gf muía da acultade de atemáticas 1957 1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993...

G F Muía da acultade de atemáticas

1957

19601963

1966

1969

1972197519781981

1984

1987

1990

1993

1996

1999

20022005

1958

19611964

19671970

1973

19761979

1982

1985

1988

1991

1994

1997

20002003

2006

1959

19621965

19681971

1974197719801983

1986

1989

1992

1995

1998

20012004

2007

2008 - 2009

ÍNDICE

INFORMACIÓN XERAL

Introdución .............................................................................................................................................................................7Saúdo do equipo decanal.......................................................................................................................................9Introdución histórica ...............................................................................................................................................10

Administración e servizos ....................................................................................................................................................13Enderezo, equipo de goberno e servizos...............................................................................................................15Aulas ......................................................................................................................................................................17Aulas de informática...............................................................................................................................................19Biblioteca................................................................................................................................................................22Departamentos adscritos e outros órganos vencellados á facultade.....................................................................23

Profesorado............................................................................................................................................................................27Directorio telefónico e de despachos por departamentos ......................................................................................29

Órganos de goberno colegiados..........................................................................................................................................35Programas de intercambio....................................................................................................................................................43Normativa interna ..................................................................................................................................................................51

Regulamento de réxime interno .............................................................................................................................53Utilización das taquillas ..........................................................................................................................................64Ocupación das salas de bolseiros..........................................................................................................................65Cambio de grupo....................................................................................................................................................67Monitores de clases prácticas ................................................................................................................................68Traballos Académicamente Dirixidos .....................................................................................................................69Grao de Licenciado modalidade traballo de investigación .....................................................................................71

Normativa Xeral da USC........................................................................................................................................................75Normativa básica para a ordenación do proceso ensino/aprendizaje....................................................................77Normativa para articular os procedementos extraordinarios de avaliación e a revisión de cualificacións.............81Regulamento da USC dos intercambios interuniversitarios de estudantes ...........................................................84Regulamento para o recoñecemento de diversas actividades como créditos optativos nas novastitulacións de Grao .................................................................................................................................................93Xestión das ensinanzas de Grao na USC..............................................................................................................98

Outra Normativa.....................................................................................................................................................................103

GRAO EN MATEMÁTICAS

Información Xeral – Grao ......................................................................................................................................................111Información.............................................................................................................................................................113Plano de Estudos ...................................................................................................................................................116Asignación de materias por módulos .....................................................................................................................119Fichas descriptivas das materias ...........................................................................................................................120Calendario de implantación....................................................................................................................................125Táboa de adaptación..............................................................................................................................................126

Programación Docente Curso 2008-2009 – Grao................................................................................................................131Calendario Académico de Grao .............................................................................................................................133Exames Grao .........................................................................................................................................................134Horarios Grao.........................................................................................................................................................135

Programas das materias Curso 2008-2009 – Grao .............................................................................................................141

LICENCIATURA DE MATEMÁTICAS

Información Xeral – Licenciatura .........................................................................................................................................175Plano de estudos....................................................................................................................................................177Materias de libre elección.......................................................................................................................................181

Programación Docente Curso 2008-2009 – Licenciatura...................................................................................................185Calendario académico – Licenciatura ....................................................................................................................187Exames Licenciatura ..............................................................................................................................................189Horarios Licenciatura ............................................................................................................................................198

Programas das materias Curso 2008-2009 – Licenciatura ................................................................................................209

POSGRAOOferta de Posgrao..................................................................................................................................................................373

3

INFORMACIÓNXERAL

5

Niels Henrik Abel (Findö, Noruega, 1802; Froland, Noruega, 1829)

Abel foi un matemático noruegués. É célebre fundamentalmente por ter probado en 1824 que non hai ningunha fórmula para halla-los ceros de tódolos polinomios xerais de grao > 4 en termos dos seus coeficientes e, no ámbito das funcións elípticas, por ter desenvolvido un método xeral para a construción de funcións periódicas recíprocas da integral elíptica.

En 1815 ingresou na escola da Catedral de Cristianía (hoxe Oslo) onde tres anos despois probaría as súas aptitudes para as matemáticas coas súas brillantes solucións ós problemas orixinais propostos por Bernt Holmboe. Nesa mesma época morreu o seu pai, un pastor protestante pobre, e a

súa familia sufriu graves penurias económicas; sen embargo, unha pequena bolsa do estado permitiu a Abel ingresar na Universidade de Cristianía en 1821.

O primeiro traballo relevante de Abel consistiu en demostra-la imposibilidade de resolve-las ecuacións de quinto grao usando raíces (Teorema de Abel-Ruffini). Foi esta, en 1824, a súa primeira investigación publicada, aínda que a demostración era difícil e abstrusa. Posteriormente publicouse de modo máis elaborado no primeiro volume da revista de Crelle.

O financiamento estatal permitiulle visitar Alemania e Francia en 1825. Abel coñeceu ó astrónomo Schumacher (1780-1850) en Altona, preto de Hamburgo, cando residiu seis meses en Berlín, onde colaborou na elaboración, para a súa publicación do diario matemático de August Leopold Crelle. Este proxecto foi respaldado con entusiasmo por Abel, que foi en grande parte responsable do éxito da iniciativa. De Berlín trasladouse a Friburgo onde levou a cabo a súa brillante investigación sobre a teoría das funcións, na que estudou sobre todo a elíptica e a hiperelíptica, e introduciu un novo tipo de funcións que hoxe se coñecen como funcións abelianas, e que foron obxecto dun profundo estudo pola súa parte. En 1826, Abel viaxou a París, onde permaneceu uns dez meses; alí coñeceu ós matemáticos franceses máis importantes, aínda que nin el nin o seu traballo (pouco coñecido) foron especialmente valorados. A isto contribuíu tamén a súa modestia, que o levou a non facer públicos os resultados das súas investigacións. Os problemas económicos, que nunca se separaron del, levaron a Abel a interrumpi-la súa viaxe para regresar a Noruega, onde traballou como profesor (en Cristianía) durante algún tempo. A principios de abril de 1829 Crelle axudoulle a obter un traballo en Berlín, pero a oferta chegou a Noruega dous días despois da súa morte, a causa dunha pulmonía.A prematura morte, ós 27 anos, deste xenio das matemáticas rematou cunha brillante e prometedora carreira. As súas investigacións aclararon algúns dos aspectos máis escuros da análise e abriron novos campos de estudo, posibilitando numerosas ramificacións no coñecemento matemático e alcanzando un notable progreso. A parte máis profunda e orixinal do traballo de Abel publicouse na revista de Crelle da que era editor Holmboe. Unha edición máis completa dos seus traballos foi publicada en 1881 por Ludwing Sylow e Sophus Lie. O adxectivo abeliano, que se popularizou nos escritos matemáticos, deriva do seu nome e indícase usualmente en minúsculas. Dende 2002, ano en que se instituíu no seu honor, o prestixioso premio Abel otórgase cada ano ós matemáticos máis destacados.

7

Introdución

9

Saúdo do equipo decanal

Esta Guía da Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela pretende informar da realidade da Facultade, difundir a súa oferta formativa e ofrecer información xeral de utilidade para os estudiantes e profesores: orientacións sobre o funcionamento da administración e servicios, plan de estudios, programación docente do curso, calendarios, horarios, datas de exames, regulamentos e normativas, programas de intercambio, ...

No presente curso 2008-2009, coincidindo coa celebración do 50 aniversario da implantación dos estudos da Licenciatura de Matemáticas na Universidade de Santiago de Compostela, a Facultade inicia a implantación do novo título de Grao en Matemáticas, adaptado ás directrices do Espazo Europeo de Eduación Superior. Este ano ofértase só o primeiro curso e, polo tanto, suprímese a oferta deste curso da licenciatura.

Somos a Facultade primeira en España nesta adaptación, que se ve complementada cunha completa oferta de postgrao.

Sendo as matemáticas unha ciencia imprescindible nunha sociedade desenvolvida, os titulados en Matemáticas da nosa Facultade poden optar ás categorías máis altas da función pública e está cualificado para a formulación matemática, análise, resolución e, no seu caso, tratamento informático de problemas en diversos campos interdisciplinares das ciencias básicas, ciencias sociais e da vida, enxeñería, finanzas, consultoría, etc..., con vistas ás aplicacións, á investigación e/ou á docencia.

A Facultade de Matemáticas da USC reafirma a súa vontade decidida de mellora da calidade dos seus servizos educativos e esfórzase en dar resposta nas mellores condicións ás demandas da sociedade en formación e investigación, que axuden a incentivar o tecido productivo do noso entorno. Confiamos firmemente que a capacidade do noso profesorado, a progresiva mellora dos medios materiais, as reformas cara á converxencia do espacio educativo europeo e a iniciativa decidida da Facultade, permitirán aspirar con optimismo a esas metas nun clima de apertura ao exterior e de convivencia entre profesores, alumnos e persoal de administración e servizos.

A elaboración desta Guía foi posible gracias a colaboración de todo o profesorado e membros do PAS. O Decanato agradece a todos a súa colaboración. Serán benvidos os comentarios e ideas sobre esta información, que nos servirán para actualizala e mellorala en vindeiras versións.

O equipo decanal.Santiago, xullo de 2008

10

Introdución histórica

Os estudos de matemáticas na Universidade de Santiago de Compostela son relativamente recentes, se pensamos que a propia universidade conta con máis de cincocentos anos de historia. Se ben as matemáticas estiveron presentes na Universidade de Santiago dende, polo menos, mediados do século XVIII, época na que existía a cátedra de "Ars Mathematicae", temos que agardar ata a segunda metade do século XX para o establecemento de estudios conducentes a un título de matemáticas.

A Sección de Matemáticas comezou a funcionar no curso 1957-58 (B.O.E. de 22 de outubro de 1957) dentro da antiga Facultade de Ciencias. A dita facultade, que se creou no ano 1845 e que xa contaba coa Sección de Química dende o ano 1922, tamén acollería ás Seccións de Bioloxía, a partires do curso 1966-67, e a de Física, a partires do 1976-77.

A Facultade de Matemáticas instituíuse como tal polo decreto regulador do 14 de outubro de 1977, publicado no B.O.E. do 11 de novembro dese ano. Non obstante, non é ata mediados dos oitenta que as Facultades de Bioloxía, Física e Matemáticas abandoan o edificio da Facultade de Ciencias, que dende o ano 1961 era o edificio que hoxe ocupa a Facultade de Química, e pasan ás súas actuais ubicacións no Campus Sur.

Nesta etapa tivo importancia o Colexio Universitario de Lugo, que albergou unha Sección de Matemáticas dende o ano 1972 ata a súa supresión no 1988. Alí se impartían os tres primeiros cursos da Licenciatura de Matemáticas.

A división da Facultade nos Departamentos de Álxebra, Análise Matemática, Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Xeometría e Topoloxía levouse a cabo coa implantación da Lei de Reforma Universitaria no curso 1985-86. É salientable o feito de que ata o momento da segregación das universidades galegas no ano 1989, estes departamentos aportaban profesorado para os sete campus universitarios de Galicia.

No ano 1996 creouse o Instituto de Matemáticas, un centro de investigación, docencia, especialización, aplicación e divulgación das matemáticas. Compartindo sede e membros coa Facultade de Matemáticas, o Instituto organiza conferencias e cursos de terceiro ciclo, ademáis de ser responsable científico de importantes proxectos internacionais.

Polo menos catro planos de estudio precederon ao Plano do 2000 (B.O.E. de 16 de marzo de 2001), que é o que hoxe se imparte. É un plano de estudios de dous ciclos, estruturado en créditos e cuadrimestres, e permite acada-lo título de Licenciado en Matemáticas coas Orientacións de Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Matemática Pura.

11

Marius Sophus Lie (Nordfjordeide, Noruega, 1842; Cristianía (hoxeOslo) , Noruega, 1899)

Sophus Lie foi un matemático noruegués que creou en grande parte a teoría da simetría continua, e aplicouna ó estudo das estruturas xeométricas e as ecuacións diferenciais.

Doutorouse na Universidade de Oslo en 1872, cunha tese titulada Sobre unha clase de transformacións xeométricas..

Foi nomeado membro honorario da Sociedade Matemática de Londres en 1878 e membro da Royal

Society (FRS).

A ferramenta principal de Lie, e un dos seus logros máis grandes foi o descubrimento de que os grupos continuos de transformacións (hoxe chamados grupos de Lie), podían ser mellor entendidos "linearizándoos" e estudando os correspondentes campos vectoriais xeradores (os, así chamados, xeradores infinitesimais). Os xeradores obedecen unha versión linearizada da lei do grupo, chamada o corchete ou conmutador, e teñen a estrutura do que hoxe, no seu honor, chamamos unha álxebra de Lie.

13

Administración e Servizos

15

Enderezo da Facultade de Matemáticas

Avda. Lope Gómez de Marzoa, Campus Universitario Sur, s/n, 15782 Santiago de Compostela.Teléfono: 981563100 Ext.13130 / Directo: 981528003Fax: 981597054Correo: [email protected]

Equipo de goberno

Decano:

Don Juan M. Viaño ReyTeléfono: 981563100 Ext.13130, 42400 Correo electrónico: [email protected] / [email protected]

Vicedecana:

Dona Regina Castro BolañoTeléfono: 981563100 Ext.13145, 42407 Correo electrónico: [email protected]

Secretaria:

Dona Rosana Rodríguez LópezTeléfono: 981563100 Ext.13368, 42402 Correo electrónico: [email protected]

Administración e servizos

Secretaría:

Dona Mª Elena Veiga Álvarez Secretaria DecanatoTeléfono: 981563100 Ext.13130Correo electrónico: [email protected] / [email protected]

Dona Eduarda González FerreiroResponsable Unidade Apoio á Xestión de Centros e DepartamentosTeléfono:981563100 Ext. 13133Correo electrónico: [email protected]

Portería:

Don Ignacio Becerra Carril Dona Albina Blanco CastroDona Carmen Trillo SendónDona Victoria Vidal FerroTeléfono: 981563100 Ext.13219Correo electrónico: [email protected]

Asuntos Económicos:

Don Santiago Rey BudiñoResponsable Asuntos EconómicosTeléfono: 981563100 Ext. 13132Correo electrónico: [email protected] Yolanda Mª Martínez Rodríguez

16

Biblioteca:

Dona Rosa Bassave RoibalDona Ana I. Portugués del RíoDona Ana Rodríguez LorenzoDona Carmen Vázquez CastroDona María Aguirre RodríguezDon Fernando Mata RodríguezTeléfono: 981 563 100 Ext: 13127 (Préstamo), 13128 (Dirección)Correo electrónico: [email protected]

17

AULAS DO CENTRO

AULA 1

Nome da aula: Aula 1

Localización: Nivel 1

Capacidade: 140 alumnos

Equipamento:Ordenador con monitor, canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla. Conexión a Internet.

AULA 2




Equipamento:Ordenador con monitor, canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla.Conexión a Internet.

AULA 3




Equipamento:Ordenador con monitor, canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla. Conexión a Internet.

AULA 4





AULA 5





AULA 6





18

AULA MAGNA

Nome da aula: Aula Magna



Equipamento:Canón de vídeo e pantalla grande. Retroproxector de transparencias. Conexión a Internet. Megafonía con 4 micros fixos e 1 inalámbrico. Vídeo e DVD.

SALÓN DE GRAOS

Nome da aula: Salón de graos



Equipamento: Canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla. Conexión a Internet.

AULA 7





AULA 8





AULA 9





AULA 10





Outro equipamento docente (previa reserva na conserxería): 2 PC’s portátiles, 2 canóns de vídeo, 2 reproductores de vídeo, 1 televisor e 2 monitores para vídeo.

19

Aulas de Informática do CentroSERVIDORES

Ordenador Sist. operativo Memoria RAM Disco DuroPENTIUM IV Windows XP SP2. Fedora Core 5 1 Gb 3 x 30 Gb

AULA 0



Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula.Horario acceso alumnos:

1º Cuadrimestre: 9-21 h 2º Cuadrimestre: 9-21 h

Postos de traballo: 22 postos, 17 equipos

Comunicacións: Integrada na Rede de Aulas de Informática.

AULA 1Nome da aula: Aula 1

Localización: Nivel 3E

Acceso alumnos: Libre acceso.Horario acceso alumnos:


Postos de traballo: 20 equipos (previsión).


AULA 2Nome da aula: Aula 2Localización: Nivel 3EEquipamento: Canón de vídeo, retroproxector e pantalla.Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula.

Horario acceso Alumnos:


Postos de traballo: 20 equipos.

Comunicacións Integrada na Rede de Aulas de Informática.

AULA 3


Localización: Nivel 3E

Equipamento: Canón de vídeo, retroproxector e pantalla.

Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula.





20

AULA 4Nome da aula: Aula 4Localización: Nivel 3EEquipamento: Canón de vídeo, retroproxector e pantalla.Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula.


1º Cuadrimestre 9-21 h 2º Cuadrimestre 9-21 h



AULA 5Nome da aula: Aula 5Localización: Nivel 3EEquipamento: Equipo de videoconferencia, canón de vídeo, retroproxector e pantalla.Acceso alumnos: Actividades con profesor segundo dispoñibilidade da aula.


1º Cuadrimestre: 9-21 h 2º Cuadrimestre 9-21 h

Postos de traballo: 29 postos, 17 equipos.


INFORMACIÓN SOBRE SOFTWARE INSTALADO NAS AULAS DE INFORMÁTICA

1. Os ordenadores das aulas teñen instalados dous sistemas operativos:

-WINDOWS XP SP2-FEDORA CORE 5

2. Software instalado en Windows XP:

Acrobat Reader 7.08 ActiveTcl 8.14.13.0Actran 2004Adobe Flash Player 9Antivirus Norman 5.81BlueJ1.3.5 Cabri-Geometre IIClustalx 1.83Colas Comsol 3.2bDreamweaver 4EPIDAT 3.0Fluent 6.1.22 + Exceed 9.0.0.0 + Gambit 2.2.30Flux 8.1 D1Ghostscript 8.11GID para windows 7.2Gsview 4.4.2I-DEAS 8J2SE 5.0 Update 8 + Netbeans 5.0 Lindo 6.1Lingo 8.0Maple 10 Marc 2003 Mathtype 5.2Matlab R2006a

21

MEGA 3.1MEV v4.0Microsoft Project 2000 SR1MikTex 2.4.1705Office 2003 ( incluye frontpage) SP2PAML 3.14Patran 2001r3 + Nastran + Frameviewer 5.5 Quicktime Player 7.1R 2.3.1Scientific Workplace 3.0Splus 6.0Spotfinder v3.1.1SPSS 14SPSS Data Entry Builder 4.0Superficies 6.2.1TreeView 32 1.6.6Visual Fortran 6.1Visual Studio 2005 + MSDN 2005WinEdt 5.4Winzip 9.0

3. Software instalado en Fedora Core 5, ademáis do que xa inclúe a instalación básica do sistema operativo:

-G95-Xemacs

4. Na aula dispónse dunha impresora láser e outra de inxección de tinta en color para que os alumnos impriman os seus traballos.

PERSOAL TÉCNICONome Dirección correo-e: Extensión:

Técnico responsable do SAUS:

Manuel Seijas Rivas [email protected] 13221

Bolseiros:Javier Pazos Calvoi

Diego Jamardo Ventoso13221

22

Biblioteca

A Biblioteca está ubicada na planta baixa da Facultade. Conta con 256 postos de lectura divididos en dous andares. Ten 5 terminais para acceso ao catálogo automatizado (CAPEL), fotocopiadoras e PCs para acceso ás bases de datos en CD-ROM. Dous dos terminais teñen conexión a Internet.Os fondos bibliográficos están divididos en: libros de alumnos e obras xerais e libros de investigación. Na Sala de Lectura hai uns fondos de Consulta en Sala excluídos de préstamo a domicilio. O restante fondo bibliográfico está instalado en libre acceso nunha sala contigua.Na Hemeroteca poden consultarse os números do último ano de 336 títulos de revistas.As coleccións da Biblioteca comprenden 27.367 volumes de monografías e 564 títulos de revistas de Matemáticas, das cales 220 están abertas a edición impresa; delas 65 permiten ademáis o acceso á versión electrónica. Cabe destacar que, coa creación do Consorcio de Bibliotecas de Galicia (BUGALICIA), dende 2004 pódese acceder dende a rede da USC ás revistas electrónicas ás que o Consorcio se subscribiu (93 das cales se dispoñía en edición impresa, ademáis doutras novas) relativas ás editoriais Elsevier, Wiley, Springer e Kluwer, o que supón a posibilidade de acceso electrónico a un gran número de títulos de revistas de destacada importancia no campo das Matemáticas.

A Biblioteca da Facultade de Matemáticas é un punto de acceso á Biblioteca Universitaria, dende onde se poden consultar tódalas bases de datos subscritas pola Universidade e as de BUGALICIA. Neste sentido, cabe destacar as bases de datos de MathSciNet e Zentralblatt MATH.

As principais áreas de coñecemento representadas nestes fondos son :

Lóxica Investigación Operativa; ProgramaciónXeometría Probabilidades Álxebra EstatísticaAnálise Matemática TopoloxíaComputación Astronomía e AstrofísicaTeoría dos Números Física e QuímicaAnálise Numérica Matemáticas Xerais: Historia, Biografías, Ensino

Matemáticas

Existen diferentes modalidades de préstamo en función do tipo de obras e dos usuarios. Os tipos máis habituais son os seguintes: Préstamo para investigación: 2 meses renovable. Préstamo para alumnos: 5 obras durante 7 días (3 do fondo xeral e 2 do fondo de investigación).Pódese facer renovación de obras a través da Web segundo o tipo de usuario.Poden solicitarse en préstamo, sen custos para o usuario, obras das Bibliotecas do Campus de Lugo, sempre que non se trate de manuais de uso frecuente. Tódolos servicios funcionan ininterrumpidamente no horario da biblioteca.

Correo electrónico: [email protected]

Horario habitual: 08:30-21:30 (luns a venres).

Web: http://busc.usc.es

BIBLIOTECA DO OBSERVATORIO ASTRONÓMICO RAMÓN MARÍA ALLER

A Biblioteca do Observatorio Astronómico conta con 1450 volumes de libros e 373 títulos de revistas, 36 delas en curso, das cales 11 son electrónicas. Está atendida polo persoal da Biblioteca de Matemáticas, e está aberta ao público os xoves de 10 a 14. Os fondos poden ser consultados en sala.

23

Departamentos adscritos á Facultade de Matemáticas

Departamento de Álxebra:

Director: Don Celso Rodríguez Fernández.Secretario: Don José Manuel Fernández Vilaboa.Administrativa: Dona María del Pilar Ruanova Santomil.Teléfono: 981 563 100 Ext.13224

Departamento de Análise Matemática: http://www.usc.es/anmat/

Director: Don Alberto Cabada Fernández.Secretario: Don Francisco Javier Fernández Pérez.Administrativa: Dona Julia Aneiros Pena.Teléfono: 981 563 100 Ext.13160

Departamento de Estatística e Investigación Operativa: http://eio.usc.es/

Director: Don César Andrés Sánchez Sellero.Secretaria: Dona María Ángeles Casares de Cal.Administrativa: Dona Julia Aneiros Pena.Teléfono: 981 563 100 Ext.13201

Departamento de Matemática Aplicada: http://www.usc.es/dmafm/

Directora: Dona María Dolores Gómez Pedreira.Secretaria: Dona Patricia Barral Rodiño.Administrativo: Don Manuel Porto Canosa.Teléfono: 981 563 100 Ext.13184

Departamento de Xeometría e Topoloxía: http://xtsunxet.usc.es/

Director: Don Xosé Masa Vázquez.Secretaria: Dona Beatriz Rodríguez Moreiras.Administrativa: Dona María del Pilar Ruanova Santomil.Teléfono: 981 563 100 Ext.13135

Outros órganos vencellados á Facultade de Matemáticas

Instituto de Matemáticas: http://www.usc.es/imat/

Director: Don Juan José Nieto Roig.Secretario: Don Eduardo García Río.Administrativo: Don Manuel Porto Canosa.Enderezo: Facultade de Matemáticas. Campus Universitario Sur 15782 Santiago.Teléfono: 981 563 100 Ext.13147

Observatorio Astronómico Ramón María Aller: http://www.usc.es/astro/

Director: Don José Ángel Docobo Durántez.Enderezo: Apto. de correos 197. Avda. das Ciencias. Campus Universitario Sur. Santiago.Teléfono: 981 59 27 47

25

Sofia Kovalevskaya (Moscova, Rusia, 1850; Estocolmo, Suecia, 1891)

Kovalevskaya naceu no seo dunha familia da nobreza rusa. Sentiuse atraída polas matemáticas dende moi nova, ata o punto de abandonar practicamente o estudo doutras disciplinas. Viuse obrigada a casar para así poder acceder a unha educación superior que o seu pai lle prohibía. En 1869 comezou a estudar matemáticas en Heidelberg, pero de forma non oficial, xa que as mulleres non podían matricularse e a súa asistencia ás clases estaba supeditada ó permiso do profesor correspondente. Non só obtivo o permiso para asistir ás clases, senón que a súa extraordinaria

habilidade matemática chamou a atención dos profesores en Heidelberg. Na primavera de 1874 tiña rematados tres traballos, o máis importante sobre ecuacións en derivadas parciais, dos que Weierstrass opinou que cada un deles tiña o nivel dunha tese de doutoramento. Tras remata-lo seu doutoramento en Göttingen non puido acadar un posto académico debido ó seu sexo, pero en 1883 conseguiu un posto na Universidade de Estocolmo, onde realizaría as súas contribucións máis importantes.

27

Profesorado

29

DIRECTORIO TELEFÓNICO E DE DESPACHOS POR DEPARTAMENTOS

(O enderezo electrónico dos profesores pódese consultar na páxina http://www.usc.es/x500/)

Departamento de ÁlxebraExtensión telefónica

Número despacho

Alonso Tarrío, Leovigildo 13159 512

Barja Pérez, Javier 13150 427

Costoya Ramos, María Cristina 13175 520

Fernández Rodríguez, Rosa Mª 13158 513

Fernández Vilaboa, José Manuel 13167 507

Franco Fernández, Leoncio 13163 514

Gago Couso, Felipe 13140 508

García Rodicio, Antonio 13144 517

Gómez Pardo, José Luis 13155 506

Jeremías López, Ana 13366 515

Ladra González, Manuel 13138 421

López López, Mª Purificación 13157 509

Majadas Soto, José Javier 13168 518

Pedreira Pérez, Manuel Ramón 13152 429

Rodríguez Fernández, Celso 13161 522

Rodríguez González, Nieves 13156 502

Vale Gonsalves, Mª Jesús 13164 521

Villanueva Nóvoa, Emilio 13172 519

Departamento de Análise MatemáticaExtensión telefónica

Número despacho

Cabada Fernández, Alberto 13206 546

Caínzos Prieto, Juan Manuel 13169 540

Costal Pereira, Fernando 13176 529

Costal Pereira, José Benito 13215 528

Fernández Pérez, Francisco Javier 13202 550

Fugarolas Villamarín, Manuel 13214 545

Isidro Gómez, José Mª 13173 538

López Pouso, Rodrigo 13166 526

Nieto Roig, Juan José 13177 525

Otero Espinar, Mª Victoria 13170 541

Otero Pérez, Mª del Carmen 13231 542

Paraños Pardo, José 13200 531

Paredes Álvarez, José Mª 13209 547

Pérez Méndez, José 13165 532

del Río Vázquez, Miguel 13162 533

Rodríguez López, Gerardo 13174 530

Rodríguez López, Rosana 13368 543

Trinchet Soria, Rosa 13205 549

30

Departamento de Estatística e Investigación Operativa

Extensión telefónica

Número despacho

Carollo Limeres, Mª del Carmen 13203 556

Casares de Cal, Mª Ángeles 13183 451

Casas Méndez, Balbina Virginia 13180 448

Coladas Uría, Luis 13218 563

Faraldo Roca, Pedro 13216 561

Febrero Bande, Manuel 13187 565

Fernández Fernández, Mª Ángeles 13217 562

Fernández Sotelo, Mª Ángeles 13210 566

García Jurado, Ignacio 13185 457

González Manteiga, Wenceslao 13204 558

Iglesias Patiño, Carlos Luis 13207 564

Lombardía Cortiña, Mª José 13212 559

Prada Sanchez, José Manuel 13189 455

Rodríguez Casal, Alberto 13229 560

Sánchez Sellero, César Andrés 13208 453

Departamento de Matemática Aplicada


Número despacho

Álvarez Dios, José Antonio 13353 452

Barral Rodiño, Patricia 13191 454

Bermúdez de Castro, Alfredo 13192 441

Burguera González, Margarita 13220 433

Calaza Cabanas, Manuel 13194 456

Docobo Durántez, José Ángel 15025/15027 Observatorio

Ferrín González, José Luis 13191 454

Gómez Pedreira, Mª Dolores 13186 440

Irago Baúlde, Hipólito 13194 456

Ling Ling, Josefina 15025/15027 Observatorio

López Pouso, Óscar 13228 450

Mato Eiroa, Pilar 13181 436

Muñiz Castiñeira, Mª del Carmen 13354 319

Muñoz Sola, Rafael 13182 435

Pena Brage, Francisco José 13186 440

Quintela Estévez, Peregrina 13223 442

Rodríguez Iglesias, Carmen 13178 431

Seoane Martínez, Mª Luisa 13230 437

Vázquez Cendón, Mª Elena 13196 446

Viaño Rey, Juan Manuel 13188 439

31

Departamento de Xeometría e Topoloxía


Número despacho

Alcalde Cuesta, Fernando 13142 422

Álvarez López, Jesús Antonio 13149 426

Bonome Dopico, Agustín 13136 403

Carballés Vázquez, José Manuel 13146 409

Castro Bolaño, Regina Mª 13145 408

Cordero Rego, Luis Ángel 13147 410

García Río, Eduardo 13211 423

Gómez Tato, Antonio Mariano 13151 428

Hervella Torrón, Luis Mª 13139 406

Macías Virgós, Enrique 13153 412

Masa Vázquez, Xosé Mª 13134 401

Oubiña Galiñanes, José Antonio 13141 407

Rodríguez Moreiras, Beatriz 13148 411

Salgado Seco, Modesto Ramón 13154 413

Torres Lopera, Juan Francisco 13137 419

Vázquez Abal, Mª Elena 13143 424

33

Felix Hausdorff(Breslau, Alemania (hoxe Wroclaw, Polonia) , 1868; Bonn, Alemaña, 1942)

Felix Hausdorff foi un matemático alemán que está considerado como un dos fundadores da Topoloxía moderna e que contribuíu significativamente ás teorías de Conxuntos e da Medida, á Análise Funcional e á Teoría de Funcións.

En 1909, mentres afondaba no estudo de conxuntos parcialmente ordenados de sucesións de números reais, atopou o que hoxe coñecemos como o Principio

Maximal de Hausdorff; co que foi o primeiro en aplicar un principio maximal en Álxebra. Na súa obra clásica de 1914 Grundzüge der Mengenlehre, definiu e estudou os conxuntos parcialmente ordenados de maneira abstracta, usando o Axioma de elección, e probou que todo conxunto parcialmente ordenado ten un subconxunto maximal linearmente ordenado. Neste mesmo libro, axiomatizou o concepto topolóxico de entorno e introduciu os espazos topolóxicos coñecidos como Espazos de Hausdorff. En 1914, usando o Axioma de elección, obtivo unha descomposición "paradóxica" da 2-esfera como a unión disxunta de catro conxuntos A, B, C e Q, onde Q é numerable e os conxuntos A, B, C e B U C son mutuamente congruentes. Isto inspirou máis tarde a descomposición da esfera en tres dimensións de Banach-Tarski. Hausdorff introduciu asimesmo os conceptos de Medida de Hausdorff e Dimensión de Hausdorff, que son cruciais no estudo da Teoría de Fractais. En Análise, resolveu o que hoxe chamamos Problema do Momento de Hausdorff. Mesmo publicou traballos filosóficos e literarios baixo o pseudónimo de "Paul Mongré".

Hausdorff estudou en Leipzig e foi docente alí ata 1910, ano no que pasou a ser profesor de matemáticas en Bonn. Foi profesor en Greifswald dende 1913 ata 1921, ano en que volveu a Bonn. Cando os Nazis alcanzaron o poder, Hausdorff, que era xudeu, non se librou de sufrir persecución pese a ser un reputado profesor universitario. Aínda máis, as súas investigacións foron denunciadas como "xudías", non prácticas, e "antixermánicas" e foi expulsado en 1935. En 1942 non puido evitarpor máis tempo ser internado nun campo de concentración e suicidouse xunto á súa muller e a irmá desta.

35

Órganos de goberno colexiados

37

MEMBROS DA XUNTA DE FACULTADE DE MATEMÁTICAS

Persoal docente e investigador funcionario censado no centroAlcalde Cuesta, FernandoAlonso Tarrío, LeovigildoÁlvarez Dios, José AntonioÁlvarez López, Jesús AntonioBarja Pérez, Javier Bermúdez de Castro López-Varela, AlfredoBonome Dopico, AgustínBurguera González, MargaritaCabada Fernández, AlbertoCaínzos Prieto, Xan ManuelCarballés Vázquez, José ManuelCarollo Limeres, CarmenCasares de Cal, María ÁngelesCastro Bolaño, Regina María (Vicedecana)Coladas Uría, LuisCordero Rego, Luis ÁngelCostal Pereira, FernandoCostal Pereira, José BenitoDocobo Durántez, José ÁngelFaraldo Roca, PedroFebrero Bande, ManuelFernández Fernández, AngelesFernández Pérez, Francisco JavierFernández Rodríguez, Rosa MaríaFernández Vilaboa, José ManuelFerrín González, José LuisFugarolas Villamarín, Manuel AntonioGago Couso, FelipeGarcía Jurado, IgnacioGarcía Rodicio, AntonioGómez Pedreira, Maria DoloresGómez Tato, Antonio MarianoGonzález Manteiga, WenceslaoHervella Torrón , Luis MaríaIrago Baúlde, HipólitoIsidro Gómez, José MaríaJeremías López, AnaLing Ling, JosefinaLópez López, María PurificaciónLópez Pouso, ÓscarLópez Pouso, RodrigoMacías Virgós, EnriqueMajadas Soto, José JavierMasa Vázquez, Xosé MaríaMato Eiroa, PilarMuñoz Sola, RafaelNieto Roig, Juan JoséOtero Espinar, María VictoriaOtero Pérez, María CarmenOubiña Galiñanes, José AntonioParedes Álvarez, José MaríaPérez Méndez, JoséPrada Sánchez, José ManuelQuintela Estévez, PeregrinaRío Vázquez, Miguel Antonio delRodríguez Casal, Alberto

38

Rodríguez Fernández, CelsoRodríguez González, NievesRodríguez Iglesias, CarmenRodríguez López, GerardoSalgado Seco, Modesto RamónSánchez Sellero, César AndrésTorres Lopera, Juan FranciscoTrinchet Soria, Rosa MaríaVale Gonsalves, María JesúsVázquez Abal, María ElenaVázquez Cendón, María ElenaViaño Rey, Juan Manuel (Decano)Villanueva Nóvoa, Emilio

PDI non funcionario ou en formación censado no centroBrozos Vázquez, MiguelCostoya Ramos, Maria CristinaGonzález Lázaro, Manuel F.Crujeiras Casais, Rosa MariaFernández Delgado, ManuelGarcia Garcia, Luz MariaIglesias Patiño, Carlos Luis Paraños Pardo, JoséPrieto Aneiros, AndrésRodríguez López, Rosana (Secretaria)Sánchez Rúa, Maria Teresa

Estudantes de 1º e 2º cicloFernández Gómez, CarlosGarcía Portugues, EduardoOtero Novoa, MarioSeoane Bascoy, Javier

Persoal de Administración e ServizosAneiros Peña, JuliaBassave Roibal, Rosa MaríaBecerra Carril, José IgnacioPorto Canosa, ManuelRuanova Santomil, PilarTrillo Sendón, Carmen

Outro PDI que solicitou ser convocado ás reunións da Xunta de Facultade Casas Méndez, Balbina V. Fernández Sotelo, Maria AngelesRodríguez Moreiras, BeatrizSeoane Martínez, Maria Luisa

39

COMISIÓNS DELEGADAS:

Comisión PermanenteD. Juan M. Viaño Rey (Decano)Dna. Regina Castro Bolaño (Vicedecana )Dna. Rosana Rodríguez López (Secretaria)D. Alberto Cabada FernándezD. Luis A. Cordero RegoD. Antonio Garcia RodicioD. Wenceslao González ManteigaD. Luís M. Hervella TorrónDna. Josefina F. Ling LingD. Xosé Mª Masa VázquezD. José Pérez MéndezD. Juan José Nieto RoigDna. Peregrina Quintela EstévezD. Celso Rodríguez FernándezDna. Carmen Rodríguez Iglesias

Comisión de Docencia e Asuntos AcadémicosD. Juan M. Viaño Rey (Decano )Dna. Rosana Rodríguez López (Secretaria)D. Alberto Cabada FernándezD. Wenceslao González ManteigaD. José Manuel Fernández VilaboaD. Xosé Mª Masa VázquezDna. Peregrina Quintela EstévezDna. Eduarda González Ferreiro (Xestora Académica)

Comisión de BibliotecaDna. Regina Castro Bolaño (Presidenta)Dna. Rosa Bassave Roibal (Directora da Biblioteca)Dna. Ángeles Casares de CalD. José Angel Docobo DurántezD. Francisco Javier Fernández PérezD. Antonio Gómez TatoDna. Purificación López LópezD. Rafael Muñoz Sola

Comisión de Economía, Infraestructuras, Administración e ServizosD. Juan M. Viaño Rey (Decano y presidente)D. Agustín Bonome DopicoDna. Rosa Mª Fernández RodríguezDna. Pilar Mato EiroaD. José Manuel Prada SánchezD. Santiago Rey Budiño (Responsable de Asuntos Económicos)D. Miguel Antonio del Río VázquezDna. Carmen Trillo Sendón (Conserxe)

COMISIÓNS ESPECÍFICAS

Comisión de Informática e Novas Tecnoloxías: D. Juan M. Viaño Rey (Decano y Presidente)D. Javier Barja PérezD. Manuel Febrero BandeD. Xosé Manuel Carballés VázquezD. Manuel Fernández DelgadoD. José Luis Ferrín GonzálezD. Rodrigo López Pouso

Comisión de Plan de Estudios de GraoD. Juan M. Viaño Rey (Decano y Presidente)D. Leovigildo Alonso TarrioD.Alberto Cabada FernándezD.Ignacio García JuradoD.José Luis Gómez PardoD.Wenceslao González ManteigaD.Xosé Mª Masa VázquezD.José Antonio Oubiña GaliñanesDna. Peregrina Quintela EstévezD. Miguel A. del Río VázquezDna. Carmen Rodríguez Iglesias

Comisión de Académica do Doutoramento en MatemáticasJuan M. Viaño Rey – Decano - PresidenteJuan J. Nieto Roig – Director do Instituto de MatemáticasLeovigildo Alonso Tarrío – Dpto. ÁlxebraRodrigo López Pouso – Dpto. Análise MatemáticaIgnacio García Jurado – Dpto. de Estatística e Investigación OperativaÓscar López Pouso – Dpto. Matemática AplicadaJosé M. Masa Vázquez – Dpto. de Xeometría e TopoloxíaRubén Figueroa Sotelo – Estudante do Programa de Doutoramento.

41

Emmy Amalie Noether (Erlangen, Alemaña, 1882; Bryn Mawr, Pennsylvania, USA, 1935)

Emmy Noether é coñecida polas súas contribucións á álxebra abstracta, en particular polo seu estudo de condicións de cadea sobre ideais de aneis.

O pai de Emmy Noether, Max Noether, foi un distinguido matemático profesor en Erlangen e a súa nai pertencía a unha adiñeirada familia de Colonia, ambos eran de orixe xudía.

Emmy estudou alemán, inglés, francés, aritmética e piano. O seu desexo era converterse en profesora de idiomas, para o cal se examinou e acadou o certificado en 1900.

Sen embargo, nunca chegou a ser profesora de idiomas. No seu lugar, decidiu toma-lo camiño máis difícil para unha muller naquel tempo e estudar matemáticas na universidade. Nas

universidades alemás, permitíase que as mulleres estudasen “extraoficialmente” e cada profesor tiña que da-lo permiso para o seu curso. Emmy Noether obtivo permiso na Universidade de Erlangen de 1900 a 1902. Entón, despois de aproba-los exames en Núremberg en 1903, foi á Universidade de Göttingen. Durante o curso 1903-04, asistiu ás clases de Blumenthal, Hilbert, Klein e Minkowski. En 1904 permitíronlle matricularse en Erlangen e en 1907 obtivo unha bolsa para realiza-la súa tese de doutoramento.

Tras doutorarse, a progresión normal cara un posto académico sería a “habilitación”, pero este era un camiño que non estaba aberto para as mulleres, así que Emmy permaneceu en Erlangen axudando ó seu pai, e tamén traballou nas súas propias investigacións.

A reputación de Noether medrou rapidamente cando apareceron as súas primeiras publicacións. En 1908, foi elixida para o Circolo Matematico di Palermo, en 1909 foi invitada a converterse nun membro da Deutsche-Mathematiker-Vereinigung, e no mesmo ano foi invitada a dirixi-la reunión anual da Sociedade en Salsburgo. En 1913 daba clases en Viena. En 1915, Hilbert e Klein invitárona a voltar a Göttingen, convencéndoa para que estivese alí mentres eles libraban a batalla para obte-la súa “oficialidade” na Facultade. Finalmente en 1919 acadou o permiso.

Foi o seu traballo en teoría de invariantes o que a conduciu á formulación de varios conceptos da teoría xeral de relatividade de Einstein.

Ademais de ensinar e investigar, Noether axudou a editar Mathematische Annalen.

Gran parte da súa obra aparece en traballos escritos por colegas e estudantes, máis que co seu propio nome. En 1933, e sen que servisen de nada os seus logros matemáticos, os Nazis expulsárona da Universidade por ser xudía. Entón aceptou ser profesora visitante no Bryn Mawr College en USA e tamén impartiu clases no Instituto de Estudos Avanzados en Princeton (USA).

43

Programas de intercambio

45

Programas de intercambio

I. ERASMUS/SÓCRATES

Coordinadora na Facultade de Matemáticas:

Regina Castro Bolaño. Teléfono: 981563100- Ext. 13145 Fax: 981597054 [email protected]

Convenios da facultade de Matemáticas

Tódolos convenios da Facultade pertencen á área 11.1

• Université des Sciences et Technologies de Lille FRANCIA (1 Plaza )Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

• Université du Maine FRANCIA (1 Plaza)Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

• Universiade do Minho PORTUGAL ( 2 Plazas)Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

• University of Southampton REINO UNIDO ( 2 Plazas)Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

• Politechnika Gdanska POLONIA (1 Plazas)Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

• Universiade do Porto PORTUGAL ( 2 Plazas)Coordinador: Enrique Macías Virgós. Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

• West University of Timisoara RUMANIA ( 2 Plazas)Coordinador: Enrique Macias Virgós. Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

• Universität Wien AUSTRIA ( 2 Plazas)Coordinador: Enrique Macias Virgós.Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

• Universiade do Minho PORTUGAL ( 2 Plazas)Coordinador: Enrique Macias Virgós.Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

• Universität Trier ALEMANIA ( 3 Plazas)Coordinador: Felipe Gago Couso. Teléfono: 981563100, Ext. 13140 [email protected]

• Université Claude Bernard-Lyon I FRANCIA ( 2 Plazas)Coordinador: Fernando Alcalde Cuesta. Teléfono: 981563100, Ext. 13142 [email protected]

• Uniwersytet Jagiellonski POLONIA 1 ( 2 Plazas)Coordinador: Fernando Alcalde Cuesta. Teléfono: 981563100, Ext. 13142 [email protected]

• Università degli Studi di Genova ITALIA ( 2 Plazas)Coordinador: Ignacio García Jurado. Teléfono: 981563100, Ext. 13185 [email protected]

• Universitatea Bucuresti RUMANIA ( 1 Plaza [Tercer Ciclo] )Coordinador: Luis A. Cordero Rego. Teléfono: 981563100, Ext. 13147 [email protected]

• Université de Technologie de Compiègne FRANCIA ( 3 Plazas)Coordinadora: Maria Luisa Seoane. Teléfono: 981563100, Ext. 13230 [email protected]

46

• Università degli Studi di Roma “La Sapienza” ITALIA ( 2 Plazas)Coordinador: Oscar López Pouso. Teléfono: 981563100, Ext. 13228 [email protected]

• Ecole Nationale super. D’Arts et Metiers FRANCIA ( 2 Plazas)Coordinadora: Peregrina Quintela Estévez. Teléfono: 981 563 100 Ext 13223 [email protected]

• Universität Bielefeld ALEMANIA ( 2 Plazas)Coordinador: Emilio Villanueva Novoa. Teléfono: 981 563 100 Ext.13172 [email protected]

• Université Pierre & Marie Curie-Paris 6 FRANCIA ( 1 Plaza)Coordinador: Rafael Muñóz Sola. Teléfono: 981563100, Ext. 13182 [email protected]

Responsable na USC:Enrique López Veloso. Oficina de Relaciones Exteriores, Casa Jimena y Elisa Fdez de la Vega, R/ Casas Reais, nº 8. 15782 Santiago de Compostela (A Coruña)- España telf: + 34 981584989, + 34 981 563100, Ext. 12840, fax: + 34 981578017E-mail: [email protected]ón na USC sobre Erasmus-Sócrateshttp://www.usc.es/gl/servizos/ore/socrates/index.jspInformación xeral sobre Erasmus-Sócrateshttp://ec.europa.eu/education/index_en.html

II. SISTEMA DE INTERCAMBIO ENTRE CENTROS DAS UNIVERSIDADES ESPAÑOLAS (SICUE)

Coordinadora:Regina Castro BolañoTeléfono: 981563100- Ext. 13145Fax: [email protected]

Principios xerais

• Por medio deste sistema o estudiantado das universidades españolas pode realizar unha parte dos seus estudios noutra universidade distinta da súa, con garantías de recoñecemento académico e de aproveitamento, así como de adecuación ó seu perfil curricular.

• Este sistema de intercambio ten en conta o valor formativo do intercambio, ó facer posible que o estudiante experimente sistemas docentes distintos, incluídos o réxime de prácticas, así como os distintos aspectos sociais e culturais doutras Autonomías.

• Para asegurar que o estudiante coñece ben o seu sistema docente este intercambio deberá realizarse unha vez que se teñan superado na Universidade de Orixe un mínimo de 30 créditos e estar matriculado en 30 créditos máis en Diplomaturas, Enxeñerías Técnicas e Arquitectura Técnica; 90 créditos e estar matriculado en 30 créditos máis en Licenciaturas, Enxeñerías e Arquitecturas.

Bases de funcionamento

Estableceranse acordos bilaterais entre as distintas Universidades para determinar os centros, titulacións, oferta de prazas e duración do intercambio. Estes acordos terán carácter indefinido sempre que non haxa ningunha cancelación por unha das partes, esto non impedirá formalizar acordos bilaterais novos ou ampliar os xa existentes que terán que realizarse durante os meses de outubro, novembro e decembro para que teñan validez no seguinte curso académico. Non obstante poderanse asinar acordos ó longo do ano, pero para comezar o seu funcionamento nun curso académico posterior. Cada Universidade designará unha persoa responsable da execución e coordinación do programa na súa Institución.

Acordos bilaterais da Facultade de Matématicas

47

Universidad Autónoma de Madrid (1 plaza 9 meses)http://www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/docencia/docencia.htmlDirección Postal: Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, C-XV Universidad Autónoma de Madrid ctra. de Colmenar Viejo, Km. 15 28049 MadridTeléfono: 913974889, 913967633 Fax: 913974889

Universidad de Barcelona (1 plaza 9 meses)http://www.mat.ub.es/ Dirección Postal: Facultat de Matemàtiques Universitat de Barcelona Gran Via de les Corts Catalanes, 585 08007-BarcelonaTeléfono: 934021597 Fax: 934021601

Universidad de Cádiz (1 plaza 9 meses)http://www2.uca.es/facultad/ciencias/ciencias2/explorer.htmDirección Postal: Facultad de Ciencias Campus Río San Pedro s/n. 11510 Puerto Real CÁDIZ Teléfono: 956016299 Fax: 956016303

Universidad Complutense de Madrid (1 plaza 9 meses)http://www.mat.ucm.es/Dirección Postal:Facultad de Ciencias Matemáticas Ciudad Universitaria 28040 MADRIDTeléfono: 913944616 Fax: 913944607

Universidad de Extremadura (1 plaza 9 meses)http://ciencias.unex.es/Dirección Postal: Facultad de Ciencias Avda. de Elvas 06071 Badajoz Teléfono:924289402 Fax:

Universidad de Granada (1 plaza 9 meses)http://www.ugr.es/~decacien/Dirección Postal: Facultad de Ciencias Campus de Fuentenueva Avenida Severo Ochoa s/n E-18071-Granada, EspañaTeléfono: 958243372 Fax: 958246387

Universidad de Málaga (1 plaza 9 meses)http://www.ciencias.uma.esDirección Postal: Facultad de Ciencias Campus de Teatinos s/n 29071 MálagaTeléfono: 952131979 Fax: 95-213200

Universidad de Murcia (1 plaza 9 meses)http://www.fmath.um.es/Dirección Postal: Facultad de Matemáticas Campus de Espinardo 30100 MurciaTeléfono: 968 363674 Fax: 968364182

Universidad de Oviedo (2 plazas 9 meses)http://www.uniovi.es/Vicerrectorados/Estudiantes/Estudios/Carreras/ LICENCIADOENMATEMATICAS.htmlDirección Postal: Facultad de Ciencias c/ Calvo Sotelo, s/n. 33007 Oviedo Teléfono: 985103372 Fax: 985103291

Universidad de Sevilla (1 plaza 9 meses)http://www.us.es/fmate/Dirección Postal: Facultad de Matemáticas Aptdo. de Correos 1160 41080 Sevilla Teléfono: 954557917 Fax: 954557919

Universidad de La Laguna (2 plaza 9 meses)http://www.fmat.ull.es/Dirección Postal: Facultad de Matemáticas Astrofísico Fco. Sanchez, s/n 38200 La Laguna

48

Universidad del País Vasco (2 plazas 9 meses)http://ztf-fct.ehu.es/Dirección Postal: Facultad Ciencia y Tecnología. Barrio de Sarriena, s/n .48940. Leioa

Universidad de Valencia (2 plaza 9 meses)http://www.uv.es/matematiquesDirección Postal: Facultat de Ciencias Matematiques. Avda. Vicent A. Estellés, 1 46100 Burjassot. Valencia

Universidad Politécnica de Catalunya (2 plaza 9 meses)http://www.fme.upc.edu/Dirección Postal: Facultat de Matematiques i Estadistica. Pau Gargallo, 5. 08028 Barcelona

Universidad de Zaragoza (2 plaza 9 meses)http://ciencias.unizar.es/estudios.htmlDirección Postal: Facultad de Ciencias. Pedro Cerbuna, 12. 5009 Zaragoza

Bolsas:

1. SÉNECA: O Ministerio de Educación e Ciencia apoia o SICUE coa convocatoria de Bolsas SÉNECA. Para solicitar esta bolsa é condición indispensable:

o Obter unha praza de mobilidade a través do programa SICUE.o Ter unha nota media do expediente académico igual ou superior a 1,5 puntos e 1,2 para as

ensinanzas técnicas. o Que a estancia teña unha duración de 3, 4, 6 ou 9 meses.

O prazo de presentación de solicitudes será o que se estableza na convocatoria que faga o MEC e que adoita realizarse todos os cursos académicos no mes de abril. Será publicada no Boletín Oficial do Estado (BOE) e na páxina web http://www.mecd.es/univ/

Para máis información : http://www.usc.es/ore

49

�

�

�

�

�

�

�

�

Stefan Banach(Cracovia, Imperio Austrohúngaro (hoxe Polonia) , 1892; Lvov, Ucrania,Unión Soviética, 1945)

Stefan Banach foi un matemático polaco considerado o fundador da análise funcional moderna.

En 1920, grazas á publicación de varios dos seustraballos, foille ofrecida unha praza de axudante na Universidade Técnica de Lvov. Doutorouse na mesma Universidade en 1922 e, posteriormente, formou unha escola de matemáticas. En 1929,

fundou, xunto con Hugo Steinhaus, a importante revista Studia Mathematica. Dez anos máis tarde, foi elexido presidente da Sociedade Matemática Polaca.

Banach contribuiu á teoría das series ortogonais e fixo innovacións na teoría da Medida e Integración, pero a súa contribución máis importante foi en Análise Funcional. Théorie des opérations linéaires (Teoria operacji liniowych, 1932) está considerada a obra máis importante de Banach. Nela formulou o concepto de espazo linear normado completo, agora coñecido como Espazo de Banach, e demostrou moitos teoremas fundamentais da análise funcional.

51

Normativa interna

53

REGULAMENTO DE RÉXIME INTERNO DA FACULTADE DE MATEMÁTICAS DA UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA (USC)

Aprobado pola Xunta de Facultade o 19 de marzo de 2007 e polo Consello de Goberno da USC o 19 dexullo de 2007

TITULO PRELIMINAR

Artigo 1

A Facultade de Matemáticas, para o cumprimento das funcións que lle son conferidas pola lexislación vixente, nomeadamente os Estatutos da USC, rexerase polo presente Regulamento, que haberá de ser interpretado nomarco dos devanditos Estatutos e demais lexislación sobre ensino universitario.

Artigo 2

Para todas aquelas cuestións non previstas neste Regulamento, nos Estatutos da USC, nin na lexislación sobre o ensino universitario, aplicarase o previsto na Lei 30/1992 de 26 de novembro de Réxime Xurídico das Administracións Públicas e do Procedemento Administrativo Común.

TÍTULO I. NATUREZA E FINALIDADESArtigo 3

1. A Facultade de Matemáticas é o Centro da Universidade de Santiago de Compostela encargado da organización e xestión dos estudos conducentes á obtención do título académico oficial de Licenciado en Matemáticas, así como aqueles estudos de grao e posgrao no ámbito das Matemáticas que, de acordo coa normativa vixente, se implanten na USC.

2. Tamén poderá impartir ensinanzas conducentes á obtención doutros diplomas e títulos que no futuro puideran implantarse ou encargarse a esta Facultade, de acordo coa lexislación vixente.

Artigo 4. Funcións da Facultade

De acordo co art. 56 dos Estatutos da USC, son funcións da Facultade as seguintes:a) A elaboración dos planos de estudos das titulacións impartidas polo centro e a participación na elaboración

doutras compartidas por varios centros.b) A organización e a xestión dos servizos docentes que lle correspondan.c) A coordinación, a supervisión e o control da actividade docente desenvolvida no centro e a participación nos

procedementos que estableza a universidade para a avaliación da calidade docente.d) A elaboración dun calendario de actividades lectivas para cada curso, que se deberá facer público con

anterioridade á apertura do prazo de matrícula.e) A promoción de programas de intercambio.f) A promoción e posta en marcha de medidas para a realización de prácticas externas. g) A realización das actividades de xestión académica que lle encomende a universidade. h) A administración dos servizos, equipamentos e recursos do centro, así como o control da súa calidade.i) O coñecemento da actividade investigadora que se desenvolva no centro.l) A realización de actividades de formación permanente ou de extensión universitaria no seu ámbito de competencia.m) A promoción de estudos de posgraoñ) A promoción de colaboracións con outras entidades públicas ou privadas de carácter universitario, empresarial ou profesional, para o desenvolvemento de actividades docentes ou complementarias de interese para os estudantes ou os profesores.

Artigo 5

A Facultade de Matemáticas velará especialmente pola promoción da lingua galega e o seu uso, promoverá a participación da muller en pé de igualdade co home e preocuparase, así mesmo, polo desenvolvemento sustentable.

54

TÍTULO II. DOS ÓRGANOS DE GOBERNO DA FACULTADE

Artigo 6. Órganos de goberno e administración da Facultade

Os órganos de goberno e administración da Facultade de Matemáticas son os seguintes: 1. A Xunta de Facultade. 2. O Equipo Decanal, integrado por:

a) O decano ou decanab) O vicedecano ou vicedecana. Ou, se os houber, vicedecanos ou vicedecanas.c) O secretario ou secretaria.

CAPITULO 1. A Xunta de Facultade

Artigo 7

A Xunta de Facultade, segundo o establecido nos Estatutos da USC, é o órgano colexiado de goberno do centro e, como tal, aproba as liñas xerais de actuación no ámbito da Facultade e supervisa o labor dos seus órganos de dirección e xestión.

Artigo 8

A asistencia ás sesións da Xunta constitúe un dereito e un deber para todos os seus membros. Para o cumprimento desta función quedan dispensados de calquera outra actividade universitaria polo tempo que duren as sesións.

Artigo 9

A Xunta de Facultade actúa en Pleno ou en Comisión Permanente. Tamén poderá dotarse de Comisións Delegadas, estables ou conxunturais, que a asesoren e asistan nas súas funcións.

Artigo 10. Composición do Pleno da Xunta

1. A composición do Pleno da Xunta de Facultade, establecida no art. 98 dos Estatutos da USC, é a seguinte:a) O decano ou decana, que a presidirá e convocará.b) O vicedecano ou vicedecana. Ou, se os houber, vicedecanos ou vicedecanas.c) O secretario ou a secretaria, que o será tamén da Xunta.d) O seguinte persoal docente e investigador con docencia no centro e censado nel ou non censado que teña

neste un encargo docente igual ou superior a 9 créditos:• Todo o persoal funcionario docente, que representará o 51% da Xunta.• O resto, nunha proporción que non exceda do 14% do total dos membros da Xunta. A Xunta de Facultade

poderá establecer porcentaxes de representación para as diferentes categorías deste persoal, cando o seu número na Facultade exceda do 14% do total dos membros da Xunta.

A representación do persoal docente e investigador a tempo parcial será como máximo do 5% do total de membros da Xunta.

e) Unha representación dos estudantes igual ao 30% do total de membros da Xunta. O 25% será alumnado de 1º e 2º ciclo e o 5% alumnado de 3º ciclo.

f) Unha representación do persoal de administración e servizos censado no centro nunha proporción do 5% do total da Xunta, cun mínimo de dous.

2. Tamén deberá ser convocado para a Xunta de Facultade, con voz, pero sen voto, todo o persoal docente e investigador que imparta docencia no centro e non sexa membro dela, sempre que o solicite.

3. Todos os representantes, que serán elixidos polos mesmos sectores que representan, desempeñarán o seu posto por un período de 2 anos, excepto os do estudantado, para os que o período de representación dura 1 ano. Se algún dos representantes perdese a súa condición de membro da Xunta durante o período do seu mandato, o seu posto será ocupado ata o final do período polo seu suplente, que será sucesivamente o que obtivera máis votos nas eleccións correspondentes. A condición de membro da Xunta perderase ao cesar a

55

vinculación co centro ou ao deixar de cumprir os requisitos demandados ao sector polo que foi elixido.

Artigo 11. Competencias do Pleno da Xunta de Facultade

Son competencias do Pleno da Xunta, de acordo co art. 101 dos Estatutos da USC, asseguintes:a) A elección do decano e, de ser o caso, a súa revogación.b) A elaboración e a aprobación do seu Regulamento de Réxime Interno.c) A supervisión da xestión dos restantes órganos de goberno e de administración do centro.d) A elaboración e a aprobación dos proxectos de planos de estudos das titulacións radicadas no centro, en

consonancia coa lexislación vixente e coas normas xerais emanadas da Universidade.e) A aprobación das liñas xerais da política académica do centro e, entre elas, a proposta e implantación de novas

titulacións, de creación de escolas de especialización profesional dependentes do centro e de organización de cursos ou estudos de posgrao.

f) A distribución das asignacións orzamentarias concedidas ao centro e o control da súa aplicación.g) O informe verbo das propostas de creación, modificación ou supresión de departamentos relacionados co centro

pola súa docencia e investigación.h) A organización de servizos docentes para a obtención de títulos académicos do seu

ámbito, así como a coordinación e a supervisión da actividade docente do profesorado con docencia no centro, e igualmente a supervisión do seu cumprimento.

i) A programación dos servizos e equipamentos do centro e a supervisión da súa xestión.j) A organización de actividades de formación permanente e de extensión.m) A creación de comisións delegadas.n) O nomeamento de tribunais no ámbito das competencias da Facultade.ñ) O pronunciamento sobre aqueles asuntos que lle sexan sometidos polo decanato ou as comisións delegadas.o) A manifestación da súa opinión verbo de calquera asunto relacionado co centro oucoas súas actividades. p) As restantes competencias que lle atribúen os Estatutos da USC.

Artigo 12. Reunións do Pleno da Xunta de Facultade

1. O Pleno da Xunta de Facultade reunirase, con carácter ordinario, por iniciativa do decano polo menos unha vez ao trimestre en período lectivo.

2. O Pleno da Xunta de Facultade poderá reunirse con carácter extraordinario ben por iniciativa do decano, ben a solicitude da maioría dos membros da Comisión Permanente ou dun 20% dos membros da Xunta, que será presentada por escrito no Rexistro da Facultade.

3. A solicitude dunha reunión extraordinaria do Pleno da Xunta deberá incluír, dunha maneira explícita e concreta, a relación de asuntos que se tratará. O decano está obrigado a convocar a Xunta de Facultade nun prazo máximo de dez días hábiles seguintes a súa presentación no Rexistro da Facultade.

Artigo 13. Convocatoria

1. O Pleno da Xunta de Facultade será convocado polo secretario, por orde do decano. Na convocatoria deberá constar a orde do día, data, hora e lugar da reunión. A convocatoria deberá ser entregada, cando menos, con 48 horas de antelación, excepto no caso de Xunta extraordinaria, que por razóns de urxencia poderá ser convocada o día anterior.

2. Na convocatoria ordinaria, a documentación ou información relacionada directamente cos asuntos da convocatoria, que impliquen toma de decisións, deberán estar ao dispor dos membros da Xunta, cunha antelación de 48 horas.

Artigo 14. Orde do día

1. A orde do día será elaborada polo decano, asistido polo secretario e os demais membros do Equipo Decanal. Nela figurarán as mencións de aprobación da acta da sesión anterior, asuntos de trámite, peticións e preguntas (salvo que a Xunta se convoque con carácter extraordinario, para a elección de decano, ou para a súa revogación).

2. Cun mínimo de 72 horas de antelación á convocatoria da Xunta ordinaria poderán presentarse, no rexistro da Facultade, propostas de puntos a tratar na orde do día, que deberán ser incluídos no caso de que sexan

56

avaladas polas sinaturas dun 20% dos integrantes da Xunta de Facultade.3. Non poderá ser obxecto de acordo ningún asunto que non figure incluído na orde do día agás que estean

presentes todos os membros da Xunta e sexa declarada a urxencia do asunto polo voto favorable da maioría.

Artigo 15. Constitución do Pleno da Xunta de Facultade

A Xunta de Facultade entenderase validamente constituída en primeira convocatoria coa asistencia da maioría absoluta dos seus membros e en segunda convocatoria, que se celebrará media hora despois aínda que non se diga expresamente, coa presenza do 20% dos seus membros. En ambos os dous casos requirirase a presenza do decano e o secretario. De non alcanzar o quórum sinalado, a Xunta deberá ser novamente convocada para un día posterior.

Artigo 16. Desenvolvemento das sesións

1. A Xunta será presidida polo decano, ou por quen faga as súas veces, asistido polo Equipo Decanal. O decano dirixe e ordena o desenvolvemento dos debates. O Equipo Decanal, tendo en conta a opinión da Xunta de Facultade, interpretará o presente regulamento en casos de dúbida ou omisión.

2. As sesións do Pleno poderanse desenvolver nunha ou máis reunións. Enténdese por sesión o período de tempo preciso para esgotar a orde do día, e por reunión o período da mañá ou tarde en que teña lugar parte da sesión. A duración de cada reunión non superará as 4 horas, agás que acordaren o contrario máis da metade dos membros presentes.

Artigo 17. Debates ou deliberacións

1. Cada punto da orde do día dará lugar a que se abra un debate, sempre que haxa pedimento de palabra. Aberto o debate poderán intervir cantos membros da Xunta o desexen, respectando a quenda de exposición que estableza o presidente.

2. Ningún membro da Xunta de Facultade poderá intervir nas deliberacións sen ter pedida e obtida do presidente a palabra.

3. Ningún interveniente poderá ser interrompido cando fale, senón polo presidente, para advertirlle que se esgotou o tempo, para chamarlle á cuestión ou ao orde, para retirarlle a palabra ou para facer chamadas ao orde a algún dos membros da Xunta.

4. Se o presidente considera que se aludiu á conduta ou á persoa dun membro da Xunta, deberá concederlle a palabra para que conteste á alusión.

5. O establecido nos parágrafos anteriores enténdese sen prexuízo das facultades do Presidente para ordenar as deliberacións. O Presidente poderá limitar o número de intervencións a favor e en contra de calquera proposta ou informe, fixando o tempo máximo para cada unha delas, determinar a orde das intervencións, as quendas de réplica, a duración das intervencións e do debate, a forma de votación, así como calquera outro aspecto referido ao desenvolvemento dos debates.

6. O presidente poderá dar por suficientemente debatido un tema se así o considera oportuno, debéndose consumir neste caso, como mínimo, dúas intervencións a favor ou en contra, sempre que se solicitaran.

7. Nos puntos da orde do día emanados das comisións delegadas o presidente poderá conceder a palabra ao poñente, ou ao informante previamente designado, abríndose o correspondente debate trala súa intervención.

Artigo 18. Votación

1. Una vez debatido un punto da orde do día, o Pleno da Xunta de Facultade tomará unha decisión en forma de acordo, que poderá ser tomado por asentimento ou por votación favorable da maioría simple dos asistentes, cando o número destes sexa igual ou superior a 1/3 dos membros da Xunta. En caso contrario, será necesario que a maioría dos votos favorables sexa polo menos igual a 1/6 dos membros da Xunta de Facultade. Para axilizar o procedemento, as votacións poderán ser públicas e a man alzada, ou secretas cando o soliciten un mínimo do 10% dos membros asistentes. Serán secretas, en todo caso, cando afecten a persoas concretas. En ningún caso poderán admitirse votos de membros non presentes no momento da votación.

2. De ser o caso, deberáselle entregar ao secretario o texto literal da proposta e este procederá a súa lectura antes de sometela a votación.

3. De existiren unicamente dúas propostas, aprobarase a que acade maioría simple dos presentes en primeira votación.

4. De haber máis de dúas propostas, efectuarase unha primeira votación conxunta de todas elas e, posteriormente,

57

unha segunda votación entre as dúas máis votadas, aprobándose a que acade maioría simple dos presentes, sen prexuízo do apartado un.

5. En caso de empate, despois dunha quenda de intervencións limitada a un dos promotores de cada proposta, procederase a unha nova votación. En caso de persistir o empate, decidirá o voto de calidade do decano, salvo nos casos en que se especifique o contrario.

6. Exceptúanse das maiorías indicadas nos apartados anteriores aqueles acordos para os que explicitamente este regulamento especifique outros tipos de maioría.

Artigo 19. Das actas

1. O secretario levantará acta de cada sesión, na que se recollerá necesariamente a relación de asistentes, a orde do día da reunión, as circunstancias de lugar e tempo de celebración, os puntos principais das deliberacións, o contido dos acordos adoptados, así como, no seu caso, o resultado das votacións.

2. Na acta figurará, previa solicitude dos respectivos membros da Xunta, o voto contrario ao acordo adoptado, a súa abstención e os motivos que a xustifican, ou o sentido do voto favorable. Así mesmo calquera membro daXunta terá dereito á transcrición íntegra da súa intervención ou proposta, para o que será imprescindible que se lle entregue por escrito ao secretario antes do remate da sesión ou no prazo que sinale o decano.

3. Os membros que discrepen do acordo maioritario poderán formular por escrito voto particular, no prazo de 48 horas, que se incorporará ao texto aprobado. En todo caso deberán anunciar a intención de voto particular na propia sesión.

4. As actas, asinadas polo secretario co visto e prace do presidente, serán sometidas á consideración da Xunta para a súa aprobación na sesión ordinaria inmediatamente posterior. Non obstante, o secretario poderá emitir certificación sobre os acordos específicos que se tivesen adoptado, sen prexuízo da posterior aprobación daacta.

5. Nas certificacións dos acordos adoptados emitidas con anterioridade á aprobación da acta farase constar expresamente tal circunstancia.

6. As actas estarán depositadas na Secretaría da Facultade con cinco días naturais de antelación á sesión na quedeben ser aprobadas, coa finalidade de que calquera membro da Xunta poida consultalas. Tamén se poñerán a disposición dos membros da Xunta de Facultade por medios electrónicos.

7. As obxeccións á acta deben presentarse na Secretaría da Facultade cunha antelación mínima de 24 horas ao inicio da sesión. No caso de non presentarse obxeccións á acta, considerarase aprobada pola Xunta por asentimento.

8. As actas, unha vez aprobadas, transcribiranse no Libro de Actas, quedarán baixo a custodia do secretario da Facultade e poderán ser consultadas por calquera membro da Xunta de Facultade.

CAPÍTULO II. Das Comisións Delegadas da Xunta de Facultade

Artigo 20. Comisións

1. As Comisións Delegadas son instancias de asesoramento, que actúan por delegación da Xunta que creará as que estime oportunas. A súa función é emitir informes, coordinar, estudar, elaborar propostas de carácter operativo ou resolver nos asuntos que este Regulamento ou os órganos competentes de goberno da Facultade, para o desempeño dos seus cometidos, lles encomenden.

2. Sen prexuízo das Comisións específicas, creadas pola Xunta na forma que determine para tratar temas concretos, crearanse as seguintes comisións estables da Xunta de Facultade:

a) Comisión Permanente b) Comisión de Biblioteca c) Comisión de Docencia e Asuntos Académicosd) Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos.

3. Previa proposta do decano ou dun mínimo do 30% dos membros da Xunta, poderán crearse Comisións de traballo específicas coas funcións e composición que lle asigne a propia Xunta.

4. As Comisións de traballo que se creen ao abeiro do apartado anterior contarán, polo menos, cun membro do equipo decanal e terán apoio administrativo do persoal da Facultade.

58

Artigo 21. Elección dos membros das Comisións

1. As Comisións estarán formadas por membros natos e por membros electos. Os membros natos non necesitan ser membros da Xunta de Facultade.

2. Os membros electos, agás expresa indicación en contra, serán elixidos entre e polos membros de cada sector que o sexan tamén da Xunta.

3. O decano abrirá un prazo para a presentación de candidaturas e fixará día e hora para a proclamación de candidatos e para a elección que terá lugar na Xunta de Facultade.

4. Cada elector poderá dar o seu voto, como máximo, a un número de candidatos igualao70% do número de representantes do seu sector na Comisión. No caso de que dous ou máis candidatos obteñan o mesmo número de votos, cando se trate de profesores ou de persoal de administración e servizos proclamarase candidato electo ao que leve máis tempo vinculado á Universidade de Santiago de Compostela como funcionario ou contratado laboral indefinido. Nos restantes casos será elixido o de máis idade.

5. Se algún dos sectores non cobre o número total de representantes que lle corresponden nunha Comisión, os postos considéranse vacantes ata o momento no que os cubra o propio sector.

6. Agás renuncia expresa ou cesamento na súa condición de membros da Xunta, os compoñentes das Comisións renovaranse logo dos correspondentes procesos electorais nos diferentes sectores.

7. Logo de se producir a baixa dun membro dunha Comisión, procederase a elixir un novo membro que o substitúa, na Xunta inmediatamente posterior segundo se indica nos apartados 3 e 4.

8. Sen prexuízo dos apartados anteriores, os membros das Comisións delegadas renovaranse despois das eleccións do decano da Facultade.

Artigo 22. Funcionamento das Comisións

1. A presidencia das Comisións correspóndelle ao decano ou ao vicedecano no que delegue. No caso dunha Comisión de Traballo específica, a Xunta de Facultade pode nomear presidente a calquera membro da Comisión.

2. Cada Comisión elixirá o seu secretario, e dotarase do réxime de funcionamento que considere máis apropiado para o cumprimento das súas funcións

3. A convocatoria das Comisións correspóndelle ao presidente a iniciativa propia ou a pedimento dunha maioría dos seus membros, e notificarase por escrito cunha antelación mínima de 48 horas, agás en casos de urxencia ou acordo da propia Comisión.

4. Para a válida constitución das comisións requirirase a presenza do presidente e do Secretario ou, no seu caso, daqueles que os substitúan, e da metade, polo menos, dos seus membros.

5. De non se producir quórum na primeira convocatoria, as comisións constituiranse na segunda convocatoria, media hora despois da sinalada na primeira, cando asistan, ademais do presidente e o secretario, polo menos o 30% dos restantes membros.

6. O Presidente de cada Comisión poderá convocar a quen considere oportuno para que a informe ou asesore sobre puntos concretos da orde do día.

Artigo 23. A Comisión Permanente

A Comisión Permanente é o órgano deliberante e executivo da Xunta de Facultade que actúa por delegación e ten a súa representación permanente para axilizar a xestión dos asuntos da súa competencia. As decisións que adopte sobre estes serán vinculantes para a Xunta de Facultade, a menos que se produza una revogación expresa destes no seu Pleno.

Artigo 24. Composición da Comisión Permanente

A Comisión Permanente estará composta por:- O decano ou a decana, que a presidirá e convocará, - O vicedecano/s ou vicedecana/s - O secretario ou a secretaria, que o será tamén desta, - 12 profesores ou profesoras funcionarios- 2 profesores ou profesoras non funcionarios/as ou investigadores/as en formación e perfeccionamento- 4 alumnos ou alumnas- 2 membros do PAS. No sector de profesorado incluiranse necesariamente os directores ou directoras de departamentos adscritos á

59

Facultade de Matemáticas e o director ou directora do Instituto de Matemáticas, sempre que sexan membros daXunta de Facultade.

Artigo 25. Competencias da Comisión Permanente

1. As competencias da Comisión Permanente son as seguintes:a) Coñecer e adoptar acordos sobre aqueles asuntos que, sendo competencia da Xunta de Facultade, lle

foran delegados polo Pleno por non lle estaren expresamente reservados ao Pleno. b) Asesorar en todas as cuestións que o Decano lle someta no exercicio das súas competencias.c) Coñecer e decidir sobre os asuntos que lle sexan presentados polas Comisións delegadas e elevalos, no

seu caso, ao Pleno. d) Aquelas funcións, administrativas de trámite, que non estean expresamente atribuídas a outras comisións

ou órganos de Goberno da Facultade de Matemáticas.

2. En canto o Pleno da Xunta de Facultade non se pronuncie no senso contrario, enténdese que delega na Comisión Permanente as competencias que se mencionan nas letras i), l) e ñ) do artigo 11 deste Regulamento

Artigo 26

Todos os acordos tomados pola Comisión Permanente deberán ser apoiados polos 2/3 dos presentes e, en todo caso, cando 1/3 dos membros da Comisión así o solicite, levarase o asunto ao Pleno da Xunta de Facultade.

Artigo 27

O pleno da Xunta de Facultade será informado polo secretario das actuacións da Comisión Permanente, incluíndo a distribución a todos os membros da Xunta das actas das reunións anteriores da devandita comisión.

Artigo 28. A Comisión de Biblioteca

A Comisión de Biblioteca créase ao abeiro do artigo 150.3 dos Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela e as súas funcións enténdense supeditadas ao regulamento da Biblioteca Universitaria.

Artigo 29. Composición da Comisión de Biblioteca

A Comisión da Biblioteca estará formada por:a) O decano ou a persoa en que delegue, que actuará como presidente/a;b) O director ou directora da Biblioteca de centro ou o bibliotecario encargado desta, aínda que non sexan membros da Xunta de Facultade.c) Un profesor ou profesora por cada departamento adscrito á Facultade, elixido entre o profesorado do departamento con docencia no centro e que formen parte da Xunta de Facultade.d) Un representante da Biblioteca do Observatorio Astronómico “Ramón Mª Aller”, adscrita á Facultade de Matemáticas.e) Un número de representantes do alumnado que suporá o 30% dos membros da Comisión. Estes representantes serán elixidos entre o alumnado que forme parte da Xunta da Facultade; deles un 20% serán de 1º e 2º ciclo e o 10% de 3º ciclo.

Artigo 30. Funcións da Comisión de Biblioteca

Serán funcións da Comisión de Biblioteca da Facultade:a) Aprobar as directrices de desenvolvemento das coleccións bibliográficas e propoñer a distribución do orzamento correspondente, no ámbito da súa competencia, de acordo coas liñas xerais emanadas da Comisión da Biblioteca Universitaria.b) Participar na elaboración das normas de funcionamento dos servizos bibliotecarios, que estarán a disposición dos lectores na Biblioteca da Facultade.c) Aprobar o informe anual da Biblioteca da Facultade e elevalo á Dirección da Biblioteca Universitaria.d) Asesorar nas diferenzas de criterio que poidan xurdir entre a Biblioteca e calquera dos seus usuarios. e) Propoñer as medidas previstas no Regulamento da Biblioteca Universitaria contra os infractores das normas dos usuarios.

60

f) Asesorar en todos os asuntos que pola súa importancia se considere necesario someter á súa consideración. g) Garantir, en réxime de consulta e/ou empréstito, un número de exemplares axeitado da bibliografía obrigatoria de todas as materias para o alumnado universitario.

Artigo 31. A Comisión de Docencia e Asuntos Académicos

A Comisión de Docencia e Asuntos Académicos estará composta por:a) O decano, ou persoa na que delegue, que a convoca e a preside;b) O secretario, que o será tamén da Comisión;c) O xestor ou xestora académica da Facultade, aínda que non sexa membro da Xunta de Facultade;d) Un representante do profesorado por cada departamento adscrito á Facultade, elixido entre e polos profesores do Departamento con docencia no centro e que formen parte da Xunta de Facultade.e) Un número de representantes do alumnado que suporá o 30% dos membros da Comisión. Estes representantes serán elixidos entre e polo alumnado que formen parte da Xunta da Facultade; deles un 20% serán de 1º e 2º ciclo e o 10% de 3º ciclo.

Artigo 32. Competencias da Comisión de Docencia e Asuntos Académicos

A Comisión de Docencia e Asuntos Académicos terá as seguintes competencias: a) Elaborar, en colaboración cos departamentos responsables, o plan docente anual seguindo as orientacións establecidas pola Xunta de Facultade. b) Coñecer e informar sobre os plans de organización docente presentados polos departamentos.c) Coñecer e informar sobre a programación das materias correspondentes as titulacións radicadas no centro. En particular, atenderá á coordinación e á adecuación dos programas aos obxectivos das titulacións.d) Coñecer e informar sobre o calendario de exames, horarios e a organización das clases das materias que forman parte dos plans de estudos.e) Velar pola correcta aplicación dos Plans de Estudos da Facultade, facendo un seguimento destes e propoñendo, no seu caso, as modificacións pertinentes. f) Coordinar e supervisar a actividade docente do profesorado con docencia no centro.g) Analizar e promover a mellora da calidade da docencia, supervisando a metodoloxía didáctica, os métodos deavaliación e o rendemento dos/as docentes e discentes.h) Mediar, dentro dos límites das súas competencias, nos conflitos que no aspecto docente poidan xurdir entre os membros dos colectivos da Facultade. i) Coñecer e informar sobre calquera conflito que puidera xurdir no desenvolvemento da docencia. j) Coñecer e informar sobre as reclamacións ás cualificacións presentadas polos/as estudantes, de acordo co previsto no artigo 128.2 dos Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela. m) Actuar como Comisión de Validación prevista no artigo 129.2 dos Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela, que emitirá informe sobre as solicitudes de adaptacións, validacións ou recoñecemento académico de estudos e actividades cursados no propio centro ou noutros centros españois e estranxeiros. ñ) Organizar e promover cursos, conferencias, actos e todo tipo de actividades quepuideran reforzar a formación integral dos membros da Facultade de Matemáticas.o) Calquera outra función relacionada coa docencia que sexa competencia da Xunta de Facultade e que esta delegue nela.

Artigo 33. Das reclamacións dos estudantes ás cualificacións

1. Consonte ao artigo 128.2 dos Estatutos da Universidade de Santiago, cando un/ha estudante considere que a cualificación recibida supón un tratamento arbitrario ou discriminatorio poderá solicitar do decano, mediante unha petición razoada, a revisión da súa cualificación. 2. A revisión levarase a cabo de acordo coa normativa establecida pola Universidade de Santiago de Compostela a tal efecto.

Artigo 34. Composición da Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos

A Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos estará integrada por: a) O decano ou persoa na que delegue, que actuará como Presidente. b) O responsable de Asuntos Económicos da Facultade, aínda que non sexa membro da Xunta de Facultade.c) O conserxe da Facultade, aínda que non sexa membro da Xunta de Facultade.

61

d) Un profesor por cada departamento con implantación na Facultade elixido/a por e entre o profesorado do departamento que sexan membros da Xunta de Facultade.

e) Un número de representantes do alumnado que suporá o 30% dos membros da Comisión. Estes representantes serán elixidos entre e polos alumnos que formen parte da Xunta da Facultade; deles un 20% serán de 1º e 2º ciclo e o 10% de 3º ciclo.

