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© Almudena de la Fuente, 2020
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ÍNDICE
TEMA 0. FORMULACIÓN Y NOMENCLATURA INORGÁNICAS 1. Números de oxidación 3 2. Formulación y nomenclatura de elementos e iones simples 3 3. Formulación y nomenclatura de compuestos binarios 4 4. Formulación y nomenclatura de los compuestos ternarios y cuaternarios 5
TEMA 1. ASPECTOS CUANTITATIVOS DE LA QUÍMICA 1. Concepto de mol 9 2. Leyes de los gases 9 3. Composición centesimal. Fórmula empírica y fórmula molecular 10 4. Estudio de las disoluciones: concentración y propiedades coligativas 11 5. Análisis de sustancias: espectroscopía y espectrometría 14
TEMA 2. REACCIONES QUÍMICAS 1. Concepto de reacción química. Ecuaciones químicas 19 2. Tipos de reacciones químicas 19 3. Cálculos estequiométricos 20 4. Química industrial 24
TEMA 3. TERMOQUÍMICA 1. Concepto de entalpía. Ley de Hess 30 2. Concepto de energía interna. Primer principio de la termodinámica 32 3. Concepto de entropía. Segundo principio de la termodinámica 33 4. Concepto de energía de Gibbs. Espontaneidad de una reacción 34 5. Consecuencias mediambientales de las reacciones de combustión 34
TEMA 4. QUÍMICA ORGÁNICA 1. Características de los compuestos del carbono. Tipos de enlace 39 2. Hidrocarburos 39 3. Grupos funcionales 42 4. Isomería 45 5. El petróleo y los nuevos materiales 46
TEMA 5. CINEMÁTICA 1. Elementos que integran un movimiento 53 2. Movimientos rectilíneos: M.R.U y M.R.U.A. 55 3. Movimientos parabólicos 57 4. Movimientos circulares 59 5. Movimiento armónico simple. 61
TEMA 6. DINÁMICA 1. Leyes de Newton 68 2. Fuerzas de especial interés: peso, normal, fuerza de rozamiento y tensión 69 3. Dinámica del movimiento circular 74 4. Momento lineal y momento angular. Principios de conservación 75 5. Fuerza gravitatoria. Leyes de Kepler 76 6. Fuerza eléctrostática. Campo eléctrico 78
TEMA 7. TRABAJO Y ENERGÍA 1. Concepto de trabajo 85 2. Energía cinética. Teorema de las fuerzas vivas 93 3. Fuerzas conservativas. Energía potencial 87 4. Principio de conservación de la energía mecánica. 89 5. Energía potencial eléctrica y potencial. Trabajo en el campo eléctrico 90
TABLA PERIÓDICA DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS 94
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TEMA 0. FORMULACIÓN INORGÁNICA
1. Números de oxidación
El número de oxidación (n.o.) de un elemento dentro de un compuesto representa la carga que tendría cada átomo si el compuesto fuera totalmente iónico. Los principales n.o. son:
Grupo 1 (Alcalinos) H(1), Li, Na, K, Rb, Cs, Fr +1
Grupo 2 (Alcalino-térreos) Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra +2
Grupo 13 (Térreos) B, Al +3
Ag +1
Zn, Cd +2
Cu, Hg +1, +2
Au +1, +3
Fe, Co, Ni +2, +3
Pb, Sn, Pt +2, +4
Cr +2, +3, +6
Mn +2, +4, +6, +7
Grupo 14 (Carbonoideos) C, Si -4, +2, +4
Grupo 15 (Nitrogenoideos) N(3), P, As, Sb -3, +3, +5
Grupo 16 (Anfígenos) O(4), S, Se, Te -2, +2, +4, +6
Grupo 17 (Halógenos) F(5), Cl, Br, I -1, +1, +3, +5, +7
(1) H: actúa con n.o. -1 cuando se combina con metales. (2) Los no metales actúan con su n.o. negativo cuando se combinan con metales, H u otro no
metal menos electronegativo y con n.o. positivo cuando se combinan con O, halógenos… (3) N: puede actuar con n.o. +1, +2 y +4 cuando forma óxidos. (4) O: en general actúa con n.o. -2, pero actúa con n.o. positivo (+2) cuando se combina con F.
En los peróxidos actúa con n.o. -1. (5) F: solo actúa con n.o. -1.
Para determinar el número de oxidación (n.o.) de un elemento dentro de un compuesto hay que tener en cuenta que la suma de los n.o. de los elementos que forman un com-puesto eléctricamente neutro es siempre igual a cero. Si se trata de un ion compuesto, la suma de los n.o. coincide con la carga del ion.
Ejemplo: Determinar el número de oxidación de cada elemento en los siguientes compuestos e iones: a) ZnH2; b) CrO3; c) HClO4; d) K2S2O5; e) NH4
+; f) PO43-
a) 1
2
x
HZn
x + 2·(-1) = 0; x = 2
b) 2
3
x
OCr
x + 3·(-2) = 0; x = 6
c) 4
2x1
OClH
1 + x + 4·(-2) = 0; x = 7
d) 5
2
2
x
2
1
OSK
2.1 + 2·x + 5·(-2) = 0; x = 4
e)
4
1x
HN x +4·1 = 1; x = -3
f)
3
4
2x
OP x + 4·(-2) = -3; x = 5
2. Formulación y nomenclatura de elementos e iones simples
Los elementos químicos se formulan por su símbolo, acompañado de un subíndice (generalmente igual a 2) en el caso de que sea una sustancia molecular; en estos casos, su nombre puede venir precedido por el prefijo numérico correspondiente.
Los siguientes elementos están en la naturaleza formando moléculas diatómicas:
H2: (di)hidrógeno O2: (di)oxígeno N2: (di)nitrógeno
F2: (di)flúor Cl2: (di)cloro Br2: (di)bromo I2: (di)yodo
Todos los iones se formulan mediante el símbolo del elemento correspondiente acompañados de un superíndice que indique la carga del ion (número delante de la carga).
Los cationes, si se trata de un elemento con varios números de oxidación, después del nombre se indica entre paréntesis y en números romanos la carga del ion; los aniones se nombran escribiendo la raíz del nombre del elemento correspondiente
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con el sufijo “-uro” (excepción: O2- ion óxido). También está admitido escribir la carga del ion en números arábigos seguido del signo + o – según corresponda.
Ejemplos:
- Ca2+: ion calcio Cu+: ion cobre(I) o cobre(1+) - Cl−: ion cloruro S2-: ion sulfuro
3. Formulación y nomenclatura de compuestos binarios
Los principales compuestos binarios son las sales binarias (metal + no metal H, O), los hidruros, los óxidos y los peróxidos.
Para formularlos, se escribe primero el símbolo del elemento menos electronegativo (X, con número de oxidación positivo) y luego el del más electronegativo (Y, con nú-mero de oxidación negativo). Para que la suma de los números de oxidación sea cero, se le asigna a cada elemento como subíndice el número de oxidación del otro elemento y, si es posible, se simplifican.
Xx+ + Yy– XyYx
Para nombrarlos, se pueden utilizar los siguientes métodos:
- Se escribe el nombre del anión (Yy–), seguido de la preposición “de” y el nombre del catión (Xx+): XyYx → Y-uro de X (n.o.)
- Delante del nombre de cada elemento se indica, mediante prefijos multiplicadores griegos (mono-, di-, tri-, tetra-…) el número de átomos correspondiente (el prefijo “mono” solo se escribe al principio); generalmente, solo se emplean los prefijos cuando X e Y forman varios compuestos: XyYx → Prefijo-Y-uro de prefijo-X.
Ejemplos:
- Cloruro de calcio: CaCl2 - Sulfuro de aluminio: Al2S3 - Nitruro de cobre(I): Cu3N
- Carburo de magnesio: Mg2C - Trihidruro de oro: AuH3 - Dióxido de carbono: CO2
Ejemplos: - MgF2: fluoruro de magnesio o difluoruro de magnesio - Na3As: arseniuro de sodio o monoarseniuro de trisodio - SnF2: fluoruro de estaño(II) o difluoruro de estaño - FeO: óxido de hierro (II) o monóxido de hierro - NiH3: hidruro de níquel(III) o trihidruro de níquel - PbS2: sulfuro de plomo(IV) o disulfuro de plomo
Algunos casos particulares son:
- Hidrácidos: Los compuestos formados por hidrógeno y un elemento de los grupos 16 o 17 (excepto O), se comportan como ácidos en disolución acuosa. Pueden nom-brarse con la palabra ácido y añadiendo la terminación -hídrico a la raíz del nombre del elemento.
H+ + YY– HYY: Y-uro de hidrógeno o ácido Y-hídrico Ejemplos:
- HCl: cloruro de hidrógeno o ácido clorhídrico - H2S: sulfuro de hidrógeno o ácido sulfhídrico
- Hidruros de los elementos de los grupos 14 y 15: son los únicos compuestos en los que el símbolo del elemento con n.o. negativo se escibe delante. Para nom-brarlos, pueden emplearse los siguientes nombres:
- NH3: amoniaco - PH3: trihidruro de fósforo o fosfano - AsH3: trihidruro de arsénico o arsano - SbH3: trihidruro de antimonio o estibano
- CH4: metano - SiH4: tetrahidruro de silicio o silano
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- Peróxidos: El oxígeno puede formar el ion O22– (ion peróxido) y unirse a cualquier
metal formando peróxidos metálicos.
XX+ + O22– X2(O2)X: Peróxido de X
Si el n.o. de X es par, las cargas de los iones se simplifican, pero el subíndice 2 del oxígeno que lo identifica como peróxido nunca puede suprimirse.
Ejemplos:
- Peróxido de sodio: Na2O2
- Peróxido de calcio: Ca2(O2)2 CaO2
4. Formulación y nomenclatura de los compuestos ternarios y cuaternarios
a) Algunos compuestos ternarios de tipo iónico siguen las mismas normas de formula-ción y nomenclatura que los compuestos binarios:
Xx+ + OH – X(OH)X: Hidróxido de X
Xx+ + CN – X(CN)X: Cianuro de X
NH4+ + Yy– (NH4)YY: Y-uro de amonio
Ejemplos:
- Hidróxido de níquel(III): Ni(OH)3 - Cianuro de magnesio: Mg(CN)2
- Cloruro de amonio: NH4Cl - Hidróxido de cinc: Zn(OH)2
b) Oxoácidos
Los oxoácidos están formados por H, un no metal (excepciones: Cr y Mn) y O. Su fórmula es: HaXbOc.
b = 1 (excepción: diácidos, b = 2).
c se obtiene teniendo en cuenta que la suma de los números de oxidación es cero:
a·1+ b·x -2·c = 0; c =2
bxa
La nomenclatura tradicional es la más empleada para nombrar los oxoácidos y utiliza distintos prefijos y sufijos según el número de oxidación del átomo central (X):
Ácido
hipo-
- raíz del nombre de X-
-oso → 1er n.o.
- -oso → 2º n.o.
- -ico → 3er n.o.
per- -ico → 4º n.o.
Cuando X solo puede actuar con 2 n.o., se utilizan los sufijos -oso (para el menor) e -ico (para el mayor) y, si solo puede actuar con un n.o., se utiliza el sufijo -ico.
En los diácidos se añade el prefijo di- delante del nombre del átomo central.
Ejemplos: - Ácido brómico: HBrO3 - Ácido hiposelenioso: H2SeO2 - Ácido peryódico: HIO4
- Ácido nitroso: HNO2 - Ácido fosfórico: H3PO4 - Ácido disulfúrico: H2S2O7
Ejemplos: - HlO4: ácido peryódico - HNO3: ácido nítrico - HBrO2: ácido bromoso
- H2TeO4: ácido telúrico - H4SiO4: ácido silícico - H2S2O5: ácido disulfuroso
1, si X actúa con nº de oxidación impar a =
2, si X actúa con nº de oxidación par
* Excepciones: Con P, As, Sb y B → a = 3 Con Si → a = 4
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Las últimas recomendaciones de la IUPAC en 2005 aconsejan nombrar los oxoácidos mediante la nomenclatura de hidrógeno, aunque en la práctica apenas se utiliza:
HaXbOc: Prefijo-hidrogeno(prefijo-oxido-prefijo-X-ato) (el prefijo mono- se omite)
Ejemplos:
- HlO4: hidrogeno(tetraoxidoyodato) - HNO3: hidrogeno(trioxidonitrato) - H4SiO4: tetrahidrogeno(tetraoxidosilicato) - H2S2O5: dihidrogeno(pentaoxidodisulfato)
c) Oxosales
Se forman por la unión de un oxoanión y un catión metálico. Los oxoaniones se forman por la la supresión total o parcial de los átomos de H de un oxoácido; su carga negativa es igual al nº de H suprimidos. Se nombran cambiando las terminaciones -oso e -ico del oxoácido por -ito y -ato respectivamente. Si el oxoanión conserva algún átomo de hidrógeno, se precede de la palabra "hidrogeno", con el prefijo numérico correspondiente si hay más de un átomo de H.
