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TEMA 5 * 1º BCT

GEOMETRÍA ANALÍTICA

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RECTAS NOTABLES

Bloque II * Tema 063

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• RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO.

• MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado.

• Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

• BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos iguales.

• Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados.

• ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice opuesto a cada uno de ellos.

• Corte único de alturas: ORTOCENTRO.

• MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto.• Dividen el triángulo en dos regiones de igual área. • Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad del

triángulo (Física).

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Medianas

A

C

B

a

c

b

MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un único punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.

G

• Baricentro:• G(gx, gy)• xA+ xB + xC • gx = ----------------• 3• yA+ yB+ yC • gx = ---------------• 3

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• Los dos triángulos rectángulos que se pueden formar son semejantes por tener los ángulos iguales.

• Como además las hipotenusas deben ser iguales, ambos triángulos son iguales, con lo que los catetos son iguales.

• x2 – x = x – x1

• y2 – y = y - y1

M(x, y)

B (x2, y2)

A (x1, y1) x

y

Obtenemos:

x2 + x1 = 2.x

y2 + y1 = 2.y

Por lo cual las coordenadas del punto medio serán:

x2 + x1 y2 + y1 x = ---------- ; y = ---------- 2 2

Punto medio de un segmento

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• PUNTO RELACIONAL DE UN SEGMENTO.• • Los dos triángulos rectángulos que se pueden formar son semejantes por

tener los ángulos iguales.• Queremos hallar las coordenadas de un punto P(x,y), tal que los segmentos

AP y PB que origina cumplan una determinada relación: AP / PB = k• Por ser semejantes, dicha relación también la cumplen los catetos:• AP=k.PB x – x1 = k.(x2 – x) • AP=k.PB y – y1 = k.(y2 – y)

P(x, y)

B (x2, y2)

A (x1, y1) x

y Obtenemos:

x + k.x = k.x2 + x1

y + k.y = k.y2 – y1

Por lo cual las coordenadas del punto serán:

k.x2 + x1 k.y2 + y1 x = ------------- ; y = ------------- 1 + k 1 + k

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• Ejemplo 3

• • En el triángulo de vértices A(0, 4), B(1, 0) y C(5, 2), hallar la ecuación de la mediana

del vértice A. • La mediana pasa por el punto medio del segmento BC ( del lado a), luego:• xB + xC 1 + 5 6 yB + yC 0 + 2 2• a = ------------ = ----------- = ---- = 3; b = ----------- = --------- = ---- = 1 M(3, 1)• 2 2 2 2 2 2

y

x

A(0, 4)

B(1, 0)

C(5, 2)

M(a, b)

• La ecuación que nos piden es la de una recta que pasa por lo puntos A y M, de la forma y = m.x + n

• Por pasar por A: 4 = m.0 + n• Por pasar por M: 1 = m.3 + n• De la primera ecuación tenemos n = 4• En la segunda: 1 = 3.m + 4• - 3 = 3.m m = - 1 • La ecuación de la mediana es:• y = - x + 4

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Mediatrices

A

C

B

a

c

b

MEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres vértices ).

C

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Alturas

A

C

B

a

c

b

ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro.

O

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Construcción de la bisectriz (1)

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Construcción de la bisectriz (2)

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Construcción de la bisectriz (3)

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Bisectrices

A

C

B

a

c

b

BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente al vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triángulo y tocando a sus lados ).

IA/2

A/2

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Rectas notables en un triángulo equilátero.

A

C

B

a

c

b

EN UN TRIÁNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES, ASÍ COMO SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS.

B=O=C=I

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Ejemplo: Hallar el ortocentro del triángulo obtusángulo de la figura

A B

C

O

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•Ejemplo: Hallar el triángulo cuya circunferencia inscrita es la de la figura, siendo P,Q y R los puntos de tangencia con los lados.