Artigo 35. Competencias da Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos

Son competencias da Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos:a) Coñecer e informar sobre a proposta de gastos da Facultade e controlar o gasto e cumprimento do presuposto.

b) Asesorar ao equipo decanal na avaliación de necesidades materiais en infraestruturas e equipamento da Facultade e na proposta das actuacións máis eficaces na procura de solucións, mellora dos servizos e utilización óptima de recursos.

c) Velar porque se respecte a lexislación vixente en materia de seguridade e hixiene no traballo, dereitos laborais e individuais, respecto ao medio ambiente, etcétera

d) Controlar o nivel de eficacia dos servizos que teña arrendados a Universidade de Santiago de Compostela e estean instalados na Facultade .

e) Instar ás autoridades competentes para a creación de servizos ou dotación de equipamentos que atendan necesidades manifestas da comunidade universitaria .

f) Calquera outra competencia nestes ámbitos que non sexa exclusiva da Xunta de Facultade.

CAPÍTULO III. Do Equipo Decanal

Artigo 36. Do decano ou decana

1. O decano representa a Facultade, exerce a súa dirección e a xestión ordinaria, preside e coordina a actuación dos seus órganos colexiados e executa os seus acordos. 2. O decano ten as competencias que lle atribúen os Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela (art. 103) e este Regulamento.3. Será elixido pola Xunta de Facultade entre os profesores ou profesoras doutores pertencentes a corpos docentes universitarios censados no centro.

Artigo 37

A elección e revogación do decano decorrerán segundo o establecido no Regulamento Electoral Xeral da USC e neste Regulamento.

Artigo 38

1. As eleccións serán convocadas polo decano cun mes de antelación á expiración do seu mandato, agás que o cesamento se producise por outra causa, en cuxo caso serán convocadas por quen o substitúa, nos 20 díasseguintes ao antedito cesamento. 2. No caso de incumprimento do apartado anterior, as eleccións serán convocadas polo reitor.

Artigo 39

A convocatoria para elección de decano deberá indicar polo menos as seguintes datas e prazos:a) Prazo de presentación de candidaturas, que non será inferior a sete días hábiles, nin superior a quince.b) Proclamación provisoria de candidatos;c) Prazo de reclamacións contra a proclamación provisoria de candidatos/as, que non será inferior a dous días hábiles;d) Proclamación definitiva de candidatos;e) Data, lugar e hora da reunión da Xunta de Facultade en que se efectuará a votación. A reunión da Xunta de Facultade, en que se procederá á votación, non poderá ser convocada para antes de que pasen 3 días hábiles despois de pechado o prazo de presentación de candidaturas, nin para despois de 45 días naturais desde a data de saída da convocatoria.

62

f) data, lugar e hora da reunión da Xunta de Facultade na que se procederá á segunda votación, se fose necesaria. A segunda votación pode ter lugar na mesma reunión que a primeira e nunca máis tarde que 3 días despois desta.g) Se convocada a elección a decano non se presentara ningún candidato ou, se concluído o proceso electoral, ninguén resultara elixido, o reitor resolverá, con carácter xeral, a continuidade en funcións do anterior titular, que deberá convocar novas eleccións no prazo máximo de 3 meses.

Artigo 40

1. A presidencia da sesión para a votación corresponderá ao decano en funcións, sempre que non concorra á elección. Neste caso, será substituído polo vicedecano, sempre que este non fora candidato, en cuxo caso actuará como presidente a persoa, pertencente á Xunta, de maior idade, que reúna as condicións establecidas nos Estatutos da USC para o desempeño do cargo. 2. Se o secretario presenta a súa candidatura a decano, actuará como secretario da sesión a persoa de menor idade que reúna as condicións establecidas nos Estatutos da USC para o desempeño do cargo. 3. Antes de cada unha das votacións a que se fai referencia no presente Regulamento os candidatos poderán expor o seu programa durante un tempo máximo de trinta minutos ao que poderá seguir un debate que se prolongará como máximo durante unha hora.

Artigo 41

1. A votación será nominal e secreta. Cada elector poderá dar o seu voto a favor dun único candidato, votar en branco ou absterse. O voto poderá expresarse cunha cruz á beira do nome do candidato ou doutro xeito inequívoco. 2. No caso de concorrencia de máis dun candidato, as eleccións celebraranse de acordo co sistema de dobre volta. En primeira volta resultará elixido o candidato que obtivera a maioría absoluta dos votos validamente emitidos polos membros do corpo electoral. Se esta non é alcanzada, procederase a unha segunda votación, que se poderá celebrar na mesma sesión ou, a máis tardar, dentro dos 3 días seguintes á primeira, e á cal poderán concorrer os dous candidatos máis votados na primeira volta que manteñan a súa candidatura, resultando elixido o que obtivera o maior número de votos. No caso de empate na segunda votación, esta repetirase. Se aínda nesta se mantivera o empate, terá preferencia o candidato que sexa máis antigo de acordo co art. 17 dos Estatutos da USC. 3. No caso dun único candidato, só se celebrará unha votación, resultando elixido o candidato se obtén o 25% ou máis dos votos emitidos.

Artigo 42

1. Ata que sexan nomeados os cargos unipersoais elixidos, continuarán en funcións os anteriores. 2. Os efectos económicos e administrativos do cargo electo, cando procedan, serán computados a partir do

momento en que sexa nomeado polo órgano competente.

Artigo 43

1. O decano poderá perder a súa condición pola adopción, por maioría absoluta, dunha moción de censura. 2. A moción de censura deberá ser proposta, cando menos, por 1/3 dos membros da Xuntade Facultade, e terá

que incluír unha candidatura alternativa.3. Presentada a moción, o decano convocará unha Xunta de Facultade Extraordinaria con este único punto na

orde do día; deberase fixar a data de celebración no prazo máximo de dez días. Nesta Xunta actuará como presidente o profesor máis antigo de acordo con artigo 17 dos Estatutos da USC e estará asistido polo secretario da Facultade.

4. O candidato e o decano disporán dun tempo máximo de trinta minutos cada un para fixaren as súas posicións; a seguir abrirase unha quenda de preguntas que se prolongará durante un tempo máximo de 1 hora e a continuación procederase á votación, que será nominal e secreta.

5. A moción considerarase aprobada de obter un número de votos favorables superior á metade dos membros da Xunta; neste caso proclamarase decano electo a persoa proposta na moción de censura.

6. Logo de ser nomeado o novo decano, este desempeñará o cargo o resto do período para o que foi elixido o decano censurado.

7. Se a moción de censura non fose aprobada, os seus asinantes non poderán presentar outra dentro do mesmo período de mandato.

Artigo 44. Dos vicedecanos ou vicedecanas

63

1. Os vicedecanos serán nomeados polo reitor a proposta do decano, entre os membros da comunidade universitaria da Facultade que reúnan os requisitos establecidos no artigo 72 dos Estatutos da USC.

2. Corresponde aos vicedecanos coordinar ou dirixir, baixo a autoridade do decano, as áreas de competencia que este lles asigne, sen prexuízo de que as funcións técnicas ou administrativas correspondan ao persoal de administración e servizos.

3. Se houbese varios vicedecanatos, o decano designará ao seu substituto para os casos de ausencia, enfermidade ou imperativo regulamentario.

4. Os vicedecanos cesarán no seu cargo por decisión do reitor, logo de proposta do decano, ou a petición propia.

Artigo 45. Do secretario ou secretaria

1. O secretario da Facultade é quen dá fe dos actos e acordos dos órganos de goberno, representación e administración do centro e, como tal, ten encomendada a custodia dos libros de actas e a expedición das certificacións dos acordos e de todos os actos ou feitos que consten nos documentos oficiais do centro. Ademais, exercerá aquelas funcións que lle encomende o decano ou que lle encomende a lexislación vixente, os estatutos da USC ou este regulamento.

2. O secretario será nomeado polo reitor, segundo proposta do decano entre os profesores ou funcionarios dos grupos A ou B censados no centro.

3. O secretario cesará por decisión do reitor, a proposta do decano ou a petición propia.

TÍTULO III. DA REFORMA DO REGULAMENTO

Artigo 46

1. A iniciativa, motivada e articulada, da reforma total ou parcial deste Regulamento correspóndelle ao decano ou ao 30% dos membros da Xunta de Facultade.

2. Recibida a proposta, no prazo máximo de 3 días hábiles, o decano enviará copia a todos os membros da Xunta de Facultade e no prazo máximo de 15 días hábiles convocará un pleno extraordinario da Xunta de Facultade para a toma en consideración.

3. Se a proposta recibise os votos favorables do 30% dos membros da Xunta de Facultade, abrirase un prazo de 15 días hábiles para a presentación de emendas e convocarase unha nova sesión do pleno da Xunta de Facultade para someter a aprobación o texto e as correspondentes emendas. As modificacións totais ou parciais esixirán o acordo maioritario da Xunta, con votación favorable de máis da metade dos seus membros en primeira votación e mais dun terzo na segunda.

4. Se a proposta fose rexeitada, non poderá presentarse outra reforma nos mesmos termos ata transcorrido un prazo de 2 anos.

5. No caso de que reforma do Regulamento veña motivada pola necesidade de adaptación aos Estatutos ou calquera outra normativa de obrigado cumprimento, farase de oficio, mediante presentación do proxecto e a apertura do prazo de emendas, non sendo necesario someter a oportunidade da reforma á consideración da Xunta.

Disposición adicionalAos efectos deste Regulamento, os departamentos adscritos á Facultade son os seguintes: Álxebra, Análise Matemática, Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Xeometría e Topoloxía.En calquera momento, a Xunta de Facultade poderá adscribir outros departamentos que xustificadamente considere con suficiente relación e implantación na Facultade de Matemáticas, sen prexuízo doutras normas da Universidade nesta materia.

Disposición transitoriaNo prazo máximo de 30 días, contados a partir da entrada en vigor do presente Regulamento, procederase á elección dos membros das Comisións previstas nel.

Disposición finalO presente Regulamento entrará en vigor o día seguinte ao da súa aprobación polo Consello de Goberno da USC.

64

Normativa de utilización de taquillas

1- As taquillas do Nº1 ata o Nº65 poderán ser utilizadas, por períodos cortos de tempo, usando unha moeda de 0,5�.Deberán estar baleiras ao rematar o horario de apertura da Biblioteca. Aquelas taquillas que permanezan pechadas fora dese horario serán abertas e baleiradas polo persoal da Facultade que depositará o seu contido, en caso de habelo, nas mesas contiguas (A Facultade non se responsabilizará dos perxuicios que poda ocasionar o incumplimento deste horario).

2- Déixase aberto o prazo de solicitudes, no que tódolos estudiantes da Facultade de Matemáticas interesados poderán utilizar as taquillas do Nº66 ata o Nº100 durante o curso académico 2008-2009 completo, mediante o depósito dunha fianza de 30�. Para poder recoller a súa chave, os alumnos solicitantes deberán entregar na Secretaría do Centro os seguintes documentos debidamente cubertos:

1. A “solicitude de taquilla”, pódese recoller na Conserxería da Facultade.

2. O impreso “48/2 liquidación de tasas”, despois de facer o ingreso no banco da cantidade de 30�.

3. Unha fotocopia do resguardo de matrícula.

A fianza será restituida despois da devolución da chave (data límite 21/07/2009) e da comprobación do estado da taquilla. Será necesario facilitar os datos dunha conta conta bancaria para ingresar a devolución.No caso de necesidade de novas convocatorias ou de esgotamento de taquillas disponibles, os avisos sairán publicados no taboleiro da entrada da Biblioteca.

65

Normativa de asignación de lugares de traballo nas Salas de Bolseiros I e II

As novas Salas de Bolseiros [Sala I (ala oeste do andar do nivel 4) e Sala II (ala leste do mesmo andar)] estarán destinadas a lugares de traballo para os bolseiros que colaboran nos distintos equipos de investigación da Facultade de Matemáticas, entendendo por bolseiros todos aqueles alumnos de Terceiro Ciclo ou equivalente que teñan vinculación cun departamento da Facultade de Matemáticas por medio dunha bolsa ou contrato. O motivo de non incluír os bolseiros postdoutorais e que as salas de bolseiros, foron concibidas para a súa ocupación polo persoal investigador en formación.Para a adxudicación dos postos teranse en conta os seguintes puntos:

1.- No mes de xaneiro de cada ano os departamentos adscritos á Facultade enviarán ao Decanato a relación dos bolseiros que solicitan posto nas Salas I e II, acompañada da correspondente documentación de cada bolseiro, que necesariamente incluirá o documento de solicitude segundo o modelo que se acompaña e copia dos documentos xustificativos (credencial de bolsa, contrato, comunicado da renovación, etc.). Ademais, os Departamentos deben indicar o número de postos de traballo ofertados, é dicir, aqueles que poden ser asignados aos bolseiros do seu departamento que estean comprendidos nalgunha das categorías descritas no punto 4 desta normativa.

2.- A Secretaría do Decanato elaborará a lista de concesión formada por 16 bolseiros atendendo aos criterios expostos no punto 4 e ao procedemento descrito no punto 5 desta normativa. Ademais, acorde cos puntos 4 e 5, tamén elaborará unha lista de agarda na que se incluirá a todos os bolseiros que presentaron unha solicitude e que, estando nunha das categorías descritas no punto 4, non obtiveron un posto de traballo nas salas de bolseiros. De ser o caso no que houbera algunha reclamación á resolución de concesión provisoria, será a Comisión de Administración, Servizos e Asuntos Económicos da Facultade quen a tramite e a resolva conforme aos criterios establecidos no punto 4.

3.- As concesións serán outorgadas de forma anual e con carácter intransferible. A renuncia dun bolseiro a un posto, a non utilización do mesmo sen causa xustificada, ou a ocupación por parte doutra persoa que non sexa o bolseiro ao que se lle asignou o posto, producirá a perda do posto de traballo nas salas de bolseiros. Ao longo do ano as concesións dos postos de traballo só serán revisadas cando se produza a baixa (finalización ou renuncia da bolsa/contrato) dalgún bolseiro cun posto asignado ou algunha reclamación xustificada dos Departamentos ou bolseiros. Os Departamentos teñen a obriga de comunicar as baixas ou reclamacións ao Decanato da Facultade. De haber unha praza vacante nas aulas de bolseiros, a Secretaría do Decanato asignaralla ao primeiro bolseiro da lista de agarda.

4.- Para a adxudicación dos postos de traballo a Secretaría do Decanato deberá ter en conta a prioridade dos solicitantes segundo a seguinte orde:

1º) Bolseiros de FPI/FPU con DEA.2º) Bolseiros predoutorais da Xunta de Galicia.3º) Bolseiros de FPI/PFU sen DEA.4º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de convocatorias públicas, a tempo completo.5º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de asignación directa, a tempo completo.6º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de convocatorias públicas, a tempo parcial. Bolseiros de Terceiro Ciclo ou equivalente de convocatorias públicas.7º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de asignación directa, a tempo parcial.

En cada unha destas categorías, os solicitantes ordenaranse pola antigüidade da condición de bolseiro nesa categoría contabilizando esta antigüidade por curso académico. En caso de igualdade na antigüidade dos solicitantes, utilizarase como segundo criterio o expediente académico (calculado como nota media simple, segundo a Resolución do 15 de marzo de 2005, da Secretaría Xeral da Consellería de Educación e Ordenación Universitaria). Só se requirirá unha certificación do mesmo en caso de haber algunha reclamación.5.- A Secretaría do Decanato elaborará unha lista priorizada de concesión e agarda cos bolseiros solicitantes comprendidos nalgunha das categorías descritas no punto 4 desta normativa, co seguinte procedemento:

66

5.1.- Elaboración dunha lista priorizada con todas as solicitudes aceptadas segundo o criterio descrito no punto 4. Os 16 primeiros lugares desta lista formarán a lista de concesión, mentres que os restantes pasarán a unha lista de agarda.5.2.- Os postos ofertados por cada departamento serán ocupados polos primeiros bolseiros na lista de agarda do respectivo departamento mantendo o seu posto na lista de agarda. Se non fosen ocupados todos os postos ofertados polo departamento, os postos vacantes ocuparíanse cos últimos bolseiros da lista de concesión do respectivo departamento.5.3.- Unha vez realizado o procedemento descrito nos puntos 5.1 e 5.2, elaborarase unha lista de concesión e unha lista de agarda provisorias.5.4.- De ser o caso no que o número de solicitudes aceptadas sexa inferior ao número de postos das aulas de bolseiros I e II, abrirase un novo prazo de presentación de solicitudes para alumnos de terceiro ciclo coa seguinte prioridade:

1º) Alumnos de Terceiro Ciclo en 2º ano (traballo de investigación) ou equivalente.2º) Alumnos de Terceiro Ciclo en 1º ano ou equivalente.3º) Bolseiros de colaboración.

6.- Os prazos que se corresponden co proceso de solicitude, concesión e reclamación derivados da asignación de postos de traballo nas Salas de Bolseiros I e II son os seguintes:

• Presentación de solicitudes: do 8 ao 20 de Xaneiro• Resolución da concesión provisoria: publicación, nos dez días hábiles seguintes ao remate do

período de presentación de solicitudes, das listas de concesión e agarda provisorias (punto 5.3), achegando ademais as listas de concesión e agarda elaboradas no punto 5.1.

• Presentación de reclamacións: nos cinco días hábiles seguintes á publicación da resolución provisoria.

• Resolución de reclamacións e publicación da resolución definitiva: nos cinco días hábiles seguintes ao remate do período de reclamación.

• Ocupación dos postos: nos dez días hábiles seguintes á publicación da resolución.

Recomendacións

1. No proceso de asignación dos postos aconséllase que estea presente un bolseiro de cada un dos departamentos.

2. No caso de que algún bolseiro se ausente do seu posto de traballo un período longo de tempo, como ocorrería durante a realización dunha estancia de investigación, recoméndase poñer este posto a disposición dos bolseiros da lista de agarda.

67

Normas sobre o cambio de grupo

Prazos e solicitudes:

1. Existirán dous prazos de solicitude de cambio de grupo: o primeiro nas dúas primeiras semanas de outubro, tanto para as materias do primeiro como do segundo cuadrimestre; e o segundo, nas dúas primeiras semanas do segundo cuadrimestre, exclusivamente para as materias do segundo cuadrimestre.2. Os impresos recolleranse e entregaranse na secretaría do centro. Na solicitude de cada cuadrimestre faranse constar únicamente as materias nas que se solicita o cambio de grupo e por orde de maior a menor preferencia. Non é obrigatorio indica-los motivos da solicitude, pero poderíanse ter en conta razóns xustificadas (por motivos laborais, médicos,...) para priorizar os cambios naqueles casos nos que non fose posible conceder tódolos solicitados, consonte ó punto 1 das normas xerais.3. A resolución provisoria concedendo ou denegando o cambio de grupo será asinada polo decano, nos seguintes 15 días ó remate do prazo de solicitude. Contra esta resolución poderá impoñerse reclamación no prazo de 10 días hábiles.

Normas xerais:

1. Os cambios de grupo serán concedidos sempre e cando non se produza un desequilibrio importante no tamaño dos grupos. En tal caso o decanato informará á Comisión de Docencia e ó departamento correspondente co obxectivo de toma-las medidas oportunas.2. A Facultade non se responsabiliza de que os cambios que se concedan creen incompatibilidades de horario, polo que os solicitantes deben responsabilizarse da súa escolla.3. A concesión de cambio de grupo terá en conta exclusivamente os que se soliciten, e non outras posibles combinacións. En tódolos casos de dúbida realizarase unha entrevista persoal co interesado.

68

Normativa de monitores de clases prácticas

I. Funcións dos monitores.

1. Son funcións dos monitores todas as relacionadas coa orientación académica, axuda na realización de exercicios, desenvolvemento das prácticas de laboratorio ou seminario, resolución de dúbidas, corrección de probas parciais ou boletíns, e cantas actividades signifiquen unha mellora da atención ós estudiantes.

2. As tarefas concretas de cada monitor serán fixadas polo profesor responsable, dacordo coas directrices que poda establecer o departamento.

3. Cada monitor colaborará exclusivamente nunha materia en cada cuadrimestre, durante o período lectivo de clases, e baixo a responsabilidade directa do profesor encargado. As tarefas que lle sexan asignadas desenvolveranse baixo a tutela do profesor. Baixo ningunha circunstancia se admitirá que o profesor sexa substituido por un ou varios monitores nas clases ou nas titorías, nen que os monitores impartan clases teóricas ou de problemas.

4. Os departamentos e a Comisión de Docencia coidarán de que non se produzan desviacións non recomendables das tarefas encomendadas ós monitores.

5. Os departamentos e a Facultade tratarán de que a condición de monitor sexa compatible coas as propias obrigas do estudiante.

6. En ningún caso a condición de monitor implica a participación no P.O.D., nen supón ningún tipo de relación contractual.

II. Recoñecemento de créditos

1. De xeito orientativo, cada monitor terá dereito ó recoñecemento de 1 crédito de libre configuración por cada 20 horas de seminarios, laboratorios, titorías ou corrección de boletíns nos que colabore. O número de créditos imputables como libre configuración aos monitores variará entre 3 e 6, segundo estableza o profesor que ofreza o posto, e sen posibilidade de obter máis de 6 créditos de libre configuración por curso en concepto de monitor de clases prácticas.

2. O recoñecemento efectuarao a Comisión de Docencia, a proposta do profesor encargado, que será acompañada dun informe sobre as actividades realmente realizadas e tramitada a través do seu departamento.

3. Os créditos serán computados como de libre configuración ó abeiro do apartado "Outras Actividades (máximo 30 créditos)" recoñecido no plano de estudios.

III. Proceso de selección

1. No mes de maio de cada curso o decanato solicitará ós departamentos con docencia na Licenciatura de Matemáticas o número de prazas de monitores que ofertan para o vindeiro curso, precisando a materia na que colaborará, as tarefas a desenvolver, os créditos que aportará, o profesor desa materia que avaliará a cada monitor e os criterios de selección que aplicará. Só poderán ter monitores asociados as materias de primeiro ciclo impartidas por profesores da Facultade de Matemáticas.

2. O decanato fará pública na Facultade a lista de plazas ofertadas e as súas características, abrindo unhaconvocatoria de solicitude, que se presentará na secretaría do centro nas datas que se determinen.

3. Os candidatos deben ser estudiantes de segundo ciclo da Licenciatura de Matemáticas, que teñan superadas todas as materias troncais e obrigatorias do primeiro ciclo.

4. Cada departamento seleccionará os seus candidatos, polo procedemento que estime máis axeitado, dacordo cos criterios publicados na convocatoria. Posteriormente remitirá ó decanato a relación de admitidos e suplentes en cada plaza ofertada.

5. As posibles reclamacións serán resoltas pola Comisión de Docencia, previa consulta ó departamento que correponda.

6. A Comisión de Docencia estudará a procedencia de solicitudes de prazas vacantes cursadas fóra dos prazos habituais.

69

Normativa de Traballos Académicamente Dirixidos (T.A.D.)

O plano de estudio da titulación de Matemáticas que ofrece esta Facultade contempla a posibilidade de que os estudiantes poidan realizar traballos academicamente dirixidos (T.A.D.), cos que poden obter ata 15 créditos optativos ou de libre configuración. Segundo acordo da Comisión de Docencia do 7 de abril de 2003, os T.A.D. teranse en conta exclusivamente como créditos optativos ou de libre configuración, non se imputarán a ningunha materia concreta do plano de estudios, e aparecerán no epígrafe xenérico de “Traballos académicamente dirixidos” nos expedientes académicos dos alumnos da Facultade.

Segundo as Normas de Xestión Académica (artigo 76), o proceso de selección terá lugar no curso anterior ó da presentación do traballo.

1. Oferta de T.A.D. por parte dos departamentos

A oferta de T.A.D. para cada curso será realizada polos departamentos no mes de maio do curso anterior e será remitida á secretaría da facultade. Na oferta deberán especificar:• Liñas do traballo académicamente dirixido e obxectivos.• Tipo de créditos.• Requisitos académicos para concorrer á realización dos T.A.D.• Profesor ou profesores que dirixirán o traballo.• Criterios de selección.• Prazo de realización.

2. Requisitos para poder optar á realización dun T.A.D.

Ser alumno de segundo ciclo e ter aprobado no momento da convocatoria un mínimo dun 60% das materias troncais e obrigatorias do primeiro ciclo.

Ademáis, as áreas poderán esixir unha nota media mínima, que en ningún caso poderá ser superior á de notable. Este requisito deberá facerse público antes de que se inicie o prazo de presentación de solicitudes.

3. Presentación de solicitudes

Segundo a Resolución Rectoral do 11 de maio de 1999, os alumnos interesados en realizar un T.A.D. deberán no prazo indicado unha solicitude dirixida á Ilmo. Sr. Decano da Facultade, na que farán constar os seus datos persoais e unha relación priorizada de ata cinco das liñas de traballo ofertadas para a súa titulación. Se unha das liñas elixidas contase con varios directores, o alumno deberá colocalos por orde de preferencia. Advírtese que a priorización das liñas e de directores será vinculante.

Os modelos de solicitude pódense recoller na secretaría da facultade ou descargalos da web propia da Facultade.

4. Selección de candidatos.

A selección dos candidatos realizarana as Áreas de Coñecemento que propoñan as liñas. A decisión que adopten deberá ser aprobada polo departamento.

A selección realizarase tomando como criterio a media do expediente académico dos solicitantes. No cálculo da media ponderaranse as materias da Área que propón a liña de traballo ou outras que se considere pertinente tomar en consideración. Antes da data en que comece o prazo de presentacións de solicitudes os departamentos publicarán nos seus taboleiros a relación de materias que se ponderarán en cada liña.

A nota final será o resultante da media entre a nota media global do expediente e a nota media das materias que se ponderen en cada liña de investigación.

Se algunha área esixe para poder ser admitido unha nota media determinada, deberá facer pública esta circunstancia antes de que se inicie o prazo de presentación de solicitudes.

70

O proceso de selección terá lugar do mes de setembro, antes do día 15. Inmediatamente despois, os departamentos darán a coñecer nos seus taboleiros de anuncios a relación provisoria de alumnos admitidos en cada liña de traballo, así como unha relación de reservas.

5. Reclamacións.

Habilitarase un prazo de sete días naturais para que os solicitantes presenten as súas reclamacións. Decorrido este prazo, os departamentos deberán reunirse novamente para estudialas e para elaborar a relación definitiva de alumnos admitidos, que se publicará inmediatamente nos taboleiros de anuncios dos departamentos.

Tamén os Departamentos deberán remitir á Secretaria do Decanato a seguinte información:a) Relación de alumnos aceptados para a realización do TAD, título do traballo, director ou directores e prazo

de realizaciónb) Proposta da comisión para a avaliación de cada un dos TAD

A relación de alumnos seleccionados para a realización dos TAD, será remitida pola Secretaría do Decanato á Unidade de Xestión Académica antes do 30 de setembro.

6. Matrícula.

A matrícula nesta materia formalizarase no curso académico inmediatamente posterior ó da selección.

7. Avaliación e cualificacións.

A avaliación dos T.A.D. realizaraa unha comisión de tres membros (presidente, vocal e secretario) proposta polo departamento, por iniciativa da Área responsable da dirección do traballo e nomeada polo decano.

Os T.A.D. serán avaliados nas convocatorias de febreiro, xuño ou de setembro mediante as cualificacións habituais que lle correspondan como materia optativa ou de libre configuración.

8. Procedemento extraordinario.

En todo momento a Comisión de Docencia considerará para a súa posible aprobación propostas debidamente xustificadas.

71

Normativa para a obtención do Grao de Licenciadona modalidade de Traballo de Investigación

A memoria de licenciatura é un traballo no que se expoñen os resultados dunha iniciación á investigación sobre temas relacionados coas áreas de coñecemento integradas nos Departamentos adscritos á Facultade.

Poderán iniciar a elaboración da memoria Licenciados en Ciencias Matemáticas ou alumnos do último curso de carreira baixo a dirección dun doutor. Se o director non pertence a un dos Departamentos adscritos á Facultade, designarase como ponente un doutor que sí pertenza.

A súa tramitación, defensa e cualificación rexerase polo seguinte regulamento:

1. Solicitudes. Os aspirantes á realización da memoria de licenciatura comunicarán ó Sr. decano da Facultade o tema de traballo no formulario que se lles entregará na secretaría da facultade; na comunicación deberá figurar o "conforme" do director do traballo (no seu caso tamén do ponente) e a "autorización do Consello de Departamento" ó que éste pertence. Non se poderá realizar a lectura e defensa da memoria ata que transcorran tres meses contados a partir da data da devandita comunicación.

2. Tribunal. A lectura e defensa da memoria farase ante un tribunal composto por tres membros (presidente, vocal e secretario) pertencentes ós corpos de catedráticos ou profesores titulares de universidade. O tribunal será nomeado pola Xunta de Facultade (ou organismo no que delegue) oído o director da tesiña (ou no seu caso o ponente). No tribunal non poderán figurar máis de dous profesores do mesmo Departamento e poderá figurar o director do traballo (ou o ponente).

3. Matrícula. O alumno, que deberá ser licenciado para matricularse, entregará catro exemplares na Secretaría da Facultade nos que necesariamente constará a autorización do director (ou, no seu caso do ponente) da mesma para a súa presentación. Un destes exemplares estará a disposición dos membros da Facultade durante un período de dez días lectivos; dito período comunicarase ós Departamentos adscritos á Facultade e publicarase no taboleiro de anuncios de mesma. As posibles alegacións, que serán dirixidas por escrito ó Sr. decano, comunicaránselle ó director da memoria e ó tribunal que se designe para xulgala. Transcurrido ese período de dez días xa se pode proceder á súa lectura. A data de lectura debe comunicarse á Facultade coa debida antelación ós efectos de reserva de aulas e comunicación oficial á Unidade de Xestión Académica, tras o cal o alumno poderá formaliza-la matrícula.

4. Lectura da memoria de licenciatura e cualificación na proba de grao. A defensa da memoria farase oralmente por parte do autor en sesión pública; disporá como mínimo de 15 minutos e como máximo de 45 e exporá os obxectivos e conclusións do traballo. O tribunal poderá solicitar as aclaración que estime oportunas e deberá concederlle audiencia ó director do traballo se éste non forma parte do mesmo. O tribunal, en sesión secreta, enxuiciará a calidade e defensa do traballo presentado polo aspirante. Tendo en conta dito xuízo e o seu expediente académico, outorgaralle a cualificación que lle corresponde na proba de Grao de Licenciado na modalidade de Traballo de Investigación. Tal cualificación poderá ser: suspenso, aprobado, notable ou sobresaliente.

73

Benoît Mandelbrot(Varsovia, Polonia,1924)

Benoît B. Mandelbrot naceu dentro dunha familia xudía culta de orixe lituana. Foi introducido no mundo das matemáticas dende pequeno grazas ós seus dous tíos. Cando a súa familia emigra a Francia en 1936, o seu tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas no Collège de France e sucesor de Hadamard neste posto, toma a responsabilidade da súa educación. Despois de realiza-los seus estudos na Universidade de Lyon ingresou na "École Polytechnique" en 1944 baixo a dirección de Paul Lévy quen tamén o influíu fortemente. Doutorouse en matemáticas pola Universidade de París no ano 1952.

En 1967 publicou en Science ¿Canto mide a costa de Gran Bretaña?, onde se expoñen as súas primeiras ideas sobre os fractais.

Foi profesor de economía na Universidade de Harvard, de enxeñaría en Yale, de fisioloxía no Colexio Albert Einstein de Medicina, e de matemáticas en París e Xenebra. Dende 1958 traballou en IBM no Centro de Investigacións Thomas B. Watson en Nova York.

Foi o principal creador da Xeometría Fractal, ó referirse ó impacto desta disciplina na concepción e interpretación dos obxectos que se atopan na natureza. En 1982 publicou o seu libro FractalGeometry of Nature no que explicaba as súas investigacións neste campo. A xeometría fractal distínguese por unha aproximación máis abstracta á dimensión da que caracteriza á xeometría convencional.

En 1985 recibiu o premio "Barnard Medal for Meritorious Service to Science". Nos anos seguintes recibiu a "Franklin Medal". En 1987 foi galardoado co premio "Alexander von Humboldt"; tamén recibiu a "Medalla Steindal" en 1988 e moitos outros premios, incluindo a "Medalla Nevada" en 1991.

Benoît B. Mandelbrot é un matemático coñecido polos seus traballos sobre os fractais. É o principal responsable da auxe deste dominio das matemáticas dende o inicio dos anos oitenta, e do interese crecente do público. En efecto soubo utiliza-la ferramenta que se estaba popularizando nesta época -oordenador- para traza-los máis coñecidos exemplos de xeometría fractal: o conxunto de Mandelbrot por suposto, así como os conxuntos de Julia descubertos por Gaston Julia, quen inventou as

matémáticas dos fractais, e desenvolvidos logo por Mandelbrot.

Conxunto de Mandelbrot

�

75

Normativa Xeral daUSC

77

NORMATIVA BÁSICA PARA A ORDENACIÓN DO PROCESO DE ENSINO/APRENDIZAXE E DA AVALIACIÓN DO RENDEMENTO ACADÉMICO DOS ESTUDIANTES.

(Xunta de Goberno do 15-novembro-2001)

(Engadido do punto 2 no artigo 15, Consello de Goberno do 22-06-04)

Este documento pretende o desenvolvemento básico da normativa emanada da LRU, dos Estatutos da USC e do Estatuto do Estudiante da USC co fin de mellorar o proceso de aprendizaxe do alumno. Esta normativa pretende establecer os sistemas que, en base ás competencias dos centros e departamentos, permitan levar a cabo unha docencia coordinada ó mesmo tempo que se fan explícitas as características e condicións da avaliación tanto ordinaria como extraordinaria.

Artigo 1.- O Plan Docente Anual determinará o número de grupos de cada materia, o cuadrimestre en que se impartirá, a(s) área(s) responsables da impartición da docencia, etc. Así mesmo o Plan de Estudios determina os descriptores de cada materia.

Artigo 2.- O centro establecerá os horarios, a ser posible antes da elaboración dos Planos de Organización Docente dos departamentos.

En todo caso, os horarios de teoría e, ata onde sexa posible, os das clases prácticas serán públicos antes do 15 demaio do curso académico anterior.

Artigo 3.- O departamento ten a obriga de garantir para cada materia unha Programación Docente que deberá especificar:

I. Profesorado encargado da docencia con indicación, de ser varios, do coordinador da mesma.

II.. Descritores da materia no Plan de Estudios.

III. Número de créditos teóricos, de prácticas de encerado, de laboratorio, etc.

IV. Obxectivos.

V. Programa da parte teórica e práctica.

VI. Desenvolvemento do temario (con indicación, a ser posible, do tempo previsto para cada tema) con determinación da docencia non presencial.

VII. Criterios e sistemas de avaliación (tipo e número de probas, traballos para presentar coas posibles datas, controis periódicos, etc)

VIII. Bibliografía recomendada actualizada.

O departamento fará chegar ó centro unha copia da programación docente de cada materia antes do 15 de abril e este faraa pública antes do 15 de maio.

Artigo 4.- Os departamentos garantirán a coordinación da programación e equivalencia formativa de todos os grupos dunha mesma materia. O centro supervisará que o programa e demais apartados da programación anual de cada materia se adapta ó plan de estudios vixente e exercerá a necesaria coordinación de programas e sistemas de avaliación dentro dun mesmo curso, ciclo e titulación.

78

Artigo 5.- Todas as materias terán dúas probas finais (febreiro/xuño e setembro), salvo nas materias en que polas súas características a Comisión de Docencia do Centro, a proposta do departamento correspondente, autorice de forma expresa a non existencia de tales probas.

A programación docente de cada materia fará explícita a cualificación que se debe outorgar os estudiantes que realicen algunha proba "parcial" de avaliación e non se presenten á proba final. Se non figura referencia explícita, entenderase que os estudiantes que non se presenten a esta proba final e non superen a materia serán cualificados como "Non presentado" na dita convocatoria.

No caso de que, pola característica da materia, non exista tal proba, entón a Programación Docente da dita materia indicará baixo qué circunstancias se cualificará como "Non presentado".

A programación docente dunha materia pode determinar a obriga de realizar certas actividades prácticas de laboratorio, entrega de traballos, etc. sen as cales non será posible a superación da dita materia. Se as ditas actividades só poden ser desenvolvidas durante o período de clase, a Comisión de Docencia do Centro pode establecer a imposibilidade de presentación destes alumnos á convocatoria de setembro.

A programación docente tamén pode contemplar a posibilidade de que a avaliación positiva de certas actividades (prácticas de laboratorio, etc.) poida ser conservada, durante un número determinado de cursos académicos. Neste caso o departamento debe determinar cómo se ten en conta esta situación na cualificación final unha vez que o alumno supere todas as probas e actividades necesarias para superar a materia.

Artigo 6.- Os estudiantes teñen dereito a seren avaliados en todas as materias das que estean matriculados. Estedereito non implica dereito a datas de avaliación distintas das previstas se están matriculados de materias con datas de avaliación coincidentes. Procurarase que non haxa materias de dous cursos consecutivos con calendarios de avaliación coincidentes.

Artigo 7.-O centro aprobará e fará pública a programación das probas finais das disciplinas de todas as convocatorias de cada curso antes do 15 de maio do curso académico anterior.

Artigo 8.- O decano/director do centro resolverá, previa consulta co(s) profesor(es) correspondente(s) e cos alumnos do curso ou grupo afectado, as situacións nas que por imposibilidade sobrevida resulte imposible realizar o exame de acordo co establecido na programación.

Artigo 9.- A avaliación do rendemento académico dos estudiantes é un paso fundamental de calquera proceso educativo. A avaliación ten que basearse en obxectivos educativos e debe de servir para asegurar cinco grandes obxectivos: mellorar a docencia, informar á Universidade sobre o grao de asunción dos obxectivos educativos previstos, garantir a competencia dos alumnos, asegurar a equidade e mellorar a aprendizaxe dos propios estudiantes.

Dada a importancia da avaliación do rendemento académico dos alumnos en calquera proceso docente, o estudiante debe de ter a máxima información posible. É moi importante que os estudiantes poidan predicir as consecuencias do seu rendemento e que poidan controlar o resultado da súa avaliación.

Os alumnos deben de ser informados minuciosamente sobre os criterios e métodos de avaliación, así como o tipo e número de exames.

Os estudiantes serán avaliados de acordo cos criterios que figuren de forma explícita na programación da materia e que, en xeral, se basearán, nalgunha ou nalgunhas das seguintes actividades:

I. Asistencia e participación en clases teóricas, seminarios e outras actividades complementarias

II. Realización de prácticas e traballos de laboratorio

III. Presentación de traballos ou informes relacionados co contido da materia

IV. Probas parciais e/ou final

79

V. Outras actividades específicas que tamén garantan a avaliación obxectiva do rendemento do estudiante

En todo caso para as probas, distintas da final, que se declaren obrigatorias deben indicarse as datas da súa realización na programación docente.

A dirección do centro deberá de ter coñecemento das actividades que poidan afectar ó resto de actividades académicas co fin de que se fagan de xeito coordinado.

No caso de alumnos con algunha minusvalía, facilitaráselles a realización das probas de avaliación en condicións acordes coas súas capacidades.

Artigo 10.- En todo caso o artigo 115 dos Estatutos da USC asigna ó Consello de Departamento o establecemento dos criterios de avaliación do rendemento dos estudiantes e o artigo 3.1. do Estatuto do Estudiante establece que todos os estudiantes terán igualdade de dereitos e deberes sen máis distincións cás derivadas das ensinanzas que estean a cursar polo que é necesario que os alumnos dos distintos grupos dunha mesma materia reciban unha formación equivalente e sexan avaliados con criterios tamén equivalentes, independente do grupo que lles corresponda sempre que este dereito poida exercitarse sen menoscabo dos dereitos dos demais membros da comunidade universitaria, como establece o mesmo artigo 3 do Estatuto do Estudiante no apartado 2.

Artigo 11.- Para a realización de probas orais, convocarase cada día os alumnos que previsiblemente o profesor poida examinar. Tales exames serán públicos e polo menos nos casos en que sexa a única proba de avaliación, o departamento nomeará unha comisión de avaliación que deberá estar formada por un mínimo de dous profesores.

Artigo 12.- En calquera momento dos exames se poderá requirir a identificación dos alumnos.

Artigo 13.- Os estudiantes teñen dereito, se o solicitan, a un xustificante documental de terse presentado á proba ou exame.

Artigo 14.- O estudiante ten dereito a coñecer os resultados das probas, traballos ou exames parciais que realice, segundo o sistema de avaliación previamente establecido, nun prazo razoable que, salvo casos excepcionais, debidamente xustificados perante a dirección do centro, serán inferiores a 20 días naturais dende a data de realización da proba excepto para as cualificacións finais que deberán axustarse ó regulamentado polas Normas de Xestión Académica. Tales resultados deben coñecerse con suficiente antelación á realización dunha nova proba.

Os profesores deberán conservar todo o material utilizado para a avaliación do alumno por un período mínimo de seis meses, sen prexuicio do previsto no artigo 19.

No caso de que desapareza (perda, roubo…) o material dunha proba antes de finalizar o prazo de revisión e sen que o alumno exercera este dereito, entón o alumno pode solicitar a realización dunha nova avaliación. Neste caso o profesor procurará que o alumno teña facilidades (flexibilización das datas de exame, tipo de exame, etc.) para esta avaliación especial.

Artigo 15.-

1. A notificación das cualificacións finais provisorias de cada materia realizarase mediante a publicación dunha listaxe coa cualificación de cada estudiante. O(s) profesor(es) informará(n) no momento da realización do exame da data aproximada de publicación dos resultados. Unha copia da listaxe exposta coas cualificacións finais provisorias e as rectificacións será depositada na secretaría do centro xunto coa acta por un período mínimo de cinco anos, e deben enviarse a continuación ó Arquivo Histórico. Estas cualificacións consideraranse definitivas ó finalizar o prazo de revisión de exames. O alumno poderá recoller no lugar que se indique unha comunicación coas cualificacións acadadas en cada convocatoria unha vez que finalice o proceso de informatización das actas.

2. Cando sexa posible, a listaxe de cualificacións provisionais á que se refire o apartado anterior elaborarase mediante a aplicación informática de cobertura das actas de cualificacións. Así mesmo, no caso de estar operativo un procedemento para enviar aos alumnos a través de teléfonos móbiles información sobre as cualificacións provisionais das materias nas que estean matriculados e a data de revisión de exames, os profesores deberán autorizar dita comunicación no momento de publicar as cualificacións provisionais, mediante as canles técnicas que se establezan.

80

Artigo 16.- Na realización dos exames e probas de cada materia deberá(n) estar presente(s) o(s) profesor(es) responsable(s) da materia, salvo casos excepcionais debidamente autorizados pola dirección do centro e departamento.

Artigo 17.- O alumno ten dereito á revisión dos exames tanto parciais como finais na súa presencia nas datas e horarios que para tal efecto deberán fixarse no momento de facer públicos os resultados provisorios. As datas de revisión deberán estar comprendidas dentro dos dez días seguintes á publicación dos resultados e tal prazo non deberá ser inferior a tres días hábiles e garantirá que todos os alumnos que o desexen podan revisar o exame. Procurarase que, para cada estudiante, estas revisións se poidan levar a cabo en dúas datas opcionais e que sexan un instrumento útil para que o alumno poida percibir o seu nivel de coñecementos e carencias, tanto se resulta aprobado como suspenso. Deberá quedar constancia desta revisión (mediante sinatura no exame revisado, listaxe, etc.).

Artigo 18.- A realización fraudulenta dalgún exercicio ou proba esixida na avaliación dunha materia implicará a cualificación de suspenso na convocatoria correspondente, con independencia do proceso disciplinario que se poida seguir contra o alumno infractor.

Artigo 19.- Os traballos e demais material de tipo creativo elaborados polos estudiantes seranlles devoltos, se o solicitan, no prazo de tres meses unha vez finalizado o período de reclamación, agás naqueles casos en que por razóns debidamente xustificadas se establezan períodos maiores.

A reproducción total ou parcial dos traballos do curso e dos contidos das probas de avaliación ou a utilización para outra finalidade, necesita a autorización explícita do autor ou autores, de acordo coa Lei de propiedade intelectual.

81

NORMATIVA PARA ARTICULAR OS PROCEDEMENTOS EXTRAORDINARIOS DE AVALIACIÓN E A REVISIÓN DE CUALIFICACIÓNS

(Xunta de Goberno do 15-novembro-2001)

Esta normativa desenvolve o artigo 115 dos Estatutos da USC que establecen que a Xunta de Goberno elaborará unha normativa para articular os procedementos extraordinarios de avaliación e a revisión de cualificacións.

1.- AVALIACIÓN ORDINARIA

Artigo 1.1.- A avaliación ordinaria será realizada polo(s) profesor(es) encargado(s) da materia de acordo cos criterios establecidos polo consello de departamento.

Artigo 1.2.- A avaliación dos estudiantes sen posibilidade de docencia previa (exames de febreiro dos plans non-renovados, convocatoria fin de carreira, etc.) realizaraa o profesor que impartiu a materia o curso anterior, ou, en ausencia deste, o que a imparte o curso actual ou quen determine o departamento. Os criterios de avaliación serán os do curso anterior ou do último impartido e o programa deberá axustarse ó realmente impartido nese curso. No caso de materias sen dereito a docencia (por exemplo, materias de plans de estudio en extinción) seguiranse os criterios anteriores e en ausencia do profesor que impartiu a materia por última vez, o departamento designará o profesor ou profesores responsables da avaliación.

Artigo 1.3.- Os centros establecerán os criterios tanto para a asignación como para o cambio de grupo. Tales criterios poden ter en consideración as características das diferentes materias e o número de convocatorias esgotadas polos solicitantes.

2.- AVALIACIÓN EXTRAORDINARIA

Artigo 2.1.- A Comisión de Ordenación Académica e Profesorado (COAP) fará cada curso unha análise global e por centros do rendemento académico dos estudiantes. A parte de poñer en marcha as medidas que poidan axudar a corrixir as disfuncións ou problemas que se detecten, fará chegar ós centros e departamentos responsables as suxestións que considere oportunas (suxestións xerais, axuste do programa, cambio dos métodos de avaliación, etc.). No caso de que a porcentaxe de alumnos que superan unha disciplina se desvíe significativamente, por exceso ou por defecto, da media do resto de materias do mesmo curso, ciclo e titulación, a COAP, impulsará unha análise técnica (baseada en informes sobre o programa, exames, calidade da docencia, etc.) sometendo a consideración da Xunta de Goberno a aprobación das resolucións que considere oportunas.

Artigo 2.2.- En consonancia co indicado nos puntos 2.3 e 2.4, os distintos grupos dunha mesma disciplina deberán ter uns criterios e sistemas de avaliación similares e equilibrados. De non ser así COAP, previo informe do correspondente centro e departamento, estudiará as posibles solucións.

Artigo 2.3.- O esforzo necesario para superar unha materia debe estar en concordancia co número de créditos que se lle asigna no plano de estudios. No caso que se considere que existe unha desviación importante entre os obxectivos previstos no plano de estudios e o nivel de esixencia para superar unha determinada materia, a COAP, previo informe do centro e departamento, someterá a consideración da Xunta de Goberno as resolucións que considere oportunas.

Artigo 2.4.- Apoio titorial extraordinario:

Os alumnos que teñan un máximo de dúas materias pendentes, que non sumen máis de 12 créditos, con catro convocatorias esgotadas en cada unha, poderán solicitar un apoio titorial extraordinario para as ditas materias sempre que teñan superado o 80% dos créditos troncais e obrigatorios para titularse. Este apoio titorial restrinxirase a un máximo de dúas materias en toda a titulación.

82

O director do departamento, a pedimento do alumno e previa consulta cos profesores da área que ten encargada a docencia da materia, nomeará un profesor- titor do alumno que se encargará de orientar a súa aprendizaxe co fin de que adquira os coñecementos suficientes para superar a dita materia, e será o responsable da súa avaliación.

A Universidade establecerá procedementos que permitan detectar os casos de alumnos que, estando en cursos superiores, levan fracasado de forma continuada no intento de superar algunha materia de cursos inferiores. A estes alumnos ofreceráselles a orientación necesaria para que no proceso de matrícula poidan facer unha elección de materias encamiñada a superar as atrasadas.

3.- REVISIÓN DE CUALIFICACIÓNS

A revisión da cualificación establecida no artigo 115.2 dos Estatutos da Universidade e no artigo 33 do Estatuto do Estudiante levarase a cabo de acordo co seguinte procedemento:

i) Todos os estudiantes teñen dereito a presentar as reclamacións debidamente motivadas que consideren oportunas. Para poder exercer este dereito é necesario que o alumno teña acudido previamente ó proceso de revisión do exame que establece o punto 17. O prazo para a presentación de tales reclamacións será de 15 días hábiles dende que finalice o prazo de revisión de exames.

ii) Á vista da reclamación, o decano /director do centro decidirá sobre a admisión a trámite da alegación presentada. En todo caso, a non admisión a trámite debe estar suficientemente xustificada.

iii) O estudiante pode recorrer a non-admisión a trámite ante o rector. Se o rector confirma a non-admisión a trámite, esta resolución esgotará a vía administrativa.

iv) No caso de que sexa admitida a trámite, o decano/director trasladará a reclamación ós profesores responsables da mesma para que presenten as alegacións que consideren oportunas nun prazo non superior ós tres días hábiles.

v) O decano/director vistas as alegacións presentadas polo profesor e previa audiencia do alumno, poderá decidir sobre a desestimación da reclamación o que poderá ser recorrido polo alumno diante do rector, ou nomeará unha comisión formada por 3 profesores e 1 alumno con voz e sen voto, elixido entre os representantes da Xunta de Centro, a ser posible, con esa materia superada, ademais do decano/director ou vicedecano/subdirector en quen delegue que a presidirá. Non formará(n) parte da dita comisión o(s) profesor(es) responsable(s) da cualificación. Un dos tres profesores será de área distinta e, de ser posible, os outros dous, que serán propostos polo director do departamento, serán da mesma área que ten encargada a docencia e un deles impartindo a docencia da mesma disciplina. A comisión revisará o material que serviu de base para a cualificación do reclamante e demais compañeiros e, se considera que os exames realizados adolecen das garantías mínimas necesarias ou non existen elementos suficientes para a avaliación, pode realizar unha nova proba ó reclamante. A dita comisión fará a proposta de cualificación que corresponda.

vi) A resolución do decano/director do centro, que reflectirá a proposta da comisión, non esgotará a vía administrativa e será o propio director do centro quen lla comunique ó estudiante. No escrito farase constar que, contra esta resolución, se poderá interpoñer recurso de alzada perante o rector no prazo dun mes a partir da data de recepción da resolución.

vii) A revisión de exames non modifica os prazos ordinarios de entrega das actas.

viii) Os exames ou probas, xa sexan parciais ou finais, que foran realizados por escrito ou por calquera outro medio que permita deixar constancia deles, conservaranse por un periodo mínimo de seis meses. En caso de reclamación conservarase ata a finalización de todos os procesos.

ix) No caso de ser necesaria unha modificación en acta da cualificación como consecuencia do proceso de revisión de exames, a nova cualificación será notificada polo decano/director do centro ó secretario xeral da Universidade que establecerá o procedemento para a modificación da acta, na que se incorporará unha dilixencia administrativa que reflicta o acordo de modificación.

83

Disposición derrogatoria: Quedan derrogadas as "Directrices Xerais sobre Avaliación do Rendemento Académico dos Estudiantes" aprobadas pola Xunta de Goberno do 27 de febreiro de 1997 así como calquera outra norma ou disposición que se opoña a esta normativa.

Disposición adicional: Modifícase o artigo 28 das Normas de Xestión Académica que queda redactado como sigue:

28. CONSERVACIÓN E CUSTODIA DE EXAMES

Os exames ou probas, xa sexan parciais ou finais, que foran realizados por escrito ou por calquera outro medio que permita deixar constancia deles, deberán ser conservados polos profesores encargados da materia polo menos seis meses dende a data final de entrega das actas, agás nos supostos de que estea en curso un expediente administrativo ou xudicial, ou que por outras normas se establezan prazos maiores.

84

REGULAMENTO DA UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA DOS INTERCAMBIOS INTERUNIVERSITARIOS DE ESTUDANTES

A internacionalización das universidades, alén de estar presente dende a súa xénese, constitúe hoxe un elemento central na súa evolución futura. A USC recolle nas súas liñas estratéxicas o desenvolvemento dun Plan de internacionalización para mellorar a súa posición como universidade de referencia no espazo universitario global que as políticas europeas e internacionais van abrir, para aproveitar as oportunidades que presenta a globalización no noso desenvolvemento, e para impulsar a calidade e a eficiencia do servizo prestado á sociedade. Neste ámbito, a USC mantén unha aposta decidida polo reforzamento das conexións e os programas de mobilidade e cooperación con outros sistemas universitarios, en especial no contorno europeo e latinoamericano.

Un elemento básico neste obxectivo é facilitar aos estudantes programas de mobilidade que lles permitan complementar noutras universidades os estudos conducentes á obtención dun título oficial, beneficiarse dunha proveitosa experiencia social e cultural, e mellorar o seu currículo de cara á incorporación laboral, en canto a participación nestes programas constitúe unha mostra da capacidade de comunicación e cooperación, e de adaptación e comprensión doutras culturas. Os distintos convenios de intercambios interuniversitarios que ten subscritos a USC permiten que os estudantes poidan realizar unha parte dos seus estudos noutra universidade con plenos efectos académicos.

A USC ten centralizada a xestión dos programas de intercambio na Oficina de Relacións Exteriores (ORE). Ademais desta unidade, os procedementos de intercambio afectan a un número elevado de axentes na comunidade universitaria: estudantes, equipos de dirección dos centros, persoal de administración con competencias nestas materias, profesores, coordinadores, etc., o que fai necesario establecer os mecanismos de coordinación precisos así como a normativa que deberá regular o procedemento.

Por outra parte, os procesos de integración da xestión deben incorporar elementos de mellora da calidade nos propios procedementos. Son obxectivos de mellora proporcionar unha información precisa e accesible aos estudantes e profesores que participan nos programas, facilitar o control do procedemento á ORE, axilizar os procedementos de selección e cualificación nos centros, informatizar todos os procedementos dos axentes que participan nos intercambios que permitan incorporar toda a información do expediente de mobilidade dos estudantes ás unidades de Xestión Académica co obxecto de axilizar a certificación dos resultados dos alumnos dende e na USC así como establecer indicadores para a avaliación da calidade do proceso.

Por todo o anterior, o Consello de Goberno na súa sesión de seis. de .febreiro de 2008, acordou aprobar a seguinte normativa de REGULAMENTO DE INTERCAMBIOS INTERUNIVERSITARIOS DE ESTUDANTES

TÍTULO I

DISPOSICIÓNS XERAIS

Artigo 1: Ámbito de aplicación.-

O presente Regulamento será de aplicación a:

a) Estudantes da USC que acceden a outras universidades en réxime de intercambio coas que se teña subscrito o correspondente programa ou convenio de mobilidade recíproca, co obxecto de cursar ensinanzas impartidas nela.

b) Estudantes doutras universidades que acceden á USC en réxime de intercambio coas que se teña subscrito o correspondente programa ou convenio de mobilidade recíproca, co obxecto de cursar ensinanzas impartidas nela.

Artigo 2: Formalización dos convenios.-

85

1. Corresponderalle á Oficina de Relacións Exteriores a supervisión do contido, tramitación, rexistro e seguimento dos convenios de cooperación e intercambio académico, dos que sexa parte a USC, así como velar polo cumprimento de todos os requisitos procedementais esixidos para a súa elaboración.

2. A formalización dos correspondentes convenios reguladores da mobilidade estudantil axustaranse ao réxime xeral vixente na materia na USC, en particular ao Regulamento para a xestión de convenios na USC, aprobado polo Consello de Goberno o 19 de decembro de 2002 ou a normativa que o substitúa.

Artigo 3: Coordinación dos programas de mobilidade.-

O Vicerreitorado competente na materia, será o responsable da coordinación das distintas convocatorias dos programas de mobilidade, realizadas e difundidas a través da ORE, así como dos responsables académicos de mobilidade dos centros, dos coordinadores académicos e do web da USC.

Artigo 4: Responsable académico de mobilidade.-

Un dos membros do equipo de dirección do centro asumirá as funcións de responsable académico de mobilidade, que terá a misión principal de velar polo bo funcionamento dos programas de mobilidade, e realizará, entre outras, as seguintes funcións:

a) Apoiar e ordenar o labor dos coordinadores de mobilidade académica pertencentes ao seu centro.

b)Coordinar o fluxo de comunicación entre a Vicerreitoría e os centros.

c) Coordinar a xestión dos acordos de cada centro.

d) Colaborar coas unidades administrativas e académicas do centro na planificación e organización do traballo relacionado cos programas de mobilidade.

e) Convocar e presidir as comisións de selección de alumnos.

f) Velar polo cumprimento na aplicación das normas e criterios establecidos nos distintos programas de mobilidade.

g) Recibir os estudantes procedentes doutras universidades e orientalos cara aos seus respectivos coordinadores.

h) Promover os programas de mobilidade nos centros, mediante a realización de actividades informativas ou doutro tipo que contribúan á súa promoción e coñecemento.

i) Revisar os acordos académicos elaborados polos coordinadores para comprobar que se axustan ao establecido no Plan de estudos.

l) Enviarlle ao/á decano/a ou director/a do centro as propostas de resolucións de recoñecemento de estudos.

m) Presentarlle á ORE as propostas de novos convenios de mobilidade realizadas polos membros do seu centro.

Artigo 5: Coordinadores académicos.-

1. Cada programa ou convenio de mobilidade poderá establecer o número de coordinadores académicos correspondentes ao título ou conxunto de títulos oficiais da USC para os que se estableza.

2. Os coordinadores académicos serán nomeados polo decano/a ou o director/a do respectivo centro. De non figurar de forma expresa, a función será asumida polo responsable académico de mobilidade do centro.

3. Os coordinadores académicos titorizan e asisten aos estudantes de intercambio nos aspectos académicos e asumen as funcións que con carácter xeral se lles encomenden nas presentes normas, e aquelas outras que de

86

forma específica podan encargárselles nos respectivos programas ou convenios de mobilidade. En especial terán as seguintes funcións:

a) Informar os estudantes da USC sobre as universidades de destino, e posible recoñecemento académico dos estudos a realizar durante o período de mobilidade.

b) Formar parte das comisións de selección dos alumnos para os programas que coordinen.

c) Elaborar os compromisos de estudos, asinalos xunto cos estudantes e autorizar as súas modificacións, sempre dentro dos prazos que se establecen nas presentes normas.

d) Asesorar academicamente os alumnos de intercambio, así como realizar o seu seguimento.

e) Facer as propostas de resolución de recoñecemento de estudos.

4. Os coordinadores académicos disporán dun horario de atención aos estudantes de intercambio, cun mínimo de dúas horas semanais, que se incluirá na información que se lles proporcionará aos estudantes de cada centro.

Artigo 6: Responsables de unidades de apoio á xestión de centros e departamentos.-

Os responsables de unidades de apoio á xestión de centros e departamentos teñen a misión de apoiar o proceso de mobilidade en todos os aspectos administrativos relativos ao centro. Terán, entre outras, as seguintes funcións:

a) En coordinación cos responsables académicos de mobilidade e coordinadores académicos, realizarán tarefas de información aos estudantes da USC sobre a oferta, condicións, trámites, etc. dos distintos programas de mobilidade.

b) Recepción de alumnos doutras universidades, facilitándolles información particular da titulación, coordinadores, procedementos, etc.

c) Colaborar na selección dos alumnos que realizarán os intercambios (elaboración de listas, baremos, publicación de propostas, etc.).

d) Remisión á ORE e á UXA correspondente dos compromisos de estudos ou acordos académicos e as súas modificacións.

e) Colaboración na resolución de incidencias durante os intercambios (alumnos enviados e admitidos).

f) Remisión das actas, resolucións ou certificacións, segundo sexa o caso, de recoñecemento de estudos á UXA correspondente para a súa anotación nos expedientes dos alumnos.

g) Xestión das altas e baixas dos responsables de mobilidade e coordinadores académicos do seu centro e transmisión da correspondente información actualizada á ORE .

h) Arquivo de toda a documentación administrativa xerada polos procesos de mobilidade no centro.

TÍTULO II

DOS ESTUDANTES DA USC QUE ACCEDEN A OUTRAS UNIVERSIDADES EN RÉXIME DE INTERCAMBIO

Artigo 7: Convocatorias de mobilidade.-

1. A Universidade de Santiago de Compostela, a través da Vicerreitoría competente, efectuará as convocatorias para a participación nos diferentes programas ou convenios subscritos para a mobilidade estudantil co obxecto de que os estudantes interesados, que cumpran os requisitos establecidos, poidan participar neles.

87

2. As convocatorias de mobilidade serán difundidas a través da ORE, da Oficina de Información Universitaria, dos responsables académicos de mobilidade, dos coordinadores académicos, dos responsables de unidades de apoio á xestión e da páxina electrónica da USC.

3. Entre outras cousas, deberán incluír toda a información relativa aos procedementos, requisitos, prazos, órganos e criterios de selección.

Artigo 8: Comisión de selección.-

1. Os estudantes serán seleccionados en virtude dun procedemento público de concorrencia competitiva, de acordo cos principios de igualdade, mérito, capacidade e publicidade. Na citada selección terase en conta, polo menos, o expediente académico, o coñecemento das linguas oficiais do país de destino, no caso de non seren estas a española, e a adecuación do programa ou convenio de intercambio. Así mesmo, para poder optar a unha praza de intercambio, salvo que o convenio regulador estableza outra cousa, os alumnos deberán acreditar antes do remate do prazo de solicitude, ter superados o 15% dos créditos da titulación que está a cursar. En todo caso, os alumnos que acceden a unha titulación de posgrao oficial, segundo ciclo ou a estudos de segundo ciclo que non sexan continuación dun primeiro ciclo, o requisito de teren superado o 15 % dos créditos da titulación entenderase que o teñen acreditado por estar en posesión dunha titulación universitaria ou por ter superado un primeiro ciclo.

2. A comisión de selección será presidida polo responsable de mobilidade do centro e integrada por todos os coordinadores académicos e polo responsable de unidade de apoio á xestión de centros e departamentos quen actuará como secretario da mesma.

3. Unha vez seleccionados os estudantes, así como os suplentes, de ser o caso, publicarase no taboleiro de anuncios e na páxina electrónica do Centro a relación provisoria de seleccionados.

4. Os alumnos disporán dun prazo de sete días naturais para presentar reclamacións contra a citada lista. As reclamacións serán resoltas pola propia comisión, notificadas persoalmente aos reclamantes por correo electrónico e publicadas conforme o disposto no punto anterior.

5. Transcorrido o prazo de reclamación sen que se presentara ningunha, ou unha vez resoltas as presentadas, as listas resultantes terán a condición de proposta de selección e deberán ser remitidas para a súa publicación definitiva á Vicerreitoría competente en relacións externas.

6. Os estudantes que foran beneficiarios dunha mobilidade, dentro dun programa determinado, non poderán solicitar de novo unha segunda mobilidade, agás naqueles casos en que o convenio ou a convocatoria especificara outra cousa.

7. Un mesmo estudante non poderá solicitar unha mobilidade de estudantes e unha mobilidade de prácticas no mesmo curso académico, a non ser que estas estiveran incluídas naquela.

Artigo 9: Compromiso de estudos ou acordo académico.-

1. Os alumnos que resulten seleccionados para participar nun programa ou convenio de mobilidade deberán, con carácter previo á súa marcha, e contando co asesoramento do seu respectivo coordinador académico, formalizar un compromiso de estudos ou acordo académico.

2. Este documento terá carácter vinculante sempre que se cumpran os requisitos establecidos para o intercambio e o plan de estudos do estudante.

3. Nel incluiranse as materias ou actividades que vai cursar na universidade de destino, así como as materias correspondentes ao plan de estudos que está a cursar na USC, e cuxo recoñecemento van obter como consecuencia da superación daquelas, así como a equivalencia en créditos.

4. Ningún estudante poderá incorporarse á universidade de destino sen estar en posesión deste documento debidamente asinado no modelo da USC.

88

5. Unha vez cuberto e asinado o compromiso de estudos ou a súa modificación, o coordinador académico deberallo enviar dentro dos prazos previstos ao responsable académico de mobilidade do seu centro e ao responsable da unidade de apoio, quen revisará o seu contido e llo remitirá á ORE co fin de proceder á súa sinatura como coordinador institucional.

6. A ORE devolverá unha copia debidamente asinada ao responsable da unidade de apoio para que llo traslade á UXA, e ao mesmo tempo a ORE tramitara á universidade de destino o compromiso de estudos ou acordo académico, para o seu coñecemento e para os efectos de confirmar a aceptación do estudante para cursar as materias propostas.

7. O mencionado documento adquirirá carácter definitivo cando estea asinado polo alumno, polo coordinador académico, pola ORE, quen actuará como coordinador institucional da USC, e pola universidade de destino.

8. Dentro do primeiro mes da incorporación do alumno á universidade de destino en cada cuadrimestre, o compromiso de estudos ou acordo académico poderá modificarse seguindo o procedemento previsto para a elaboración do documento inicial. Se as circunstancias da universidade de destino o requirisen, o coordinador poderá autorizar modificacións despois de rematado o prazo anterior e sempre durante o período de intercambio. Só por causas extraordinarias e debidamente xustificadas se permitirá a modificación rematado o intercambio e con anterioridade en todo caso á resolución do recoñecemento, a proposta do responsable académico de mobilidade, previo visado da ORE, e con resolución do vicerreitor competente en relacións exteriores. Toda modificación debidamente autorizada no compromiso de estudos ou acordo académico, levará consigo a matriculación nos 10 días posteriores á citada autorización. A ORE da USC comunicaralle á unidade de xestión correspondente a relación de alumnos que foron autorizados para cursar estudos noutras universidades en virtude de convenio. Esta comunicación, deberá estar concluída como máximo antes da celebración da primeira convocatoria de exames.

9. No compromiso de estudos ou acordo académico non se poderán incluír as materias cualificadas con suspenso. Destas materias poderá examinarse na USC, sempre que formalizara a súa matrícula dentro do prazo ordinario.

10. No compromiso de estudos ou acordo académico poderá figurar un número de créditos baixo o epígrafe “créditos de libre configuración/optativos - programa de intercambio”, nos que non se especifique a actividade que se van realizar, por non coincidir coas materias propias da titulación para a que se cursan. O coordinador da universidade de destino deberá aprobar en cada caso a actividade realizada e o número de créditos aplicables. Na resolución de recoñecemento de estudos terá que figurar a denominación concreta e os créditos aplicables a cada materia ou actividade realizada. O total de créditos recoñecidos non poderá exceder dos matriculados baixo este epígrafe.

11. Non serán recoñecidos estudos ou actividades realizados que non figuren no compromiso de estudos ou acordo académico, nin aqueles dos que o alumno non se matriculara previamente.

12. O número máximo de créditos que poden incluírse no compromiso de estudos ou acordo académico será o equivalente a 60 ECTS para un curso académico completo ou o equivalente a 30 ECTS para un cuadrimestre. O período de estudos poderá incluír unha formación práctica, e ademais TAD ou similares se estes traballos figuran no plan de estudos. Poderá cursarse na universidade de destino o proxecto fin de carreira cando o alumno cumpra todos os requisitos necesarios para matricularse do mesmo na USC. Se non cumpre con estes requisitos, un alumno de intercambio poderá matricularse provisionalmente no proxecto, pero tal matricula só terá efectos se cumpre os requisitos necesarios antes do remate do curso académico no que foron de intercambio.

13. Para realizar o programa de intercambio os alumnos deberán formalizar a matrícula na USC da totalidade das materias e actividades que pretenda cursar en réxime de intercambio. Non procederá a matrícula contravindo o plan de estudos nin en materias de libre configuración das ofertadas por esta universidade, para o seu recoñecemento por outras materias ou actividades realizadas en virtude dun programa de intercambio universitario. Neste caso, deberá matricularse seguindo o procedemento previsto neste artigo.

14. Unicamente poderá formalizarse matrícula para render exame na USC nas seguintes materias:

89

a) As que figuran como suspensas no expediente do alumno, e as que non poidan ser incluídas no compromiso de estudos ou acordo académico, sempre que se respecte a programación académica e o plan de estudos. O máximo de materias matriculadas fóra do acordo académico será de vinte créditos.

b) As cuadrimestrais que non se correspondan co cuadrimestre de mobilidade, se o programa de mobilidade se corresponde cun cuadrimestre.

15. Esta matrícula reportará os prezos públicos que determine o Decreto de prezos públicos da Xunta de Galicia, así coma calquera outra norma que sexa aplicable á matrícula ordinaria.

Artigo 10: Matrícula.-

1. Unha vez formalizado o compromiso de estudos ou acordo académico os estudantes deberán formalizar necesariamente a matrícula na USC, dentro dos prazos establecidos, así como efectuar o pagamento dos prezos públicos correspondentes ao total de créditos que figuran no compromiso de estudos e dos que se pretende o seu recoñecemento na USC como resultado dos estudos a cursar na universidade de destino.

2. A realización do mencionado pagamento de prezos públicos suporá a consideración do interesado como alumno da USC, para todos os efectos, no curso académico de referencia.

3. O alumnado vinculado a un convenio internacional terá as limitacións para formalizar matrícula que se establecen nas Normas de Xestión Académica da Universidade de Santiago de Compostela e as que se recollan no plan de estudos que está a cursar.

4. Os alumnos vinculados a un programa interuniversitario disporán das convocatorias de exame que teña establecidas a universidade de destino. O réxime de estudos e convocatorias será o da universidade de destino, pero poderán presentarse á convocatoria de setembro na USC naquelas materias recollidas no compromiso de estudos ou acordo académico que non superaran na Universidade de destino sempre que teñan unha materia equivalente na súa titulación, previa comunicación ao coordinador quen deberá informar aos profesores responsables das materias.

5. Os alumnos vinculados a un programa interuniversitario de intercambio figurarán nas actas da USC nas materias das que formalizaron matrícula, nas convocatorias ás que teña dereito no correspondente curso académico. Utilizarase, a tal fin, a mención “alumno de intercambio” conforme a Instrución de Secretaría Xeral sobre actas.

6. Os alumnos da USC adscritos a un programa internacional de mobilidade con destino noutra universidade non computarán para os efectos de fixación das cotas de matrículas de honra.

7. Os alumnos que modifiquen o compromiso de estudos, contarán cun prazo de dez días dende a aprobación para a modificación da matrícula. De non levarse a cabo a matrícula a modificación do compromiso quedará sen efecto.

8. A formalización da matrícula dará dereito á expedición da acreditación do intercambio, sen prexuízo de poder expedir acreditacións provisorias para os casos nos que a matrícula na universidade de destino sexa anterior á da USC ou casos análogos.

9. A formalización da matrícula realizarase nos lugares e prazos que estableza a USC e que poderán ser específicos e diferentes dos ordinarios de consideralo necesario.

Artigo 11: Inscrición na universidade de destino.-

1. Os estudantes deberán realizar na universidade de destino os trámites administrativos que esta determine de acordo coas súas propias normas de organización, co respectivo programa ou convenio de mobilidade estudantil, e coa información facilitada desde a USC.

2. Os estudantes non están obrigados ao pagamento na universidade de destino de ningunha cantidade económica en concepto de inscrición ou matrícula, excepto cando os respectivos programas ou convenios establezan o contrario. Non obstante, a institución de destino pode pedir que se paguen taxas reducidas para cubrir os gastos do

90

seguro e a utilización de materiais diversos, tales como fotocopias, produtos de laboratorio, etc., sobre as mesmas bases que os estudantes desa institución.

Artigo 12: Bolsas ou axudas.-

Os estudantes seleccionados que posúan bolsas ou préstamos de carácter nacional, autonómico ou da propia USC seguirán percibíndoos na súa totalidade durante o período de estudos, agás que na convocatoria da bolsa estableza a incompatibilidade.

Artigo 13: Recepción das cualificacións e recoñecemento de estudos realizados.-

1. Unha vez finalizada a súa estancia na universidade de destino, o estudante deberá solicitar do órgano competente na citada universidade a expedición dunha certificación académica, para a súa constancia persoal, acreditativa dos estudos realizados, coa indicación da denominación das correspondentes materia ou actividades, os créditos obtidos e a cualificación acadada, de acordo cos termos previstos no respectivo programa ou convenio de mobilidade.

2. Recibida a certificación académica oficial da universidade de destino, o coordinador académico faralles chegar ao responsable da unidade de apoio á xestión do centro e ao responsable académico de mobilidade, a través do responsable da unidade de apoio á xestión do centro, a proposta de Resolución de recoñecemento de estudios. A proposta fixará as materias das que se propón o recoñecemento, o número de créditos e as cualificacións acadadas. O responsable da unidade de apoio verificará que se corresponde co recollido no compromiso de estudios ou acordo académico e coa matrícula formalizada. Os convenios que teñan un procedemento específico de recoñecemento serán aplicados nos seus termos.

3. O sistema de equivalencia de cualificacións será o que aprobe a USC ou no seu defecto o aprobado coa información que se lle facilite dende a ORE. No caso de dúbidas poderase requirir do interesado ou da universidade de destino que achegue o sistema de cualificacións aplicado. Para establecer os criterios de cualificacións entrevarias materias ou actividades por unha da USC terase en conta o disposto no Protocolo de validacións e adaptacións da USC.

4. A proposta de resolución de recoñecemento de estudos será elevada polo responsable académico de mobilidade ao/á decano/a ou director/a do centro para que se emita a correspondente resolución. Esta resolución será comunicada ao interesado e remitida ás unidades correspondentes acompañada das certificacións orixinais para a súa custodia no expediente documental do alumno para que procedan á imputación das cualificacións no expediente do alumno. A proposta de resolución de recoñecemento só é vinculante se reúne os requisitos legais, os da convocatoria, os deste Regulamento, e os do Plan de estudos. As mencionadas cualificacións imputaranse de oficio no citado expediente na primeira convocatoria ordinaria na que poida incluírse. Tamén se enviarán á ORE copia das certificacións recibidas e das resolucións de recoñecemento.

TÍTULO III

DOS ESTUDANTES QUE ACCEDEN Á UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA EN RÉXIME DE INTERCAMBIO

Artigo 14: Recepción, inscrición e matrícula.-

A inscrición dos estudantes que acceden á USC en réxime de intercambio efectuarase de acordo co seguinte procedemento:

a) Recepción na ORE, onde se lles expedirá a correspondente credencial de alumno de intercambio e se lles asignará un coordinador académico. A ORE manterá un listado actualizado dos estudantes de intercambio que cursen estudos en cada centro da USC, que será remitido periodicamente aos centros e ás UXA.

91

b) Reunión co respectivo coordinador académico para confirmar as materias que vai cursar na USC, de acordo co seu compromiso de estudos ou acordo académico que deberá vir debidamente cuberto. Así mesmo, o responsable da unidade de apoio á xestión de centros e departamentos, deberá informalo no tocante á asignación de grupos de docencia e sobre demais aspectos organizativos de réxime interno do respectivo centro, así como de calquera outro asunto que considere que sexa do seu interese.

c) Deberá formalizar a matrícula na Unidade correspondente, nas materias seleccionadas. Unha vez efectuada a matrícula expediráselle o correspondente resgardo e gozará de todos os dereitos que teñan os alumnos da USC. Se quere matricularse de materias que non estean no compromiso de estudos ou acordo académico deberá facer unha solicitude previa. En caso de aceptación, deberá formalizar matrícula extraordinaria nas materias autorizadas e liquidar os correspondentes prezos públicos.

d) Se o compromiso de estudos ou acordo académico contempla a realización de cursos, seminarios ou calquera outra actividade fora do plan de estudos, os alumnos formalizarán a matrícula nos centros ou servizos que especifique a convocatoria oficial e reportarán, de ser o caso, os prezos públicos establecidos na citada convocatoria. Para os efectos da súa inclusión na certificación académica que se remita á universidade de orixe, os alumnos deberán presentar na UXA correspondente o documento oficial acreditativo da súa realización e solicitar o recoñecemento conforme ao procedemento xeral vixente na USC. Este recoñecemento non reportará prezos públicos.

Artigo 15: Dereitos.-

1. Os estudantes gozarán dos mesmos dereitos e obrigas ca os estudantes da USC e non están obrigados ao pagamento de prezos públicos pola prestación de servizos docentes e administrativos, a excepción daqueles programas ou convenios nos que se estableza o contrario.

2. O alumnado vinculado a un programa de intercambio estará sometido, ao longo do curso académico, ao réxime de estudos e á normativa da USC así como ás convocatorias de exame que teña establecidas para os seus alumnos.

3. Figurará nas actas da USC naquelas materias das que formalizou matrícula, nas convocatorias ás que teña dereito no correspondente curso académico. O réxime de cualificacións será o xeral para os estudantes da USC. Na acta figurará o indicativo “ alumno de intercambio doutra universidade”.

4. O alumnado adscrito a un programa de mobilidade procedente doutras universidades computarase para os efectos de fixación do cupo de matrículas de honra.

5. No caso de incumprimento grave das obrigas e da normativa da USC por parte do alumno de intercambio, a USC poderá acordar, tras a audiencia do interesado, a suspensión do intercambio para ese alumno e a comunicación á universidade de orixe.

Artigo 16: Certificación dos estudos realizados.-

As unidades de xestión enviaranlle á ORE as certificacións comprensivas das cualificacións obtidas polos estudantes doutras universidades vinculados aos distintos programas de mobilidade. A ORE remitiralles as certificacións ao centro e á universidade de procedencia do estudante de acordo cos requirimentos formais dos respectivos programas ou convenios, tras efectuar as conversións que resulten procedentes segundo as táboas queaprobe a USC. A petición dos interesados poderá expedírselle unha certificación persoal dos estudos cursados na USC en réxime de intercambio. A USC poderá expedir certificacións noutro idioma comunitario así como facer unha conversión automática nos seus certificados ao sistema Erasmus de cualificacións.

Artigo 17.- Suplemento Europeo ao Título.-

Os contidos do intercambio (materias e notas) deberán quedar rexistrados no idioma que figure no Acordo Académico para os efectos de poder expedir certificación sobre estes datos, así como para incluír a devandita información no Suplemento Europeo ao Título dos alumnos da USC.

92

Artigo 18.- Sistema de garantía de calidade.-

Os procesos establecidos neste regulamento de intercambios interuniversitarios de alumnos, serán obxecto de revisión e seguemento co fin de garantir a súa eficiencia e o cumprimento dos compromisos de calidade asumidos pola USC.

Artigo 19.- Uso de medios telemáticos .-

De acordo coa Lei 11/2007, de 22 de xuño, de Acceso Electrónico dos Cidadáns aos Servizos Públicos as comunicacións entre as distintas unidades administrativas da USC faranse preferentemente por medios electrónicos ou telemáticos. Igualmente as comunicacións entre os estudantes e as distintas unidades administrativas da USC serán preferentemente por este medio.

Cláusula final:

Este regulamento entrará en vigor o día da súa publicación no DOG, e derroga calquera outra Resolución que se opoña ao contido deste Regulamento.

93

Regulamento para o recoñecemento de diversas actividades como créditos optativos nas novas titulacións de Grao

Aprobado polo Consello de Goberno na súa sesión do 4 de xullo de 2008

O Real Decreto 1393/2007, no seu artigo 12.8, establece que “De acordo con artigo 46.2.i.) da Lei orgánica 6/2001, de 21 de decembro de universidades, os estudantes poderán obter recoñecemento académico en créditos pola participación en actividades universitarias culturais, deportivas, de representación estudantil, solidarias e de cooperación até un máximo de 6 créditos do total do plan de estudos cursados”.

Para estes efectos procede recoñecer as competencias adquiridas polo alumnado en actividades universitarias, solidarias e de cooperación recoñecidas pola USC conforme os seguintes criterios e procedemento.

Artigo 1.- Competencias universitariasSe recoñecerán para as titulacións de Grao as competencias adquiridas polo alumnado pola participación en actividades universitarias culturais, deportivas, de representación estudantil, solidarias e de cooperación até un máximo de 6 créditos do total do plan de estudos cursados.

Os créditos que se recoñecerán conforme as actividades realizadas, serán para o curso 2008-09, os que figuran no Anexo I deste Acordo. O contido deste anexo poderase modificar por Resolución Reitoral.

O recoñecemento será efectivo unha vez que se acredite a súa realización e sempre que os alumnos e alumnas realicen un programa de formación que se fixará por Resolución Reitoral.

Soamente se recoñecerán actividades desenvolvidas durante o tempo en que o solicitante foi estudante universitario.

O recoñecemento das novas actividades só será efectivo unha vez se aproben mediante Resolución Reitoral.

Artigo 2.- Procedemento de imputaciónO procedemento de imputación tramitarase do seguinte xeito:

a) Solicitude do interesado/a perante os órganos correspondentes que se indican no anexo, indicando os datos de realización das actividades a recoñecer

b) Acreditación polo órgano responsable, expedición de credencial e remisión á Unidade de Xestión correspondente

c) Abono das taxas correspondentes por parte do alumno/a

d) Imputación no expediente do alumno/a

Artigo 3.-.Competencias lingüísticasDe conformidade coas liñas xerais da USC para as novas titulacións de Grao, o alumnado deberá acreditar competencias transversais, entre elas as competencias lingüísticas. Para o recoñecemento e imputación destas competencias estarase ao disposto no Anexo II desta Resolución. O contido deste anexo poderase modificar por Resolución Reitoral.