HaXbOc XbOca− : Ion (nombre del ácido)
HaXbOc HαXOc
β-: Ion (pref. num.= )-hidrogeno-(nombre del ácido)
Las recomendaciones de la IUPAC de 2005 aconsejan nombrar los oxoaniones del mismo modo que los ácidos pero precedidos de la palabra ion.
Ejemplos:
- BrO4 ̶ : ion perbromato o ion tetraoxidobromato
- SeO32 ̶ : ion selenito o ion trioxoseleniato(IV)
- HCO3 ̶ : ion hidrogenocarbonato o ion hidrogeno(trioxidocarbonato)
- H2PO4 ̶ : ion dihidrogenofosfato o ion dihidrogeno(tetraoxidofosfato)
Para formular una oxosal, se escribe siempre primero el símbolo del metal, con la carga del oxoanión como subíndice, y luego la fórmula del oxoanión, con el número de oxidación del metal como subíndice. Si es posible, se simplifican los subíndices. Se nombran con el nombre del oxoanión seguido del nombre del metal
Mm+ + (XO)n- Mn(XO)m : (nombre del oxoanión) de (nombre de Mm+)
Ejemplos:
- Sulfito de sodio: Na2SO3 - Clorato de cinc: Zn(ClO3)2 - Hidrogenocromato de potasio: KHCrO4 - Dihidrogenosilicato de calcio: CaH2SiO4
Para nombrar las oxosales según las últimas recomendaciones de la IUPAC, los nom-bres de los iones se preceden de prefijos multiplicadores; en el caso del oxoanión, se utilizan los prefijos bis- (2), tris- (3) y tetraquis- (4), y su nombre se escribe entre pa-réntesis (o entre corchetes si ya hay un paréntesis).
Ejemplos:
- Mg(BrO4)2: perbromato de magnesio o bis(tetraoxidobromato) de magnesio - Ag2SeO3: selenito de plata o trioxidoseleniato de diplata - Al2(CO3)3: carbonato de aluminio o tris(trioxidocarbonato) de dialuminio - NaH2AsO3: dihidrogenoarsenito de sodio o dihidrogeno(trioxidoarseniato) de sodio - Zn(HSO4)2: hidrogenosulfato de cinc o bis[hidrogeno(tetraoxidosulfato)] de cinc
-ito
-ato
-ito
-ato
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EJERCICIOS
1. Determinar el número de oxidación de cada elemento en los siguientes compuestos: a) SO3 b) PbS2 c) H3PO3 d) H2SO3
e) NaNO2 f) CaMnO4 g) Fe2(CO3)3 h) Zn3(AsO3)2
2. Formular los siguientes elementos e iones:
a) Nitrógeno b) Hierro c) Flúor d) Cinc
e) Ion estroncio f) Ion bromuro g) Ion estaño(IV) h) Ion carburo
3. Nombrar los siguientes elementos e iones:
a) H2 b) Ni c) I2 d) Si
e) Cd2+ f) N3- g) Co3+ h) Se2-
4. Formular los siguientes compuestos binarios:
a) Óxido de platino(IV) b) Seleniuro de hidrógeno c) Cloruro de cobalto(III) d) Sulfuro de calcio e) Bromuro de estroncio f) Óxido de sodio g) Trifluoruro de boro h) Peróxido de magnesio
i) Fosfuro de potasio j) Hidruro de aluminio k) Ácido sulfhídrico l) Fosfano m) Trióxido de cromo n) Hidruro de plata o) Peróxido de litio p) Nitruro de hierro(II)
5. Nombrar los siguientes compuestos binarios:
a) Ca2C b) HgO c) Ag3N d) HF e) Br2O5 f) SrSe g) ZnO2 h) FeAs
i) AsH3 j) Cu2S k) SnH4 l) K2O2 m) H2Te n) PbO o) MnCl4 p) SO3
6. Formular los siguientes compuestos ternarios: a) Hidróxido de calcio b) Ácido crómico c) Ácido hipocloroso d) Cianuro de potasio e) Hidrogeno(tetraoxidomanganato) f) Ácido peryódico g) Ácido selenioso
h) Ácido fosforoso i) Hidrogeno(dioxidonitrato) j) Ácido bórico k) Bromuro de amonio l) Tetrahidrogeno(tetraoxidosilicato) m) Hidróxido de aluminio n) Dihidrogeno(pentaoxidodisulfato)
7. Nombrar los siguientes oxoácidos utilizando ambas nomenclaturas:
a) HClO4 b) HNO2 c) HBrO3 d) H2SeO3 e) HIO
f) H2MnO4 g) H2Cr2O7 h) H2S2O5 i) H3AsO3 j) H4SiO4
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8. Formular las siguientes oxosales: a) Sulfato de plomo(IV) b) Borato de cobalto(III) c) Dicromato de magnesio d) Seleniato de cobre(I) e) Perbromato de cesio
f) Tetraoxidomanganato de sodio g) Hidrogenosulfito de oro(III) h) Dihidrogenofosfato de cinc i) Hidrogenocarbonato de litio j) Bis[hidrogeno(trioxidosulfato)] de calcio
9. Nombrar las siguientes oxosales:
a) NaNO2 b) Sr(IO4)2
c) Al(BrO)3 d) K3PO3
e) Ag2Cr2O7 f) Mg2SiO4 g) LiClO3 h) Ni(NO3)3
i) CdH2SiO4 j) ZnHPO4 k) Fe(HCO3)2 l) NaHSeO4
10. Formular los siguientes compuestos: a) Óxido de estaño(IV) b) Hipoyodito de potasio c) Trifluoruro de boro d) Ácido telúrico e) Hidróxido de aluminio f) Peróxido de litio g) Perclorato de cadmio h) Hidrogenocarbonato de magnesio i) Seleniuro de níquel(II) j) Hidróxido de bario k) Hidrogeno(dioxidonitrato) l) Pentacloruro de fósforo m) Sulfito de amonio
n) Arseniuro de cinc o) Silicato de plomo(IV) p) Cianuro de plata q) Ácido disulfúrico r) Carburo de calcio s) Cromato de estroncio t) Pentaoxidodisulfato de disodio u) Borato de potasio v) Hidruro de cesio w) Hidrogeno(tetraoxidomanganato) x) Fosfito de calcio y) Heptaóxido de diyodo z) Ácido bromhídrico
11. Formular los siguientes compuestos: a) FeO b) H2SO3 c) CuBr d) HgSeO3 e) ZnH2 f) Sr(IO3)2 g) SnS2 h) CaS2O5 i) BaO2
j) H3AsO3 k) SF6 l) Cd(ClO4)2 m) H2Se n) AgNO3 o) HBrO p) KHCrO4 q) (NH4)2SO4 r) K3AsO4
s) SiSe2 t) Na2SeO4 u) CaI2 v) Pb(CO3)2 w) Ni(OH)2 x) AgMnO4 y) Fe(CN)3 z) MgH2SiO4
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TEMA 1. ASPECTOS CUANTITATIVOS DE LA QUÍMICA
1. Masa molecular. Concepto de mol
La masa molecular (MM) es la suma de las masas de los átomos que integran su molécula o, en el caso de los compuestos iónicos, su unidad mínima representada por su fórmula. Se mide en u (unidades de masa atómica).
Ejemplo:
MA(Ca) = 40 u; MA(P) = 31 u; MA(O) = 16 u MM Ca3(PO4)2 = 3·40 + 2·31 + 8·16 = 310 u
Un mol es la cantidad de una sustancia pura que contiene 6,022·1023 (= número de Avogadro, NA) átomos, moléculas, iones o unidades mínimas. Por ejemplo un mol de Fe contiene 6,022·1023 átomos de Fe y un mol de H2O contiene 6,022·1023 moléculas de H2O.
El número de Avogadro coincide con la equivalencia entre el gramo y la unidad de masa atómica (1 g = 6,022·1023 u); por tanto la masa molar de cualquier sustancia coincide numéricamente con su masa atómica o molecular pero expresada en gramos.
Ejemplos:
MA (Fe) = 55,8 u Masa molar del Fe = 55,8 g
MM (H2O) = 18 u Masa molar del H2O = 18 g
Mediante factores de conversión, a partir de una masa de sustancia dada, puede determinarse el número de moles y, a partir de éste el de átomos o moléculas y viceversa.
Masa de una sustancia MA M,M Nº de moles AN
Nº de átomos o moléculas
Ejemplo: Determinar el número de átomos de Fe presentes en un bloque de 558 g.
558 g Fe·Femol1
Fedeátomos10·022,6·
g8,55
Femol1 23
= 6,022·1024 átomos de Fe
2. Leyes de los gases
2.1. Ecuación de los gases ideales
Un gas ideal es aquel en el que puede considerarse que sus partículas ocupan un volumen prácticamente nulo y que las interacciones entre ellas son despreciables. En estos casos, se puede establecer una relación matemática entre la presión, el volumen y la temperatura del gas que se deduce a partir de las leyes de Boyle-Mariotte, Gay-Lussac y Charles.
Ley de Boyle-Mariotte: p =V
K1 (a T = cte)
Ley de Gay-Lussac: V = K2·T (a p = cte)
Ley de Charles: p = K3·T (a V = cte)
p = presión del gas. Unidad: atm (1 atm = 760 mm Hg)
V = volumen del recipiente. Unidad: L (1 L = 1000 cm3)
n = número de moles del gas = mM
)g(masa
R = 0,082 atm·L/K·mol
T = temperatura absoluta. Unidad: K (K = ºC +273)
En condiciones normales de presión y temperatura (1 atm y 273 K), el volumen molar de un gas ideal es 22,4 L.
V =1
273·082,0·1
p
T·R·n = 22,4 L
p·V = n·R·T
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Ejemplo: Determinar el volumen que ocupan 80 g de O2 a 27º C y 722 mm Hg.
80 g O2·g32
Omol1 2 = 2,5 mol O2 = n; p = 722 mm Hg·Hgmm760
atm1= 0,95 atm
T = 27 + 273 = 300 K; p·V = n·R·T; V =95,0
300·082,0·5,2= 64,7 L
La ecuación de los gases ideales también puede expresarse en función de la densidad (d, unidad: g/L):
p·V =mM
m·R·T; p =
mM·V
T·R·m; sabiendo que d =
V
m p =
mM
T·R·d
2.2. Presión parcial de un gas
Dada una mezcla de varios gases contenidos en un recipiente, cada uno ejerce una pre-sión parcial (pi = p1, p2…) en función de su número de moles (ni = n1, n2…). Esta presión parcial puede determinarse aplicando la ecuación de los gases ideales a cada uno de los componentes de la mezcla por separado.
pi·V = ni·R·T
La presión total ejercida por la mezcla, también puede calcularse aplicando la ecuación de los gases ideales al conjunto de la mezcla.
pT·V = nT·R·T siendo pT = Σpi = p1 + p2 +… y nT = Σni = n1 + n2 +…
Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene la relación entre presión parcial y presión total:
T
i
T
i
n
n
p
p , o bien: siendo Xi =
T
i
n
n= fracción molar del componente
Ejemplo: Un recipiente contiene 80 g de O2 y 140 g de N2 a una presión total de1,2 atm. Calcular: a) la presión parcial que ejerce cada gas; b) el volumen que ocupan si la tempe-ratura es de 17 ºC.
a) 80 g O2·2
2
Og32
Omol1= 2,5 mol O2; 140 g N2·
2
2
Ng28
Nmol1= 5 mol N2;
nT = 2,5 + 5 = 7,5 mol; 2O
2,5X
7,5 0,333;
2N
5X
7,5 0,667
2Op = 0,333·1,2 = 0,4 atm; 2Np = 0,667·1,2 = 0,8 atm
b) pT·V = nT·R·T; V =2,1
290·082,0·5,7= 148,6 L
3. Composición centesimal. Fórmula empírica y fórmula molecular
La composición centesimal de un compuesto expresa el porcentaje en masa de cada uno de los elementos que lo forman. Cada uno de los porcentajes se determina mediante la proporción entre la masa total de cada elemento en una molécula, y la masa molecular del compuesto.
Ejemplo: composición centesimal del Ca3(PO4)2.
