 32.018 8

A A −= ⇒ = ≈ ,  Ahora    ( )750 85 750 1200

8 5b

b= ⇒ = = ,     2 2750 1200 ~1415.10c = + ≈  

Esta es la forma en que deben hacer y entregar el taller. Si no presentan el proceso, como yo lo he hecho no recibirán crédito. Algunos escriben cos, tan etc, sin poner el ángulo y eso realmente no dice nada.