O procedemento de imputación será o establecido no artigo anterior.

ANEXO IREPRESENTACIÓN ESTUDIANTIL

1.- A representación estudantil poderá dar lugar a imputación de créditos sempre que se realice efectivamente e fose designado como

� Representante do alumnado no Claustro/ Consello de Goberno� Representante do alumnado en Departamentos/Institutos/Xunta de Centro� Exerza Cargos académicos

2.- O número de créditos que se poden recoñecer dependerá do período de exercicio da representación, a razón de 1,5 créditos por ano.

94

3.- Para estes efectos os interesados/as solicitarán o recoñecemento perante a Secretaría Xeral indicando as datas de nomeamento e cese. A Secretaría Xeral ou a Secretaría do órgano que corresponda acreditará a realización efectiva da representación ou do cargo para o que foi nomeado e procederá a expedir a correspondente credencial.

ACTIVIDADES DEPORTIVAS

Os estudantes da USC poderán cursar créditos a través dos programas que se detallan a continuación:

1.- ESCOLAS DEPORTIVAS DA USCAos alumnos e alumnas que participen nas escolas deportivas da USC e asistan durante todo o ano a clases dirixidas por persoal cualificado e reciben un proceso formativo cunha programación estruturada e que pode ser avaliable se lles outorgará un 1 crédito por cada 25 horas de duración.2.- DINAMIZADORES/AS DE ACTIVIDADES FÍSICO-DEPORTIVAS EN ESCOLAS E FACULTADESÁs alumnas e alumnos de Escolas e Facultades que desenvolvan labores de dinamización das actividades físico-deportivas promovidas desde a Vicerreitoría de Cultura coordinando en cada centro a difusión da información sobre os distintos programas e accións que esta leve a cabo realizando unha memoria final das actividades desenvolvidas se lles outorgará 3 créditos anuais.3.- DEPORTISTAS DE RENDEMENTO DA USCOs deportistas de alto rendemento da USC polo proceso de formación, avaliación e representación nas competicións que se indican obterán os seguintes créditos:

� Xogos Olímpicos e Campionatos do Mundo Universitarios ou federados, 6 créditos� Campionatos de Europa federados, 5 créditos,� Campionatos de España Universitarios e federados, 3 créditos� Xogos Galaico-Durienses, 1 crédito� Campionatos de Galicia (por selección), 1 crédito

Os interesados/as solicitarán o recoñecemento perante a Vicerreitoría de Cultura indicando a actividade e o período. Acreditada a participación efectiva, procederase a expedición da credencial correspondente asinada polo vicerreitor.

ACTIVIDADES CULTURAIS

Os estudantes da USC poderán cursar créditos a través dos programas que se detallan a continuación:1.- COMPAÑÍAS DA AULA DE TEATROAos alumnos e alumnas que integren as Compañías da Aula Teatro da USC e dediquen como mínimo 150 horas cada curso académico a esta actividade se lles outorgarán 6 créditos pola participación de forma regular durante o curso académico.2.- CORO UNIVERSITARIOAos alumnos e alumnas que integren o Coro Universitario e dediquen como mínimo 100 horas cada curso académico se lles concederán 4 créditos pola participación de forma regular durante o curso académico.3.- ESPAZO DE DANZAAos alumnos e alumnas que integran o Espazo de Danza e dediquen como mínimo 50 horas cada curso académico a esta actividade se lles concederán 2 créditos pola participación de forma regular durante o curso académico.4.- CURSOS DE TEATRO, DANZA E FOTOGRAFÍAAo alumnado que realice Programas formativos relacionados coa arte dramática, coa danza e coa fotografía de distintas duracións e contidos se lles concederá un 1 crédito por cada 25 horas de duración.5.- CURSOS DE VERÁN E OUTRAS ACTIVIDADES ESTIVAIS DE EXTENSIÓN CULTURALAo alumnado que realice estes Cursos se lle concederán 2 créditos por cada curso de 25 ou máis horas lectivas e 1 crédito polas actividades de menos de 25 horas.6.- AGRUPACIÓNS DE ESTUDANTES QUE DESENVOLVEN ACTIVIDADES MUSICAIS, ESCÉNICAS E OUTRAS DE CARÁCTER CULTURALAo estudantado con participación en colectivos e agrupacións de estudantes que desenvolvan actividades musicais, escénicas e outras de carácter cultural que, segundo o criterio da Vicerreitoría, realicen unha actividade regular e continuada durante o curso académico se lle concederá ata un máximo de 2 créditos.

Os interesados/as solicitarán o recoñecemento perante a Vicerreitoría de Cultura indicando a actividade e o período. Acreditada a participación efectiva, procederase á expedición da credencial correspondente asinada polo Vicerreitor.

ACTIVIDADES SOLIDARIAS E DE COOPERACIÓN1.- A participación en actividades solidarias e de cooperación poderá dar lugar a imputación de créditos sempre que se realice a través das seguintes canles

� Formar parte do Rexistro de Persoal Voluntario da USC, dependente da Vicerreitoría da Comunidade Universitaria e Compromiso Social.

95

� Ter colaborado nalgún proxecto de carácter interno organizado pola propia USC e destinado a favorecer a solidariedade e a cooperación como poden ser o programa titores, as bolsas de sostibilidade, o programa de mediadores informativos nos centros ou calquera outro de natureza análoga desenvolvido pola USC.

� Participar nos proxectos de carácter social e cooperación ao desenvolvemento coordinados polo Servizo de Participación e Integración Universitaria (SEPIU), dependente da Vicerreitoría de Comunidade Universitaria e Compromiso Social.

� Ter colaborado en proxectos desta natureza coordinados pola universidade de procedencia.

� Participar nalgún dos proxectos das entidades de iniciativa social coas que a USC ten asinado convenio de colaboración ou con calquera outra legalmente constituída.

O número de créditos que se poden recoñecer será de ate un máximo de tres créditos anuais. Soamente se poderán imputar un máximo de seis créditos polas colaboracións neste tipo de actividades.2.- Establécese o recoñecemento, a razón de tres créditos anuais, dos seguintes programas:

� Programa Titores

� Bolseiros de Sostibilidade, Participación e Integración Universitaria

� Mediadores Informativos nos centros

� Programa de Acompañamento de Estudantes (PAE)

3.-O procedemento de imputación tramitarase a solicitude do interesado perante o Servizo de Participación e Integración Universitaria (Programa Titores, Mediadores Informativos nos centros e Bolseiros de Participación e Integración Universitaria), a Vicerreitoría de Calidade e Planificación (Bolseiros de Sostibilidade) e a Oficina de Relacións Exteriores (PAE), indicando os datos de realización das actividades a recoñecer. Trala presentación da documentación correspondente expediráse unha credencial.4.- Será competencia da Vicerreitoría da Comunidade Universitaria e Compromiso Social, da Vicerreitoría de Calidade e Planificación e da Vicerreitoría de Relacións Institucionais, respectivamente, a acreditación da realización destas actividades.

ANEXO IIACREDITACIÓN DO COÑECEMENTO DE LINGUA ESTRANXEIRA PARA A OBTENCIÓN DO TÍTULO DE GRAO NA USC

1. Os estudantes de todas as titulacións de Grao deberán acreditar obrigatoriamente, para a obtención do seu título, o coñecemento do nivel B1 (Marco Común Europeo para o ensino, aprendizaxe e avaliación das linguas, Nivel soleira) dunha lingua estranxeira.

2. Os alumnos e alumnas estranxeiros deberán acreditar o coñecemento dunha lingua diferente á súa lingua materna.

3. Os alumnos e alumnas que finalicen un grao que inclúa un major ou minor dunha lingua estranxeira terán automaticamente validado este coñecemento, non sendo necesario acreditalo.

4. A acreditación do nivel B1 dunha lingua estranxeira poderase facer por calquera dos seguintes procedementos:

a.- Proba de nivel. O Centro de Linguas Modernas convocará todos os anos na convocatoria de Xuño probas libres e gratuítas das linguas que oferta regularmente. A cualificación das devanditas probas será a de apto ou non apto.

b.- Quedarán eximidos da realización destas probas os alumnos e alumnas que acrediten ter o nivel B1, de acordo co establecido no Marco Común Europeo de Referencia. Isto pódese concretar en cursos e certificacións como segue:InglésCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 5 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 4 ou superior Diploma PET (Preliminary English Test) Diploma FCE (First Certificate in English) Diploma CAE (Certificate in Advanced English)

96

Diploma CEP (Certificate of English Proficiency) TOEFL PBT: 457 puntos ou superior TOEFL CBT: 137 puntos ou superior IBT TOEFL: 57 puntos ou superior TOEIC: 550 puntos ou superior .

FrancésCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 5 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 4 ou superior Diploma DELF B1 (Diplôme d’Études en Langue Française) Diploma DELF B2 (Diplôme d’Études en Langue Française) Diploma DALF C1 (Diplôme Approfondi de Langue Française) Diploma DALF C2 (Diplôme Approfondi de Langue Française)

AlemánCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 4 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 4 ou superior Diploma ZD (Zertifikat Deutsch)Diploma Goethe-Zertifikat B2Diploma Goethe-Zertifikat C1 (=antigo ZMP/Zentrale Mittelstufenprüfung)Diploma ZOP (Zentrale Oberstufenprüfung)Diploma KDS (Kleines Deutsches Sprachdiplom).

Italiano

CLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 2 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 4 ou superior Diploma CELI 2 (Certificato di Conoscenza della Lingua Italiana Livello 2) e superiores Diploma CILS 1 e superiores

PortuguésCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 2 ou superiorEOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 4 ou superior DEPLE (Diploma Elemental de Português Língua Estrangeira) DIPLE (Diploma Intermédio de Portugês Língua Estrangeira) DAPLE (Diploma Avançado de Português Língua Estrangeira) DUPLE (Diploma Universitário de Português Língua Estrangeira)

5. Os alumnos e alumnas que acrediten o nivel B2 de acordo co establecido no Marco Común Europeo de Referencia obterán 3 créditos adicionais. Esta acreditación poderase facer por calquera dos procedementos seguintes:

Proba de nivel. O Centro de Linguas Modernas convocará todos os anos na convocatoria de xuño probas libres e gratuítas das linguas que oferta regularmente. A cualificación outorgada será a de apto ou non apto.

Quedarán eximidos da realización destas probas os alumnos e alumnas que acrediten ter o nivel B2, de acordo co establecido no Marco Común Europeo de Referencia. Isto pódese concretar en cursos e certificación como segue:

InglésCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 6 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 5 ou superior Diploma FCE (First Certificate in English) Diploma CAE (Certificate in Advanced English) Diploma CEP (Certificate of English Proficiency) TOEFL PBT: 502 puntos ou superior TOEFL CBT : 178 puntos ou superior IBT TOEFL: 87 puntos ou superior

97

TOEIC: 750 puntos ou superior .

FrancésCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 6 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 5 ou superior Diploma DELF B2 (Diplôme d’Études en Langue Française) Diploma DALF C1 (Diplôme Approfondi de Langue Française) Diploma DALF C2 (Diplôme Approfondi de Langue Française)

AlemánCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 6 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 6 Diploma Goethe-Zertifikat B2Diploma Goethe-Zertifikat C1 (=antigo ZMP/Zentrale Mittelstufenprüfung)Diploma ZOP (Zentrale Oberstufenprüfung)Diploma KDS (Kleines Deutsches Sprachdiplom).

ItalianoCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 3 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 4 ou superior Diploma CELI 3(Certificato di Conoscenza della Lingua Italiana Livello 3) e superiores Diploma CILS 2 e superiores

PortuguésCLM (Centro de Linguas Modernas da USC): Nivel 3 ou superior EOI (Escola Oficial de Idiomas): Nivel 4 ou superior DIPLE (Diploma Intermédio de Portugês Língua Estrangeira) DAPLE (Diploma Avançado de Português Língua Estrangeira) DUPLE (Diploma Universitário de Português Língua Estrangeira

6. O Centro de Linguas Modernas reforzará dentro da súa actividade regular os cursos (presenciais e semipresenciais) das distintas linguas estranxeiras orientados á obtención dos niveis B1 e B2.

7. O Centro de Linguas Modernas será o servizo responsable dentro da Universidade do deseño, organización, aplicación e corrección destas probas.

Ao alumnado que procede de lugares situados fóra da Comunidade Autónoma de Galicia e que non accedera á USC dende centros de bacharelato da devandita Comunidade lle serán recoñecidos 3 créditos adicionais se acreditan o nivel B 1, de acordo co establecido no Marco Común Europeo de referencia das linguas. A estes efectos, o Servizo de Normalización Lingüística establecerá todos os anos unha proba de nivel libre e gratuíta. Ao alumando se lle cualificará de apto ou non apto.

98

XESTIÓN DAS ENSINANZAS DE GRAO NA USC

As ensinanzas de grao na USC require que sexa necesario dotarse de novas normas de xestión adaptadas ao Espazo Europeo de Educación Superior.

Sen prexuízo de que a experiencia na implantación dos novos graos vai determinar facer unhas novas normas de xestión académica para as novas titulacións oficiais, entrementres é necesario adoptar determinadas decisións en materia de matrícula, actas e xestión destes novos plans de estudios.

Así, como resposta ás demandas da sociedade en constante transformación e a continúa xeración de coñecemento, procede formación dos estudantes ao longo de toda a vida establécense diversas modalidades de matrícula, entre estas a de tempo parcial.

Por outra banda con esta normativa inténtase implicar ao estudante no avance e progreso dos estudos que está realizando, limitando a matrícula aos créditos que realmente un alumno a tempo completo conforme os estándares ECTS é capaz de asumir nun ano.

O Real Decreto 1393/2007, establece varios indicadores da titulación: a taxa de graduación, abandono e eficiencia. Sen prexuízo de establecer un sistema de permanencia polo Consello Social, procede tomar medidas de restrición da matrícula para aqueles alumnos que non mostran o interese e dedicación requiridos na programación dos estudios para tratar de mellorar estes indicadores e implicar ao alumno no desenvolvemento da programación académica establecida.

Por último e en consonancia co establecido noutras titulacións adaptadas ao EEES se establece unha única convocatoria anual, se ben se establecen dous períodos de avaliación, permitindo ao alumnado que non supere a avaliación ordinaria a realización dunha nova oportunidade de superar a materia antes de rematar o curso académico.

Por todo o anterior o Consello de Goberno do 29 de abril de 2008, acordou aprobar o seguinte documento sobreXESTIÓN DAS ENSINANZAS DE GRAO NA USC :

PRIMEIRO.- Tipos de Matrícula

A Universidade de Santiago de Compostela establece para as titulacións de grao as seguintes modalidades de matrícula:

a. Matrícula a tempo completo: 60 créditos ECTS b. Matrícula a tempo parcial: 30 créditos ECTS

Os estudantes admitidos a realizar o primeiro curso dos estudos do Grao poderán cursar o estudo a tempo completo, para o que se deberán matricular de 60 créditos ECTS a realizar durante o ano académico

SEGUNDO.- Matrícula a tempo parcial.

Os alumnos que por circunstancias acreditadas pretendan realizar o seu estudo a tempo parcial poderán matricularse 30 créditos ECTS a elixir ou o número de créditos máis próximo a esta cifra en función das materias que se matricule.

Os alumnos que poderán acollerse a este sistema de matrícula a tempo parcial serán como máximo o 15% dos alumnos matriculados no primeiro curso de acordo coas prazas de novo ingreso ofertadas.

Para estes efectos os interesados no momento de formalizar a matrícula en primeiro curso deberán solicitarán esta modalidade acreditando os motivos que lle impidan a realización dos estudos a tempo completo. A selección realizaraa o centro de entre os alumnos matriculados neste primeiro curso, ao amparo da normativa e prazos establecidos. Esta selección realizarase atendendo aos criterios que regulen esta modalidade de matricula: nota de

99

acceso, traballo, residencia, etc. Os alumnos que sexan seleccionados na matrícula a tempo parcial procederán a facer o correspondente axuste de matrícula aos 30 ECTS créditos establecidos para esta modalidade.

TERCEIRO.- Matrícula de Continuación de Estudos

O alumnado de continuación de estudos poderá matricularse dos créditos que desexen e dita matrícula só estará condicionada:

a) Polas obrigas académicas que estableza o plan de estudos: ordenación temporal dos estudos, prelacións ou prerrequisitos, compatibilidade horaria das materias matriculadas, etc. b) Polo límite máximo de matrícula a tempo completo. Tendo en conta o número de horas ou volume de traballo que un estudante pode realizar durante un curso académico, non se permitirá matricular de máis de 75 créditos ECTS a tempo completo.

CUARTO.- Límites de matrícula para continuar estudos na mesma titulación

O alumnado deberá superar o 50% dos créditos dos que formalice matrícula no primeiro ano (1º e 2º cuadrimestre) nos tres primeiros anos de estudo, consecutivos ou alternos.

O incumprimento deste requisito impedirá ao alumno/a continuar os estudos do mesmo Grao na USC.

En caso de iniciar os estudos doutro Grao, serán de aplicación os mesmos criterios de limitación de matrícula, sen que se teñan en conta as posibles validacións ou recoñecementos de estudos a estes efectos.

Se neste segundo Grao non cumpre os requisitos establecidos de superar o 50% dos créditos dos que formalice matrícula no primeiro ano nos tres primeiros anos de estudo, o alumno/a non poderá continuar ningún tipo de estudo na USC.

QUINTA.- Convocatoria de avaliación

Os alumnos de Grao disporán dunha única convocatoria por curso académico, se ben sen realizarán dúas etapas de avaliación, unha ao remate de cada cuadrimestre e outra no mes de xullo, conforme o calendario académico que se aprobe. Nesta última avaliación só poderán presentarse os alumnos que non superaran os créditos ao remate de cada cuadrimestre.

SEXTA.- Desenvolvemento de este acordo

Facúltase ao Reitor para o desenvolvemento pormenorizado deste acordo mediante a aprobación das convocatorias de matrícula ou mediante Resolución Reitoral específica.

DISPOSICIÓN FINAL.-O presente acordo entrará en vigor para o Curso 2008/09 para as ensinanzas de grao que se implanten na USC

101

Peter D. Lax(Budapest , Hungría , 1926)Premio Abel 2005

Padriño do 50 Aniversario da Licenciatura de Matemáticas.

Peter D. Lax naceu en Budapest e mudouse cos seus pai sa Nova York en 1941. Recibiu o seu

Doutoramento en 1949 na Universidade de Nova York baixo a supervisión de Richard Courant. Courant fundara o Courant Institute of Mathematical Sciences na Universidade de Nova York onde Lax fora Director dende 1972 ata 1980. En 1950 traladouse a Los Alamos durante un ano, voltando durante varios veráns máis para traballar como asesor. En 1951 regresou á Universidade de Nova York para traballar no Courant Institute, onde foi Profesor dende 1958.

Peter D. Lax é un dos máis destacados matemáticos puros e aplicados dos nosos tempos e ten feito contribucións importantes, abarcando dende ecuacións en derivadas parciais ata aplicacións en enxeñaría. O seu nome está conectado con moitos resultados matemáticos e métodos numéricos importantes, como o Lema de Lax-Milgram, o Teorema de Equivalencia de Lax, o Esquema de Lax-Friedrichs, o Esquema de Lax-Wendroff, a Condición de Entropía de Lax e a Teoría de Lax-Levermore.Peter D. Lax é tamén un dos fundadores da matemática computacional moderna.

O traballo do profesor Lax recibiu moitos recoñecementos, entre os que cabe destacar a National Medal of Science en 1986, o Premio Wolf en 1987, o Premio Chauvenet en 1974, o Premio Norbert Wiener en 1975 e o Premio Abel en 2005.

103

Outra Normativa

105

OUTRA NORMATIVA DA USC.

O estudantes poderán consultar na páxina web na Universidade calqueira tipo de normativa relativa aos estudos na USC.

Enlaces:Nomativa de xestión académica: http://www.usc.es/export/sites/default/gl/normativa/descargas/normasxestionacademica.pdf

Convocatorai de matrícula curso 2008-2009:http://www.usc.es/sxa/normativa/ficheros/XA0630.PDF

Estatuto do estudiantado da USC:http://www.usc.es/gl/normativa/estudantes/estatutoestudiantadouniv.html

Estatutos da USC:http://www.usc.es/gl/normativa/normas_xerais/estatutos2004.html

107

GRAO EN MATEMÁTICAS

109

John Charles Fie lds (Hamilton, Ontario , Canadá, 1863; Toronto, Ontario , Canadá 1932)

Fields suministrou fondos para unha medalla internacional: o equivalente, en Matemáticas, ó Premio Nobel. O seu principal tema de investigación foron as funcións alxébricas. Escribiu un importante libro publicado en 1906. Sen embargo, é máis coñecido como un excelente organizador de matemáticas. As series de Congresos Internacionais de Matemáticas (ICM) empezaron en Zurich en 1897, pero non houbo congresos durante a Primeira Guerra Mundial (1914-18). A Unión Internacional de Matemáticas (IMU) foi establecida en 1920 no primeiro congreso despois da guerra, en Estrasburgo. Foi un político moi hábil conseguindo diñeiro para sufraga-los gastos de asistencia ós ICM, tanto que en 1924 conseguiu que incluso lle sobrasen cartos e isto deulle a oportunidade de levar a cabo unha grande idea. Fields é lembrado por concebi-la idea e suministrar fondos para unha medalla internacional de distinción matemática. A proposta orixinal foi ó Comité do

Congreso celebrado en 1924. Despois de conseguir fondos para as medallas das Sociedades Matemáticas líderes en Francia, Alemaña, Italia, Suiza e Estados Unidos, tiña a idea de viaxar en setembro de 1932 ó Congreso de Zurich, pero en maio dese ano a súa saúde empezou a resentirse por problemas de corazón. Uns días antes de morrer, incluíu 47000 dólares para engadir ós fondos das medallas. Non chegou a asistir ó Congreso de Zurich, pero os seus desexos convertéronse en realidade. Os premios chamáronse “Medallas Fields” a pesar de que nunha carta deixou escrito que non debían levar ningún nome.

As medallas Fields creáronse para ser concedidas cada catro anos no ICM a dous matemáticos menores de corenta anos. Estas condicións foron establecidas para respecta-los desexos de Fields de que o premio recoñecese o traballo feito e o potencial para futuros logros. Non se entregaron Medallas durante a Segunda Guerra Mundial, e foi en 1950 cando volveron entregarse cada catro anos.

En 1966 decidiuse que non se entregarían menos de dúas nin máis de catro medallas en cada Congreso. A pesar de que o prestixio das Medallas Fields é alto, non é así a súa cuantía, de 9500 dolares, que resulta irrisoria comparada coa dos premios Nobel, cos que se equiparan. Sen embargo, cumpren as condicións establecidas por Fields: “ser acuñada en ouro por un valor equivalente a 200 dólares” (Naturalmente 200 dólares co seu valor de 1933).

No anverso da Medalla Fields figura a frase en latín “Transire Suum Pectus Mundoque Potiri” (Sobrepasa-lo seu propio entendemento e apoderarse do mundo), adornada coa imaxe do grande Arquímedes. No reverso figura “Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere” (Os matemáticos do mundo aquí congregados renden tributo por traballo extraordinario), aludindo ó feito de que ditas Medallas se entregan na celebración dos ICM.

Medalla Fields

111

Información XeralGRAO

113

INFORMACIÓN

Graduado ou Graduada en Matemáticas pola Universidade de Santiago de Compostela

Centro: Facultade de Matemáticas

Autorización: O Consello de Universidades do 28 de maio de 2008 verificou positivamente a proposta de Título de Grao en Matemáticas

Rama:Ciencias (Código da Unesco de clasificación do títulos: ISCED 5A46) Xustificación do títuloAs matemáticas son parte esencial da formación de científicos e enxeñeiros. Nos últimos anos, ademais de notables avances disciplinares, incrementouse a súa achega a campos clásicos como a física e a enxeñaría e outros como a economía, as ciencias sociais ou a medicina. Esta situación fai previsible unha maior interacción entre o grao en matemáticas e estudos de postgrao noutros campos.Alén do ámbito tradicional da docencia e a investigación, os estudos de matemáticas ofrecen unhas expectativas laborais de amplo espectro, sendo os máis destacados:

� Informática e telecomunicacións � Enxeñaría � Finanzas e banca� Administración de empresas � Calidade, Produción e I+D� Técnicos en marqueting e comunicación.

Obxectivos • Formar graduados que coñezan a natureza, os métodos e os fins máis relevantes das distintas

ramas das Matemáticas, posibilitando o seu acceso ao mercado de traballo en postos cun nivel medio-alto de responsabilidade ou continuar estudos posteriores cun alto nivel de autonomía en disciplinas científicas ou tecnolóxicas.

• Desenvolver nos estudantes as capacidades analíticas e de abstracción, a intuición e o pensamento lóxico e rigoroso a través do estudo da Matemática

• Transmitir aos estudantes unha visión das Matemáticas como parte integrante da educación e a cultura que lles permita recoñecer a súas presenza na natureza a través da ciencia, a tecnoloxía e a arte.

• Transmitir aos estudantes o respecto aos dereitos fundamentais e de igualdade entre homes e mulleres, o respecto e a promoción dos dereitos humanos e os principios de igualdade de oportunidades, non discriminación e accesibilidade universal das persoas con discapacidade.

Competencias xerais:• Coñecer os conceptos, métodos e resultados máis importantes das Matemáticas • Reunir e interpretar datos, información e resultados relevantes para obter conclusións en

problemas científicos, tecnolóxicos ou de outros ámbitos que requiran ferramentas matemáticas.• Aplicar os coñecementos e capacidades adquiridas na formulación e resolución de problemas en

contextos académicos e profesionais. • Comunicar, por escrito e oralmente, coñecementos e ideas matemáticas.• Aprender de forma autónoma novos coñecementos e técnicas en calquera disciplina científica ou

tecnolóxica.

Competencias específicas: • Comprender e utilizar a linguaxe matemática.• Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos.• Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daqueloutras

puramente circunstanciais. • Propoñer, validar e interpretar modelos matemáticos de situacións reais sinxelas.• Planificar e executar algoritmos e métodos matemáticos para resolver problemas.• Utilizar aplicacións informáticas de análise estatística, cálculo numérico e simbólico, optimización

e software científico, para experimentar en matemáticas e resolver problemas.Tipo de Ensinanza: Presencial.

114

Número de prazas de novo ingreso: No actual curso académico 2008/2009 non ten límite de prazas. Recoméndase 80 prazas de novo ingreso nos dous primeiros anos de implantación e 120 a partir do terceiro ano.Número mínimo de créditos europeos de matrícula por estudante e período lectivo e normas de permanenciaA matrícula réxese polas normas de da USC que poden consultarse na seguinte dirección: http://www.usc.es/estaticos/normativa/pdf/xestionensinanzasgraousc.pdf

Acceso e admisión de estudantes O acceso realizarase consonte ao art. 14 do RD 1393/2007 do 29 de outubro sobre Organizacións das ensinanzas universitarias oficiais, a este respecto será preciso estar en posesión do título de bacharelato ou equivalente e a superación da proba habilítante segundo o art. 42 da LOU. Non se establece ningunha formación previa específica para o ingreso no grao, non obstante sería conveniente que os futuros alumnos de Grao en Matemáticas posúan unha formación de perfil científico-tecnolóxico. Sería recomendable asemade ter cursado materias de bioloxía, física e química. Sería desexábel que tivese as seguintes calidades:

• gusto por resolver problemas• habilidade no cálculo• rapidez mental• visión xeométrica no espazo• capacidade de razoamento lóxico

Sistemas de apoio e acollida no centroAdemais da información que se pode obter na web da USC http://www.usc.es/gl/perfiles/futuros/index.jsp,no centro realizarase unha xornada especial a cargo do decanato o primeiro día do curso para explicar os detalles de funcionamento da Facultade (aulas de informática, préstamo bibliotecario, salas de estudo, etc), así como as orientacións xerais sobre o plan de estudo, matrícula, etc. Tamén é interesante que os estudantes consulten a paxina web propia do centro: http://www.usc.es/cpoliticas/

Transferencia e recoñecemento de créditos para titulacións adaptadas ao Espazo Europeo de Educación Superior (EEES)Será de aplicación o sistema aprobado pola USC e que se pode consultar na dirección: http://www.usc.es/estaticos/normativa/pdf/normatransferrecocreditostituEEES.pdf

Estrutura do título de Grao en MatemáticasO plan de estudos consta de 240 créditos, divididos en 4 cursos de 60 créditos cada un, que inclúen toda a formación teórica e práctica que o estudante debe adquirir, coa seguinte distribución

Todas as materias son cuadrimestrais e de 6 ECTS, agás catro de 3º Curso que son de 4,5. Os 36 créditos optativos deben cursarse en 4º curso, distribuídos en 6 materias de 6 créditos, elixidas entre 12 materias ofertadas.

Traballo de fin de grao:Os alumnos poderán inscribirse unha vez superados 192 créditos obrigatorios. Para poder presentalo deberán ter superados, cando menos, 228. A Facultade ofrecerá traballos de fin de grao en ambos os dous cuadrimestres.

Recoñecemento de créditos optativos: Poden obterse até un máximo de 18 créditos, dos 36 optativos por:Recoñecemento de prácticas externas: máx. de 6 créditos.Acreditación de competencias transversais e/ou participación en actividades: máximo 12 créditos

Créditos ECTS

Tipo de Materia Créditos ECTSFormación Básica (FB) 66Obrigatorias (OB) 126Optativas (OP) 36Prácticas externas Obrigatorias 0Traballo Fin de Grao 12Total 240

115

O número de horas por crédito ECTS é de 25. Atendendo ás necesidades do ensino-aprendizaxe, adaptadas ao EEES, o traballo presencial na aula en cada materia está no contorno do 33%- 40 % do total de horas de cada crédito ECTS, das que un 20% - 25 % son de titorías en grupo ou individualizadas. Este traballo presencial inclúe clases de teoría, clases prácticas, seminarios, titorías en grupo, titorías individuais e outras actividades. O resto supón traballo persoal do estudante, individual ou en grupo, que inclúe as horas de estudo, a busca a e síntese de información, a resolución de exercicios, a elaboración e redacción de traballos, a posta a punto de programas de ordenador, preparación de exames, exposicións, probas de control, etc.

Metodoloxía docenteAs actividades formativas na aula con presenza do profesor clasifícanse segundo o tamaño do grupo e o tipo de docencia: Grande (máximo 80 alumnos), Reducido (máximo 20 alumnos), moi reducido (máximo 8 alumnos):

A) Clase de encerado en grupo grande: lección impartida polo profesor que pode ter formatos diferentes (teoría, problemas e/ou exemplos xerais, directrices xerais da materia...) B) Clases de encerado en grupo reducido: clase teórico/práctica na que se propoñen e resolven aplicacións da teoría, problemas, exercicios, etcC) Clases con ordenador/laboratorio en grupo reducido: Inclúense aquí as clases nas que o alumno utiliza o computador en aula de informática (clases de informática, uso de paquetes para ilustración práctica da teoría, prácticas de programación...) ou prácticas de laboratorio, observatorio astronómico.D) Titorías de encerado en grupo reducido: actividades de proposición e supervisión de traballos dirixidos, aclaración de dúbidas sobre teoría, problemas, exercicios, programas, lecturas ou outras tarefas propostas, presentación, exposición, debate ou comentario de traballos individuais ou realizados en pequenos grupos que non necesitan impartirse en aula de informática nin en laboratorio.E) Titorías con ordenador/laboratorio en grupo reducido: considéranse aquí as actividades de proposición e supervisión de traballos dirixidos, aclaración de dúbidas sobre teoría, problemas, exercicios, programas, lecturas ou outras tarefas propostas, presentación, exposición, debate ou comentario de traballos individuais ou realizados en pequenos grupos, sempre que sexa necesario o uso de computador ou o laboratorio por parte dos alumnos.F) Titorías en grupos moi reducidos: Titorías programadas polo profesor e coordinadas polo Centro. En xeral, suporán para cada alumno entre 1 e 3 horas por cuadrimestre e materia.

As clases de encerado consistirán basicamente en leccións impartidas polo profesor, dedicadas á exposición dos contidos teóricos e á resolución de problemas ou exercicios (expositivas). Ás veces o modelo aproximarase á lección maxistral e outras, sobre todo nos grupos reducidos, procurarase unha maior implicación do alumno. As clases con ordenador/laboratorio permitirán, nuns casos, a adquisición de habilidades prácticas e, noutros, servirán para a ilustración inmediata dos contidos teórico-prácticos, mediante a comprobación interactiva ou a programación. Todas as tarefas do alumno (estudo, traballos, programas de computador, lecturas, exposicións, exercicios, prácticas...) serán orientadas polo profesor nas sesións de titoría en grupo reducido. Con respecto ás titorías individualizadas ou en grupo moi reducido, atenderase aos estudantes para discutir cuestións concretas en relación coas súas tarefas ou para tratar de resolver calquera outra dificultade do alumno ou grupo de alumnos relacionada coa materia.

Sistemas de avaliaciónEn todas as materias do Grao a cualificación de cada alumno farase mediante avaliación continua e a realización dun exame final. A avaliación continua farase por medio de controis escritos, traballos entregados, participación do estudante no aula, titorías ou outros medios explicitados na programación da materia. A cualificación do alumno non será inferior á do exame final nin á obtida ponderándoa coa avaliación continua, dándolle a esta última un peso non inferior ao 25%. O profesor fixará na guía docente anual o peso concreto que outorgará á avaliación continua e ao exame final, respectando a regra anterior.

116

PLANO DE ESTUDOS

PRIMEIRO CURSO IMPLANTACIÓN: CURSO 2008/2009

NOME CARÁC.

MÓDULO MATERIA BÁSICA

RAMA CUAD

CRÉD

H.T. H.P. T.A. TOT

101 Elementos de Probabilidade e Estatística

FB

Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa

Matemáticas Ciencias 1º 6 40 20 90 150

102 Bioloxía Básica FBFormación Básica Transversal

Bioloxía Ciencias 2º 6 45 15 90 150

103 Informática FBFormación Básica Transversal

InformáticaEnxeñaría e Arquitectura

1º 6 15 45 90 150

104 Continuidade e Derivabilidade de funcións dunha Variable Real

FBAnálise Matemática nunha Variable


105 Introdución á Análise Matemática



106 Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial

FB Álxebra e Xeometría Matemáticas Ciencias 2º 6 40 20 90 150

107 Linguaxe Matemática, Conxuntos e Números

FBFormación Básica Transversal


108 Integración de Funcións dunha Variable Real



109 Química Básica FBFormación Básica Transversal

Química Ciencias 1º 6 36 24 90 150

110 Topoloxía dos Espazos Euclidianos

FB Topoloxía Matemáticas Ciencias 2º 6 45 15 90 150

117

SEGUNDO CURSO IMPLANTACIÓN: CURSO 2009/2010

NOME CARAC. MÓDULOMAT. BÁSICA

CUADRIMESTRE

CRÉDITOS

221 Alxebra Linear e MultilinearOB

Álxebra e Xeometría

1º 6

223 Cálculo Numérico nunha VariableOB

Cálculo Numérico nunha Variable

1º 6

225 Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais OB

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais

1º 6

201 Física BásicaFB

Formación Básica Transversal

Física 1º 6

227 Programación Linear e Enteira

OB


1º 6

222 Análise Numérica Matricial OB Métodos Numéricos 2º 6224Curvas e Superficies

OBXeometría Diferencial

2º 6

229 Xeometría LinearOB

Álxebra e Xeometría

2º 6

226 Introdución ás ecuacións diferenciais ordinarias

OBEcuacións Diferenciais

2º 6

228 Series Funcionais e Integración de Riemann en Varias Variables Reais

OBAnálise Matemática en Varias Variables

2º 6

TERCEIRO CURSO IMPLANTACIÓN: CURSO 2010/2011

NOME CARAC. MÓDULO CUADRIMESTRE CRÉDITOS321 Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue

OBAnálise Matemática en Varias Variables

1º 6

322 Ecuacións Diferenciais Ordinarias OB Ecuacións Diferenciais 2º 4,5326 Estruturas Alxébricas OB 2º 6323 Ecuacións Alxébricas OB

Estruturas Alxébricas1º 6

324 Probabilidade e Estatística OB 2º 6325 Inferencia Estatística

OB


1º 6

327 Teoría Global de Superficies OB Xeometría Diferencial 1º 6328 Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais

OB Métodos Numéricos 2º 6

329 Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais.

OB Ecuacións Diferenciais 1º 4,5

330 Topoloxía Xeral OB 2º 4,5331 Topoloxía de Superficies OB

Topoloxía1º 4,5

118

CUARTO CURSO IMPLANTACIÓN: CURSO 2010/2011

NOME CARAC. MÓDULOCUADRIMESTRE

CRÉDITOS

421 Modelización Matemática OB Modelización 1º 6422 Variable Complexa

OBAnálise Matemática nunha Variable

1º 6

441 Códigos Correctores e Criptografía

OP 1º 6

442 Análise Funcional en Espazos de Hilbert

OP 1º 6

443 Fundamentos de Astronomía OP 1º 6444 Modelos de Regresión e Análise Multivariante

OP 1º 6

445 Taller de Simulación Numérica OP 1º 6446 Variedades diferenciables OP 1º 6447 Álxebra, Números e Xeometría OP 2º 6448 Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

OP 2º 6

449Ecuacións Diferenciais OP 2º 6450 Historia da Matemática OP 2º 6451 Teoría de Xogos OP 2º 6452 Topoloxía Alxébrica OP

Materias Optativas

2º 6423 Traballo Fin de Grao

OBTraballo Fin de Grao

2º 12

119

ASIGNACIÓN DE MATERIAS POR MÓDULOS

GRADO EN MATEMÁTICAS-USCMÓDULOS FORMATIVOS

ASIGNATURA ECTS MÓDULOEspazos vectoriais e cálculo matricial 6Álxebra lineal y multilineal 6Xeometría lineal 6

ALXEBRA E XEOMETRIA18 ECTS

Introdución á análise matemática 6Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real 6Integración de funcións dunha variable real 6Variable complexa 6

ANÁLISE MATEMÁTICA NUNHA VARIABLE24 ECTS

Diferenciación de funcións de varias variables reais 6Series funcionais e integración de Riemann en varias variables reais

6

Cálculo vectorial e integración de Lebesgue 6

ANÁLISE MATEMÁTICA EN VARIAS VARIABLES18 ECTS

Introdución ás ecuacións diferenciais ordinarias 6Ecuacións diferenciais ordinarias 4,5Series de Fourier e introdución ás ecuacións en derivadas parciais

4,5

ECUACIÓNS DIFERENCIAIS15 ECTS

Elementos de probabilidade e estatística 6Probabilidade e estatística 6Inferencia estatística 6

Programación lineal e enteira 6

PROBABILIDADE, ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA24 ECTS

Estruturas alxébricas 6Ecuacións alxébricas 6

ESTRUTURAS ALXÉBRICAS12 ECTS

Curvas e superficies 6Teoría global de superficies 6

XEOMETRÍA DIFERENCIAL12 ECTS

Cálculo numérico nunha variable 6Análise numérica matricial 6Métodos numéricos en optimización e ecuacións diferenciais 6

MÉTODOS NUMÉRICOS18 ECTS

Topoloxía dos espazos euclidianos 6Topoloxía xeral 4,5Topoloxía de superficies 4,5

TOPOLOXÍA15 ECTS

Modelización matemática 6MODELIZACIÓN6 ECTS

Linguaxe matemática, conxuntos e números 6Química básica 6Bioloxía básica 6Física básica 6Informática 6

FORMACIÓN BÁSICA TRANSVERSAL30 ECTS

Códigos Correctores e Criptografía 6Análise Funcional en Espazos de Hilbert 6Fundamentos de Astronomía 6Modelos de Regresión e Análise Multivariante 6Taller de Simulación Numérica 6Variedades Diferenciables 6Álxebra, Números e Xeometría 6Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais 6Ecuacións Diferenciais 6Historia da Matemática 6Teoría de Xogos 6Topoloxía Alxébrica 6

MATERIAS OPTATIVAS72 ECTS

Traballo fin de Grao 12 Traballo fin de Grao

120

FICHAS DESCRIPTIVAS DAS MATERIAS (1º CURSO)

Materia: Elementos de probabilidade e estatísticaECTS: 6Carácter: Básica da RamaContidos: Estatística descritiva dunha variable. Estatística descritiva bidimensional. Introdución á análise exploratorio de datos: paquetes estatísticos de uso corrente. Introdución ao cálculo de probabilidades. Probabilidade condicionada, fórmulas de Bayes e de probabilidades totais. Variables aleatorias unidimensionais: tipos e distribucións asociadas. Principais distribucións discretas e continuas.Requisitos previos recomendados: Requisitos xerais.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA Horas TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO HorasClases de encerado en grupo grande 30 Estudo autónomo individual ou en grupo 55

Clases de encerado en grupo reducido 10 Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos

15

Clases con ordenador/laboratorio en grupo reducido

8Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio

15

Titorías en grupo reducido sen ordenador/laboratorio

5 Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similar

Titorías en grupo reducido con ordenador/laboratorio

5Preparación de presentacións orais, debates ou similar

5

Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas

2Asistencia a charlas, exposicións ou outras actividades recomendadas

-

Outras sesións con profesorEspecificar:

-Outras tarefas propostas polo profesorEspecificar:

-

Total horas traballo presencial na aula 60 Total horas traballo persoal do alumno 90

Materia: Bioloxía básicaECTS: 6Carácter: Básica da RamaCompetencias e resultados da aprendizaxe que o estudante adquire: O impacto da Bioloxía nas Matemáticas e viceversa. Trátase de que o estudante comprenda a importancia da aplicación dos coñecementos das Matemáticas á Bioloxía e de como a Bioloxía pode ofrecer aos matemáticos un inmenso campo de investigación en moitas facetas teóricas e aplicadas. Coñecer e comprender os principios básicos da Bioloxía Molecular e Celular, da Bioloxía de Organismos e Sistemas, da Xenética e a Ecoloxía.Contidos: O impacto das Matemáticas na Bioloxía. A organización da materia viva. Breve descrición das principais biomoléculas - Carbohidratos, Lípidos, Proteínas e Acedos Nucleicos - destacando a aplicación das Matemáticas á súa análise estrutural. A célula eucariota e procariota. Bioenerxética e Metabolismo: obtención e transformación da enerxía polos seres vivos; concepto de metabolismo e redes metabólicas con especial referencia ás encimas (cinética e regulación) e as hormonas como catalizadores e reguladores do metabolismo. Xenética: conceptos e procesos básicos. Xenética mendeliana, do desenvolvemento e de poboacións. O Xenoma. A Bioinformática. Bioloxía de Organismos: xerarquía dos sistemas biolóxicos, tecidos, órganos e sistemas; concepto de homeostasis e fundamentos de Fisioloxía. Bioloxía do Desenvolvemento e Neurociencia. Ecoloxía: conceptos básicos. Comunidades, ecosistemas, redes e modelos. O cambio climático. A evolución como un elemento unificador da Bioloxía.Requisitos previos recomendados: Requisitos xerais.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:


Clases de encerado en grupo reducido 15Escritura de exercicios, conclusións ou outrostraballos

25


-Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio

-

Titorías en grupo reducido senordenador/laboratorio

13Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similar

5


-Preparación de presentacións orais, debates ou similar

10



-



-

Total horas traballo presencial na aula

60 Total horas traballo persoal do alumno 90

121

Materia: Informática ECTS: 6Carácter: Obrigatoria.Competencias e resultados da aprendizaxe que o estudante adquire: Coñecer a contorna e usar as ferramentas informáticas básicas. Coñecer e usar en problemas matemáticos sinxelos algún paquete de cálculo simbólico e de cálculo numérico. Dominar unha linguaxe de programación estruturada. Analizar, deseñar, programar e implementar algoritmos de resolución de problemas matemáticos sinxelos en distintos campos.Contidos: Introdución a un paquete de cálculo simbólico de uso no Centro: elementos básicos, exemplos sinxelos en matemáticas, representación gráfica de curvas e superficies. Introdución a un paquete de cálculo numérico de uso no Centro: elementos básicos, exemplos en matemáticas (operacións con polinomios, cálculo matricial, representación de funcións, integración...). Sistema operativo da contorna de programación de uso no Centro. Linguaxe de programación estruturada de uso no Centro: elementos básicos, bucles, instrucións de control, programación modular. Representación de números no computador. Programación e implementación de algoritmos de resolución de problemas matemáticos básicos en análises, álxebra, combinatoria....Requisitos previos recomendados: Requisitos xerais.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non. Criterio de avaliación específico para a materia: Criterio xeral con exame final realizado en computador. Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:


Clases de encerado en grupo reducido -Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos

10



50


-Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similar

-



-



-



-


Materia: Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real ECTS: 6Carácter: Básica da RamaContidos: Límite dunha función nun punto. Límites laterais e no infinito. Continuidade dunha función nun punto. Continuidade secuencial. Funcións monótonas e as súas inversas. Teorema de Bolzano. Teorema de Weierstrass. Continuidade uniforme. Concepto de derivada. Regra da cadea e derivada da función inversa. Derivadas das funcións elementais. Extremos relativos e anulación da derivada. Teoremas de Rolle e do valor medio. Monotonía e derivación. Regra de L’Hopital. O polinomio de Taylor. Fórmulas do resto. Caracterización de extremos relativos. Puntos de inflexión. Representación gráfica de funcións dunha variable real.Requisitos previos recomendados: Introdución á análise matemática.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:


Clases de encerado en grupo reducido 10Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos 20

Clases con ordenador/laboratorio en grupo reducido 5

Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio 10

Titorías en grupo reducido sen ordenador/laboratorio 10

Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similar 5

Titorías en grupo reducido con ordenador/laboratorio 3

Preparación de presentacións orais, debates ou similar -

Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas 2

Asistencia a charlas, exposicións ou outras actividades recomendadas -

Outras sesións con profesorEspecificar: -

Outras tarefas propostas polo profesorEspecificar: -


122

Materia: Introdución á análise matemáticaECTS: 6Carácter: Básica da RamaContidos: Intuición da recta real. Revisión de coñecementos básicos da teoría de funcións reais dunha variable real: Representación gráfica. Introdución intuitiva á noción de límite nun punto e no infinito. Crecemento e decrecemento dunha función, máximos e mínimos relativos. Funcións elementais. Sucesións. Noción intuitiva de límite dunha sucesión numérica. Números reais e complexos. Axiomática da recta real. Axioma do supremo. Densidade dos números racionais. Numerabilidade. Topoloxía da recta real. Corpo dos números complexos. Sucesións numéricas. Límite dunha sucesión. Sucesión de Cauchy. Subsucesións. Sucesións monótonas. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Series numéricas: criterios de converxencia. Converxencia absoluta. Teorema de Leibniz. Criterio de Dirichlet.Requisitos previos recomendados: Requisitos xerais.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:









-



-



-



Materia: Espazos vectoriais e cálculo matricialECTS: 6Carácter: Básica da RamaContidos: Espazos vectoriais. Independencia lineal e dimensión. Aplicacións lineais. Cambio de base e equivalencia de matrices. Álxebra de matrices: transformacións, factorizacións, matrices especiais. Sistemas de ecuacións lineais.Eliminación de Gauss. Teorema de Rouché-Frobenius. Requisitos previos recomendados: Linguaxe matemática, conxuntos e números.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:


Clases de encerado en grupo reducido 10Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos

30



10



-



-



-



-



123

Materia: Linguaxe matemática, conxuntos e númerosECTS: 6Carácter: Básica da RamaCompetencias e resultados da aprendizaxe que o estudante adquire:Coñecer e manexar conceptos e resultados básicos de aritmética, da linguaxe proposicional e razoamento lóxico. Comprender a necesidade das demostracións rigorosas en matemáticas e saber aplicar distintos métodos de demostración, incluíndo demostracións por indución e por redución ao absurdo. Coñecer a linguaxe básica da teoría de conxuntos e as propiedades fundamentais das relacións de orde e equivalencia e das aplicacións e saber manexar con soltura exemplos de todos estes conceptos. Comprender as propiedades dos coeficientes binomiais e saber resolver problemas combinatorios básicos. Coñecer as propiedades estruturais básicas dos números enteiros, racionais, reais e complexos. Saber resolver problemas sinxelos de aritmética modular e ecuacións diofánticas lineais. Coñecer as propiedades básicas dos polinomios e saber operar con eles. Comprender o concepto de numerabilidade e saber identificar conxuntos numerables e non numerables.Contidos: Introdución aos sistemas axiomáticos e ás demostracións. Cálculo proposicional e introdución á lóxica. Conxuntos e operacións con conxuntos. Relacións, relacións de orde e de equivalencia. Aplicacións, aplicacións inxectivas, sobrexectivas e biseccións. Permutacións. Operacións binarias. Os números enteiros. Indución matemática. Combinatoria enumerativa e o binomio de Newton. Divisibilidade. Os números primos e o teorema fundamental da aritmética. O máximo común divisor, o algoritmo de Euclides e o algoritmo de Euclides estendido. Aritmética modular: congruencias, unidades módulo n, o teorema chinés, o teorema de Euler-Fermat. Números racionais e irracionais. Polinomios. Conxuntos numerables e non numerables. O procedemento diagonal e a non numerabilidade de R. O axioma de elección e o lema de Zorn.Requisitos previos recomendados: Requisitos xerais.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:



40



-



-



-



-



-


Materia: Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real ECTS: 6Carácter: Básica da RamaContidos: Límite dunha función nun punto. Límites laterais e no infinito. Continuidade dunha función nun punto. Continuidade secuencial. Funcións monótonas e as súas inversas. Teorema de Bolzano. Teorema de Weierstrass. Continuidade uniforme. Concepto de derivada. Regra da cadea e derivada da función inversa. Derivadas das funcións elementais. Extremos relativos e anulación da derivada. Teoremas de Rolle e do valor medio. Monotonía e derivación. Regra de L’Hopital. O polinomio de Taylor. Fórmulas do resto. Caracterización de extremos relativos. Puntos de inflexión. Representación gráfica de funcións dunha variable real.Requisitos previos recomendados: Introdución á análise matemática.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:




Programación/experimentación ou outrostraballos en ordenador/laboratorio 10




Preparación de presentacións orais, debatesou similar -






124

Materia: Química básica ECTS: 6Carácter: Básica da RamaCompetencias e resultados da aprendizaxe que o estudante adquire: Unificar os coñecementos e destrezas químicas que os alumnos deben adquirir durante os estudos de bacharelato, con obxecto de asegurar que ao finalizar a materia adquirirían un nivel de coñecementos teóricos e experimentais básicos de Química, así como da súa relación coa Física, coas Matemáticas e coa Bioloxía, que lles permita comunicarse coa debida soltura nunha contorna científica multidisciplinar. Contidos: Conceptos básicos de Química. Átomos, moléculas e ións: enlace químico. A materia: estados de agregación. Reaccións químicas: aspecto estrutural, termodinámico, cinético. Requisitos previos recomendados: Requisitos xerais.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:






Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similar -





-



-



Materia: Topoloxía dos espazos euclidianosECTS: 6Carácter: Básica da RamaContidos: Os espazos euclidianos. A topoloxía de R^p Converxencia. Completitude. Continuidade. Propiedades topolóxicas. Conexidade. Compacidade. Requisitos previos recomendados: Linguaxe matemática, conxuntos e números. Introdución á análise matemática.Indicación metodolóxica específica para a materia: Non.Criterio de avaliación específico para a materia: Non.Actividades formativas co seu contido en horas do alumno:



Clases con ordenador/laboratorio en grupo reducido -

Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio -



Titorías en grupo reducido con ordenador/laboratorio -







125

Calendario de implantación

O plano de estudos do Grao en Matemáticas implántase no ano académico 2008/09, progresivamente de acordo co seguinte calendario:

• Ano académico 2008/09: Curso 1º• Ano académico 2009/10: Curso 2º• Ano académico 2010/11: Cursos 3º y 4º.

O actual plan extinguirase ano a ano, garantindo a docencia para o alumnado que non se adapten ao grao seguindo o seguinte calendario:

CURSO ULTIMO ANO DE DOCENCIA1º 2007/082º 2008/093º 2009/104º 2010/115º 2011/12

126

TABOA DE ADAPTACIÓNS PARA ALUMNOS DA LICENCIATURA DE MATEMÁTICAS

Criterios para o recoñecemento de créditos (adaptación) Estes criterios pretenden que a maior parte do alumnado dos 3 primeiros cursos da licenciaturas se incorporen ventaxosamente á nova titulación de grao. Así establecese unha táboa de adaptación por contidos e competencias entre as materias da Licenciatura e as do Grao.Ao alumno ofréceselle un recoñecemento de créditos individualizado, disciplina a disciplina e outro recoñecemento por bloques. Estes dous sistemas están motivados pola diferente estrutura nas titulacións, nas horas de docencia dos estudantes, así como pola incorporación de materias básicas de grao que non existían na licenciatura (Bioloxía Básica, Química Básica).

ADAPTACIÓN POR BLOQUES

a) Aos alumnos que teñan superado polo menos 60 créditos do plan de estudos actual que inclúan materias troncais e obrigatorias do primeiro curso recoñeceráselles o primeiro curso completo do novo plan de estudos, ademais das disciplinas que lles correspondan nos outros cursos ao aplicar a táboa de adaptación.b) Aos alumnos que teñan superado, polo menos, 120 créditos do plan actual, que inclúan as materias troncais e obrigatorias dos 2 primeiros cursos, recoñeceráselle os dous primeiros cursos completos don novo plan, ademais das disciplinas que lles correspondan nos outros cursos ao aplicar a táboa de adaptación. Esta adaptación poderase aplicar a partir do curso 2009/10.c) Aos alumnos que teñan superado, polo menos, 180 créditos do plan actual, que inclúan as disciplinas troncais e obrigatorias dos 3 primeiros cursos, recoñeceránselle os 3 primeiros cursos completos do novo plan, ademais das materias que le correspondan nos outros cursos ao aplicar a táboa de adaptación. Esta adaptación poderase aplicar a partir do curso 2010/11. d) Ademais, os estudantes do plan actual poderán obter recoñecemento académico dun máximo de 12 créditos optativos, por acreditación de competencias relacionadas co título, adquiridas en materias do plan actual que no fosen utilizadas para outro recoñecemento no grao. e) Os alumnos poderán solicitar ao centro o recoñecemento ou adaptación de aquelas materias que aínda que as ten superadas non figuran na táboa adaptación, por se son susceptibles do recoñecemento das competencias incluídas en algunha outra materia do grao. Todos os recoñecementos deberán realizarse segundo a corresponde resolución reitoral que regulará a transferencia e recoñecemento de créditos, previo informe da Comisión de Docencia y Asuntos Académicos da Facultade de Matemáticas.

127

Adaptación da Licenciatura ao Grao en MatemáticasLicenciatura en Matemáticas Grao Matemáticas

Materias do primeiro curso Materias equivalentes no grao Asignatura Tip

oCréd.

Curso Asignatura Carácter Créd Curso

Espazos vectoriais e cálculo matricial BA 6 1ºÁlxebra linear e multilinear Tr 9 1º

Linguaxe matemático, conxuntos e números BA 6 1ºContinuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real

BA 6 1ºCálculo diferencial integral Tr 9 1º

Integración de funcións dunha variable real BA 6 1º

Calculo diferencial Integral

Integración de funcións de varias variables reais

TR

TR

9

9

1º

2º

Continuidade e derivabilidade de fundións dunha variable realIntegración de funcións dunha variable realSeries funcionais e integración de Riemann de varias variables reaisCálculo vectorial e Integración de Lebesque

BA

BA

OB

OB

6

6

6

6

1º

1º

2º

3ºInformática TR 9 1º Informática BA 6 1ºIntrodución ao cálculo n úmerico TR 7.5 1º Cálculo número nunha variable BA 6 2ºTopoloxía dos espazos euclidianos TR 7.5 1º Topoloxía dos espazos euclidianos BA 6 1ºIntrodución á análise Matemática OB 9 1º Introdución á análise matemática BA 6 1ºXeometría métrica OB 9 1º Alxebra linear e multilinear OB 6 2º

Bioloxía básica BA 6 1ºQuímica básica BA 6 1º

60 créditos de 1º curso do plan actual Todas as materias do 1º curso do grao ademáis das materias dos outros cursos segundo a táboa

Materias do segundo cursoAnálise numérica matricial TR 6 2º Análise númerica matricial OB 6 2ºDiferenciación de funcións de varias variables reais

TR 7,5 2º Diferenciación de funcións de varias variables reais

OB 6 2º


TR 9 2º Cálculo vectorial e Integración de Lebesque OB 6 3º


Calculo Diferencial Integral

TR

TR

9

9

2º

1º

Cálculo vectorial e Integración de LebesqueSeries funcionais e integración de Riemann de varias variables reaisContinuidade e derivabilidade de funcións dunha variable realIntegración de funcións dunha variable real

BA

BA

OB

OB

6

6

6

6

3º

2º

1º

1ºIntrodución ás ecuacións diferenciais ordinarias

OB 6 2ºIntrodución ás ecuacións diferenciais ordinarias TR 7,5 2º

Ecuacións diferenciais ordinarias 4,5 3ºIntrodución ao cálculo de probabilidadesVectores aleatorios

TR

OB

6

6

2º

3º

Elementos de probabilidade e estatísticaProbabilidade e estatística

BA

OB

6

6

1º

3ºXeometría afín e proxectiva TR 9 2º Xeometría linear OB 6 2º

Topoloxía xeral OB 4,5 3ºTopoloxía OB 9 2º

Topoloxía de superficies OB 4,5 3º120 créditos das disciplinas troncais e obrigatorias de primeiro e segundo curso do plan actual

Todas as materias do 1º e do 2º curso do grao ademais das materias dos outros cursos segundo a táboa

Materias do terceiro cursoCurvas e superficies TR 9 3º Curvas e superficies OB 6 2ºElementos de variable complexa TR 6 3º Variables complexa OB 6 4ºInferencia estatística TR 7,5 3º Inferencia estatística OB 6 3ºIntrodución á álxebra OB 7,5 3º Estruturas alxébricas OB 6 3ºMétodos numéricos OB 6 3º Métodos numéricos en optimización e

ecuacións diferenciaisOB 6 3º

Series de Fourier e introdución ás ecuacións en derivadas parciais OB 4,5 3º

Series de Fourier e introdución ás ecuacións en derivadas parciais

OB 4,5 3º

Teoría global de superficies OB 7,5 3º Teoría global de superficies OB 6 3ºIntrodución ao cálculo de probabilidadesVectores aleatorios

TR

OB

6

6

2º

3º

Elementos de Probabilidade e EstatísticaProbabilidade e Estatística

BA

OB

6

6

1º

3º180 créditos das disciplinas troncais e obrigatorias de primeiro e segundo e terceiro curso do plan actual

Todas as materias do 1º , 2º e 3º curso do grao ademáis das materias dos outros cursos segundo a táboa

Materias do cuarto cursoÁlxebra TR 9,5 4º Ecuacións Alxébricas OB 6 3ºAnálise funcional en espazos de Banach

TR 7,5 4º Análise funcional en espazos de Hilbert OP 6 3º

Cálculo numérico TR 9,5 4º Métodos numéricos en optimización e ecuacións diferenciais

OB 6 3º

Xeometría e Topoloxía TR 9,5 4º Variedades diferenciais OP 6 4ºFísica xeral OP 4,5 4º Física Básica BA 6 2º

128

OuMétodos matemáticos da mecánica do continuo

OP 4,5 4º

Modelos matemáticos OP 7,5 4º Modelización matemática OB 6 4ºAlxebra conmutativaOuCurvas alxébricasOuTeoría clásica de números

OP

OP

OP

6

6

6

4º

5º

5º

Álxebra, números e xeometría OP 6 4º

Materias do quinto cursoAnálise multivarianteMétodos de regresión

OPOP

7,54,5

5º5º

Modelos de regresión e análise multivariante OP 6 4º

Astronomía xeral ouFundamentos de astronomía

OP

OP

6

6

5º

5º

Fundamentos de astronomía OP 6 4º

Historia da Matemática OP 4,5 5º Historia da Matemática OP 6 4ºHomotopía OP 6 5º Topoloxía de superficies OB 4,5 3ºTeoría de Xogos OP 7,5 5º Teoría de xogos OP 6 4ºMétodos de regresión Análise Multivariante

OPOP

4,57,5

5º5º

Modelos de regresión e análise multivariante OP 6 4º

Programación linear e enteira OP 6 5º Programación linear e enteira OB 6 2ºDiferenzas finitas en ecuacións en derivadas parciais. Elementos finitos en ecuacións en derivadas parciais

OP

OP

6

6

5º

5º

Análise numérico de ecuacións en derivadas parciais

Taller de simulación numérica

OP

OP

6

6

4º

4ºEcuacións en derivadas parciais OP 6 5º Ecuacións diferenciais OP 6 4ºTopoloxía alxébrica OP 6 5º Topoloxía alxébrica OP 6 4ºTopoloxía de superficies OP 6 5º Topoloxía de superficies OP 6 5º

129

Michael Francis Atiyah, (Londres, Reino Unido, 1929)

Michael Atiyah é un matemático británico, coñecido polas súas numerosas contribucións á xeometría contemporánea.

Atiyah foi un dos creadores, xunto a Friedrich Hirzebruch, da Teoría K topolóxica, unha parte da topoloxía alxébrica. Ten colaborado con moitos outros matemáticos, entre eles Raoul Bott e Isadore Singer. Con este último formulou o Teorema dos índices de Atiyah-Singer. Isto levouno a estudar a teoría das representacións e as ecuacións da calor sobre as variedades. Sucesivamente interesouse pola teoría de campo de gauge.

Atiyah recibiu a medalla Fields en 1966, a medalla Copley en 1988 e o Premio Abel en 2004. Foi condecorado coa “Orde do Mérito” do Reino Unido. En 1981, a Accademia dei Lincei otorgoulle o Premio Feltrinelli.

A fotografía, tomada durante a súa visita á Facultade de Matemáticas en novembro de 2006, mostra ao profesor Atiyah asinando os exemplares das súas Obras Completas que se atopan na nosa Biblioteca.

131

ProgramaciónDocente

Curso 2008-2009GRAO

133

Calendario académico curso 2008-09Estudos oficiais de GRAO E MASTER

1.- O período lectivo do curso académico comprenderá do día 22 de setembro de 2008 ao 31 de xullo de 2009.

2.- As actividades académicas comezarán e rematarán nas datas seguintes:Primeiro cuadrimestre inicio: 22 de setembro de 2008

remate: 7 de febreiro de 2008Segundo cuadrimestre inicio: 9 de febreiro de 2009

remate: 20 de xuño de 2009

3.- Os/as estudantes en cada curso académico terán dereito a dúas oportunidades para seren avaliados: a primeira terá lugar ao final de cada cuadrimestre e a segunda en xullo, quedando o calendario de probas de avaliación como segue:

Primeiro cuadrimestre: do 22 de xaneiro ao 7 de febreiro de 2009Segundo cuadrimestre: do 4 ao 20 de xuño de 2009Prazo de xullo: do 6 ao 21 de xullo de 2009

A data límite para a entrega de actas de exames será o día 31 de xullo de 2009

4.- As clases interromperanse dende o día 22 de decembro de 2008 ata o día 7 de xaneiro de 2009 (ambos os dous incluídos), os días 23 e 24 de febreiro e dende o día 6 ata o 12 de abril de 2009 (ambos os dous incluídos)

5.- A festividade de San Tomé celebrarase o día 28 de xaneiro de 2009, que será festivo na USC. Así mesmo, posuirán carácter festivo os días das festas oficiais do Estado, da Comunidade Autónoma e das cidades onde estea ubicado cada centro, así como o da festividade de cada un deles.

6.- Coa finalidade de aproveitar ao máximo os días lectivos, sempre que as festividades dos centros coincidan en martes ou xoves celebraranse o luns ou venres máis próximo; e se cadraran en mércores trasladaranse ao venres. As que cadren en sábado, domingo ou festivo celebraranse o día lectivo anterior ou seguinte.

7- Son festividades dos centros as seguintes:

• 4 de outubro (S. Francisco de Asís): Fac. de Veterinaria.• 18 de outubro (S. Lucas): Fac. de Medicina e Odontoloxía (Lic. en Medicina).• 15 de novembro (S. Alberte Magno): Facultades de Bioloxía, Física, Matemáticas, Químicae Ciencias.• 27 de novembro (S. Xosé de Calasanz): E. U. de Formación do Profesorado.• 8 de decembro (Inmaculada): Fac. de Farmacia.• 13 de decembro (Sta. Otilia): E. U. de Óptica e Optometría.• 23 de xaneiro (S. Raimundo de Peñafort): Fac. de Dereito.• 9 de febreiro (Sta. Apolonia): Fac. de Medicina e Odontoloxía (Lic. en Odontoloxía).• 24 de febreiro (Xoán Huarte de S. Xoán): Fac. de Psicoloxía.• 8 de marzo (S. Xoán de Deus): E. U. de Enfermería.• 9 de marzo (natalicio do Padre Sarmiento): Fac. de CC. da Educación.• 19 de marzo (S. Xosé): Fac. de Ciencias Políticas e Sociais.• 5 de abril (S. Vicente Ferrer): Fac. de CC. Económicas e Empresariais e Fac. de Administración e Dirección de Empresas.• 15 abril (natalicio de Leonardo da Vinci): Escola Técnica Superior de Enxeñería.• 22 de abril (Día da Terra): Escola Politécnica Superior.• 26 de abril (S. Isidoro de Sevilla): Facultades de Filoloxía, Filosofía, Humanidades eXeografía e Historia.• 1 de maio (Día do Traballo): E. U. de Relacións Laborais.• 3 de maio (Día da Liberdade de Expresión): Fac. de Ciencias da Comunicación.

134

CALENDARIO DE EXAMES - GRAO

Data Hora Lugar Convocatoria

Elementos de Probabilidade e Estatística (1011-101)

03/02/2009 16:00 Aulas 3, 6 1º Cuadrimestre

06/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Bioloxía Básica (1011-102)

05/06/2009 16:00 Aula Magna 2º Cuadrimestre

14/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Informática (1011-103)


10/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Continuidade e Deriva. de Funcións dunha V.R. (1011-104)

12/06/2009 16:00 Aulas 3,6 2º Cuadrimestre

16/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Introdución á Ánalise Matemática (1011-105)


13/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial (1011-106)

08/06/2009 16:00 Aul. 6,Magna 2º Cuadrimestre

17/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Linguaxe Matemática, Conxuntos e Números (1011-107)

23/01/2009 16:00 Aula 6 1º Cuadrimestre

09/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Integración de Funcións dunha Variable Real (1011-108)

19/06/2009 16:00 Aul. 6,Magna 2º Cuadrimestre

20/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Química Básica (1011-109)


07/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

Topoloxía dos Espazos Euclidianos (1011-110)

16/06/2009 09:00 Aulas 2,3 2º Cuadrimestre

21/07/2009 09:00 Aulas 3, 6 Xullo

135

HORARIO CLASES - GRAO

GRADO EN MATEMÁTICAS [2008/2009]

1º CURSO – GRUPO A - Primeiro Cuadrimestre

Hora Luns Martes Mércores Xoves Venres

09:00-10:00

Elementos de Probabilidad e Est.

(Teor) Aula 8


(Teor) Aula 8


(P1/Tit 1) Aula 4

Intr. Anal. Mat. (P2) Aula 8

Elementos de Probabilidad e Est. (Lab1/Tit 1) A Inf. 4

Intr. Anal. Mat. (Tit 2) Aula 8


10:00-11:00Química Básica (Teor) Aula 8

Intr. Anal. Mat. (Teor) Aula 8



(P2/Tit 2) Aula 4


Química Básica (P1/Tit 1) A. 10

Ling. Mat. Conx. Num. (Tit 2) Aula 8

11:00-12:00Informática (Teor)

Aula 8Ling. Mat. Conx. Num.

(Teor) Aula 8Ling. Mat. Conx. Num.

(Teor) Aula 8Química Básica (Teor) Aula 8

Química Básica (P2/Tit 2) A. 10

Informática. (Tit 1) Aula Inf 4

12:00-13:00

Intr. Anal. Mat. (clases con ordenador)

Aula Inf 4

Informática (Lab 1) Aula Inf. 4

Ling. Mat. Conx. Num. (P2) Aula 8





Informática (Tit 2) Aula Inf. 4

13:00-14:00

Intr. Anal. Mat. (Tit. Con ordenador) Aula Inf 4






Informática (Tit 3) Aula Inf. 4

Ademais, para cada materia, fixaránse titorías en grupos moi reducidos. Estas actividades suporán para cada alumno dúas horas ao cuadrimestre en cada unha das materias.

Ademais en Química Básica falta por sinalar o horario das clases e titorías en grupo reducido con laboratorio que se impartirán na Facultade de Química e que suporá un total de 14 horas no cuadrimestre para cada grupo de alumnos.

136


1º CURSO –GRUPO B- Primeiro Cuadrimestre


09:00-10:00 Informática (Tit 2)

Aula Inf 3 Informática (Lab 3)

Aula Inf 3Informática (Lab 2)

Aula Inf 3 Informática (Lab 1)

Aula Inf 3Informática (Teor)

Aula 5

10:00-11:00

Informática (Tit 1) Aula Inf 3

Química Básica (P2/Tit 2) Aula 4

Informática (Lab 3) Aula Inf 3

Elem. de Prob. e Est. (Lab 2/ Tit 2) Aula

Inf. 4



Inf. 4



Inf. 4

Química Básica (Teor) Aula 4

11:00-12:00Química Básica (Teor) Aula 5

Elem. de Prob. e Est. (Teor) Aula 5

Elem. de Prob. e Est. (Teor) Aula 5

Informática (Tit 3) Aula Inf 4

Química Básica (P1/Tit 1) Aula 9


Elem. de Prob. e Est. (P1/Tit 1) Aula 8

12:00-13:00





Ling. Mat. Conx. Num. (Teor) Aula 6



13:00-14:00


Elem. de Prob. e Est. (P2/ Tit 2) Aula 9

Intr. Anal. Mat. (Clases con ordenador)

Aula Inf 3

Ling. Mat. Conx. Num. (Teor) Aula 6



Intr. Anal. Mat. (Tit con ordenador) Aula Inf. 3

Ademais, para cada materia, fixaránse titorías en grupos moi reducidos. Estas actividades suporán para cada alumno dúas horas ao cuadrimestre en cada unha das materias.

Ademais en Química Básica falta por sinalar o horario das clases e titorías en grupo reducido con laboratorio que se impartirán na Facultade de Química e que suporá un total de 14 horas no cuadrimestre para cada grupo de alumnos.

137


1º CURSO –GRUPO A- Segundo Cuadrimestre


09:00-10:00

Continuidade e derivabilidade F. V. R.

(Teor) Aula 8


(Teor) Aula 8


(P1) Aula 7

Bioloxía Básica (P2) Aula 8


(P2) Aula 8


Bioloxía Básica (Teor) Aula 8

10:00-11:00Topoloxía Esp. Eucl.

(Teor) Aula 8Topoloxía Esp. Eucl.

(Teor) Aula 8Bioloxía Básica (Teor) Aula 8

Bioloxía Básica (Tit 2) Aula 7


(Tit 1) Aula 8


Topoloxía Esp. Eucl. (Tit 2) Aula 7

11:00-12:00

Topoloxía Esp. Eucl. (P1) Aula 8


(Tit 2) Aula 7

Esp. Vect. e Cálculo Matr. (Teor) Aula 8

Esp. Vect. e Cálculo Matr. (Teor) Aula 8


Esp. Vect. e Cálculo Matr. (P1) Aula 7


Integración F.V.R. (P2) Aula 8

12:00-13:00

Integración F.V.R. (Tit 1) Aula 8

Esp. Vect. e Cálculo Matr. (Tit 2) Aula 7

Integración F.V.R. (Teor) Aula 8


Esp. Vect. e Cálculo Matr. (P2) Aula 7


Esp. Vect. e Cálculo Matr. (Tit 1) Aula 7


13:00-14:00

Integración F.V.R. (Clase con Ordenador)

Aula Inf 2

Continuidade e derivabilidade F. V. R. (Clase con Ordenador)

Aula Inf 4

(*)

Esp. Vect. e Cálculo Matr. (Clase con

Ordenador) Aula Inf 2

Integración F.V.R. (Tit. con ordenador)

Aula Inf 2

Continuidade e derivabilidade F. V. R. (Tit. con ordenador)

Aula Inf 4

Esp. Vect. e Cálculo Matr. (Tit. Con

ordenador) Aula Inf 2

(*)

Ademais, para cada materia, fixaránse titorías en grupos moi reducidos. Estas actividades suporán para cada alumno dúas horas ao cuadrimestre en cada unha das materias.(*) Para evitar coincidencias nos subgrupos de clases e titorías con ordenador do Segundo Cuadrimestre (Martes e Venres de 13 a 14 horas no Grupo A e Luns), convocaráse a cada un dos tres subgrupos (reducidos) en semanas consecutivas seguindo a orde natural, de xeito que as diferentes materias comecen polo seguinte subgrupo:

1º SEMANAContinuidade e derivabilidade F. V. R. Subgrupo 1Esp. Vectoriais e Cálculo Matricial Subgrupo 2Integración de F.V.R. Subgrupo 3

Nótese que, no caso das titorías con ordenador, para cada subgrupo se deberán escoller tres das sesións que lles corresponderían seguindo esta orde.

138


1º CURSO – GRUPO B- Segundo Cuadrimestre


09:00-10:00Esp. Vect. e Cálc. Matr.

(Teor) Aula 7Esp. Vect. e Cálc. Matr.

(Teor) Aula 7

Esp. Vect. e Cálc. Matr. (P1) Aula 5


Esp. Vect. e Cálc. Matr. (P2) Aula 5


(Tit 1) Aula 9

Esp. Vect. e Cálc. Matr. (Tit 2) Aula 9

10:00-11:00


(Teor) Aula 7


(Teor) Aula 7


(P1) Aula 7




Esp. Vect. e Cálc. Matr. (Tit 1) Aula 9


(P2) Aula 6

11:00-12:00

Continuidade e derivabilidade F. V. R. (clases con ordenador)

Aula Inf 3

Esp. Vect. e Cálc. Matr. (Tit con ordenador)

Aula Inf 4

(*)



Integración F. V. R. (Clases con ordenador)

Aula Inf 2

Esp. Vect. e Cálc. Matr. (Clases con ordenador) Aula Inf 4(*)



(Tit 2) Aula 6

12:00-13:00Bioloxía Básica (Teor) Aula 3

Topoloxía Esp. Eucl. (Teor) Aula 7

Topoloxía Esp. Eucl. (Teor) Aula 7





13:00-14:00

Integración F.V.R. (Tit. con ordenador)

Aula Inf 2


Continuidade e derivabilidade F. V. R. (Tit. con ordenador)

Aula Inf 4

Bioloxía Básica (Teor) Aula 9

Topoloxía (Tit 1) Aula 6


Ademais, para cada materia, fixaránse titorías en grupos moi reducidos. Estas actividades suporán para cada alumno dúas horas ao cuadrimestre en cada unha das materias.(*) Para evitar coincidencias nos subgrupos de clases e titorías con ordenador do Segundo Cuadrimestre (Luns e Xoves de 11 a 12 horas no Grupo B), convocaráse a cada un dos tres subgrupos (reducidos) en semanas consecutivas seguindo a orde natural, de xeito que as diferentes materias comecen polo seguinte subgrupo:

1º SEMANAContinuidade e derivabilidade F. V. R. Subgrupo 1Esp. Vectoriais e Cálculo Matricial Subgrupo 2Integración de F.V.R. Subgrupo 3

Nótese que, no caso das titorías con ordenador, para cada subgrupo se deberán escoller tres das sesións que lles corresponderían seguindo esta orde.

139

�

�

�

�

Andrei Okounkov (Moscova, Rusia, 1969)

Medal la Fie lds 2006

Andrei Okounkov naceu en Moscova en 1969, doutorándose en Matemáticas na Universidade Estatal de Moscova en 1995. É profesor de matemáticas na Universidade de Princeton e foi investigador na Academia Rusa de Ciencias, no Instituto de Estudos Avanzados de Princeton, na Universidade de Chicago e na de California en Berkeley. Entre as súas distincións atópase a de ter sido seleccionado como investigador da Fundación Sloan (2000) e da Fundación Packard (2001), así como a de obte-lo premio da Sociedade Matemática Europea (2004).

En 2006, durante a celebración do ICM 2006 en Madrid, foille concedida a Medalla Fields “polas súas contribucións na interacción entre a probabilidade, a teoría de representacións e a xeometríaalxébrica”. A súa investigación, segundo comenta el mesmo, é un intento de conecta-las Matemáticas con outras áreas científicas.

141

Programas das Materias

Curso 2008-2009GRAO

143

Nome da materia: Elementos de Probabilidade e EstatísticaModulo: Probabilidades, Estatística e Investigación OperativaCréditos: 6Carácter: Básico/Rama CienciasConvocatoria: 1º Cuadrimestre

ProfesoradoNome Categoria Función

Manuel Febrero Bande Catedrático de Universidade Profesor-CoordinadorAlberto Rodríguez Casal Titular de Universidade Profesor

Obxectivos da materia

Introducir aos estudiantes nas ferramentas da análise descritiva de datos e da teoría da probabilidade.

Contidos

Estatística descritiva dunha variable.(15%)Introdución á estatística descritiva. Tipos de datos e variables.Frecuencias. Medidas de localización, dispersión e forma.Ferramentas gráficas de análise descritivo dunha variable.

Estatística descritiva bidimensional. (20%)Distribución conxunta de frecuencias. Táboas. Frecuencias marxinais e condicionadas.Ferramentas gráficas para dúas variables.Dependencia lineal. Rectas de Regresión. Covarianza e Correlación.

Introdución ao cálculo de probabilidades. (5%)Espazo de probabilidades. Sucesos. Probabilidade. Propiedades

Probabilidade condicionada. (15%)Independencia. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes.

Variables aleatorias unidimensionais. (25%)Variable aleatoria. Función de distribución. Tipos de variables aleatorias: Discretas e Continuas.Función masa de probabilidade e función de densidade. Características dunha variable aleatoria. Transformación de variables aleatorias.

Principais modelos de probabilidade.(20%)Discretos: Uniforme, Bernouilli, Binomial, Poisson, Hiperxeométrica, Xeométrica, Binomial

NegativaContinuos: Uniforme, Normal, Exponencial, Gamma, Beta.Relacións de interese entre as distribucións

Contidos das clases e titorías de laboratorio en grupo reducido (13 h)

O paquete estatístico R.Análise exploratorio de datos con R.Xeración de modelos de probabilidade con R.

Bibliografía básica e complementaria

Bibliografía Básica- D. FREEDMAN et al. (2001), Statistics. Norton, 2001. (traducido: Estadística. Antoni Bosch, 1993)- D. PEÑA (2001), “Fundamentos de Estadística”, Ciencias Sociales Alianza Editorial.

Bibliografía complementaria –

- R. CAO et al. (2001), “Introducción a la Estadística y sus aplicaciones”, Pirámide. - L. COCKING, W. SMITH (2001), “Á Estadística ¡en caricaturas!”, Publicado pola SGAPEIO.- J. VERZANI (2005) “Using R for Introductory Statistics”, Chapman and Hall

Competencias

XeraisComunicar, tanto por escrito como oralmente, coñecementos, procedementos, resultados, tanto a un público especializado como non especializado. Estudiar e aprender de forma autónoma novos coñecementos e técnicas.Ler textos científicos e técnicos tanto en lingua propia como inglesa.

Específicas

144

Sintetizar e analizar descritivamente un conxunto de datos. Entender o concepto de probabilidade condicionada.Comprender a utilidade práctica dos principais teoremas de probabilidadeResolver problemas que requiran o cálculo de probabilidadesUtilizar o concepto de variable aleatoria para modelar fenómenos reais.Asociar fenómenos reais a modelos de probabilidade.Utilizar aplicacións informáticas de análise estatístico

Metodoloxía da ensinanza

As clases de pizarra consistirán basicamente en leccións impartidas polo profesor dedicadas á exposición de contidos teóricos e a resolución de problemas ou exercicios. Nas clases de grupos reducidos procurarase unha maior implicación do alumno. As clases con ordenador/laboratorio servirán para a adquisición de habilidades prácticas e a ilustración dos contidos teóricos. Tódalas las tarefas do alumno serán orientadas polo profesor nas sesións de titoría en grupo reducido ou moi reducido.

Sistema de avaliación da aprendizaxe

A cualificación farase mediante avaliación continua, baseada principalmente na participación do estudante na clase, e a realización dun exame final. Esta cualificación será o máximo da nota do exame final e da ponderación desta nota coa avaliación continua onde o peso relativo de cada apartado será 75-25 respectivamente.O exame final constará dunha parte teórica baseada en cuestións breves na que se pretende avaliar a adquisición de coñecementos claves da materia. O resto do exame consistirá nunha parte práctica enfocada a resolver exercicios e problemas similares ós propostos ó longo do curso. O peso relativo da cada parte no exame será 30% teoría-70% práctica

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala

O número total de horas de traballo do alumno é de 25 x 6 = 150. A distribución detállase na seguinte táboa:

145

Nome da Materia: Bioloxía BásicaMódulo: Formación básica transversalCréditos: 6Carácter: Básica da Rama de CienciasConvocatoria: 1º cuadrimestre

Profesores

Profesores de Teoría: Ramón Anadón Álvarez, Catedrático de Bioloxía Celular Rubén Retuerto Franco, Profesor Titular de Ecoloxía.