Ca: 100
x
310
40·3 ; x = 38,7 %; P:
100
y
310
31·2 ; y = 20 %; O:
100
z
310
16·8 ; z = 41,3 %
Composición centesimal del Ca3(PO4)2: 38,7 % de Ca, 20 % de P y 41,3 % de O
pi = Xi·pT
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La fórmula empírica de un compuesto indica la relación más simplificada entre los átomos de los distintos elementos que lo forman. Se utiliza principalmente en compuestos iónicos, ya que no puede conocerse el número exacto de átomos que constituyen la red cristalina, pero sí la proporción entre ellos.
La fórmula molecular de un compuesto indica el número real de átomos que hay en una molécula de un compuesto. Se utiliza solo en compuestos covalentes. En la mayoría de los compuestos inorgánicos coincide con la fórmula empírica, pero en muchos compuestos or-gánicos y algunos inorgánicos es un múltiplo entero de la empírica.
Ejemplos:
Compuesto Fórmula empírica Fórmula molecular
Cloruro de sodio NaCl -
Óxido de hierro (III) Fe2O3 -
Agua H2O H2O
Peróxido de hidrógeno HO H2O2
Butano C2H5 C4H10
A partir de la composición centesimal, puede determinarse la fórmula empírica de un com-puesto, calculando los moles de cada elemento presentes en 100 g de un compuesto y re-duciendo posteriormente los resultados a números enteros dividiendo los resultados obteni-dos entre el menor de ellos.
Ejemplo: Determinar la fórmula empírica de un compuesto cuya composición centesimal es 80 % de C y 20 % de H.
En 100 g de compuesto hay 80 g de C y 20 g de H.
C: 1mol C
80 g C·12 g
= 6,67 mol C 6,67
6,67= 1
H: 1mol H
20 g H·1g
= 20 mol H 20
6,67= 3
La fórmula empírica es CH3
A partir de la masa molecular y la fórmula empírica, puede determinarse la fórmula molecular de un compuesto, calculando el número de veces que está contenida la fórmula empírica dentro de la fórmula molecular.
Ejemplo: Determinar la fórmula molecular del compuesto del ejemplo anterior sabiendo que su masa molecular es 30 u.
Fórmula molecular: (CH3)n
n = Masa molecular real 30
Masa molecular empírica 12 3·1
= 2 Fórmula molecular: (CH3)2 C2H6
4. Estudio de las disoluciones: concentración y propiedades coligativas
Una disolución es una mezcla homogénea de dos o más sustancias en la que las partículas disueltas permanecen estables y no precipitan. La sustancia disuelta recibe el nombre de soluto y puede ser sólido, líquido o gaseoso. El medio de dispersión, generalmente un líquido (el más común es el agua), recibe el nombre de disolvente.
El proceso de disolución supone que las partículas (iones en el caso de los compuestos iónicos o moléculas en el caso de las sustancias covalentes) que forman el soluto y el disolvente se separen y a continuación se unan entre sí. Por ello la solubilidad de una sustancia es mayor cuanto mayor sea la atracción entre soluto y disolvente.
12
4.1. Concentración de una disolución
Se llama concentración de una disolución a la proporción que existe entre la cantidad de soluto y la cantidad total de disolución. Puede expresarse de varias formas:
a) Concentración en gramos por litro (c): es la relación entre la masa de soluto y el volumen de disolución.
c =)L(V
)g(m
disolución
soluto Unidad: g/L
No debe confundirse con la densidad de la disolución, d =)L(V
)g(m
disolución
disolución
b) Porcentaje en masa (%): relación entre la masa de soluto y la masa total de disolución expresada en tanto por ciento.
% = )g(m
)g(m
disolución
soluto ·100
c) Molaridad (M o [soluto]): relación entre los moles de soluto y el volumen de disolución.
M =)L(V
)mol(n
disolución
soluto Unidad: mol/L o M(molar)
d) Molalidad (m): relación entre los moles de soluto y la masa en kg de disolvente.
m = soluto
disolvente
n (mol)
m (kg) Unidad: mol/kg
e) Fracción molar de soluto: relación entre los moles de soluto y los moles totales presentes en la disolución.
Xs =disolventesoluto
soluto
nn
n
Ejemplo: Una disolución contiene 5 g de NaCl en 90 g de agua y tiene una densidad de 1,1 g/mL. Calcular: a) concentración en g/L; b) porcentaje en masa de soluto; c) molaridad; d) molalidad; e) fracción molar de soluto.
k) d = disolución
disolución
m 5 90; 1,1
V V
; Vdisolución = 86,4 mL = 0,0864 L; c =
5
0,0864= 57,8 g/L
b) % =905
5
·100 = 5,26 %
c) 5 g NaCl·NaClg5,58
NaClmol1= 0,085 mol NaCl; M =
0,085
0,0864= 0,984 M = [NaCl]
d) m =0,085
0,09= 0,944 mol/kg
e) 90 g H2O·OHg18
OHmol1
2
2 = 5 mol H2O; Xs =5085,0
085,0
= 0,0167
Ejemplo: Una disolución de H2SO4 concentrado contiene un 88,2 % de H2SO4 y tiene una densidad de 1,8 g/mL. Calcular: a) concentración en g/L; b) molaridad; c) fracción molar de soluto; d) molalidad
Suponemos 1 L de disolución: d =1
m1800;
V
m ; mD = 1800 g; mS = 1800·
100
88,2= 1588 g
13
a) c =1
1588= 1588 g/L
b) 1588 g H2SO4·42
42
SOHg98
SOHmol1= 16,2 mol H2SO4; M =
1
16,2= 16,2 M
c) 1800 – 1588 = 212 g de H2O; 212 g H2O·OHg18
OHmol1
2
2 = 11,8 mol H2O
Xs =11,816,2
16,2
= 0,58
d) m =16,2
0,212= 76,4 mol/kg
En el laboratorio es muy común preparar disoluciones acuosas de una concentración determinada para que el soluto se disperse y pueda reaccionar con otras sustancias. La preparación puede hacerse:
- A partir de un soluto sólido. Para ello, se pesa el soluto en una balanza, se disuelve en una pequeña cantidad de agua destilada y por último se echa en un matraz aforado del volumen requerido enrasando con un cuentagotas hasta el nivel marcado.
- A partir de otra disolución más concentrada (dilución). Para ello se mide con una bureta el volumen necesario de la disolución inicial, se le añade agua y por último se echa en un matraz aforado del volumen final requerido enrasando con un cuentagotas hasta el nivel marcado. Al añadir agua, la concentración disminuye, pero permanece constante la cantidad de soluto (ns).
Molaridad inicial: s sn nM ; Molaridad final :M'
V V ' M·V = M'·V'
Ejemplo: Queremos preparar 250 mL de disolución de NaCl 1 M. Determinar: a) La cantidad de NaCl sólido que se necesitará. b) Si partimos de una disolución de NaCl 5 M ¿qué volumen de dicha disolución habrá
que tomar?
a) sn1
0,25 ; ns = 0,25 mol NaCl·
58,5 g
1mol NaCl= 14,625 g NaCl
b) M·V = M'·V'; 5·V= 1·(0,25); V = 0,05 L
4.2. Propiedades coligativas de las disoluciones
Se llaman propiedades coligativas de una disolución a aquellas que dependen solo de la cantidad de partículas disueltas y no de las características del soluto.
a) Ascenso del punto de ebullición (ebulloscópico): cuando se añade un soluto, la mo-vilidad de las moléculas de disolvente disminuye y por lo que se dificulta su paso a vapor, aumentando el punto de ebullición de forma proporcional a la concentración de soluto. El aumento ebulloscópico viene dado por:
Te = aumento ebulloscópico (ºC) Ke = constante ebulloscópica del disolvente (H2O: 0,52 kg·ºC/mol) m = molalidad de la disolución (mol/kg)
Te = Ke · m
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b) Descenso del punto de solidificación (crioscópico): cuando se añade un soluto, la distancia entre las moléculas de disolvente aumenta, por lo que se dificulta su solidifi-cación, disminuyendo el punto de solidificación de forma proporcional a la concentra-ción de soluto. El descenso crioscópico viene dado por:
Tc = descenso crioscópico (ºC) Kc = constante crioscópica del disolvente (H2O: 1,86 kg·ºC/mol)
m = molalidad de la disolución (mol/kg)
En el caso de solutos iónicos, hay que tener en cuenta el numero total de iones disuel-tos, por lo que para calcular las variaciones en los puntos de fusión y ebullición hay que multiplicar en ambos casos por un factor “i” que representa el número de iones que se forman a partir de la unidad de compuesto representada por su fórmula.
Te = i· Ke · m Tc = i· Kc · m
Ejemplo: Calcular las temperaturas de ebullición y solidificación de una disolución que contiene 11,1 gramos de CaCl2 en 500 g de agua.
CaCl2 Ca2+ + 2Cl- i = 3; Mm = 40 + 35,5·2 = 111 u
22,2 g CaCl2 ·1 mol CaCl2
111 g = 0,1 mol CaCl2; m =
0,1mol
0,5 kg= 0,2 mol/kg
Te = 3·0,52·0,2 = 0,312 ºC; Te’ = 100 + 0,312 = 100,312 ºC
Tc = 3·1,86·0,2 = 1,116 ºC; Tc’ = 0 – 1,116 = -1,116 ºC
c) Presión osmótica: cuando una membrana semipermeable separa dos disoluciones de distinta concentración, las moléculas de disolvente de la disolución más diluida van pasando a la más concentrada tendiendo a igualar las concentraciones; este fenómeno recibe el nombre de ósmosis. La presión que hay que ejercer sobre una disolución para evitar el flujo de disolvente a través de una membrana semipermeable recibe el nombre de presión osmótica (π) y es directamente proporcional a la concentración de la disolución. Viene dada por:
π = presión osmótica (atm) M = molaridad (mol/L) R = 0,082 atm·L/K·mol T = temperatura absoluta (K)
Ejemplo: calcular la presión osmótica que ejerce una disolución que contiene 18 g de C6H12O6 en 500 mL de agua a 27 ºC.
18 g C6H12O6 ·6 12 61mol C H O
180 g= 0,1 mol C6H12O6; M =
0,1mol
0,5 L= 0,2 M
π = M·R·T = 0,2·0,082·300 = 4,92 atm
Tc = Kc · m
π = M·R·T
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5. Técnicas para el análisis de sustancias
a) Espectrógrafo de masas: permite separar los isótopos que forman un elemento, determinando la masa de cada isótopo y las proporciones en las que se encuentran. Consiste en un tubo en el que se introduce una muestra en estado gaseoso del elemento a analizar. En su interior, una fuerte descarga produce la ionización del gas, y los iones formados son acelerados por un campo eléctrico y desviados por un campo magnético, de modo que el radio de sus trayectorias es directamente proporcional a sus masas. Finalmente, los iones llegan a un detector que emite una señal de mayor intensidad cuanto mayor es la proporción de cada isótopo.
La masa atómica de un elemento es la media ponderada de las masas de sus distintos isótopos.
Masa atómica de un elemento (MA) = M1· + M2· +…
Siendo M1, M2,… los masas de los distintos isótopos y (%)1, (%)2,… sus abundancias relativas en tanto por ciento.
Ejemplo: El cloro tiene número atómico 17 y posee dos isótopos con números másicos 35 y 37, cuyas abundancias son del 75 % y 25 % respectivamente. Determinar la masa ató-mica del cloro.
MA = A1· + A2· = 35· + 37· = 35,5 u
b) Espectroscopía de emisión: cuando a un elemento químico en estado gaseoso se le comunica suficiente energía, sus átomos se excitan y emiten radiaciones luminosas de determinadas longitudes de onda que constituyen el espectro de emisión de dicho elemento. Este conjunto de radiaciones, al atravesar un prisma, se descomponen en un conjunto de líneas coloreadas que se pueden registrar en una placa fotográfica, y sirven para identificar al elemento en cuestión. Midiendo la intensidad de las líneas correspondientes a cada elemento se puede calcular la proporción existente entre los distintos elementos que constituyen una muestra.
100
(%)1
100
(%)2
100
(%)1
100
(%)2
100
75
100
25
muestra descarga campo
eléctrico
detector
campo magnético
Inte
nsid
ad d
e la
señal
35 37 masa (u)
Espectro de masas del cloro atómico
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EJERCICIOS
1. Calcula la masa molecular de:
a) Óxido de cobalto (III) b) Hidróxido de calcio c) Sulfito de aluminio
2. Completa la siguiente tabla:
Masa (gramos) Número de moles Número de moléculas
10 g de He
5 moles de CH4
1025 moléculas de HNO3
3. Determinar el volumen que ocupan 100 g de CO2 si se encuentran:
a) En condiciones normales de presión y temperatura. b) A 700 mm de Hg y 20 ºC. Solución: a) 50,9 L; b) 59,3 L
4. Una bombona de 300 L de capacidad y cuya masa es de 14 kg cuando está vacía, tiene está llena de butano (C4H10) a 25 ºC y 10 atm de presión. Calcular: a) La masa total de la bombona llena. b) La densidad del butano a dicha presión y temperatura Solución: a) 21,1 kg; b) 23,7 g/L
5. Determinar la masa molecular de un gas si:
a) A 250ºC y 750 mm de Hg, 1,65 g de dicho gas ocupan 629 mL. b) Tiene una densidad de 2,86 g/L en condiciones normales.