Profesores de Seminarios:Jesús Aboal Viñas: Profesor Contratado Doutor de Ecoloxía.Angel Fernández Escribano: Profesor Contratado Doutor de EcoloxíaSergio Rodríguez Roiloa: Investigador Parga Pondal

Obxectivos da materia:

O obxectivo xeneral é o de proporcionar aos estudiantes de Matemáticas cun conxunto de conceptos e ideas claves nas principais áreas da Bioloxía que resultan imprescindibles na formación de calquera profesional universitario. Se pretende tamén que o alumno comprenda a importancia da aplicación dos coñecementos das matemáticas na Bioloxía e de cómo a Bioloxía pode ofrecer aos matemáticos un inmenso campo de investigación en moitas facetas teóricas e aplicadas. Por último, se preparará a los alumnos para que observen e pensen, dunha maneira informada, sobre as implicacións que as Ciencias Biolóxicas teñen para as súas vidas e para o mundo no cal viven.

Contidos da materia

Programa de Teoría

1.- Introducción á vida. Unidade e diversidade das células. Evolución celular, xenes e historia evolutiva (1 hora de clase).

2.- Organización dos procariotas e eucariotas. A célula eucariota. Núcleo, orgánulos e membranas. Citoesqueleto. Nocións de microscopía (2 horas de clase).

3.- Compoñentes químicos da célula. Auga. Biomoléculas. Azucres. Lípidos. Aminoácidos. Nucleótidos.Macromoléculas (1,5 horas de clase)

4.- Uso da enerxía. Catálise encimática. Equilibrio químico. Cinética de reaccións. Moléculas transportadoras activadas. Síntese de polímeros (1,5 horas de clase).

5.- Estructura e funcións das proteínas. Secuencia. Conformacións. Modelos de pregamento. Dominios. Familias de proteínas. Complexos proteicos. Actividade catalítica. Regulación. Proteómica (1,5 horas de clase).

6.- DNA e cromosomas. A dobre hélice e a herdanza. Cromosomas. Replicación, reparación e recombinación do DNA. Transposons. Virus. Retrovirus (1,5 horas de clase).

7.- Do DNA as proteínas. Transcrición. Procesado e tipos de RNA. Exportación (1 hora de clase).8.- Traducción. Código xenético. RNAs de transferencia e tRNA-aminoacil transferasas. Ribosomas e ciclo

ribosómico. Modificación e degradación das proteínas (1,5 horas de clase). 9.- Control da expresión xénica. Activación e represión. Operón. Promotores. Especialización celular e

control da expresión xénica. Os xenes no desenvolvemento (2 horas de clase).10.- Membranas e a súa organización. Lípidos e proteínas de membrana e as súas propiedades.

Permeabilidade. Transportadores. Bombas de membrana. Canais iónicos. Sinalización nerviosa. Comunicación celular (1,5 horas de clase)

11.- Bioenerxética. Glicólise anaerobia. Ciclo do ácido cítrico ou de Krebs. Mitocondrias. Gradientes protónicos e traballo químico. Plastos. Fotosíntese (1,5 horas de clase).

12.- Xenes, xenomas e a súa evolución. Duplicación, diverxencia, transmisión horizontal. Investigación do xenoma. Ferramentas biolóxicas (1,5 horas de clase)

13.- Ciclo celular e o seu control. División celular. Mitose e citocinese. Control da división celular nos organismos pluricelulares. Cancro. Morte celular (1 hora de clase).

14.- Ciclo vital dos eucariotas e reprodución. Meiose e fecundación. Recombinación e segregación cromosómica na meiose (1 hora de clase).

15.- Xenética. Conceptos e procesos básicos. Xenética Mendeliana. Alteracións da información xenética. Xenética de Poboacións: o principio de Hardy-Weinberg. Factores que interfiren coa lei de Hardy-Weinberg (procesos sistemáticos e dispersivos). Diversidade xenética nas poboacións: medida e estructura poboacional. Importancia da diversidade xenética nas respostas dos organismos aos cambios ambientais e para a conservación de especies. A técnica da enxeñería xenética: implicacións na terapia de enfermidades humanas e na producción agrícola e animal (2 horas de clase).

146

16.- Evolución. Teorías evolucionistas (A teoría da Selección Natural de Wallace e Darwin; Neodarwinismo; Correntes críticas: neolamarckismo, neutralismo e puntualismo). Probas da evolución. Hipóteses sobre o orixe do Homo sapiens sapiens (2 horas de clase)

17.- Ecoloxía I. Conceptos básicos. Tipos de respostas dos organismos ao seu ambiente. O axuste dos organismos ao seu ambiente (Ecotipos, clinas e polimorfismos; Converxencia adaptativa e evolución paralela; Pares de especies e coevolución). Ecoloxía de Poboacións (Estructura de idades e de rendementos; Modelos de crecemento poboacional). Interacción entre poboacións e a súa modelización. Composición (Diversidade específica e a súa medida; Especies dominantes e claves; Medida de similitude entre comunidades), Estructura (Redes tróficas e a súa conectancia) e Dinámica de Comunidades (Sucesión e tasas de renovación). (3 horas de clase)

18.- Ecoloxía II. Funcionamento do Ecosistema. Fluxo de Enerxía. Constriccións termodinámicas. Productividade Primaria e Secundaria. Ciclos bioxeoquímicos e principais interferencias humanas: eutrofización, chuvia ácida e cambio climático. A descomposición e rexeneración de nutrientes. (3 horas de clase)

Programa de Seminarios (cada seminario se realizará en una sesión de 1 hora de clase/titoría)

1.- Concepto de especie. Nomenclatura binomial. Filoxenia e sistemática. Ciclos biolóxicos.2.- Xeometría da Natureza. Fractais.3.- Forma, tamaño e función.4.- Ferramentas a empregar nas follas de cálculo.5.- Equilibrio de Hardy-Weinberg.6.- Medida da diversidade xenética.7.- Selección Natural e Eficacia Biolóxica.8.- Heredabilidade.9.- Deriva Xenética.10.- Endogamia e homocigosis.11.- Tamaño efectivo da poboación.12.- Estimas poboacionais.13.- Crecemento xeométrico e exponencial.14.- Modelos loxísticos poboacionais.15.- Estocasticidade demográfica.16.- Táboas de vida e curvas de supervivencia.17.- Modelo matriciais de Leslie e de Levkovich.18.- Análises de factores clave.19.- Modelos de dinámica predador-presa.20.- Modelos de competencia interespecífica21.- Determinación da Riqueza específica.22.- Modelos de Bioxeografía Insular.23.- Modelos de Sucesión.24.- Modelo xeneral de compartimentos e fluxos.25.- Modelo de dinámica do fitoplacton de Margalef.

Bibliografía

Alberts, B. e outros, 2005, Introducción a la Biología Celular, 2ª Edición, Editorial Medica Panamericana, Campbell e outros, 2009, Biology, Concepts and Connections, 6/e, Pearson Cooper e Hausman, 2008, La Célula, 4ª Edición, Marbán, Donovan, T.M., Welden, Ch.W. 2001. Spreadsheet Exercises in Ecology and Evolution. Sinauer,

Massachusetts, USA.Lodish e outros, 2007, Biología Celular y Molecular, 5ª Edición, Editorial Medica Panamericana, Niklas, K.J. Plant Allometry. 1994. The Scaling of Form and Process. The University of Chicago Press,

Chicago, USA.Piñol, J., Martínez-Vilalta, J. 2006. Ecología con Números. Lynx Edicions, Barcelona.Raven et al., 2008, The Science of Biology, 7/e Edition, McGraw-HillReiss, M.J. 1991. The allometry of Growth and Reproduction. Cambridge University Press, Cambridge,

U.K.Stryer e outros, 2008, Bioquímica, 6ª edición, Editorial Reverté.

Enlace de interese para búsquedas biomédicas en revistas, libros, bases de datos de proteinas, genes, genoma, etc: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/sites/entrez

Competencias

Coñecer o impacto da Bioloxía nas Matemáticas e viceversa.Comprender a importancia da aplicación dos coñecementos das Matemáticas na Bioloxía e de cómo a

Bioloxía pode ofrecer aos matemáticos un inmenso campo de investigación en moitas facetas teóricas e aplicadas.

Coñecer e comprender os principios básicos da Bioloxía Molecular e Celular, da Bioloxía de Organismos e Sistemas, da Xenética e a Ecoloxía.

147


“Axustarase á indicación metodolóxica xeral do Grao, que establece que as clases de pizarra consistirán basicamente en leccións impartidas polo profesor, dedicadas á exposición dos contidos teóricos e resolución de problemas ou exercicios. En ocasións, o modelo aproximarase á lección maxistral e outras,sobre todo nos grupos reducidos, procurarase unha maior implicación do alumno, primando unha pedagoxía máis activa e personalizada. As clases con ordenador/laboratorio permitirán, nuns casos, a adquisición de habilidades prácticas e noutros,servirán para a ilustración inmediata dos contidos teóricos-prácticos, mediante a comprobación interactiva ou a programación. Tódalas tarefas do alumno (estudio, traballos, programas de ordenador, lecturas, exposicións, exercicios, prácticas…) serán orientadas polo profesor nas sesións de titoría en grupo reducido. Con respecto as titorías individualizadas ou en grupo moi reducido, atenderase os estudiantes para discutir cuestións concretas en relación coas súas tarefas ou para tratar de resolver calquera outra.

Un importante recurso didáctico cara a lograr os obxectivos educativos será poñer a disposición dos alumnos una gran cantidade de material multimedia (textos, transparencias, videos, follas de cálculo, etc.) para o que se empregará o soporte proporcionado pola plataforma da USC virtual. A atención individualizada ao estudiante nas titorías permitirá nalgunha medida personalizar a ensinanza. O nivel das clases teóricas será asequible para os estudiantes con una preparación académica e intelectual media. Os estudiantes por debaixo da media serán obxecto de atención titorial, namentres que os que se atopen por riba da media poderán satisfacer seus maiores desexos de coñecementos co acceso a recursos e bibliografía máis especializada.

Sistema de Avaliación

Como en tódalas materias do Grao, a cualificación do alumno farase mediante avaliación continua e a realización dun exame final que contribuirá nun 60 % á cualificación final. Se considerará cos alumnos a posibilidade de facer dous exames parciais, que contribuirían cada un cun 30% a cualificación final. A cualificación do alumno non será inferior a do exame final nin a obtida ponderándoa coa avaliación continua, que contribuirá nun 40% a cualificación final. A avaliación continua farase por medio de controles escritos, traballos entregados, asistencia e participación do estudiante nas clases, seminarios e titorías. A asistencia e participación en clase contribuirá nun 10% á cualificación final.

Tempo de estudio e traballo persoal

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA Horas TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO HorasClases de pizarra en grupo grande 30 Estudio autónomo individual ou en grupo 50Clases de pizarra en grupo reducido 15 Escritura de exercicios, conclusións ou

outros traballos25

Clases con ordenador/laboratorio en gruporeducido

- Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio

-



5

Titorías en grupo reducido con ordenador /laboratorio

- Preparación de presentacións orais, debates ou similar

10


2 Asistencia a charlas, exposicións ou outras actividades recomendadas

-

Outras sesións con profesor (especificar) - 2 -Total horas traballo presencial no aula 60 Total horas traballo persoal do alumno 90Recomendacións para o estudio da materia

Recomendase a asistencia e participación activa nas clases e seminarios programados. E importante resolver no momento as dúbidas que xurdan, así como revisar e completar as notas de clases despois destas. As titorías representan unha oportunidade excelente para mellorar o aprendizaxe e resolver dúbidas. O estudio da materia verase facilitado pola consulta do material que se poñerá a disposicióndos alumnos na páxina web da USC Virtual. E importante tamén a lectura da bibliografía recomendada para cada tema.

148

Nome da materia: InformáticaCréditos: 6Carácter: ObrigatoriaConvocatoria: 1º cuadrimestre

Profesorado

Nome Categoria FunciónManuel Fernández Delgado Profesor Contratado Doutor CoordinadorEva Cernadas García Profesora Titular de Universidade


Coñece-los entornos e manexa-las ferramentas informáticas básicas. Coñecer e usar en problemas matemáticos sinxelos algún paquete de cálculo simbólico e numérico. Dominar unha linguaxe de programación estruturada. Analizar, deseñar, programar e implementar algoritmos de resolución de problemas matemáticos sinxelos en distintos campos.

Contidos

Contidos da clase de pizarra en grupo grande (1.8 créditos)

1. Cálculo simbólico con Maple (0.48 créditos)a. Introducción: números e variábeis; entrada e saída; representación gráfica básica; definición

de polinomiosb. Operacións con matricesc. Límites e diferenciaciónd. Integración definida e indefinidae. Series finitas e infinitas. Series de potenciasf. Representación gráficag. Solución de ecuacións e sistemas de ecuaciónsh. Manipulación de polinomios e funcións racionaisi. Simplificación e expansión de expresiónsj. Operadores arco e procedementos

2. Programación estructurada en Fortran (0.72 créditos)a. Metodoloxía da programación: análise, deseño, codificación e depuraciónb. Estrutura básica dun programa. Entrada e saída estándarc. Tipos de datos elementaisd. Vectores e matrices estáticos e dinámicose. Expresións aritméticas. Sentenzas de asignaciónf. Operadores relacionais e lóxicosg. Sentenzas de selecciónh. Sentenzas de iteracióni. Subprogramas: funcións externas e subrutinasj. Entrada e saída a arquivos. Formatosk. Temas avanzados: tipos de datos derivados; módulos; punteiros

3. Cálculo numérico con Matlab (0.6 créditos)a. Introducción: variábeis; entrada e saída básicab. Manexo de vectores e matricesc. Gráficos bi-dimensionaisd. Arquivos scripte. Arquivos de funciónf. Sentenzas de selección e iteración definida e indefinidag. Entrada e saída de datos a arquivosh. Operacións con polinomiosi. Gráficas tridimensionaisj. Aplicacións ao análise numérico

Contidos das clases de laboratorio en grupo reducido (3.6 créditos)

1. Introducción ao entorno operativo Linux Fedora Core (0.2 créditos)a. Comandos básicos de manexo de arquivos e directoriosb. Revisión de aplicacións

2. Cálculo simbólico con Maple (1.1 créditos)

149

a. Cálculos básicos. Operacións básicas con matrices e polinomiosb. Límites. Derivación. Integración definida e indefinidac. Cálculo de series numéricas e de potenciasd. Solución simbólica e numérica de ecuacións e sistemas de ecuacións

3. Programación estruturada en Fortran (1.2 créditos)a. Programas básicos en Fortranb. Manexo de estruturas de selección e iteración: resolución de ecuacións simples; produtos

escalar e matricial; derivación e integración numéricac. Subprogramas: resolución numérica de ecuacións non lineais, determinante dunha matrizd. Lectura e escritura en arquivos de texto

4. Cálculo numérico con Matlab (1.1 créditos)a. Representación gráfica de funcións e datosb. Programación estruturada aplicada ao análise numérico: resolución numérica de ecuacións

non lineais; cálculo dos extremos dunha función; integración numéricac. Representación 3-D de curvas e superficiesd. Cálculo simbólico: resolución de ecuacións e sistemas de ecuacións; límites; derivación;

integración; series; simplificación e expansión de expresións

Contidos das titorías de laboratorio en grupo reducido (0.5 créditos)

1. Cálculo simbólico con Maple (0.15 créditos)2. Programación estruturada en Fortran (0.2 créditos)3. Cálculo numérico con Matlab (0.15 créditos)


Bibliografía básica:

• Introduction to Maple, A. Heck, Springer, 2003• Programación estructurada con Fortran 90/95. Javier Martínez Baena, Ignacio Requena Ramos,

Nicolás Marín Ruiz, Editorial Universidad de Granada, 2006, ISBN 84-338-3923-3• Matlab�: Una introducción con ejemplos prácticos. Amos Gilat, Editorial Reverté. ISBN 84-291-5035-

8

Bibliografía complementaria:

Maple:• Introduction to mathematics with Maple. Adams, Peter. World Scientific, 2004• Solving problems in scientific computing using Maple and Matlab. Gander, Walter. Springer, 2004Fortran:• Curso básico de FORTRAN 90. Sebastián Ventura Soto, José Luis Cruz Soto, Cristóbal Romero

Morales, Universidad de Córdoba, 2000. [3C60-84] (Biblioteca Física)• FORTRAN 95/2003 explained. Metcalf, Michael. Oxford : Oxford University Press, 2004Matlab:• Matlab y sus aplicaciones en las ciencias y la ingeniería. Pérez López, César. Madrid : Prentice-Hall,

2007MATLAB for engineers. Moore, Holly. Upper Saddle River, N.J. : Pearson Prentice Hall, 2007

Competencias• Manexar Maple para a realización de cálculos simbólicos en Matemáticas: derivadas, integrais,

simplificación/expansión de polinomios e funcións racionais, operacións con matrices, cálculo de series, límites de funcións, resolución simbólica e numérica de ecuacións non lineais, entre outros.

• Analizar problemas de cálculo numérico en Matemáticas e deseñar algoritmos para resolvelos, escribindo programas en Fortran que os implementen

• Usar Matlab para a realización de operacións matemáticas, a representación gráfica de datos e a realización de cálculos simbólicos. Escribir programas en Matlab que implementen algoritmos para la resolución de problemas matemáticos de cálculo numérico.


As clases de pizarra en grupo grande basearanse no uso de presentacións de ordenador que cubrirán os distintos apartados do material. Durante estas clases describiranse de forma concisa estos contidos que, dado o seu carácter eminentemente práctico, serán desenvolvidos con máis profundidade nas clases de laboratorio en grupo reducido. Nas clases teóricas farase máis fincapé naqueles contidos que pola súa natureza non sexan ampliados nas clases prácticas. As presentacións incluirán exemplos (e, no caso de Fortran e Matlab, programas completos) que podan ser usados como referencia nas clases de laboratorio. As titorías de grupo reducido en laboratorio adicaranse á realización de exercicios baixo a supervisión do profesor. As titorías de grupo moi reducido adicaranse á corrección

150

de exercicios propostos realizados polos alumnos, resolución de dúbidas e seguemento individualizado do aprendizaxe do alumno.


En tódalas materias do Grao a cualificación do alumno realizarase mediante avaliación continua e a realización dunha exame final. A avaliación continua farase por medio de controis escritos, traballos entregados, participación do estudante na aula, titorías ou outros medios indicados na programación da materia. A cualificación do alumno non será inferior á do exame final nin á obtida ponderándoa coa avaliación continua, dándolle a esta última un peso non inferior ao 25%. O profesor fixará na guía docente anual o peso concreto que concederá á avaliación continua e ao exame final, respectando a regra anterior, así como a tipoloxía, métodos e características do sistema de avaliación propostos.

Na materia de Informática, realizaranse 3 exames parciais, un por cada tema da materia (Maple, Fortran e Matlab), unha vez rematada a súa explicación nas clases de pizarra e laboratorio e as titorías de laboratorio. Estos 3 exames realizaranse no ordenador durante as clases de laboratorio en grupo reducido. En cada exame parcial, o aprobado require unha nota � 5. Se o alumno aproba os 3 exames, terá aprobada a asignatura (sen ter que concorrer ao exame final), e a nota será a media aritmética das acadadas nos 3 exames.

Ao remate do cuadrimestre realizarase un exame final, no que as 3 partes atoparanse diferenciadas, de modo que cada alumno deberá realizar só a(s) parte(s) que non superou nos exames parciais. Para aproba-la materia, o alumno deberá acadar unha nota mínima de 4 en cada parte, e ademáis a media aritmética das notas das 3 partes debe ser � 5. En tal caso, a nota final será a media aritmética das notas acadadas nas tres partes.

No exame da convocatoria de xullo o alumno só deberá aprobar aquela(s) parte(s) que non superara en febreiro (ben nos exames parciais ou no exame final de febreiro). E dicir, as partes aprobadas conservaranse para a convocatoria de xullo. De non aproba-la asignatura en xullo, o alumno deberá concorrer en anos posteriores coa asignatura completa.


Clases de pizarra en grupo grande 15


30Estudio autónomo individual o en grupo 30

Tutorías en grupo reducido con ordenador/laboratorio

13Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos

10

Tutorías en grupos muy reducidos o individualizadas

2Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio

50

Total horas trabajo presencial en el aula

60Total horas trabajo personal del alumno

90

A partir desta táboa, podemos estimar en 6 o número de horas de traballo semanal, distribuidas en: 2 horas de estudo do material da asignatura, 1 hora para a realización de exercicios e 3 horas a realización de traballo de programación (Fortran, Matlab) e execución de comandos (Maple, Matlab) no ordenador. O número total de horas de traballo do alumno é de 90 no cuadrimestre

Recomendacións para o estudo da materia

• Asistencia ás clases teóricas e prácticas

• Asistencia ás clases teóricas e prácticas

• Realización de traballo práctico adicional no ordenador, ben na aula de Informática da Facultade de Matemáticas, ben no ordenador persoal, se é o caso.

• Seguimento semanal da materia para adquirir a destreza práctica necesaria.

• Realización dos exercicios propostos e resoltos na páxina web da materia

Outras observacións.

Páxina web da materia:

151

http://www-gsi.dec.usc.es/~delgado/informatica

Empregarase tamén o servizo de Universidade Virtual da USC:

http://www.usc.es/campusvirtual/index.php

152

Nome da materia: Continuidade e Derivabilidade de Funcións dunha Variable RealMódulo: Análise Matemática nunha VariableCréditos: 6 ECTSCarácter: BásicaConvocatoria: 2º Cuadrimestre

Profesorado

Nome Categoría Función

Otero Espinar, Mª Victoria TIT-UM ProfesoraPérez Méndez, José TIT-UM Profesor coordinador


Introducir os conceptos e métodos dos límites, continuidade e cálculo diferencial para funcións dunha variable real. Os estudantes, que xa deberan estar familiarizados coas técnicas habituais máis sinxelas do cálculo, ampliarán os seus coñecementos relativos ás ideas e aos procedementos neste eido. Por outra parte, preténdese que os estudantes amplíen a súa visión do cálculo como ferramenta indispensable para formalizar e resolver matematicamente moitos problemas que se presentan noutros campos científicos e técnicos (bioloxía, economía, enxeñaría, física, etc.). Finalmente, tendo en conta o carácter desta materia, o seu bo coñecemento proporcionará o nivel básico para afrontar con normalidade o estudo de materias de cursos posteriores da titulación.

Contidos

1. Límites:Límite dunha función nun punto. Límites laterais. Límites infinitos e no infinito. Cálculo de límites.

2. Continuidade:Continuidade dunha función nun punto. Continuidade secuencial. Funcións monótonas e as súas inversas.Funcións continuas. Propiedades. Continuidade uniforme. Teoremas de Weierstrass e Bolzano.

3. Derivabilidade:Derivada dunha función nun punto. Derivabilidade e continuidade. Álxebra de derivadas. Regra da cadea.Derivabilidade de funcións inversas. Derivabilidade lateral. Derivadas das funcións elementais.

4. Aplicacións da derivada:Extremos relativos e anulación da derivada. Teoremas de Rolle e do valor medio. Monotonía e derivación.Regra de L’Hopital. O polinomio de Taylor. Fórmulas do resto. Caracterización de extremos relativos.Puntos de inflexión. Representación gráfica de funcións dunha variable real.


APOSTOL, T. M., Análisis Matemático, Reverté. 2001.BARTLE, R. G. e SHERBERT, D. R., Introducción al Análisis Matemático de una Variable (2ª Ed.), Limusa. 2000.DEMIDOVICH, B., Problemas y ejercicios de Análisis Matemático, Paraninfo. 1988. GARCÍA, A. (e outros), Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable, Clagsa. 1994.LARSON, R. (e outros), Cálculo (6ª Ed.), McGraw-Hill. 2006.LINÉS, E., Principios de Análisis Matemático, Reverté. 1991.SIMMONS, G. F., Cálculo y Geometría Analítica (2ª Ed.), McGraw-Hill. 2002.SPIVAK, M., Calculus, Reverté. 1994.

Competencias

1. Competencias xerais:

153

• Coñecer os conceptos, métodos e resultados máis importantes da continuidade e derivabilidade de funcións reais, xunto con certa perspectiva histórica do seu desenvolvemento.

• Comprender e utilizar a linguaxe matemática no eido da materia.

2. Competencias específicas:

• Dominar as nocións de límite, continuidade, continuidade uniforme e derivabilidade para funcións dunha variable real.

• Demostrar con precisión e rigor algúns dos resultados máis importantes da materia e relacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa.

• Manexar con destreza conceptos, resultados e métodos dos límites, continuidade e do cálculo diferencial para funcións dunha variable real.

• Coñecer algúns dos problemas que influíron no desenvolvemento histórico da materia.

• Conxecturar, formular e resolver algúns problemas sinxelos que se presentan noutros campos científicos e técnicos (bioloxía, economía, enxeñaría, física, etc.).

• Conseguir unha boa intuición gráfica e “visualizar” os conceptos tratados por medio de exemplos.

• Utilizar algún paquete informático aplicable aos contidos.

3. Competencias transversais:

• Habituarse o manexo de referencias bibliográficas.

• Adquirir a capacidade de aprendizaxe autónoma e desenvolver a capacidade do traballo en grupo.

• Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, coñecementos, procedementos, resultados e ideas da materia tanto a un público especializado como non especializado.


Nas clases en grupo grande preséntanse e desenvólvense os contidos esenciais da materia.As clases en grupo reducido adícanse á resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións) e nelas procurarase unha activa participación do estudante.Nas clases con ordenador intruducirase ó alumno no manexo dalgún paquete informático que permita aplicacións de cálculo simbólico e representacións gráficas relativas ós contidos da materia.En todos os casos, porase máis énfase en dotar os estudantes de ferramentas para a construción da súa propia aprendizaxe que na simple acumulación de contidos.Nas actividades en grupos reducidos, poderán ter cabida diversos enfoques nos que se traten conceptos e cuestións da materia (construción de exemplos, resolución de problemas sinxelos, exposicións por parte dos alumnos, lecturas matemáticas adecuadas, etc.), procurando sempre que a participación do estudante sexa máxima. As sesións de titorías están deseñadas especialmente para estimular a actividade do alumno fóra da clase. Estas titorías tamén servirán para que o alumno interesado poida examinar en cada momento o seu proceso de aprendizaxe.Os alumnos asistentes á clase disporán de extensas notas fotocopiadas dos contidos que se desenvolverán nas clases, acompañados de boletíns de exercicios.


De acordo o criterio xeral de evaluación para todas as materias do Grao: “a cualificación de cada alumno farase mediante evaluación continua e a realización dun exame final. A evaluación continua farase por medio de controis escritos, traballos entregados, participación do estudante na aula, titorías ou outros medios explicitados na programación da materia …”

Dese xeito, a actividade do alumno nas clases e titorías terá incidencia na calificación final, sendo a valoración acorde coa continuidade, esforzo e aproveitamento na aprendizaxe que demostre o alumno. Valorarase así a participación dos alumnos nas diversas actividades que se proporán ao longo do curso,

154

de xeito que un alumno habitualmente asistente e participativo acadaría parte da súa cualificación final por medio da actividade diaria na aula.

Será preceptivo un exame final escrito que lle permita ó alumno mostrar o grao de coñecemento adquirido, no que se refire á comprensión dos conceptos e técnicas propias da materia, á madurez no seu manexo e á capacidade de relacionar os diversos aspectos involucrados nos distintos temas de estudo.

A calificación do alumno non será inferior a do exame final. O 30% da calificación final será o máximo entre esa porcentaxe da nota do exame e o correspondente a nota da evaluación continua.


TRABALLO PRESENCIAL NA AULA

Horas TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO Horas

Clases de encerado en grupo grande 30Estudo autónomo individual ou en grupo

50

Clases de encerado en grupo reducido

10Escritura de exercicios, conclusións e outros traballos

30

Clases con ordenador en grupo reducido

5Programación/experimentación e outros trabajos en ordenador

10

Titorías en grupo reducido sen ordenador


Titorías en grupo reducido con ordenador



2Asistencia a charlas, exposiciones ou outras actividades recomendadas


60Total horas traballo personal do alumno

90


(a) Estudar diariamente, coa utilización de material bibliográfico.(b) Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala.(c) Dar resposta ás cuestións, exercicios e problemas correspondentes para fixar así as ideas e os métodos estudados na parte teórica.(d) Ter un bo coñecemento da materia Introdución á Análise Matemática

155

Nome da materia Introdución á Análise MatemáticaMódulo: Análise matemática nunha variableCréditos: 6 ECTSCarácter: Básica-Rama de cienciasConvocatoria: 1º cuadrimestre

Profesorado

Nome Categoria FunciónRodrigo López Pousoprof. Prof. Titular Univ. ProfesorJosé María Paredes Álvarez Prof. Titular Univ. Profesor-Coordinador


Introducir ao alumno, co apoio esencial de exemplos e práctica, na comprensión da primeira estrutura da análise matemática: o corpo ordeado e completo dos números reais.Presentar, practicando coas distintas notacións, as operacións cos números complexos.Introducir e consolidar, con exemplos e exercicios, as nocións de converxencia de sucesións e series numéricas.Comprender os elementos básicos da topoloxía da recta real.Tomar contacto co programa MAPLE como apoio para o cálculo e a comprensión e a visualización dos principais conceptos do curso.

Contidos

1. Repaso de cálculo elemental (0’8 ECTs, 2 semanas aprox.)1.1 Os conxuntos dos números naturais (N), enteiros (Z), racionais (Q) e a súa

insuficiencia: intuición da recta real e a súa necesidade.1.2 Funcións reais dunha variable real. Revisión intuitiva e instrumental das nocións de

límites, continuidade, derivadas, monotonía, extremos relativos, concavidade e convexidade.

1.3 Funcións elementais. Representacións gráficas. 1.4 Funcións elementais e representacións gráficas con MAPLE.

2. Números reais e complexos (1’6 ECTS, 4 semanas aprox.)2.1 Números naturais. Principio de indución. 2.2 Números racionais. Numerabilidade. 2.3 Axiomática dos números reais (R). Axioma do supremo e consecuencias.2.4 Propiedade arquimediana de R. Densidade de Q en R.2.5 Números complexos. Expresións, operacións e raíces dos complexos.

3. Sucesións de números reais (1’6 ECTS, 4 semanas aprox.)3.1 Introdución intuitiva aos conceptos de sucesión e límite. Xeneralidades.3.2 Sucesións converxentes e os seus límites. Propiedades. 3.3 Límites infinitos.3.4 Converxencia e diverxencia de sucesións monótonas.3.5 Sucesións de Cauchy. Completitude de R.3.6 Subsucesións. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Límites de oscilación.3.7 Cálculo de límites. Criterios de Stirling e Stolz.

4. Series de números reais (1’2 ECTS, 3 semanas aprox.)4.1 Introdución intuitiva aos conceptos de serie e a súa suma.4.2 Series numéricas. Converxencia de series.4.3 Series de termos non negativos. Criterios de converxencia. 4.4 Converxencia absoluta e condicional. Criterios de converxencia non absoluta.

5. Topoloxía da recta real (0’8 ECTS, 2 semanas aprox.)5.1 Entornos dun punto na recta real.5.2 Puntos de acumulación e puntos illados.5.3 Conxuntos pechados en R.5.4 Conxuntos compactos en R. Teorema de Heine-Borel.5.5 Conxuntos abertos en R e puntos interiores.


Básica:T. M. APOSTOL. Análisis Matemático. Reverté, 1996.R. BARTLE y D. SHERBERT. Introducción al Análisis Matemático de una Variable. Limusa, 2000.A. GARCÍA LÓPEZ e outros. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable. CLAGSA, 1994.

156

Complementaria:J. CASASAYAS e M. C. CASCANTE. Problemas de Análisis Matemático de una variable real. Edunsa, 1990.E. LINÉS. Principios de Análisis Matemático. Reverté, 1983.W. RUDIN. Principios de Análisis Matemático. McGraw-Hill, 1980.M. SPIVAK. Cálculo infinitesimal. Reverté, 1994.

Competencias

Ademais de contribuir a acadar as competencias xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, esta materia permitirá acadar as seguintes competencias específicias:

• Utilizar a análise de sucesións e series de números reais. • Comprender a noción de límite dunha sucesión e suma dunha serie numérica, traballando con

eles de xeito intuitivo e rigoroso. Empregar o programa MAPLE como apoio eficaz tanto para a visualización como para o contraste de resultados.


Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC. A docencia está programada en clases teóricas, prácticas en grupo reducido, prácticas con ordenador en grupo reducido e titorías. Nas clases teóricas e prácticas se presentarán os contidos esenciais da disciplina, se resolverán problemas e se programarán actividades de realización voluntaria. As titorías dedicaranse á discusión e debate cos estudantes, e á resolución das tarefas propostas coas que se pretende que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos. Nas clases con ordenador utilizarase o programa MAPLE como ferramenta de traballo.


Seguirase o criterio xeral de avaliación establecido na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC. Para o

cómputo da cualificación final (CF) teranse en conta a cualificación da avaliación continua (AC) e a cualificación do exame final (EF), e se aplicará a seguinte fórmula

CF=max(EF, 0’75*EF+0’25*AC).

Ante posibles dúbidas, facemos notar que a cualificación final non será inferior á do exame final.

A avaliación continua consistirá na realización voluntaria de controis escritos ou traballos encargados polo profesor sobre aspectos prácticos ou teóricos da materia, que poderán ser individuais ou grupais.


TRABALLO PRESENCIAL EN EL AULA


Clases de encerado en grupo grande 30 Estudo autónomo individual ou en grupo 55Clases de encerado en grupo reducido

10 Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos

20


5 Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio

10

Titorías en grupo reducidosen ordenador


5


3 Preparación de presentacións orais, debates ou similar

-


2 Asistencia a charlas, exposicións ou outras actividades recomendadas

-




Traballo persoal semanal de catro horas como mínimo. Realización das actividades que se propoñan nas aulas.

Outras observacións

157

Nome da materia: Espazos vectoriais e cálculo matricialMódulo: Alxebra e XeometríaCréditos: 6 ECTsCaracter:Básica Rama de CienciasConvocatoria:2º Cuadrimestre.

Profesorado

Nome Categoría FunciónBarja Pérez , Javier Profesor Titular de Universidade Profesor (Coordinador)Fernández Vilaboa , José M. Profesor Titular de Universidade ProfesorFranco Fernández, Leoncio Profesor Titular de Universidade ProfesorRodríguez Fernández , Celso Profesor Titular de Universidade Profesor


A Álxebra Linear é unha parte fundamental das ferramentas matemáticas necesarias para o estudo moderno en moitas áreas, como as ciencias do comportamento, da natureza, físicas ou sociais, en economía, en enxeñaría ou informática e, por descontado, nas matemáticas puras e aplicadas. Os propósitos deste curso son desenvolver os primeiros conceptos fundamentais da álxebra linear ao tempo que ilustramos a súa aplicabilidade mediante un conxunto selecto de aplicacións. Máis en concreto, poderiamos dicir que os obxectivos son:i) Familiarizarse co uso das matrices en diversas ramas do saber.ii) Unha primeira aproximación ás estruturas alxébricas: os espazos vectoriais e as aplicacións lineares como xeneralización dos vectores de R3 e as matrices, respectivamente. Aprender a operar con vectores, bases, subespacios e aplicacións linearesiii) Comprensión da necesidade de reducir matrices a formas predeterminadas e práctica dos algoritmos.iv) Explotar o paralelismo sistema homoxéneo - subespazo, sistema arbitrario - variedade linear(rectas e planos).

Contidos

1.- Resolución de ecuacións lineares. Operacións con matrices. (Teoría:5 horas; Práctica:2 h.)1 ECT.

Resolución de sistemas de ecuacións lineares; o método de Gauss. Rango dunha matriz. Estruturadas solucións dun sistema. Aplicacións lineares de Rn en Rm e operacións con matrices. Inversa dunha aplicación linear e inversa dunha matriz. Matrices elementais, Matrices permutacion. Factorización dunha matriz invertible en producto de elementais. Factorización LU dunha matriz.

2.- Determinantes e as súas aplicacións. (Teoría: 4 horas; Práctica: 2 horas) 1 ECT.

Determinantes de orde 2 e 3. Definición xeral de determinante: propiedades. Determinante dun produto de matrices. Cálculo de determinantes de orde n. Inversa dunha matriz, regra de Cramer. Rango dunha matriz. Resolución de sistemas compatibles indeterminados. Determinantes e permutacións.

3.- Espazos vectoriais. (Teoría: 9 horas; Práctica: 3 horas). 1,75 ECT.

Definición de espazo vectorial: exemplos. Dependencia e independencia linear. Base e dimensión dun espazo vectorial. Cambio de base. Subespazos vectoriais. Intersección e suma de subespazos vectoriais.

4.- Aplicacións entre espazos vectoriais.Teoría:9 horas; Práctica: 3 horas). 1,75 ECT.

Definición de aplicación linear. Exemplos. Matriz dunha aplicación linear. Operacións con aplicacións lineares. Cambio de base para aplicacións lineares. Aplicacións lineares inxectivas e sobrexectivas. Rango e núcleo. Matrices equivalentes.

5.- Introducción o espazo afín. (Teoría: 2 horas; Práctica: 1 horas) ). 0,5 ECT.

Variedades lineares. Ecuacións lineares duha variedade. Posicións relativas de rectas no plano e de rectas e planos no espazo n-dimensional.


HERNÁNDEZ, E., Álgebra y Geometría, Ed. Addison-Wesley, UAM.1994 CASTELLET, M. I LLERENA, I., Álgebra Lineal y Geometría. Ed. Reverté, UAB. 1991. DE BURGOS, J., Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana, Ed. McGraw Hill . 1999. DE LA VILLA, A., Problemas de Álgebra con esquemas teóricos, Ed. GLACSA, I.C.A.I.1994. FERNÁNDEZ, V., Teoría Básica de Conxuntos, Ed. Anaya. 2003.

158

Competencias

Dominio das propiedades das matrices e da súa aplicación para formulación e resolución de sistemas de ecuacións lineares. Comprensión dos conceptos de dependencia e independencia linear: reinterpretación dos conceptos de sistema compatible, rango dunha matriz, matriz invertible, etc. Saber usar o método de Gauss para analizar e resolver sistemas de ecuacións, determinar o rango de matrices e, no seu caso invertelas. Saber usar matrices elementais na resolución de sistemas. Cálculo de factorizacións de matrices. Manexo da linguaxe de espazos vectoriais e aplicacións lineares: matriz asociada a unha aplicación linear, imaxe e núcleo, fórmula da dimensión. Cálculo de matrices dalgunhas aplicacións lineares: xiros no plano e no espazo, simetrías sobre espazos vectoriais. Manexar con precisión o concepto de base : dependencia das coordenadas dun vector da base. Saber calcular as ecuacións lineares dun subespacio e dunha variedade linear.


As clases de encerado, en grupo grande ou reducido, consistirán básicamente en docencia impartida polo profesor, adicadas a exposición dos contidos teóricos e a resolución de problemas ou exercicios. A veces o modelo aproximarase á lección maxistral e outras, sobre todo nos grupos reducidos, procurarase una maior implicación do alumnado. As clases con ordenador/laboratorio permitirán, nuns casos, a adquisición de habilidades prácticas e, noutros, servirán para a ilustración inmediata dos contidos teórico-prácticos, mediante a comprobación interactiva.Todas as tarefas do alumnado (estudo, traballos, programas de ordenador, lecturas, exposicións, exercicios, prácticas...) serán orientadas polo profesor nas sesións de titoría en grupo reducido.Con respecto ás titorías individualizadas ou en grupo moi reducido, atenderase o alumnado para discutir cuestións concretas en relación coas súas tarefas ou para tratar de resolver calquera outra dificultade do alumnado relacionada coa asignatura. A distribución semanal da asignatura será a seguinte: 2 horas de clase de teoría, 1 hora de clase de problemas e 1 hora de titoria (estas dúas eventualmente con ordenador).

Sistema de avaliación da aprendizaje

Ó longo do curso requirirase do alumnado a entrega de exercicios escritos correspondentes a cada un dos capítulos e a participación activa nas titorías, ademais realizarase unha proba escrita na mitade do cuadrimestre. A puntuación conxunta destas actividades representará o 25% da nota final. O 75 % restante sairá do exame final. Este exame será escrito e conterá preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios.


TRABALLO PRESENCIAL NO AULA Horas TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO Horas

Clases de encerado en grupo grande 30 Estudio autónomo individual ou en grupo 50

Clases de encerado en grupo reducido 10 Escritura de exercicios, conclusións ou outros trabajos

30

Clases con ordenador/laboratorio en grupo reducido -

5 Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio

10

Titorías en grupo reducido sin ordenador/laboratorio


-


3 Preparación de presentaciones orales, debates ou similar -

-

Titorías en grupos moi reducidos o individualizadas

2 Asistencia a charlas, exposicións ou outras actividades recomendadas -

-

Outras sesións con profesor Especificar:

- Otras tareas propuestas por el profesor Especificar

-

Total horas traballo presencial no aula


Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar as titorías tan pronto como xurdan dificultade

159

Nome da materia: Linguaxe matemática, conxuntos e númerosMódulo: Formación básica transversalCréditos: 6 ECTSCarácter: Básica. Rama de CienciasConvocatoria: 1 Cuadrimestre

Profesorado

Nome Categoria FunciónLeovigildo Alonso Tarrío Profesor Titular de Universidade Profesor CoordinadorManuel Ladra González Catedrático de Universidade Profesor


A linguaxe matemática, conxuntos e números figura no plano estudos da titulación encadrada dentro dos fundamentos matemáticos, polo que entre os seus obxectivos xerais figura o contribuír na formación do futuro titulado con aquilo que é característico do método científico, a saber, o razoamento matemático: conxecturar, comprobar e demostrar, a través da resolución de problemas. Sen embargo, o carácter formativo da matemática discreta e da lóxica non se reduce ó carácter formativo da matemática en xeral senón, máis concretamente, a que tanto a linguaxe como as ferramentas que nela se usan son as habituais nunha gran parte das materias da titulación e no desempeño profesional.Así, ademais de familiarizarse coa linguaxe matemática e co razoamento lóxico e os distintos métodos de probar, mellorando a capacidade de razoamento, de análise, de síntese e de formulación de argumentos, ensinarase a manexar os conceptos fundamentais da teoría de números e do razoamento combinatorio. Para resumir, diremos que os obxectivos son:- Contribuír á formación integral dos futuros titulados en matemáticas, posibilitándolle unha sólida e

axeitada formación en competencias propias da matemática discreta, da lóxica e da teoría de números.- Posibilitar o emprego de distintas representacións (simbólica, gráfica, matricial) e de distintos

razoamentos (indutivo, dedutivo) como medios para favorecer a integración de conceptos e procedementos derivados dos contidos propios da materia.- Alentar as actitudes de crítica ante diferentes tipos de solucións, de busca, de perseveranza e esforzo

ante as dificultades, de comunicación utilizando a terminoloxía axeitada.

Contidos

1. Introdución á lóxica matemática. (2 horas de teoría, 1 hora de prácticas; 0,5 créditos)1.1. Necesidade e importancia da linguaxe lóxica: Paraloxismos.1.2. Lóxica proposicional: Proposicións atómicas e moleculares.1.3. Táboas de verdade. Tautoloxías e contradicións.1.4. O proceso de dedución. Razoamentos e demostracións formais no cálculo proposicional.

2. Conxuntos. (4 horas de teoría, 2 horas de prácticas; 0,75 créditos)2.1. Conxuntos, elementos e pertenza. Subconxuntos: Partes dun conxunto.2.2. Representacións gráficas: Diagramas de Venn.2.3. Conxunto referencial. Operacións con conxuntos: Propiedades. A álxebra de Boole das

partes dun conxunto.2.4. Recubrimento e partición.

3. Relacións. (5 horas de teoría, 2 horas de prácticas; 1 crédito)3.1. Produto cartesiano.3.2. Noción de relación. Composición de relacións. Relación inversa.3.3. Representacións gráficas.3.4. Relacións binarias nun conxunto: Propiedades. Relación inducida.3.5. Relacións de equivalencia:

– Clases de equivalencia: Propiedades. Conxunto cociente.– Relacións de equivalencia e particións.

3.6. Relacións de orde: – Representacións gráficas: Diagramas de Hasse (árbores). – Orde total e parcial.– Elementos destacados nun conxunto ordenado.– Cadeas, retículos e conxuntos ben ordenados.

4. Aplicacións. (4 horas de teoría, 2 horas de prácticas; 0,75 créditos)4.1. Concepto de aplicación. Gráfica dunha aplicación: Exemplos.4.2. Tipos de aplicacións: Inxectiva, sobrexectiva e bixectiva.

160

4.3. Composición de aplicacións: Propiedades. Aplicación inversa.4.4. Factorización canónica dunha aplicación.4.5. Extensións dunha aplicación ao conxunto de partes.4.6. Os números naturais como clases de equipotencia de conxuntos finitos.4.7. Principio de indución. Operacións e orden en N.4.7. Conxuntos finitos e infinitos. 4.8. O axioma de elección e o lema de Zorn.

5. Combinatoria. (5 horas de teoría, 2 horas de prácticas; 1 crédito)5.1. Variacións. Variacións con repetición.5.2. Números factoriais. Permutacións. Permutacións con repetición.5.3. Números combinatorios. Combinacións. 5.4. Combinacións con repetición.5.5. Principio de inclusión-exclusión. Enumeración das aplicacións sobrexectivas.

6. Aritmética enteira y modular. (6 horas de teoría, 3 horas de prácticas; 1,25 créditos)6.1. Operacións binarias.6.2. Números enteiros e estrutura de (Z,+). Propiedades de Z.6.3. Divisibilidade. Números primos e o teorema fundamental da aritmética. 6.4. m.c.d.(a,b) e m.c.m.(a,b). Teorema de Bezout.6.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides estendido.6.6. Aritmética modular. Os aneis (Z/(n),+). Congruencias. Unidades módulo n. O teorema

de Euler-Fermat.6.7. Ideais coprimos: O teorema chinés dos restos. 6.8. Resolución de ecuacións diofánticas.6.9. Polinomios. O binomio de Newton.

7. Corpos clásicos de números. (4 horas de teoría, 2 horas de prácticas; 0,75 créditos)7.1. Construción de Q como corpo de fraccións de Z.7.2. Valor absoluto en Q: Inecuacións. 7.3. O sistema decimal de numeración. 7.4. O corpo dos números reais R: Propiedades.7.5. Conxuntos numerables e no numerables. O procedemento diagonal e a non numerabilidade

de R.7.6. O corpo dos números complexos C. Representación xeométrica dun número complexo.


Básica:

G. Mazzola, G. Milmeister e J. Weissmann, Comprehensive Mathematics for Computer Scientists 1: Sets and Numbers, Graphs and Algebra, Logic and Machines, Linear Geometry, 2ª ed., Springer-Verlag, 2006.K. H. Rosen, Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed., McGraw-Hill, 2004.

Complementaria:

M. Anzola e J. Caruncho, Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), BUMAR, 1982.T. S. Blyth e E. F. Robertson, Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.J. P. D’Angelo e D. B. West, Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.M. Hale, Essentials of Mathematics: Introduction to theory, proof, and the professional culture, The Mathematical Association of America, 2003.

Competencias

Coñecer e manexar conceptos e resultados básicos de aritmética, da linguaxe proposicional e razoamento lóxico. Comprender a necesidade das demostracións rigorosas en matemáticas e saber aplicar distintos métodos de demostración, incluíndo demostracións por indución e por redución ao absurdo. Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos. Coñecer a linguaxe básica da teoría de conxuntos e as propiedades fundamentais das relacións de orde e equivalencia e das aplicacións e saber manexar con soltura exemplos de todos estes conceptos. Comprender as propiedades dos coeficientes binomiais e saber resolver problemas combinatorios básicos. Coñecer as propiedades estruturais básicas dos números enteiros, racionais, reais e complexos. Saber resolver problemas sinxelos de aritmética modular e ecuacións diofánticas lineais. Coñecer as propiedades básicas dos polinomios e saber operar con eles. Comprender o concepto de numerabilidade e saber identificar conxuntos numerables e non numerables.


161

A distribución semanal da materia será a seguinte: 2 horas de clase de teoría, 1 hora de clase de problemas e 1 hora de titoría (estas dúas eventualmente con ordenador).As clases de taboleiro en grupo grande dedicaranse a exposición dos contidos fundamentais da disciplina, coa exposición da teoría, resolución de problemas e presentación dalgúns exercicios.As clases de taboleiro en grupo reducido tratarán de aspectos complementarios da materia, realización de problemas e exercicios e a súa corrección por parte do profesor.Nas titorías en grupo reducido o protagonismo fundamental será dos alumnos, que deberán presentar exercicios e exposicións dalgún tema relacionado coa materia.Nas titorías en grupo moi reducido farase un seguimento personalizado da aprendizaxe dos alumnos.


Ao longo do curso requirirase do alumnado a entrega de exercicios escritos, prácticas de ordenador e a participación activa nas titorías. A puntuación conxunta destas actividades representará o 25% de nota final. Realizarase unha proba escrita a finais de novembro que representará o 35% da nota final. O 40% restante sairá do exame final. No caso de non ter superado a proba intermedia, o exame final representará o 75% da cualificación global. As probas escritas conterán preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios.


TRABALLO PRESENCIAL NA AULA Horas TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO HorasClases de taboleiro en grupo grande 30 Estudio autónomo individual ou en grupo 50

Clases de taboleiro en grupo reducido 15Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos

40



-



-

Titorías en grupo reducido conordenador/laboratorio


-



-



-

Total horas traballo presencial no aula 60 Total horas traballo persoal do alumno 90

Horas presenciais:

30 horas de lousa en grupo grande (teoría).15 horas de lousa en grupo reducido (problemas).13 horas de titorías en grupo reducido.2 horas de titorías en grupo moi reducido.Total horas presenciais: 60

Horas de traballo persoal do alumno:50 horas Estudio autónomo individual ou en grupo.40 horas Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos.

Total volume de traballo: 150 horas.


Asistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar ás titorías tan pronto como xurdan dificultades.

Outras observacións.

162

Nome da materia: Integración de Funcións dunha Variable RealMódulo: Análise Matemática nunha VariableCréditos: 6 ECTSCarácter: Básica. Rama de CienciasConvocatoria: 2 Cuadrimestre

Profesores Encargados:Xan M. Caínzos Prieto.Rosa M. Trinchet Soria (Coordinadora).

PROGRAMA DA MATERIA

1. O concepto de integral de Riemann dunha función limitada nun intervalo compacto: formulacións equivalentes. Exemplos de funcións Riemann-integrablesParticións dun intervalo compacto. Sumas de Riemann. Concepto de integral de Riemann dunha función limitada nun intervalo compacto. Interpretación intuitiva da integral.Sumas superiores e sumas inferiores. Integral superior e integral inferior. Formulacións equivalentes doconcepto de función integrable.Exemplos de funcións integrables: integrabilidade das funcións continuas e das funcións monótonas.

2. Propiedades da integral e das funcións integrablesLinealidade da integral.Aditividade da integral respecto do intervalo de integración.Monotonía da integral. Acotación modular.Promedios. O Teorema do valor medio do Cálculo Integral.

3. O teorema fundamental do cálculoConcepto de primitiva. Primeira formulación do Teorema Fundamental (xeralización da regra de Barrow).A “función integral” dunha función Riemann integrable. Segunda formulación doTeorema Fundamental.Teoremas de cambio de variable e integración por partes para a integral de Riemann.

4. Aplicacións da integral de RiemannCálculo de áreas de certas figuras planas.Cálculo de volumes de sólidos de revolución.Cálculo de lonxitudes de gráficas de funcións regulares.Cálculo de áreas laterais de corpos de revolución.

5. A integral indefinidaConcepto e propiedades.Cálculo de primitivas por partes e por cambio de variable.Métodos de cálculo de primitivas elementais.


ALEKSANDROV, A. D., KOLMOGOROV, A. N., LAURENTIEV, M. A. Y OTROS: La Matemática: su contenido, métodos y significado. Alianza Universidad. 1985APOSTOL, T. M.: Análisis Matemático. Reverté. 1977BARTLE, R. G., SHERBERT, D. R.: Introducción al Análisis Matemático de una variable (2ª Ed.). Limusa Wiley. 1999DURÁN GUARDEÑO, A. J.: Historia del Cálculo con personajes. Alianza. 1996LARSON, R., HOSTETLER, R. P., EDWARDS, B. H.: Cálculo (8ª Ed.). McGraw-Hill. 2006PISKUNOV, N.: Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simón. 1978SPIVAK, M.: Calculus. Reverté. 1978Obxectivos• Coñecer os principais problemas que orixinaron o Cálculo Integral e asrelacións entre eles, así como recoñecer outros problemas para cuxa resolución sexa axeitado o uso deste Cálculo.• Coñecer con certa profundidade os contidos teóricos do curso e ser quen derelacionalos e saber aplicalos na práctica en problemas concretos de diferentes eidos. En concreto:

Coñecer o concepto de integral, nas distintas vertentes. Comprender osignificado das súas principais propiedades, así como as ideas das probas dos resultados teóricos que xustifican estas propiedades e ser quen de escribir rigurosamente algunha destas probas. Comprender a diferencia entre as afirmacións “ser integrable no sentido de Riemann” e “ter primitivas”.Coñecer algúns métodos básicos para o cálculo de integrais, tanto “deRiemann” coma “indefinidas” (integración por partes; por cambio de variable; algúns métodos de cálculo de primitivas elementais, ...) e aplicar estes métodos na resolución de problemas de distinta natureza (problemas xeométricos; da Física, ...).Relacionar o Cálculo Integral co Cálculo Diferencial.

163

• Manexar algúns programas sinxelos do paquete informático Maple 11 (oualgún semellante) para realizar distintas actividades relacionadas cos contidos damateria.

CompetenciasAs competencias obvias que se derivarán da consecución dos obxectivosexpostos.

Desenvolvemento da materia metodoloxíaOs contidos da materia son susceptibles de seren desenvolvidos en diferentesordes e, incluso, de seren mesturados. En calquera caso, a orde exposta no programa seguirase con flexibilidade ó longo do curso, segundo as diversas circunstancias o aconsellen, nas horas presenciais destinadas pola Facultade a estes efectos.O desenvolvemento da materia tenderá a potenciar tanto a propia aprendizaxedos alumnos coma a avaliación continuada, mediante numerosas propostas de traballo (individual e/ou en grupo, e de distinta natureza e extensión) ó longo do cuadrimestre. Todos estes traballos serán de carácter voluntario e, as veces, na medida das posibilidades horarias, proporanse para facer e entregar nalgunha das “horas presenciais”, sen previo aviso.Para facilitar a aprendizaxe, autónoma ou non, elaboraranse materiais didácticos (en galego) de diverso tipo que, en ningún caso, pretenden subtituir o uso dos libros. Fundamentalmente:Notas extensas sobre os contidos teóricos do programa, con problemas e cuestións intercalados.Notas complementarias, de apoio para a realización de actividades co ordenador, nas que se atoparán, entre outras cousas: exemplos; exercicios resoltos co Maple; cuestións e suxerencias de actividades de autoavaliación e, fundamentalmente, programas sinxelos para a realización de actividades relacionadas coa materia.Estes materiais serán entregados nas clases ós alumnos asistentes e, en calquera caso, estarán á disposición de tódolos alumnos.

AvaliaciónFacilitarase en grande medida a avaliación continuada para aqueles alumnos que así o desexen, de xeito que os alumnos habitualmente asistentes, participativos e traballadores terán a oportunidade de acadar, mediante as actividades que teñan realizado, unha porcentaxe non inferior ó 25% da cualificación final.En calquera caso, realizarase un exame final, nas datas destinadas a tal fin pola Facultade, no que calquera alumno, teña ou non traballado, terá a posibilidade de acadar a máxima cualificación.

TEMPO DE ESTUDOS E DE TRABALLO PERSOAL QUE DEBE DEDICAR UN ESTUDANTE PARA SUPERALA

RecomendaciónsTer cursado a materia Introdución á Análise Matemática e cursar simultaneamente, con dedicación, a materia Continuidade e Derivabilidade de funcións dunha variable real.

164

Nome da materia: Química BásicaMódulo: Formación básica transversalCréditos: 6Carácter: básica da rama de cienciasConvocatoria: 1º cuadrimestre

Profesorado:

Nome Categoría FunciónJavier Martínez Rodríguez Contratado CoordinadorRufina Bastida de la Calle CatedráticaTeresa Pereira Lorenzo Profesora TitularJosé Manuel Vila Abad CatedráticoEduardo Gayoso Andrade Profesor Titular

Obxectivos da materia:

Introducir os conceptos básicos sobre a estructura electrónica dos átomos e relacionar as propiedades periódicas coa estructuraEntender o concepto de enlace químico e os distintos modelos que o describenDiscutir as propiedades das moléculas e as interaccións intermoleculares sobre a base da súa estructuraAdquirir os coñecementos básicos da TermodinámicaAdquirir coñecementos suficientes acerca dos fundamentos teóricos dos distintos equilibrios químicos que teñen lugar en disolución acuosa

Contidos:

Lección 1. Bases da moderna teoría do átomo. Aplicación elemental da mecánica ondulatoria. Os números cuánticos. Estructuras dos átomos polielectrónicos. Periodicidad das estructuras electrónicas atómicas. Enerxía de ionización. Electroafinidade. Táboa periódica dos elementos.

0,3 créditos

Lección 2. Planteamento xeral do enlace. Enlace en agrupacións atómicas discretas: moléculas. Introducción á xeometría molecular: algúns ejemplos significativos. Moléculas diatómicas: TOM, aproximación CLOA. Estructuras electrónicas de algunhas moléculas homonucleares. Polaridade de enlace e electronegatividade.Lección 3. Introducción ó tratamento de moléculas poliatómicas. Descrición dos aspectos estructurais das moléculas poliatómicas: hibridación. Aproximación con carácter predictivo: TRPECV. Polaridade e momento dipolar en sistemas poliatómicos.

0,5 créditos

Lección 4. Enlace iónico: aspectos estructurais. Consideracións enerxéticas: enerxía reticular.

0,2 créditos

Lección 5. Forzas de enlace débiles, forzas intermoleculares: de orientación, de inducción y de dispersión. Enlace de hidróxeno.

0,1 créditos

Lección 6. Estados de agregación da materia. Descripción cinético-molecular de gases, líquidos y sólidos

0,1 créditos

Lección 7. Fundamentos da Termodinámica química. Cambios de calor y termoquímica. Espontaneidad de los cambios físicos y químicos

0,2 créditos

Lección 8. Equilibrio químico en disolución. Ácidos e bases: definicións. Forza ácido-base. Constantes de acidez. Equilibrio de autodisociación da auga. Exemplos específicos de ácidos e bases fortes e débiles.

0,5 créditos

Lección 9. Comportamento das sales en disolución acuosa: hidrólise. Disoluciónsreguladoras.

0,4 créditos

Lección 10. Reaccións de oxidación-reducción. Aspectos cualitativos e revisión de conceptos fundamentais. Aspectos cuantitativos. Potenciais redox. Efectos da concentración. Exemplos específicos de oxidantes e reductores.

0,5 créditos

Programa de prácticas:Práctica 1. Separación dos compoñentes dunha mezclaPráctica 2. Precipitación e filtraciónPráctica 3. Equilibrio químico. Principio de LeChatelier

Bibliografía básica e complementaria.

Atkins, P. e Jones, L.: Principios de Química, 3ª ed.; Ed. Médica Panamericana, 2006Chang, R: Química, 9ª ed.; McGraw-Hill, 2007Gillespie, R.J., Humphreys, D.A., Baird, N.C. e Robinson, E.A.:Química; Reverté, 1990Kotz, J.C. e Treichel, P.M.: Química y reactividad química, 5ª ed.; Thomson, 2003

165

Masterton, W.L. e Hurley, C.N.: Química. Principios y reacciones, 4ª ed.; Paraninfo Cengage Learning, 2003

Petrucci, R.H., Harwood, W.S. e Herring, F.G.: Química General, 8ª ed.; Prentice Hall, 2003Whitten, K.W., Davis, R.E. e Peck, M.L.: Química General, 5ª ed.; McGraw-Hill1998

Competencias.

Competencias xerais:Coñecer os conceptos e métodos básios e os resultados más importantes da Química, tendo certa perspectiva histórica do seu desenvolvementoComunicación escrita e oral de coñecementos, procedementos, resultados e ideas xerais en QuímicaCapacidade de aprendizaxe autónomo, con organización de tempo e recursos, sobre novos coñecementos e técnicas de calquera disciplina científica ou tecnolóxica

Competencias específicas:Comprender o concepto de orbital atómico e relacionar os valores dos números cuánticos coas propiedades e enerxías de ditos orbitaisEscribir as configuracións electrónicas dos átomos.Debuxar a estructura de Lewis de moléculas e ions. Predicir a súa xeometría e o seu carácter polar ou apolar.Describir a estructura dunha molécula poliatómica en termos de orbitais híbridosUtilizar a teoría de orbitais moleculares para describir o enlace en moléculas diatómicas.Coñecer os distintos tipos de forzas intermoleculares e explicar como estas forzas determinan as propiedades das moléculas.Coñecer os fundamentos teóricos da TermodinámicaCoñecer os conceptos de ácido, base e pHRealizar os cálculos de solubilidade en sistemas heteroxéneos, tendo en conta os factores que poidan modificala (efecto de ión común, efecto salino), así como a influencia do pH e da formación de complexos.Coñecer e manexar o material de laboratorioCoñecer as normas básicas de seguridade no laboratorio

Competencias transversais:Comprender temas químicos de carácter xeralUtilizar bibliografía e ferramentas de búsqueda de recursos bibliográficos xerais de QuímicaLer textos científicos de carácter químico xeral, tanto na lingua propia como en outras, particularmente en inglésAprendizaxe de traballo en grupo interdisciplinar, tanto sobre aspectos teóricos como prácticos

Metodoloxía de ensinanza.

Durante o desenvolvemento dos temas do programa da materia, incluiranse problemas de tipo práctico a medida que se introducen novos conceptos e ecuacións, con obxecto de manexar os aspectos cuantitativos. Ao final de cada tema propoñerase unha colección de problemas para resolver nos seminarios, coa participación dos alumnos.

Sistema de avaliación e aprendizaxe.

A cualificación de cada alumno realizarase mediante avaliación continua e realización dunha proba final. A avaliación continua farase por medio de controles escritos, traballos entregados, participación na aula, prácticas de laboratorio e titorías. A cualificación do alumno non será inferior á da proba final nin á obtida ponderándola coa avaliación continua, con contribucións que se indican a continuación.A avaliación deberá apoiarse principalmente na realización dunha proba final escrita e común para todos os alumnos (60%). Terase tamén en conta a participación individualizada dos alumnos nas clases e seminarios e na realización dos diferentes exercicios que se presentarán ao longo do curso (20%) e a realización dunha proba ó remate das prácticas de laboratorio (20%).

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala.

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA


Clases de pizarra para grupo grande

30 Estudio autónomo, individual ou en grupo 50

Clases de pizarra para grupo reducido

6 Escritura de exercicios, conclusións e outros traballos

15


9 Programación/experimentación e outros traballos en ordenador/laboratorio

25

166


8


5


2



Recomendación para o estudo da materia.

Aconséllase a asistencia ás clases e o seguimento das explicacións, coa utilización dos libros de texto recomendados e coa realización dos exercicios, traballos e prácticas propostos.

167

Nome da materia: Topoloxía dos Espazos EuclidianosMódulo: TopoloxíaCréditos: 6Carácter: Básica da Rama de CienciasConvocatoria: 2º cuadrimestreCurso: 2008-09

Profesorado

Nome Categoria FunciónEduardo García Rio Titular Profesor, Grupo BXosé M. Masa Vázquez Catedrático Profesor, Grupo AElena Vázquez Abal Titular Profesora, Grupo B

Obxectivos da materiaNa base do concepto de distancia enc ontrase, por exemplo, o concepto de converxencia de sucesións de puntos e os seus límites, e un pode, tomando estas ideas como base, prescindir da noción de distancia.

Felix Hausdorf

O estudo da topoloxía da recta real iniciouse na materia de Introdución a Análise Matemática e, no que fai a continuidade, desenvólvese na materia Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variábel real. Agora, nesta materia, vaise abordar o estudo da topoloxía non soamente da recta real, mais tamén dos espazos euclidianos de calquera dimensión. Ademais, farase un tratamento máis sistemático das cuestións consideradas.Trátase de estudar conceptos, mçetodos e propiedades métricos e, fundamentalmente, topolóxicos en R^p, partindo da súa estrutura euclidiana. Os principias conceptos que se van estudar son os de completitude, continuidade, conexidade e compacidade, facendo especial fincapé nas técnicas de converxencia de sucesións, que son as técnicas xa empregadas nos estudos previos.

Contidos

Tema 1 Os espazos euclidianos (0,5 créditos)1.1 Produto escalar e norma euclidiana1.2 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski1.3 Distancia euclidiana. Propiedades; a desigualdade triangular1.4 Bólas abertas1.5 Distancia entre conxuntos. Conxuntos limitados. DiámetroTema 2 A topoloxía do espazo euclidiano (0,75 créditos)2.1 Definición de conxunto aberto2.2 Propiedades características dos conxuntos abertos2.3 Conxuntos pechados.2.4 Espazos e subespazos. Abertos relativosTema 3 Converxencia (0,5 créditos)3.1 Sucesións. Sucesións converxentes3.2 Converxencia e topoloxía: puntos de acumulación.Tema 4 Completitude (0,75 créditos)4.1 Sucesións de Cauchy4.2 A completitude de R: principio do supremo e postulado dos intervalos encaixados4.3 Teorema de Bolzano-Weierstrass4.4 Completitude do espazo euclidianoTema 5 Continuidade (1 crédito)5.1 Definición de continuidade5.2 Composición de funcións continuas. Restrición5.3 Continuidade secuencialTema 6 Continuidade Global (0,5 créditos)6.1 Caracterización global da continuidade6.2 Función combinadaTema 7 Propiedades topolóxicas (0,25 créditos)7.1 Homeomorfismos.7.2 Propiedades topolóxicasTema 8 Conexidade (0,75 créditos)8.1 Espazos conexos8.2 O Teorema do valor intermedioTema 9 Compacidade (1 crédito)9.1 Compacidade. Compacidade secuencial9.2 Caracterización dos conxuntos compactos no espazo euclidiano

168

9.3 O Teorema do máximo e do mínimo9.4 Continuidade uniforme9.5 Conxuntos compactos e conexos


1. BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 19802. BUSKES, G. AND VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 19963. CHINN, W.G. and STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.4. MASA VÁZQUEZ, X.M. Topoloxía xeral. Introducción aos espazos euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, 1. Universidade de Santiago de Compostela, 1999.5. SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. ClarendonPress. Oxford, 1975.

Competencias

Unha das ferramentas que utilizaremos de forma máis reiterada ser a a converxencia de sucesións. Esa será a primeira competencia curricular que sinalamos, que podería enunciarse como capacidade de aplicar a converxencia de sucesións á caracterización de propiedades topolóxicas. Isto require unha boa comprensión do concepto de límite, primeiro; require ser capaz de identificar sucesións converxentes; require ser capaz de construír sucesións converxentes relevantes para a cuestión en estudo; ser capaz, en fin, de relacionar a convergencia coa propiedade considerada, ideando a oportuna demostración. A segunda competencia curricular ten que ver coa continuidade das funcións máis comúns no ámbito dos espazos euclidianos. Trátase de identificar funcións continuas ou discontinuidades de funcións, de describir funcións xeometricamente, dispor de exemplos de funcións que ilustren propiedades diversas, ou expresar analiticamente transformacións xeométricas sinxelas. Os resultados máis profundos do programa relaciónanse cos conceptos de compacidade e conexidade. É tamén o marco no que se obteñen as aplicacións máis fortes da teoría desenvolta. Coñecer esta teoría abstracta e comprender o papel determinante que estas nocións desempeñan nas aplicacións consideradas é a terceira competencia curricular. Na súa expresión máis sinxela, o resultado típico dirá que toda función real continua con dominio un intervalo pechado alcanza o máximo, o mínimo e calquera valor intermedio. Aprenderase que as únicas propiedades necesarias do intervalo son a conexidade e a compacidade. E unha mostra dun dos aspectos máis característicos da matemática: como a solución de problemas, as veces de formulación simple, require a miúdo de teorías moi abstractas. Ademais destas competencias estritamente curriculares, no curso vanse traballar outras dúas. A primeira céntrase na linguaxe das matemáticas, nunha dobre vertente: comprender os enunciados cos que se traballa, diferenciar hipóteses, tese e demostración, comprender o valor dos exemplos e dos contra-exemplos,... Doutra parte trátase de incidir na expresión matemática formal, acadar unha escritura medianamente correcta, evitando mesturar a linguaxe informal coa sintaxe lóxica formal. A segunda competencia non curricular terá que ver coas estratexias de aprendizaxe, tratando de inculcar a práctica de pensar por un mesmo, por unha mesma, do esforzo na comprensión, analizando exemplos concretos, do empeño na resolución de exercicios, evitando a dinámica de buscar onde ler a solución,adquirir o hábito do esforzo por encontrar o camiño, de xeito que cada estudante poida chegar a elaborar demostracións propias de cuestións sinxelas, non porque as recorde, senón pola pericia que teña acadado.


O traballo na aula co grupo grande consiste, fundamentalmente, en docencia impartida polo profesor. De ordinario, nunha mesma sesión adicarase un tempo a exposición ou ilustración dalgunha cuestión teórica, e outro tempo a resolución de problemas ou exercicios. Ás veces, o modelo achegarase ao da lección maxistral, ás veces procurarase a implicación de todo o alumnado na discusión das cuestións suscitadas. Na docencia presencial en grupos reducidos preténdese unha maior participación activa das e dos estudantes. Poderá ter formatos diversos, ás veces abordaranse cuestións preparadas polos estudantes, non explicadas previamente; ás veces adicarase á discusión monográfica de cuestións de difícil comprensión. . . En xeral, terá unha orientación máis práctica que as sesións en grupo grande. Nas titorías na aula darase preferencia a exposición por parte das e dos estudantes. Adicaranse, fundamentalmente, a resolver os exercicios e problemas propostos.

Eventualmente, demandarase a entrega por escrito dalgunha cuestión ou exercicio, ou do resumo ou comentario dalgunha lectura proposta. As titorías en grupos moi reducidos adicaranse, de forma individual ou en grupos, a resolver as dúbidas e dificultades particulares que vaian xurdindo, e ao seguimento individualizado de cada estudante.


Haberá un dobre método de avaliación: a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o

169

exame, fixado no calendario da facultade, de realización obrigatoria; e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, baseada principalmente na participación de cada estudante na aula. A cualificación da materia será a do exame incrementada, no seu caso, en función dunha avaliación continuada positiva. A forma concreta será explicitada polo profesorado de cada grupo, respectando o criterio xeral establecido na memoria do plan de estudos. O exame terá unha parte de teoría, que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. O resto consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso. Indicativamente, cada parte terá un peso de entre un 40 e un 60% do total.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicarun estudante para superala

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA Horas TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO HorasClases de encerado en grupo grande 30 Estudio autónomo individual ou en grupo 65


15


-Programación/experimentación ou otros traballos en ordenador/laboratorio

-

Títorías en grupo reducido sin ordenador/laboratorio


10

Tutorías en grupo reducido con ordenador/laboratorio


-

Titorías en grupos muy reducidos ou individualizadas

2Asistencia a charlas, exposicións ou otras actividades recomendadas

-

Outras sesións con profesor(Especificar)

-Outras tarefas propostas polo profesor(Especificar)

-


60Total horas trabajo personal del alumno

90


No curso adícase moito tempo a resolución de exercicios. Obviamente, considérase un aspecto fundamental na aprendizaxe da materia. Isto non debe conducir a pensar que a teoría ten menos importancia: ben ao contrario, a teoría e a pedra angular da formación. Haber a que manexar certo número de definicións e resultados, que se terán que asimilar nun período breve de tempo. As demostracións dos resultados axudan a comprendelos mellor e permiten familiarizarse coas técnicas máis importantes; deben constituír un dos compoñentes fundamentais do estudo da materia. O outro, certamente, ser a o empeño na resolución dos exercicios.

Outras observacións

Existirá un curso virtual de apoio a docencia desta materia.

171

LICENCIATURAEN

MATEMÁTICAS

173

Grigori Perelman(Leningrado, hoxe San Petersburgo, Rusia, 1966)

Medalla Fields 2006

Perelman naceu en 1966 en Leningrado (agora San Petersburgo). Doutorouse na Universidade Estatal de San Petersburgo. Nos anos 90, trasladouse a Estados Unidos, desfrutando dunha bolsa Miller na Universidade de California (Berkeley). Durante anos, foi investigador no Instituto Steklov de Matemáticas en San Petersburgo. En 1994 foi conferenciante invitado no ICM (International Congress of

Mathematicians) en Zurich.

O recoñecemento a Perelman débese á súa demostración da chamada conxectura de xeometrización de Thurston, e á súa proposta, feita en 2003, para a resolución dun dos chamados “sete problemas do Milenio”, a conxectura de Poincaré. Ata o momento ninguén puido atopar un erro na súa solución.

Perelman é un dos gañadores da Medalla Fields 2006 “polas súas contribucións á xeometría e os seus revolucionarios enfoques da estrutura analítica e xeométrica do fluxo de Ricci”. Esta condecoración debería ser entregada durante a celebración do ICM 2006 en Madrid, pero Perelman renunciou a tal honor e non asistiu a este Congreso.

175

Información XeralLICENCIATURA

177

Plano de estudos

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

R.D. 1416/1990 do 26 de outubro Complementos de Formación: Orde 10 de decembro de 1993

(BOE 27 de decembro de 1993)

PLAN 2000 Resolución 1 de marzo de 2001 (BOE 16 de marzo de 2001)

PRIMEIRO CICLO

Curso Troncais Obrigatorias Optativas Libre Config. TotalPrimeiro 42 18 - - 60Segundo 43,5 9 - 7,5 60Terceiro 22,5 31,5 - 6 60Total 108 58,5 - 13,5 180

Para supera-lo 1º ciclo é obrigatorio ter superadas tódalas materias (troncais e obrigatorias) do 1º ciclo máis un total de 13,5 créditos en materias de libre configuración.

Para acceder ó 2º ciclo, os alumnos de 1º ciclo deberán ter superados cando menos 100 créditos no conxunto de materias troncais e obrigatorias do 1º ciclo. Tamén poderán acceder ó 2º ciclo os que estean en posesión do título de Diplomado en Estatística, cursando, de non telo feito antes, 24 créditos distribuidos entre as materias: Xeometría Afín e Proxectiva, Métodos Numéricos, Teoría Global de Superficies e Elementos de Variable Complexa.

SEGUNDO CICLO

Curso Troncais Obrigatorias Optativas Libre Config. TotalCuarto 42 6 4,5 7,5 60Quinto 5 - 46 9 60Total 47 6 50,5 16,5 120TITULO 155 64,5 50,5 30 300

Equivalencias en créditos Outorgaranse por equivalencia créditos a:

• Prácticas en empresas e Institucións públicas ou privadas:30 créditos optativos ou de libre elección (30 horas = 1 crédito).

• Traballos academicamente dirixidos e integrados no plano de estudios:15 créditos optativos ou de libre elección.

• Estudios realizados no marco de convenios internacionais ou nacionais subscritos pola Universidade:60 créditos troncais, obrigatorios, optativos ou de libre elección (aprox.1 semana = 2 créditos).

Ordenación Temporal dos Estudios Establécense 3 orientacións. Configuranse do seguinte xeitoOrientacións Crd. Vinculados Crd. Non VinculadosEstatística e Inv. Operativa 39 12Matemática Aplicada 36 15Matemática Pura 30 21

O alumno pode optar por non cursar ningunha delas.

178

A vinculación de materias troncais, obrigatorias e optativas a cursos e cuadrimestres é orientativa.

PRIMEIRO CICLOCENTRO 416 - SECCIÓN 0 - PLANO 12 - ESPEC. 00

1º CURSO

1. Suprímese a oferta docente de todas as materias de 1º curso do plano actual, incluídos os grupos de “repetidores”. Permanece o dereito a exame nestas materias só nos cuadrimestres de oferta propia do plan (non no cuadrimestre de “repetidores”).

2. Como medida de apoio aos alumnos que decidan continuar estudos da Licenciatura e non adaptarse aos estudos de Grao, propónse un apoio titorial de 2 horas semanais nas materias “Álxebra Linear e Multilinear”, “Introdución ao Cálculo Numérico” e “Xeometría Métrica”, programada nun único grupo e no cuadrimestre da oferta normal do plan. No caso das materias “Informática”, “Topoloxía dos Espazos Euclidianos”, “Introdución á Análise Matemática” e “Cálculo Diferencial e Integral”, como medida de apoio titorial permitiríase aos alumnos repetidores asistir ás clases e actividades das materias correspondentes do plano novo: “Informática” - > “Informática”“Topoloxía dos Espazos Euclidianos” -> “Topoloxía dos Espazos Euclidianos”“Introdución á Análise Matemática” - > “Introdución á Análise Matemática”“Cálculo Diferencial e Integral” - > “Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real” – “Integración de funcións dunha variable real”

2º CURSOTRONCAIS

201 Análise numérica matricial (2º C) 3 3 6202 Diferenciación de funcións de varias variables reais (1º C) 4,5 3 7,5

203Integración de funcións de varias variables reais (2º C)

4,5 3 7,5

204Introdución ás ecuacións diferenciais ordinarias(2º C)

4,5 3 7,5

205 Introdución ao cálculo de probabilidades (2º C) 3 3 6206 Xeometría afín e proxectiva (1º C) 6 3 9

OBRIGATORIAS211 Topoloxía (1º C) 6 3 9

3º CURSOTRONCAIS

301 Curvas e superficies (1º C) 6 3 9302 Elementos de variable complexa (1º C) 3 3 6303 Inferencia estatística (2º C) 4,5 3 7,5

OBRIGATORIAS311 Introducción á álxebra (2º C) 4,5 3 7,5312 Métodos numéricos (1º C) 3 3 6313 Series de Fourier e introdución ás E.D.P. (2º C) 3 1,5 4,5314 Teoría global de superficies (2º C) 4,5 3 7,5315 Vectores aleatorios (1º C) 3 3 6

179

SEGUNDO CICLOCENTRO 416 - SECCIÓN 0 - PLANO 12 - ESPEC. 00

4º CURSOTRONCAIS

401 Álxebra (1º C) 6 3,5 9,5402 Análise Funcional en Espacios de Banach (2º C) 5 2,5 7,5403 Cálculo Numérico (2º C) 6 3,5 9,5404 Ecuacións Diferenciais Ordinarias (2º C) 4 2 6405 Xeometría e Topoloxía (1º C) 6 3,5 9,5

OBRIGATORIAS411 Teoría da Medida (1º C) 4,5 1,5 6

OPTATIVAS 421 Física Xeral (2º C) 3 1,5 4,5422 Programación Avanzada (2º C) 3 1,5 4,5

OPTATIVAS VINCULADASEspec. 01 OP. ESTATÍSTICA E INVEST. OPERATIVA461 Teoría da Probabilidade (2º C) 4,5 3 7,5Espec. 02 OP. MATEMÁTICA APLICADA471 Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo (1º C) 3 1,5 4,5472 Modelos Matemáticos (2º C) 4,5 3 7,5Espec. 03 OP. MATEMÁTICA PURA481 Álxebra Conmutativa (2º C) 3 3 6482 Grupos de Lie (2º C) 3 3 6

5º CURSOTRONCAIS

501 Variable Complexa (1º C) 3 2 5OPTATIVAS NON VINCULADAS

521 Álxebra Computacional (2º C) 3 3 6522 Álxebra Homolóxica (1º C) 3 3 6523 Álxebra Non Conmutativa (2º C) 3 3 6524 Ampliación de Investigación de Operacións (2º C) 3 3 6525 Análise Multivariante (2º C) 4,5 3 7,5526 Análise Numérica de Grandes Sistemas (1º C) 3 3 6527 Astronomía Xeral (2º C) 3 3 6528 Curvas Alxébricas (1º C) 3 3 6529 Ecuac. en Difer. Introd. á Dinámica Discreta (1º C) 3 3 6531 Física Matemática (2º C) 3 3 6532 Funcións de Varias Variables Complexas (2º C) 3 3 6533 Fundamentos de Astronomía (1º C) 3 3 6534 Historia da Matemática (1º C) 3 1,5 4,5535 Homotopía (1º C) 3 3 6536 Informática Aplicada ao Cálculo Científico (1º C) 3 3 6537 Introd. ao Cálculo Vectorial e Paralelo (2º C) 3 3 6538 Lóxica Matemática (2º C) 3 3 6539 Mecánica Celeste (2º C) 3 3 6540 Métodos de Matemática Aplicada (2º C) 3 3 6541 Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica (1º C) 3 3 6542 Modelado de Problemas Industriais (2º C) 3 3 6543 Modelos Temporais (2º C) 3 3 6544 Mostraxe (2º C) 4,5 3 7,5545 Teoría Clásica de Números (2º C) 3 3 6546 Teoría da Decisión (2º C) 3 3 6

180

547 Teoría de Números Alxébricos (1º C) 3 3 6548 Teoría de Xogos (2º C) 4,5 3 7,5549 Teoría Espectral e Ec. Integrais (2º C) 3 3 6550 Topoloxía Diferencial (2º C) 3 3 6552 Xeometría de Riemann (2º C) 3 3 6

OPTATIVAS VINCULADASEspec. 01 OP. ESTATÍSTICA E INVEST. OPERATIVA561 Estatística Matemática (1º C) 4,5 3 7,5562 Métodos de Regresión (1º C) 3 1,5 4,5563 Procesos Estocásticos (1º C) 3 1,5 4,5564 Programación Linear e Enteira (1º C) 3 3 6565 Simulación (2º C) 1,5 3 4,5566 Técnicas de Optimización da Xestión (2º C) 3 1,5 4,5Espec. 02 OP. MATEMÁTICA APLICADA571 Diferencias Finitas en E.D.P. (1º C) 3 3 6572 Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P. (1º C) 3 3 6573 Ecuacións en Derivadas Parciais (1º C) 3 3 6574 Elementos Finitos en E.D.P. (2º C) 3 3 6Espec. 03 OP. MATEMÁTICA PURA581 Espacios Vectoriais Topolóxicos e Distribucións (1º C) 3 3 6582 Representacións de Grupos e Álxebras (1º C) 3 3 6583 Sistemas Dinámicos (2º C) 3 3 6584 Topoloxía Alxébrica (2º C) 3 3 6585 Topoloxía de Superficies (1º C) 3 3 6586 Xeometría Alxébrica (2º C) 3 3 6

-----------

Materias Optativas

Sen prexuizo da súa inclusión en cursos, as materias optativas poderanse elixir libremente dentro das ofrecidas en cada ciclo.

Requisitos

Para matricularse de materias do 2ºciclo deberánse reuni-los requisitos de acceso ó inicio do curso. Non obstante, de reunilos no 2ºcuadrimestre, poderiase amplia-la matrícula pero só para materias do 2ºcuadrimestre

Complementos de formación

Para o acceso ó 2ºciclo dende outras titulacións ou outros primeiros ciclos:para os Diplomados en Estatística

Créditos Totais801 Xeometría Afín e Proxectiva (1º C.) 6802 Métodos Numéricos (2º C.) 6803 Teoría Global de Superficies (2º C.) 6804 Elementos de Variable Complexa (1º C. ) 6

181

Materias de libre elección

A normativa sobre as Materias de Libre Elección está recollida nas “Normas para a Xestión Académica” (http://www.usc.es/export/sites/default/gl/normativa/descargas/normasxestionacademica.pdf).A Xunta de Goberno aprobará anualmente un catálogo de materias excluidas do ámbito de libre elección.

Solicitude:

Tódolos alumnos, agás os de primeiro curso, que desexen cursar materias de libre configuración curricular deberán presentar unha solicitude nas Unidades Centralizadas de Xestión Académica.O alumno indicará na solicitude por orde de preferencia, as materias que desexa cursar entre as ofertadas para o curso 08/09.

Materias de libre elección:

Terán a consideración de materias de libre configuración curricular ós efectos da presente convocatoria, tódalas materias incluidas na oferta aprobada pola Xunta de Goberno.Para cada titulación quedarán excluidas aquelas materias impartidas noutros planes de estudio de contido idéntico ou moi semellante ás propias do plano de estudios que está a cursa-lo alumno.Todas estas materias terán limitación de prazas.

Materias de libre elección impartidas na Facultade de Matemáticas:

Primeiro cuadrimestre:

CriptografíaIntrodución á Lóxica FormalXeometría e Civilización

Segundo cuadrimestre:

Códigos Correctores de ErrosDidáctica da Matemática en SecundariaUnha Andaina pola Matemática

183

Terence Tao (Adelaide, Austral ia, 1975)

Medalla Fields 2006

Terence Tao naceu en Adelaide, Australia, en 1975. Doutorouse en 1996 na Universidade de Princeton. Foi profesor de matemáticas na Universidade de Los Angeles de California. Entre as súas distincións están unha bolsa da Fundación Sloan, unha bolsa da Fundación Packard e unha bolsa-premio do Instituto Clay de Matemáticas. Obtivo o premio Salem (2000), o premio Bocher da

American Mathematical Society (AMS) (2002) e o premio Conant da AMS (2004) conxuntamentecon Allen Knutson.

En 2006, durante a celebración do ICM en Madrid, foille concedida a Medalla Fields “polas súas contribucións ás ecuacións en derivadas parciais, combinatoria, análise harmónica e teoría de números aditiva”, afrontando todo, segundo se manifesta na concesión do premio, cunha orixinalidade fóra do común e unha grande espontaneidade.

185

ProgramaciónDocente

Curso 2008-2009LICENCIATURA

187

CALENDARIO ACADÉMICO DO CURSO 2008-2009

1.- O período lectivo do Curso Académico comprenderá dende o 1 de outubro de 2008 ao 30 desetembro de 2009. Non será lectivo o mes de agosto, nin os días festivos.

2.- Actividade académica dos planos de estudos estructurados en créditos:

Duración (inclusive as datas mencionadas):Primeiro cuadrimestre: dende o 1 de outubro de 2008 ao 27 de xaneiro de 2009.Segundo cuadrimestre: dende o 25 de febreiro de 2009 ao 10 de xuño de 2009.

Probas de avaliación (inclusive as datas mencionadas):

1ª convocatoria ordinaria:-Primeiro cuadrimestre: entre o 29 de xaneiro e o 20 de febreiro de 2009.-Segundo cuadrimestre: entre o 11 de xuño e o 3 de xullo de 2009.

2ª convocatoria ordinaria (setembro): entre os días 1 e 15 de setembro de 2009.

Convocatoria extraordinaria de fin de carreira: entre decembro e xaneiro, según determinen os centros.

Entrega de actas (data límite de sinatura das actas):

1ª convocatoria ordinaria:-Primeiro cuadrimestre: ata o 9 de marzo de 2009.-Segundo cuadrimestre: ata o 23 de xullo de 2009.

2ª convocatoria ordinaria (setembro): ata o 2 de outubro de 2009.

Convocatoria extraordinaria de fin de carreira: ata quince días despois de finalizado o período de exames determinado polo centro.

3.- As actividades académicas docentes e os exames de tódolos planos interrumpiranse dende o día 22 dedecembro de 2008 ata o día 7 de xaneiro de 2009 (ámbolos dous incluídos); os días 23 e 24 de febreiro de 2009 (entroido); e dende o día 6 ao día 12 de abril de 2009 (ámbolos dous incluídos).

4.- A festividade de San Tomé celebrarase o día 28 de xaneiro de 2009, que será festivo na USC. Así mesmo, posuirán carácter festivo os días das festas oficiais do Estado, da Comunidade Autónoma e das cidades onde estea ubicado cada centro, así como o da festividade de cada un deles.Coa finalidade de aproveitar ao máximo os días lectivos, sempre que as festividades dos centroscoincidan en martes ou xoves celebraranse o luns ou venres máis próximo; e se cadraran en mércores trasladaranse ao venres. As que cadren en sábado, domingo ou festivo celebraranse o día lectivo anterior ou seguinte.

5.- Son festividades dos centros as seguintes:• 4 de outubro (S. Francisco de Asís): Fac. de Veterinaria.• 18 de outubro (S. Lucas): Fac. de Medicina e Odontoloxía (Lic. en Medicina).• 15 de novembro (S. Alberte Magno): Facultades de Bioloxía, Física, Matemáticas, Químicae Ciencias.• 27 de novembro (S. Xosé de Calasanz): E. U. de Formación do Profesorado.• 8 de decembro (Inmaculada): Fac. de Farmacia.• 13 de decembro (Sta. Otilia): E. U. de Óptica e Optometría.• 23 de xaneiro (S. Raimundo de Peñafort): Fac. de Dereito.• 9 de febreiro (Sta. Apolonia): Fac. de Medicina e Odontoloxía (Lic. en Odontoloxía).• 24 de febreiro (Xoán Huarte de S. Xoán): Fac. de Psicoloxía.• 8 de marzo (S. Xoán de Deus): E. U. de Enfermería.

188

• 9 de marzo (natalicio do Padre Sarmiento): Fac. de CC. da Educación.• 19 de marzo (S. Xosé): Fac. de Ciencias Políticas e Sociais.• 5 de abril (S. Vicente Ferrer): Fac. de CC. Económicas e Empresariais e Fac. deAdministración e Dirección de Empresas.• 15 abril (natalicio de Leonardo da Vinci): Escola Técnica Superior de Enxeñería.• 22 de abril (Día da Terra): Escola Politécnica Superior.• 26 de abril (S. Isidoro de Sevilla): Facultades de Filoloxía, Filosofía, Humanidades eXeografía e Historia.• 1 de maio (Día do Traballo): E. U. de Relacións Laborais.• 3 de maio (Día da Libertade de Expresión): Fac. de Ciencias da Comunicación.

189

Datas de exames - Licenciatura

1º CURSO


Cálculo Diferencial e Integral (091102)

08/01/2009 16:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

Informática (091103)



09:00 Aula 6 1º Cuadrimestre

04/09/2009 16:00 Aula 2 Setembro

Introdución ao Cálculo Numérico (091104)



11/09/2009 09:00 Aula 3 Setembro

Topoloxía dos Espazos Euclidianos (091105)




01/09/2009 16:00 Aula 3 Setembro

Introdución á Análise Matemática (091111)




07/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

Xeometría Métrica (091112)



02/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

2º CURSO


Análise Numérica Matricial (091201)




11/09/2009 16:00 Aula 3 Setembro

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais (091202)




190


04/09/2009 09:00 Aula 2 Setembro

09:00 Aula 3 Setembro

Integración de Funcións de Varias Variables Reais (091203)




09/09/2009 16:00 Aula 6 Setembro

Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias (091204)



14/09/2009 16:00 Aula 3 Setembro

Introdución ao Cálculo de Probabilidades (091205)




03/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

Xeometría Afín e Proxectiva (091206)




07/09/2009 16:00 Aula 2 Setembro

Topoloxía (091211)




01/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

3º CURSO


Curvas e Superficies (091301)




11/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

Elementos de Variable Complexa (091302)




07/09/2009 09:00 Aula 3 Setembro

Inferencia Estatística (091303)




191


01/09/2009 16:00 Aula 6 Setembro

Introdución á Álxebra (091311)




15/09/2009 16:00 Aula 3 Setembro


Métodos Numéricos (091312)




14/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P. (091313)



02/09/2009 09:00 Aula 2 Setembro

Teoría Global de Superficies (091314)




09/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

Vectores Aleatorios (091315)




03/09/2009 16:00 Aula 6 Setembro

4º CURSO


Álxebra (091401)




04/09/2009 16:00 Aula 3 Setembro


Análise Funcional en Espazos de Banach (091402)




10/09/2009 16:00 Aula 3 Setembro


Cálculo Numérico (091403)


192



14/09/2009 16:00 Aula 6 Setembro

Ecuacións Diferenciais Ordinarias (091404)




07/09/2009 16:00 Aula 6 Setembro

Xeometría e Topoloxía (091405)




02/09/2009 16:00 Aula 2 Setembro


Teoría da Medida (091411)




01/09/2009 09:00 Aula 2 Setembro


5º CURSO


Variable Complexa (091501)




09/09/2009 16:00 Aula 3 Setembro

COMPLEMENTOS DE FORMACIÓN


Elementos de Variable Complexa (091302)




07/09/2009 09:00 Aula 3 Setembro

Métodos Numéricos (091312)




14/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

Xeometría Afín e Proxectiva (091801)




193


07/09/2009 16:00 Aula 2 Setembro

Teoría Global de Superficies (091803)




09/09/2009 09:00 Aula 6 Setembro

OPTATIVAS XERAIS DE 2º CICLO


Física Xeral (091421)



11/09/2009 16:00 Aula 5 Setembro

Programación Avanzada (091422)



15/09/2009 09:00 Aula 7 Setembro

OPTATIVAS NON VINCULADAS DE 2º CICLO


Álxebra Homolóxica (091522)



04/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

Álxebra Non Conmutativa (091523)



11/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Ampliación de Investigación de Operacións (091524)



15/09/2009 09:00 Aula 10 Setembro

Análise Multivariante (091525)



15/09/2009 16:00 Aula 7 Setembro

Astronomía Xeral (091527)



02/09/2009 16:00 Aula 10 Setembro

Curvas Alxébricas (091528)



02/09/2009 09:00 Aula 7 Setembro

194


Ecuacións en Diferenzas. Introdución á Dinámica Discreta (091529)



08/09/2009 16:00 Aula 10 Setembro

Física Matemática (091531)



11/09/2009 16:00 Aula 9 Setembro

Funcións de Varias Variables Complexas (091532)



07/09/2009 09:00 Aula 10 Setembro

Fundamentos de Astronomía (091533)



14/09/2009 09:00 Aula 7 Setembro

Historia da Matemática (091534)



10/09/2009 16:00 Aula 10 Setembro

Introdución ao Cálculo Vectorial e Paralelo (091537)



15/09/2009 09:00 Aula 5 Setembro

Lóxica Matemática (091538)



07/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Mecánica Celeste (091539)



03/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica (091541)



14/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

Modelos Temporais (091543)



07/09/2009 09:00 Aula 5 Setembro

Mostraxe (091544)



195


03/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Teoría Clásica de Números (091545)



01/09/2009 16:00 Aula 8 Setembro

Teoría da Decisión (091546)



03/09/2009 16:00 Aula 9 Setembro

Teoría de Números Alxébricos (091547)



11/09/2009 16:00 Aula 8 Setembro

Teoría de Xogos (091548)



11/09/2009 09:00 Aula 10 Setembro

Teoría Espectral e Ecuacións Integrais (091549)



11/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

Topoloxía Diferencial (091550)



10/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Xeometría de Riemann (091552)



07/09/2009 09:00 Aula 7 Setembro

OPCIÓN ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA


Teoría da Probabilidade (091461)



15/09/2009 09:00 Aula 3 Setembro

Estatística Matemática (091561)



04/09/2009 09:00 Aula 7 Setembro

Métodos de Regresión (091562)



196


08/09/2009 09:00 Aula 7 Setembro

Procesos Estocásticos (091563)



02/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Programación Linear e Enteira (091564)



14/09/2009 09:00 Aula 3 Setembro

Simulación (091565)



01/09/2009 16:00 Aula 5 Setembro

Técnicas de Optimización da Xestión (091566)



10/09/2009 09:00 Aula 7 Setembro

OPCIÓN MATEMÁTICA APLICADA


Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo (091471)



03/09/2009 09:00 Aula 10 Setembro

Modelos Matemáticos (091472)



08/09/2009 16:00 Aula 9 Setembro

Diferenzas Finitas en E.D.P. (091571)



02/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P. (091572)



08/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

Ecuacións en Derivadas Parciais (091573)



04/09/2009 09:00 Aula 10 Setembro

Elementos Finitos en E.D.P. (091574)



197


10/09/2009 09:00 Aula 10 Setembro

OPCIÓN MATEMÁTICA PURA


Álxebra Conmutativa (091481)



15/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Grupos de Lie (091482)



08/09/2009 16:00 Aula 8 Setembro

Espazos Vectoriais Topolóxicos e Distribucións (091581)



02/09/2009 09:00 Aula 10 Setembro

Representacións de Grupos e Álxebras (091582)



08/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Sistemas Dinámicos (091583)



15/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

Topoloxía Alxébrica (091584)



01/09/2009 16:00 Aula 9 Setembro

Topoloxía de Superficies (091585)



04/09/2009 09:00 Aula 9 Setembro

Xeometría Alxébrica (091586)



10/09/2009 09:00 Aula 8 Setembro

198

Horario de clases - Licenciatura

[091P01] LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS [2008/2009]

2º CURSO - Primeiro Cuadrimestre


09:00-10:00

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais [Grupo B]

Aula 3


Aula 3


Aula 3


Aula 3

10:00-11:00

Xeometría Afín e Proxectiva [Grupo A] Aula 7

Topoloxía [Grupo B] Aula 3









11:00-12:00

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais [Grupo

A] Aula 7

Xeometría Afín e Proxectiva [Grupo B] Aula 3


A] Aula 7



A] Aula 7



A] Aula 7


Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais [Grupo A]

(Sem 2) Aula de Informática 3

Xeometría Afín e Proxectiva [Grupo A] (Sem 1) Aula 7


12:00-13:00

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais[Grupo A] (Sem 1) Aula de Informática 3

Xeometría Afín e Proxectiva [Grupo B] (Sem 1) Aula 8

Xeometría Afín e Proxectiva [Grupo A] (Sem 2) Aula 7

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais[Grupo B] (Sem 1) Aula de Informática 3

Topoloxía [Grupo A] Aula 8

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais[Grupo B] (Sem 2) Aula de Informática 3


Topoloxía [Grupo B] (Sem 2) Aula 7


Xeometría Afín e Proxectiva [Grupo B] (Sem 2) Aula 8

Topoloxía [Grupo B] (Sem 1) Aula 3

13:00-14:00Topoloxía [Grupo A] Aula 2 Topoloxía [Grupo A] Aula 2

Topoloxía [Grupo A] (Sem 1) Aula 2

Topoloxía [Grupo A] (Sem 2) Aula 2

16:00-17:00

Topoloxía [Titorias programadas-grupo A]

Aula 7


[Titorias programadas –grupo B] Aula 8

17:00-18:00

Xeometría Afín e Proxectiva [Titorias programadas-grupo A]

Aula 7

Topoloxía [Titorias programadas-grupo B]

Aula 8

18:00-19:00


[Titorias programadas –grupo A] Aula 7

Xeometría Afín e Proxectiva [Titorias programadas-grupo B]

Aula 8


199

2º CURSO - Segundo Cuadrimestre


09:00-10:00

Integración de Funcións de Varias Variables Reais

Aula 6


Aula 6


Aula 6


Aula 6

Análise Numérica Matricial [Lab 3]

Aula Inf 4

10:00-11:00

Introdución ao Cálculo de Probabilidades

Aula 2


Aula 2


Aula 2

Introdución ao Cálculo de Probabilidades [Sem 1] Aula 2

Análise Numérica Matricial [Lab 2] Aula Inf 4

Integración de Funcións de Varias Variables Reais[Sem 3]

Aula 10

Introdución ao Cálculo de Probabilidades [Sem 3] Aula 10

Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias

[Sem A1 ]Aula 4

Integración de Funcións de Varias Variables Reais[Sem 2]

Aula 2

11:00-12:00


[Grupo A] Aula 2


[Grupo B] Aula 5


[Grupo A] Aula 2

Introdución ás EcuaciónsDiferenciais Ordinarias

[Grupo B] Aula 5


[Grupo A] Aula 2


[Grupo B] Aula 5


[Grupo A] Aula 2


[Grupo B] Aula 5


[Sem B2] Aula 9


[Sem 1]Aula 2

Introdución ao Cálculo de Probabilidades [Sem 2]

Aula 10

12:00-13:00

Análise Numérica Matricial Aula 2



Análise Numérica Matricial [Lab 1]

Aula Inf 4


[Sem A3] Aula 2


[Sem B1] Aula 9

13:00-14:00


[Sem A2] Aula 2

16:00-17:00

Análise Numérica Matricial [Titorias programadas] Aula de Informática 4

17:00-18:00


[Titorias programadas] Aula 8

18:00-19:00


[Titorias programadas-Grupo A] Aula 8


[Titorias programadas-Grupo B] Aula 7

19:00-20:00



SEMINARIOS INTRODUCIÓN ÁS E.D.O.: GRUPO A (A1, A2, A3), GRUPO B (B1, B2)

200




09:00-10:00

Vectores Aleatorios Aula 2



Vectores Aleatorios [Sem 2] Aula 4

Curvas e Superficies [Sem 1] Aula 2


Curvas e Superficies [Sem 2A]

Aula 2

10:00-11:00

Curvas e Superficies [Grupo A]

Aula 2

Curvas e Superficies [Grupo B]

Aula 5


Aula 2


Aula 5


Aula 2


Aula 5


Aula 2


Aula 5


Aula 2


Aula 5

11:00-12:00Elementos de Variable Complexa

Aula 2Elementos de Variable Complexa

Aula 2Elementos de Variable Complexa

Aula 2

Elementos de Variable Complexa [Sem 3]Aula 2

Curvas e Superficies [Sem 2B]

Aula 5

Curvas e Superficies [Sem 3] Aula 5

Elementos de Variable Complexa [Sem 1] Aula 9

Métodos Numéricos [Lab 2]

Aula de informática 2

12:00-13:00Métodos Numéricos

Aula 2Métodos Numéricos

Aula 2Métodos Numéricos

Aula 2




Elementos de Variable Complexa [Sem 2] Aula 9

13:00-14:00



16:00-17:00 Vectores Aleatorios [Titorias programadas]

Aula 8

17:00-18:00

Curvas e Superficies [Titorias programadas-grupo A]

Aula 7

Curvas e Superficies [Titorias programadas-grupo B]

Aula 8

18:00-19:00

Elementos de Variable Complexa [Titorias programadas]

Aula 8

19:00-20:00

Métodos Numéricos [Titorias programadas] Aula de informática 2

SEMINARIOS CURVAS E SUPERFICIES: GRUPO A (1, 2A), GRUPO B (2B, 3)

201




09:00-10:00

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P.[Sem 2] Aula 10

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P [Sem 1]Aula 10

10:00-11:00

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P Aula 6

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P.Aula 6

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P.[Sem 3] Aula 9

Teoría Global de Superficies [Sem Grupo A] Aula 1

Inferencia Estatística [Sem 2] Aula 1

11:00-12:00

Introdución á Álxebra[Grupo B (M-Z)] Aula 1

Teoría Global de Superficies [Grupo A (A-L)]

Aula 6



Aula 6



Aula 6



Aula 6

Introdución á Álxebra[Sem 3] Aula 1

12:00-13:00Inferencia Estatística

Aula 6Inferencia Estatística



Aula 6


Introdución á Álxebra[Sem 2A] Aula 2

Teoría Global de Superficies [Sem 3] Aula 3

Introdución á Álxebra[Sem 2B] Aula 1

13:00-14:00

Introdución á Álxebra[Grupo A (A-L)]

Aula 3

Teoría Global de Superficies [Grupo B (M-Z)]

Aula 6


Aula 3


Aula 6


Aula 3


Aula 6


Aula 3


Aula 6

Teoría Global de Superficies [Sem 2B]

Aula 3

Introdución á Álxebra[Sem 1] Aula 2


16:00-17:00

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P.


17:00-18:00

Introdución á Álxebra[Titorias programadas-grupo B]

Aula 10Teoría Global de Superficies

[Titorias programadas-grupo A] Aula 7

18:00-19:00

Inferencia Estatística [Titorias programadas]

Aula 10

19:00-20:00

Introdución á Álxebra[Titorias programadas-grupo A]

Aula 7Teoría Global de Superficies

[Titorias programadas-grupo B] Aula 10

202

SEMINARIOS INTRODUCIÓN Á ÁLXEBRA: GRUPO A (1, 2A), GRUPO B (2B, 3)SEMINARIOS TEORÍA GLOBAL DE SUPERFICIES: GRUPO A (SEMINARIO ÚNICO), GRUPO B (2B, 3)




09:00-10:00Álxebra Aula 6

Álxebra Aula 6

Álxebra Aula 6

Álxebra Aula 6

Álxebra Aula 6

10:00-11:00

Teoría da Medida [Grupo A]

Aula 6

Xeometría e Topoloxía [Grupo B]

Aula 1


Aula 6


Aula 1


Aula 6


Aula 1


Aula 6


Aula 1

Xeometría e Topoloxía [Grupo A]

Aula 6


Aula 1

11:00-12:00


Aula 6

Teoría da Medida [Grupo B]

Aula 1


Aula 6


Aula 1


Aula 6


Aula 1


Aula 6


Aula 1


Aula 6


Aula 1

12:00-13:00

Álxebra [Sem 1 (A-F)] Aula 10

Álxebra [Sem 2 (G-Q)]

Aula 10

Álxebra [Sem 3 (Q-Z)]

Aula 10

Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo

Aula 1


Aula 1


Aula 1

203




09:00-10:00

Análise Funcional en Espazos de Banach

[Grupo A (A-L)] Aula 3


[Grupo B (M-Z)] Aula 1

















10:00-11:00

Cálculo Numérico Aula 3





11:00-12:00

Ecuacións Diferenciais OrdinariasAula 3




Cálculo Numérico [Lab 1] Aula de informática 4

12:00-13:00

Grupos de LieAula 10

Programación Avanzada Aula de informática 2






Cálculo Numérico [Lab 2]Aula de informática 4

13:00-14:00

Álxebra ConmutativaAula 7

Teoría da ProbabilidadeAula 1

Modelos MatemáticosAula 10












16:00-17:00Física Xeral

Aula 5Física Xeral

Aula 5Física Xeral

Aula 5

204




09:00-10:00

Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P.

Aula 10

Procesos Estocásticos Aula 9


Aula 10



Aula 10



Aula 10

Estatística Matemática Aula 9

10:00-11:00

Espazos Vectoriais Topolóxicos e Distribucións

Aula 10

Álxebra Homolóxica Aula Inf 4

Diferenzas Finitas en E.D.P.Aula Inf 2



Aula 10


Diferenzas Finitas en E.D.P.Aula 4



Aula 10


Diferenzas Finitas en E.D.P.Aula 4



Aula 10

Álxebra Homolóxica Aula Magna

Diferenzas Finitas en E.D.P.Aula Inf 2


11:00-12:00

Teoría de Números AlxébricosAula 4

Topoloxía de Superficies Aula 10

Ecuacións en Derivadas Parciais Aula Inf 2

Métodos de Regresión Aula 9




Métodos de Regresión Aula 9




Métodos de Regresión Aula 9 + Inf 3




Programación Linear e Enteira Lab. Aula Inf 3

12:00-13:00

Ecuacións en Diferenzas. Introdución á Dinámica Discreta

Aula 4

Fundamentos de AstronomíaAula 3

Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica

Aula 5

Programación Linear e Enteira Aula 9

Representacións de Grupos e ÁlxebrasAula 6


Aula 4



Aula 5




Aula 4



Aula 5




Aula 4



Aula 5



13:00-14:00Variable Complexa

Aula 1Variable Complexa

Aula 1Variable Complexa

Aula 1

16:00-17:00Curvas Alxébricas

Aula 9Curvas Alxébricas



Aula 9

17:00-18:00Historia da Matemática

Aula 10Historia da Matemática

Aula 10Historia da Matemática

Aula 10

205




09:00-10:00

Xeometría AlxébricaAula 4

Elementos Finitos en E.D.P.Aula 10


Introdución ao Cálculo Vectorial e Paralelo



Elementos Finitos en E.D.P.Aula 10 + Inf 2




10:00-11:00


Lóxica Matemática Aula 5

Topoloxía AlxébricaAula 4

Simulación Aula 9





Simulación Aula 9




Simulación Aula Inf 3





11:00-12:00

Álxebra Non Conmutativa Aula 4

Sistemas Dinámicos Aula 10

Análise MultivarianteAula 9









Técnicas de Optimización da Xestión

Aula 9 + Aula Inf 3

12:00-13:00

Teoría Espectral e Ecuacións Integrais Aula 4

Astronomía Xeral Aula 1

Topoloxía Diferencial Aula 5

Técnicas de Optimización da Xestión Aula 9




Técnicas de Optimización da Xestión Aula 9




Análise Multivariante Aula 9 +Aula Inf 3




Análise Multivariante Aula Inf 3

13:00-14:00

Teoría Clásica de Números Aula 5

Xeometría de Riemann Aula 4

Funcións de Varias Variables Complexas

Aula 8

Física Matemática Aula 9




Aula 8





Aula 8





Aula 8


15:45-17:00Teoría de Xogos

Aula 9 Teoría de Xogos

Aula 9Teoría de Xogos

Aula 9 Teoría de Xogos

Aula 9

17:00-18:00

18:00-19:00

206




19:00-20:00

Mecánica Celeste Aula 6


20:00-21:00



[091P01] LICENCIATURA EN MATEMÁTICASLIBRE CONFIGURACIÓN - Primeiro Cuadrimestre


09:00-10:00Introdución á Lóxica Formal

Aula 5Introdución á Lóxica Formal

Aula 5

13:00-14:00 Introdución á Lóxica Formal Aula 8

Introdución á Lóxica Formal Aula 8

17:00-18:00

Xeometría e CivilizaciónAula 8

CriptografíaAula 9

CriptografíaAula 9


18:00-19:00


CriptografíaAula de informática 2

CriptografíaAula 9


[091P01] LICENCIATURA EN MATEMÁTICASLIBRE CONFIGURACIÓN - Segundo Cuadrimestre


17:00-18:00Códigos Correctores de

ErrosAula 8

Didáctica da Matemática en Secundaria

Aula 5

Códigos Correctores de ErrosAula 8


Aula 5

18:00-19:00Códigos Correctores de

ErrosAula 8


Aula 5

Códigos Correctores de Erros

Aula 8 e Aula de informática 2


Aula 5

207

Wendelin Werner (Alemaña, 1968)

Medalla Fields 2006

Werner , nacido en 1968 en Alemaña, é de nacionalidade francesa. Doutorouse en Matemáticas en 1993 na Universidade de Paris VI. Dende 1997 é profesor na Universidade de Paris-Sud en Orsay. Entre 2001 e 2006 foi tamén membro do Instituto Universitario de Francia e dende 2005 está trasladado

temporalmente en L’Ecole Normale Supérieure.

En 2006, durante a celebración do ICM 2006 en Madrid, foille concedida a “Medalla Fields” polas súas contribucións ó desenvolvemento da evolución estocástica de Löewner, a xeometría do movemento Browniano en dúas dimensións e a teoría conforme de campos.

209

Programas das Materias

Curso 2008-2009LICENCIATURA

211

Contido

Código : 091201 Nome:Análise Numérica Matricial Ano Academico : 2008/2009

Créditos teóricos: 3 Créditos prácticos: 3 Total: 6.0

Carácter: Troncal Convocatoria: Segundo Cuadrimestre

Datas de Aprobación

Data de Aprobación do Centro:17/06/2008 Data de Aprobación do Departamento:12/06/2008

Profesorado do Contido

Nome Categoria Función

Mato Eiroa,M Pilar TIT-UN Profesor/a

Rodriguez Iglesias,Carmen TIT-UN Profesor/a


O estudo e a aplicación de métodos numéricos para a resolución de sistemas de ecuacións lineares e o cálculo de autovalores e autovectores dunha matriz. Ademais, nas prácticas de laboratorio, poranse en práctica nun ordenador os algoritmos estudados, mediante a elaboración dos correspondentes programas FORTRAN 90.

Contidos

1. Normas en Rn e Cn. Matrices especiais. Normas matriciais e subordinadas. Valores e vectores propios. Redución unitaria de matrices á forma triangular: Factorización de Schur e aplicacións. Cociente de Rayleigh e norma espectral. Acoutamento do radio espectral por normas matriciais. Converxencia de sucesións e series de matrices. Invertibilidade dunha perturbación da identidade.

2. Necesidade do uso de métodos numéricos para a resolución dun S.E.L. Métodos directos e iterativos. Sistemas facilmente resolubles: sistemas triangulares e diagonais. Sistemas triangulares e diagonais por bloques. Condicionamento dun sistema linear.

3. Métodos iterativos para S.E.L.: descrición e converxencia. Métodos iterativos obtidos a partir dunha descomposición da matriz do sistema. Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Condicións suficientes de converxencia. Método de w-relaxación. Teoremas de Ostrowski-Reich e Kahan. Métodos clásicos por bloques. Comparación dos métodos clásicos para matrices tridiagonais, por puntos ou por bloques.

4. Métodos directos para S.E.L.: xeneralidades. Eliminacións de Gauss e Gauss-Jordan. Estratexias de pivote parcial e total. Existencia e unicidade da factorización A=LU. Factorizacións PA=LU e PAQ=LU. Existencia e unicidade da factorización A=BB*. Almacenamento dunha matriz simétrica: perfil cheo e perfil oco. Método de Householder. Factorización A=QR.

5. Necesidade do uso de métodos numéricos para o cálculo de valores e vectores propios. Condicionamento dun problema de valores propios: Teorema de Bauer-Fike. Acotamento de autovalores: Teorema de Gerschgorin.

6. Método de Jacobi para matrices simétricas.

7. Método da potencia iterada e variantes: principio xeral do método da potencia iterada. Análise do método para autovalores dominantes. Algoritmo de Rayleigh. Método da potencia iterada inversa.


ATKINSON, K.E. - HAN, W. [2004]: Elementary numerical analysis. John Wiley and Sons.ATKINSON, L.V. - HARLEY, P.J. - HUDSON, J.L. [1989]: Numerical methods with FORTRAN 77. A practical introduction. Addison-Wesley.AUBANELL, A. - BENSENY, A. - DELSHAMS, A. [1991]: Eines bàsiques de càlcul numèric. Manuals de la Universitat Autònoma de Barcelona.BRAINERD, W.S. - GOLDBERG, C.H. - ADAMS, J.C. [1996]: Programmer's Guide to Fortran 90. Springer.CIARLET, P.G. [1999]: Introducción á análise numérica matricial e á optimización. Servicio de Publicacións da USC.GOLUB, G.H. - VAN LOAN, C. [1996]: Matrix computations. Johns Hopkins University Press.GOURLAY, A.R. - WATSON, G.A. [1973]: Computational methods for matrix eigenproblems. John Wiley and Sons.HORN, R.A. - JOHNSON, C.R. [1991]: Matrix analysis. Cambrigde University Press.KINCAID, D. - CHENEY, W. [1994]: Análisis numérico. Addison-Wesley Iberoamericana.METCALF, M. - REID, J. - COHEN M. [2004]: Fortran 95/2003 explained. Oxford University Press.

212

PARLETT, B.N. [1980]: The symmetric eigenvalue problem. Prentice-Hall.STOER, J. - BULIRSCH, R. [1993]: Introduction to numerical analysis. Springer-Verlag.YOUNG, D.M. - GREGORY, R.T. [1972]: A survey of numerical methods, vol. I-II. Addison-Wesley.

Competencias

Con respecto ás competencias específicas, centrarémonos nas seguintes:- Identificación de distintos tipos de matrices e as súas propiedades.- Coñecemento e programación dos métodos numéricos clásicos para a resolución dun S.E.L.- Coñecemento dalgúns métodos numéricos para o cálculo de valores e vectores propios e programar os máis sinxelos.Pretendemos desenvolver, ademais, as competencias transversais:- Resolución de problemas.- Comunicación escrita na lingua nativa.


Tres horas de teoría e práctica e unha na aula de Informática por semana.Os alumnos asistentes á clase disporán de material relacionado cos contidos que se desenvolverán nas clases, xunto con boletíns de exercicios propostos para a súa resolución.Proporanse con asiduidade actividades encamiñadas a que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos adquiridos na materia.Os estudantes disporán dun curso virtual, complemento da docencia presencial e que constitúa unha nova vía de comunicación cos profesores.


A avaliación farase a partir da realización das actividades:

• Exame final escrito na data prevista polo centro• Exame final práctico na data prevista polo centro• Problemas e traballos de programación na linguaxe FORTRAN 90

segundo se indica:

Exame escrito (Teoría, cuestións e problemas): 6 (mínimo para aprobar: 2,5) Exame práctico (Programación): 2,5 (mínimo para aprobar: 1)Nota de Problemas: 0,5 Nota de Laboratorio (*): 1

(*) máis 3 faltas inxustificadas no Laboratorio de Informática: imposibilidade de sumar a nota de Laboratorio á nota final. Tanto a nota de Problemas como a de Laboratorio conservaranse ata a seguinte convocatoria.


Estimamos a seguinte dedicación:

Teoría e problemas:- Horas presenciais: 45 horas- Horas non presenciais: 67,5 horas

Prácticas de ordenador: - Horas presenciais: 15 horas- Horas non presenciais: 30 horas

Exame final:- Horas presenciais: 3,5 + 1,5 horas- Horas non presenciais: 30 horas

Total:- Horas non presenciais: 66 horas- Horas non presenciais: 127,5 horas


- Estudo diario dos contidos tratados nas clases, complementados no curso virtual da materia.- Comparación e complementación dos apuntamentos de clase coa bibliografía recomendada.- Resolución dos boletíns de problemas e busca doutros na bibliografía.- Programación dos algoritmos propostos, para o que se dispón das aulas de Informática da Facultade. - Utilizar as horas de titoría dos profesores para resolver todo tipo de dúbidas sobre a materia.

213

Contido

Código : 091202 Nome:Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Ano Academico : 2008/2009

Créditos teóricos: 4.5 Créditos prácticos: 3 Total: 7.5

Carácter: Troncal Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre





Perez Mendez,Jose TIT-UN Profesor/a

Rodriguez Lopez,Gerardo CAT-UN Profesor/a

Rodriguez Lopez,Rosana ASOU Profesor/a


Preténdese proporcionar os fundamentos teóricos e, ademais, as imprescindibles destrezas do cálculo diferencial no ámbito das funcións reais de varias variables reais; en particular, os problemas de extremos e de funcións implícitas e inversas deben ser abordados e resoltos con facilidade. Trátase dun curso básico e, polo tanto, coa pretensión de contribuír á formación matemática do estudante, que proporcione, ao mesmo tempo, o imprescindible instrumental de cálculo diferencial para a resolución de problemas do ámbito da licenciatura.

Contidos

1. Conceptos previosO espazo euclidiano R^nEstudo de normas usuais. Aplicacións lineares e multilineares entre espazos euclidianos. Espazos normados: ideas básicas sobre a súa topoloxía e sobre o espazo das aplicacións lineares e multilineares continuas entre espazos normados

2. Aplicacións diferenciablesA derivada no cálculo elemental. O concepto de diferencial. Regras de diferenciación

3. Diferenciación parcial.Derivada segundo un vector para unha función real de varias variables reais. Derivadas parciais. Diferenciación en espazos produto. Expresión da diferencial: a matriz xacobiana. Interpretacións e aplicacións elementais do cálculo diferencial de varias variables

4. O teorema dos incrementos finitosO teorema do valor medio para funcións reais de varias variables reais. Caso xeral. Aplicación ao estudo de condicións de diferenciabilidade. Funcións continuamente diferenciables

5. Diferenciación de orde superior. Fórmula de TaylorDerivadas e diferenciais de orde superior. Permutación da orde de derivación. Estudo da diferencial segunda. Matriz hessiana. Funcións de clase m. Fórmula de Taylor

6. Extremos relativosCondicións necesarias e suficientes para a existencia de extremo

7. O Teorema da función implícita

8. O Teorema da función inversa

9. Aplicacións dos teoremas da función implícita e da inversa.Extremos condicionados. Cambios de variable. Problemas xeométricos

214


Bibliografía recomendada:1.- BOMBAL, F.; RODRÍGUEZ, L.; VERA, G. Problemas de Análisis Matemático 2º.Cálculo diferencial. Ed. AC. 1991.2.- FERNÁNDEZ VIÑA, J.A. Análisis Matemático II:Topologia y Cálculo diferencial. 2ª ed. Tecnos. 1993.3.- FERNÁNDEZ VIÑA, J.A.; SÁNCHEZ MAÑES, E. Ejercicios y complementos de análisis Matemático II. 2ª ed. Tecnos. 1993.4.- RODRÍGUEZ, G. Diferenciación de funciones de varias variables reales.Manuais Universitarios. Nº 4.Publicacións da Universidade de Santiago. 2003.

Outras lecturas de interese:1.- APOSTOL, T. M., Análisis Matemático, Ed. Reverté, 1991. 2.- BARTLE, R. G., Introducción al análisis Matemático, 1ª ed., Limusa, 1991.4.- CARTAN, H., Cálculo diferencial, Ed. Omega.5.- CASTILLO , F. del, Análisis Matemático II, Ed. Alambra. 7.- FERNÁNDEZ VIÑA, J. A. e SÁNCHEZ MAÑES, E., Ejercicios y complementos de análisis Matemático II, 2ª ed., Tecnos, 1993.9.- MARSDEN, J. e TROMBA, A., Vector cálculus, 3ª de. W. H. Freeman and Comp.

Competencias

- Dominio dos aspectos teóricos básicos da materia.- Capacidade e soltura de cálculo para funcións de varias variables reais.- Familiaridade coa resolución de sinxelos problemas xeométricos, físicos e da vida real que poidan ser resoltos mediante os conceptos e técnicas aquí estudadas.


Enfócase a docencia mediante clases teóricas, prácticas e seminarios. Nas primeiras, preséntanse e desenvólvense os contidos esenciais da disciplina. As clases prácticas dedícanse á resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións) e procúrase unha activa participación do estudante. Nos seminarios, ao estar programados en grupos reducidos, poderán ter cabida diversos enfoques nos que se traten conceptos e cuestións da materia (construción de exemplos, resolución de problemas sinxelos, exposicións por parte dos alumnos, etc.) e procurarase sempre que a participación do estudante sexa máxima.


Exame final escrito, teórico-práctico. Valorarase, así mesmo, a participación do estudante nas actividades propostas ao longo do curso.


Enténdese que unha hora e media de estudo e traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida deberá ser suficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado segundo as diversas circunstancias que concorran no alumno.


- Aconséllase manexar con soltura os conceptos elementais básicos de: Introdución á Análise Matemática, Cálculo diferencial e integral, Topoloxía dos espazos euclidianos e Álxebra linear e multilinear.- Asemade, e fundamental participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia: asistencia ás clases, participación nas clases de problemas e seminarios, utilización de horas de titorías, etc.

215

Contido

Código : 091203 Nome:Integración de Funcións de Varias Variables Reais Ano Academico : 2008/2009







Fugarolas Villamarín,Manuel Antonio CAT-UN Profesor/a


- Preténdese conseguir, mediante as clases teóricas, prácticas e de seminario, un coñecemento profundo e rigoroso dos contidos do programa.

Contidos

1. A medida de Lebesgue en Rn2. Funcións medibles3. A integral de Lebesgue en Rn.Teoremas de converxencia4. Relación entre as integrais de Riemann e de Lebesgue5. O espazo L2 (I)6. Transformadas integrais7. Integrais iteradas: Teorema de Fubini8. Cambio de variable na integral de Lebesgue


T. M. APOSTOL. Análisis Matemático. Reverté, 1976.F. BOMBAL, L. RODRÍGUEZ e G. VERA. Problemas de Análisis Matemático, 3. Cálculo Integral. A. C, 1987.J. A. FERNÁNDEZ VIÑA. Análisis Matemático III. Integración y Cálculo exterior. Tecnos, 1992.J. A. FERNÁNDEZ VIÑA e E. SÁNCHEZ MAÑES. Ejercicios y Complementos de Análisis Matemático III. Tecnos, 1994.FLORENCIO DEL CASTILLO. Análisis Matemático II. Alhambra, 1980.W. RUDIN. Principios de Análisis Matemático. McGraw-Hill, 1980.

Competencias

Comprender, en profundidade, as definicións e teoremas fundamentais da materia, xunto coas súas aplicacións.


O temario desenvolverase de forma totalmente rigorosa e daráselle especial relevancia aos conceptos e resultados fundamentais.


Exames finais desta materia que convocará a Facultade de Matemáticas.

216


É unha cuestión subxectiva do/a alumno/a.


Seguir as indicacións do profesor ao longo de todo o curso.

Observacións

As observacións oportunas sobre a materia irá dándoas o profesor ao longo do curso.

217

Contido

Código : 091204 Nome:Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ano Academico : 2008/2009







Costal Pereira,Fernando CAT-UN Profesor/a

Fernandez Perez,Fco Javier TIT-UN Profesor/a


Introducir o alumno no campo das ecuacións diferenciais ordinarias, ao tempo que se pon de manifesto a importancia da súa aplicación ao estudo de problemas da vida real e se fai fincapé nos resultados de existencia de solución, métodos elementais de integración e, dun xeito especial, no estudo, tanto desde o punto de vista teórico como práctico, dos sistemas lineares.

Contidos

1. Motivacións e xeneralidades. Concepto de solución. Problema de Cauchy2. Existencia e unicidade de solucións3. Prolongación de solucións. Solucións maximais4. Métodos elementais de integración das ecuacións de primeira orde5. Dependencia da solución respecto das condicións iniciais e da ecuación6. Sistemas de ecuacións lineares. Propiedades das solucións. Matriz fundamental7. Sistemas de ecuacións lineares con coeficientes constantes8. Sistemas autónomos. Espazo de fases para sistemas lineares autónomos no plano9. Ecuación linear de orde superior. Ecuacións de coeficientes constantes10. Aplicacións das ecuacións diferenciais


W.E. BOYCE e R. C. DI PRIMA, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores de Frontera, Limusa, 1996.

M. BRAUN, Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.

E. A. CODDINGTON e N. LEVINSON, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.

C.H. EDWARDWS e D.E. PENNEY, Ecuaciones Diferenciales, Prentice Hall, 2001.

C. FERNÁNDEZ PÉREZ, Ecuaciones Diferenciales, vol.1, Pirámide, 1992.

C. FERNÁNDEZ PÉREZ e J. M. VEGA MONTANER, Ecuaciones Diferenciales, vol. 2, Pirámide, 1996.

M. M. GUTERMAN e Z. H. NITECKI, Differential Equations. A first Course, Saunders College Publishing, 1992.

G. LEDDER, Ecuaciones Diferenciales. Un enfoque de modelado. McGraw-Hill, 2006.

R. K. NAGLE e E. B. SAFF, Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison Wesley Iberoaméricana, 1992.

S. NOVO, R. OBAYA e J. ROJO, Ecuaciones y Sistemas Diferenciales, McGraw-Hill, 1995.

218

G. F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales, McGraw-Hill, 1993.

SOTOMAYOR, Liçoes de Equaçoes Diferenciais Ordinarias, I.M.P.A., 1979.

D. ZILL, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1988.

Competencias

Comprender, asimilar e saber expresar con rigor, os conceptos e técnicas que se desenvolven no programa. Dun xeito especial, deberá ser quen de aplicar os resultados relativos á existencia e unicidade de solución dunha ecuación diferencial ordinaria, resolver algunhas ecuacións diferenciais mediante a aplicación dalgúns dos métodos elementais e resolver sistemas lineares e ecuacións de orde superior, ambas as dúas con coeficientes constantes. Ademais, deberá saber analizar, desde o punto de vista cualitativo, un sistema diferencial linear autónomo no plano e aplicar as técnicas estudadas a problemas elementais da Física, Química, Bioloxía, Socioloxía, etc.


A materia, de 7,5 créditos (4,5 T + 3 P), impártese coa axeitada proporción entre teoría e práctica e procúrase fomentar o interese e a participación do alumnado ante a teoría das ecuacións diferenciais e as súas aplicacións a distintos problemas concretos. O alumnado disporá de referencias bibliográficas apropiadas e concretas para cada un dos temas, así como de “Boletíns de Problemas” cos que poderá poñer a proba en cada momento o nivel acadado na súa preparación da materia e as súas posibilidades de cara á superación do exame final.


Exame final escrito que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade da súa aplicación a casos concretos, tanto de carácter teórico como aplicado.A nota final (NF) obterase a partires da nota do exame final (NEF) e da obtida durante o curso (NC) seguindo o algoritmo indicado a continuación: NF=0.7 NEF + máx{0.3 NC, 0.3 NEF}A nota do curso (NC) obterase tendo en conta a participación do alumno nas tarefas propostas con esta finalidade.


Aínda que é difícil de computar o tempo necesario, xa que depende do grao de formación e das habilidades de cada alumno, pódese considerar que para un alumno medio debería ser suficiente unha dedicación de hora e media por cada hora de clase impartida.


O alumno deberá manexar con soltura os temas estudados nas materias “Introdución á Análise Matemática”, “Cálculo Diferencial e Integral” e “Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais”. Partindo desta situación, deberá traballar con regularidade e rigor, así como acudir ás clases dun modo participativo e preguntar, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.

219

Contido

Código : 091205 Nome:Introdución ao Cálculo de Probabilidades Ano Academico : 2008/2009







Coladas Uria,Luis CAT-UN Profesor/a

Fernandez Sotelo,Maria Angeles TIT-UN Profesor/a


Introducir os conceptos básicos do cálculo de probabilidades como modelo para o estudo dos fenómenos aleatorios. Familiarizar o alumnado cos resultados fundamentais do cálculo de probabilidades, estudando con detalle os modelos de variables aleatorias unidimensionais.

Contidos

1. Introdución ao cálculo de probabilidades Modelos matemáticos. Evolución histórica do cálculo de probabilidades. Revisión práctica dos conceptos de combinatoria

2. Espazo de probabilidadeSituacións determinísticas e aleatorias. Experimentos aleatorios. Espazo mostral. Sucesos. Probabilidade. Propiedades

3. Probabilidade condicionadaIntrodución. Teorema do produto. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes. Dependencia e independencia de sucesos

4. Variable aleatoria unidimensionalConcepto de variable aleatoria. Espazo de probabilidade inducido. Función de distribución. Tipos de variables aleatorias. Variables discretas. Variables continuas. Función de densidade. Descomposición dunha función de distribución. Transformacións dunha variable aleatoria

5. Características das distribucións unidimensionais Esperanza matemática. Momentos. Propiedades. Desigualdades relativas a momentos. Outras medidas de centralización, dispersión e forma

6. Funcións xeratrices e funcións característicasFuncións xeratrices de probabilidade e de momentos. Funcións características: propiedades. Relación entre características e momentos

7. Principais distribucións discretas. Probas de Bernoulli. Distribución binomial. Distribución de Poisson. Distribución hiperxeométrica. Distribucións de tempos de espera: xeométrica, binomial negativa. Relacións entre as distintas distribucións

8. Principais distribucións continuasDistribución uniforme. Distribución normal. Relación coa binomial e Poisson. Outras distribucións continuas: exponencial, gamma, beta... Outras relacións de interese


220

Libros xerais

BARTOSZYNSKI, R.; NIEWIADOMSKA-BUGAJ, M. “Probability and Statistical Inference”. Wiley. 1996.DEGROOT, M.H. “Probabilidades y Estadística”. Addison-Wesley. 1988.DUDEWICZ, E.J.; MISHRA, S.N. “Modern Mathematical Statistics”. Wiley. 1988.QUESADA, V.; GARCÍA, A. “Lecciones de Cálculo de Probabilidades”. Ediciones Díaz de Santos, S.A..1988.ROHATGI, V.K. “An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics”. Wiley. 1976.

Libros de problemas

CALOT, G. “Exercices de Calcul des Probabilités”. Dunod. 1976.CUADRAS, C.M. “Problemas de Probabilidades y Estadística. Vol. 1: Probabilidades”. Ediciones Universitarias de Barcelona. 1999 (Hai varias edicións anteriores).LEBOEUF, C. et al. “Exercices corrigés de probabilités”. Ellipses. 1984.MONTERO, J.; PARDO, L.; MORALES, D.; QUESADA, V. “Ejercicios y problemas de Cálculo de Probabilidades”. Ediciones Díaz de Santos. 1988.RAHMAN, N.A. “Theoretical Exercices in Probability and Statistics”. Griffin. 1983.

Competencias

A partir dos conceptos estudados e dos coñecementos adquiridos, o alumno pode facer o estudo de calquera fenómeno aleatorio: construción do espazo de probabilidades asociado, definición de variables aleatorias sobre o espazo construído e cálculo das súas características de centralización, dispersión e forma. Coñece tamén os principais modelos de variables aleatorias, discretos e continuos, así como as relacións entre eles.Como consecuencia, o alumno debe ser capaz de modelizar situacións da vida real en terminoloxía probabilística, resolvendo os problemas que se presentan en relación cos conceptos estudados.


• A materia consta de seis créditos, distribuídos en sesenta horas de clase, das que aproximadamente 45 son teórico-prácticas e 15 corresponden a seminarios. As clases teñen unha duración de 60 minutos e desenvólvense na aula asignada. A explicación de cada tema do programa por parte do profesor irá precedida da súa presentación e dos seus obxectivos.• As clases teóricas desenvólvense intercalando problemas e exemplos entre as explicacións teóricas cando se estime oportuno.• Os seminarios terán un carácter eminentemente práctico, utilizándose tamén para avaliar o aproveitamento do alumnado.• Nas titorías e titorías activas tratarase de resolver as dúbidas suscitadas polos alumnos sobre as clases teórico-prácticas ou sobre os problemas que deben resolver.• Os alumnos contarán co apoio do campus virtual da USC, a través da páxina do curso, para dispoñer de acceso ao programa, bibliografía e aos distintos boletíns de exercicios, así como a apuntamentos dalgúns temas e información sobre actividades complementarias voluntarias e a ferramentas de comunicación.


Esta materia participa nas experiencias sobre a converxencia ao Espazo Europeo de Educación Superior polo que o sistema de avaliación será distinto do tradicional.• Haberá un exame final teórico-práctico consistente na interpretación dunha serie de cuestións ou o desenvolvemento de preguntas de teoría e a resolución de problemas. A este exame daráselle un peso do 75% na nota final da materia. • A asistencia, participación e aproveitamento de clases, titorías e seminarios suporá o 25% da nota final. A súa avaliación realizarase de acordo coas liñas de actuación aprobadas pola comisión de docencia da Facultade de Matemáticas.


O tempo de traballo necesario para superar a materia depende moito dos coñecementos previos e da destreza do alumno. Normalmente, unha hora diaria de estudo e traballo persoal que complemente a asistencia a clases e titorías debería resultar suficiente.


Para superar con éxito a materia, é necesaria a asistencia ás clases teóricas e prácticas e a resolución e revisión dos problemas que se propoñan.Coa utilización da bibliografía recomendada é posible completar ou ampliar calquera tema.

Observacións

Aconséllase cursar previamente: Cálculo Diferencial e Integral.

221

Contido

Código : 091206 Nome:Xeometría Afín e Proxectiva Ano Academico : 2008/2009







Jeremias Lopez,Ana TIT-UN Profesor/a

Vale Gonsalves,M Jesus TIT-UN Profesor/a


i) Coñecer a metodoloxía básica da Xeometría, co emprego do método de coordenadas.ii) Adquirir visión espacial e formar a intuición dos sistemas de dimensión superior. iii) Pór en relación a Xeometría intuitiva coa Xeometría da perspectiva e o concepto de punto do infinito. iv) Empregar o método proxectivo para mellorar a comprensión dos problemas xeométricos.

Contidos

I. ESPAZO AFÍN

1. Variedades lineares:1.1. Incidencia e paralelismo.1.2. Posicións relativas.

2. Xeometrías afíns:2.1. Referencias afíns: coordenadas.2.2. Ecuacións de variedades lineares afíns.

3. Colineacións afíns:3.1. Grupo afín.3.2. Determinación dunha afinidade.3.3. Ecuacións dunha afinidade.

4. Cónicas e cuádricas;4.1. Lugares xeométricos no plano afín euclidiano: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.4.2. Clasificación métrica das cónicas e das cuádricas reais.4.3. Cónicas e cuádricas afíns: clasificación afín das cónicas e das cuádricas.

II. ESPAZO PROXECTIVO

1. Espazo proxectivo. Principio de dualidade:1.1. Motivación. Adxunción de puntos do infinito a un plano afín.1.2. Espazos proxectivos analíticos. Dimensión. Variedades lineares proxectivas.1.3. Sistemas de referencia proxectivos. Coordenadas homoxéneas. 1.4. Espazo proxectivo asociado ao espazo dual. Coordenadas de Plücker.1.5. Proposicións duais. Principio de dualidade.1.6. Teoremas de incidencia: Desargues, Pappus.

2. Proxectividades: 2.1. Colineacións proxectivas: proxectividades.2.2. Isomorfismos semilineares.

222

2.3. Colineación inducida por un isomorfismo semilinear.2.5. Teorema fundamental da xeometría proxectiva.

3. Encaixe dun espazo afín nun espazo proxectivo:3.1. Encaixe dun espazo afín nun espazo proxectivo: hiperplano do infinito.3.2. Homoxeneización. Compleción proxectiva de cónicas afíns .3.3. Restrición e extensión de colineacións proxectivas e afíns.

4. Configuración invariante dunha colineación:4.1. Configuración invariante dunha colineación proxectiva. 4.2. Cálculo da configuración invariante dunha colineación.4.2. Colineacións centrais: centro e eixe.4.3. Consecuencias do Teorema de Desargues e do Teorema de Pappus.

5. Razón dobre:5.1. Definición da razón dobre de catro puntos dunha recta.5.2. Invarianza da razón dobre para proxectividades.5.3. Cuaternas harmónicas e cuadrivértices completos. Planos de Fano.5.4. Teorema fundamental entre rectas proxectivas e o teorema de Staudt.5.5. Proxectividades entre rectas dun plano proxectivo.

6. Polaridades y cónicas proxectivas:6.1. Correlacións e polaridades.6.2. Polaridades no plano proxectivo e cónicas non dexeneradas.6.3. Involución definida por unha cónica sobre unha recta: construción xeométrica das tanxentes a unha cónica dende un punto.6.4. Triángulos autopolares. Ecuacións reducidas das cónicas.6.5. Clasificación proxectiva das cónicas.

7. Teoremas clásicos sobre cónicas:7.1. Cónica xerada por feixes de rectas: teorema de Steiner-Chasles.7.2. Cónica determinada por cinco puntos.7.3. Teorema de Pascal e Brianchon. Recta de Pascal e punto de Brianchon.7.4. Teoremas de Desargues e Pappus sobre cónicas. Teorema de Sturm.7.5. Feixes de cónicas.


Anzola, M.; Caruncho, J. y Pérez Canales, G.: Geometría Proyectiva Cónicas y Cuádricas. Algebra, Tomo 7, 1982.Burgos, J.: Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana (segunda edición), McGraw-Hill, 2000.Coxeter, H. M. S.: Projective Geometry. 2nd Edition, Springer, 1987.Golovina L. I.: Álgebra Lineal y algunas de sus aplicaciones. Mir, 1980.Gruenberg, K. W.; Weir, A. J.: Linear Geometry. 2nd Edition, GTM 49, Springer, 1977.Hartshorne R.: Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamín, New York 1967.Hefez, A.: Introdução à Geometria Projetiva. Monografías de Matemática, n 46, IMPA, 1989.Hernández E.: Álgebra y Geometría. Addison-Wesley/UAM, 1994.Montesdeoca, A.: Geometría Proyectiva. Cónicas y Cuádricas. CECD, Gobierno de Canarias, 2001Ruiz, J. M.; Rodríguez-Sanjurjo, J. M.: Geometría Proyectiva. Addison-Wesley Iberoamericana, Madrid 1998 Santaló, L.: Geometría Proyectiva. Eudeba, 1977.

Algunhas direccións sobre Xeometría Proxectiva en internethttp://ochoa.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/expogp.htmlhttp:/www.math.poly.edu/courses/projective_geometry

Competencias

- Manexar a linguaxe xeométrica con rigor e precisión en demostracións sobre variedades lineares afíns e proxectivas.- Comprender e manexar a relación entre as xeometrías afín e proxectiva.- Manexar argumentos baseados no principio de dualidade.- Calcular a configuración invariante dunha proxectividade.- Manexar as polaridades para o estudo de cónicas proxectivas.- Utilizar a razón dobre e aplicala a problemas xeométricos.- Coñecer os resultados básicos da xeometría proxectiva e o seu significado.


Clases de teoría e problemas con exposición por parte do profesor e, ocasionalmente, realización de problemas na aula polos alumnos.

Clases de seminario nas que os alumnos comentan as súas dúbidas sobre a materia coa orientación do profesor e realizan exercicios adicionais.


Asistencia. Realización de exercicios propostos, exposicións nos seminarios e probas (20%). Exames (80%).

223


Unha hora de estudo e traballo persoal por hora de clase de teoría impartida. Unhas 5 horas semanais.


Asistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases.

Na parte de xeometría afín, o alumno debe tratar de formalizar xeometricamente os resultados xa coñecidos de álxebra linear.

Na parte de xeometría proxectiva, inicialmente, o alumno ten que facer fincapé en adquirir unha nova visión xeométrica e só despois tratar de asimilar os resultados e teoremas explicados na materia.

224

Contido

Código : 091211 Nome:Topoloxía Ano Academico : 2008/2009


Carácter: Obrigatorio Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre





Alvarez Lopez,Jesus Antonio CAT-UN Profesor/a

Carballes Vazquez,Jose Manuel TIT-UN Profesor/a

Oubiña Galiñanes,Jose Antonio CAT-UN Profesor/a


- Introducir as nocións básicas de espazos topolóxicos, espazos métricos e continuidade.

- Construír novos espazos topolóxicos mediante produtos e cocientes.

- Coñecer as propiedades topolóxicas básicas; compacidade e conexidade.

Contidos

1.- Espazos topolóxicos e espazos métricos: Topoloxías: espazos topolóxicos; abertos. Pechados. Bases e subbases. Veciñanzas. Bases locais. Métricas nun conxunto: espazos métricos. Metrizabilidade. Comparación de topoloxías. Métricas equivalentes. Interior, clausura e fronteira. Espazos de Hausdorff. Propiedades de numerabilidade. Sucesións converxentes. Sucesións de Cauchy en espazos métricos. Espazos métricos completos. Topoloxía relativa: subespazos

2.- Continuidade:Aplicacións continuas. Aplicacións abertas e pechadas. Homeomorfismos e propiedades topolóxicas. Restricións. Aplicacións combinadas. Topoloxías inducidas. Aplicacións isométricas

3.- Suma e produto de espazos topolóxicos:Topoloxía suma. Produto finito de espazos topolóxicos; a topoloxía produto. Propiedades. Produtos e continuidade

4.- Espazos cocientes:Identificacións. A topoloxía cociente. Propiedades. Exemplos de espazos cocientes

5.- Conexidade:Espazos topolóxicos conexos. Espazos conexos por camiños. Compoñentes conexas. Conexidade local

6.- Compacidade:Espazos topolóxicos compactos. Compacidade e continuidade. Produto de espazos compactos. Compacidade local. Compactificación

7.- Espazos normais:O problema de extensión dunha aplicación continua. Retraccións. Espazos normais. Lema de Urysohn. Teorema de extensión de Tietze

8.- Compacidade e compleción en espazos métricos:Compacidade secuencial. Propiedade de Bolzano-Weierstrass. Caracterizacións da compacidade en espazos métricos. Completamento dun espazo métrico. Teorema de compleción. O espazo R como completamento de Q

225


Lima, E.L. Espaços métricos. I.M.P.A. Rio de Janeiro, 1983.Masa Vázquez, Xosé M. Topoloxía Xeral. Universidade de Santiago de Compostela. Santiago, 1999.Munkres, J.R. Topología. Prentice-Hall. Madrid, 2002.Willard, S. General Topology. Addison-Wesley. Reading, 1970.

Competencias

- Comprender distintas formas de dar unha topoloxía nun conxunto: usando abertos, pechados, abertos básicos, veciñanzas básicas; e coñecer topoloxías definidas por distancias.

- Adquirir intuición no estudo dos espazos topolóxicos abstractos.

- Ser capaces de xeneralizar a espazos topolóxicos conceptos xa coñecidos polo alumno en espazos euclidianos: interior, adherencia, puntos de acumulación, a noción de continuidade, as definicións e propiedades básicas de conexidade e compacidade; e coñecer novas propiedades xerais que tamén se aplican ao estudo de espazos métricos.

- Saber construír novos espazos a partir doutros: subespazos, espazos suma, produto e cociente.

- Afondar na noción de continuidade: homeomorfismos e propiedades topolóxicas, extensións continuas.


Exame escrito

Observacións

Materias que se aconsella cursar previamente: Topoloxía dos Espazos Euclidianos.

226

Contido

Código : 091301 Nome:Curvas e Superficies Ano Academico : 2008/2009







Cordero Rego,Luis Angel CAT-UN Profesor/a

Hervella Torron,Luis Maria CAT-UN Profesor/a


- Manexo do método do triedro móbil (Triedro de Frenet) para o estudo da teoría local de curvas, analizando en profundidade as ideas de curvatura e torsión.- Estudo das superficies regulares mediante as súas coordenadas, introducindo os conceptos de plano tanxente, diferencial dunha aplicación entre superficies e formas fundamentais. - Coñecemento e manexo da curvatura de Gauss e curvaturas normais.- Demostración e comprensión do Teorema Egregium de Gauss.

Contidos

1.- Curvas regulares. Parámetro lonxitude de arcoDefinicións. Exemplos. Vector e recta tanxentes. Parámetro lonxitude de arco. Curvas de velocidade unidade

2.- Curvatura, torsión, triedro de Frenet Curvatura e torsión dunha curva. Interpretación xeométrica. Fórmulas de Frenet-Serret

3.- Teorema fundamental de curvasTransformacións lineares. Transaccións. Transformacións afíns. Isometrías e movementos ríxidosOrientación. Teorema fundamental4.- Superficies regularesDefinicións básicas. Exemplos. Cambio de parámetros. Funcións diferenciables sobre superficies O plano tanxente. Diferencial dunha aplicación

5.- A primeira forma fundamentalA primeira forma fundamental. Aplicacións

6.- A xeometría da aplicación de GaussA segunda forma fundamental. Curvaturas normais. Teoremas de Meusnier e EulerLiñas de curvatura. Clasificación dos puntos dunha superficie. Indicatriz de DupinDireccións conxugadas

7.- A aplicación de Gauss en coordenadas locaisEcuacións de Gauss e Weingarten. Ecuacións diferenciais das liñas asintóticas e de curvatura

8.- Aplicacións entre superficiesIsometrías. Aplicacións conformes

9.- Teorema de GaussEcuacións de Codazzi-Mainardi. Teorema Egregium de Gauss. Teorema de Bonnet

10.- Aplicacións prácticasSuperficies de revolución. Superficies regradas. Superficies minimais

227


Araújo, P.V. Geometria Diferencial. Coleçao Matemática Universitária. IMPA, Rio de Janeiro. 1998Carmo, M.P.do. Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza ed. Madrid 1990.Cordero, L.A., Fernandez, M., Gray, A. Curvas y superficies con Mathematica. Addison-Wesley Iberoamericana. 1994.Fedenko, A. Problemas de geometría diferencial. Mir. Moscú 1981.Hsiung, C. C. A first course in differential geometry. Wiley. New York 1981.Klingenberg, W. Un curso de geometría diferencial. Alhambra ed. Madrid 1973.Lipschutz, L.M. Geometría diferencial. Schaum. Colombia 1971.López de la Rica, A; de la Villa Cuenca, A. Geometría diferencial. Edit. Clagsa, Madrid 1997. Milman, R.S., Parker, G.D. Elements of differential geometry. Prentice Hall.New J. 1977. Vaisman, I. A first course in differential geometry. Marcel Dekker.New York 1984.

Competencias

- Identificar as curvas regulares, illando singularidades.- Coñecemento e manexo da curvatura e da torsión dunha curva regular mediante o triedro de Frenet.- Identificación de superficies abstractas e superficies regulares. Manexo do seu plano tanxente.- Utilización da aplicación de Gauss para o estudo local dunha superficie regular. - Coñecemento das curvaturas normais dunha superficie, e das curvaturas principais cara á definición e manexo da curvatura de Gauss e da curvatura media.- Utilización do anterior para o estudo de superficies coñecidas (superficies de revolución, regradas e minimais).- Utilización de paquetes informáticos para a visualización de superficies e o cálculo dos seus elementos.


Catro horas de teoría e dúas horas de problemas e seminarios á semana.Nas clases de problemas e seminarios resolveranse os exercicios propostos nas horas de teoría e as dúbidas que poidan xurdir.Mediante o uso de ordenador, faranse exercicios prácticos de cálculo de curvaturas.


- Probas periódicas e exame final escrito.


Horas presenciais:teóricas: 60problemas: 15seminarios: 15

Horas non presenciais: 8 horas/semana x 12 semanas: 96 horasHoras de preparación do exame final: 30 horas

Total volume de traballo: 216 horas


Materias que se aconsella cursar previamente: Álxebra Linear e Multilinear, Topoloxía, Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais, Integración de Funcións de Varias Variables Reais, Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias.

Observacións

É moi importante o traballo diario para levar a materia ao día e poder seguir o desenvolvemento desta materia que é moi construtiva e intuitiva.

228

Contido

Código : 091302 Nome:Elementos de Variable Complexa Ano Academico : 2008/2009







Costal Pereira,Jose Benito TIT-UN Profesor/a


Proporcionarlle ao estudante, no seu primeiro contacto coa teoría de funcións de variable complexa, as súas ferramentas, técnicas e conceptos fundamentais, ao tempo que se destacan as propiedades principais da análise complexa e as súas diferenzas coa análise real estudada en cursos anteriores.

Contidos

DIFERENCIABILIDADE COMPLEXA1. Introdución: o corpo dos números complexos. O plano euclidiano e o plano complexo.2. O plano complexo ampliado e a esfera de Riemann: o punto do infinito.3. Diferenciabilidade complexa. Ecuacións de Cauchy-Riemann. Funcións holomorfas.4. Funcións elementais dunha variable complexa: a función exponencial, as funcións trigonométricas e hiperbólicas, as funcións logaritmo e potenciais.

TEOREMA INTEGRAL DE CAUCHY5. Integración ao longo dun camiño. Propiedades.6. Índice dun punto respecto dun camiño pechado. Propiedades.7. Versión local do teorema integral de Cauchy: fórmula integral de Cauchy.8. Analiticidade das funcións holomorfas. Teorema de Morera.9. Ceros das funcións holomorfas: teorema de unicidade.10. Funcións enteiras: teorema de Liouville.11. Teorema do módulo máximo: consecuencias.12. Teorema da aplicación aberta.13. Versión homolóxica do teorema integral de Cauchy: ciclos e ciclos homólogos.14. Versión homotópica do teorema integral de Cauchy: conxuntos abertos simplemente conexos

SINGULARIDADES ILLADAS15. Desenvolvementos en serie de Laurent.16. Singularidades illadas: clasificación. Teorema de Casorati-Weierstrass.17. Residuos. Teorema dos residuos: aplicacións.


CONWAY, J. B.: Functions of One Complex Variable, Springer, 1978.CHURCHILL, R. V.-BROWN, J. W.: Variable compleja y aplicaciones. McGraw-Hill, 1992.JAMESON, G. J. O.: A first Course on Complex Functions. Chapman and Hall, 1982.RUDIN, W.: Análisis real y complejo.: McGraw-Hill, 1987.SPIEGEL, M. R.: Variable compleja. McGraw-Hill, 1996.

Competencias

229

- Demostrar con rigor resultados teóricos da materia.- Coñecer e interrelacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa e adquirir destreza na súa aplicación a situacións concretas.- Resolver algúns problemas da análise real con axuda da análise complexa.


- Exposición teórica dos temas obxecto de estudo. Poderán propoñerse algunhas partes teóricas para a súa preparación e posterior exposición por parte dos alumnos nos seminarios.- Proposición de cuestións, exercicios ou problemas de diverso tipo (rutineiro, que requiran maior nivel de pensamento ou de relación entre diversas partes da materia).- Ademais de dar solución ás dubidas e, na medida que sexa preciso, ao mencionado no apartado anterior, nas clases prácticas e nos seminarios os alumnos deberán poñer de manifesto o labor que realizaran sobre as tarefas previamente propostas e traballar sobre outras que poidan propoñerse.


Exame teórico-práctico, que terá lugar de acordo co calendario de exames que fixe o Centro. A cualificación de cada alumno non será inferior á que obteña nese exame, pero podería ser incrementada, no seu caso e conforme o modo que se fixe, tendo en conta a actividade desenvolta por ese alumno ao longo do curso.


- Horas presenciais semanais: teóricas: 2; prácticas: 1; de seminario: 1.- Horas non presenciais: dependerán, evidentemente, do sistema de aprendizaxe do alumno ao longo do curso.


- Realizar un traballo constante de estudo todos os días, coa utilización de material bibliográfico. - Participar activamente no desenvolvemento da materia durante as horas presenciais.- Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala e, a continuación, dar resposta ás cuestións, exercicios ou problemas correspondentes.- Manexar con soltura os contidos das materias: Introdución á Análise Matemática, Cálculo Diferencial e Integral, Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais, Topoloxía dos Espazos Euclidianos.- Seguir as suxestións do profesor ao longo do curso.

230

Contido

Código : 091303 Nome:Inferencia Estatística Ano Academico : 2008/2009







Prada Sanchez,Jose Manuel CAT-UN Profesor/a


Introducir os principios básicos da Inferencia Estatística, utilizando como ferramenta de traballo o Cálculo de Probabilidades desenvolvido nas materias Introdución ao Cálculo de Probabilidades e Vectores Aleatorios.

Contidos

1.- ESTATÍSTICA MATEMÁTICA: PRELIMINARES- Fontes, evolución, obxecto e método da Estatística- Conceptos de poboación, mostra e estatístico- Principios metodolóxicos da inferencia estatística: conceptos de estimación puntual, intervalo de confianza e contraste de hipóteses

2.- DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA. CUANTÍS E MOMENTOS MOSTRAIS- Converxencia de sucesións de variables aleatorias. Leis febles e fortes dos grandes números. Teorema central do límite- Distribución empírica. Estatístico de Kolmogorov-Smirnov. Aplicacións- Mostra ordenada: cuantís mostrais. Distribucións asociadas. Aplicacións- Momentos mostrais. Distribucións asociadas

3.- INFERENCIA EN POBOACIÓNS NORMAIS- Distribución da media e varianza mostrais: distribución X2 de Pearson. Teorema de Fisher. Aplicacións- Estatístico e distribución t de Student. Aplicacións- Distribución da diferenza de medias mostrais. Aplicacións- Distribución do cociente de cuasivarianzas mostrais: distribución F de Snedecor. Aplicacións

4.- O PRINCIPIO DE SUFICIENCIA- Concepto de estatístico suficiente- Criterios para identificar un estatístico suficiente. Teorema de factorización- A familia exponencial

5.- ESTIMACIÓN PUNTUAL- Comparación de estimadores: funcións de perda e risco. Criterios Bayes e min-max- Estimadores innesgados uniformemente de mínima varianza- Cotas para a varianza: desigualdade de Fréchet-Cramer-Rao. Eficiencia- Métodos de construción de estimadores: momentos e máxima verosimilitude

6.- ESTIMACIÓN POR REXIÓNS DE CONFIANZA- Intervalos e rexións de confianza- Métodos de construción de intervalos de confianza: pivotal, Neyman, bayesiano e asintótico

7.- CONTRASTES DE HIPÓTESES- Tests de hipóteses. Criterios de optimalidade- Lema de Neyman-Pearson- Tests unilaterais e bilaterais. Tests centrados- Métodos de construción de contrastes: test de razón de verosimilitudes

231

- Tests de bondade de axuste

8.- O MODELO LINEAR- A hipótese linear xeral- O modelo de regresión linear- Análise da varianza con un e dous factores


AZZALINI, A. (1996). “Statistical Inference. Based on the likelihood”. Chapman Hall.CASELLA, G. y BERGER, R.L. (1990). “Statistical Inference”. Wadsworth & Brooks/Cole.CRISTÓBAL CRISTÓBAL, J.A. (1995). “Inferencia Estadística” (Segunda edición). Universidad de Zaragoza.DUDEWICZ, E.J. y MISHRA, S.N. (1988). “Modern Mathematical Statistics”. Wiley.GÓMEZ VILLEGAS, M.A. (2005). "Inferencia Estadística". Díaz de Santos.LEHMANN, E.L. (1991). “Testing Statistical Hypothesis” (Segunda edición). Wiley.LEHMANN, E.L. (1991). “Theory of Point Estimation” (Segunda edición). Wiley.PEÑA, D. (2001). “Fundamentos de Estadística”. Alianza Editoral.ROHATGI, V.K. (1976). “An introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics”. Wiley.SCHERVISH, M.J. (1995). “Theory of Statistics”. Springer.SHAO, J. (2003). “Mathematical Statistics” (Segunda edición). Springer.SHAO, J. (2005). “Mathematical Statistics: Exercices and Solutions”. Springer.VÉLEZ IBARROLA, R. y GARCÍA PÉREZ, A. (1993). “Principios de Inferencia Estadística”. UNED.

Competencias

- Con carácter xeral, manexar os conceptos básicos e os principios metodolóxicos da Inferencia estatística nos diversos modelos de poboación.- Utilizar os conceptos de converxencia de sucesións de variables aleatorias e leis asociadas para estudar o comportamento asintótico de estatísticos notables.- Manexar os principais estatísticos asociados a poboacións normais para a inferencia nunha ou en dúas destas poboacións.- Identificar estatísticos suficientes.- Determinar as propiedades básicas dos estimadores puntuais.- Manexar os métodos de máxima verosimilitude e momentos para a construción de estimadores.- Calcular estimadores Bayes, Min-max, ECUMV e eficientes. - Manexar os métodos pivotal, Neyman, bayesiano e asintótico para a construción de intervalos de confianza.- Formular e resolver problemas de contraste de hipóteses e manexar o test de razón de verosimilitudes.- Construír e analizar modelos lineares.


O curso impartirase en bloques teóricos de 4 horas semanais mediante lección maxistral e utilizarase fundamentalmente o encerado. Fomentarase a participación dos alumnos nas clases propoñéndose diversos exercicios para a súa resolución fóra das devanditas horas.

Unha vez a semana, haberá unha hora de prácticas de encerado na que se presentarán e se resolverán exercicios e casos prácticos enunciados nas clases e nos boletíns de problemas que se entregan. Nestas prácticas, para conseguir un mellor aproveitamento e participación dos alumnos, o grupo de teoría subdivídese en tres subgrupos, que se organizan da seguinte forma.

A primeira semana (posiblemente, as dúas primeiras), o profesor resolverá exercicios diferentes nos tres subgrupos; os alumnos dos diferentes subgrupos deberán comunicarse entre si para dispoñer de todas as solucións. As titorías programadas servirán para resolver dúbidas neste sentido.

A partir da segunda semana (posiblemente, da terceira), o profesor resolverá exercicios só en dous subgrupos, utilizando o terceiro, que rotará todas as semanas, para avaliar os alumnos do devandito subgrupo. Esta avaliación, relativa aos exercicios resoltos ata ese momento (por exemplo, resolución dun exercicio), poderá ser oral ou escrita. No segundo caso, cada tres semanas todos os alumnos terán sido avaliados unha vez. No primeiro, en función do tamaño de cada subgrupo, quizais cada seis semanas. Sería razoable, e posible nun curso de quince semanas, acadar dúas avaliacións escritas e unha oral de cada alumno.

Ademais, opcionalmente, os alumnos poderán realizar un estudo de simulación sobre cuestións concretas propostas ao longo do curso nas clases teóricas, como por exemplo:1. Aproximar por Monte Carlo a distribución ou características da distribución dun estatístico, en particular o erro cuadrático medio dun estimador.2. Aproximar por Monte Carlo o erro de recubrimento dun intervalo de confianza para unha característica poboacional.3. Aproximar por Monte Carlo a función de potencia dun test de hipóteses para contrastar unha suposición relativa a unha característica poboacional.Este estudo, que poderá realizarse ben de modo individual, ben en grupos de dous alumnos, presentarase antes de realizar o exame final.


O 25% da nota final procederá da asistencia (obrigatoria) e da participación activa nas clases prácticas.

O 75% restante procederá dun exame final escrito que poderá incluír cuestións teóricas ou teórico-prácticas (ata 2 puntos) e

232

exercicios (resto da puntuación ata un total de 10 puntos).

Dado que esta metodoloxía, en principio será opcional para o alumno (alumnos repetidores con incompatibilidades horarias…), a nota final y, será:

y = máx {x, 0,75x + 0,25s},

onde x é a nota do exame final e s a procedente das clases prácticas. Para incentivar a asistencia ás clases prácticas, o valor de s será 5 se o alumno asiste, polo menos, ao 80% das devanditas clases (0, noutro caso). Entre asistentes, esta nota poderá chegar a 10 en función das avaliacións.

A valoración do estudo opcional de simulación farase entre 0 e 1, e engadirase á nota final y.


O tempo de traballo necesario para superar esta materia depende moito da destreza e das habilidades do alumno. En xeral, unha hora e media diaria de estudo e de traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debe resultar suficiente. Mediante unha enquisa controlarase semanalmente o tempo real investido polos alumnos nela.


Para superar con éxito a materia é necesaria a asistencia ás clases teóricas e prácticas e a resolución e revisión dos boletíns de exercicios entregados ao longo do curso. Todos os temas do programa poden seguirse perfectamente polos apuntamentos tomados na clase. Ademais, no epígrafe bibliografía básica e complementaria aparece unha lista de textos recomendados para a materia cos que é posible completar ou ampliar calquera tema.

Observacións

Aconséllase cursar previamente as materias Introdución ao Cálculo de Probabilidades e Vectores Aleatorios.

233

Contido

Código : 091311 Nome:Introdución á Álxebra Ano Academico : 2008/2009


Carácter: Obrigatorio Convocatoria: Segundo Cuadrimestre





Alonso Tarrio,Leovigildo M TIT-UN Profesor/a

Fernandez Rodriguez,Rosa M TIT-UN Profesor/a

Garcia Rodicio,Antonio CAT-UN Profesor/a

López López,Purificación TIT-UN Profesor/a


Establecer as estruturas alxébricas fundamentais das matemáticas que van ser usadas noutras disciplinas.

Estudar a divisibilidade nos aneis de enteiros e de polinomios e noutros aneis importantes, usando os resultados para obter a estrutura de módulos sobre estes aneis.