Solución: a) 114 u; b) 64 u
6. Un recipiente contiene 50 g de argón y 30 g de helio siendo la presión total de la mezcla de 7,9 atm. Determinar la presión parcial que ejerce cada gas. Solución: 1,13 atm; 6,77 atm
7. Un recipiente de 1 m3 de volumen contiene 160 g de oxígeno, 210 g de nitrógeno y 440 g
de dióxido de carbono a 20 ºC. Determinar: a) La fracción molar de cada gas. b) La presión parcial que ejerce cada gas. Solución: a) 0,22, 0,33, 0,44; b) 0,12 atm, 0,18 atm, 0,24 atm
8. Un globo contiene 14,4 gramos de aire, de los cuales el 22,2% es oxígeno y el 77,8 % es nitrógeno. Si la presión en el interior del globo es de 2 atm y se encuentra a 20 ºC de temperatura, determinar: a) Presión parcial de cada gas. b) El volumen del globo.
Solución: a) 0,4 atm; 1,6 atm; b) 6 L
9. Un recipiente de 100 L de volumen contiene 16 g de oxígeno a 150 ºC. Determinar los gramos de N2 que habrá que introducir para que la presión total de la mezcla sea de 0,5 atm. Solución: 26,36 g
10. Determinar la composición centesimal de: a) Sulfato de hierro (III) b) Carbonato de amonio
Solución: a) 27,9 % de Fe, 24,0 de S %, 48,0 % de O; b) 29,2 % de N, 8,3 % de H, 12,5 % de C; 50,0 % de O
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11. Determinar las fórmulas empíricas y moleculares de los siguientes compuestos: a) 32,4 % de Na, 22,5 % de S; 45,1 % de O (Mm = 142 u). b) 40 % de C; 6,7 % de H; 53,3 % de O (Mm = 180 u). Solución: a) Na2SO4; b) CH2O; C6H12O6
12. Un recipiente de 5 L de volumen contiene 15,2 g de una sustancia en estado gaseoso a 20 ºC y 730 mm de Hg. Dicha sustancia contiene un 47,4 % de C, un 10,5 % de H y un 42,1 % de O. Determinar: a) Su masa molecular. b) Su fórmula molecular. Solución: a) 76 u; b) C3H8O2
13. Se disuelven 12 g de hidróxido de calcio en 200 g de agua. La densidad de la disolución resultante es de 1,05 g/mL. Calcular. a) El porcentaje en masa de soluto. b) La fracción molar de soluto c) La molaridad. d) La molalidad.
Solución: a) 5,66 %; b) 0,0146; c) 0,803 M; d) 0,811 mol/kg
14. Una disolución de ácido nítrico concentrado es del 70 % en masa y tiene una densidad de 1,42 g/mL. Calcular: a) La fracción molar de soluto. b) La molaridad de la disolución. Solución: 0,41; 15,7 M
15. Para la alimentación de un enfermo por vía parenteral se desean preparar 5 L de disolución de glucosa (C6H12O6) 0,25 M. a) ¿Cuántos gramos de glucosa habrá que disolver? b) Si previamente se cuenta con una disolución 2 M de glucosa, ¿cuántos mililitros de
dicha disolución se necesitarán? Solución: a) 22,5 g; b) 625 mL
16. Una disolución de amoniaco comercial tiene una concentración de 50 g/L. Calcular: a) Molaridad del amoniaco comercial. b) Volumen de amoniaco comercial que se necesita para preparar 1 L de disolución de
amoniaco 1 M. Solución: a) 2,94 M; b) 0,34 L
17. En un laboratorio se dispone de una disolución de ácido sulfúrico al 27 % en masa cuya
densidad es de 1,19 g/mL. Determinar: a) Molaridad de dicha disolución. b) Si se mezclan 10 mL de dicha disolución con 200 mL de agua ¿Cuál será la molaridad
de la disolución resultante? Solución: a) 3,28 M; b) 0,156 M
18. Una disolución de ácido clorhídrico comercial contiene un 37 % en masa de ácido clorhí-
drico, con una densidad de 1,24 g/mL. Calcular: a) La molaridad del ácido clorhídrico comercial. b) ¿Qué cantidad de agua se debe añadir a 20 mL de este ácido para que la disolución
resultante sea 1 M? Solución: a) 12,6 M; b) 232 mL
18
19. El 1,2-etanodiol (C2H6O2) es un compuesto que se utiliza como anticongelante. Si se aña-den 200 g de este compuesto a 1 L de agua, calcular: a) La temperatura a la que se congelará la disolución. b) Su punto de ebullición.
Solución: a) -6,01 ºC; b) 101,68 ºC
20. Calcular la masa de cloruro de sodio que habrá que añadir a 10 litros de agua para que su temperatura de congelación descienda hasta -10 ºC.
Solución: 1,56 kg 21. La presión osmótica de la sangre a 37 ºC es de 7,65 atm. Calcular la masa de glucosa
(C6H12O6) que debe contener un litro de líquido inyectable para tener la misma presión osmótica que la sangre.
Solución: 54,6 g
22. Una disolución que contiene 2,5 g de una proteína en 100 mL de disolución ejerce una presión osmótica de 13,5 mm Hg a 25 ºC. Calcula la masa molecular de dicha proteína. Solución: 3,44·104 u
23. El magnesio tiene número atómico 12 y posee tres isótopos con 12, 13 y 14 neutrones
cuyas abundancias son del 78,7 % y el 10,1 % y 11,2 % respectivamente. Escribir la nota-ción de dichos isótopos y determinar la masa atómica del magnesio. Solución: 24,325 u
24. El espectro de masas del galio muestra la existencia de dos isótopos cuyas masas son 69 u y 71 u. Sabiendo que la masa atómica del galio es 69,728 u, determinar las abundancias de dichos isótopos en la naturaleza. Solución: 63,6 % y 36,4 %
19
TEMA 2. REACCIONES QUÍMICAS
1. Concepto de reacción química. Ecuaciones químicas
Una reacción química es un proceso mediante el cual una o más sustancias denominadas reactivos se transforman en otras sustancias distintas denominadas productos. Toda reacción química supone una reorganización de los átomos al romperse los enlaces presentes en los reactivos y formarse nuevos enlaces en los productos.
Las reacciones químicas se representan esquemáticamente mediante ecuaciones químicas. A la izquierda se escriben las fórmulas de los reactivos y a la derecha las de los productos, separando ambos miembros mediante una flecha. Una ecuación ajustada es aquella en la que el número de átomos de cada elemento es el mismo en los reactivos que en los productos; para ello hay que introducir unos coeficientes numéricos delante de cada fórmula que multiplican el número de átomos.
Ejemplo: Escribir y ajustar la ecuación de formación del H2O a partir de H2 y O2.
Ecuación sin ajustar: H2 + O2 H2O
Ecuación ajustada: 2H2 + O2 2H2O
Si la ecuación no se ajusta fácilmente por tanteo, se introducen unos coeficientes a, b, c… delante de cada reactivo y producto y se plantean una ecuación por cada uno de los elementos presentes, igualando en cada caso los átomos de reactivos a los de los productos. Para resolver el sistema se da un valor numérico sencillo a una de las incógnitas; si los resultados son fraccionarios, se multiplican por el m.c.m. de los denominadores.
Ejemplo: Ajustar la ecuación: NH3 + O2 NO + H2O
aNH3 + bO2 cNO + dH2O
N: a = c Si a = 1 c = 1
H: 3a = 2d 2d = 3 d = 3/2
O: 2b = c + d 2b = 1 + 3/2 = 5/2 b = 5/4 Multiplicando por 4: a = 4; b = 5; c = 4; d = 6
4NH3 + 5O2 4NO + 6H2O
2. Tipos de reacciones químicas
Los principales tipos de reacciones químicas son:
a) Reacciones de formación: dos o más reactivos dan lugar a un producto.
A + B C
Ej.: N2 + 3H2 2NH3
SO3 + H2O H2SO4 * Óxido no metálico + H2O Oxoácido
b) Reacciones de descomposición: un reactivo da lugar a dos o más productos.
A B + C
Ej.: 2H2O 2H2 + O2
Ca(OH)2 CaO + H2O * Hidróxido Óxido + H2O
Reactivos Productos
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c) Reacciones de desplazamiento: un átomo o grupo de átomos de un reactivo desplaza a otro átomo o grupo de átomos del otro reactivo.
AB + C CB + A
Ej.: CuSO4 + Zn ZnSO4 + Cu
6HCl + 2Al 2AlCl3 + 3H2 * Ácido + metal sal + H2
d) Reacciones de doble desplazamiento: dos átomos o grupos de átomos se desplazan mutuamente en ambos reactivos.
AB + CD CB + AD
Ej.: AgNO3 + NaCl AgCl + NaNO3
H2SO4 + 2KOH K2SO4 + 2H2O * Ácido + hidróxido sal + H2O
Na2CO3 + HCl NaCl + H2O + CO2 * Ácido + carbonato sal + H2O + CO2
e) Reacciones de oxidación o combustión: un elemento o un compuesto reacciona con O2 dando lugar a distintos óxidos y liberando gran cantidad de energía en forma de calor.
Ej.: 4Fe + 3O2 2Fe2O3
C2H6O + 3O2 2CO2 + 3H2O * Compuesto orgánico + O2 CO2 + H2O
3. Cálculos estequiométricos
La estequiometría es la parte de la química que se ocupa de las relaciones cuantitativas entre los reactivos y productos que intervienen en una reacción química.
Una ecuación ajustada puede interpretarse de forma molecular o de forma molar.
Ejemplo: 2H2 + O2 2H2O:
Interpretación molecular:
“2 moléculas de H2 reaccionan con 1 molécula de O2 dando lugar a 2 moléculas de H2O”
Interpretación molar:
“2 moles de H2 reaccionan con 1 mol de O2 dando lugar a 2 moles de H2O”
A partir de la interpretación molar, conociendo la masa o el volumen de un reactivo o producto, pueden calcularse las masas y/o volúmenes del resto de los reactivos o productos, utilizando factores de conversión.
Masa o volumen de A moles de A moles de B Masa o volumen de B
3.1. Cálculos con masas
Una vez ajustada la ecuación (aA + ... bB + ... ), hay que seguir los siguientes pasos:
1º. Pasar a moles el dato dado en el problema (A), teniendo en cuenta la masa molecular (MM) de la sustancia correspondiente.
gramos de A·Ag)(M
Amol1
M
2º. Pasar los moles del dato (A) a moles de la sustancia incógnita (B), teniendo en cuenta la ecuación ajustada.
moles de A·Amola
Bmolb
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3º. Pasar los moles de la incógnita (B) a gramos, teniendo en cuenta la masa molecular (MM) de dicha sustancia.
moles de B·Bmol1
Bg)(MM
gramos de A·Ag)(M
Amol1
M
·Amola
Bmolb·
Bmol1
Bg)(MM = gramos de B
Ejemplo: Disponemos de 10 gramos de H2 para formar H2O. Calcular: a) ¿cuántos gramos de O2 se necesitarán?; b) ¿cuántos gramos de agua se formarán?
2H2 + O2 2H2O
a) 10 g H2·2
2
Hg2
Hmol1·
2
2
Hmol2
Omol1·
2
2
Omol1
Og32= 80 g O2
b) 10 g H2·2
2
Hg2
Hmol1·
2
2
Hmol2
OHmol2·
OHmol1
OHg18
2
2 = 90 g H2O
3.2. Cálculos con volúmenes de gases
Se sigue el mismo procedimiento que en los cálculos con masas, aplicando los siguientes cambios.
Para efectuar el primer paso, si el dato del problema es el volumen de un gas, para pasarlo a moles, si el gas se encuentra en condiciones normales se tiene en cuenta el volumen molar de un gas (1 mol = 22,4 L), y de lo contrario, se aplica la ecuación de los gases ideales.
En condiciones normales: litros de A·AL4,22
Amol1
En condiciones no normales: n =T·R
V·p
Para efectuar el último paso, si la incógnita del problema es el volumen de un gas, para pasar los moles a litros, si el gas se encuentra en condiciones normales se tiene en cuenta el volumen molar de un gas (1 mol = 22,4 L), y de lo contrario, se aplica la ecuación de los gases ideales.
En condiciones normales: moles de B·Bmol1
BL4,22
En condiciones no normales: V =p
T·R·n
Ejemplo: Se realiza la combustión de 10 litros de CH4 en c.n. Calcular: a) ¿cuántos litros de O2 se necesitarán?; b) ¿cuántos gramos de agua se formarán?
CH4 + 2O2 CO2 + 2H2O
a) 10 L CH4·4
4
CHL4,22
CHmol1·
4
2
CHmol1
Omol2·
2
2
Omol1
OL4,22= 20 L O2
b) 10 L CH4·4
4
CHL4,22
CHmol1·
4
2
CHmol1
OHmol2·
OHmol1
OHg18
2
2 = 16,4 g H2O
22
Ejemplo: Se realiza la oxidación de 85 g de NH3 a 150 ºC y 700 mm Hg, produciéndose NO y vapor de agua. Calcular cuántos litros de O2 se necesitarán.
4NH3 + 5O2 4NO + 6H2O
85 g NH3·3
3
NHg17
NHmol1·
3
2
NHmol4
Omol5= 6,25 mol O2; V =
760700
·4236,25·0,082
p
n·R·T = 235,6 L
3.3. Cálculos con volúmenes de disoluciones
Se sigue el mismo procedimiento que en los casos anteriores, aplicando los siguientes cambios.
a) Si se conoce la molaridad:
- Para efectuar el primer paso, si el dato del problema es el volumen de una disolución, para hallar los moles de soluto, se despeja n en la fórmula de la molaridad:
M =V
n n = M·V
- Para efectuar el último paso, si la incógnita del problema es el volumen de una disolución, para pasar los litros a moles se despeja V en la fórmula de la molaridad: M =
V
n V =
M
n
b) Si se conoce la densidad y el % :
- Para efectuar el primer paso, si el dato del problema es el volumen de una disolución, se calculan los gramos de disolución (a partir de d) y los gramos de soluto (aplicando el %) y se procede como en los cálculos con masas:
d =V
m mD = d·V; mS = mD·
100
%
- Para efectuar el último paso, si la incógnita del problema es el volumen de una disolución, se procede como en los cálculos con masas para hallar los gramos de soluto y luego se calculan los gramos de disolución (aplicando el porcentaje) y el volumen (a partir de la densidad).
mD = mS·%
100; d =
V
m V =
d
mD
Ejemplo: Se hacen reaccionar una muestra de aluminio con 100 mL de HCl 0,5 M. Calcular: a) ¿cuántos gramos de Al reaccionan?; b) ¿cuántos litros de H2 en c.n. se forman?
2Al + 6HCl 2AlCl3 + 3H2
a) n = M·V = 0,5·0,1 = 0,05 mol HCl
0,05 mol HCl·HClmol6
Almol2 ·Almol1
Alg27 = 0,45 g Al
b) 0,05 mol HCl·HClmol6
Hmol3 2 ·2
2
Hmol1
HL4,22= 0,56 L H2
Ejemplo: Se hacen reaccionar 7,4 g de Ca(OH)2 con HNO3 del 70 % de riqueza y 1,4 g/cm3 de densidad. Calcular cuantos cm3 de HNO3 se necesitarán para la completa neutralización.
Ca(OH)2 + 2HNO3 Ca(NO3)2 + 2H2O
23
7,4 g Ca(OH)2·2
2
)OH(Cag74
)OH(Camol1·
2
3
)OH(Camol1
HNOmol2·
3
3
HNOmol1
HNOg63= 12,6 g HNO3
mD = 12,6·70
100= 18 g de disolución; V =
d
mD = 4,1
1812,9 cm3 de disolución
3.4. Pureza de un reactivo. Rendimiento de una reacción
La pureza de un reactivo expresa los gramos de dicho reactivo puro que están presentes en 100 g de muestra. Cuando se aplica a gases suele referirse a porcentaje en volumen.
% (en masa) = masa de reactivo
masa de muestra·100 % (en volumen) =
volumen de reactivo
volumen de muestra·100
Cuando la muestra de reactivo no se encuentra pura hay que aplicar previamente este por-centaje para calcular la masa de reactivo y poder determinar los moles de éste. Si la masa de muestra es la incógnita, se determina la masa de reactivo y luego se despeja la masa de muestra.
Ejemplo: Se quema una muestra de 500 g de carbón de una pureza del 84 %. Calcular: a) litros de CO2 en c.n. que se desprenderán; b) ¿cuántos litros de aire (21% de O2) se necesi-tarán?
C + O2 CO2
a) mC =100
84·500 = 420 g de C;
420 g C·Cg12
Cmol1·
Cmol1
COmol1 2 ·2
2
COmol1
COL4,22= 784 L CO2
b) 420 g C·Cg12
Cmol1·1 mol O2
1 mol C·
22,4 L
1 mol O2= 784 L O2
Vaire = 100 L aire
21 L O2·784 = 3733 L de aire
El rendimiento de una reacción expresa los gramos obtenidos de un producto por cada 100 g teóricamente posibles.
Rendimiento = teóricamasa
obtenidamasa ·100
Cuando el rendimiento de una reacción no es del 100 %, una vez hallados los gramos de producto que se obtienen teóricamente, hay que aplicar este porcentaje para calcular los gramos de producto que se obtienen en realidad. Si tenemos el dato del producto obtenido, se despeja del rendimiento la masa teórica para hacer después los cálculos correspondien-tes.
Ejemplo: La descomposición del CH4 tiene un rendimiento del 70 %. Calcular: a) gramos de H2 que se formarán a partir de 80 g de CH4; b) gramos de CH4 que habrá que descomponer para obtener 35 g de H2.
a) 80 g CH4· ·CHg16
CHmol1
4
4 ·4
2
CHmol1
Hmol2·
2
2
Hmol1
Hg2= 20 g H2 (teóricos)
24
mobtenida = 20.100
70 = 14 g de H2 (obtenidos)
b) mteórica = 35.70
100 = 50 g de H2 (teóricos)
50 g H2· ·Hg2
Hmol1
2
2 ·2
4
Hmol2
CHmol1·
4
4
CHmol1
CHg16= 200 g CH4
3.5. Cálculos con reactivo limitante
Cuando en una reacción química conocemos las cantidades disponibles de ambos reactivos, hay que determinar cuál es el reactivo que se consume totalmente (reactivo limitante) y cuál es el que se encuentra en exceso. Para ello se siguen los siguientes pasos:
1º. Se determina el número de moles que tenemos de ambos reactivos.
2º. Se calculan los moles del otro reactivo que reaccionan con dicha cantidad, teniendo en cuenta la ecuación ajustada.
3º. Se comparan los moles que tenemos de cada reactivo con los que tienen que reaccionar del mismo: si el número de moles que tenemos es mayor que el que reacciona, se trata del reactivo en exceso (sobra una cantidad de éste), y si el número de moles que hay es menor que el que tendría que reaccionar, se trata del reactivo limitante (limita la reacción, impidiendo que el otro reactivo reaccione por completo).
4º. Para calcular la cantidad de producto que se forma, se parte de la cantidad que tenemos de reactivo limitante.
Ejemplo: Disponemos de 40 g de O2 y 10 g de H2 para formar H2O. Calcular: a) gramos que sobran del reactivo en exceso; b) gramos de H2O que se forman.
2H2 + O2 2H2O
a) 40 g O2·2
2
Og32
Omol1= 1,25 mol O2 (tenemos)·
2
2
Omol1
Hmol2= 2,5 mol H2 (reaccionan)
10 g H2·2
2
Hg2
Hmol1= 5 mol H2 (tenemos)·
2
2
Hmol2
Omol1= 2,5 mol O2
Reactivo en exceso: H2 (5 2,5)
Reactivo limitante: O2 (1,25 2,5)
Sobran: 5 - 2,5 = 2,5 mol H2·2
2
Hmol1
Hg2= 5 g de H2 sobran
b) 1,25 mol O2
2
2
Omol1
OHmol2·
OHmol1
OHg18
2
2 = 45 g H2O
4. Química industrial
La industria química tiene como objetivo la transformación de las materias primas en otras sustancias de utilidad práctica sometiéndolas a diversos procesos químicos. Las principa-les características de la química industrial son:
- Uso de grandes cantidades de materias primas que requieren procesos distintos de los utilizados en el laboratorio.
- Necesidad de minimizar costes aprovechando los subproductos y la energía producida en las reacciones exotérmicas en otros procesos.
25
- Uso de catalizadores que aceleran las reacciones para ahorrar tiempo.
- Condiciones extremas de presión y temperatura para maximizar los rendimientos.
- Tratamiento de los residuos para evitar el deterioro medioambiental, reciclándolos siempre que sea posible.
Algunos procesos industriales de interés son:
a) Producción de amoniaco: el NH3 es un producto industrial básico de gran importan-cia, especialmente para la fabricación de fertilizantes (como el sulfato de amonio). Se produce industrialmente a partir de N2 (obtenido por destilación del aire) y H2 (obtenido por descomposición electrolítica del H2O o a partir de hidrocarburos ligeros).
N2 + 3H2 2NH3
Al tratarse de una reacción reversible, se alcanza un equilibrio entre reactivos y pro-ductos y para obtener un rendimiento adecuado la reacción debe producirse a presio-nes de más de 200 atm, utilizando catalizadores y altas temperaturas para acelerarla.
b) Producción de ácido sulfúrico: el H2SO4 es un ácido muy corrosivo con numerosas aplicaciones industriales: fabricación de fertilizantes, industria papelera, metalurgia, etc. Se obtiene a partir del azufre, mediante oxidación e hidratación en presencia de catalizadores.
S + O2 → SO2
SO2 + ½O2 → SO3
SO3 + H2O → H2SO4
c) Siderurgia: comprende el conjunto de técnicas de tratamiento de los minerales de hie-rro para obtener hierro y sus distintas aleaciones. Tiene lugar en los altos hornos, utili-zando óxido de hierro (III) como materia prima y carbón prácticamente libre de impure-zas (coque) como combustible. La combustión incompleta del coque produce monó-xido de carbono que se hace reaccionar con el óxido de hierro.
Fe2O3 + 3CO → 2Fe + 3CO2
El hierro obtenido en los altos hornos es de baja calidad, con impurezas de distintos no metales (C, S, P y Si). Por ello se somete a procesos de purificación, dejando solo pequeñas cantidades de carbono. Según el porcentaje de carbono, se obtienen dos tipos de productos:
- Aceros, con menos del 2 % de C. Son dúctiles, maleables y muy duros. Para do-tarles de características especiales, se le añaden distintos metales: Cr, Ni, Mn, etc. Se utilizan en la fabricación de vehículos, útiles de cocina, etc.
- Fundiciones, con un contenido en C entre el 2 y el 7 %. Son más blandos que los aceros y no pueden laminarse pero pueden mecanizarse, por lo que se utilizan para la fabricación de vigas, estufas, etc. Las piezas de fundición se fabrican a tempera-turas más bajas que las de acero, por lo que son más económicas.