Contidos

1. ANEISGrupos. Aneis. Subaneis. Ideais. Homomorfismos de aneis. Anel cociente. Teoremas de isomorfía. Corpos. Característica dun corpo. Aneis conmutativos. Ideais primos e maximais. Nilradical e radical de Jacobson. Operacións con ideais. Teorema chino dos restos. Elementos irredutibles. Dominios de factorización única. Dominios de ideais principais. Dominios euclidianos. Aneis de polinomios. Algoritmo de Euclides

2. MÓDULOSMódulos. Submódulos. Módulo cociente. Homomorfismos de módulos. Teoremas de isomorfía. Módulos cíclicos. Produto directo e suma directa. Módulos libres. Xeradores e relacións. Sucesións exactas. Lema do Ker-Coker. Sucesións rotas

3. FUNCTORES HOMCategorías, functores e transformacións naturais. Functores Hom e sucesións exactas. Módulos proxectivos. Módulos inxectivos. Criterio de Baer. Módulos inxectivos e módulos divisibles. APÉNDICE: restrición de escalares. O Lema de Nakayama. Módulos proxectivos sobre un anel local

4. PRODUTO TENSORIALProduto tensorial. Asociatividade do produto tensorial. Isomorfismo de adxunción. Produto tensorial e sumas directas. Produto tensorial e sucesións exactas. Módulos planos. Extensión de escalares. Rango dun módulo libre sobre un anel conmutativo. APÉNDICE: Módulos planos de presentación finita

5. MÓDULOS DE TIPO FINITO SOBRE DOMINIOS DE IDEAIS PRINCIPAISEquivalencia de matrices. Diagonalización. O teorema de estrutura. Módulos de torsión e compoñentes primarios. Invariantes


M. F. ATIYAH e I. G. MACDONALD, Introducción al Álgebra Conmutativa, Reverté, 1978.N. BOURBAKI, Commutative Algebra, Ch I (Flat modules), Springer, 1989.N. BOURBAKI, Algebra, Cap. I, II, VII, Springer, 1990.

234

P. J. HILTON e YEL-CHIANG WU, Curso de Álgebra Moderna, Reverté, 1977.B. HARTLEY e T. O. HAWKES, Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman and Hall, 1970.S. LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1993.J. J. ROTMAN, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, 1979.

Competencias

- Coñecer os diferentes tipos de estruturas alxébricas.- Manexo da linguaxe categórica no caso concreto da categoría de módulos.- Utilización das sucesións exactas de módulos e de certos resultados relacionados con elas.- Clasificar os grupos abelianos finitamente xerados.


Cada alumno recibirá 3 horas de teoría, 1 de práctica e 1 de seminario á semana.

A parte práctica da materia consistirá na resolución de exercicios que serán propostos polo profesor ou en boletín de problemas.


Exame.


- HORAS PRESENCIAIS: 45 teóricas, 15 prácticas, 15 seminarios- HORAS NON PRESENCIAIS: 150- Horas de avaliación: 4- TOTAL volume de traballo: 229 horas/cuadrimestre


Ter unha dedicación constante á disciplina co fin de comprender e manexar os conceptos estudados.

Dedicar esforzos para aplicar os razoamentos das demostracións teóricas á resolución de problemas.

235

Contido

Código : 091312 Nome:Métodos Numéricos Ano Academico : 2008/2009







Ferrin Gonzalez,Jose L TIT-UN Profesor/a

Rodriguez Iglesias,Carmen TIT-UN Profesor/a


1. Coñecer as ferramentas e os algoritmos máis relevantes para a resolución de: sistemas de ecuacións non lineares, problemas de optimización e problemas de aproximación de funcións.2. Fomentar a capacidade constructiva e crítica do alumno respecto das técnicas estudadas.3. Desenvolver en linguaxe informática a programación dos algoritmos estudados.

Contidos

1. Resolución de sistemas de ecuacións non lineares2. Métodos numéricos en optimización3. Aproximación de funcións no sentido de mínimos cadrados4. Problema de mínimos cadrados discreto


1. Bertsekas, D.P. [1995]: Nonlinear programming. Athena Scientific.2. Burden, R.L.—Faires, J.D. [1998]: Análisis Numérico. ITP Thomson.3. Ciarlet, P. G. [1982]: Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimization. Masson4. Davis, P.J. [1975]: Interpolation and Approximation. Dover.5. Dennis-Schnabel, P.G. [1983]: Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. Prentice Hall.6. Hanselman, D.-Littlefield,B. [2005]: Mastering MATLAB.Pearson/Prentice Hall.7. Metcalf, M.-Reich, J. [1999]: Fortran 90/95. Oxford University.8. Nocedal, J.-Wright, S. J. [1999]: Numerical Optimization. Springer-Verlag.9. Ortega, J.M.—Rheinboldt, J. [1970]: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Academic Press.10. Quintela, P. [1997]: Introducción a MATLAB y sus aplicaciones. Servicio de Publicacións de la USC.11. Sun, W.-Yuan,Y.: Optimization Theory and Methods. Springer 2006.

Competencias

Resolución de problemas: tendo que resolver problemas concretos.

Organización do tempo: tendo que organizar o seu tempo de traballo para presenta-las tarefas que periodicamente encomenda o profesor.

Uso de computadoras: como ferramenta de uso imprescindible para realiza-los cálculos numéricos correspondentes aos métodos que se estudan na materia. Isto permitirá ademais acadar fluidez nas linguaxes de programación.

Comunicación verbal e escrita: ao ter que explicar e ademais presentar informes escritos correspondentes a algúns dos

236

exercicios a realizar no Laboratorio de Informática.


3 horas de clases teórico-prácticas e 1 hora de laboratorio de informática á semana.Os alumnos realizarán tres prácticas de programación en Fortran e Matlab, e certos traballos encomendados polo profesor.


1. Exame escrito: 7 puntos.2. Programación: 2 puntos. A realización desta parte é requisito imprescindible para aprobar a materia.3. Traballos: 1 punto. 4. Para superar a materia é necesario acadar 5 puntos na nota global.


Horas presenciais teórico-prácticas: 45.Horas presenciais de laboratorio informático: 15.Horas non presenciais: 85.Horas de avaliación: 5.

TOTAL: 150 h.


1. Coñecemento das materias de informática, análise matemática e numérica dos cursos anteriores.2. Asistencia diaria a tódalas clases.3. Participación activa nas clases.4. Estudo diario mínimo para seguir o ritmo de aprendizaxe dos contidos.

Observacións

O primeiro día de clase entregaráselle a cada alumno unha guía docente onde se expoñen con detalle tódolos apartados deste programa, e onde se insire, asemade, información adicional de interese.

237

Contido

Código : 091313 Nome:Series de Fourier e Introdución ás E.D.P. Ano Academico : 2008/2009

Créditos teóricos: 3 Créditos prácticos: 1.5 Total: 4.5






Costal Pereira,Fernando CAT-UN Profesor/a

Fernandez Perez,Fco Javier TIT-UN Profesor/a


Introducir o alumno no estudo e na resolución práctica das ecuacións en derivadas parciais que regulan, nun marco elemental, procesos físicos reais tales como vibracións, transmisión de calor e distribución de potencial. Como ferramenta necesaria para este estudo, preséntanse previamente os conceptos e resultados elementais dos espazos de Hilbert, con especial incidencia nos exemplos e aplicacións. Singularízanse, con particular énfase, os conceptos e práctica con series de Fourier respecto do sistema trigonométrico no espazo das funcións de cadrado sumable nun intervalo limitado.

Contidos

1.- ESPAZOS DE HILBERT. Espazos dotados de produto interior. Bases ortonormais. Espazos de Hilbert. Teorema de Riesz-Fisher

2.- SERIES DE FOURIER. O espazo das funcións de cadrado integrable. Sistema trigonométrico. Converxencia de series de Fourier: puntual, uniforme, en media

3.- ECUACIÓN DE ONDAS. Problema da corda vibrante. Solución de D’Alembert. Separación de variables

4.- ECUACIÓN DA CALOR. Problema da transmisión da calor nunha barra. Método de separación de variables. Principio do máximo

5.- ECUACIÓN DO POTENCIAL. Ecuación de Laplace en dúas variables. Principio do máximo. Problemas de Dirichlet e Neumann


L. ABELLANAS e A. GALINDO, Espacios de Hilbert, Eudema, 1991.L. C. ANDREWS, Elementary Partial Differential Equations with Boundary Value Problems, Academic Press, 1986.W. BOYCE e R. DIPRIMA, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Limusa, 1996.A. CAÑADA VILLAR, Series de Fourier y Aplicaciones. Un tratado elemental con notas históricas y ejercicios resueltos, Pirámide, 2002.R. CHURCHILL, Series de Fourier y Problemas de Contorno, McGraw-Hill, 1966.A. KOLMOGOROV e S. FOMIN, Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional, Mir, 1978.I. PERAL, Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Addison-Wesley/U. Autónoma Madrid, 1995.G. F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas, McGraw-Hill, 1993.

Competencias

Comprender, asimilar e saber expresar con rigor os conceptos e técnicas que se desenvolven no programa. Dun xeito

238

especial, deberá ser quen de aplicar os resultados relativos aos espazos de Hilbert, con especial incidencia no caso do espazo de funcións de cadrado integrable, e determinar distintos tipos de converxencia das series de Fourier en exemplos e aplicacións. Resolución práctica das ecuacións en derivadas parciais que regulan, nun marco elemental, procesos tales como vibracións, transmisión de calor e distribución de potencial e particularizalos a exemplos concretos con significado físico.


A materia impártese durante 3 horas semanais, distribuídas na proporción axeitada entre teoría, práctica e seminarios. Procurarase fomentar o interese do alumnado ante os conceptos obxecto da materia, nos seus aspectos teórico e práctico.

O alumnado disporá de referencias bibliográficas apropiadas e concretas para cada un dos temas, así como de “Boletíns de Problemas” cos que poderá poñer a proba en cada momento o nivel acadado na súa preparación da materia e as súas posibilidades de cara á superación do exame final.


Exame final escrito, que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade de aplicación dos mesmos a casos concretos, tanto de carácter teórico como aplicado.A nota final (NF) obterase a partires da nota do exame final (NEF) e da nota obtida ó longo do curso (NC) consonte o algoritmo:NF=0.7NEF+máx(0.3NC, 0.3NEF) A nota do curso (NC) obterase tendo en conta a participación do alumno nas tarefas propostas con esta finalidade.


Aínda que é difícil computar o tempo necesario, xa que depende do grao de formación de cada alumno, pódese considerar que para un alumno medio debería ser suficiente unha dedicación de hora e media por cada hora de clase impartida.


O alumno deberá manexar con soltura os temas estudados nas materias “Introdución á Análise Matemática”, “Cálculo Diferencial e Integral”, “Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais” e “Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias”. Partindo desta situación, deberá traballar con regularidade e rigor, así como acudir ás clases dun modo participativo e preguntar, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.

239

Contido

Código : 091314 Nome:Teoría Global de Superficies Ano Academico : 2008/2009







Bonome Dopico,Agustin TIT-UN Profesor/a

Pérez Fernández de Córdoba,María de los Ojos GrandesBOL.BPREUXUNTA (MARÍA BARBEITO) Bolseiro/a

Torres Lopera,Juan Francisco TIT-UN Profesor/a


Estudo dos campos de vectores nun aberto do espazo euclidiano e dos campos de vectores tanxentes e normais a unha superficie. Estudo dos conceptos de integral de liña e integral de superficie. Campos de vectores paralelos. Transporte paralelo dun vector ao longo dunha curva. Xeodésicas. Curvatura xeodésica. Estudo das propiedades e teoremas máis destacados da xeometría diferencial global de superficies, incluíndo orientabilidade, o teorema de Gauss-Bonnet e o teorema da rixidez da esfera.

Contidos

1. Campos de vectoresCampos de vectores nun aberto do espazo euclidiano. Gradiente, diverxencia e rotacional. Campos de vectores ao longo dunha curva. Integrais de liña. Campos de vectores tanxentes a unha superficie regular

2. OrientabilidadeCampos de vectores normais a unha superficie. Atlas orientados. Caracterización da orientabilidade das superficies regulares mediante campos normais

3. Integración en SuperficiesIntegración en superficies. Teoremas de Green, Stokes e Gauss-Ostrogradski

4. Superficies compactas en R3. A rixidez da esferaLema de Hilbert. Teorema de Liebmann. Rixidez da esfera

5. Transporte paralelo e xeodésicasDerivada covariante ao longo dunha curva sobre unha superficie. Campos de vectores paralelos. Transporte paralelo dun vector tanxente ao longo dunha curva. Xeodésicas. Curvatura xeodésica. Fórmula de Liouville

6. Teorema de Gauss Bonnet.Trianguacións e característica de Euler-Poincaré. Fórmula local de Gauss-Bonnet. Teorema global de Gauss-Bonnet. Aplicacións

7. A aplicación exponencialAplicación exponencial. Coordenadas normais e coordenadas poares xeodésicas. Lema de Gauss. Carácter minimizante local das xeodésicas. Estrutura métrica dunha superficie regular. Teorema de Hopf-Rinow

8. ComplementosSuperficies abstractas. Superficies regulares (ou embebidas) nun espazo euclidiano. Esbozo da xeometría riemanniana sobre unha superficie abstracta. Superficies completas

240


APOSTOL, T.M. Calculus, vol. 2. Blaisdell Pub. Company, 1967. (versión castelán, Edit.Reverté, 1973).DO CARMO, M.P.(*) Differential Geometry of curves and surfaces. Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1976. (versión castelán, Alianza Editorial, 1990).FEDENKO, A. Problemas de geometría diferencial. Mir. Moscú 1981.GRAY, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press, 1998.GÖETZ, A. Differential Geometry, Addison-Wesley, 1970.KLINGENBERG, W. A Course in Differential Geometry. Springer-Verlag, GTM 51, 1978. (versión en castelán, Edit. Alhambra, 1973).LEHMAN, D. e SACRÉ, C. Géométrie et Topologie des Surfaces . Presses Universitaires de France, Paris, 1982.LIPSCHUTZ, L.M. Geometría diferencial. Mac Graw Hill, Serie Schaum. México 1971.MARSDEN, J.E. e TROMBA, A.J. Cálculo vectorial, 5ª edición. Addison Wesley Iberoamericana, Madrid 2004.MONTIEL, S. e ROS, A. Curvas y superficies . Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997O'NEILL, B. Elementary Differential Geometry. Second Edition Academic Press, 1997. (versión castelán, Limusa-Wiley, 1972).VENTURA ARAÚJO, P. G Diferencial. IMPA, Rio de Janeiro, 1998.

O libro máis utilizado no curso aparece marcado cun (*) na Bibliografía.

Competencias

1.- Uso dos conceptos de gradiente, diverxencia e rotacional.2.- Orientación de curvas e superficies.3.- Resolver integrais de liña e de superficie. Uso dos teoremas de Green, Stokes e Gauss-Ostrodadski.4.- Cálculo do transporte paralelo en curvas sinxelas.5.- Coñecer as xeodésicas de superficies elementais.6.- Coñecemento dos principais métodos de obtención da curvatura xeodésica.7.- Uso do teorema de Gauss-Bonnet para o cálculo dalgunhas integrais sobre rexións dunha superficie.


A distribución semanal da materia será aproximadamente a seguinte: 3 horas de clase de teoría, 1 hora de clase de problemas e 1 hora de seminarios. Nas clases de problemas traballarase sobre os exercicios que se lles propuxeron aos alumnos e sobre dúbidas aparecidas nas clases teóricas.


Haberá un dobre método de avaliación: a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o exame, fixado no calendario da Facultade; e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, baseada principalmente na participación de cada estudante na aula. A cualificación da materia será a do exame incrementada, no seu caso e ata un 30%, baseándose nunha avaliación continuada positiva.

O exame terá unha parte de teoría (ente un 25 e un 40% do total da proba), que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. O resto consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso.


Horas presenciais:45 horas teóricas15 horas de problemas15 horas de seminarios

Horas non presenciais: 80 horas relacionadas coa docencia presencial (6 á semana: 4 horas de teoría, 1 de problemas e 1 de seminarios)20 horas para preparar traballos20 horas de preparación do exame final

Horas de avaliación: 5 horas exame final


Observacións

241

Aconséllase ter cursadas previamente as seguintes materias: - Álxebra Linear e Multilinear - Topoloxía- Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais,- Integración de Funcións de Varias Variables Reais- Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias - Curvas e Superficies

242

Contido

Código : 091315 Nome:Vectores Aleatorios Ano Academico : 2008/2009







Prada Sanchez,Jose Manuel CAT-UN Profesor/a


Coñecer os principios básicos do Cálculo de Probabilidades no contexto de máis dunha dimensión (vectores e sucesións de variables aleatorias), ferramenta de traballo que –xunto con Introdución ao Cálculo de Probabilidades (contexto dunha dimensión)– se utilizará, entre outras, na materia de Inferencia Estatística.

Contidos

TEMA 1.- VECTOR ALEATORIO. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADE ASOCIADA - Concepto. Espazo probabilístico inducido. Función de distribución n-dimensional

TEMA 2.- TIPOS DE VECTORES ALEATORIOS - Tipos discreto, absolutamente continuo, singular e situacións mixtas. Distribucións marxinais e condicionadas. Fórmula de Bayes xeralizada- Independencia de variables aleatorias: caracterización

TEMA 3.- TRANSFORMACIÓN DE VECTORES ALEATORIOS - Caso discreto- Caso absolutamente continuo. Aplicacións. Método de Box-Muller- Convolución de distribucións. Reprodutividade

TEMA 4.- CARACTERÍSTICAS DUNHA DISTRIBUCIÓN VECTORIAL - Vector de medias e matrices de varianzas-covarianzas e correlacións. Propiedades. Interpretación do seu rango. Varianza xeneralizada. Aproximacións empíricas- Función xeratriz e característica: propiedades. Fórmula de inversión. Caracterización da independencia

TEMA 5.- O MODELO DE CORRELACIÓN (FUNCIÓN DE REGRESIÓN)- Rectas de regresión mínimo cuadráticas. Descomposición da varianza: varianza residual e coeficiente de correlación- Liñas xerais de regresión. Descomposición da varianza: varianza residual e razón de correlación- Regresión linear n-dimensional. Descomposición da varianza: varianza residual e coeficiente de correlación múltiple. Correlación parcial. Aplicacións- Aproximacións empíricas dos modelos de correlación

TEMA 6.- PRINCIPAIS DISTRIBUCIÓNS VECTORIAIS- Distribución multinomial- Distribución normal. Transmisión do carácter mediante transformacións lineares. Caracterización da normalidade

TEMA 7.- INTRODUCIÓN ÁS SUCESIÓNS DE VARIABLES ALEATORIAS - Concepto. Espazo probabilístico inducido. Distribución da sucesión- Criterios de converxencia: probabilidade, case segura, r-media e distribución. Relacións

TEMA 8.- LEIS FEBLES E FORTES DOS GRANDES NÚMEROS. TEOREMA CENTRAL DO LÍMITE - Principais condicións suficientes e caracterizacións das leis- Teorema central do límite para sucesións de variables aleatorias independentes e identicamente distribuídas. Velocidade de converxencia

243


TEXTOS XERAIS:

DEGROOT, M.H. (1988). "Probabilidades y Estadística". Addison-Wesley.DUDEWICK, E.J. e MISHRA, S.N. (1988). "Modern Mathematical Statistics". Wiley.HAIGH, J. (2002). "Probability Models". Springer-Verlag.KARR, A.F. (1993). “Probability”. Springer-Verlag.PETROV, V. e MORDECKI, E. (2002). "Teoría de Probabilidades". Editorial URSS.QUESADA, V. e GARCÍA, A. (1988). "Lecciones de Cálculo de Probabilidades". Ediciones Díaz de Santos S.A.VÉLEZ, R. (2004). “Cálculo de probabilidades 2”. Ediciones Académicas, S.A.

TEXTOS DE PROBLEMAS:

DACUNHA-CASTELLE, D. e DUFLO, M. (1982). "Exercices de Probabilités et Statistique". Masson.FERNÁNDEZ-ABASCAL, H. e outros (1995). “Ejercicios de Cálculo de Probabilidades resueltos y comentados”. Ariel Matemática.HERNÁNDEZ, V. e outros (1989). “Problemas y ejercicios de Teoría de la Probabilidad”. Cuadernos de la UNED.LEBOEUF, C. e outros (1984). "Exercices corrigés de Probabilités". Ellipses.MONTERO, J., PARDO, L., MORALES, D. e QUESADA, V. (1988). "Ejercicios y problemas de Cálculo de Probabilidades". Ediciones Díaz de Santos.RAHMAN, N.A. (1983). "Theoretical exercices in Probability and Statistics". Griffin.RÍOS, S. (1989). "Ejercicios de Estadística". Paraninfo.VENTZEL, E.S. e OWTSCHAROW, L.A. (1978). "Problemas de Cálculo de Probabilidades". Paraninfo.

Competencias

- Calcular, para vectores aleatorios discretos ou absolutamente continuos, as súas distribucións marxinais e condicionadas, a distribución de transformacións destes vectores, o seu vector de medias, a súa matriz de varianzas e covarianzas e as funcións xeratriz e característica - Calcular aproximacións empíricas do vector de medias e da matriz de varianzas e covarianzas- Interpretar o rango da matriz de varianzas e covarianzas - Utilizar o concepto de independencia entre vectores aleatorios - Calcular e interpretar coeficientes que midan o grao de dependencia entre dúas ou máis variables e construír a recta e a liña de regresión para dúas variables e o hiperplano de regresión para n variables. - Calcular aproximacións empíricas dos coeficientes de correlación e dos modelos de regresión considerados.- Descompoñer a varianza dunha variable no contexto de regresión. - Aplicar os modelos multinomial e normal n dimensional. - Aplicar os diferentes criterios de converxencia para sucesións de variables aleatorias.


O curso impartirase en bloques teóricos de 3 horas semanais, mediante lección maxistral, e utilizarase fundamentalmente o encerado. Fomentarase a participación dos alumnos nas clases, nas que se proporán diversos exercicios para a súa resolución fóra das devanditas horas.

Unha vez á semana haberá unha hora de prácticas de encerado na que se formularán e resolverán casos prácticos e exercicios, enunciados nas clases e nos boletíns de problemas entregados, utilizando as técnicas desenvolvidas no programa de teoría; nestas prácticas, para conseguir un mellor aproveitamento e participación dos alumnos, o grupo de teoría subdivídese en tres subgrupos, que se organizan da seguinte forma.

A primeira semana (posiblemente, as dúas primeiras), o profesor resolverá exercicios diferentes nos tres subgrupos; os alumnos dos diferentes subgrupos deberán comunicarse entre si para dispoñer de todas as solucións. As titorías programadas servirán para resolver dúbidas neste sentido.

A partir da segunda semana (posiblemente, da terceira), o profesor resolverá exercicios só en dous subgrupos, utilizando o terceiro, que rotará todas as semanas, para avaliar os seus alumnos. Esta avaliación, relativa aos exercicios resoltos ata ese momento (por exemplo, resolución dun exercicio), poderá ser oral ou escrita. No segundo caso, cada tres semanas todos os alumnos serán avaliados unha vez. No primeiro, en función do tamaño de cada subgrupo, quizais cada seis semanas. Sería razoable, e posible nun curso de quince semanas, acadar dúas avaliacións escritas e unha oral de cada alumno.

Ademais, opcionalmente, os alumnos poderán realizar un estudo de simulación sobre cuestións concretas propostas ao longo do curso nas clases teóricas, como comparación entre características dun vector aleatorio, recta de regresión teórica, liña xeral de regresión… e as súas correspondentes aproximacións empíricas. Este estudo, que poderá realizarse de modo individual, ou ben, en grupos de dous alumnos, presentarase antes de realizar o exame final.


O 25% da nota final procederá da asistencia (obrigatoria) e da participación activa nas clases prácticas.

O 75% restante procederá dun exame final escrito que poderá incluír cuestións teóricas ou teórico-prácticas (ata 2 puntos) e exercicios (resto da puntuación ata un total de 10 puntos).

Dado que esta metodoloxía, en principio será opcional para o alumno (alumnos repetidores con incompatibilidades

244

horarias…), a nota final y, será:

y = máx {x, 0,75x + 0,25s},

onde x é a nota do exame final e s a procedente das clases prácticas. Para incentivar a asistencia ás clases prácticas, o valor de s será 5 se o alumno asiste, polo menos, ao 80% das devanditas clases (0, noutro caso). Entre asistentes, esta nota poderá chegar a 10 en función das avaliacións.

A valoración do estudo opcional de simulación farase entre 0 e 1 e engadirase á nota final y.


O tempo de traballo necesario para superar esta materia depende moito da destreza e das habilidades do alumno. En xeral, unha hora e media diaria de estudo e de traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debe resultar suficiente. Mediante unha enquisa controlarase semanalmente o tempo real investido polos alumnos nela.


Para superar con éxito a materia, é necesaria a asistencia ás clases teóricas e prácticas e a resolución e revisión dos boletíns de exercicios entregados ao longo do curso. Todos os temas do programa poden seguirse perfectamente polos apuntamentos tomados na clase. Ademais, no epígrafe bibliografía básica e complementaria aparece unha lista de textos recomendados para a materia cos que é posible completar ou ampliar calquera tema.

Observacións

Aconséllase cursar previamente as seguintes materias: Cálculo Diferencial e Integral Nunha e Varias Variables e Introdución ao Cálculo de Probabilidades.

245

Contido

Código : 091401 Nome:Álxebra Ano Academico : 2008/2009







Majadas Soto,Jose Javier CAT-UN Profesor/a


Estudo das estruturas alxébricas básicas necesarias para a obtención dos teoremas de Galois e Abel sobre a resolubilidade de ecuacións alxébricas.Despois do estudo dos tópicos habituais en teoría de grupos finitos (teoría de Sylow e resolubilidade de grupos finitos), estúdase con detalle a factorización de polinomios con coeficientes nun corpo e os criterios de Eisenstein, de cambio devariable e de redución, para a determinación da irredutibilidade de polinomios.A parte fundamental da materia está centrada na metodoloxía necesaria para o uso destes conceptos na teoría de Galois de ecuacións alxébricas.As aplicacións ás conxecturas xeométricas clásicas sobre a trisección do ángulo, duplicación do cubo, e cuadratura do círculo, así como a construtibilidade de polígonos regulares, son tamén contempladas neste curso, xa que constitúe o marco natural para o seu estudo, e todas elas forman parte da bagaxe cultural imprescindible para calquera matemático.

Contidos

1.- Complementos sobre as estruturas alxébricas básicas: grupos finitos (co estudo da teoría de Sylow da resolubilidade de grupos finitos) e aneis de polinomios, coa aplicación a estes dos resultados básicos sobre factorialidade en aneis xa estudada no curso de “Introdución a Álxebra” 2.- Extensións de corpos. As nocións fundamentais de extensión alxébrica e transcendente e o teorema do grao para extensións finitas permiten sentar a base para iniciar a parte máis específica do curso e tamén contestar xa ás conxecturas xeométricas clásicas antes mencionadas3.- Extensións normais. Onde se considera o problema da existencia de extensións do corpo de coeficientes dun polinomio na que este teña polo menos unha raíz e, por reiteración apropiada, atopar unha extensión onde o polinomio escinda en factores lineares. A existencia de clausura alxébrica dun corpo arbitrario e o estudo da noción de multiplicidade das raíces dun polinomio serán tamén contempladas aquí4.- Teoría de Galois. A utilización da teoría de grupos, en relación co retículo das subextensións dunha certa extensión de corpos dada, constitúe o núcleo central da metodoloxía que se vai seguir para o estudo da resolubilidade de ecuacións alxébricas. Próbase aquí, tamén, o teorema fundamental da Álxebra como unha aplicación máis da teoría de Sylow de grupos finitos5.- Resolubilidade por radicais. Todas as ferramentas ata agora desenvolvidas permiten introducir o grupo de Galois dun polinomio en relación cos grupos de permutacións, e, demostrado o gran teorema de Galois que establece a resolubilidade por radicais de ecuacións alxébricas en termos da resolubilidade do grupo, próbase o teorema de Abel sobre a non resolubilidade da ecuación alxébrica xeral de grao n maior ou igual que 56.- Construtibilidade de polígonos regulares. O teorema de Gauss-Wantzel sobre a construtibilidade de polígonos regulares é ilustrativo e constitúe unha aplicación sinxela dalgúns resultados da teoría de extensións radicais


ARTIN, E. Galois Theory. Dover (1997)BOURBAKI, N. Algèbre, Chapitres IV - VII. Masson, Paris (1981)COHN, P. Algebra. (vol. 1 y 2). Wiley (1984 , 1989)LANG, S. Algebra. Addison- Wesley (1993)MILNE, J. S. Fields and Galois Theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/index.html

246

Competencias

Manexar con soltura os contidos da materia


Exposicións polo profesor


Exame escrito


Depende do alumno e da súa formación previa

247

Contido

Código : 091402 Nome:Análise Funcional en Espazos de Banach Ano Academico : 2008/2009







Isidro Gomez,Jose Maria CAT-UN Profesor/a

Otero Perez,M Carmen TIT-UN Profesor/a


i) Coñecer os fundamentos dos espazos de Banach.ii) Coñecer os fundamentos dos espazos de Hilbert.iii) Coñecer os fundamentos do espazo de operadores lineares limitados entre espazos de Banach.iv) Coñecer os fundamentos da teoría espectral de operadores entre espazos de Hilbert.

Contidos

CAPÍTULO I. ESPAZOS DE BANACH (Teoría: 25 horas; Prácticas: 12,5 horas)Propiedades elementais e exemplos. Operadores lineares entre espazos normados. Funcionais lineares continuos. Dual topolóxico dun espazo normado. O teorema de Hanh-Banach. Os teoremas da aplicación aberta e do gráfico pechado. O principio de acotamento uniforme. Aplicacións e exemplos. Duais sucesivos dun espazo de Banach. Inmersión canónica dun espazo no seu bidual. Topoloxías débil e débil*. Espazos reflexivos. O ideal dos operadores compactos

CAPÍTULO II. ESPAZOS DE HILBERT (Teoría: 25 horas; Prácticas: 12.5 horas)Propiedades elementais e exemplos. Ortogonalidade. Teorema da proxección. Teorema de representación de Riesz. Conxuntos ortonormais, Ortonormalización. Bases ortonormais. Transformación de Fourier. Isomorfismos entre espazos de Hilbert. O adxunto dun operador acotado. Proxeccións. Operadores compactos entre espazos de Hilbert. Diagonalización de operadores autoadxuntos compactos


1.- H. Megginson, An introduction to Banach Space Theory, Springer 1998. 2.- J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer 1990. 3.- H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Universidad Textos 1984. 4.- A. Vera López & P. Alegría Ezquerra, Un curso de Análisis Funcional. Teoría y problemas, AVL 1997.


Exame escrito teórico-práctico.

248


Son coñecementos previos imprescindibles: Álxebra Linear, Topoloxía dos Espazos Métricos e Teoría da Medida.

249

Contido

Código : 091403 Nome:Cálculo Numérico Ano Academico : 2008/2009







Lopez Pouso,Oscar TIT-UN Profesor/a

Mato Eiroa,M Pilar TIT-UN Profesor/a

Seoane Martinez,Maria Luisa TIT-UN Profesor/a


1) Describir os métodos de cuadratura e os esquemas de discretización de EDO máis importantes.

2) Asimilar os conceptos básicos relativos ás fórmulas de cuadratura: orde de exactitude, optimalidade, converxencia.

3) Asimilar os conceptos fundamentais da análise numérica para EDO: discretización, consistencia, orde, estabilidade, converxencia e estabilidade numérica.

4) Coñecer e utilizar adecuadamente un marco teórico xeral de análise das propiedades dos esquemas de resolución numérica de EDO.

5) Poñer en práctica e validar algún dos métodos estudados.

6) Ser capaz de aplicar con solvencia os métodos estudados a problemas concretos.

Contidos

1) Fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico.1.a) Construción e análise do erro das fórmulas de Newton-Cotes e das fórmulas de Gauss1.b) Regras compostas1.c) Converxencia

2) Esquema de diferenzas finitas para unha EDO de segunda orde linear con condicións Dirichlet: descrición e análise. Programación no ordenador

3) Resolución numérica de problemas de valor inicial3.a) Métodos básicos: Euler explícito, Euler implícito, regra do trapecio,regra do punto medio. Programación dos métodos de Euler3.b) Descrición das familias máis importantes: métodos Runge-Kutta, métodos lineares multipaso e métodos predictor-corrector. Programación do método de Runge-Kutta clásico3.c) Teoría xeral dos métodos de discretización3.c.i) Conceptos básicos: consistencia, orde, estabilidade, converxencia e estabilidade numérica3.c.ii) Caracterización da consistencia e a estabilidade. Estudo da orde3.d) Problemas ríxidos


**BÁSICA:

250

1) ASCHER, URI M.; PETZOLD, LINDA R. (1998) Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM, Philadelphia, PA.2) CIARLET, PHILIPPE G. (1982) Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l'optimisation. Masson, Paris.3) HAIRER, ERNST; NØRSETT, SYVERT PAUL; WANNER, GERHARD (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin.4) HENRICI, PETER (1962) Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, New York, NY.5) ISAACSON, EUGENE; KELLER, HERBERT BISHOP (1994, reimpresión correxida) Analysis of Numerical Methods. Dover Publications, New York, NY. [Edición orixinal: 1966 en Wiley]6) LAMBERT, JOHN DENHOLM (1991) Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. Wiley, Chichester.7) STOER, JOSEF; BULIRSCH, ROLAND (1993, segunda ed.) Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York, NY. [Primeira edición: 1980]

**COMPLEMENTARIA:1) BUTCHER, JOHN CHARLES (2003) Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Wiley, Chichester.2) CROUZEIX, MICHEL; MIGNOT, ALAIN L. (1989, segunda edición) Analyse Numérique des Équations Differentielles. Masson, Paris. [Primeira edición: 1984]3) DAVIS, PHILIP J.; RABINOWITZ, PHILIP (1975) Methods of Numerical Integration. Academic Press, New York, NY.4) DEKKER, KEES; VERWER, JAN G. (1984) Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations. Elsevier Science Publishers B. V., Amsterdam.5) ENGELS, HERMANN (1980) Numerical Quadrature and Cubature. Academic Press, London.6) HAIRER, ERNST; WANNER, GERHARD (1991) Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer, Berlin.7) KINCAID, DAVID RONALD; CHENEY, ELLIOT WARD (1991) Numerical Analysis. Brooks/Cole, Pacific Grove, CA.8) KROMMER, ARNOLD R.; UEBERHUBER, CHRISTOPH W. (1994) Numerical Integration on Advanced Computer Systems.Springer, Berlin.9) LAMBERT, JOHN DENHOLM (1973) Computational Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, London.10) QUARTERONI, ALFIO; SACCO, RICCARDO; SALERI, FAUSTO (2000) Numerical Mathematics. Springer, New York, NY.11) UEBERHUBER, CHRISTOPH W. (1997) Numerical Computation 1/2. Methods, Software, and Analysis. Springer, Berlin.

Competencias

1) Coñecer as fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico.

2) Construír algunhas fórmulas de cuadratura, aplicalas a problemas concretos e acotar o erro cometido.

3) Coñecer as dúas grandes familias de métodos de resolución numérica de EDO (Runge-Lutta e lineares multipaso), así como os métodos predictor-corrector.

4) Estudar consistencia, orde, estabilidade, converxencia e estabilidade numérica dalgúns esquemas de discretización de EDO.

5) Coñecer algún método de discretización para problemas de segunda orde con condicións Dirichlet.

6) Coñecer os conceptos básicos asociados á análise dos métodos numéricos estudados.

7) Poñer en práctica os métodos e avaliar criticamente os resultados obtidos.


1) Planificación coordinada dos contidos de cada clase.2) Explicación no encerado (lección maxistral).3) Entrega de boletíns de problemas.4) Curso virtual.3) Programación no ordenador dalgúns métodos.


Exame escrito valorado sobre 9 puntos.

Este exame conterá unha pregunta de programación, que non valerá máis de 2 puntos.

Sobre a nota obtida no exame, o alumno poderá sumar ata un máximo de 1,5 puntos pola realización de traballos prácticos de programación. A nota de prácticas sumarase á nota do exame soamente se o alumno acada no devandito exame un mínimo do 40% da puntuación tanto na parte teórica como na pregunta de programación.

En calquera caso, para superar a materia será obrigatorio realizar as prácticas de ordenador que se mencionan no apartado “contidos”.


Horas presenciais:teóricas: 60 horas.de problemas: 20 h.

251

de prácticas de ordenador: 15 h.

Horas non presenciais: 150 h. (90 h. de teoría, 30 h. de problemas, 30 h. de prácticas de ordenador).

Horas de avaliación: 5 h.

Volume total de traballo: 250 h.


1) Comprender o que se estuda. Para comprobalo, o alumno debería ser capaz de realizar por si mesmo os exercicios propostos na clase e nos boletíns de problemas.

2) Facer uso do horario de titorías.

3) Recorrer á bibliografía.

252

Contido

Código : 091404 Nome:Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ano Academico : 2008/2009







Rodriguez Lopez,Rosana ASOU Profesor/a


Introducir ao alumno no campo da teoría cualitativa das ecuacións diferenciais ordinarias, tanto dende o punto de vista teórico como práctico, poñendo de manifesto o interese desta diante da dificultade ou imposibilidade, especialmente no caso non linear, de obter as súas solucións. As técnicas estudadas son aplicadas a ecuacións que representan modelos de diferentes problemas en distintos campos científicos.

Contidos

1. Campos de vectores e fluxos. Diferenciabilidade de fluxos xerados por campos de vectores2. Retrato de fases asociado a un campo de vectores. Aplicación a problemas da física, bioloxía, medicina, etc.3. Clasificación topolóxica dos campos vectoriais lineares4. Equivalencia e conxugación de campos de vectores. Teorema do fluxo tubular. Teorema de Hartman5. Sistemas conservativos. Integrais primeiras. Aplicación á resolución de sistemas de ecuacións diferenciais6. Estabilidade e estabilidade asintótica. Persistencia da estabilidade por conxugacións topolóxicas7. Estudo da estabilidade de solucións de sistemas lineares autónomos8. Estudo da estabilidade de solucións de sistemas autónomos non lineares por medio da aproximación linear9. Método de Liapunov para o estudo da estabilidade de solucións de sistemas autónomos non lineares10. Conxuntos invariantes e estabilidade. Rexión de atracción. Aplicacións


ARNOLD, V. I., Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Rubiños, 1995.

BRAUER, F. e NOHEL, J. A., Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Benjamin, 1969.

CODDINGTON, E. e LEVINSON, N., Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.

FERNÁNDEZ PÉREZ, C., Ecuaciones Diferenciales I', Pirámide, 1992.

FERNÁNDEZ PÉREZ, C. e VEGAS MONTANER, J. M., Ecuaciones Diferenciales II, Pirámide, 1996.

GUZMÁN, M., Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Teoría de Estabilidad y Control, Alhambra, 1987.

HIRSCH, M. e SMALE, S., Ecuaciones Diferenciales. Sistemas dinámicos y álgebra lineal, Alianza Univ., 1983.

JORDAN, D.W. e SMITH, P., Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford Univ. Press, 1992.

ROUCHE, N. e MAWHIN, J., Equations Differentielles Ordinaires, vol. 1 e 2, Masson et Cíe, 1973.

SOTOMAYOR, J., Liçoes de Equaçoes Diferenciais Ordinarias, IMPA, 1979.

253

Competencias

Comprender, aprender e saber expresar con rigor os conceptos e técnicas que se desenvolven no programa. Traducir, en termos de ecuacións diferenciais ordinarias, algúns problemas das ciencias aplicadas (física, química, bioloxía, medicina, etc.). Utilizar as técnicas matemáticas estudadas para facer o estudo dinámico das ecuacións obtidas (diagramas de fases, estabilidade, etc.) e interpretar os resultados, avaliando as fortalezas e debilidades do modelo proposto.


A materia, de 6 créditos (4 T + 2 P), impártese en 4 horas semanais, coa adecuada proporción entre teoría e práctica. Procurarase fomentar o interese e a participación do alumnado ante a teoría cualitativa das ecuacións diferenciais e as súas aplicacións a distintos problemas concretos. O alumnado disporá de referencias bibliográficas apropiadas e concretas para cada un dos temas, así como de “Boletíns de Problemas” cos que poderá poñer a proba en cada momento o nivel acadado na súa preparación da materia e as súas posibilidades de cara á superación do exame final.


Exame final escrito que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e coa capacidade de aplicación dos mesmos a casos concretos.


Aínda que é difícil computar o tempo necesario, xa que depende do grao de formación e das habilidades de cada alumno, pódese considerar que para un alumno medio debería ser suficiente unha dedicación de hora e media por cada hora de clase impartida.


O alumno deberá manexar con soltura os temas estudados nas materias “Introdución á Análise Matemática”, “Cálculo Diferencial e Integral”, “Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais”, “Integración de Funcións de Varias Variables Reais” e, de modo moi especial, os contidos da materia “Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias”, por ser a materia que precede, en canto a contidos, a esta materia. Partindo desta situación, deberá traballar con regularidade e rigor, así como acudir ás clases dun modo participativo e preguntar, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.

254

Contido

Código : 091405 Nome:Xeometría e Topoloxía Ano Academico : 2008/2009







Alcalde Cuesta,Fernando TIT-UN Profesor/a

Castro Bolaño,Regina TIT-UN Profesor/a


Estudar os conceptos básicos da xeometría diferencial no contexto xeral das variedades diferenciables, destacando a súa importancia na física e favorecendo o punto de vista intrínseco e global fronte aos puntos de vista extrínsecos e locais previos.

Trasladar as destrezas adquiridas no cálculo diferencial, exterior e integral dos modelos locais, os espazos euclidianos, ás variedades diferenciables.

Contidos

1. Variedades topolóxicas e diferenciablesVariedades topolóxicas. Variedades diferenciables. Propiedades topolóxicas das variedades

2. Aplicacións diferenciables Aplicacións diferenciables. Difeomorfismos. Funcións diferenciables reais

3. Vectores tanxentesEspazo vectorial tanxente. Aplicación linear tanxente. Difeomorfismos locais.

4. Subvariedades e variedades cocienteSubvariedades inmersas e regulares. Variedades cociente

5. Campos de vectoresFibrado tanxente. Campos de vectores. Curvas integrais. Grupos uniparamétricos de transformacións

6. Formas diferenciaisFibrado cotanxente. Formas diferenciais. Diferencial exterior

7. Particións da unidadeVariedades paracompactas. Particións diferenciables da unidade

8. OrientaciónOrientación nos espazos vectoriais. Orientación nas variedades diferenciables

9. Integración e teorema de Stokes Integración de formas en variedades. Integración sobre dominios regulares. Teorema de Stokes


BACHMAN D., A Geometric Approach to Differential Forms. Birkhäuser, Boston, 2006.

255

BOOTHBY W.M., An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1986. CONLON L., Differentiable Manifolds. A first Course. Birkhäuser, Boston, 1993.DARLING R.W.R., Differential Forms and Connections. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. LEE J.M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, Berlin, 2000MATSUSHIMA Y. Differentiable Manifolds. Marcel Dekker, New York, 1972.

Competencias

- Coñecer os conceptos básicos da xeometría diferencial. - Trasladar as destrezas adquiridas no cálculo diferencial, exterior e integral ás variedades diferenciables.


4 horas de teoría e 2 horas de problemas semanais. Realizarase un control periódico da aprendizaxe mediante unha ou varias probas escritas ou a resolución de problemas propostos no encerado.


Avaliación continuada baseada no traballo de cada alumno na aula e avaliación final mediante unha proba escrita fixada no calendario da facultade. No caso de avaliación continuada en grupos pequenos, que non superen os dez alumnos, unha avaliación continuada positiva eximirá da realización do exame final. En xeral, a cualificación final non será inferior á calificación do exame final, pero poderá verse incrementada ata un 40% se a avaliación continuada é positiva. No caso de realización dunha ou varias probas escritas, a cualificación final poderá igualar á media das cualificacións de todas as probas. Cada proba escrita consistirá en varias cuestións teóricas, que poden incluír a definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial dos mesmos, e varios problemas análogos aos resoltos no curso.


Horas presenciais:60 horas teóricas 30 horas prácticas

Horas de traballo autónomo:90 horas de estudo teórico e práctico relacionado coa docencia presencial70 horas de preparación dos exercicios e do exame final

TOTAL: 250 horas de traballo para o alumno

256

Contido

Código : 091411 Nome:Teoría da Medida Ano Academico : 2008/2009

Créditos teóricos: 4.5 Créditos prácticos: 1.5 Total: 6.0






Costal Pereira,Jose Benito TIT-UN Profesor/a

Del Río Vázquez,Miguel Antonio TIT-UN Profesor/a

Lopez Pouso,Rodrigo TIT-UN Profesor/a


Introducir os alumnos nos fundamentos e técnicas básicas da Teoría da Medida e Integración abstractas, proporcionarlles un instrumental básico para o estudo doutras materias da licenciatura ou doutras ciencias e poñer de manifesto, á vez, a conveniencia de facer esa abstracción.

Contidos

1. Medida e integración abstractas.Sigma-álxebras e medidas. Espazos de medida. Completamento dun espazo de medida. Funcións medibles. Propiedades. Aproximación de funcións medibles mediante funcións medibles simples. Integración de funcións medibles. Propiedades. Teoremas de converxencia.

2. Medida e integración en espazos localmente compactos.Preliminares topolóxicos. O teorema de representación de Riesz para funcionais lineares positivos. Propiedades de regularidade das medidas de Borel. Propiedades de continuidade das funcións medibles; o teorema de Lusin.

3. Os espazos Lp.Os espazos £p. Desigualdades integrais (desigualdades de Hölder e de Minkowski). Seminormas en £p. Completitude dos espazos Lp. Aproximación en Lp mediante funcións continuas.

4. Medidas complexas.Variación total dunha medida complexa. Variacións positiva e negativa dunha medida real; descomposición de Jordan. Medidas absolutamente continuas. Medidas mutuamente singulares. O teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym. Algunhas consecuencias inmediatas. Teorema de descomposición de Hahn.

5. Medida e integración en espazos produto.Sigma-álxebra produto e medida produto. O teorema de Fubini. Completamento do espazo produto.


CASTILLO, F., Análisis Matemático II, Alhambra.CHAE, S. B., Lebesgue Integration, Springer-Verlag.GUZMÁN, M. e RUBIO, B., Integración: teoría y técnicas, Alhambra.HEWITT, E. e STROMBERG, K., Real and abstract Analysis, Springer-Verlag.RUDIN, W., Análisis Real y Complejo, McGraw-Hill.WHEEDEN, R. L. e ZYGMUND, A., Measure and Integration, Marcel Dekker.

257

Competencias

Demostrar con rigor resultados teóricos da materia. Coñecer e relacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa, así como a súa aplicación a problemas concretos.


Exposición teórica dos temas obxecto de estudo. Procurarase que a intuición e o coñecemento que debe terse de situacións ou problemas estudados previamente facilite a comprensión e a aprendizaxe daqueles.Proposición de cuestións, exercicios ou problemas de diverso tipo (rutineiro, que requiran maior nivel de pensamento ou de relación entre diversas partes da materia). Resolución, na medida que sexa preciso, ao mencionado no apartado anterior e, no seu defecto, tratar cuestións, exercicios ou problemas que sirvan de complemento para a aprendizaxe ou para adquirir unha visión máis ampla da materia. As clases teóricas e prácticas mesturaranse, na medida do posible, con obxecto de facilitar a aprendizaxe da materia.


Exame final escrito no que se avaliará o dominio dos contidos da materia tanto dende o punto de vista teórico como práctico e que terá lugar de acordo co calendario de exames que fixe o centro.


Horas presenciais semanais: teóricas 3; prácticas 1. Horas non presenciais: dependerán, evidentemente, do proceso de aprendizaxe do alumno; en todo caso, parece aconsellable dedicar polo menos unha hora e media por cada hora de clase pressencial.


Realizar un traballo constante de estudo todos os días, coa utilización de material bibliográfico. Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala. Dar resposta ás cuestións, exercicios ou problemas correspondentes. Ter cursado previamente as materias seguintes: Introdución á Análise Matemática, Cálculo Diferencial e Integral, Integración de Funcións de Varias Variables Reais, Topoloxía.

258

Contido

Código : 091421 Nome:Física Xeral Ano Academico : 2008/2009


Carácter: Optativo Convocatoria: Segundo Cuadrimestre





Maza Frechin,Jesus TIT-UN Profesor/a


i) Coñecer os conceptos fundamentais da física no dominio das ondas, mecánica, electromagnetismo e termodinámica que permiten analizar cuantitativamente os fenómenos físicos asociados.ii) Aprender a aplicar os conceptos e resultados básicos da física en diferentes contextos e situacións.iii) Salientar a diferenza entre os obxectivos e a metodoloxía da física e os das matemáticas.

Contidos

1.Ondas As ondas: ver e oír. Descrición das ondas. Propiedades xerais: a) Ondas lonxitudinais e transversais; b) Efecto Doppler; c) Superposición de ondas; d) Reflexión; e) Refracción; f) Enerxía; g) Propagación do fronte de ondas; h) Interferencia; i) Difracción. Óptica xeométrica: a) Refracción por unha superficie esférica; b) Imaxe dunha lente delgada; c) Aberracións.Problemas

2.MecánicaCinemática: ecuacións básicas; referenciais. Leis de Newton. Traballo, enerxía e potencia. Campo gravitacional: exemplos de aplicación: leis de Kepler, mareas. Momento linear: o centro de masa. Momento angular. Movementos oscilatorios: a) estabilidade, b) oscilador harmónico, c) exemplos, d) oscilador harmónico con rozamento, e) oscilador forzado. Problemas

3. ElectromagnetismoInteraccións fundamentais. O campo electrostático: campo dipolar; teorema de Gauss; aplicacións. A corrente eléctrica Lei de Ohm. Forza electromotriz. O campo magnetostático: forza de Lorentz. Indución electromagnética. Conservación da carga eléctrica. Ecuacións de Maxwell. Ondas electromagnéticas: propagación no baleiro, propagación en medios condutores. Problemas

4. TermodinámicaTraballo e calor. Temperatura. Propiedades xerais das substancias. O gas perfecto e o gas real. Os principios da Termodinámica. Introdución á Física Estatística. Transmisión de enerxía: condución, convección, radiación. Problemas


Para a seguinte listaxe tivéronse en conta os libros dispoñibles na biblioteca da Facultade de Matemáticas.

TEXTOS Jorge Días de Deus e outros, INTRODUCCIÓN A LA FISICA, McGraw-Hill (2001).Marcelo Alonso y Edward J. Finn, FISICA, Addison-Wesley Iberoamericana (1986).Robert M. Eisberg y Lawrence S. Lerner, FÍSICA. FUNDAMENTOS Y APLICACIONES.McGraw-Hill (1990).F. Rubio Royo, FÍSICA. CONCEPTOS BASICOS, Editorial Interinsular Canaria (1985).J. Catalá, FÍSICA, (1988).S. Burbano, E. Burbano y C. García Muñoz, FÍSICA GENERAL, Mira Editores, Zaragoza (1993).W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove, FISICA CLÁSICA Y MODERNA, McGraw-Hill (1995).

259

PROBLEMASS. Burbano, E. Burbano y C. García Muñoz, PROBLEMAS DE FISICA, Mira Editores, Zaragoza (1993)Félix A. González, LA FÍSICA EN PROBLEMAS, Ed. Tebar Flores (1981).Lisardo Núñez, LA FÍSICA EN PROBLEMAS, Universidad de Santiago (1994).

Outro material docente:Publicaranse apuntamentos da materia: tanto o contido básico co que deberá familiarizarse o alumno como a colección de problemas que se resolverán ao longo do curso.

Competencias

• Aplicar os resultados básicos teóricos a situacións e casos concretos, incluíndo o cálculo numérico das variables físicas pertinentes.• Captar a simplicidade conceptual da meirande parte dos principios e leis básicas da física.• Manexo de recursos (fontes, etc.) e desenvolvemento da capacidade expositiva empregando os medios que ofrecen as TIC.


Presentación breve expositiva por parte do Profesor dos 4 temas.Resolución da colección de problemas do curso por parte dos alumnos, organizados en grupos de dous ou tres. As devanditas resolucións serán expostas e comentadas na clase polos seus autores, que tamén as poñerán por escrito constituíndo unha “memoria de problemas” que entregarán ao final do curso.Sesións expositivas de Presentacións multimedia (diapositivas mediante videoproxector) realizadas polos alumnos sobre temas de física elixidos por eles mesmos. Os autores entregaranlle ao Profesor unha copia destas Presentacións.


Esencialmente trátase dun proceso de avaliación continua. A resolución de problemas será puntuada cun máximo de 7,5 puntos.Os 2,5 puntos restantes poderán obterse ben mediante a exposición dunha Presentación multimedia ou ben mediante un exame final de cuestións e problemas numéricos.


Horas presenciais teoría: 15Horas presenciais problemas: 20Horas presenciais Presentación: 5

Horas non presenciais teoría: 10Horas non presenciais problemas: 20

Horas non presenciais Presentación: 15Horas preparación exame final: 15

TOTAL VOLUME DE TRABALLO: 85 horas


Trátase de ir descubrindo a rede conceptual que sostén a física. Aínda que as relacións entre fenómenos físicos exprésanse cuantitativamente mediante ecuacións, a énfase debe poñerse no “armazón conceptual”, polo que o estudo debe ser esencialmente reflexivo, interrogándose continuamente e indagando sobre as ideas físicas expresadas polas ecuacións.

Observacións

Dado o carácter de avaliación continua da materia, a asistencia á clase é requisito imprescindible.

260

Contido

Código : 091422 Nome:Programación Avanzada Ano Academico : 2008/2009







Alvarez Dios,Jose Antonio TIT-UN Profesor/a


Estudo dunha linguaxe de programación procedural.Introdución á algoritmia.Introdución á programación orientada a obxectos.

Contidos

1. Linguaxe C: tipos intrínsecos e derivados, entrada e saída, sentenzas de control, punteiros, funcións matemáticas, vectores e matrices (2,5 créditos)2. Introdución á linguaxe C++: entrada e saída, clases, funcións matemáticas, vectores e matrices (1 crédito)3. Introdución á algoritmia: clasificación de algoritmos matemáticos (1 crédito)


El lenguaje de programación C. Kerningham e Ritchie.C++. Guía de autoenseñanza. SchildtFundamentos de algoritmia. Brassard e Bratley.

Competencias

Programar en C.Deseño de estruturas de datos e algoritmos.Programar en C++.


Docencia Virtual en Web temática, traballos propostos cada semana.


Traballos e exame. Os traballos representarán o 30 por cento da nota final.


261

20 teóricas + 5 prácticas + 20 prácticas ordenadorHoras non presenciais: 90 (6 horas/semana, 2 h de teoría, 2 de problemas/prácticas, 2 h. preparación do exame final)Horas de avaliación: 4Total volume de traballo: 139 horas.


Coñecementos do sistema operativo UNIX.

262

Contido

Código : 091461 Nome:Teoría da Probabilidade Ano Academico : 2008/2009







Coladas Uria,Luis CAT-UN Profesor/a

Fernandez Sotelo,Maria Angeles TIT-UN Profesor/a


Consolidar os fundamentos matemáticos do cálculo de probabilidades adquiridos no primeiro ciclo da licenciatura utilizando os recursos da teoría da medida. Estudo detallado dos distintos problemas de converxencia de sucesións de variables aleatorias e de sumas parciais (leis dos grandes números e problema central do límite).

Contidos

1. Revisión dos conceptos da teoría da medida no contexto da teoría da probabilidadeEstruturas de interese na teoría da probabilidade. Funcións de conxunto. Extensión da medida e aplicacións. Integración: revisión dos distintos conceptos e resultados e aplicación aos momentos das variables aleatorias

2. Función de distribuciónFunción de distribución dunha variable aleatoria. Descomposición dunha función de distribución. Sucesións de funcións de distribución

3. Funcións característicasPropiedades. Relación cos momentos. Teoremas de inversión. Teorema de continuidade. Caracterización das funcións características

4. Sucesións de variables aleatoriasDistintos conceptos de converxencia e relacións entre eles

5. Leis dos grandes númerosLeis débiles e fortes dos grandes números e resultados relacionados: lemas de Borel-Cantelli, teoremas de Markov, Gnedenko, Khintchine, Kolmogorov e Etemadi. Series de variables aleatorias

6. Problema central do límiteFormulacións e solucións dos distintos problemas do límite: teorema clásico, distribucións estables e autodivisibles, distribucións infinitamente divisibles


ASH, R. “Real Analysis and Probability”, Academic Press. 1972. (A 2ª edición titulase “Probability and measure theory” e foi publicada no ano 2000 por Harcourt/Academic Press).ATHREYA, K.B.; LAHIRI, S.N. “Measure Theory and Probability Theory”, Springer. 2006.BILLINGSLEY, P. “Probability and Measure”, 3ª ed., Wiley. 1995.CHUNG, K.L. “A Course in Probability Theory”, Academic Press. 1968.DUDLEY, R.M. “Real Analysis and Probability”, Wadsworth&Brooks/Cole. 1989.EISEN, M. ”Introduction to Mathematical Probability Theory”, Prentice-Hall. 1969.KINGMAN, J.F.C.; TAYLOR, S.J. “Introduction to Measure and Probability”, Cambridge University Press. 1973.

263

LAHA, R.G.; ROHATGI, V.K. “Probability Theory”, Wiley. 1979.LOEVE, M. “Teoría de la Probabilidad”, Tecnos, 1976.LUKACS, E. “Characteristics Functions”, Griffin. 1970.RENYI, A. “Cálculo de probabilidades”, Reverté. 1976.

Competencias

- Coñecemento dos resultados teóricos incluídos no programa e que serán necesarios no estudo doutras materias da licenciatura e incluso de terceiro ciclo.- Capacidade para aplicar correctamente os resultados obtidos á resolución de problemas.


- Clases teóricas que inclúen aplicacións dos conceptos e resultados estudados. - Resolución de problemas entregados previamente ao alumnado co obxecto de favorecer o traballo individual e de grupo.


Exame escrito que inclúe preguntas de teoría ou cuestións teórico-prácticas e problemas. O exame valorarase de 0 a 10puntos. Para aprobar a materia será necesario obter 5 puntos ou máis.


O tempo de traballo necesario para superar a materia depende moito dos coñecementos previos e da destreza do alumno. Normalmente, dúas horas de traballo persoal (estudo de resultados teóricos e resolución de problemas) por cada hora de clase deberían ser suficiente.


- Para superar con éxito a materia é necesaria a asistencia á clase e a resolución e revisión dos problemas que se propoñan.- Coa utilización da bibliografía xeral ou a que se recomende para cuestións específicas é posible completar e ampliar calquera tema.

Observacións

Materias que se aconsella cursar previamente: Teoría da Medida.

264

Contido

Código : 091471 Nome:Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo Ano Academico : 2008/2009


Carácter: Optativo Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre





Lopez Pouso,Oscar TIT-UN Profesor/a


i) Manexar con soltura o cálculo alxébrico, diferencial e integral con campos vectoriais e tensoriais.ii) Coñecer a cinemática dun medio continuo deformable. iii) Coñecer os principios fundamentais da Termomecánica dos medios continuos, nas formas integrais e diferenciais.

Contidos

1. Álxebra tensorial. Espazo dos tensores como aplicacións multilineares. Operacións. Bases. Os tensores de segunda orde como endomorfismos. Valores e vectores propios. Teorema espectral

2. Análise tensorial. Operadores diferenciais. Teoremas integrais

3. Cinemática. Definición de deformación. Propiedades. Definición de movemento. Propiedades

4. Masa. Distribución de masa. Principio de conservación da masa. Propiedades. Momentos linear e angular. Centro de masa

5. Forza. Hipótese de Cauchy. Forzas e momentos. Leis de equilibrio dos momentos. Tensor de tensións. Teorema de Cauchy. Ecuación do movemento

6. Enerxía. Primeiro principio da Termodinámica. Formas locais. Enerxía interna

7. Entropía. Segundo principio da Termodinámica. Desigualdade de Clausius-Duhem. Outras formas locais


ALFREDO BERMÚDEZ, Continuum Thermomechanics. Progress in Mathematical Physics, Vol. 43, Birkhäuser, 2005.MORTON E. GURTIN, An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press. New York, 1981.ÓSCAR LÓPEZ POUSO, An Introduction to Continuum Mechanics. Problemas resueltos (Capítulos I-VI). Publicacións Docentes do Departamento de Matemática Aplicada, nº 1. Universidade de Santiago de Compostela, 2002.

Competencias

Manexo do cálculo alxébrico, diferencial e integral, necesario para o estudo da mecánica dos medios continuos. Coñecemento da Cinemática e do significado xeométrico dos campos asociados a un movemento. Paso das formas integrais dos principios de conservación ás formas locais. Interpretación do tensor de tensións.


Clases teóricas e prácticas de encerado.

265


Exame escrito de teoría e práctica. Para aprobar a materia será imprescindible presentarse ao exame e obter un total de 5 puntos ou máis.


Horas presenciais:- teóricas: 30- problemas: 15- ordenador: 0

Horas non presenciais: 70

Horas de avaliación: 5

Total volume de traballo: 120


1) Comprender o que se estuda. Para comprobalo, o alumno debería ser capaz de realizar por si mesmo os exercicios propostos na clase.

2) Facer uso do horario de titorías.

3) Recorrer á bibliografía.

266

Contido

Código : 091472 Nome:Modelos Matemáticos Ano Academico : 2008/2009







Bermudez De Castro Lopez-Varela,Alfredo CAT-UN Profesor/a

Muñoz Sola,Rafael TIT-UN Profesor/a


1. Dotar os alumnos do coñecemento fundamental, unificando conceptos, da Termomecánica de medios continuos.2. Estudar as teorías de fluídos ideais, viscosos e incompresibles e fluídos elásticos.3. Estudar unha introdución ás teorías da termoviscoelasticidade linear e non linear.

Contidos

1. Leis constitutivas: o concepto de corpo material.2. Fluídos ideais. Ecuacións de Euler incompresibles. Estudo dos movementos planos e irrotacionais.3. Fluídos incompresibles viscosos.4. Materiais hiperelásticos con condución de calor e viscosidade. Materiais de Coleman-Noll.5. O principio da indiferenza material.6. Eliminación da entropía.7. Isotropía.8. Paso a coordenadas Lagrangianas.9. Modelos linearizados.10. Fluídos. Fluidos elásticos: ecuacións da acústica. 11. Gases perfectos.


Bibliografía básica:[1] A. BERMÚDEZ. Continuum Thermomechanics. Birkhäuser. Basel. 2005.[2] M. E. GURTIN. An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press.New York, 1981.

Bibliografía complementaria:[1] D. J. ACHESON. Elementary Fluid Dynamics. Clarendon Press. Oxford. 1990.[2] S. CANDEL. Mécanique des Fluides. Bordas. Paris. 1990.[3] P. G. CIARLET. Élasticité Tridimensionnelle. Masson. Paris. 1985.[4] A. J. CHORIN, J. E. MARSDEN. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Springer. New York. 1993.[5] B. D. COLEMAN, W. NOLL. Thermodynamics of viscosity, heat conduction andelasticity. Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 13 (1963), 167-178. Tamén en The Foundations of Mechanics and Thermodynamics. Springer. Berlin. 1974.[6] G. DUVAUT. Mécanique des Milieux Continus. Masson. Paris. 1990.[7] O. LÓPEZ POUSO. "An Introduction to Continuum Mechanics" de M. E. Gurtin. Ejercicios resueltos (capítulos I-VI). Publicacións docentes do Departamento de Matemática Aplicada, USC. 2002.[8] J. OBALA. Exercices et problèmes de mécanique des milieux continus. Masson. 1988.[9] I. L. RYHMING. Dynamique des Fluides. Presses Polytechniques Romandes. Laussane. 1981.

267

[10] J. SERRIN. Mathematical principles of classical fluids mechanics. Encyclopedia of Physics, Volume VIII/1 Fluid Dynamics I, edited by C. Truesdel. Springer-Verlag. 1959.[11] Z. U. A. WARSI Fluid Dynamics. Theoretical and Computational Approaches. CRC Press LLC. 1999.[12] H. ZIEGLER. An Introduction to Thermomechanics. North Holland. Amsterdam. 1981.

Competencias

1. Manexar as propiedades das funcións tensoriais.2. Expresar as leis físicas mediante ecuacións diferenciais ou integrais.3. Expresar as propiedades dos materiais mediante ecuacións da álxebra tensorial.4. Modelar o comportamento termomecánico asociado a materiais xerais.5. Deducir os modelos máis usuais en física e na enxeñaría para sólidos e fluídos.


O alumno recibe tres horas de teoría e dúas de problemas por semana.

De maneira acompasada co ritmo do curso, iránselles propoñendo aos alumnos exercicios que deberán resolver e expoñer na clase. Tamén se enunciarán cuestións para que eles desenvolvan por escrito.


Un exame final escrito que contará o 85% da cualificación. O 15% restante corresponderá á realización de exercicios e achegas persoais relacionadas con aspectos (teóricos ou prácticos) da materia.


Horas presenciais:- teóricas: 45- de problemas: 30- de prácticas de ordenador: 0

Horas non presenciais: 117,5h ( 6,5h á semana, 4,5h de teoría e 2h de problemas/prácticas + 20h de preparación do exame final).Horas de avaliación: 4h

Total volume de traballo: 196,5h


Ter bos coñecementos da materia Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo.Asistir e participar activamente nas clases presenciais.Dedicar un mínimo diario ao estudo da materia.

268

Contido

Código : 091481 Nome:Álxebra Conmutativa Ano Academico : 2008/2009







López López,Purificación TIT-UN Profesor/a


- Coñecer os elementos básicos da teoría de aneis conmutativos e os seus ideais, con especial fincapé nos aneis de polinomios sobre un corpo ou sobre os enteiros, e nos seus cocientes e localizacións.

- Introducir as técnicas alxébricas básicas para empregar na Xeometría Alxébrica e na Teoría dos Números.

Contidos

1. Aneis conmutativos, módulos e localizaciónIdeais. Espectro primo dun anel conmutativo. Aneis e módulos de fraccións. Ideais en aneis de fraccións. Propiedades locais.

2. Condicións de cadeaAneis noetherianos e artinianos. Aneis noetherianos: localización e álxebras de tipo finito (Teorema da base de Hilbert). Criterios para determinar se un anel é noetheriano. Módulos de lonxitude finita. Aneis artinianos.

3. Descomposición primaria Ideais primarios, propiedades. Teoremas de unicidade da descomposición primaria. Teorema de existencia da descomposición primaria para aneis noetherians.

4. Dependencia enteiraExtensións enteiras de aneis. Aneis integramente pechados. Primos nunha extensión enteira: Teoremas de ascenso e descenso.

5. Valoracións. Dominios de DedekindAneis de valoración. Aneis de valoración discreta. Dominios de Dedekind: ideais fraccionarios, grupos de clases de ideais.

6. K-álgebras afínsTeorema dos ceros de Hilbert. Lema de normalización de Noether.

7. DimensiónDimensión de Krull. Dimensión das K-álgebras afíns. Teorema do ideal principal de Krull xeralizado. Dimensión de aneis noetherians locais. Dimensión de Chevalley. Aneis locais regulares.

Apéndice.A1.- O grao do polinomio de Hilbert-Samuel. Teorema da dimensión.A2.- Propiedades das sucesións regulares: complexo de Koszul. Caracterización homolóxica dos aneis locais regulares: Teorema de Auslander-Buchsbaum-Serre.


M. F. Atiyah e I. G. MacDonald, Introducción al álgebra conmutativa, Ed. Reverté, 1973.N. Bourbaki, Commutative algebra, Chap I-VII, Springer Verlag, 1989.

269

D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, GTM, Springer, 1995.J. A. Hermida, M. L. Pérez e J. G. Tena, Álgebra local, Univ. de Valladolid, Secreteriado de Publicaciones, 1985.E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkhäuser, 1985.H. Matsumura, Commutative Algebra (2 ed.), Benjamin, 1980.H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 2004.R. Y. Sharp, Steps in commutative algebra (2 ed.), London Math, Soc. Student Texts 51, Cambridge U. P., 2000.O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra I, II, GTM 28, 29, reimpresión de Van Nostrand de 1958, 1959.

Competencias

- Dominar os razoamentos básicos con aneis conmutativos e os seus módulos e ideais.- Manexar os aneis definidos mediante cocientes de aneis de polinomios.- Comprender a importancia dos aneis conmutativos na xeometría alxébrica e na aritmética.- Ser quen de saber resolver problemas e explicar un temario de iniciación á álxebra conmutativa.


- Clases de teoría con exposición por parte do profesor.- Sesións de problemas nas que os estudantes propoñen as súas solucións e se debate conxuntamente a súa corrección, coa orientación do profesor.- Exposicións de temas do programa por parte dos alumnos.


- Realización de exercicios propostos e exposición da súa solución na clase.- Exposicións de temas na clase.- Dependendo do número de alumnos, probas escritas se son necesarias.


Unhas 10 horas semanais (150 horas por cuadrimestre, incluíndo nelas as clases presenciais que serán entre 3 ou 4 á semana).


Ter cursado previamente as materias Introdución á Álxebra (311) e Álxebra (401).

270

Contido

Código : 091482 Nome:Grupos de Lie Ano Academico : 2008/2009







Macias Virgos,Enrique TIT-UN Profesor/a


Coñecer as nocións fundamentais e as ferramentas básicas da teoría de Lie e dos espazos homoxéneos. Aprender a realizar cálculos de álxebras de Lie e aplicacións exponenciais. Ampliar os coñecementos sobre variedades diferenciables co Teorema de Frobenius.

Contidos

1.- Grupos de LieDefinicións básicas e primeiros exemplos. Grupos de matrices. Produto directo e semidirecto. Propiedades topolóxicas dos grupos de Lie. Compoñentes conexas. Relación de equivalencia asociada a un subgrupo. Espazos cociente

2.- Álxebras de LieDefinición e primeiros exemplos. A álxebra de Lie asociada a un grupo de Lie: campos de vectores invariantes. Cálculo de exemplos. Constantes de estrutura. Morfismos de álxebras de Lie. Morfismo inducido por un morfismo de grupos de Lie

3.- A aplicación exponencialA exponencial de matrices. Propiedades. Curvas integrais de campos de vectores completos. Campos de vectores invariantes en GL(n,\R) A aplicación exponencial dun grupo de Lie. Propiedades. Diferencial da exponencial. A representación adxunta dun grupo de Lie e dunha álxebra de Lie. Aplicacións.

4.- Subgrupos de LieSubvariedades inmersas, embebidas e debilmente embebidas. Definición e exemplos. Subgrupos pechados. Subálxebras de Lie. O teorema de Cartan. Coordenadas canónicas de primeira e segunda especie

5.- O teorema de FrobeniusFluxo dun campo de vectores sen singularidades, existencia de cartas adaptadas, campos de liñas Distribucións. Subvariedades integrais. Distribucións involutivas. Cartas adaptadas. Demostración do teorema de Frobenius. Correspondencia entre subálxebras de Lie e subgrupos de Lie conexos

6.- Espazos homoxéneosSubgrupos pechados: estrutura diferenciable do cociente. Propiedades. Accións de grupos de Lie sobre variedades. Orbitas. Subgrupos de isotropía. Espazos homoxéneos. Exemplos

7.- CubertasNocións de homotopía e grupo fundamental. Cubertas. Propiedades de levantamento. Cuberta universal. Grupos de Lie simplemente conexos. Subgrupos discretos centrais. Estrutura de grupo de Lie das cubertas. Clasificación dos grupos de Lie asociados a unha álxebra de Lie.Correspondencia entre morfismos de álxebras de Lie e de grupos de Lie


271

1. Bourbaki, Nicolas: Lie groups and Lie algebras. Chapters 1--3. (English). Elements of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1989. xviii+450 pp. (hai versión francesa)

2. Carter, R.; Segal, G.; MacDonald, I. : Lectures on Lie groups and Lie algebras. Student Texts 32, London Mathematical Society, 1995.

3. Chevalley, Claude : Theory of Lie groups. I. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1946, 1957. xi+217 pp.

4. Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Pure and Applied Mathematics, 80. Academic Press, Inc., New York-London, 1978. xv+628 pp.

5. Mneimné, Rached; Testard, Frédéric : Introduction a la theorie des groupes de Lie classiques. Collection Méthodes. Hermann, Paris, 1986. vi+346 pp.

6. Postnikov, M.: Lie groups and Lie algebras. Lectures in geometry. Semester V. Ed.` Mir', Moscow, 1986. 440 pp (hai versión francesa)

7. Shapukov, B. N.: Guía práctica. Grupos y álgebras de Lie. Editorial URSS (2001).

8. Varadarajan, V. S.: Lie groups, Lie algebras, and their representations. Graduate Texts in Mathematics, 102. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1984. xiii+430 pp.

Competencias

- Coñecer os grupos matriciais clásicos - Saber calcular a álxebra de Lie dun grupo de Lie mediante: campos de vectores invariantes, forma de Maurer-Cartan, aplicación exponencial - Entender os grupos de Lie como grupos de transformacións- Coñecer os espazos homoxéneos usuais: esferas, espazos proxectivos, variedades de Grasmann e Stiefel- Ter unha idea básica da clasificación de grupos de Lie


3 horas teóricas e 1 hora de problemas cada semana. Boletíns de problemas (obrigatorios) e exercicios (opcionais).


Exposición individual dun tema durante 15/20 minutos. Exame escrito de problemas (só se non se fixeron regularmente os boletíns de problemas).


Horas presenciais: 4h/semana = 60 hPreparación de problemas: 2h/semana = 30 hEstudo da teoría: 1h/semana = 15hPreparación da exposición: 8 h

Total de carga de traballo: 113 h


Ter cursado as materias Xeometría e Topoloxía (Variedades) e Topoloxía (Topoloxía Xeral).

Observacións

Descritores da materia no Plan de Estudos: Subvariedades. Teorema de Frobenius. Grupos de Lie. Álxebras de Lie. Espazos Homoxéneos

272

Contido

Código : 091501 Nome:Variable Complexa Ano Academico : 2008/2009







Otero Perez,M Carmen TIT-UN Profesor/a


- Continuar o estudo das funcións de variable complexa. - Estudar as propiedades básicas da topoloxía natural no espazo das funcións holomorfas. - Coñecer as propiedades xeométricas das aplicacións conformes. - Estudar a existencia de funcións holomorfas cumprindo propiedades prefixadas.

Contidos

1.- O espazo das funcións holomorfasConverxencia no espazo das funcións continuas. Equicontinuidade. Familias normaisO espazo das funcións holomorfas: os teoremas de Weierstrass e de Hurwitz.Compacidade no espazo das funcións holomorfas: o teorema de Montel

2.- Representación conformeSignificado xeométrico da derivada. Conservación de ángulos. Aplicacións conformesTransformacións de Möbius. Principios de orientación e simetríaO lema de SchwarzO teorema da aplicación de Riemann

3.- Aproximación mediante funcións racionaisProdutos infinitos numéricos e funcionais. Criterios de converxenciaO teorema de factorización de WeierstrassO teorema de RungeO teorema de Mittag-Leffler

4.- Prolongación analíticaXeneralidades. Prolongación ao longo dunha curva. O teorema de monodromía


CONWAY, J. B.: Functions of one complex variable. Springer.RUDIN, W.: Análisis real y complejo. McGraw-Hill.

Competencias

- Coñecer e comprender as demostracións dos resultados centrais da materia. - Manexo práctico das transformacións de Möbius. - Manexo das técnicas de representación de funcións mediante produtos infinitos.

273


Non haberá separación entre teoría e práctica no desenvolvemento do programa.

Fomentarase o traballo individual dos alumnos, de modo que teñan a oportunidade de responsabilizarse da súa aprendizaxe. Proporanse distintas actividades e realizaranse, periodicamente, sesións de titorías conxuntas nunha aula.


Exame escrito teórico práctico.


Horas presenciais totais: 50 (30 teóricas + 20 prácticas).


Ter cursada a materia Elementos de Variable Complexa.

274

Contido

Código : 091522 Nome:Álxebra Homolóxica Ano Academico : 2008/2009







Franco Fernandez,Leoncio TIT-UN Profesor/a


- Introducir a linguaxe categórica.

- Familiarizarse coas técnicas propias da Álxebra Homolóxica.

- Coñecer as aplicacións básicas.

Contidos

1. HOMOLOXIA Categorías, funtores e transformacions naturais. Constrtuccions universais, funtores adxuntos. Homoloxía de complexos. O teorema da sucesión exacta de homoloxía. Homotopía, resolucions. Funtores derivados. Os funtores Ext y Tor.

2. DIMENSION. Dimensione prxectiva e inxectiva. Dimensión global.

3. SUCESIONS ESPECTRAIS A sucesión espectral dun compleXo filtrado. Converxencia. Sucesions espectrais de bicomplexos. As sucesions espectrais de Kunneth. Fórmula de Kunneth.

4. (CO)HOMOLOXIA DE GRUPOS Os funtores de (co)homoloxía. Derivacions e extensions de grupos. (Co)homoloxía de grupos cíclicos finitos. Módulos inducidos e proxectivos relativos. A sucesión espectral de Lyndon-Hochschild-Serre. Inflación, restricción e conxugación.

Apéndice. Cohomoloxía de Galois. O grupo de Brauer.


Bibliografía básica

- Hilton, P. J. e Stammbach, U., A course in Homological Algebra, Springer-Verlag, 1971.- Rotman, J. J., An introduction to Homological Algebra, Academic-Press, 1979.- Weibel, C. A., An introduction to Homological Algebra, Cambridge-University Press, 1994.

Bibliografía complementaria

- Bourbaki, N., Algébre homologique, Algébre Ch. 10, Masson, 1980.- Lluis-Puebla, E., Álgebra homológica, Cohomología de grupos y K-teoría algebraica clásica, Addison-Wesley Iberoamericana, 1990.- MacLane, S., Homology, Springer-Verlag, 1963.

Competencias

275

- Familiarizarse coa linguaxe categórica.

- Cálculo de resolucións proxectivas e inxectivas e complexos de cadeas dun módulo.

- Cálculo de grupos de homoloxía e cohomoloxía.

- Cálculo da torsión dun módulo. Cálculo de extensións.

- Familiarizarse cas sucesions espectrais.

- Cálculo dos grupos de (co)homoloía de grupos.


Exposición dos contidos por parte do profesor. Discusión e participación dos alumnos. Realización de problemas en relación cos contidos.


Exame final escrito teórico e práctico.


6 horas semanais.


- Ter un bo dominio da teoría de módulos sobre un anel.

- Relacionar os contidos do programa cos xa coñecidos das outras materias da licenciatura.

- Ter unha dedicación constante á disciplina co fin de comprender e manexar os conceptos estudados.

- Dedicar esforzos para aplicar os razoamentos das demostracións teóricas á resolución de problemas.

276

Contido

Código : 091523 Nome:Álxebra Non Conmutativa Ano Academico : 2008/2009







Fernández Vilaboa,José Manuel TIT-UN Profesor/a


Familiarizarse coas estruturas de aneis e álxebras.

Contidos

1. Aneis artinianosAneis e módulos semisimples: Teorema de Wedderburn-Artin. Teorema de estrutura de aneis artinianos simples. Teorema de Maschke. Teorema de densidade. O radical de Jacobson. Aneis locais e semilocais. Teorema de Hopkins-Levitzki

2. Descomposicións de módulosDescomposicións indescompoñibles. Descomposicións que complementan sumandos directos. Teorema de Krull-Remak-Schmidt-Azumaya. Descomposicións de módulos inxectivos. Teorema de Faith-Walker. Descomposicións de módulos proxectivos: Teorema de Kaplansky. Aneis semiperfectos e perfectos. Teorema P de Bass. Aneis auto-inxectivos e aneis cuasi-Frobenius

3. Álxebras asociativasTipo de representación finito. As conxecturas de Brauer-Thrall. Sucesións de Auslander-Reiten. O teorema de Roiter. Álxebras simples centrais e o grupo de Brauer

4. Localización non conmutativaTeorías de torsión e filtros de Gabriel. Aneis de cocientes. O anel de cocientes maximal. Aplicacións


Anderson, F. W. e Fuller, K. R., Rings and Categories of Modules, 2nd, Ed. Springer-Verlag, 1992.Auslander, M., Reiten, I. e Smalo, S. O., Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge University Press, 1995.Drodz, Y. A. e Kirichenko, V., Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, 1994.Farb, B., Dennis, R. K., Noncommutative Algebra, Springer-Verlag, 1993.Lam, T. Y., Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999.Pierce, R. S., Associative Algebras, Springer-Verlag, 1980.Stenström, B., Rings of Quotients, Springer-Verlag, 1975.

Competencias

Manexar con soltura os contidos do programa.


Dedicaranse as horas semanais de docencia presencial á presentación dos conceptos teóricos e ás demostración dos

277

resultados que sexan máis útiles para a comprensión da materia, intercalando exemplos e problemas.

Para cada tema proporase unha serie de problemas que deberán ser resoltos polos alumnos de forma individual ou en grupo, co apoio do profesor.


Avaliación continuada. Exame escrito. Contémplase a posibilidade de realización de traballos.


Horas presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30.Horas non presenciais: 95 para preparar a teoría, a práctica e as exposicións.Horas de avaliación: 3.



Asistencia regular ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases.

278

Contido

Código : 091525 Nome:Análise Multivariante Ano Academico : 2008/2009







González Manteiga,Wenceslao CAT-UN Profesor/a

Sanchez Sellero,Cesar Andres TIT-UN Profesor/a


Entender os problemas da análise multivariante e as técnicas axeitadas para o seu tratamento.

Contidos

1. Modelos con variable resposta discretaRegresión loxística. Regresión de Poisson. Introdución aos modelos lineares xeneralizados

2. Modelos log-linearesTáboas de continxencia de dobre entrada. Táboas de triple entrada. Modelos xerárquicos. Interpretación dos modelos. Métodos de estimación. Contraste de modelos

3. Distribucións notables multidimensionaisDistribución de Wishart, distribución de Hotelling e distribución de Wilks

4. Inferencia en poboacións normais multivariantesInferencia sobre a media e a matriz de covarianzas dunha poboación normal. Rexións de confianza e comparacións simultáneas. Comparación de poboacións normais multivariantes

5. O modelo linear xeral multivariantePresentación do modelo, estimación dos parámetros e propiedades dos estimadores. Restricións lineares: estimación e contrastes

6. Análise multivariante da varianzaPresentación do modelo, a táboa de descomposición da variabilidade, contraste de igualdade de medias, comparacións múltiples. O modelo con dous factores de variación e o deseño por bloques aleatorizados

7. Análise de compoñentes principaisDescomposición dun vector aleatorio nas súas compoñentes principais. Propiedades

8. Análise de correspondenciasExpresión da inercia dunha táboa de continxencia a través dos perfís de fila ou de columna. Extracción dos compoñentes. Representación simultánea de filas e columnas. Interpretacións

9. Análise discriminanteSolucións discriminantes con distribucións poboacionais coñecidas. Estimación da regra discriminante

10. Técnicas de formación de gruposTécnicas de agrupamento xerárquico. Métodos de particionamento

279


AGRESTI, A. (1990). Categorical data analysis. Wiley.AGRESTI, A. (1996). An introduction to categorical data analysis. Wiley.ANDERSON, T.W. (2003). An introduction to multivariate statistical analysis. Wiley.DEVROYE, L., GYORFI, L. y LUGOSI, G. (1996). A probabilistic theory of pattern recognition. Springer.HOSMER, D.W. y LEMESHOW, S. (1989). Applied logistic regression. Wiley.JOHNSON, R.A. y WICHERN, D.W. (1982). Applied multivariate statistical analysis. Prentice-Hall.MARDIA, K.V., KENT, J.T. y BIBBY, J.M. (1979). Multivariate analysis. Academic Press.PEÑA, D. (2002). Análisis de datos multivariantes. McGraw-Hill.PÉREZ, C. (2004). Técnicas de análisis multivariante de datos. Pearson Educación, S.A.SEBER, G.A.F. (1984). Multivariate observations. Wiley.

Competencias

i) Coñecer as técnicas principais da análise multivariante e as súas propiedades.ii) Ter habilidade no emprego de métodos informáticos para executar as técnicas multivariantes.iii) Saber resolver un problema concreto: identificar o problema, encontrar a técnica que se lle debe aplicar, executala e interpretar os resultados; e estar capacitado para redactar informes estatísticos como froito das tarefas anteriores.


Contémplanse tres horas semanais nunha aula dotada de encerado, proxector de transparencias, un ordenador e canón de vídeo. Nestas clases desenvólvense os contidos teóricos e abórdanse exemplos prácticos sinxelos.Tamén se contemplan dúas horas semanais nunha aula dotada de ordenadores. Nelas resólvense problemas de análise multivariante sobre casos prácticos, mediante o uso de técnicas estatísticas postas en práctica no ordenador.Os alumnos disporán duns apuntamentos da materia facilitados polo profesor.


O sistema de avaliación contempla exames por escrito, exame na aula de ordenadores e traballos realizados polos alumnos.


Ademais da asistencia e do aproveitamento das clases, o estudante debe dedicarlle un tempo de estudo adicional que lle permita manter o ritmo de comprensión e de traballo activo durante as clases. Ademais, ten que realizar os traballos que se lle encarguen e que forman parte do procedemento de avaliación. Todo isto pode supor unha hora e cuarto adicional por cada hora de clase, aínda que isto non é máis ca unha estimación suxeita á ampla variabilidade entre as capacidades dos estudantes e ao nivel de aprendizaxe que pretendan acadar.


Esta materia desenvólvese mediante o traballo do profesor e dos estudantes nas clases, polo que a asistencia ás clases e a participación activa no traballo ao longo delas, ou proposto nelas, é o procedemento natural para acadar a aprendizaxe desta materia.

Observacións

Materias que se aconsella cursar previamente: Álxebra Linear e Multilinear, Xeometría Métrica, Introdución ao Cálculo de Probabilidades, Vectores Aleatorios, Inferencia Estatística, Métodos de Regresión.

280

Contido

Código : 091527 Nome:Astronomía Xeral Ano Academico : 2008/2009







Ling Ling,Josefina TIT-UN Profesor/a


i. Introducir conceptos básicos de Astronomía Estelar.ii. Ampliar coñecementos, completar e resolver problemas xerais de Astronomía de posición. iii. Manexar diversas técnicas de observación astronómica.

Contidos

- Radiación electromagnética- Parámetros estelares: luminosidade, temperatura, tipo espectral, magnitudes, etc. - Astronomía Estelar. Diagrama H-R- Estrelas dobres: visuais, espectroscópicas e eclipsantes. Cálculo de órbitas - Astronomía de posición: variacións nas coordenadas dos astros- Medida do tempo: Tempo rotacional e escalas modernas. Calendarios. - Eclipses de Sol e de Lúa


- A. ABAD, J. A DOCOBO e A ELIPE.: “Curso de Astronomía”- R. M. ALLER. “Introducción a la Astronomía”- R. CID PALACIOS “Curso de Astronomía”- R. M. GREEN “Spherical Astronomy”- A. E. ROY: “Astronomy: Principles and Practice”- W. M. SMART: “Textbook of Spherical Astronomy”- J. A. DOCOBO e A. ELIPE: “Astronomía: 280 problemas resueltos”- VORONTOSOV e B. A. VELIAMINOV: “Problemas y ejercicios prácticos de Astronomía”

Competencias

- Realizar unha primeira toma de contacto cos parámetros fundamentais da Astronomía estelar.- Manexar diversos detectores e técnicas de observación astronómica tanto nocturna como diúrna.- Visualizar en distintos formatos coñecementos sobre cuestións da materia.- Relacionar diferentes temas da actualidade astronómica cos estudados na materia.


3 créditos de teoría e 3 de problemas e prácticas

1ª Parte: Astronomía Estelar1.- Radiación electromagnética: leis e definicións (Teoría: 1 hora)

281

2.- Clasificación espectral das estrelas (Teoría: 1 hora)3.- Magnitudes estelares. Luminosidade. Diagrama H-R. (Teoría: 2 horas. Práctica: 3 horas)4.- Estrelas dobres e múltiplesa) Estrelas dobres visuais. Métodos de cálculo de órbitas.Determinación de masas (Teoría: 6 horas. Práctica: 4 horas)b) Binarias espectroscópicas e eclipsantes. Cálculo de órbitas (Teoría: 5 horas. Práctica: 2 horas)

2ª Parte: Astronomía de Posición5. - Variacións nas coordenadas dos astros:a) Refracción astronómica (Teoría: 2 horas. Práctica: 2 horas)b) Aberración (Teoría: 3 horas. Práctica: 2 horas)c) Paralaxe (Teoría: 2 horas. Práctica: 2 horas)d) Precesión e Nutación (Teoría: 2 horas. Práctica: 3 horas)e) Movementos propios das estrelas (Teoría: 1 hora. Práctica: 2 horas)6.- Medida do tempo (ampliación): Tempo rotacional e escalas modernas. Novos sistemas de referencia. (Teoría: 2 horas. Práctica: 4 horas)7.- Eclipses de Sol e de Lúa (Teoría: 3 horas)

2 Prácticas nocturnas: medidas micrométricas de estrelas dobres visuais (duración 1h 30m). Obtención de imaxes astronómicas CCD (duración 1h 30m)

3 Prácticas diúrnas: imaxes speckle (duración 1h). Debuxo das manchas solares (duración 1h)Visualización de vídeos de Astronomía (duración 1h)

A materia conta con apoio virtual a través dun curso que baixo o mesmo título se encontra na lista de cursos da WebCT.


A avaliación da primeira parte do programa poderá ser a través dun traballo, que se entregará ao final de curso, ou dun exame escrito. A segunda parte cualificarase mediante un exame escrito. Ambas as dúas partes poden ser eliminatorias. O exame escrito constará de dous partes: a de teoría, que será tipo test, e a de problemas. No exame de teoría as preguntas non contestadas valerán cero puntos e as erróneas cualificaranse negativamente ata -0,5, sendo 1,0 o valor da resposta correcta. Para aprobar a materia, é obrigatorio asistir as prácticas da disciplina. Terase en conta a participación nas clases.


Horas presenciais:Teóricas: 30 de problemas: 24 de prácticas: 6

Horas non presenciais: 5h á semana: 3h de teoría e 2h de problemas 10h preparación exame finalElaboración dun traballo individual: 15h

Horas de avaliación: 5h



É importante cursar previamente a materia de Fundamentos de Astronomía.

Os alumnos deben dispoñer dunha calculadora, non programable, que teña as funcións circulares e as súas inversas. Deben traela a clase todos os días.

A elaboración do traballo individual correspondente á primeira parte do programa será optativo. Elixirase un tema entre os propostos pola profesora, debendo axustarse a uns parámetros que se marcarán previamente.

É fundamental para o estudo da segunda parte, manexar con soltura todos os conceptos básicos asociados á Astronomía de posición, en especial os diferentes sistemas de coordenadas astronómicos e a resolución de problemas astronómicos elementais.

A materia conta co apoio virtual a través dun curso que baixo o mesmo título encontrase na lista de cursos da WebCT. O uso das novas tecnoloxías da comunicación facilita a visualización en tres dimensións dos problemas astronómicos propostos no encerado.

282

Contido

Código : 091528 Nome:Curvas Alxébricas Ano Academico : 2008/2009







Pedreira Perez,Manuel Ramon TIT-UN Profesor/a


Esta materia contémplase coma unha primeira introdución á Xeometría Alxébrica, facendo un estudo dos primeiros exemplos de variedades alxébricas; isto é, as curvas. De feito, o curso reproduce os primeiros conceptos desenvolvidos na teoría de curvas planas, ata chegar á proba de Brill-Noether do Teorema de Riemann-Roch coa simplificación feita por E. Bertini e C. Segre. O alumno precisa de coñecementos do anel de polinomios en varias variables e de conceptos básicos da teoría de corpos. De feito, os primeiros temas do programa veñen a ilustrar a interpretación xeométrica de moitos resultados alxébricos xa estudados. No derradeiro tema do programa faise unha introdución sinxela aos aneis de valoración discreta e ás valoracións que definen, pero sempre tomando como motivación e referencia os divisores nunha curva. Isto da motivación para o estudo dos aneis de valoración discreta que se fai na materia de Álxebra Conmutativa. Destacar, tamén, un estudo detallado da resolución de singularidades e a construción do modelo liso dunha curva plana. No eido do problema de clasificación, estúdase o Teorema de Salmon, dando a clasificación das curvas elípticas, salvo isomorfía vía o x-invariante.

Contidos

1. Curvas alxébricas planas. Exemplos de curvas alxébricas no plano afín e proxectivo. Relación entre unha curva alxébrica afín e a súa compleción proxectiva2. Interseccións de curvas alxébricas planas. Finitude da intersección. A resultante de dous polinomios. O Teorema dos Ceros3. O Teorema de Bezout. Interseccións dunha curva cunha recta. Puntos múltiples. Índice de intersección nun punto. O teorema de Bezout4. Multiplicidades. Propiedades do índice de intersección. Caracterización intrínseca por series de potencias5. Ecuacións de Plücker e aplicacións. As Fórmulas de Plücker: curva polar a unha dada. Estudo da curva hessiana. Curvas adxuntas a unha dada6. Cúbicas planas. Cúbicas planas. Clasificación proxectiva. Invariante proxectiva da cúbica lisa e o Teorema de Salmon 7. Curvas racionais. Curvas afíns e racionais. Funcións regulares e funcións racionais. Curvas racionais e proxectivas. O teorema de Luroth. O xénero virtual dunha curva plana e caracterización das curvas alxébricas racionais8. Cúbicas non singulares. Forma normal da cúbica. Funcións racionais. Ciclos e equivalencia racional. A estrutura de grupo9. Resolución de singularidades de curvas.Transformacións cuadráticas do plano. Caracterización dos puntos lisos dunha curva vía o anel das funcións definidas localmente nun punto. O corpo de funcións racionais. Modelo liso dunha curva alxébrica. Superficie de Riemann vinculada a unha curva alxébrica lisa10. Teoría de funcións sobre unha curva lisa. Divisores. Curvas adxuntas a unha curva plana de grao dado. O divisor canónico. O Teorema fundamental de Max Noether e a proba de Bertini-Brill-Noether do Teorema de Riemann Roch


Brieskorn, E. e Knörrer, H., Plane algebraic curves, Birkhäuser Verlag, 1986, capítulos II e III.Fulton, W., Curvas Algebraicas, Editorial Reverte, 1971. Kendig, K., Elementary Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, New York, 1977, capítulos II e V.Walker, R., Algebraic Curves, Dover publications, Inc. 1950, N.Y. É unha referencia completa dabondo, xa que expón grande parte da teoría clásica debida a Brill-Noether xustificándoa coa teoría de corpos e de valoracións. Polo tanto a exposición é moi lenta e pesada.

283

Pedreira, Manuel, Apuntamentos "Teoría clásica de curvas según el método de Brill-Noether".

Competencias

1.- Comprender o concepto de grao e número de intersección. Cálculo da intersección de dúas curvas polo método da resultante e axiomático.2.- Cálculo das singularidades dunha curva plana. Identificación das singularidades usando transformacións de Cremona.3.- Estudo da racionalidade dunha curva. Cálculo do xénero aritmético e xeométrico.4.- Cálculo de sistemas lineares sobre unha curva plana. Exemplos de sistemas lineares e completos. Aplicacións do teorema AF+BG de Noether.5.- Cálculo das curvas adxuntas a unha curva dada. Exemplos. Cálculo de adxuntas canónicas.6.- Ilustracións do Teorema de Riemann-Roch. Desigualdade de Riemann e o concepto de especialidade.


En relación coa programación da materia, a materia corresponde a un cuadrimestre, polo que o desenvolvemento total do programa depende moito da disposición dos alumnos para participar. Pola experiencia dos derradeiros anos, unha vez introducidos os conceptos básicos, os temas 5, 6,7 e 8 son unha aplicación instrutiva dos anteriores e poden ser traballados directamente polos alumnos cunha referencia apropiada que teño á súa disposición. Isto permíteme afondar dabondo nos temas 2, 3, 4, 9 e 10 que dan unha boa formación para quen pense en se dedicar á investigación en Xeometría Alxébrica.


A asistencia ás clases é un referente obrigado.Como norma xeral, a clase farase participativa a todo o alumnado, feito que virá reflectido nunha cualificación complementaria ás outras para superar a materia. Esta cualificación corresponderá ao desenvolvemento dos exercicios propostos para comprender a materia explicada. Algúns temas do programa poden ser asignados para un labor conxunto. Todos os alumnos poden acollerse a este traballo para a procura da cualificación final. Neste caso, os traballos deberán ser expostos na clase. Por suposto, todos os alumnos teñen dereito a facer un exame sobre a materia explicada na clase.


Os traballos serán asignados de xeito que cada estudante teña a oportunidade de desenvolver un concepto e un teorema relacionado. Pola experiencia doutros anos, isto lévalle unhas cinco horas de estudo tutelado polo profesor e unha exposición na aula de hora e media ou dúas horas.


Seguir os apuntamentos que teño sobre a materia e facer todos os exercicios propostos. No caso dos exercicios, a experiencia amosa que é máis didáctico expoñer na aula as dúbidas que resultan da súa resolución e tamén intentar dous métodos: o algorítmico e o xeométrico. De feito, o método é necesario para a comprensión dos sistemas lineares, o cálculo de sistemas adxuntos e o cálculo de sistemas canónicos.

284

Contido

Código : 091529 Nome:Ecuacións en Diferenzas. Introdución á Dinámica Discreta Ano Academico : 2008/2009







Del Río Vázquez,Miguel Antonio TIT-UN Profesor/a


Introducir ó alumnado no campo das ecuacións en diferenzas, tanto dende o punto de vista teórico como das aplicacións á modelación matemática; mostrando o paralelismo existente entre o estudio destas ecuacións e as ecuacións diferenciais. Tratarase en profundidade o caso lineal, comezando polos casos unidimensional e bidimensional, mentres se fará un estudio mási superficial da teoría cualitativa dos sistemas non lineais autónomos. A consideración dos sistemas dinámicos asociados ás ecuacións en diferenzas, permitirá poñer de manifesto a complexidade dinámica que pode derivarse de sinxelas ecuacións unidimensionais non lineais.

Contidos

1. Modelos continuos e modelos discretos. Ecuacións en diferenzas e sistemas. Solución xeral e problema de valor inicial. Exemplos de modelación mediante ecuacións en diferenzas.2. Sistemas lineais de primeira orde. Sistemas homoxéneos e non homoxéneos. Estrutura do conxunto de solucións. Método dos coeficientes indeterminados e de variación de parámetros. 3. Espazo de fases asociado a un sistema de ecuacións en diferenzas: órbitas, puntos fixos e puntos periódicos. Estabilidade. Configuracións do espazo de fases dun sistema lineal autónomo bidimensional.4. Sistemas non lineais autónomos. Linearización. Estabilidade. Funcións de Liapunov.5. Descrición da dinámica xerada pola ecuación loxística discreta. Comportamento caótico. Sistemas dinámicos discretos. Distintos conceptos de caos.


• Devaney “An Introduction to Chaotical Dynamical Sistems” Addison-Wesley, 1994.• Elaydi, S. “An Introduction to Difference Equations”. Springer-Verlag, 1999.• Elaydi, S. “Discrete Chaos”. Chapman&Hall, 2000. • Fernández Pérez, C. – Vázquez Hernández, F. – Vegas Montaner. “Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias. Sistemas Dinámicos”. Thomson Ed. 2003.

Competencias

- Capacidade de formular en termos de ecuacións en diferenzas problemas que proveñen de distintos campos científicos. - Coñecer e ter capacidade de aplicar a teoría das ecuacións en diferenzas ó estudio dinámico dos modelos obtidos.- Capacidade de interpretar os resultados do modelo e de propoñer, cando proceda, reformulacións alternativas ó mesmo.


Impartiranse 4 horas semanais de clase nas que se tratarán tanto as cuestións teóricas como de aplicación a problemas que

285

proceden de distintos campos científicos. Completaráse coa resolución de problemas tanto de contido práctico como teórico.


Exame final escrito no que se avaliará o dominio dos contidos da materia tanto dende un punto de vista teórico como a súa aplicación a casos prácticos concretos.


Tempo de clases presenciais: 60 horas

Tempo de traballo individual: 90 horas

Horas totais de traballo: 150


Aconséllase ter cursado previamente as materias: "Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias" e "Ecuacións Diferenciais Ordinarias".

286

Contido

Código : 091531 Nome:Física Matemática Ano Academico : 2008/2009





Merino Gayoso,Carlos Miguel TIT-UN Profesor/a


Proporcionar métodos matemáticos avanzados na Física.

Contidos

I INTRODUCCIÓN Á ANÁLISE TENSORIALI.1 Espacio DualI.1.1 Indices Covariantes e ContravariantesI.1.2 Transformacións Activas e PasivasI.2 Producto Tensorial de Espacios VectoriaisI.2.1 Producto Directo de MatricesI.2.2 Tensores de Rango Arbitrario: DualidadeI.3 Tensores Simétricos e AntisimétricosI.3.1 Simetrizador e AntisimetrizadorI.3.2 Símbolo AlternanteI.4 Espacios MétricosI.5 Compoñentes dun OperadorI.6 Grupo de IsometríasI.6.1 RotaciónsI.6.2 Transformacións de LorentzI.7 Campos TensoriaisI.7.1 ExemplosI.7.2 Transformacións InducidasI.7.3 Operadores Tensoriais I.8 Covariancia das Leis da FísicaI.8.1 Principios da RelatividadeII RELATIVIDADE ESPECIALII.1 Axiomas Fundamentais da Relatividade Especial II.1.1 Definición de Observador Inercial en Relatividade EspecialII.1.2 Unidades Naturais en Relatividade EspecialII.1.3 Diagramas de Espacio-TempoII.2 As Coordenadas Usadas por Outro ObservadorII.2.1 Invariancia do IntervaloII.3 Transformacións de LorentzII.3.1 O Grupo de Lorentz GlobalII.3.2 Alxebra de Lie do Grupo de LorentzII.3.3 Representacións do Grupo de LorentzII.3.4 Cantidades Invariantes RelativistasII.3.5 Dilatación e Contracción dos IncrementosII.3.6 Traxectorias e VelocidadesII.4 Tensores de LorentzII.4.1 Cadrivectores (Velocidade e Aceleración)II.4.2 Límite de Baixa Velocidade. O Grupo de GalileoII.5 Dinámica RelativistaII.5.1 Leis da DinámicaII.5.2 A Forza de LorentzII.6 Fundamentos de Relatividade XeralIII FORMALISMOS LAGRANXIANO E HAMILTONIANOIII.1 Formalismo Lagranxiano en Mecánica ClásicaIII.2 Formalismo Hamiltoniano en Mecánica ClásicaIII.3 ExemplosIII.4 Simetrías Globais e Simetrías Locais

287

III.5 Formalismo Lagranxiano en Teoría de CamposIII.6 Formalismo Hamiltoniano en Teoría de CamposIII.7 ExemplosIII.8 Introducción a unha Teoría Cuántica de CamposIV MEDIOS CONTINUOSIV.1 IntroducciónIV.2 Cinemática de Medios Continuos: Descripcións Lagrangiana e EulerianaIV.2.1 Variables de DeformaciónIV.3 Fluxo, Derivada MaterialIV.3.1 Ritmo de Deformación e VorticidadeIV.3.2 Derivadas Materiais de Elementos e Integrais de VolumenIV.3.3 Teorema do Transporte de ReynoldsIV.4 Dinámica de fluidosIV.4.1 Conservación do MomentoIV.4.2 O Tensor de EsforzosIV.4.3 Simetría do Tensor de EsforzosIV.4.4 Ecuación de ContinuidadeIV.4.5 Ecuación de Continuidade para o MomentoIV.4.6 Conservación da EnerxíaIV.4.7 Ecuacións ConstituintesIV.4.8 Ecuación do MovementoIV.4.9 Ecuación de Navier-StokesIV.4.10 Exemplos de Fluidos SimplesIV.4.11 Teorema de BernouilliIV.5 Introducción á Elasticidade


Parte I1. M. Nakahara. Geometry, Topology and Physics2. B. Schutz. Geometrical Methods of Mathematical Physics3. V.I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics

Parte II1. R.A. Mould. Basic Relativity (Springer Verlag)2. B.F. Schutz. A First Course in General Relativity (Cambridge University Press)3. U.E. Schröder. Special Relativity (World Scientific)4. S. Weinberg. Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity (Giley and Sons)

Parte III1. H. Goldstein. Mecánica Clásica (Ed. Reverté)2. L.D. Landau e E. M. Lifshitz. Mecánica-Curso de Física Teórica (MIR)3. M. Chaichian e N.F. Nelipa. Introduction to Gauge Field Theories (Springer-Verlag)4. T.D. Lee. Particle Physics and Introduction to Field Theory (Harwood)5. C. Itzykson e J.B. Zuber. Quantum Field Theory (McGraw-Hill)

Parte IV1. G.E. Vekstein. Physics of Continuous Media (Adam Hilger)2. L.D. Landau e E.M. Lifshitz. Teoría de la Elasticidad-Curso de Física Teórica (MIR)3. P. Germain e P. Muller. Introduction á la Méchanique des Milieux Continus (Masson)4. D.J. Tretton. Physical Dynamics (Oxford Science Publications)5. W.F. Hughes. Dinámica de los Fluidos (McGraw-Hill)

Competencias

- Manexo de conceptos matemáticos avanzados e das súas relacións coa teoría física que describe os fenómenos físicos.- Aplicación de obxectos e leis matemáticas na resolución de problemas físicos fundamentais.


- Clases teóricas de encerado e problemas prácticos.


- Avaliación continua da presentación e exposición por parte dos alumnos, e para súa discusión na clase, de traballos individuais sobre temas relacionados cos contidos do programa, así como da resolución de problemas prácticos tamén derivados da materia.

En casos excepcionais, poderase recorrer á realización dun exame final escrito para determinar a cualificación final.

288


- O tempo de estudo e traballo persoal depende moito de cada estudante. Estaría, de media, entre unha e tres horas por hora de clase.


- Asistencia á clase e resolución dos problemas suxeridos nos boletíns.

289

Contido

Código : 091532 Nome:Funcións de Varias Variables Complexas Ano Academico : 2008/2009







NIETO ROIG,JUAN JOSE CAT-UN Profesor/a


- Coñecer as diferenzas e analoxías fundamentais entre a Teoría de funcións dunha variable complexa e a Teoría de funcións de varias variables complexas.- Familiarizar o alumno cos métodos e técnicas básicas propias da teoría das funcións de varias variables complexas e a súa relación e aplicación noutros campos da matemática (xeometría, grupos de Lie, ecuacións en derivadas parciais...)

Contidos

1. IntroduciónO espazo Cn . Polidiscos. Series de potencias en varias variables. Ecuacións de Cauchy-Riemann en varias variables

2. Funcións holomorfasPosibles definicións. Exemplos

3. Comparación entre unha e varias variablesDominios de holomorfía. Fenómeno de Hartogs. Aplicacións biholomorfas. Ceros de funcións holomorfas. Dominios de converxencia para series de potencias. Extensións de funcións holomorfas. As ecuacións de Cauchy-Riemann. Aproximación por funcións holomorfas

4. Resultados básicos das funcións de varias variables complexasDiferenciabilidade, holomorfía e analiticidade. Fórmula integral de Cauchy. Ceros de funcións holomorfas. Principio do módulo máximo. Teorema de Weierstrass. Teorema de Montel. Teoremas de Cartan. Grupos de automorfismos holomorfos da bóla unidade e do polidisco unidade. Teorema de Poincaré. Dominios de Reinhardt. Teorema de Hartogs

5. AplicaciónsVariedades complexasGrupos de LieEcuacións en derivadas parciais


S. GONG, Concise complex analysis, World Scientific, 2001.H. GRAUERT e K. FRITZSCHE, Several complex variables, Springer-Verlag, 1976.L. HÖRMANDER, An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland, 1973.R. NARASIMHAN, Several complex variables, Chicago University Press, 1971.J. L. TAYLOR, Several complex variables with connections to algebraic geometry and Lie groups,American Mathematical Society, 2002.

Competencias

290

- Comprender e manexar as demostracións dos resultados máis relevantes da materia, así como ser capaz de aplicalas a cuestións teóricas e problemas sinxelos.- Coñecer as diferenzas e analoxías fundamentais entre a Teoría de funcións dunha variable complexa e a Teoría de funcións de varias variables complexas.- Familiarizar o alumno cos métodos e técnicas básicas propias da teoría das funcións de varias variables complexas e a súa relación e aplicación noutros campos da matemática (xeometría, grupos de Lie, ecuacións en derivadas parciais...).


- Clases de teoría- Clases prácticas- Resolución de exercicios na aula- Participación activa dos estudantes


- Avaliación continuada. Exame escrito.


- Horas presenciais (30 + 30)- Horas non presenciais (30 + 30)- Total volume de traballo: 120 horas


- Asistencia ás clases e traballo diario.

Observacións

Non hai.

291

Contido

Código : 091533 Nome:Fundamentos de Astronomía Ano Academico : 2008/2009







Docobo Durantez,Jose Angel TIT-UN Profesor/a



i) Coñecer os temas fundamentais da Astronomía de posición e Mecánica Celeste.ii) Manexar a ferramenta matemática básica para resolver problemas astronómicos.iii) Familiarizarse a nivel tanto teórico como observacional coa Astronomía iv) Utilización de instrumentación astronómica

Contidos

- Trigonometría esférica - A Terra: forma e movementos - A esfera celeste. Sistemas de coordenadas astronómicas- Nocións sobre a medida do tempo- Problemas elementais de Astronomía de posición - Instrumentación astronómica - Mecánica celeste: o problema de dous corpos


1. ABAD, J. A DOCOBO e A ELIPE.: “Curso de Astronomía” 2. R. M. ALLER. “Introducción a la Astronomía”3. R. CID PALACIOS “Curso de Astronomía”4. R. M. GREEN “Spherical Astronomy”5. A. E. ROY: “Astronomy: Principles and Practice”6. W. M. SMART: “Textbook of Spherical Astronomy”7. T. VIVES: “Astronomía de posición: espacio y tiempo”8. J. A. DOCOBO e A. ELIPE: “Astronomía: 280 problemas resueltos”9. VORONTOSOV e B. A. VELIAMINOV: “Problemas y ejercicios prácticos de Astronomía”

Competencias

1) Contribuír á mellora da percepción espacial.2) Comprensión da cosmografía e da xénese de cuestións astronómicas fundamentais.3) Coñecemento das escalas de tempo rotacional ata chegar a definir a hora que debe marcar o noso reloxo.4) Manexar as ferramentas matemáticas necesarias para o estudo da Mecánica Celeste básica.5) Oportunidade de manexar instrumentación astronómica de calidade e transmisión dos conceptos elementais para o seu correcto manexo.6) Capacitar o alumnado para a realización de diversas observacións astronómicas e outros traballos relacionados coa materia.

292

É importante que o alumno saiba que se trata dunha materia de iniciación, onde se van transmitir conceptos básicos de especial utilidade para outras materias como Mecánica Celeste e Astronomía Xeral.


3 créditos de teoría e 3 de problemas e prácticas.

1. Trigonometría esférica (Teoría: 4 horas; Problemas: 3 horas)2. Forma e dimensións da Terra. Coordenadas xeográficas e xeocéntricas (Teoría: 3 horas; Problemas: 2 horas)3. Esfera celeste. Movemento diúrno aparente. Rotación da Terra (Teoría: 2 horas)4. Movemento orbital da Terra (Teoría: 2 horas)5. Sistemas de coordenadas astronómicas. Transformacións de coordenadas (Teoría: 6 horas; Problemas: 8 horas)6. Medida do Tempo (Teoría: 1 hora; Problemas: 2 horas)7. Algúns problemas elementais en Astronomía de Posición (Teoría: 3 horas; Problemas: 4 horas)8. Repaso de diversas nocións de Mecánica Clásica (Teoría: 2 horas; Problemas: 2 horas)9. Leis de Kepler e Lei da Gravitación (Teoría: 1 hora; Problemas: 1 hora)10. O problema de dous corpos. Ecuación de Kepler (Teoría: 3 horas; Problemas: 3 horas)

3 Prácticas nocturnas: Visita ao Observatorio Astronómico “Ramón María Aller” e primeiras observacións astronómicas con telescopios (duración 1h 30m) / Utilización dun telescopio altazimutal automatizado de campo (1h de duración) / Identificación de Constelacións, planetas e outros obxectos astronómicos (1h de duración)

3 Prácticas diúrnas:Montaxe dun telescopio refractor portátil (1h de duración) / Manexo do planisferio. Anuarios. Efemérides Astronómicas. Instrumentos de observación. Colocación de coordenadas (1h 30m de duración) / Visualización de vídeos de Astronomía (2h de duración).

_____________________________________________________________

No desenvolvemento de cada tema, as clases de problemas mestúranse coas de teoría co obxecto de poñer inmediatamente en práctica os coñecementos acadados.Paralelamente, o alumnado participa nas distintas clases prácticas de observación astronómica e de gabinete a fin de familiarizarse cos métodos básicos empregados en Astronomía.

Ao dispor esta materia dun curso virtual, os matriculados nela teñen un acceso inmediato ás distintas táboas e fórmulas, que son esenciais no seu seguimento, e os recursos multimedia, que permiten mellorar a visión espacial de conceptos explicados no encerado, así como a posibilidade de poñerse en contacto cos profesores a través das ferramentas de comunicación para solucionar dúbidas puntuais.


O traballo persoal realizado polo alumnado ao longo do curso quedará reflectido, polo menos, nun 30% na nota final.

Este traballo pode comprender algunha ou todas as seguintes posibilidades:

a) avaliación dos apuntamentos persoaisb) participación nas clases de teoría e de problemasc) asistencia activa ás clases prácticasd) programación de algoritmose) elaboración de problemas orixinaisf) participación na mellora do curso virtualg) outras achegas.

Se é o caso, haberá un exame final escrito de teoría e problemas. O exame teórico será tipo test. As respostas incorrectas cualificaranse negativamente ata -0,5, sendo de 1,0 o valor da resposta correcta e de cero a contestada en branco. O exame práctico consiste na resolución de problemas. Haberá un control parcial liberatorio de materia normalmente antes do Nadal.


Horas presenciais:- Teóricas: 27- De problemas: 25- De prácticas: 8

Horas non presenciais: 4h á semana: 2h de teoría e 2h de problemas10h preparación do control 20h de avaliación dos traballos persoais (10 das cales poden ser de preparación do exame final, se é o caso).



293

Dado o carácter que se lle quere imprimir a materia, é imprescindible unha participación directa do alumnado, o que leva consigo un seguimento ao día co obxecto de que a avaliación continua poida ser efectiva.

Para un correcto aproveitamento, os alumnos deberán posuír unha calculadora, non programable, que dispoña das funcións circulares e as súas inversas e que se aconsella leven todos os días á clase, independentemente que esta sexa de problemas ou non.

A materia conta con apoio virtual, que lles facilita aos alumnos o uso de recursos informáticos e multimedia para reforzar e ilustrar en maior detalle os conceptos expostos nas clases presenciais.

Adoitase explicar en xaneiro a parte de Mecánica Celeste que contén o curso.

294

Contido

Código : 091534 Nome:Historia da Matemática Ano Academico : 2008/2009







Alcalde Cuesta,Fernando TIT-UN Profesor/a


Fugarolas Villamarín,Manuel Antonio CAT-UN Profesor/a


Coñecer algúns dos feitos máis importantes na historia das matemáticas e o seu influxo na actualidade. Coñecer o traballo dalgúns matemáticos relevantes. Utilizar a Historia das Matemáticas para tentar de comprender as distintas concepcións existentes sobre a natureza do coñecemento matemático.

Contidos

Parte I. Historia antiga e medieval1. O nacemento da matemática grega. O período helénico2. O período helenístico: Euclides, Arquímedes e Apolonio3. De Hiparco a Diofanto (s. II BC-III AD)4. As matemáticas do Islam e no medievo europeo

Parte II. Paralelismo e movemento: de Euclides a Poincaré1. A evolución histórica dos conceptos de paralelismo e movemento (3 horas)2. Os Elementos de Euclides e os enunciados do V Postulado (2 horas)3. O semiplano de Poincaré e as transformacións lineares fraccionais. O disco de Poincaré e as transformacións de Möbius (5 horas)4. A construción de Beltrami dos modelos de Klein e Poincaré (2 horas)5. O modelo do hiperboloide de Poincaré (3 horas)

Parte III. Elementos de historia da Análise Matemática.1. Resumo histórico da Análise Matemática: séculos XVII a XX.2. Nacemento e posteridade da integral de Lebesgue.3. Aspectos históricos da Análise Funcional.


Parte I

Boyer, C.B. Historia de la matemática. Alianza Universidad, 1986.Collette, J.P. Historia de la matemática I. Siglo XXI de España editores 1983.Fauvel, J. and Gray, J. Eds. The history of mathematics. MacMillan Pres 1987.Kline, M. Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford Univ. Press 1972.

Parte II

H. M. S. Coxeter, Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa-Wiley S.A., México D.F., 1971.

295

Euclides, Elementos, Editorial Gredos. Madrid, 1991.D. Hilbert, Foundations of Geometry. Open Court, La Salle, IL, 1971. S. Katok, Fuchsian Groups. Chicago Lectures in Math. Series, The University of Chicago Press, Chicago, IL, 1992.J. Milnor, Hyperbolic Geometry: the first 150 years. Bull. Amer. Math. Soc., 6 (1982), 9-24. R. Penrose, Lo grande, lo pequeño y la mente humana. Cambridge University Press, Madrid, 1999H. Poincaré, Œuvres. Gauthier-Villars, Paris, 1953. L. A. Santaló. Geometrías no euclidianas. Eudeba, Buenos Aires, 1966.J. Stillwell, Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics 10, Amer. Math. Soc., Providence, RI; London Math. Soc., London, 1996

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.htmlhttp://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/cabri0.htmlhttp://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoNonE.htmhttp://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/resources.html

Parte III

A. D. Aleksandrov, A . Kolmogorov, M. A. Laurentiev y otros, La matemática: su contenido, métodos y significado, Tomos 1, 2 y 3. Alianza Editorial, Madrid, 1973-1974.C. B. Boyer, Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, 2003. A. Pietsch, History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Basel, 2007.

Competencias

Coñecer algúns dos feitos máis importantes na historia das matemáticas e o seu influxo na actualidade. Coñecer o traballo dalgúns matemáticos relevantes. Coñecer as principais concepcións existentes sobre a natureza das Matemáticas a través dos episodios da Historia das Matemáticas que máis influíron nelas. Ser capaces de analizar criticamente os distintos tipos de demostracións matemáticas e o problema da existencia dos obxectos matemáticos.


Participación activa dos estudantes.


Avaliación continua. Exame escrito. Contémplase a posibilidade de realización de traballos.


Horas presenciais: 45Horas non presenciais: 80



Asistencia ás clases e traballo diario.

Observacións

Non hai.

296

Contido

Código : 091537 Nome:Introdución ao Cálculo Vectorial e Paralelo Ano Academico : 2008/2009







Alvarez Dios,Jose Antonio TIT-UN Profesor/a


Saber programar ordenadores paralelos e coñecer a paralelización de algoritmos clásicos e algoritmos paralelos clásicos como a descomposición de dominio.

Contidos

1. Necesidade do cálculo vectorial e paralelo2. Un panorama do cálculo paralelo3. Primeiro programa paralelo4. Unha aplicación: integración numérica5. Comunicacións colectivas6. Agrupar datos para a comunicación7. Comunicadores e topoloxías8. Entrada e saída en paralelo9. Depuración de programas paralelos10. Deseño e codificación de programas paralelos11. Rendemento de programas paralelos12. Máis sobre rendemento13. Comunicacións punto a punto avanzadas14. Algoritmos paralelos. Métodos de descomposición de dominio15. Librarías paralelas


Programmer’s guide to Fortran 95. Brainerd, Goldberg e Adams.Introduction to matrix computations. Stewart.Parallel Programming with MPI. Peter Pacheco.Iterative Solution of large linear systems. Young.Iterative Methods for sparse linear systems. Saad.Numerical linear algebra for high-performance computers. Dongarra, Duff, Sorensen, van der Vorst.

Competencias

Programación paralela.Depuración de programas paralelos.Manexo dos ordenadores do CESGA.Paralelización de código.

297


Docencia Virtual en Web temática, traballos propostos cada semana.


Traballos e exame. Os traballos representarán o 30 por cento da nota final.


20 teóricas + 10 prácticas + 30 prácticas ordenador.Horas non presenciais: 105 (7 horas/semana, 2,3 h de teoría, 2,3 de problemas/prácticas, 2,3 h. preparación do exame final).Horas de avaliación: 4.Total volume de traballo: 169 horas.


Ter cursada a materia de Programación Avanzada. Interesante ter cursado Análise Numérica de Grandes Sistemas.

298

Contido

Código : 091538 Nome:Lóxica Matemática Ano Academico : 2008/2009







Barja Perez,Javier TIT-UN Profesor/a


i) Familiarizarse coas técnicas propias da Lóxica Matemática.ii) Revisión crítica dos principios lóxicos empregados na matemática.iii) Coñecemento dalgúns dos problemas derivados dos cardinais infinitos.iv) Tomar contacto cos estudos de Fundamentación da Matemática e os traballos de Gödel.v) Unha breve exposición a outras lóxicas e a outras matemáticas: Intuicionismo, Análise non Estándar, Categorías, Lóxica Fuzzy.

Contidos

1.- Básicos da Lóxica Matemática (8 horas)Xeneralidades. Sistemas axiomáticos: conceptos básicos e derivados. Sistemas formais: sintaxe vs semántica, linguaxe, símbolos, expresións, fórmulas, axiomas, regras de inferencia, teoremas2.- Cálculo de proposicións (14 horas)Linguaxe obxecto vs. metalinguaxe: variables sintácticas. Semántica proposicional: valoración de verdade, consecuencia tautolóxica, táboas de verdade e árbores de confutación para proposicións. O principio de resolución. Cálculo de proposicións baseado en implica e negación: tres axiomas proposicionais e unha regra de dedución. Cálculo de proposicións baseado en negación e disxunción: un axioma e cinco regras3.- Teorías de primeira orde: cálculo de predicados (10 horas)Universo, funcións e predicados. Funcións de verdade. Variables e cuantificadores. Sintaxe básica dunha linguaxe de primeira orde: variables, símbolos de funcións, termos, símbolos de predicados, símbolos lóxicos, fórmulas atómicas e derivadas. Interpretación dunha linguaxe: estruturas e valoracións; regras básicas de semántica. Consecuencia e equivalencia lóxicas. Variables libres e acoutadas: substitución. Un sistema axiomático para o cálculo de predicados. Dedución ou proba de primeira orde. Teorema de dedución. Inconsistencia dun conxunto de fórmulas. Teoremas de consistencia e completitude do cálculo de Predicados. Resolución en Predicados. Teorías de primeira orde: axiomática da aritmética de Peano4.- Teoría de modelos (16 horas)Ideas básicas: redución e extensión de linguaxes e estruturas; morfismos de estruturas e subestruturas elementais. Teoremas de Löwenheim–Skolem. Retículos: álxebras de Boole, filtros e ultrafiltros. Ultraprodutos de estruturas: Teorema de Los e Teorema de Compacidade. Un modelo para Análise non Estándar5.- Incompletitude e indecidibilidade (12 horas)Diversos problemas de decisión. Funcións recursivas (primitivas) e funcións calculables: máquinas de Turing e Tese de Church. Representabilidade. Aritmetización dunha teoría: números de Gödel. Teorías recursivamente axiomatizables. Teoremas de Gödel de incompletitude. Consecuencias


John Bell e Moshé Machover, A Course in Mathematical Logic, North Holand, 1977. J. N. Crossley e outros, What is Mathematical Logic?, Oxford University Press, 1972.John Barwise (editor), Handbook of Mathematical Logic, North Holand, 1977.Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic,Chapman & Hall.1997.

299

Competencias

Distinguir con claridade os conceptos sintácticos dos semánticos. Saber facer probas sintácticas de resultados sinxelos do cálculo axiomático de proposicións. Dominar algún método para derivar consecuencias semánticas do cálculo de predicados. Manexar o teorema de compacidade para probar resultados limitativos da lóxica de primeira orde. Capacidade para axiomatizar teorías sinxelas. Implicacións dos teoremas de Lowenheim-Skolem. A construción como ultrapotencia de R dun modelo para a Análise non Estándar. Manexo dalgún tipo de máquina ideal para facer programas sinxelos. Saber formularos teoremas de Incompletitude de Gödel e a súa repercusión.


A distribución semanal da materia será a seguinte: 3 horas de clase de teoría e 1 hora de clase de problemas. Situados en contexto, iranse ditando os problemas que formarán parte do exame de cada capítulo. Todo isto simultaneado cun CursoVirtual con comentarios ao programa, ferramentas de autoavaliación e comunicación cos profesores.


Con cada capítulo, entregarase un exame para ser realizado nun prazo máximo dunha semana en grupos de tres persoas. Da súa cualificación sairá o 80% na nota final. O 20% restante sairá dos exames individuais, un por cada capítulo, que se realizarán no curso virtual.


Horas presenciais:45 horas teóricas15 horas de problemas

Horas non presenciais: 60 horas relacionadas coa docencia presencial (4 á semana, 3 horas de teoría e 1 de problemas)30 horas para resolver problemas dos grupos

Horas de avaliación: 5 horas redactar exames en grupos5 horas exames curso virtual



Asistencia regular ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar as titorías para delimitar o traballo dos exames. Traballar nos exames en paralelo coas clases. Aproveitar o curso virtual (ferramentas de autoavaliación, exames virtuais comentados, contexto para os exames en grupo, etc.).

300

Contido

Código : 091539 Nome:Mecánica Celeste Ano Academico : 2008/2009







Docobo Durantez,Jose Angel TIT-UN Profesor/a



i. Coñecer os conceptos fundamentais da Mecánica Celeste e poñelos en práctica.ii. Manexar a ferramenta matemática necesaria para abordar as teorías analíticas de perturbación.iii. Aplicacións a problemas astronómicos concretos: movemento da Lúa, satélites artificiais, etc.

Contidos

- O problema de dous corpos (extensión) - Cálculo de órbitas no Sistema Solar - O movemento kepleriano perturbado. Nocións de Mecánica Analítica e transformacións canónicas- Ecuacións do movemento kepleriano perturbado. Ecuacións de Lagrange - O problema de n-corpos. O caso n = 3. O movemento da Lúa perturbado polo Sol. Solucións de Lagrange e Euler - Problema restrinxido de tres corpos - Movemento dun satélite artificial en torno á Terra


A. ABAD, J. A DOCOBO e A ELIPE.: “Curso de Astronomía”R. CID PALACIOS: “Apuntes de Mecánica Celeste”J. M. A. DANBY: “Fundamentals of Celestial Mechanics”E. ROY: “Orbital motions”T. ELICES: Mecánica Espacial”R. R. BATE E OUTROS: “Fundamentals of Astrodynamics”F. R. MOULTON: “An introduction to Celestial Mechanics”J. KOVALEVSKY: “Introduction to Celestial Mechanics”D. DUBYAGO: “The determinations of orbits”P. R. ESCOBAL: “Methods of orbit determination”

Competencias

- Coñecemento do desenvolvemento da Mecánica Celeste ao longo da Historia.- Comprensión global do problema de dous corpos.- Introdución ao cálculo de órbitas no sistema solar.- Utilización dos conceptos de Mecánica Analítica aplicados á Astrodinámica.- Manexo das ferramentas matemáticas necesarias para abordar as teorías analíticas de perturbacións.- Aplicacións de todo o anterior a problemas reais.

301


3 créditos de teoría e 3 de problemas e prácticas.

1. Problema de dous corpos (extensión) (Teoría: 8 horas; Práctica: 8 horas)2. Cálculo de órbitas no Sistema Solar (Teoría: 9 horas; Práctica: 9 horas)3. Movemento kepleriano perturbado. Formulación hamiltoniana. Transformacións canónicas. Sistemas canónicos no movemento elíptico (Teoría: 8 horas; Práctica: 8 horas)4. Problema de n-corpos. Solucións particulares. O movemento da Lúa: perturbacións seculares. O problema restrinxido de 3 corpos (Teoría: 4 horas; Práctica: 4 horas)5. Movemento do satélite artificial (Teoría: 1 hora; Práctica: 1 hora)


Teráse en conta o aproveitamento das clases de teoría e problemas.(70% da nota)As alumnas e alumnos presentarán ó final do curso un traballo relacionado coa materia e cuxo contido comentaráse previamente cos profesores (30% da nota)


Horas presenciais:- teóricas: 30 - de problemas: 30

Horas non presenciais: 4h á semana: 2h de teoría e 2h de problemas 15h preparación control parcial15h preparación do traballo a presentar

Horas de avaliación: 5h



É importante cursar previamente Fundamentos de Astronomía. Aconséllase cursar previa ou simultaneamente Astronomía Xeral.

Os alumnos deberán posuír unha calculadora, non programable, que dispoña das funcións circulares e as súas inversas e que se ten que levar todos os días á clase.

O tema do traballo para presentar ao final de curso é libre dentro do ámbito da materia.

Aconséllase consultar a bibliografía recomendada e facer uso das posibilidades da internet.

302

Contido

Código : 091541 Nome:Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica Ano Academico : 2008/2009







Salgado Seco,Modesto Ramon TIT-UN Profesor/a


A formulación xeométrica das descripcions lagrangiana e hamiltoniana da mecánica clásica está basada nas estructuras dos fibrados tanxente e cotanxente das variedades de configuración.

O obxetivo fundamental da materia é desenrolar esta formulación, mostrando que o cálculo diferencial en variedades é unha ferramenta fundamental para a mellor comprensión da Mecánica Clásica.

Contidos

TEMA 1. Mecánica Clásica: mecánica dun sistema de partículas. Formulación Lagrangiana e Hamiltoniana cando o espazo de configuración é un aberto de R^{3n}.

TEMA 2. Formulación Lagrangiana e Hamiltoniana cando o espazo de configuración é unha subvariedade de R^{3n}: a aplicación forza total. Forzas de ligadura. Enerxía cinética. Ecuacións de Euler-Lagrange. Forzas conservativas. A transformación de Legendre. Conservación da enerxía. Ecuacións de Hamilton

TEMA 3. Mecánica lagrangiana e hamiltoniana para sistemas holonómicos: forma simpléctica canónica do fibrado cotanxente. Morfismos musicais. Campos de vectores lagrangianos e hamiltonianos. Formulacións da mecánica nos fibrados tanxente e cotanxente. Estructura tanxente canónica: formulación lagrangiana

TEMA 4. Simetrías e constantes do movimento.

TEMA 5. Accións de grupos de Lie: Aplicación momento


R. Abraham e J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin, New York, 1978.J. E. Marsden e T.S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, New York 1994.W. D. Curtis e F. R. Miller. Differential manifolds and Theorical Physics Manuel de Le\'{o}n; Paulo R. Rodrigues Methods ofdifferential geometry in analytical mechanics, North-Holland Math. Studies, 158, 1989.V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, GTM 60, Spriner-Verlag 1984

Competencias

303

- Utilización das destrezas adquiridas no cálculo diferencial en variedades diferenciables: campos de vectores, 1-formas diferenciais, grupos 1-parámetricos... para ter unha visión global da Mecánica Clásica.


4 horas teóricas nas que se desenvolven a partir de exemplos físicos concretos a formulación xeométrica da Mecánica Clásica.


Exame (teórico) e unha exposición dun tema ligado á materia.


Ter cursado a materia Xeometría e Topoloxía (Variedades).

304

Contido

Código : 091545 Nome:Teoría Clásica de Números Ano Academico : 2008/2009







Garcia Rodicio,Antonio CAT-UN Profesor/a


Introdución ao estudo da distribución dos números primos.

Contidos

0. PRELIMINARES:0.1. Funcións enteiras de orde finita. O teorema de factorización de Hadamard0.2. Funcións holomorfas definidas por integrais

1. A FUNCIÓN GAMMA:1.1. Fórmulas de Euler e Gauss1.2. Ecuación funcional1.3. Fórmula do complemento e fórmula de duplicación1.4. Representación integral da función gamma1.5. Fórmula de Stirling

2. A FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN:2.1. Fórmula de Euler2.2. Prolongación analítica e ecuación funcional2.3. Ceros triviais e non triviais. O teorema de Hadamard: relación entre a derivada logarítmica e os ceros 2.4. Unha rexión libre de ceros: o teorema de De la Vallée-Poussin2.5. Acotación do número de ceros non triviais e estimacións da derivada logarítmica

3. O TEOREMA DO NÚMERO PRIMO:3.1. A función de Chebyshev3.2. A fórmula explícita: expresión da función de Chebyshev en termos dos ceros da función zeta3.3. O teorema do número primo3.4. A hipótese de Riemann e a acotación do termo do erro no teorema do número primo

4. NÚMEROS PRIMOS EN PROGRESIÓNS ARITMÉTICAS:4.1. Caracteres de grupos abelianos finitos4.2. Caracteres de Dirichlet4.3. Series de Dirichlet4.4. As funcións L4.5. Infinitude do conxunto de primos nunha progresión aritmética


1. T. M. Apostol, Introducción a la Teoría Analítica de Números, Reverté, 1980.2. J. Cilleruelo. e A. Córdoba, La Teoría de los Números, Mondadori, 1992.3. H. Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer-Verlag, 1980.4. A. A. Karatsuba, Basic Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1993.

305

5. S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag, 1985.6. M. R. Murty, Problems in analytic number theory, Springer-Verlag, 2001.7. W. Narkiewicz, The Development of prime number theory : from Euclid to Hardy and Littlewood, Springer-Verlag, 2000.8. G. Tenenbaum, M. Mendès France, Les Nombres Premiers, Presses Universitaires de France, 1997.

Competencias

Manexar os métodos analíticos básicos da teoría de números.


Cada alumno recibirá 2 horas de teoría e 2 de práctica por semana.


Exame.


Horas presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30.Horas non presenciais: 95.Horas de avaliación: 3.Total volume de traballo: 158 horas.


Dedicación constante á disciplina co fin de comprender e manexar os conceptos estudados.

306

Contido

Código : 091547 Nome:Teoría de Números Alxébricos Ano Academico : 2008/2009









Coñecer os métodos e resultados básicos de teoría de números alxébricos, xeral, local e global. Aplicacións aos corpos cuadráticos e ciclotómicos.

Contidos

1. Subaneis e valores absolutos dun corpoBase enteira. Extensión residual. Valores absolutos e divisores primos. Teorema de aproximación. Aneis de enteiros e grupos de divisores. Extensións de valores absolutos2. Corpos completos e corpos locaisCompletación. Extensións de valores absolutos, casos completo e non completo. Norma e conorma. Estrutura das unidades dun corpo local. Estrutura dos corpos locais3. Dominios de DedekindIdeais e divisores. Divisores primos de Q. Teorema de aproximación forte discreto. Extensións de dominios de Dedekind. Teorema de Kummer4. RamificaciónGrupos de descomposición e ramificación. Automorfismo de Frobenius, símbolos de Artin e de resto potencial. Extensións non ramificadas. Extensións totalmente ramificadas. Ramificación moderada5. Diferente e discriminanteDiferente. Diferente e ramificación. Discriminante. Base enteira, ramificación e Discriminante. Cálculo da discriminante. Teorema de Kummer e discriminante6. Corpos globaisCorpos de funcións. Aneis de enteiros. Fórmula produto. Extensións de corpo de constantes7. Adeles. Xeometría de númerosAdeles. Representación xeométrica dos números alxébricos. Teorema de aproximación forte. A constante de Minkowski8. Ideles. Teorema das unidadesIdeles. Ideles e ideais. Finitude do número de clase. Teorema das unidades de Dirichlet. Regulador9. Corpos ciclotómicosSímbolo de Artin e lei de reciprocidade ciclotómica. Lei de descomposición. Base enteira. Unidades10. Corpos cuadráticosBase enteira e discriminante. Kronecker-Weber e fórmula discriminante-condutor cuadráticos. Lei de descomposición. Representación por formas cuadráticas binarias. Lei de reciprocidade cuadrática. Unidades, ecuación de Pell


Borevic, Z. I. e Safarevic, I. R., Theorie des nombres, Gauthier-Villars, 1966.Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1965.Lang, S., Algebraic number theory, Addison-Wesley, 1970.Neukirch, J., Algebraic number theory, Springer, 1999.Serre, J. P., Corps locaux, Hermann, 1968.Weiss, E., Algebraic number theory, MacGraw-Hill, 1963.

307

Competencias

Cálculo de discriminantes e bases enteiras e descomposición de primos en certos corpos cúbicos, cuárticos e outros corpos de grao baixo.Aplicación do teorema das unidades.


Exposición dos contidos por parte do profesor. Discusión e participación dos alumnos. Realización de problemas en relación cos contidos.


Exame final escrito teórico e práctico.


6 horas semanais.

308

Contido

Código : 091548 Nome:Teoría de Xogos Ano Academico : 2008/2009







Garcia Jurado,Ignacio CAT-UN Profesor/a


Presentarlles aos alumnos os principais modelos matemáticos para a toma de decisións en situacións conflitivas, as principais solucións proporcionadas desde as diferentes teorías da racionalidade (no caso dos conflitos non cooperativos) e da xustiza (no caso dos conflitos cooperativos), os principais métodos de cálculo das devanditas solucións, e as principais aplicacións da teoría de xogos.

Contidos

1. XOGOS EN FORMA ESTRATÉXICA1.1. Introdución aos xogos en forma estratéxica1.2. Equilibrio de Nash en xogos en forma estratéxica1.3. Estratexias mixtas en xogos finitos1.4. Xogos bimatriciais1.5. Xogos bipersoais de suma nula1.6. Xogos matriciais1.7. Refinamentos do equilibrio de Nash en xogos finitos1.8. O equilibrio correlado

2. XOGOS EN FORMA EXTENSIVA 2.1. Introdución aos xogos en forma extensiva2.2. Equilibrio de Nash en xogos en forma extensiva2.3. Refinamentos do equilibrio de Nash en xogos en forma extensiva2.4. Xogos con información incompleta

3. MODELOS DE NEGOCIACIÓN3.1. Aproximacións axiomáticas ao problema de negociación3.2. Aproximacións estratéxicas ao problema de negociación

4. XOGOS TU4.1. Introdución aos xogos TU4.2. O núcleo e outros conceptos relacionados4.3. O valor de Shapley e outros conceptos relacionados


R. Aumann and S. Hart (1992). "Handbook of Game Theory (Vol. 1)". North-Holland.R. Aumann and S. Hart (1994). "Handbook of Game Theory (Vol. 2)". North-Holland.R. Aumann and S. Hart (2002). "Handbook of Game Theory (Vol. 3)". North-Holland.D. Blackwell and M.A. Girshick (1954). "Theory of Games and Statistical Decisions". Wiley.M.D. Davis (1986). "Introducción a la Teoría de Juegos". Alianza Universidad.T. Driessen (1988). "Cooperative Games, Solutions and Applications". Kluwer Academic Publishers.R. Gibbons (1992). "Un Primer Curso de Teoría de Juegos". Antoni Bosch Editor.

309

F.J. Girón y M.A. Gómez Villegas (1977). "Teoría de los Juegos". U.N.E.D.T. Ichiishi (1983). "Game Theory for Economic Analysis". Academic Press.R.D. Luce and H. Raiffa (1957). "Games and Decisions". Wiley.A. Mas-Colell, M.D. Whinston and J.R. Green (1995). “Microeconomic Theory”. Oxford University Press. R. Myerson (1991). "Game Theory. Analysis of Conflict". Harvard University Press.M. Osborne and A. Rubinstein (1994). “A Course in Game Theory”. The MIT Press.G. Owen (1995). "Game Theory". Academic Press.T. Parthasarathy and T.E.S. Raghavan (1971). "Some Topics in Two-Person Games". Elsevier.H. Peters (1992). "Axiomatic Bargaining Theory". Kluwer Academic Publishers.S. Tijs (2003). "Introduction to Game Theory". Hindustan Book Agency.E. van Damme (1991). "Stability and Perfection of Nash Equilibria". Springer-Verlag.J. von Neumann and O. Morgenstern (1947). "Theory of Games and Economic Behavior". Princeton University Press.

Competencias

- Coñecemento dos resultados teóricos incluídos no programa.- Capacidade para aplicar correctamente os resultados obtidos á modelización e á resolución de problemas de toma de decisións en interacción con outros decisores.- Competencia para utilizar os coñecementos adquiridos na análise e interpretación de problemas xurdidos nas ciencias sociais.


- Clases de teoría e de problemas (aproximadamente, en proporción catro a un). Nas clases de problemas os estudantes corrixirán no encerado os problemas propostos. - Utilizarase o encerado, o retroproxector de transparencias e canón de vídeo. Os estudantes terán á súa disposición na fotocopiadora e na web os apuntamentos do profesor e algúns exames resoltos de cursos anteriores.- Fomentarase a participación dos estudantes na clase. - Farase fincapé nas relacións entre a teoría de xogos e as ciencias sociais.


Exame escrito que inclúe preguntas de teoría, cuestións e problemas. O exame valorarase de 0 a 10 puntos. Para aprobar son necesarios cinco puntos.


O tempo de traballo necesario para superar a materia depende moito dos coñecementos previos e da destreza do alumno. Normalmente, dúas horas de traballo persoal (estudo de resultados teóricos e resolución de problemas) por cada hora de clase, debería ser suficiente.


Para superar esta materia é aconsellable a asistencia ás clases e a resolución e revisión dos exercicios propostos.

310

Contido

Código : 091549 Nome:Teoría Espectral e Ecuacións Integrais Ano Academico : 2008/2009







NIETO ROIG,JUAN JOSE CAT-UN Profesor/a


- Coñecer os fundamentos da teoría espectral e a súa relación coas ecuacións integrais.- Familiarizar o alumno cos métodos elementais de resolución de ecuacións integrais.- Exposición e resolución de problemas reais que conducen a ecuacións integrais.

Contidos

1. Exemplos e motivaciónsO problema mecánico de Abel. Problemas iniciais para ecuacións diferenciais ordinarias: ecuacións integrais de Volterra. Problemas de fronteira para ecuacións diferenciais ordinarias: ecuacións integrais de Fredholm. Problemas de fronteira para ecuacións diferenciais en derivadas parciais: formulación integral

2. Operadores compactos e operadores de Hilbert-SchmidtPropiedades. Exemplos. Operadores de Hilbert-Schmidt nun espazo de Hilbert. Operadores integrais. Núcleo dun operador integral

3. A teoría de Riesz-FredholmTeorema da alternativa de Fredholm. Espectro e resolvente dun operador compacto. Espectro e resolvente dun operador autoadxunto

4. Forma canónica dun operador compacto e autoadxuntoTeorema de existencia dunha base de Hilbert formada por autovectores. Exemplos. Bases ortonormais clásicas: sistema trigonométrico, polinomios de Legendre, polinomios de Bessel, polinomios de Hermite, funcións de Bessel, etc.

5. Ecuacións integrais de Volterra e de FredholmPropiedades elementais. Equivalencia entre operadores integrais con núcleo de cadrado sumable e operadores de Hilbert-Schmidt. Teorema da alternativa para ecuacións integrais

6. Métodos de resolución de ecuacións integraisNúcleo resolvente. Resolución no caso dexenerado. Métodos iterativos. Series de Neumann. Método dos determinantes de Fredholm. Ecuacións integrais de convolución e a transformada de Laplace. Métodos numéricos


L. ABELLANAS e A. GALINDO, Espacios de Hilbert, Eudema, 1987.H. BREZIS, Análisis Funcional, Alianza, 1984.A. KOLMOGOROV e S. FOMIN, Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional, Mir, 1975.M. KRASNOV, A. KISELIOV e G. MAKARENKO, Ecuaciones Integrales, Mir, 1977D. PORTER e S.G. STIRLING, Integral equations: a practical treatment, from spectral theory to applications, Cambridge University Press, 1993

311

Competencias

- Comprender e manexar as demostracións dos resultados máis relevantes da materia, así como ser capaz de aplicalas a cuestións teóricas e problemas sinxelos.- Coñecer os fundamentos da teoría espectral e a súa relación coas ecuacións integrais.- Familiarizar o alumno cos métodos elementais de resolución de ecuacións integrais.- Formulación e resolución de problemas reais que conducen a ecuacións integrais.


- Clases de teoría.- Clases prácticas.- Resolución de exercicios na aula.- Participación activa dos estudantes.


- Avaliación continuada.- Exame escrito.


- Horas presenciais (30 + 30)- Horas non presenciais (30 + 30)- Total volume de traballo: 120 horas


- Asistencia ás clases e traballo diario.

Observacións

Non hai.

312

Contido

Código : 091550 Nome:Topoloxía Diferencial Ano Academico : 2008/2009







Carballes Vazquez,Jose Manuel TIT-UN Profesor/a


Proporcionar ó alumno unha formación básica de Topoloxía diferencial elemental.

Contidos

1.- Variedades: Variedades diferenciables. Exemplos. Variedades con borde.2.- Teorema de Sard: Subvariedades. Teoremas de Morse-Sard e Brown. Aplicacións. Teoremas de embebemento.3.- Transversalidade: Subvariedades en posición xeral. Transversalidade. Estabilidade e densidade.4.- Grao dunha aplicación: Grao e grao módulo 2. Teorema de Hopf. Número de intersección. Característica de Euler.5.- Cohomoloxía de De Rham: Formas pechadas e exactas. Lema de Poincaré. Cohomoloxía de De Rham. Teorema de Poincaré- Hopf. Teorema de De Rham.


GUILLEMIN, V. - A. POLLACK. Differential Topology. Prentice-Hall. 1974.HIRSCH, M.W. Differential Topology. Springer. 1976.MADSEN, I. - J. TORNEHAVE. From Calculus to Cohomology. Cambridge U.P. 1997.MILNOR, J.W. Topology from the Differentiable Viewpoint. The University Press of Virginia. 1965.OUTERELO, E. - J.M. RUIZ. Topología diferencial. Addison-Wesley. 1998.

Competencias

Manexo das técnicas básicas da Topoloxía diferencial.


Clases presenciais.


Resolución de problemas, exposición de temas relacionados co programa e, eventualmente, exame escrito.

313

Observacións

Materias que se aconsella cursar previamente: Xeometría e Topoloxía.

314

Contido

Código : 091552 Nome:Xeometría de Riemann Ano Academico : 2008/2009







Garcia Rio,Eduardo TIT-UN Profesor/a


Estudo da xeometría local de variedades Riemannianas: I) Conexión de Levi Civita II) Xeodésicas: propiedades minimizantes III) Curvatura: curvatura seccional

Estudo da xeometría global de variedades Riemannianas: I) Distancia II) Completitude xeodésica: Teorema de Hopf-Rinow

Contidos

1. Métricas RiemannianasPreliminares. Tensor métrico. Existencia de métricas de Riemann. Exemplos

2. Conexión de RiemannConexións afíns, transporte paralelo. A conexión de Levi Civita. Derivación de campos de tensores

3. XeodésicasO fluxo xeodésico. Propiedades minimizantes das xeodésicas. Aplicación exponencial e contornos convexos

4. Variedades completasDistancia asociada á métrica de Riemann. Completitude xeodésica. Teorema de Hopf-Rinow

5. CurvaturaTensor curvatura. Funcións curvatura seccional, de Ricci e escalar. A ecuación de Jacobi. Puntos conxugados. Determinaciónlocal da métrica a partir da curvatura. Variedades de curvatura seccional constante


W. M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure Appl. Math., 120. Academic Press, Florida, 1986.

M. P. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.

Chavel, Riemannian geometry, a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, 108. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

John M. Lee, Riemannian geometry, an introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer-Verlag, New York, 1997.

B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with applications to relativity, Pure Appl. Math., 103. Academic Press, New York-

315

London, 1983.

Competencias

Manexo das técnicas básicas da Xeometría Riemanniana.


Clases presenciais.


- Traballo na clase.- Exame.


Materias que se aconsella cursar previamente: Curvas e Superficies, Teoría Global de Superficies, Xeometría e Topoloxía.

316

Contido

Código : 091561 Nome:Estatística Matemática Ano Academico : 2008/2009







González Manteiga,Wenceslao CAT-UN Profesor/a


O obxectivo da materia é que o alumno obteña un coñecemento básico das técnicas de Inferencia Estatística paramétrica e non paramétrica

Contidos

1.- INTRODUCCIÓNa) Breve revisión dos conceptos da Estatística: poboación, mostra, estatísticos, suficiencia, etc.

2.- ESTIMACIÓN a) Estimación inesgadab) Invarianciac) Estimadores Bayesd) Métodos de construcción de estimadores paramétricosc) Introducción aos métodos non paramétricos de estimación

3.- CONTRASTES DE HIPÓTESESa) O lema de Neymann-Pearsonb) Tests bilaterais. Tests centradosc) Tests en modelos paramétricosd) Tests en modelos non paramétricos

4.- ESTIMACIÓN POR REXIÓNS DE CONFIANZAa) Rexións de confianza pivotalb) Rexións de confianza asintóticac) Rexións de confianza Bootstrap


1)Berger, J.O. (1985). “Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis”. Springer Verlag.2)Casella, G. e Berger, R.L. (1990). “Statistical Inference”. Wadsworth & Brooks/Cole.3)Cristóbal Cristóbal, J.A. (1992). “Inferencia Estadística”. Universidad de Zaragoza.4)Dekking, F. M., Kraaikanp, H. P., Lopuhää. H. P. e Meester, L. E. (2005). “ Understanding Why and How”. Springer5)Garthwaite, P.H., Jollliffe, I.T. e Jones, B. (1995). “Statistical Inference”. Prentice Hall6)Gibbons, J.D. e Chakraborti, S. (1992). “Nonparametric Statistical Inference”. Tercera Edición. Marcel Dekker.7)Gómez Villegas, M.A. (2005). "Inferencia Estadística". Diaz de Santos.8)Knight, K. (2000). “Mathematical Statistics”. Chapman & Hall.9)Lehmann, E.L. (1991). “Testing Statistical Hypothesis”. Segunda Edición. Wiley.10)Lehmann, E.L. (1991). “Theory of Point Estimation”. Segunda Edición. Wiley.11)Rohatgi, V.K. (1976). “An introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics”. Wiley12)Shao, J. (2003). “Mathematical Statistics”. Springer.13) Shao, J. (2005). "Mathematical Statistics: Exercises and solutions". Springer

317

14)Vélez Ibarrola, R. e García Pérez, A. (1993). “Principios de Inferencia Estadística”. UNED.15)Welsh, A.H. (1996). “Aspects of Statistical Inference”. Wiley.16)Wand, M.P. e Jones, M.C. (1995). “Kernel Smoothing”. Chapman Hall.

Competencias

- Manexar todos os métodos máis importantes da estimación paramétrica e non paramétrica. - Enunciar e resolver contrastes de hipóteses paramétricos e non paramétricos.- Manexar os métodos clásicos e de tipo Bootstrap de construcción de rexións de confianza- Capacidade de resolver problemas que requiran o uso da inferencia estatística


O curso impartirase en bloques de 5 horas semanais mediante leccións maxistrais, e clases de tipo práctico


Consistirá nun único exame escrito. Tamén se terá en conta a resolución de problemas feitos polos alumnos ao longo do curso.


O tempo de traballo necesario para superar esta materia depende da destreza e habilidades do alumno. En xeral, unha hora e media diaria de estudo e traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debe de ser suficiente.


Para superar con éxito esta materia, é necesario a asistencia ás clases, sendo fundamental o traballo na resolución de problemas propostos ao longo do curso. O exame constará de problemas moi relacionados cos feitos en clase.

Observacións

Materias que se aconsella cursar previamente: Cálculo Diferencial e Integral Nunha e Varias Variables, Introdución ao Cálculo de Probabilidades e Vectores Aleatorios e Inferencia Estatística.

318

Contido

Código : 091562 Nome:Métodos de Regresión Ano Academico : 2008/2009







Carollo Limeres,Maria Del Carmen TIT-UN Profesor/a


Preténdese conseguir, mediante as clases teóricas e prácticas, un coñecemento profundo e rigoroso do modelo linear xeral con resposta unidimensional e a súa utilización en distintas situacións atendendo ao tipo de variables en estudo. Coas clases de laboratorio preténdese que o alumno coñeza a correcta utilización de aplicacións informáticas, orientadas á resolución de problemas estatísticos (por exemplo o SPSS), para resolver problemas reais en relación co modelo linear xeral.

Contidos

1. A distribución normal multivariante2. Distribución de formas cuadráticas3. O modelo linear xeral e as súas aplicacións4. O modelo linear xerar con restricións lineares e as súas aplicacións5. Análise da varianza6. Análise da covarianza7. Principais modelos do deseño de experimentos


DRAPPER, N.R. y SMITH, H. Applied Regression Analysis. Ed. Wiley. 1998.HASTIE, T, TIBSHIRANI, R y FRIEDMAN J. The Elements of Statistical Learning. Springer Series in Statistics. 2001.JOBSON , J.D. Applied Multivariate Data Analysis. (Regression and Experimental Design). Springer-Verlag, 1992.PEÑA, D. Regresión y diseño de experimentos. Alianza Editorial. Ciencias Sociales, 2002.RYAN, T.P. Modern Regression Methods . John Wiley, 1997.SEBER, G.A.F. Linear Regression Analysis. John Wiley, 1977.VISAUTA VINACUA, B. Análisis estadístico con SPSS para WINDOWS. McGrawHill Wiley, 1997.

Competencias

- Dominio dos aspectos teóricos básicos da materia.- Coñecer os problemas, tanto teóricos como reais, que se poden resolver empregando o modelo linear xeral.- Familiaridade coa resolución destes problemas, utilizando o paquete estatístico SPSS naqueles casos nos que o volume de datos así o requira.


Enfócase a docencia mediante clases teóricas, prácticas e de laboratorio. As clases teóricas, dúas á semana, dedícanse, fundamentalmente, ao desenvolvemento dos contidos esenciais da disciplina. Evítanse as longas e aburridas demostracións sempre que non proporcionen algo importante para a comprensión dos conceptos. As clases prácticas, unha á semana, dedícanse á resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións), procurando unha activa participación

319

do estudante. Nas prácticas realizadas na aula de informática, cinco ao longo do curso, introdúcense os alumnos no manexo do SPSS e resólvense, utilizando as técnicas desenvolvidas nas clases teóricas, problemas con datos tomados da vida real. Sempre se procurará que a participación do estudante sexa máxima.


Exame final escrito, teórico-práctico, cunha valoración do 90% do total. Unha práctica voluntaria cunha valoración do 10% do total. Valorarase especialmente, ademais dos contidos, o rigor, a claridade e a concisión da exposición tanto no exame como na práctica voluntaria. Terase en conta, ademais, a participación dos alumnos nas clases. Para superar a materia será imprescindible asistir ás clases prácticas impartidas no laboratorio de Informática.


Enténdese que unha hora e media de estudo e traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida debería ser suficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado en función das circunstancias que concorran no alumno.


Aconséllase participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia: asistencia ás clases, participación nas clases prácticas e de laboratorio, utilización de horas de titorías, etc.

Observacións

A cualificación da práctica voluntaria conservarase para o resto das convocatorias dese mesmo curso e esta práctica poderá ser entregada, como data límite, o día do exame da convocatoria correspondente.

320

Contido

Código : 091563 Nome:Procesos Estocásticos Ano Academico : 2008/2009







Faraldo Roca,Pedro TIT-UN Profesor/a


Este curso está deseñado para proporcionar un coñecemento básico dos Procesos Estocásticos. Estudo dos procesos tipo e as súas aplicacións na modelización dos fenómenos aleatorios.

Contidos

1. Nocións básicas: clasificación e exemplos de procesos estocásticos2. Cadeas de Markov en tempo discreto3. Procesos de Poisson4. Probabilidade e ensinanza condicionada: formulación xeral. Martingalas


BATH, U. N. Elements of applied Stochastic Processes. Wiley & Sons.1991(2ªE.)BOSQ, D. Y NGUYET, H.Y. A course in Stochastic Processes. Kluwer Academic Publisher.1996IBARROLA, R. Procesos Estocásticos. Unidades Didácticas. UNED.1998KARLIN, S. - TAYLOR, H.M. A first course in Stochastic. Processes. Academic Press. 1981KARLIN, S.- TAYLOR, H.M. A Second course in Stochastic Processes. Academic Press. 1981LAHA, R.G.- ROHATGI, V. K. Probalility Theory. John Wiley. 1979LAMBERTON, D. Y LAPERYRE, B. Stochastic calculus applied of finance, Springer Verlag.1996MEDHI, J. Stochastic Processes. John Wiley.1982PARZEN, E. Procesos Estocásticos. John Wiley.1972ROSS, S.M. Stochastic Processes. John Wiley.1983

Competencias

- Coñecemento dos resultados teóricos incluídos no programa e que serán necesarios no estudo de modelización de fenómenos aleatorios.- Capacidade para aplicar correctamente os resultados obtidos á resolución de problemas.- Resolución de problemas fundamentados nos modelos estudados.


- Clases teóricas que inclúen aplicacións dos conceptos e resultados estudados.- Resolución de problemas entregados previamente ao alumnado co obxecto de favorecer o traballo individual e de grupo.

321


Ao final do curso proporase un único exame. Ao longo do curso iranse formulando problemas para resolver e entregar, que serán avaliados individualmente.


O tempo de traballo necesario para superar esta materia depende moito da destreza e da habilidade do alumno. En xeral, unha hora e media de estudo e de traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debería resultar suficiente.


Para superar con éxito a materia é necesaria a asistencia á clase e a resolución e revisión dos problemas que se propoñan. Coa utilización da bibliografía xeral ou a que se recomende para cuestións específicas é posible completar e ampliar calquera tema.

322

Contido

Código : 091564 Nome:Programación Linear e Enteira Ano Academico : 2008/2009







Fernandez Fernandez,Maria Angeles TIT-UN Profesor/a


O obxectivo da materia é que o alumno coñeza e utilice as técnicas de programación linear e enteira. A parte teórica vai acompañada de resolución de casos prácticos nos que se irán introducindo as técnicas desenvolvidas no programa de teoría, tanto nas clases de seminario como nas de laboratorio.

Contidos

TEMA 1: O Modelo de Programación Linear. Métodos de resoluciónTEMA 2: Dualidade en Programación LinearTEMA 3: Análise de Sensibilidade e Programación ParamétricaTEMA 4: Programación Enteira. Problemas especiais e resolución


ANDERSON, D./ SWEENEY, D./ WILLIANS, T. (1993): “Introducción a los modelos cuantitativos para administración”. Grupo Editorial Iberoamérica.BAZARAA, M. /JARVIS,J. (1991) :”Programación lineal y flujo en redes”.LimusaCALVETE, S. / MATEO, P.(1994) : “Programación lineal, entera y meta. Problemas y Aplicaciones”. Prensas Universitarias de Zaragoza.CALDERÓN MONTERO, S/ GONZÁLEZ PAREJA, A. (1996): “Programación matemática”. Universidad de MálagaGOBERNA, M.; JORNET, V.PUENTE, R.(2004) : Optimización lineal. Teoría, Métodos y Modelos. McGraw-HillHILLIER,F./LIEBERMAN,G. (1991): “ Introducción a la Investigación de Operaciones”. McGraw-Hill.MARTÍN, Q. (2003) : Investigación Operativa. Pearson. Prentice HallOSORIO ACOSTA, T. (1999):” Problemas de P. Lineal”. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.RAMOS ,E. (1993): “Programación lineal y métodos de optimización”. UNED.RÍOS INSUA, S./ RÍOS INSUA, D./ MATEOS, A./ MARTÍN, J (1997) : “Programación lineal y aplicaciones”. Ra-Ma.RÍOS INSUA, S (1996): “Investigación Operativa. Programación lineal y aplicaciones”. Centro de estudios Ramón Areces.WILLIAMS, H. P. (1993): “Model Building in Mathematical Programming”. John Wiley and Sons.WINSTON, W. (1994):”Investigación de operaciones. Aplicaciones y algoritmos”. Grupo Editorial Iberoamérica. WOLSEY, L. A. (1998): “Integer Programming”. John Wiley and Sons.

Competencias

- Dominio dos aspectos teóricos básicos da materia.- Coñecer os problemas, tanto teóricos como reais, que se poden resolver empregando a programación linear e enteira.- Familiaridade coa resolución destes problemas e a capacitación para o emprego de software adecuado para o apoio na súa resolución.

323


Enfócase a docencia mediante clases teóricas, prácticas e de laboratorio.As clases teóricas, 30 horas no cuadrimestre, dedícanse fundamentalmente ao desenvolvemento dos contidos esenciais da disciplina. Evítanse as longas e aburridas demostracións sempre que non proporcionen algo importante para a comprensión dos conceptos. As clases prácticas, outras 30 horas no cuadrimestre (25 de seminario e 5 de laboratorio), dedícanse á resolución de problemas, tanto teóricos como no ámbito das aplicacións, procurando unha activa participación do estudante. Nas prácticas realizadas na aula de informática, introdúcense os alumnos no manexo de software adecuado para o apoio na súa resolución. Nestas prácticas haberá dous grupos de alumnos para conseguir un mellor aproveitamento e favorecer que a participación do estudante sexa máxima.


Exame final escrito, teórico-práctico, cunha valoración do 90% do total. Unha práctica voluntaria cunha valoración do 10% do total. Valorarase especialmente, ademais dos contidos, o rigor, a claridade e a concisión da exposición tanto no exame como na práctica voluntaria. Terase en conta, ademais, a participación dos alumnos nas clases. Para superar a materia será imprescindible asistir ás clases prácticas impartidas no laboratorio de Informática (excepto incompatibilidades que deberán ser xustificadas).


Enténdese que unha hora e media de estudo e de traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida debería sersuficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado en función das circunstancias que concorran no alumno.


Aconséllase participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia: asistencia ás clases, participación nas clases prácticas e de laboratorio, utilización de horas de titorías, etc.

Observacións

A cualificación da práctica voluntaria conservarase para o resto das convocatorias do mesmo curso e esta práctica poderá ser entregada, como data límite, o día do exame.

324

Contido

Código : 091565 Nome:Simulación Ano Academico : 2008/2009







Sanchez Sellero,Cesar Andres TIT-UN Profesor/a


Introducir o alumno nas técnicas de simulación: xeración de números pseudoaleatorios, xeración de variables aleatorias coa súa posta en práctica no ordenador para a súa utilización nas aplicacións nos campos, fundamentalmente, da Estatística e a Investigación de Operacións.