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EJERCICIOS
1. Formular los reactivos y productos y ajustar por tanteo las siguientes reacciones químicas.
a) Aluminio + cloro cloruro de aluminio
b) Peróxido de hidrógeno agua + oxígeno
c) Metano + oxígeno dióxido de carbono + agua
d) Hipoclorito de sodio + ácido clorhídrico cloro + cloruro de sodio + agua
2. Formular los reactivos y productos y ajustar mediante un sistema de ecuaciones las si-guientes reacciones químicas.
a) Nitrito de amonio nitrógeno + vapor de agua
b) Disulfuro de hierro + oxígeno dióxido de azufre + óxido de hierro(III)
c) Hidracina (N2H4) + peróxido de hidrógeno nitrógeno molecular + agua
d) Dióxido de manganeso + ácido clorhídrico cloruro de manganeso(II) + cloro + agua
3. Formular, completar y ajustar las siguientes reacciones químicas: a) Formación de ácido perclórico. b) Descomposición del hidróxido de sodio c) Reacción del ácido nítrico con cinc metálico. d) Combustión del propano (C3H8). e) Neutralización del ácido clorhídrico con hidróxido de calcio. f) Reacción del aluminio con sulfato de cobre(II) (desplazamiento). g) Reacción del carbonato de calcio con ácido clorhídrico. h) Combustión de la glucosa (C6H12O6)
4. Al hacer reaccionar aluminio con yodo se obtiene yoduro de aluminio. Si partimos de 25 g de yodo: a) ¿Cuántos gramos de aluminio se necesitarán? b) ¿Cuántos gramos de yoduro de aluminio se formarán? Solución: a) 1,77 g; b) 26,77 g
5. Se tratan 15 g de yoduro de potasio con nitrato de plomo(II) en exceso: a) ¿Cuántos gramos de yoduro de plomo(II) se formarán? b) ¿Cuántos gramos de nitrato de plomo(II) reaccionarán? Solución: a) 20,83 g; b) 14,95 g
6. Determinar los gramos de cada reactivo que serán necesarios para obtener 20 g de cloruro de calcio mediante neutralización de hidróxido de calcio con ácido clorhídrico. Solución: 13,33 g; 13,15 g
7. Se realiza la combustión de 10 L de propano en condiciones normales. Calcular: a) Litros de oxígeno en las mismas condiciones que se consumen. b) Gramos de agua que se forman. Solución: a) 50 L; b) 32,14
8. Al calentar 23 g de clorato de potasio, tiene lugar su descomposición en cloruro de potasio y oxígeno. Calcular: a) Gramos de cloruro de potasio que se forman. b) Volumen de oxígeno en condiciones normales que se obtiene. Solución: a) 13,99 g; b) 6,31 L
9. Se quieren obtener 30 g de amoníaco combinando nitrógeno e hidrógeno gaseosos a 25
ºC y 725 mm de Hg. ¿Cuántos litros de cada gas se necesitarán? Solución: 22,54 L; 67,62 L
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10. Se realiza la combustión de 123,4 L de butano a 20 ºC y 740 mm de Hg. Calcular: a) Litros de oxígeno consumidos. b) Litros de dióxido de carbono obtenidos. Solución: a) 802 L; b) 493,5 L
11. Se quieren neutralizar 75 mL de una disolución de ácido clorhídrico 0,5 M con hidróxido de calcio.
a) ¿Cuántos gramos de hidróxido de calcio se necesitarán? b) ¿Cuántos gramos de cloruro de calcio se formarán? Solución: a) 1,39 g; b) 2,08 g
12. Se hacen reaccionar 4,8 g de magnesio con una disolución de ácido perclórico 0,25 M.
Determinar: a) Volumen de disolución de ácido perclórico que reacciona. b) Volumen de hidrógeno en condiciones normales que se desprenderá. Solución: a) 1,58 L; b) 4,42 L
13. Se mezclan 30 gramos de carbonato de potasio con una disolución de ácido nítrico
0,2 M. Calcular: a) Gramos que se forman de nitrato de potasio. b) Volumen de disolución de ácido nítrico que reacciona. c) Litros de dióxido de carbono que se forman a 720 mm de Hg y 15 ºC. Solución: a) 43,9 g; b) 2,17 L; c) 5,42 L
14. Se hacen reaccionar 250 mL de una disolución de sulfato de cobre(II) al 15 % en masa y
de densidad 1,05 g/mL con hierro en exceso. Calcular: a) Gramos que se forman de sulfato de hierro(II). b) Gramos de hierro que reaccionan. Solución: a) 37,5 g; b) 13,8 g
15. Se hacen reaccionar 4 g de hidróxido de sodio con una disolución de ácido sulfúrico del 90 % en masa y densidad 1,63 g/mL
a) ¿Cuántos mililitros de disolución son necesarios para dicha reacción? b) ¿Cuántos gramos de sulfato de sodio se forman? Solución: a) 3,33 mL; b) 7,1 g
16. La tostación de la pirita (FeS2) se produce en presencia de oxígeno, dando como produc-tos el óxido de hierro(III) y el dióxido de azufre.
a) ¿Cuántos kilogramos de óxido de hierro(III) se obtienen al tratar media tonelada de una pirita del 80% de riqueza en FeS2?.
b) ¿Que volumen de aire medido en C.N. (273 K y 1 atm) se necesita para tostar dicha cantidad de pirita sabiendo que el aire contiene un 21 % en volumen de O2?
Solución: b) 266,6 kg; c) 9,7·105 L
17. El ácido clorhídrico se obtiene industrialmente calentando cloruro de sodio con ácido sul-fúrico concentrado.
a) ¿Cuántos gramos de ácido sulfúrico concentrado al 90 % en masa se necesitarán para producir 1 kg de ácido clorhídrico concentrado al 35 % en masa?
b) ¿Cuántos gramos de cloruro de sodio se emplean por cada kg de sulfato de sodio obtenido?
Solución: a) 522 g; b) 824 g
28
18. Una muestra de 15 g de calcita, que contiene un 98% en peso de carbonato de calcio puro, se hace reaccionar con ácido sulfúrico del 96% y densidad 1,84 g·cm–3, formándose sulfato de calcio y desprendiéndose dióxido de carbono y agua.
a) Formular y ajustar la reacción que ocurre. b) ¿Qué volumen de disolución de ácido sulfúrico será necesario para que reaccione to-
talmente la muestra de calcita? c) ¿Cuántos litros de CO2 se desprenderán, medidos a 1 atm y 25 ºC? d) ¿Cuántos gramos de sulfato de calcio se producirán en la reacción? Solución: b) 8,16 cm3; c) 3,59 L; d) 20 g
19. Un lote de sulfato de aluminio se contamina durante su manipulación, siendo necesario determinar su pureza. Se analiza una muestra de 1 g por reacción completa con cloruro de bario, obteniéndose 2 g de sulfato de bario.
a) Calcular los gramos de cloruro de bario que reaccionan. b) Determinar la pureza de la muestra inicial de sulfato de aluminio. Solución: a) 1,78 g; b) 98 %
20. La combustión del sulfuro de cinc produce óxido de cinc y dióxido de azufre. A partir de 8,5 kg de sulfuro de cinc del 90% de pureza: a) ¿Con qué volumen de oxígeno a 700 mm de Hg y 25ºC reaccionará? b) ¿Cuántos kg se obtendrán de cada producto si el rendimiento es del 80%? Solución: a) 3126 L; b) 5,11 kg, 4,02 kg
21. La síntesis de amoníaco a partir de nitrógeno e hidrógeno tiene un rendimiento del 60 %. Calcular: a) Masa de amoníaco que se puede obtener a partir de 50 L de nitrógeno en c.n. b) Si se desean obtener 75 g de amoníaco ¿Cuántos litros de nitrógeno en condiciones
normales se necesitarán? Solución: a) 45,5 g; b) 82,4 L
22. A 1 litro de disolución de HCl 0,2 M se le añaden 14,8 g de hidróxido de calcio. Calcular: a) Los moles que sobran del reactivo que está en exceso b) Los gramos de cloruro de calcio que se obtienen Solución: a) 0,1mol; b) 11,1 g
23. Se mezclan 10 kg de etano y 30 kg de oxígeno. a) Kilogramos que sobran del reactivo en exceso. b) Volumen de dióxido de carbono a 150 ºC y 1 atm que se forma. Solución: a) 1,96 kg; b) 18582 L
24. La oxidación del amoníaco da lugar a monóxido de nitrógeno y agua. Si se mezclan 5 g de amoníaco con 5 g de oxígeno: a) ¿Cuántos gramos sobrarán del reactivo que está en exceso? b) ¿Cuántos litros de monóxido de nitrógeno en condiciones normales se formarán? Solución: a) 2,87 g; b) 2,79 L
25. Se hacen reaccionar 100 mL de disolución 1,5 M de ácido sulfúrico con 7 g de hidróxido de amonio. Determinar: a) Moles que sobran del reactivo en exceso. b) Gramos de sulfato de amonio que se forman. Solución: a) 0,05 mol; b) 13,2 g
26. Determinar el volumen de hidrógeno gaseoso, medido a 20ºC y 745 mm de Hg, que se
obtendrá al tratar 3 g de aluminio con 40 mL de disolución 1,5 M de ácido sulfúrico. Solución: 1,47 L
29
27. La reacción de carbonato de calcio con ácido clorhídrico produce cloruro de calcio, dióxido
de carbono y agua. Si se hacen reaccionar 100 g de piedra caliza, que contiene un 60 % de carbonato de calcio, con 200 mL de disolución de ácido clorhídrico 5 M: a) ¿Qué cantidad sobrará del reactivo que está en exceso? b) ¿Cuántos litros de dióxido de carbono en condiciones normales se obtendrán? Solución: a) 10 g; b) 11,2 L
28. Uno de los métodos más usuales para obtener el hidrógeno necesario para la fabricación de amoniaco consiste en la reacción del metano con vapor de agua, dando lugar a hidró-geno y dióxido de carbono. Calcular: a) Litros de metano necesarios para obtener 500 litros de hidrógeno en condiciones nor-
males, si el rendimiento del proceso es del 65 %. b) Gramos de amoniaco que se podrán obtener a partir de dicha cantidad de hidrógeno,
con un rendimiento del 60 % para la fabricación de amoniaco. Solución: a) 192 L; b) 152 g
29. En una industria química se producen diariamente 100 toneladas de ácido sulfúrico. Cal-cular: a) Toneladas de mineral de azufre del 80 % de riqueza que habrá que utilizar para fabri-
car la cantidad de ácido sulfúrico requerida. b) Toneladas de agua que se consumen en el proceso. Solución: a) 40,8 Tm; b) 18,4 Tm
30. La pirita es un mineral formado principalmente por disulfuro de hierro que, al oxidarse da lugar a óxido de hierro (III) y dióxido de azufre. Si el proceso tiene un rendimiento del 85 % y se parte de 500 kg de pirita del 90 % de riqueza, calcular: a) Kilogramos de óxido de hierro (III) que se obtendrán. b) Kilogramos de acero con un 75 % de hierro que se podrán obtener al hacer reaccionar
el óxido de hierro (III) con monóxido de carbono, suponiendo un rendimiento del pro-ceso del 60 %.
Solución: a) 255 kg; b) 142,8 kg
30
TEMA 3. TERMOQUÍMICA
1. Concepto de entalpía. Ley de Hess
La Termoquímica es la parte de la química que estudia los cambios energéticos en las reacciones químicas.
1.1. Entalpía. Ecuaciones termoquímicas
Las reacciones químicas siempre van acompañadas de una variación de energía, gene-ralmente en forma de calor. La entalpía (H) es una magnitud que mide el contenido ener-gético de los reactivos y los productos. La mayoría de las reacciones tienen lugar a presión constante y, en estas condiciones, el calor intercambiado en una reacción coincide con la variación de entalpía (ΔH). Esta variación de entalpía puede ser positiva o negativa. Se-gún esto las reacciones pueden ser:
Exotérmicas, cuando la entalpía de los reactivos es superior al de los productos (va-
riación de entalpía negativa, H 0). Conllevan desprendimiento de calor.
Endotérmicas, cuando la entalpía de los reactivos es inferior al de los productos (va-
riación de entalpía positiva, H0). Conllevan absorción de calor.
Una ecuación termoquímica es aquella en la que figura, además de los reactivos y pro-ductos, la variación de entalpía. A partir de ella se pueden realizar cálculos energéticos partiendo de una cantidad de sustancia dada. Por ejemplo:
H2O H2 + 2
1O2 H = 286 kJ
CH4 + 2O2 CO2 + 2 H2O H = - 890 kJ
Ejemplo: Sabiendo que el calor desprendido en la combustión de un mol de metano es 890 kJ, determinar:
a) El calor que se desprenderá en la combustión de 5 L de metano en condiciones nor-males.
b) Los litros de oxígeno en condiciones normales que se consumirán si se producen 2000 kJ.
a) CH4(g) + 2O2(g) CO2(g) + 2H2O(l) H = -890 kJ
5 L CH4· kJ7,198CHmol1
kJ890·
L4,22
CHmol1
4
4
H 0
H reactivos
productos
H0
H
reactivos
productos
31
b) -2000 kJ·2
2
Omol1
L22,4·
kJ890-
Omol2 = 100,7 L
1.2. Ley de Hess
Según la ley de Hess, "si una reacción puede expresarse como suma de otras reacciones parciales, su entalpía de reacción puede expresarse como suma de las entalpías de reac-ción de dichas reacciones parciales". Esta ley se cumple debido a que la entalpía es una función de estado, es decir, depende sólo de los estados inicial y final del sistema y no del proceso seguido.
Es decir, si una reacción (1) = (2) + (3) +... H1 = H2 + H3 + ...
Antes de sumar las reacciones parciales, se puede multiplicar cada una de ellas por el coeficiente adecuado para obtener la reacción deseada, teniendo en cuenta que la entalpía correspondiente también queda multiplicada por el mismo número.
Ejemplo: Determinar la entalpía de la reacción C + ½ O2 CO
Datos: C + O2 CO2 H1 = -393 kJ/mol
CO + ½ O2 CO2 H2 = -283 kJ/mol
C + O2 CO2 H1
(CO + ½ O2 CO2 H2 ) x (-1)
C + ½ O2 CO H3 = H1 + (-H2) = -393 + 283 = -110 kJ/mol
1.3. Entalpías de formación
La entalpía de formación de un compuesto, Hf, es la variación de entalpía que se produce en la formación de un mol de dicho compuesto a partir de los elementos que lo componen en sus formas más estables.
Por ejemplo, para la reacción: H2 + ½ O2 H2O H = -286 kJ;
luego la entalpía de formación del agua es -286 kJ/mol (Hf (H2O) = -286 kJ/mol).
Aplicando la definición, la entalpía de formación de cualquier elemento en su forma más
estable es cero. Por ejemplo, Hfo (H2 (g)) = 0, ya que la reacción correspondiente a la
formación del H2 (g) es: H2 (g) H2 (g).
Por aplicación de la ley de Hess, se puede calcular la entalpía de cualquier reacción por combinación de las entalpías de formación de sus reactivos y productos.
( Elementos Reactivos ΣHfo (reactivos)) x (-1)
Elementos Productos ΣHfo (productos)
Reactivos Productos Ho
Ho = ΣHfo (productos) - ΣHf
o (reactivos)
Para la reacción: aA +bB cC + dD, Ho = cHfo(C) + dHf
o(D) - (aHfo(A) + bHf
o(B))
Existen tablas en las que se dan los valores de las entalpías de formación de los compues-tos más usuales.
Ejemplo: Sabiendo que las entalpías de formación del etano, el agua líquida y el dióxido de carbono son respectivamente -85, -286 y -393 kJ/mol, determinar la entalpía de com-bustión del etano.
Combustión del etano: C2H6 + 2
7O2 2CO2 + 3H2O
32
Por aplicación de la ley de Hess: (2C + 3H2 C2H6 Hf (C2H6)) · (-1)
(C+ O2 CO2 Hf (CO2)) · 2
(H2 + ½ O2 H2O Hf (H2O)) · 3
C2H6 + 2
7O2 2CO2 + 3H2O
H = 2·Hf(CO2) + 3·Hf(H2O) - Hf(CH4) = 2·(-393)+ 3·(-286) -(-85) = -1559 kJ/mol
1.4. Entalpías de enlace
La entalpía de un enlace es la variación de entalpía que se produce en la ruptura de un mol de dichos enlaces en estado gaseoso. Como se trata de un proceso endotérmico, las en-talpías de enlace son siempre positivas.
Por ejemplo, para la reacción: H2(g) 2H(g), H = 436 kJ → H (H-H) = 436 kJ/mol.
Por aplicación de la ley de Hess, se puede calcular la entalpía de cualquier reacción por combinación de las entalpías de los enlaces que se rompen en sus reactivos y los que se forman en sus productos.
Ho = ΣHenlaces rotos - ΣHenlaces formados
Cuando los enlaces que se rompen son más fuertes que los que se forman (Henlaces rotos
Henlaces formados), la reacción es endotérmica (H0); cuando los enlaces que se forman son
más fuertes que los que se rompen (Henlaces rotos Henlaces formados), la reacción es exotér-
mica (H 0).
Ejemplo: Calcular la entalpía de la reacción 2H2 + O2 2 H2O
Entalpías de enlace (kJ/mol): HH = 436; O=O = 494; O‒H = 460
2 H H + O = O 2 H O H
Ho = 2·H (H-H) + H (O=O) - 4·H (O-H) = 2· 436 +494 - 4·460 = -474 kJ/mol
2. Concepto de energía interna. Primer principio de la termodinámica
La energía interna de un sistema (U) es la suma de las energías de todas las partículas que lo forman; tiene un valor determinado para cada estado del sistema y es, por tanto, una función de estado. Esta energía puede transferirse de un sistema a otro de dos maneras.
- En forma de calor, poniendo en contacto dos sistemas a distinta temperatura, de forma que el que está más caliente le transfiere calor al más frío.
- En forma de trabajo, cuando un sistema ejerce una fuerza sobre otro produciendo un desplazamiento.
Según el primer principio de la termodinámica,"la variación de energía interna en un proceso es igual a la diferencia entre el calor proporcionado al sistema y el trabajo reali-zado por éste".
U = variación de energía interna.
Q = calor absorbido (Q0) o desprendido (Q 0).
W = trabajo realizado por el sistema (W0) o sobre él (W0)
Un sistema de partículas realiza trabajo cuando se expande. Si consideramos un gas en-cerrado en un cilindro provisto de un émbolo, al expandirse el gas, éste ejercerá una fuerza sobre el émbolo, haciendo que éste se desplace.
U = Q - W
33
El trabajo realizado viene dado por W = F·x = p·S·x = p·V
En una reacción química a presión y temperatura constantes, sólo se produce variación de volumen si varía el número de moles gaseosos en el transcurso de la reacción, y, por
la ecuación de los gases ideales se cumple que: p·V = n·R·T.
Por tanto: W = n·R·T
Aplicando el primer principio de la Termodinámica, y teniendo en cuenta que, a presión
constante Q = H, se obtiene que:
donde ng = nº de moles gaseosos (productos) - nº de moles gaseosos (reactivos)
Ejemplo: La entalpía de formación del NH3(g) es -46 kJ/mol. Determinar la variación ener-gía interna a 25 ºC para dicha reacción.
1/2 N2(g) + 3/2 H2(g) NH3(g)
ng = 1- (3/2 + 1/2) = -1 mol; U = -46 - (-1·8,31·10-3·298) = -43,5 kJ/mol 3. Concepto de entropía. Segundo principio de la termodinámica
La entropía (S) es una magnitud que mide el grado de desorden de un sistema. La entro-pía es mayor en los gases que en los líquidos y en éstos mayor que en los sólidos. En general, cuanto mayor es el número de moles gaseosos, mayor es la entropía. A 0 K (-273 ºC) la entropía de cualquier sustancia es cero. La entropía estándar de una sustancia (So) es la entropía de un mol de dicha sustancia a 1 atm de presión y 25 ºC y se mide en J/K·mol. Por ejemplo, la entropía estándar del vapor de agua es de 188,8 J/K·mol, la del agua líquida es de 69,9 J/K·mol y la del hielo So es 48,0 J/K·mol
La entropía de una reacción se puede calcular (ΔS) aplicando la ley de Hess:
Ejemplo: Calcular la variación de entropía para el proceso de fusión del hielo. Datos: So (H2O(l)) = 69,9 J/K·mol; So (H2O(s)) = 48,0 J/K·mol
H2O(s) H2O(l) ΔSo = So (H2O(s)) - So (H2O(l)) = 69,9 – 48,0 = 21,9 J/K·mol
En general, para reacciones en las que intervienen gases, se cumple que:
- Si aumenta el número de moles gaseosos: ΔS 0.
- Si disminuye el número de moles gaseosos: ΔS˂ 0.
Según el segundo principio de la Termodinámica, “en todos los procesos espontáneos, siempre se tiende a la máxima entropía”. Esto se explica por las leyes de la probabilidad, ya que los estados desordenados para un sistema son mucho más numerosos y por ello existe una probabilidad mucho más alta de evolucionar hacia un estado con mayor grado de desorden. Si en un sistema se produce una disminución de entropía, siempre es a costa de un aumento de entropía mayor en su entorno.
S x
V
U = H ng·R·T En el S.I.: R = 8,31 J/K·mol = 8,31·10-3 kJ/K·mol
ΔSo = ΣSo (productos) - ΣSo (reactivos)
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4. Concepto de energía libre de Gibbs. Espontaneidad de una reacción
La energía libre de Gibbs (G) es una magnitud que mide el grado de inestabilidad de un sistema, integrando la entalpía (que mide el contenido energético) y la entropía (que mide el grado de desorden). La variación de energía libre viene dada por:
El signo de ΔG permite determinar si un proceso se produce o no espontáneamente:
Si ΔG 0, el proceso es espontáneo.
Si ΔG 0, el proceso no es espontáneo, pero si lo será el proceso inverso.
Si ΔG = 0, el sistema está en equilibrio, es decir, el proceso se produce en ambos sentidos a la misma velocidad, por lo que el sistema no varía.
Dependiendo del signo de ΔH y ΔS, se pueden considerar cuatro tipos de procesos:
ΔH ΔS -T·ΔS ΔG = ΔH -T·ΔS Tipo de proceso
- + - - Espontáneo a cualquier T
+ - + + No espontáneo a cualquier T
+ + - + si T / - si T Espontáneo a altas T
- - + - si T / + si T Espontáneo a bajas T
Ejemplo: Determinar para que temperaturas será espontáneo el proceso de fusión del hielo. Datos: ΔHo = 5,98 kJ/mol; ΔSo = 21,9 J/K·mol
5980 - 21,9 T 0; 21,9 T 5980; T 273 K → Proceso espontáneo a altas temperaturas
5. Consecuencias medioambientales de las reacciones de combustión
A pesar del desarrollo de las distintas formas de energías renovables, en la actualidad los combustibles fósiles (fundamentalmente carbón, derivados del petróleo y gas natural) si-guen constituyendo la principal fuente de energía, especialmente para la propulsión de vehículos. Este hecho conlleva graves consecuencias medioambientales:
- La combustión de todos los compuestos del carbono da lugar a la emisión de CO2 a la atmósfera, que acentúa el efecto invernadero y contribuye al calentamiento global del planeta.
- La combustión de gasolinas con contenido en azufre da lugar a óxidos de azufre que contribuyen a la formación de lluvia ácida, con efectos negativos sobre la vegetación y la fauna de ríos y lagos. Además, en los motores diesel se generan óxidos de nitró-geno que producen este mismo efecto además de problemas respiratorios.
- Los biocombustibles o combustibles de origen biológico pueden sustituir parte del consumo en combustibles fósiles tradicionales, como el petróleo o el carbón. Al utili-zarlos se reduce considerablemente la emisión neta de CO2 ya que, aunque en su combustión emiten una cantidad similar de CO2 que los combustibles convencionales, a medida que se van desarrollando las plantas de las que se extraen, van absorbiendo ese CO2. Los biocarburantes más usados y desarrollados son el bioetanol (obtenido por fermentación alcohólica de azúcares de diversas plantas como la caña de azúcar) y el biodiesel (fabricado a partir de partir de aceites vegetales de colza, soja… o aceites ya usados).
ΔG = ΔH – T·ΔS
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EJERCICIOS
1. En la reacción de combustión del amoníaco se obtienen monóxido de nitrógeno y agua y se desprenden 291 kJ por mol de amoníaco. Calcular: a) Energía que se desprende cuando se obtienen 9 g de agua. b) Si reaccionan 10 L de oxígeno a 25 ºC y 1 atm ¿qué cantidad de energía se desprende? Solución: a) -97 kJ; b) -95,4 kJ
2. Las entalpías de combustión del carbono y el etano son respectivamente -393,5 kJ/mol y -1561,4 kJ/mol. a) Energía por gramo de combustible consumido que producen respectivamente el car-
bono y el etano. b) Energía por mol de dióxido de carbono formado que producen respectivamente el car-
bono y el etano. Solución: a) -32,8 kJ; -52,1 kJ; b) -393,5 kJ; -780,7 kJ
3. Los combustibles de automóvil son mezclas complejas de hidrocarburos. La gasolina res-ponde a la fórmula C9H20, cuyo calor de combustión es ΔH = –6160 kJ/mol, mientras que el gasoil responde a la fórmula C14H30, cuyo calor de combustión es ΔH = –7940 kJ/mol.
a) Formular las reacciones de combustión de ambos compuestos y calcular la energía liberada al quemar 10 L de cada uno.
b) Calcular la masa de dióxido de carbono liberada cuando se queman 10 L de cada uno. Datos: Densidades: gasolina = 718 g/L; gasoil = 763 g/L Solución: a) -3,46·105 kJ; -3,06·10 5 kJ; b) 22,2 kg; 23,7 kg
4. El manganeso metal puede obtenerse por reacción del óxido de manganeso (IV) con alu-minio:
óxido de manganeso(IV) + aluminio óxido de aluminio + manganeso Calcular el calor desprendido o absorbido cuando se forma un mol de manganeso.
Datos: 4 Al + 3 O2 2 Al2O3 H = -3352 kJ
Mn +O2 MnO2 H = -521 kJ Solución: se desprenden 596,3 kJ
5. El ozono se produce en las capas altas de la atmósfera, según la reacción 3 O2 2 O3. Calcular la entalpía de dicha reacción.