Contidos

INTRODUCIÓN

XERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOSTécnicas para a xeración de números aleatoriosTests para números pseudoaleatorios

SIMULACIÓN DE DISTRIBUCIÓNS NON UNIFORMESMétodos para distribucións continuasMétodos para distribucións discretasAlgoritmos especializados

APLICACIÓN Á ESTATÍSTICA E Á INVESTIGACIÓN DE OPERACIÓNSIntegración por métodos de Monte Carlo.La simulación en los métodos de muestreo.La simulación en los métodos de remuestreo y en la aproximación de distribuciones.Simulación de modelos de colas.


Cao Abad, R. (2002): "Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas", Netbiblo.Devroye, L. (1986): "Non-uniform Random Variate Generation", Springer.Fishman, G.S. (1997): "Monte-Carlo: Concepts, Algorithms and Applications", Springer.Johnson, M.E. (1987): "Multivariate Statistical Simulation", Wiley.Kleijnen, J.; Van Groenendaal, W. (1992): "Simulation. A Statistical Perspective", Wiley.Robert, C. P.; Casella, G. (1999): "Monte Carlo Statistical Methods", Springer.Ríos Insua, D.; Ríos Insua, S.; Martín, J. (1997): "Simulación: Metodos y aplicaciones", Ra-Ma.Ripley, B. (1987): "Stochastic Simulation", Wiley.Rubinstein, R.Y. (1981): "Simulation and the Monte Carlo Method", Wiley.

Competencias

Que o alumno domine as técnicas de simulación de variables aleatorias e a súa posta en práctica en linguaxe de ordenador, e a resolución de problemas de simulación no campo da estatística e a investigación de operacións.

325


Nas clases teóricas introducirase a materia e ensinaranse as técnicas (con exemplos) que se porán en práctica no laboratorio de informática.


O sistema de avaliación contempla exames por escrito, exame na aula de ordenadores e traballos realizados polos alumnos.


120 horas (incluídas as horas de clase).


É aconsellable que o alumno estudara Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estatística e que teña coñecementos mínimos de informática e programación.

326

Contido

Código : 091566 Nome:Técnicas de Optimización da Xestión Ano Academico : 2008/2009







Garcia Jurado,Ignacio CAT-UN Profesor/a


Coñecer os problemas de programación linear en redes con fluxo e algoritmos para resolvelos.Coñecer as técnicas de programación e control de proxectos.Estudar os principais modelos de inventario.Posta en práctica das técnicas e modelos estudados no ordenador.

Contidos

ANÁLISE DE REDESIntrodución aos grafos e redes. Os modelos de redes con fluxo: exemplos e aplicacións. Formalización dos modelos de redes. O algoritmo de desviacións (“out-of-kilter”). O problema do camiño máis curto. O problema da árbore de expansión mínima. O problema do fluxo máximo

PLANIFICACIÓN DE PROXECTOSIntrodución. O método PERT. Aceleración de proxectos a custo mínimo (método MCE). Programación de proxectos con recursos limitados

MODELOS DE INVENTARIOIntrodución. Modelos deterministas: os modelos EOQ (“Economic Order Quantity”) e PLS (“Production Lot Size”). Modelos probabilistas: o problema do vendedor de periódicos


Ahuja, R.K.; Magnanti, T.L.; Orlin, J.B. (1993): "Network Flows. Theory, Algorithms and Applications", Prentice-Hall.Bazaraa, M.S.; Sherali, H.; Jarvis, J.J. (1991): "Programación lineal y flujo en redes", Limusa.Romero López, C. (1993): "Técnicas de programación y control de proyectos", Pirámide.Hillier, F.S.; Lieberman, G.J. (2002): "Investigación de Operaciones", McGraw-HillJensen, P.A.; Barnes, J.W. (1980): "Network Flow Programming", Krieger.Johnson, L.A.; Montgomery, D.C. (1974): "Operations Research in Production Planning, Scheduling and Inventory Control", Wiley.

Competencias

Que o alumno sexa capaz de identificar os distintos problemas que xorden no marco da Investigación Operativa e que estudaron nesta materia, así como enunciar os modelos matemáticos que permitiría resolvelos, poñéndoos en práctica, se é o caso, no ordenador, e, finalmente, saber encontrar as solucións. Redacción de documentos escritos onde se presenten os problemas, as técnicas empregadas e as solucións obtidas.

327


Explicación da materia nas clases teóricas e, a continuación, realización de exercicios nas clases prácticas, poñéndoos en práctica no ordenador, se é o caso. Elaboración de traballos escritos polos alumnos, co asesoramento dos profesores.


Exame escrito e traballos feitos polos alumnos.


100 horas (incluídas as horas de clase).


É conveniente que o alumno coñeza o cálculo de probabilidades, cálculo diferencial e integral e programación linear e enteira.

328

Contido

Código : 091571 Nome:Diferenzas Finitas en E.D.P. Ano Academico : 2008/2009







Muñoz Sola,Rafael TIT-UN Profesor/a

Prieto Aneiros,Andrés INV-PAAInvestigador Programa Angeles Alvariño


- Coñecer as técnicas básicas de obtención de esquemas en diferenzas finitas para ecuacións en derivadas parciais (EDP).- Coñecer os esquemas en diferenzas finitas máis usuais para as ecuacións en derivadas parciais que serven de prototipo ás ecuacións elípticas, parabólicas e hiperbólicas.- Asimilar os conceptos fundamentais da análise dos esquemas numéricos para EDP: consistencia, orde, estabilidade e converxencia.- Asimilar os conceptos básicos seguintes, relevantes na análise dos esquemas numéricos para ecuacións hiperbólicas: condición de Courant-Friedrichs-Lewy, descentramento e monotonía- Coñecer e utilizar axeitadamente as ferramentas necesarias para o estudo teórico dos esquemas, con especial fincapé no estudo da estabilidade.- Poñer en práctica e validar algúns dos métodos estudados.

Contidos

1. Método de diferenzas finitas clásico para a ecuación de Poisson en dimensión dous.i) Descrición.ii) Análise do método: consistencia, orde, estabilidade e converxencia.2. Métodos de diferenzas finitas para a ecuación da calor.i) Descrición dos esquemas básicos: explícito, implícito, e Crank-Nicolson. ii) Análise dos esquemas básicos: consistencia, orde, estabilidade e converxencia. O teorema de Lax.3. Métodos de diferenzas finitas para a ecuación de transporte.i) Descrición dos esquemas básicos: FTCS, FTFS, FTBS, Lax-Wendroff, salto da ra, esquemas implícitos dun paso. ii) Análise dos esquemas dun paso para problemas de valor inicial. Estudo da estabilidade mediante análise de Von Neumann. iii) Descentramento e condición de Courant-Friedrichs-Lewy.iv) Esquemas monótonos: teorema de Godunov. v) Introdución aos problemas mixtos valor inicial-fronteira: condicións de contorno numéricas. 4. Introdución aos esquemas para a ecuación de ondas.i) O esquema estándar de segunda orde, esquemas de orde elevado.ii) Cálculo do primeiro paso de tempo.iii) Condicións de contorno.


BÁSICA- CIARLET, P. G. Introducción á análise numérica e á optimización, Servicio de Publicacións e Intercambio Científico da USC, 1999. (Edición orixinal: Masson, 1982.)- STRIKWERDA, J. C. Finite difference schemes and partial differential equations, Wadsworth and Brooks/Cole, 1989. - THOMAS, J. W. Numerical partial differential equations. Finite difference method, Springer, 1995.

329

COMPLEMENTARIA- EUVRARD, D. Résolution numérique des équations aux dérivées partielles, Masson, 1988. - GODUNOV, S. K. - RYABENKII, V. S. Difference schemes, North Holland, 1987.- HACKBUSCH, W. Elliptic differential equations: theory and numerical treatment, Springer, 1992.- ISAACSON, E. - KELLER, H. B. Analysis of numerical methods, Dover publications, 1994 (reimpresión correxida; edición orixinal: John Wiley, 1966).- LEVEQUE, RANDALL J. Finite difference methods for ordinary and partial differential equations, SIAM, 2007. - MITCHELL, A. R. - GRIFFITS, D. F. The finite difference method in partial differential equations, John Wiley, 1980.- MORENO GONZÁLEZ, C. Cálculo numérico II, Publicaciones de la UNED, 1999.- QUARTERONI, A. - SACCO, R. - SALERI, F. Numerical mathematics, Springer, 2000.- RICHTMYER, R. D. - MORTON , K. W. Difference methods for initial-value problems, Interscience, 1967.- SAMARSKII, A. A. – ANDRÉIEV, V. B. Métodos en diferencias para las ecuaciones elípticas, Mir, 1979.- SAMARSKII, A. A. The theory of difference schemes, Marcel Dekker, 2001.- THOMAS, J.W. Numerical partial differential equations. Conservation laws and elliptic equations, Springer, 1999.- TORO, E. F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics : a practical introduction, Springer, 1997.- VICHNEVETSKY, R. – BOWLES, J. B. Fourier analysis of numerical approximations of hyperbolic equations, SIAM. 1982.

Competencias

- Coñecer os métodos de diferenzas finitas básicos para a ecuación de Poisson en dimensión dous e para a ecuación da calor, a de transporte e a de ondas en dimensión un de espazo.- Obter discretizacións de EDP sinxelas.- Analizar as propiedades de consistencia, orde, estabilidade, converxencia e monotonía dalgúns métodos de diferenzas finitas para EDP.- Coñecer os conceptos básicos asociados á análise dos métodos numéricos estudados.- Implementar os métodos e evaluar criticamente os resultados obtidos.- Empregar algún loxical numérico para resolver EDP.


2 horas de teoría, 4/3 horas de problemas e 2/3 horas de laboratorio á semana en media. Nas clases de teoría e nalgunhas clases de problemas o formato metodolóxico será a lección maxistral. No resto das clases de problemas procurarase estimular a participación activa dos alumnos. Para isto, se lles irán propoñendo aos alumnos exercicios que deberán resolver e expoñer na clase. Os alumnos deberán realizar tamén algúns exercicios e problemas, que deberán desenvolver por escrito. Nas clases de laboratorio utilizarase algún loxical de cálculo numérico para resolver EDP. Aproveitarase para realizar experimentos numéricos ilustrativos do comportamento dos esquemas.Os alumnos deberán programar algúns dos métodos numéricos estudados, en grupos de dúas ou tres persoas.Aproveitaranse os recursos de docencia virtual, para que os estudantes poidan comparar por eles mesmos a resolución dalgúns problemas propostos (non abordados en clase) coa resolución deses problemas feita no espazo virtual polo profesor. Tamén se empregará a docencia virtual como apoio para a realización das prácticas de programación.


Farase un exame escrito que inclúe problemas e preguntas de teoría.Avaliaranse os problemas e exercicios escritos realizados polo alumno ao longo do curso.A nota T da parte de teoría e problemas virá dada pola fórmula:T=máx(E,(14*E+3*P)/17 ,onde E (entre 0 e 10) é a nota do exame e P (entre 0 e 10) a nota dos problemas e exercicios escritos realizados ao longo do curso.Avaliaranse tamén os traballos de programación.A nota global G da materia virá dada pola fórmula:G= 0,85*T +0,15*L , onde L (entre 0 e 10) é a nota de prácticas de ordenador

Para aprobar será necesario acadar unha nota global G de 5 ou máis puntos.


Horas presenciais teóricas: 30 hHoras presenciais de problemas: 20 hHoras presenciais de prácticas de ordenador: 10 h

Horas non presenciais: 100 h ( 50 h de teoría, 20 h de problemas, 15 h de prácticas de ordenador, + 15 h de preparación do exame final ) Horas de avaliación: 5

Volume total de traballo: 165 horas


330

1) Aconséllase ter cursado previamente as materias "Introducción ás EDP e Series de Fourier" e "Cálculo Numérico", e cursar simultaneamente "Ecuacións en Derivadas Parciais".2) Asistencia diaria a todas as clases.3) Participación activa nas clases de problemas.4) Estudo diario para que o ritmo de aprendizaxe dos contidos e adquisición de destrezas se acomode ao da progresión do curso.5) Abordar a resolución de todos os problemas propostos.6) Facer uso do horario de titorías.

Observacións

1) As linguaxes de programación aconselladas para as prácticas de ordenador serán Matlab e/ou Fortran 90.2) A nota dos traballos prácticos obtida na convocatoria de febreiro poderase conservar para a convocatoria de setembro e a de fin de carreira máis inmediata.

331

Contido

Código : 091572 Nome:Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P. Ano Academico : 2008/2009







Cabada Fernandez,Alberto TIT-UN Profesor/a

Otero Espinar,M Victoria TIT-UN Profesor/a


- Coñecer os fundamentos dos métodos variacionais en E.D.P. de tipo elíptico e dos espazos funcionais implicados.

Contidos

1. Distribucións e derivadas xeneralizadas2. Definición e propiedades elementais dos espazos de Sobolev3. Problemas variacionais abstractos. Teorema de Stampacchia e lema de Lax-Milgram4. Desigualdade de Poincare. Teorema de trazas5. Os espazos de Sobolev de orde fraccionaria. Teoremas de compacidade 6. Formulación variacional para un problema de contorno elíptico7. Existencia e unicidade de solución débil8. Regularidade das solucións débiles9. Teoría espectral dos problemas de contorno


1.- H. Brezis, Analyise Fonctionnelle: théorie et applications, Masson, 1996.2.- S. Kesavan, Topics in Functional Analysis and Applications, John Wiley & Sons, 1989.3.- V. P. Mijailov, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, Mir. 1978. 4.- P. A. Raviart e J. M. Thomas, Introduction à l'Analyse Numérique des Équations aux Dérivées Partialles, Masson, 1988.

Competencias

- Dominar os conceptos de solución clásica e solución débil.- Coñecer os espazos de Sobolev fundamentais.- Formular distintos tipos de problemas variacionais.


Impartiranse dúas horas semanais de teoría e dúas de práctica. Nas clases de práctica, resolveranse problemas e cuestións relacionadas coa teoría.


332

Exame final na data oficial fixada polo centro.


Horas presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30Horas non presenciais:Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de teoría: 50Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de práctica: 50Horas dedicadas a facer exames: 5



Son coñecementos previos imprescindibles as materias de Análise Funcional e Teoría da Medida. Non son imprescindibles, pero son aconsellables, as materias de Ecuacións en Derivadas Parciais e Espazos Vectoriais Topolóxicos e Distribucións.

333

Contido

Código : 091573 Nome:Ecuacións en Derivadas Parciais Ano Academico : 2008/2009







Cabada Fernandez,Alberto TIT-UN Profesor/a


- Familiarizar o alumnado coa teoría clásica das ecuacións en derivadas parciais.- Coñecer técnicas de resolución de ecuacións de primeira e segunda orde.- Clasificar as ecuacións de segunda orde.- Obter resultados de existencia e comparación para problemas parabólicos, hiperbólicos e elípticos.

Contidos

- Ecuacións de primeira orde: preliminares e exemplos. Ecuacións cuasilineares: método das curvas características e das integrais primeiras. Ecuacións non lineares: o método das bandas características

- Ecuacións de segunda orde: xeneralidades: clasificación e formas canónicas das ecuacións lineares. O problema de Cauchy. Teorema de Cauchy-Kowalevski

- Ecuacións parabólicas: solución fundamental para a ecuación da calor: solucións autosemellantes e transformada de Fourier. Principio do máximo para a ecuación da calor. O problema de Cauchy non homoxéneo

- Ecuacións hiperbólicas: a ecuación de ondas en dimensión un: fórmula de D’Alambert. A ecuación de ondas en dimensión espacial tres: método das medias esféricas. A ecuación de ondas en dimensión espacial dous: método de descenso de Hadamard. A ecuación de ondas non homoxénea: principio de Duhamel

- Ecuacións elípticas: función de Green e a súa aplicación á resolución do problema de Dirichlet para a ecuación de Laplace. Propiedades das funcións harmónicas: teoremas do máximo e do mínimo. Teoremas de Harnack. O problema de Dirichlet en dominios xerais: método de Perron. A ecuación de Poisson


CABADA, A. Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales. http://web.usc.es/~cabada/EDP-Cabada.pdfCOURANT, R.; HILBERT, D., Methods of Mathematical Physics, Vol. I e II, Wiley-Interscience, 1962.DOU, A., Ecuaciones en derivadas parciales, Dossat, 1970.EVANS, L. C., Partial differential equations, AMS, 1998.JOHN, F., Partial differential equations, Springer-Verlag, 1991.PERAL, I., Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales, Addison-Wesley, 1995.PETROWSKY, I. G., Lectures on partial differential equations, Dover Publications, 1991.STAVROULAKIS, I. P. e TERSIAN, S. A. Partial Differential Equations. An Introduction with Mathematica and MAPLE. (Second Edition). World Scientific, 2003.STRAUSS, W. A., Partial differential equations, an introduction, John Wiley, 1992.WEINBERGER, H. F., Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, Reverté, 1992.

Competencias

334

- Distinguir os distintos tipos de ecuacións en derivadas parciais.- Dominar técnicas de resolución de ecuacións en derivadas parciais de primeira e segunda orde.- Clasificar as ecuacións de segunda orde.- Interpretar fisicamente distintas propiedades das ecuacións en derivadas parciais.- Distinguir entre problemas de valor inicial e problemas de contorno, tanto na súa interpretación matemática como física.


Impartiranse dúas horas semanais de teoría e dúas de práctica. Nas clases de práctica resolveranse os problemas propostos nos boletíns entregados previamente ao alumnado.


Exame final na data oficial fixada polo centro.


Horas presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30

Horas non presenciais:Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de teoría: 30Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de práctica: 30Horas que debe investir un alumno/a para resolver os boletíns de problemas: 40Horas dedicadas a facer exames: 5



É recomendable ter cursado con anterioridade as materias: Series de Fourier e Introdución ás EDP e Ecuacións Diferenciais Ordinarias.

335

Contido

Código : 091574 Nome:Elementos Finitos en E.D.P. Ano Academico : 2008/2009







Quintela Estevez,Peregrina CAT-UN Profesor/a


i) Coñecer os fundamentos teórico-prácticos do método de elementos finitos para problemas de contorno de EDP en dimensión 1, 2 e 3.ii) Programar o método nunha linguaxe coñecida validando o programa para un elemento e un problema concreto.iii) Utilizar paquetes de programas para simular problemas de condución de calor, flexión de vigas e membranas, problemas de elasticidade, ondas, vibracións, etc.

Contidos

1. Ecuacións variacionais abstractas (Clase presencial: 3 h - teoría)Lema de Lax-Milgram, aproximación abstracta. Lema de Céa. Converxencia

2. Problemas elípticos de orde 2 en dimensión 1 (Clase presencial: 3 h - teoría + 5 h - práctica)Formulación variacional, elementos finitos, estimación do erro, programación Aplicación en tracción e en condución da calor en barras elásticas

3. Problemas elípticos de orde 4 en dimensión 1 (Clase presencial: 2 h - teoría + 2 h - práctica)Formulación variacional, elementos finitos, estimación do erro, programación Aplicación en flexión de vigas.

4. Problemas elípticos de orde 2 en dimensión 2 e 3 (Clase presencial: 7 h - teoría + 9 h - práctica)Formulación variacional, elementos finitos, programación. Estimacións do erro. Aplicacións en flexión de membranas e condución da calor

5. Sistema de elasticidade bi e tridimensional (Clase presencial: 3 h - teoría + 5 h – práctica)Formulación variacional, método de elementos finitos, programación en ordenador. Aplicacións

6 .Resolución da ecuación de Stokes (Clase presencial: 2 h - teoría + 2 h - práctica)

7. Introdución ás inecuacións variacionais elípticas (Clase presencial: 3 h - teoría + 2 h - práctica)Problemas do obstáculo e problema de contacto simplificado, existencia e aproximación por elementos finitos, resolución dos problemas discretos

8. Problemas espectrais (Clase presencial: 3 h - teoría + 2 h - práctica)Formulación variacional, aproximación por elementos finitos. Vibracións

9. Problemas de evolución parabólicos e hiperbólicos de orde 2 en tempo (Clase presencial: 4 h - teoría + 3 h práctica)Formulación variacional, discretización en espazo e tempo


1. Bibliografía básica

336

JOHNSON, C. Numerical solution of partial differential equations by finite element method. Cambridge Univ. Press. 1987.KRIZEK, M - NEITTAANMAKI, P. Finite element approximation of variational problems and applications. Longman Scientific & Technical. 1990.RAVIART, P.A. - THOMAS, J.M. Introduction à l’ánalyse numérique des équations aux dérivées partielles. Masson. 1983.VIAÑO, J.M – FIGUEIREDO, J. : Implementação do método de elementos finitos. Notas. 2000. VARIOS: Guías de usuario do software que se utilice.

2. Bibliografía complementaria

AXELSSON, O. - BAKER, V.A. Finite element solution of boundary value problems. Theory and computations. Academic Press, 1984.BATHE, K-J. - WILSON, E.L. Numerical methods in finite element analysis. Prentice Hall. 1976.CIARLET, P.G. Basic error estimates for elliptic problems. Handbook of Numerical Analysis, Vol II, North Holland, 1991.FAIRWEATHER, G. Finite element Galerkin methods for differential equations. Dekker. 1978.GLOWINSKI, R. Numerical methods for nonlinear variational problems. Springer. 1984SMITH, I.M. - GRIFFITHS, D.V. : Programming the finite element method. J. Wiley. 1998. ZIENKIEWICZ, O.C. - TAYLOR, R.L. The finite element method (I-III) Oxford. 2000.

Competencias

- Coñecer e manexar os principais espazos de elementos finitos en dimensión 1, 2 e 3 construídos con elementos de Lagrange e Hermite rectos e isoparamétricos: nodos, graos de liberdade, elementos de referencia, polinomios de base, mallados, construción dos espazos. - Saber aplicar o método de elementos finitos á resolución de problemas de contorno en ecuacións en derivadas parciais (condución da calor, flexión de vigas e membranas, problemas de elasticidade bi e tridimensional, flexión de placas…) incluíndo a discretización do problema, os feitos básicos da estimación do erro (erro de interpolación, efecto da calidade do mallado), a escritura matricial do problema, a realización dos cálculos (mallado, ensamblado), a posta en práctica en ordenador e a representación gráfica do mallado e dos resultados. - Saber utilizar paquetes de software de elementos finitos existentes no mercado para resolver problemas de contorno habituais en cálculo de estruturas ou dinámica de fluídos: flexión de vigas ou placas, elasticidade, vibracións, ecuación de Stokes, problema do obstáculo, contacto elástico, etc.


- 4 horas de clase á semana nas que se van intercalando as clases teóricas (30h), as prácticas no encerado (15 h) e as clases en laboratorio de informática (15 h). -As clases teóricas dedícanse esencialmente á descrición do método e á estimación do erro; as prácticas de encerado, á escritura matricial dos problemas e á realización ordenada do mallado e dos cálculos con vistas a programación; e nas clases de laboratorio apréndese a utilizar ferramentas de mallado e outros paquetes de elementos finitos.- Os alumnos dispoñen con antelación de notas escritas polo profesor sobre todos os contidos do curso. - Os alumnos, en grupos de 2/3, realizarán 2 traballos de programación titorizados e un pequeno informe sobre cada un deles.


Exame escrito (5 puntos): inclúe preguntas de teoría e cuestións teórico-prácticas.Exame práctico (5 puntos): inclúe a avaliación sobre ordenador do manexo de software, a concepción, posta en práctica e informe dos 2 traballos prácticos de programación que se realizan ao longo do curso.

Para aprobar a materia é imprescindible realizar os traballos, presentarse aos dous exames e obter un total de 5 puntos ou máis.


* Horas presenciais: 60 h. - Teóricas: 30 h.- Prácticas de encerado: 15 h.- Prácticas de laboratorio: 15h.

* Horas non presenciais: 120 h.- Horas de estudo das clases teóricas ~ 30 h.- Horas de estudo das clases prácticas de encerado ~ 30 h.- Horas de estudo das clases de laboratorio ~ 15 h.- Horas de preparación dos 2 traballos solicitados ~ 45 h.

* Horas para os exames escrito e práctico en ordenador: 5 h.

* Total volume de traballo ~ 185 horas.


* Materias que se aconsella cursar previamente: Análise Numérica Matricial, Métodos Numéricos, Distribucións e Métodos

337

Variacionais en EDP, Modelos Matemáticos da Mecánica do Continuo, Series de Fourier e Introdución ás EDP.

Observacións

* Como norma, as linguaxes de programación habituais para os traballos son Fortran ou Matlab. En casos xustificados, poderase autorizar outra linguaxe. * A nota do exame práctico obtida na convocatoria de xuño, pódese conservar para as convocatorias de setembro e de fin de carreira.

338

Contido

Código : 091581 Nome:Espazos Vectoriais Topolóxicos e Distribucións Ano Academico : 2008/2009







Isidro Gomez,Jose Maria CAT-UN Profesor/a


i) Coñecer os fundamentos dos espazos vectoriais topolóxicos.ii) Coñecer os fundamentos da teoría da dualidade topolóxica. iii) Coñecer os fundamentos da teoría de distribucións segundo Schwartz.iv) Coñecer o cálculo con distribucións.

Contidos

CAPÍTULO I. ESPAZOS VECTORIAIS TOPOLÓXICOS (Teoría: 15 horas; Prácticas: 15 horas)Espazos vectoriais topolóxicos. Sistemas fundamentais de contornos da orixe. Conxuntos convexos e seminormas. Espazos localmente convexos. Condicións de metrizabilidade e de normabilidade dun espazo localmente convexo. O teorema de Hanh-Banach en espazos localmente convexos. Separación de conxuntos convexos. Espazos límite indutivo. Os espazos LF. Límites indutivos estritos de espazos de Frechet

CAPÍTULO II. DUALIDADE E DISTRIBUCIÓNS (Teoría: 15 horas; Prácticas: 15 horas)Dualidade topolóxica en espazos localmente convexos. Espazos de aplicacións lineares continuas. Equicontinuidade. Principio de acotamento uniforme. Teorema de Banach-Steinhauss. Sistemas duais e topoloxías débiles. Topoloxías compatibles cunha dualidade. Dualidade nos espazos LF. Concepto de distribución. Cálculo con distribucións. Espazos de distribucións


1.- F. Treves, "Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels". Academic Press, 1967. 2.- J. Horváth, "Topological Vector Spaces and Distributions". Addisson Wesley, 1965. 3.- H. H. Schaefer, "Topological Vector Spaces". Graduate Texts in Mathematics, vol. 3; Springer, 1966.4.- M. Valdivia Ureña, "Análisis Matemático V". Unidades Didacticas de La UNED.

Competencias

i) Coñecer os fundamentos dos espazos vectoriais topolóxicos.ii) Coñecer os fundamentos da teoría da dualidade topolóxica.iii) Coñecer os fundamentos da teoría de distribucións según Schwartz.iv) Coñecer o cálculo con distribucións.


339

Exposición presencial do contido por parte do profesor. Exposición presencial dalgúns temas por parte dos alumnos, para o que disporá das oportunas indicacións bibliográficas, etc.


Avaliación continua. Exame escrito teórico e práctico.


Aproximadamente tantas horas de traballo persoal como de asistencia e participación nas clases.


Presupóñense coñecementos de Análise Funcional en Espazos de Banach e de Teoría da Medida.

340

Contido

Código : 091582 Nome:Representacións de Grupos e Álxebras Ano Academico : 2008/2009







Fernandez Rodriguez,Rosa M TIT-UN Profesor/a


Iniciar o estudo da teoría de representacións, obtendo como aplicación algúns resultados da teoría de grupos.

Contidos

- Aneis e módulos semisimples- Representacións ordinarias dos grupos finitos- Representacións irredutibles do grupo simétrico- Caracteres.- O teorema pªqª' de Burnside- Representacións inducidas - Representacións de álxebras artinianas


F. W. Anderson; K. R. Fuller. Rings and Categories of Modules. GTM 13, Springer-Verlag, New Yor, 1974.P. M. Cohn. Algebra, Vols. 1 e 2 (2ª ed.) John Wiley & Sons, New York, 1982, 1989.Ch. W. Curtis; I. Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras. Pure and Appl. Maht. Vol. XI. John Wiley & Sons (Interscience Publishers), New York, 1962.N. Jacobson. Basic Algebra, Vol. 2. Freeman, San Francisco, 1980.I. M. Isaacs. Character theory of finite groups. Academic Press, New York, 1976.J. J. Rotman. An Introduction to the theory of groups (4ª ed.). GTM 148, Springer-Verlag, New York, 1995.J.-P. Serre. Representaciones lineales de los grupos finitos. Omega, Barcelona, 1970.

Competencias

Manexar con soltura os contidos do programa.


Dúas horas de teoría e dúas de prácticas á semana.Proporanse temas para que os estudantes os poidan expoñer.


Traballos, exposicións de temas, participación na clase e exame.

341


- Horas presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30.- Horas non presenciais: 95 para preparar a teoría, a práctica e as exposicións.- Horas de avaliación: 4.



Recoméndase cursar previamente as materias "Introdución á Álxebra" e "Álxebra".

342

Contido

Código : 091583 Nome:Sistemas Dinámicos Ano Academico : 2008/2009







Cainzos Prieto,Juan Manuel TIT-UN Profesor/a

Rodriguez Lopez,Gerardo CAT-UN Profesor/a


Preténdese familiarizar o alumno coa terminoloxía e cos conceptos básicos da teoría de sistemas dinámicos no marco dos espazos topolóxicos e das variedades. Ademais, estúdanse os tópicos elementais relativos ao estudo local dos sistemas diferenciais en Rn (variedades invariantes, teorema de Hartman-Grobman e, para o caso do plano, estudo de singularidades non dexeneradas). Nos aspectos globais, preséntanse brevemente os conceptos básicos relativos ás órbitas periódicas, incluíndo a teoría de Poincaré-Bendixon e a teoría do índice para os sistemas dinámicos no plano.Estúdanse a aplicación cuadrática e a ferradura de Smale como exemplos de sistemas dinámicos discretos.

Contidos

I. Elementos de dinámica topolóxica1.- O concepto de sistema dinámico. Xeneralidades. Fluxos e sistemas dinámicos discretos2.- Órbitas. Tipos de órbitas. Caracterización de puntos críticos e de órbitas periódicas3.- Conxuntos a-límite e w-límite. Propiedades4.- Exemplos de sistemas dinámicos. Suspensións. Fluxos asociados a campos de vectores en Rn, no círculo e no toro5.- Equivalencia e conxugación en sistemas dinámicos. Idea da estabilidade estrutural6.- Recursividade

II. Sistemas dinámicos en . Estudo local7.- O teorema do fluxo tubular8.- Singularidades hiperbólicas. O teorema de Hartman-Grobman. Consecuencias9.- Variedades invariantes

III. Sistemas dinámicos en . Estudo global10.- Orbitas periódicas e ciclos límite11.- A aplicación de Poincaré

IV. Sistemas dinámicos planos12.- Teoría de Poincaré Bendixón13.- Puntos críticos non dexenerados14.- O índice de Poincaré

V. Sistemas dinámicos con comportamentos caóticos15.- A aplicación cuadrática e a ferradura de Smale


BHATIA N. P. e SZEGÖ G. P., Stability Theory of Dynamical Systems, Springer, 1970.DEVANEY, R. L., An introduction to chaotic dynamical systems, Benjamin C., 1986.

343

GUCKENHEIMER J. e HOLMES P., Nonlínear oscilations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, 1983.HUBBARD J. H. e WEST B. H., Differential Equations: A Dynamical Systems Approach, Springer-Verlag, Texts in Applied Mathematics, 18, 1995.IRWIN M. C., Smooth Dynamical Systems, Academic Press, 1980.MEYER K. R. e HALL G. R., Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-body Problem, Springer-Verlag, Applied Mathematical Sciences, 1992.PALIS J. e de MELO W., Geometric Theory of Dynamical Systems, Springer, 1982.PERKO L., Differential Equations and Dinamical Systems, Springer, 1991.SOTOMAYOR, J., Liçoes de equaçoes diferenciais ordinarias, IMPA, CNPQ, 1979.YE YAN-QIAN, Theory of Limit Cycles, Translations of Mathematical Monographs, Volume 66, A.M.S.

Competencias

- Coñecemento dos aspectos básicos da dinámica topolóxica.- Dominio das técnicas elementais do estudo cualitativo de ecuacións diferenciais nos aspectos locais e globais.


As clases teóricas, dúas á semana, dedicaranse, fundamentalmente, á presentación e á introdución dos conceptos e enfoques da disciplina, así como ao desenvolvemento detallado daquelas situacións de interese que teñan especial dificultade.

Nas horas prácticas, resolveranse exercicios e os estudantes exporán as distintas actividades que lles foran encomendadas. Evitaranse as aburridas e longas demostracións sempre que non acheguen algo importante para a comprensión dos conceptos e pretenderase que o estudante manteña unha actitude de activa participación no desenvolvemento da disciplina.


- Realizarase exame final escrito e probas parciais.- Valoraranse as actividades do estudante ao longo do curso.


Unha hora e media de estudo e traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida deberá ser suficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado de acordo coas diversas circunstancias que concorran no alumno.


- Aconséllase ter superado, ademais do primeiro ciclo, as materias de Ecuacións Diferenciais Ordinarias, Cálculo en Variedades e Topoloxía Xeral.- É fundamental participar activamente no proceso de desenvolvemento da materia.

344

Contido

Código : 091584 Nome:Topoloxía Alxébrica Ano Academico : 2008/2009







Gomez Tato,A Mariano TIT-UN Profesor/a


Este curso é unha introdución á Topoloxía Alxébrica. Prestaremos especial atención ao cálculo dos grupos de homoloxía e cohomoloxía dos espazos CW, con máis énfase no aspecto xeométrico que no alxébrico.

Contidos

Contidos mínimos:

1. IntroduciónPresentación do campo e de varios dos espazos que serán obxecto de estudo posterior

2. Homoloxía 2.1. Homoloxía simplicial e singular Invarianza homotópica. Sucesións exactas e excisión 2.2. Cálculos e aplicaciónsGrao. Homoloxía celular. Sucesión de Mayer-Vietoris. Homoloxía con coeficientes

3. Cohomoloxía3.1. Grupos de cohomoloxíaTeorema dos coeficientes universais. Cohomoloxía de espazos


1. Allen Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002.2. Marcelo Aguilar y otros, Algebraic Topology from a Homotopical viewpoint, Springer 2001.

Competencias

O estudante aprenderá a:Construír estruturas celulares sobre varios espazos “clásicos”.Calcular os grupos de homoloxía e cohomoloxía de espazos CW.Traballar con sucesións exactas (longas e curtas) de grupos abelianos.

Tamén, afondará no seu coñecemento sobre varias das nocións topolóxicas aprendidas no segundo curso da licenciatura. En particular, traballaremos profusamente sobre a noción de topoloxía cociente.


50% teórica

345

50% práctica


50% exposición sobre un tema proposto e traballos ao longo do curso.50% exame


120 horas (contando as 60 horas de clase).

346

Contido

Código : 091585 Nome:Topoloxía de Superficies Ano Academico : 2008/2009







Alvarez Lopez,Jesus Antonio CAT-UN Profesor/a


- Clasificar as superficies compactas. - Coñecer as técnicas que se usan en varios métodos de clasificación.- Manexar esas técnicas para resolver problemas sobre superficies.

Contidos

- Superficies e superficies con borde- Adxunción de superficies- Suma conexa de superficies- Suma conexa polo borde- Enunciado do teorema de clasificación- Triangulacións e representacións poligonais- Redución de representacións poligonais ás formas canónicas- Orientación de superficies- Característica de Euler de superficies- Superficies diferenciables- Valores regulares- Puntos críticos - Funcións de Morse sobre superficies- Franqueamento dun valor crítico- Construcións con discos e cintas- Redución de construcións con discos e cintas a formas canónicas- Superficies pechadas no espazo euclidiano de dimensión tres- Grupos fundamentais de superficies- Homoloxía de superficies


- H.B. Griffiths. Surfaces. Cambridge University Press, 1976.- A. Gramain. Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1971.- M. W. Hirsch, Differential topology, Graduate Texts in Mathematics, vol. 33, Springer-Verlag, New York, 1976.- L. C. Kinsey, Topology of Surfaces. Springer-Verlag, 1993.- D. Lehman and C. Sacré. Géométrie et Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1982.- W.S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics, vol. 56, Springer-Verlag, New York, 1967.

Competencias

- Seguir os pasos dos métodos de clasificación en exemplos concretos.

347

- Distinguir superficies usando os invariantes topolóxicos que se introducen.- Resolver problemas diversos sobre superficies coas técnicas introducidas.- Desenvolver a habilidade de visualizar ideas sobre superficies.


Daráselle moita importancia a que os alumnos desenvolvan habilidades para resolver problemas. Aínda que as clases teóricas superarán as prácticas ao principio, esa proporción irase invertendo ao longo do curso. Nas clases prácticas, os alumnos expoñerán no encerado as súas ideas para resolver os problemas que propoña o profesor. Nas clases teóricas, moitas ideas serán expostas visualmente sen perda esencial de rigor, e espérase que os alumnos consigan o mesmo nas clases prácticas.


Exame principalmente de problemas. Ademais, terase en conta a asistencia e participación na clase, e tamén se dará a posibilidade de facer traballos para subir a nota.


Estímase que necesitan 150 horas en total, distribuídas da seguinte maneira:

Horas presenciais:teóricas: 30de problemas: 30

Horas non presenciais: dedicarlle algún tempo continuo (variable) para entender a teoría, consultar a bibliografía e, sobre todo, intentar resolver os problemas


Repasar a teoría e intentar resolver os exercicios propostos día a día. Participar na clase e nas titorías para aclarar dúbidas e expoñer ideas. Intentar resolver moitos problemas. A intuición visual será moi útil para entender a teoría e resolver os problemas.

Observacións

Non se verán as demostracións dalgúns resultados complexos auxiliares que poden estudarse noutras materias, senón sería imposible abordar todo o programa no tempo previsto.

348

Contido

Código : 091586 Nome:Xeometría Alxébrica Ano Academico : 2008/2009







Jeremias Lopez,Ana TIT-UN Profesor/a


Proporcionarlle ao alumno unha formación básica de Xeometría Alxébrica. Na medida do posible, esta formación terá en conta os coñecementos xeométricos previos do alumno, así como os seus intereses de tipo xeométrico ou alxébrico.

Contidos

1. Conxuntos alxebraicos afínes e funcións regulares.1.1 Conxuntos alxebraicos afíns no espazo afin. Topoloxía de Zariski.1.2 Aplicacións polinómicas e aneis de coordenadas.1.3 Exemplos de conxuntos alxebraicos afíns e aneis de coordenadas.1.4 Variedades afíns. Funcións regulares.

2. Funcións racionais e morfismos.2.1 Feixes de funcións.2.2 Feixe estrutural dun conxunto algebraico afín.2.3 Anel local dun punto e dunha subvariedade.2.4 Morfismos regulares.2.5 Produto de conxuntos alxebraicos.

3. Variedades3.1 Prevariedades. Corpo de funcións racionais.3.2 O axioma de Hausdorff: Noción de separación.3.3 Variedades. Morfismos dominantes. Equivalencia birracional.3.4 Aplicacións racionais entre variedades.

4. Variedades proxectivas.4.1 Estrutura alxebraica do espazo proxectivo n-dimensional.4.2 O espazo proxectivo é unha variedade.4.3 Espazos alxebraicos completos.4.4 Construccións e exemplos de morfismos.4.5 Variedades de Graßmann.

5. Estudo Local. Variedades non singulares. 5.1 Variedades normais e morfismos.5.2 O teorema principal de Zariski.5.3 Espazo tanxente e singularidade. Cono tanxente e espazo tanxente.5.4 Puntos non singulares.5.5 Encaixes proxectivos de variedades non singulares.5.6 Non singularidade e diferenciais.

6. Dimensión. 6.1 Caracterización topolóxica da dimensión.6.2 Dimensión como grao de transcendencia.6.3 Interseccións nos espazos afín e proxectivo.

349

6.4 Morfismos finitos. Teorema da normalización de Nöther.6.5 Fibras. Morfismos e dimensión.

7. Divisores. 7.1 Divisores en variedades normais.7.2 Divisores de Cartier.7.3 Divisores e morfismos ó espazo proxectivo


Bump, Daniel.: Algebraic geometry. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, 1998.Dieudonné, J.: Cours de géométrie algébrique, 2/ Précis de géométrie algébrique élémentaire, Presses Univ. France, París, 1974. Dieudonné, J.: History of Algebraic Geometry, Wadsworth Advanced Books & Software, Monterrey (California), 1985. Dolgachev, I. V.: Introduction to Algebraic Geometry ftp://ftp.math.lsa.umich.edu/pub/idolga/AGpart1.ps y ftp://ftp.math.lsa.umich.edu/pub/idolga/AGpart2.ps Fulton, W.: Algebraic Curves, W. A. Benjamin, Nueva York, 1969. Harris, J.: Algebraic Geometry, A First Course, Graduate Texts in Math. 133, Springer–Verlag, Heidelberg, 1992.Hartshorne, R.: Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer–Verlag, Heidelberg, 1977.Kempf, G. R.: Algebraic Varieties, London Math. Soc. Lecture Notes Series, 172, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.Kunz, E.: Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston, 1985.J.S. Milne: Algebraic Geometry, disponible en: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math631.htmlMumford, D.: The Red Book of Varieties and Schemes, Lecture Notes in Math. 1358, Springer–Verlag, Heidelberg, 1988. Perrin, D.: Géométrie algébrique: Une introduction, Sa voirs actuels, InterÉditions / CNRS Éditions, París, 1995. Reid, M.: Undergraduate Algebraic Geometry, London Math. Soc. Student Texts 12 Cambridge University Press, Cambridge, 1988. Shafarevich, I. R.: Basic Algebraic Geometry: Varieties in Projective Space 2nd. ed., Springer–Verlag, Heidelberg, 1994.

Competencias

Manexar con soltura os contidos da materia, poñendo especial énfase, no seu caso, nos aspectos que teñan máis relación cos posibles intereses do alumno de cara á súa formación futura.


Clases de teoría con exposición por parte do profesor.

Sesións de problemas nas que os estudantes propoñen as súas solucións e se debate conxuntamente a súa corrección coa orientación do profesor

Exposicións de temas do programa por parte dos alumnos.


Asistencia. Realización de exercicios propostos e exposición da súa solución na clase. Probas escritas. Exposicións de temas na clase.


Depende do alumno e da súa formación previa, pero poderíamos indicar a necesidade de a lo menos unha hora e media de estudo e traballo persoal por hora de clase de teoría impartida. Unhas 6 horas á semana.


Recoméndase cursar previamente as asignaturas Álxebra conmutativa, Álxebra e Xeometría Afín e Proxectiva.

351

Libre Elección Específica

353

Contido

Código : 118633 Nome:Introdución á Lóxica Formal Ano Academico : 2008/2009

Créditos teóricos: 4.5 Créditos prácticos: 1.5 Total: 6.0

Carácter: Libre Elección Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre





Martinez Vidal,M Concepcion TIT-UN Profesor/a


A Lóxica é sen dúbida de interese para estudantes de diversas titulacións, xa sexa por ocuparse das cuestións que están na base das ciencias dedutivas, xa por tratar da estrutura lóxica das linguaxes naturais e artificiais, xa por interesarse polas cuestións semánticas mediante tratamentos formais. Neste sentido, coa orientación dada á materia, preténdese que sexa útil a estudantes de diferentes procedencias e intereses diversos na súa formación académica.Na procura destes macroobxectivos, é pretensión deste programa para a materia de Introdución á Lóxica Formal:1. Alcanzar un coñecemento inicial de qué se entende por Lóxica e cál é o seu interese.2. Saber qué é un argumento, cáles son os seus compoñentes e estrutura, e qué avaliación cómpre facer dun argumento e dos seus compoñentes.3. Coñecer a presentación da lóxica (a coñecida como lóxica clásica) como cálculo ou sistema formal e, en concreto, como sistema de dedución natural (SDN).4. Adquirir destreza na captación da forma lóxica de expresións declarativas reexpresándoas conforme o aparato lóxico dunha linguaxe formal (xa sexa o SDNE ou o SPO, segundo o caso).5. Ter un coñecemento básico dalgunhas nocións semánticas para unha linguaxe formal e aprender a interpretar nunha linguaxe natural expresións propias dalgunha das linguaxes formais que se traballen no curso.

Contidos

1. Primeiras nocións teóricas� Lóxica: obxecto e concepcións� Algúns conceptos da Lóxica� Uso e mención; linguaxe e metalinguaxe� Exercicios

2. Sistemas lóxico-formais� Noción de sistema lóxico� Noción de sistema lóxico-formal (primeira aproximación)� Noción de sistema formal ou cálculo� Noción de sistema lóxico-formal (segunda aproximación)� Exercicios

3. Lóxica clásica de enunciados: sistemas lóxico-formais� Unha linguaxe para a lóxica clásica de enunciados� Sistema de dedución natural para a lóxica clásica de enunciados (SDNE)� Estratexias para a resolución de exercicios de dedución no SDNE� Regras derivadas do SDNE� Exercicios

4. Semántica e estratexias de formalización da lóxica clásica de enunciados� Introdución� Semántica para unha linguaxe da lóxica clásica de enunciados� Estratexias de formalización� Exercicios

354

5. Lóxica clásica de primeira orde (sen identidade): semántica e estratexias de formalización (iniciación)� Introdución� Unha linguaxe formal (LPO*)� Semántica� Estratexias de formalización� Exercicios

6. Lóxica clásica de primeira orde (sen identidade). Sistemas lóxico-formais� Sistema de dedución natural para a lóxica clásica de primeira orde, sen identidade (SPO*)� Estratexias para a resolución de exercicios de dedución no SPO*� Regras derivadas de SPO*� Exercicios

7. Lóxica clásica de primeira orde (sen e con identidade): semántica e estratexias de formalización (afondamento)� Estratexias de formalización sen identidade (afondamento)� Unha linguaxe formal con identidade (LPO)� Semántica para unha linguaxe con operador de identidade� Estratexias de formalización con identidade� Exercicios

8. Lóxica clásica de primeira orde (con identidade). Sistemas lóxico-formais� Sistema de dedución natural para a lóxica clásica de primeira orde con identidade (SPO)� Estratexias para a resolución de exercicios de dedución no SPO� Regras derivadas do SPO� Propiedades metalóxicas do SPO� Exercicios

9. Procedementos de validación� Táboas de verdade� Procedementos de ceros� Táboas semánticas� Interpretación e contraargumentos� Exercicios


(*) : Textos especialmente recomendables para o seguimento da materia.

Badesa, C., Jané, I., y Jansana, R.,(1998), Elementos de Lógica Formal, Ariel: Barcelona.

Beth, E. W., (1975) Las paradojas de la lógica, Cuadernos Teorema, Valencia.

Beth, E. W., (1955) Entrañamiento semántico y derivabilidad formal. Cuadernos Teorema, Univ. de Valencia Valencia. (Versión original: "Semantic Entailment and Formal Derivability", Mededelingen der Koninklijke Nederladse Akademie van Wetenschappen, Afd. letterkunde, n. s., vol 18, nº13, pp. 309-342.)

Bochenski, I. M., (1985) Historia de la lógica formal, Ed. Gredos, Madrid. (Versión orixinal: Formale Logik, Friburgo y Munich, 1956).

Castrillo, P., (1989) La estructura de los condicionales, UNED, Madrid.

Deaño, A.,*(1974) Introducción a la lógica formal, Alianza, Madrid.

Deaño, A., (1980) Las concepciones de la lógica, Tecnos, Madrid.

Díaz, J.A.,* (2000),Iniciación a la Lógica, Ariel, Barcelona.

Falguera, J. L. - Martínez, C., *(1999) Lógica clásica de primer orden: estrategias de deducción, formalización y evaluación semántica (2 vols.), Trotta, Madrid.

García-Trevijano, Carmen, *(1993) El arte de la lógica, Tecnos, Madrid.

Gardner, M., (1983) Paradojas, ¡ajá!, Ed. Labor, Barcelona. (Versión orixinal: Aha! Gotcha: Paradoxes to puzzle and delight)

Garrido, M.,*(1995) Lógica simbólica, Tecnos, Madrid.

Garrido, M. (Ed.) (1989) Lógica y lenguaje. Tecnos, Madrid.

Haack, S., (1982) Filosofía de las lógicas, Ed. Cátedra, Madrid. (Versión orixinal: Philosophy of Logics, 1978, Cambridge Univ. Press, Cambridge).

Huertas, A., y Manzano, M., 2004, Lógica para principiantes, Alianza Editorial, Madrid.

Kneale, W. y M., (1972) El desarrollo de la lógica, Tecnos, Madrid. (Versión orixinal The development of Logic, The Clarendon Press, Oxford, 1961).

Marraud, H. e Navarro, P.,*(1988) Sistemas deductivos tipo Gentzen, Colección Cuadernos de Apoyo, Univ. Autónoma de Madrid, Madrid.

355

Nidditch, P. H., (1987) El desarrollo de la lógica, Cátedra, Madrid.

Pérez Sedeño, E., (1991) Ejercicios de Lógica, S. XXI.

Pizarro, F., (1986) Aprender a razonar, Ed. Alhambra, Barcelona.

Quine, W. O., (1962) Los métodos de la lógica, Ariel. (Versión orixinal Methods of Logic, Rinehart and Winston, Inc., 1950).

Quine, W. O., (1972) Lógica Matemática, Revista de Occidente, Madrid. (Versión orixinal: Mathematical Logic, Harvard Univ. Press 1940).

Smullyan, R. M., (1981) ¿Cómo se llama este libro? o El enigma de Drácula y otros pasatiempos lógicos, Cátedra, Madrid. (Versión orixinal: What is the name of this book?, Englewood Cliffs, New York, Prentice Hall, 1978).Smullyan, R. M., (1983) ¿La dama o el tigre?, Ed. Cátedra, Madrid. (Versión orixinal: The lady or the tiger? and other puzzles, Alfred A. Knopf Inc.)

Suppes, P., *(1981) Introducción a la lógica simbólica, Ed. Continental, México. (Versión orixinal Introduction to Logic, Van Nostrand, 1957).

Tarski, A., (1951) Introducción a la lógica simbólica, Espasa Calpe, 1951.

Valdés, L. M., (1989) "Lógica elemental" en Garrido, M. (ed), Lógica y Lenguage, Tecnos.

Vega Reñón, L., (1987) El análisis lógico: nociones y problemas I e II, UNED, Madrid.

Zalabardo, J. L., (2002) Introducción a la teoría de la lógica, Alianza editorial: Madrid.

Competencias

1. Coñecemento dunha ciencia dedutiva, quizais a máis básica2. Desenvolvemento de capacidades de razoamento3. Capacidade de ordenar, sistematizar e definir4. Adestramento intelectual sobre a base de estudo sistemático e graduado


O curso desenvolverase en clases teóricas de carácter fundamentalmente explicativo e en clases prácticas de resolución de problemas e exercicios. É imprescindible unha asistencia regular á clase. A materia estará dispoñible no Campus Virtual. O Campus virtual utilizarase como ferramenta complementaria QUE NON SUBSTITUIRÁ EN NINGÚN CASO a docencia presencial. Algunhas das facilidades das que se disporá na rede serán: FORO para dúbidas, correo electrónico, calendario, glosario de termos, exercicios, etc.


A docencia desta materia consistirá fundamentalmente en explicacións por parte da profesora encargada (clase maxistral), nas que se tratarán os aspectos teóricos, así como a resolución de exercicios-problemas, podéndose requirir que os alumnos matriculados interveñan tanto en diálogos de análise de cuestións teóricas, como na resolución de exercicios correspondentes ás diversas partes do programa (clases prácticas).Aclaracións sobre cantas dúbidas poidan xurdir ou calquera outra cuestión que poida presentarse relacionada coa actividade académica serán contestadas, ben no horario de clases, ben no horario de atención a alumnos do profesor responsable da materia. A avaliación para a cualificación dos coñecementos adquiridos farase en función dos exames parciais que se fagan (eliminatorios da materia para a convocatoria de febreiro) sobre os contidos do programa (realizarase un aproximadamente a mediados de novembro e outro a finais de xaneiro), e un exame final que terá que realizar quen non superase ou realizase algún dos exames parciais antes mencionados. Terase en conta o traballo realizado polo alumno ao longo do cuadrimestre.


Créditos Teóricos: 45 horas.Créditos Prácticos: 15 horas.Traballo Persoal do alumno: 90 horas.

Total de volume de traballo: 150 horas


Asistencia regular ás clases.Resolución de exercicios prácticos.Traballo persoal regular dende o primeiro día.Utilización das facilidades dispoñibles no campus virtual da USC.

357

Contido

Código : 118669 Nome:Criptografía Ano Academico : 2008/2009







Gomez Pardo,Jose Luis CAT-UN Profesor/a


Proporcionar unha introducción aos métodos da criptografía moderna e ás súas aplicacións máis importantes. Coñecer e manexar os algoritmos matemáticos fundamentais que se aplican en criptografía. Coñecer os máis importantes ataques criptoanalíticos e a relación existente entre criptografía e seguridade informática.

Contidos

1. INTRODUCCIÓN Á CRIPTOLOXÍA. Criptoloxía, criptografía e criptoanálise. Criptosistemas clásicos e a súa criptoanálise: a cifra de Vigenère. Seguridade incondicional e a cifra de Vernam. Criptosistemas de fluxo e de bloque. Introducción aos corpos finitos. O “Advanced Encryption Standard” (AES). Os modos de operación e o seu uso para confidencialidade e para autenticación. Funcións "hash" criptográficas e o ataque do aniversario.

2. CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA. Introducción á criptografía de clave pública. Seguridade computacional: funcións unidireccionais e portas-trampa. Criptosistemas asimétricos e o seu uso para confidencialidade e para sinaturas dixitais.

3. RSA E LOGARITMOS DISCRETOS. O criptosistema RSA. Introducción á complexidade computacional. A complexidade do algoritmo de Euclides e da expoñenciación binaria. Xeración aleatoria de primos grandes. Tests de primalidade probabilistas: o test de Miller-Rabin. A seguridade de RSA e o problema da factorización. Introducción aos criptosistemas baseados no logaritmo discreto.


Básica:J. Buchmann, Introduction to Cryptography, 2nd Edition, Springer-Verlag (2004).

W. Trappe, L.C. Washington, Introduction to Cryptography with Coding Theory, Prentice Hall (2002).

Complementaria:J. Hoffstein, J. Pipher, J. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography, Springer (2008).

J. Katz, Y. Lindell, Introduction to Modern Cryptography, Chapman & Hall/CRC (2008).

N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Second Edition, Springer-Verlag, 1994.

R. Oppliger, Contemporary Cryptography, Artech House (2005).

D.R. Stinson, Cryptography: Theory and Practice, 3rd Edition, Chapman and Hall/CRC (2005).

358

Competencias

Saber criptoanalizar sistemas clásicos: substitucións monoalfabéticas, criptosistema de Hill, e criptosistema de Vigenère.

Utilizar paquetes de cálculo simbólico para estudar os criptosistemas anteriormente mencionados e, no seu caso, a súa criptoanálise, tomando como punto de partida implementacións xa existentes.

Coñecer polo miúdo o funcionamento do AES e os seus modos de operación, utilizando diversas implementacións existentes.

Manexar con precisión os algoritmos básicos necesarios para a implementación de RSA, en particular, o algoritmo de Euclides e a expoñenciación binaria.

Facer, coa axuda de programas de cálculo simbólico, experimentos sobre a distribución dos números primos. Manexar implementacións de tests de primalidade: Miller-Rabin, curvas elípticas, etc.

Comprender algúns dos máis importantes e recentes ataques criptoanalíticos e as técnicas usadas para rexeitalos.


Dedicaranse tres horas semanais á docencia presencial, tanto para o desenrolo dos conceptos teóricos como para a discusión no taboleiro de problemas e algoritmos.

Dedicarase unha hora semanal á realización de prácticas na aula de informática, utilizando tanto paquetes de cálculo simbólico como outros programas.


Valoraranse a resolución de problemas e a realización de traballos propostos ao longo do curso, así como a realización dunha proba escrita final.


O tempo de traballo do estudante pode depender de diversos factores, pero estímase que unha hora de estudo por cada hora de clase debería de ser suficiente na maioría dos casos.

Observacións

Os estudantes deberán ter coñecementos básicos de Álxebra Linear para poder cursar esta materia.

359

Contido

Código : 118675 Nome:Códigos Correctores de Erros Ano Academico : 2008/2009


Carácter: Libre Elección Convocatoria: Segundo Cuadrimestre





Rodriguez Gonzalez,Nieves TIT-UN Profesor/a


Coñecer as nocións e métodos básicos da teoría de códigos correctores de erros e manexar os algoritmos fundamentais desta disciplina. Coñecer as familias de códigos máis importantes e algunhas das súas aplicacións máis interesantes (transmisións a longa distancia, discos compactos, etc.).

Contidos

- Unha breve introdución histórica - Problemas básicos da teoría de códigos- Códigos detectores e correctores de erros: exemplos- Distancia de Hamming e descodificación por distancia mínima. Códigos perfectos- Códigos lineares. Matrices xeratrices e matrices de control- Códigos especiais: códigos de Hamming, de Golay e de Reed-Muller - Introdución aos códigos cíclicos: códigos BCH e códigos de Reed-Solomon


D. R. Hankerson, D. G. Hoffman, D. A. Leonard, C. C. Lindner, K. T. Phelps, C. A. Rodger e J. R. Wall, Coding theory and cryptography - The essentials, Marcel Dekker, 2000.R. Hill, A First Course in Coding Theory, Clarendon Press, 1986.C. Munuera e J. Tena, Codificación de la información, Universidad de Valladolid, 1997.O, Papini e J. Wolfmann, Algèbre discrète et codes correcteurs, Springer-Verlag, 1995.S. Roman, Introduction to coding and information theory, Springer-Verlag, 1997.W. Trappe e L.C. Washington, Introduction to cryptography with coding theory, Prentice-Hall, 2002.

Competencias

- Familiarizarse cos códigos básicos de identificación: NIF, ISBN, códigos de barras...- Coñecer os códigos de caracteres máis importantes, desde o Morse ata o UNICODE.- Coñecer os principios xerais usados no deseño de bos códigos.- Manexar os códigos lineares por medio do cálculo de matrices xeratrices, matrices de control, distancia mínima, etc.- Construír a táboa estándar e realizar a descodificación por síndrome.- Utilizar os procedementos específicos de descodificación para códigos de Hamming, de Golay e de Reed-Muller.- Utilizar programas informáticos para explorar os algoritmos anteriormente mencionados.


Dedicaranse tres horas semanais á docencia presencial, tanto para o desenvolvemento dos conceptos teóricos como para a

360

discusión no encerado de problemas e algoritmos.

Dedicarase unha hora semanal á realización de prácticas na aula de informática. Empregaranse paquetes de cálculo simbólico para amosar o funcionamento dos principais algoritmos da disciplina.


Valoraranse a resolución de problemas e a realización dos traballos propostos ao longo do curso, así como a realización dunha proba escrita final.


O tempo de traballo do estudante pode depender de diversos factores, pero estímase que unha hora de estudo por cada hora de clase debería de ser suficiente na maioría dos casos.

Observacións

Os estudantes deberán ter coñecementos básicos de Álxebra Linear para poder cursar esta materia.

361

Contido

Código : 118713 Nome:Unha Andaina pola Matemática Ano Academico : 2008/2009







Vazquez Abal,M Elena TIT-UN Profesor/a


O obxectivo destas conferencias e seminarios é formativo e divulgativo a un tempo. Preténdese mostrarlles aos asistentes a evolución histórica dalgúns conceptos matemáticos, a importancia e fermosura de resultados clásicos e modernos, así como as aplicacións dalgunhas teorías básicas, tanto nas propias Matemáticas como na Arte, Arquitectura, Bioloxía, Ciencias Sociais, Enxeñaría, Física, Informática, Música, Química...

Contidos

Os contidos e horarios das conferencias faranse públicos ao remate do 1º cuadrimestre.O carácter de conferencias desta materia fai imposible ter o horario antes do 1º cuadrimestre polos diversos compromisos dos/das conferenciantes. Este é o motivo polo que resulta difícil adiantar un horario, ainda que a pretensión é que a maioría destas 10 sesións se impartan en lúns e en horario de 17.00-19.30 na Aula Magna da Facultade de Matemáticas.


Dependerá da programación anual.

Competencias

Alcanzar unha mínima visión crítica da importancia das matemáticas nas diversas ciencias e na vida.


A actividade consistirá nunha serie de 10 conferencias ou seminarios de duración entre 120 e 180 minutos, baixo o nome UNHA ANDAINA POLA MATEMÁTICA. Celebraranse no curso académico 2008-2009, preferentemente en horario de tarde e na Facultade de Matemáticas.As conferencias poderán ser impartidas por profesorado de Universidade, pero tamén se dará cabida ao profesorado de ensino medio e profesionais con algún tipo de relación coas matemáticas.As charlas e seminarios estarán dirixidas a alumnos das Licenciaturas de Ciencias e complementaranse cun curso virtual onde se realizarán exames e traballos complementarios.Coa intención de potenciar a participación e de evitar a masificación, haberá un número limitado de 150 prazas.


362

Para superar o curso, o alumnado terá que acreditar a súa participación nun mínimo de 9 das 10 sesións, para o que deberá acudir coa súa tarxeta universitaria ás conferencias.En canto á cualificación, no curso virtual iranse propoñendo actividades e/ou exames en liña con cuestións relacionadas costemas tratados para matizar a avaliación.

NOTA 1.- Esta é unha materia que se supera coa asistencia ás conferencias e o número máximo de faltas é 1. A limitación do número de prazas obriga a facer unha selección que deixa fóra a moito alumnado, polo que toda excepción a esta norma básica representaría un agravio comparativo e sería totalmente inxusta.NOTA 2.- A matriculación é un asunto regulamentado na USC na normativa de xestión académica e non depende do criterio do persoal docente; polo que se aconsella ao alumnado consulte a normativa que regula o procedemento de matrícula de libre configuración con límite de prazas antes de formalizar a matrícula.


Horas presenciais 2,5*10= 25.Horas traballo persoal no curso virtual (exames e/ou traballos): 5.

Observacións

Para validar a asistencia ao curso, é necesario presentar a tarxeta magnética de estudante en cada conferencia.

Pódese atopar información na dirección: http://xtsunxet.usc.es/

363

Contido

Código : 118637 Nome:Xeometría e Civilización Ano Academico : 2008/2009







Torres Lopera,Juan Francisco TIT-UN Profesor/a


(1) Mostrar, a través dos temas seleccionados, a presenza da Xeometría nas ciencias e nas artes, nas formas dos minerais e os seres vivos e nos edificios e creacións plásticas ou ornamentais de varias civilizacións. Introduciranse, entre outros, os seguintes conceptos: - grafos- poliedros- mosaicos - cristalografía matemática- a xeometría de Minkowski

Outras partes do programa serán tarefa individual dos alumnos, para que aprecien os vínculos da Xeometría con outras materias.

(2) Destacar a influencia da Xeometría na nosa percepción racional do espazo e nos procesos de explorar o mundo e deducir as súas leis físicas, expoñendo brevemente algunhas ideas xeométricas ben coñecidas, que están presentes en varias teorías clásicas, por exemplo: - simetría - perspectiva - grupos de simetrías e leis de conservación - accións de grupos- as xeodésicas como traxectorias extremais - obxectos invariantes por un grupo de transformacións, - formas e patróns de crecemento

Contidos

PROGRAMA

Tema 1. Números enteiros e poliedrosOs pitagóricos e a explicación aritmética do mundo; os números enteiros, a música e os corpos celestes O teorema de Pitágoras e a Xeometría nas antigas civilizacións orientais A concepción xeométrica do mundo na civilización helenística e a súa influencia no Renacemento e no descubrimento de América Os poliedros desde Platón e Arquímedes a Piero dela Francesca e Kepler Complexos simpliciais e poliedrosGrafos, árbores e polígonosCaracterística de Euler-Poincaré dun poliedroTriangulación dun poliedro curvilíneoPoliedros convexos: teorema de Euler-Descartes Os poliedros regulares Os poliedros estreados de PoinsotOs paraleloedros de Fedorov

364

Outras familias de poliedroSchläfli e o descubrimento dos poliedros regulares en dimensión superior

Tema 2. Rosetas, frisos e mosaicosFrisos e rosetas nas artes decorativas A Xeometría na civilización islámica: mosaicos e arabescos Simetrías, xiros e orientación no plano O grupo de isometrías do plano euclidiano Grupo de simetrías das rosetas, dos frisos e dos mosaicos periódicos Grupos cristalográficos no plano euclidiano Grafo dun mosaico Mosaicos non periódicos; mosaicos de Penrose

Tema 3. O nacemento da perspectiva e as orixes da xeometría proxectivaMatemáticas e óptica na Idade Media. As Xeometría na arte renacentista: (1) Tratado de perspectiva de Piero dela Francesca (2) A perspectiva artificial. Masaccio (3) Desenvolvementos posteriores: Leonardo e Durero Perspectiva e xeometría proxectiva O teorema de Desargues e a invariancia da razón dobre O plano proxectivo real como espazo topolóxico e a banda de Moebius O icosaedro e o plano proxectivo real

Tema 4. A xeometría e as leis físicas. De Ptolomeo a CopérnicoDesde Kepler e Galileo a Newton: curvatura, forza, masa e aceleración Xeodésicas e traxectorias extremais na mecánica lagrangiana e a óptica xeométrica A rotación da Terra, o péndulo de Foucault e o ángulo de holonomíaO nacemento das xeometrías non euclidianas As ecuacións de Maxwell e o grupo de LorentzO experimento de Michelson-Morle, e a xeometría de MinkowskiA teoría restrinxida da reactividade e as súas xeneralizacións A natureza discreta do microcosmos: o nacemento da Mecánica Cuántica e a súa axiomatización Simetría e partículas elementais

Tema 5. Minerais e cristaisO grupo de isometrías do espazo euclidiano tridimensional Cuaternios e rotacións Os grupos cristalográficos no espazo euclidiano tridimensional A cristalografía clásica no estudo dos minerais Os grupos cristalográficos noutros espazos e dimensións Cristais líquidos Novos materiais, novas simetrías

Tema 6. Xeometría, medida da TerraAgrimensura e Topografía Cartografía e Xeodesia Navegación e astronomía de posición

Tema 7. Algúns modelos xeométricos na arquitectura, a industria e a ornamentación A sucesión de Fibonacci e o número de ouro na arquitectura As innovacións xeométricas da arquitectura romana Algúns motivos decorativos do Gótico Brunelleschi e o retorno das bóvedas á arquitectura Columnas salomónicas O modulor de Le Corbusier Parafusos, “roulettes”, catenarias, espirais e hélices Algunhas superficies regradas e algunhas superficies minimais na arquitectura e a industria

Tema 8. As formas xeométricas dos seres vivosAlgunhas formas e simetrías frecuentes en animais ou plantas Filotaxia A sucesión de Fibonacci no crecemento A molécula con forma de dobre hélice


BIBLIOGRAFÍA

[1] C. Alsina, E. Trillas. Algebra lineal y geometría. Curso para estudiantes de arquitectura. Edit. Gustavo Gili, Barcelona (1984).

[2] V. Arnold. Méthodes mathématiques de la méchanique classique. Editions de Moscou , Moscú (1976).

[3] M. Berger. Géometrie, (5 vol.).

365

CEDIC-Nathan, Paris (1977).

[4] J. J. Callahan. The geometry of Spacetime. Springer Verlag, New York, (1999).

[5] H. M. S. Coxeter.Fundamentos de geometría. Limusa, México D.F. (1971).

[6] H. M. S. Coxeter. Regular Complex Polytopes.Cambridge U. Press, Cambridge (1974).

[7] J. L. Coolidge.A history of geometrical methods.Dover, New York (1963).

[8] J. V. Field. The Invention of Infinity.Oxford University Press, New York (1997).

[9] M. Ghyka.The geometry of art and life. Dover, New York, (1977).

[10] G. Guillén Soler.Poliedros.Editorial Síntesis, Madrid (1991).

[11] D.T. Gillespie.Introducción a la mecánica cuántica.EditorialReverté, Barcelona (1991).

[12] A. Gray.Differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. 2nd. ed.CRC Press, Boca Raton (1998)

[13] J. L. Heilbron. Geometry Civilized. History, Culture and Technique. Oxford University Press, Oxford (1998).

[14] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen. Geometria intuitiva. Ed. Boringhieri, Torino (1972)

[15] S. Hildebrandt, A. Tromba . Matemáticas y formas óptimas.Biblioteca Scientific American, Editorial Prensa Científica, Barcelona (1990).

[16]B. Iversen.Crystallographic groups. Aarhus Univ. Aarhus (1990).

[17]G. A. Jennings. Modern Geometry with applications. Springer Verlag, Berlin (1997).

[18] D. L. Johnson. Symmetries. Springer Verlag, Berlin (2001)

[19]L. Joly. Les polyèdres. Libr. Albert Blanchard, Paris (1979).

[20] J. Kappraff. Connections: The geometric bridge between art and science.World Scientific, Singapore (2001).

[21] M. Kemp. La Ciencia del arte: la óptica en el arte occidental, de Brunelleschi a Seurat. Madrid, Akal, Madrid (2000).

[22] C. Klein, C. S. Hurblut. Mineralogía (2 vol.)Editorial Reverté, Barcelona (1996)

366

[23] L. Landau, E. Lifschitz. Curso abreviado de Fisica teorica, (2 vol.)Mir, Moscú (1979).

[24] G. E. Martin. Transformation Geometry. An Introduction to Symmetry. Springer Verlag, Berlin (1987).

[25] J. M. Montesinos. Classical tessellations and three-manifolds.Springer Verlag, Berlin (1987).

[26] A. Nussbaum.Teoría de grupos aplicada, para químicos, físicos e ingenieros.Editorial Reverté, Barcelona (1974).

[27] D. Pedoe.Geometry. A comprehensive course.Dover, New York (1998).

[28] M. Sazanov.El universo tetradimensional de Minkowski. Editorial Mir, Moscú, (1990).

[29] I. S. Sokolnikoff.Análisis tensorial.Limusa, México D. F. (1976).

[30] L. F. Toth.Regular Figures.Pergamon Press, Oxford (1964).

[31]H. Weyl.Symmetry.Princeton Univ. Press, Princeton (1952).

Competencias

Triangulación e desenvolvemento dalgúns poliedros. Cálculo da característica de Euler-Poincaré dun poliedro. Determinación do grupo dun mosaico. Representación en perspectiva de figuras planas simples Comprensión da dependencia entre velocidade e medición de masa e tempo, na reactividade restrinxida. Determinación de lonxitudes e áreas sobre a terra.Recoñecemento dalgúns sistemas de representación usados en cartografía. O número de ouro, a sucesión de Fibonacci e a súa presenza na arte e a natureza.


Clásica pero flexible. Favorecerase e puntuarase a participación na clase, a solución de problemas e, no último mes, cada alumno exporá un traballo no que desenvolverá unha parte dun tema do programa.


Na convocatoria ordinaria (xuño), o 40 % da cualificación final obterase participando na clase, solucionando exercicios escritos e expoñendo unha parte dun tema do programa. O 60 % da cualificación final obterase no exame.

Na convocatoria extraordinaria (setembro) o 100 % da cualificación obterase no exame.


Variable, dependendo do interese e da dedicación. A modo orientador, polo menos, catro horas semanais netas de estudo. Entre trinta e corenta horas adicionais para elaborar un traballo, co fin de expoñelo na clase. Vinte horas para realizar un mínimo de dez exercicios escritos.Vinte horas adicionais para a preparación do exame final.


367

Asistir á clase, participando e facendo exercicios. Estudar os textos recomendados para cada tema e reflexionar sobre os conceptos novos. Calcular. Facer modelos e visualizar os obxectos para comprender mellor a materia.

Observacións

Requisitos previos: curiosidade cara a outras materias, cultura xeral e coñecementos de álxebra, xeometría e análise (aproximadamente, nivel de primeiro ciclo). Coñecementos elementais de física.Esta é unha materia de Matemáticas e non trata de abordar de forma sistemática ningún aspecto da historia da xeometría, nin de desenvolver os temas por orde cronolóxica, pero daranse frecuentes referencias para situar no tempo os contidos.

368

Contido

Código : 118673 Nome:Didáctica da Matemática en Secundaria Ano Academico : 2008/2009







Cajaraville Pegito,Jose Ant TIT-UN Profesor/a

Labraña Barrero,Pedro Antonio ASOU Profesor/a


1. Ofrecerlles aos futuros profesores de matemáticas de secundaria unha formación básica que os capacite para impartir docencia das nocións que figuran no currículo de educación secundaria nesta área.

2. Capacitalos para o deseño e desenvolvemento de propostas didácticas de carácter curricular para o ensino/aprendizaxe das nocións matemáticas para o nivel da educación secundaria e, tamén, para abordar as dificultades de aprendizaxe que poidan xurdir na aula.

Contidos

1. Fundamentos da ensinanza/aprendizaxe da Matemática en SecundariaEpistemoloxía da Matemática e Didáctica da MatemáticaAprendizaxe da Matemática. Significado e comprensión dos obxectos matemáticos. Erros e obstáculos de aprendizaxeEnsinanza da Matemática. Modelos: a teoría das situacións didácticas

2. Análise didáctica dos contidos matemáticos en Educación Secundaria Da Aritmética á ÁlxebraEstatística e ProbabilidadeCorpos no espazoGráficas e funciónsTema de bacharelato: Cálculo Integral

3. Resolución de problemas na Educación MatemáticaEstratexias e recursos na resolución de problemas. HeurísticosA resolución de problemas como metodoloxía de traballo na aula. Situacións e proxectos

4. Novas tecnoloxías na Educación Matemática O papel da visualización na representación dos conceptos matemáticosCalculadoras científicas e gráficas. Posibilidades e estratexiasOrdenador e educación matemática. Os programas de cálculo simbólico. As follas de cálculo

5. Deseño curricular na ESO e no BacharelatoFins e dimensións da Educación Matemática en SecundariaDeseño de unidades didácticasA avaliación de obxectivos e contidos


- ALSINA, C.; BURGUÉS, C.; FORTUNY, J.; GIMÉNEZ, J. e TORRA, M., Enseñar Matemáticas, Graó, Barcelona, 1996.- AZCÁRATE, C. e DEULOFEU, J., Funciones y gráficas, Síntesis, Madrid, 1990.

369

- BRANSFORD, J. e STEIN, B., Solución IDEAL de problemas, Labor, Barcelona, 1987.- CAJARAVILLE, J. A., Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso, Síntesis, Madrid, 1989.- CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M. e GASCÓN, J., Estudiar Matemáticas: el eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, ICE-Horsori, Barcelona, 1997.- GARCIA, A.; MARTINEZ, A. e MIÑANO, R., Nuevas tecnologías y enseñanza de las Matemáticas, Síntesis, Madrid, 1995.- GIMÉNEZ, J., Evaluación en Matemáticas: Una integración de perspectivas, Síntesis, Madrid, 1997.- LABRAÑA, A, e outros, Algebra lineal. Resolución de sistemas lineales, Síntesis, Madrid, 1995.- LABRAÑA, A, e outros, Matemáticas 1º curso da ESO, Ed. Penta, A Coruña, 1999.- LABRAÑA, A. e CAJARAVILLE, J., A medida de superficie a través de procesos de indagación que conxugan métodos estimativos e formais, Adaxe 13, p. 141-161, 1997.- NCTM, Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática. Addenda Series, SAEM Thales, Sevilla, 1993- PÓLYA, G., How to solve it, Princeton University Press, 1945 (Tradución ao castelán: Cómo plantear y resolver problemas, Trillas, México, 1986)- RICO, L. e outros, La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria, ICE-Horsori, Barcelona, 1997.

Competencias

- Desenvolver competencias para recoñecer erros e obstáculos no proceso de ensino/aprendizaxe da matemática en educación secundaria.- Ser capaz de planificar, seleccionar e distribuír contidos para a aprendizaxe da matemática en educación secundaria. - Manexar con soltura situacións-problema propios desta temática.- Ser capaz de usar contextualizadamente material didáctico para propoñer e resolver problemas, dotando de significado os obxectos matemáticos que se estudan neste nivel educativo.


- A distribución do horario semanal será: 2 horas de teoría e 2 horas de prácticas de laboratorio á semana.- As clases de teoría terán un compoñente mixto: exposicións do profesor, traballo individual e posta en común.- Nas prácticas de laboratorio, os estudantes resolverán situacións prácticas de aula baseadas na resolución de problemas matemáticos e didácticos relacionados coa ensinanza e aprendizaxe das matemáticas na educación secundaria. Usarán diferentes materiais didácticos e o sistema de traballo basearase en: presentación de tarefas por escrito, debate en pequenos grupos e posta en común do traballo realizado por cada grupo, con aclaracións e suxestións por parte do profesor.


1. Valorarase a asistencia e participación activa da/do estudante nas actividades que se realicen nas clases e a calidade na realización e presentación de traballos que puideran encomendárselle, que lles permitirá aos alumnos acadar ata un máximo do 60% da nota final.

2. Realizarase unha proba final escrita de avaliación dos coñecementos didácticos adquiridos, na que se resolverán situacións-problema concretos relacionados coa Didáctica da Matemática en secundaria.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante parasuperala

Horas presenciais: 60 (teóricas: 30; de prácticas de laboratorio: 30)

Horas non presenciais: 80 (3 horas/semana para o estudo da teoría, 2 horas/semana para completar os traballos de laboratorio + 20 horas para preparación do exame final)

Horas de avaliación: 4 horas



- Estudo de capítulos concretos dos libros e artigos que o profesor selecciona dos documentos propostos na bibliografía.- Asistencia ás clases e participación activa nas prácticas de laboratorio e nos debates de aula.- Levar un diario organizado das actividades realizadas na clase para unha posterior preparación axeitada da proba final de avaliación.

370

Jon Kleinberg (Boston, Massachusetts ,U.S.A.,1971)

Premio Rolf Nevanlinna 2006

Naceu en 1971 en Boston, Massachusetts (U.S.A.). Doutorouse en 1996 no MIT (Massachusetts Institute of Technology). É profesor de Ciencia Computacional na Universidade de Cornell. Entre as súas distincións están unha bolsa da Fundación Sloan (1997), unha bolsa da Fundación Packard (1999) e o Premio de Iniciativas en Investigación da Academia Nacional U.S. de Ciencias (2001). En 2005, recibiu unha bolsa MacArthur “genius” da Fundación John D. E Catherine T. MacArthur. Durante a celebración do ICM 2006 en Madrid recibiu o Premio Nevanlinna. Este Premio vén sendo

entregado cada catro anos dende 1982 en recoñecemento ós avances máis notables feitos nas Matemáticas da Sociedade da Información e consiste nunha medalla de ouro co perfil de Rolf Nevanlinna (1895-1980), reitor da Universidade de Helsinki e presidente da IMU. Nevanlinna foi o primeiro matemático que introduciu a computación nas universidades Finlandesas en 1950.

371

POSGRAO

373

Oferta de Posgrao

• 6070-08-1 MATEMÁTICAS

Departamento responsable académico: Instituto de Matemáticas

Co-responsables científicos:

Depto. de Xeometría e TopoloxíaDepto. de Álxebra Depto. de Análise Matemática

Coordinador xeral do programa:Eduardo García Río981 56 31 00 (ext. 13211)[email protected]

Máis información:

http://www.usc.es/cptf/TercerCiclo/Programas/Datos2008/Pd6070-08-101_200801_2009ga.htm

• 6070-07-1 MATEMÁTICAS (segundo curso: Traballo de investigación tutelado)

Departamento responsable académico: Instituto de Matemáticas

Co-responsables científicos:Depto. de Análise MatemáticaDepto. de ÁlxebraDepto. de Xeometría e Topoloxía

Coordinador xeral do programa:Eduardo García Río981 56 31 00 (ext. 13211)[email protected]

Máis información:http://www.usc.es/cptf/TercerCiclo/Programas/Datos2007/Pd6070-07-101_200701_2008ga.htm

• POSGRAO INTERUNIVERSITARIO EN MÉTODOS MATEMÁTICOS E SIMULACIÓN NUMÉRICA EN ENXEÑARÍA E CIENCIAS APLICADAS

Coordinadores da Universidade de Santiago de Compostela:

Óscar López Pouso (Coordinador Xeral)981 56 31 00 (ext. 13228)[email protected]

Alfredo Bermúdez de Castro

374

981 56 31 00 (ext. 13192)[email protected]

Máis información:http://www.usc.es/cptf/TercerCiclo/Programas/Datos2008/Pd2142-08-101_200801_2009ga.htmhttp://www.usc.es/gl/centros/matematicas/titulacions.jsp?plan=4100

• PROGRAMA OFICIAL DE POSGRAO ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA - MÁSTER EN TÉCNICAS ESTATÍSTICAS

Coordinadores da Universidade de Santiago de Compostela: Alberto Rodríguez Casal (coordinador xeral) Tlf: 981563100 / Ext.: 13229 E-Mail: [email protected]

César Andrés Sánchez Sellero981 56 31 00 (ext. 13208)[email protected]

Máis información:http://www.usc.es/gl/centros/matematicas/titulacions.jsp?plan=5798http://www.usc.es/cptf/TercerCiclo/Programas/Datos2008/Pd2145-08-101_200801_2009ga.htm

• MÁSTER DE BIOESTATÍSTICA (título propio)

Máis información:http://eio.usc.es/pub/master_bio/

Imprime Unidixital - DLG C 3053-2008

gf muía da acultade de atemáticas 1957 1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981 1984 1987 1990 1993...

Documents