Datos: O2 2 O H = 498 kJ
O2 + O O3 H = -106 kJ Solución: 286 kJ
6. El nitrato de amonio se puede descomponer dando lugar a nitrógeno, oxígeno y vapor de agua. Determinar la entalpía de dicha reacción.
Datos: N2 + 2H2 +3/2 O2 NH4NO3 H = -365,2 kJ
H2 + ½ O2 H2O H = -241,8 kJ Solución: -118,4 kJ
7. El método de Berthelot para la obtención de benceno (C6H6) consiste en hacer pasar etino (C2H2) a través de un tubo de porcelana calentado al rojo. Sabiendo que en la combustión de 1 mol de etino se desprenden −1300 kJ y en la de 1 mol de benceno se desprenden −3270 kJ, calcular ΔHº de la reacción de formación del benceno a partir del etino. Solución: – 630 kJ
8. Sabiendo que las entalpías de formación del metano, dióxido de carbono y agua son respectivamente -75 kJ/mol, -393 kJ/mol y -286 kJ/mol, calcular: a) La entalpía de combustión de 1 mol de metano. b) El volumen de metano, medido a 25 °C y 1 atm de presión, que es necesario quemar
para producir 4600 kJ.
Solución: a) -890 kJ; b) 126,3 L
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9. Se dispone de naftaleno (C10H8) como combustible: a) Calcular su entalpía molar estándar de combustión. b) Calcular la energía que se desprenderá al quemar 100 g de naftaleno. Entalpías de formación estándar (kJ·mol−1): C10H8 = -58,6; H2O = -284,7; CO2= -393,6
Solución: a) –5016,2 kJ/mol; b) 3919 kJ
10. En la reacción de combustión del metanol (CH3OH) se producen CO2 y H2O. Sabiendo que el metanol es un líquido que tiene una densidad de 0,79 g·cm−3, calcular: a) La entalpía estándar de combustión del metanol. b) La energía desprendida en la combustión de 1 L de metanol. c) El volumen de oxígeno necesario para la combustión de 1 L de metanol, medido a
37 ºC y 5 atm. Datos: ΔHo
f (kJ·mol−1): metanol = −239; CO2 = −393; H2O = −286 Solución: a) -726 kJ/mol; b) 1,79·104 kJ; c) 188,6 L
11. En un acuario es necesario que haya una cierta cantidad de CO2 disuelto en el agua para que las plantas sumergidas puedan realizar la fotosíntesis, en la que se libera oxígeno que ayuda a su vez a la respiración de los peces. Si suponemos que en la fotosíntesis el CO2 se transforma en glucosa (C6H12O6): a) Calcular cuántos gramos de CO2 hay que aportar al acuario en un día, para mantener
una población de peces que consume 10 L de O2 al día, medidos a 700 mm de Hg y 22 ºC.
b) Calcular cuántos gramos de glucosa se producen en las plantas del acuario en un día.
c) Determinar la entalpía de reacción del proceso de la fotosíntesis. Datos: ΔHo
f (kJ·mol−1): agua = –286; CO2 = –394; glucosa = –1271 Solución: b) 16,7 g; c) 11,3 g ; d) 2809 kJ
12. Uno de los métodos de propulsión de misiles se basa en la reacción de la hidracina, N2H4, y el peróxido de hidrógeno para dar nitrógeno molecular y agua, siendo la variación de entalpía del proceso –643 kJ·mol-1. Calcular:
a) La cantidad de calor que se liberará en el proceso si reaccionan 128 g de N2H4. b) La entalpía de formación de la hidracina. Datos: ΔHf
o (H2O2) = –187,8 kJ·mol–1; ΔHfo (H2O) = –241,8 kJ·mol–1
Solución: a) -2572 kJ; b) 51,4 kJ/mol
13. La entalpía de combustión de un hidrocarburo gaseoso CnH2n+2 es de –2217 kJ/mol. Cal-cular: a) La fórmula molecular de este hidrocarburo. b) La energía desprendida en la combustión de 50 L de este gas, medidos a 25 ºC y 1
atm. c) La masa de H2O (l) que se obtendrá en la combustión anterior. Entalpías de formación (kJ/mol): CO2(g) = – 393; H2O (l) = – 286; CnH2n+2 (g) = – 106. Solución: a) C3H8; b) 4542 kJ; c) 147,3 g
14. Sabiendo que las entalpías de los enlaces H-H, Cl-Cl y H-Cl son, respectivamente, 436 kJ/mol, 242,6 kJ/mol y 92,3 kJ/mol, calcular la entalpía de formación del HCl.
Solución: 247 kJ/mol
15. El propano es uno de los combustibles fósiles más utilizados. a) Calcular la entalpía estándar de combustión. b) Calcular los litros de dióxido de carbono que se obtienen, medidos a 25 ºC y 760
mm de Hg, si se han desprendido 5990 kJ. Entalpías de enlace (kJ/mol):
(C–C) = 347; (C–H) = 415; (O–H) = 460;(O=O) = 494 y (C=O) = 730 Solución: b) -1576 kJ/mol; c) 278,6 L
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16. Sabiendo que la entalpía de combustión del butano es –2642 kJ/mol, calcular la entalpía media del enlace O-H.
Entalpías medias de enlace (kJ/mol): C-C = 346; C=O = 730; O=O = 487; C-H= 413 Solución: 513,55 kJ/mol
17. Dada la reacción N2O4(g) 2NO2(g), calcular, utilizando los valores de la tabla:
Compuesto N2O4(g) NO2(g)
ΔHfº(kJ·mol-1) 9,2 33,2
a) ΔHº a 298 K. b) La variación de energía interna a 298 K. Solución: a) 57,2 kJ/mol; b) 54,7 kJ/mol
18. Para la reacción de combustión del etanol, contestar a las siguientes preguntas con la ayuda de la tabla que se adjunta:
a) Escribir la reacción y calcular su ΔH° a 25 ºC. b) Calcular la variación de energía interna a 25 ºC.
C2H5OH(l) O2(g) CO2(g) H2O(l)
ΔHºf (kJ·mol-1 ) -277,3 0,0 -393,5 -285,8
Solución: a) -1367,1 kJ/mol; b) -1364,6 kJ/mol
19. Sabiendo que, en condiciones estándar, al quemar 2,5 g de etanol se desprenden 75 kJ y al hacer lo mismo con 1,5 g de ácido acético se obtienen 21 kJ, calcular para el pro-ceso: CH3–CH2OH(l) + O2(g) → CH3–COOH(l) + H2O(l)
a) Los calores de combustión molares de etanol y ácido acético. b) El valor de la variación de entalpía de la reacción del enunciado. c) El valor de la variación de energía interna de la reacción del enunciado a 25 º C.
Solución: a) – 1380 kJ/mol; – 840 kJ/mol; b) – 540 kJ/mol; c) – 537,5 kJ/mol
20. La transformación de alcohol en vinagre tiene lugar según la siguiente reacción: CH3-CH2OH (l) + O2 (g) → CH3-COOH (l) + H2O (l). Calcular:
a) La variación de la entalpía de la reacción. b) La variación de la entropía. c) La variación de energía de Gibbs a 25 ºC. d) ¿Para qué temperaturas será espontánea la reacción?
ΔHºf (kJ·mol-1) Sº (J·mol-1·K-1)
Etanol (l) -227,6 160,7
Acido etanoico (l) -487,0 159,9
O2 (g) 0 205,0
H2O (l) -285,8 70,0
Solución: a) -545,2 kJ/mol; b) -135,8 J/K·mol; c) -504,7 kJ/mol; d) T<4014,8 K
21. Dada la reacción N2O4(g) 2NO2(g), calcular: a) La variación de energía de Gibbs a 25 ºC. b) ¿Para qué temperaturas será espontánea la reacción?
Compuesto ΔHfº(kJ·mol-1) Sº(J·mol-1·K-1)
N2O4(g) 9,2 304
NO2(g) 33,2 240
Solución: a) 4,752 kJ/mol; b) T>325 K
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22. Dado el proceso: Br2 (l) → Br2 (g)
a) Calcular Gº a 25 ºC e indicar si el proceso es espontáneo a dicha temperatura. b) Determinar la temperatura de ebullición del Br2.
Datos: Hfº Br2 (g) = 30,91 kJ·mol-1; Hfº Br2 (l) = 0 Sº Br2 (g) = 245,4 J·mol-1·K-1; Sº Br2 (l) = 152,2 J·mol-1·K-1
Sustancia ΔHfº(kJ·mol-1) Sº(J·mol-1·K-1)
Br2(g) 30,91 245,4
Br2(l) 0 152,2
Solución: a) 3,13 kJ/mol; b) 331,65 K
23. El eteno se puede transformar en etano mediante la siguiente reacción:
C2H4(g) + H2(g) → C2H6(g)
a) Calcular la entalpía estándar de esta reacción, a 298 K, empleando los valores de la siguiente tabla:
Enlace C ‒ H C ‒ C C = C H ‒ H
ΔH (kJ/mol) 413 348 614 436
b) Explicar razonadamente si la variación de entropía de esta reacción es positiva o ne-gativa y si la reacción será espontánea a temperaturas altas o bajas.
24. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando en cada caso
la respuesta: a) Si una reacción es endotérmica y se produce un aumento de orden del sistema enton-
ces nunca es espontánea. b) Todas las reacciones exotérmicas son espontáneas a altas temperaturas. c) Si una reacción es espontánea y su entropía disminuye, la reacción debe ser exotér-
mica.
25. Dada la siguiente reacción: 2Cl(g) → Cl2(g), contestar de forma razonada: a) ¿Qué signo tiene la variación de entalpía de dicha reacción? b) ¿Qué signo tiene la variación de entropía de esta reacción? c) ¿La reacción será espontánea a temperaturas altas o bajas?
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TEMA 4. QUÍMICA ORGÁNICA
1. Características de los compuestos del carbono. Tipos de enlace.
La química orgánica o química del carbono se ocupa de los compuestos formados por cadenas de átomos de carbono (lineales, ramificadas o cíclicas) que se unen a su vez a átomos de hidrógeno (hidrocarburos) y, en ocasiones, otros elementos (grupos funciona-les), principalmente halógenos (derivados halogenados), oxígeno (compuestos oxigena-dos) y nitrógeno (compuestos nitrogenados). Estos compuestos son la base de la compo-sición de los seres vivos, aunque muchos de ellos no existen en la naturaleza, sino que se sintetizan en el laboratorio. Los compuestos del carbono tienen numerosas aplicaciones: plásticos, tejidos, medicamentos, combustibles, etc.
El hecho de que el átomo de carbono pueda dar lugar a tanta diversidad de compuestos se debe a que puede formar cuatro enlaces covalentes, por tener 4 electrones en su capa de valencia (2s2 2p2). Estos enlaces son especialmente estables debido al reducido ta-maño del átomo de carbono.
Cuando dos átomos de carbono se unen entre sí, pueden formar un enlace simple, doble o triple. Según el tipo de enlace, la geometría de la molécula varía, ya que los electrones de los enlaces se repelen entre sí alejándose unos de otros y adoptando una estructura simétrica.
- Enlace simple:
l l C C l l
- Enlace doble:
l l C = C
- Enlace triple:
C C
2. Hidrocarburos
Los hidrocarburos son compuestos orgánicos formados íntegramente por C y H. Según el tipo de enlaces se pueden clasificar en:
- Alcanos: si todos los enlaces son simples.
- Alquenos: si tienen algún enlace doble.
- Alquinos: si tienen algún enlace triple.
Según la estructura de la cadena, los hidrocarburos pueden ser lineales, ramificados, cíclicos y aromáticos.
En todos los casos el nombre del compuesto lleva un prefijo que indica el número de áto-mos de carbono presentes en la molécula y un sufijo que indica el tipo de enlace entre los átomos de carbono.
Nº átomos de C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prefijo met- et- prop- but- pent- hex- hept- oct- non- dec-
C C
Los enlaces se distribuyen en torno a cada átomo de C formando un te-traedro, de modo que los ángulos entre los enlaces son de 109º apro-ximadamente.
C C
Los enlaces se distribuyen en torno a cada átomo de C formando un triángulo equilátero, de modo que los ángulos entre los enlaces son de 120º.
C C
Los enlaces se distribuyen lineal-mente en torno a los átomos de C, de modo que los ángulos entre los enlaces son de 180º.
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Tipo de enlace Enlace simple Enlace doble Enlace triple
Sufijo -ano -eno -ino
2.1. Alcanos (hidrocarburos saturados)
Se nombran con el prefijo correspondiente seguido del sufijo -ano. Si están ramificados, se escoge como cadena principal la más larga (a igual longitud, la que tenga mayor número de ramificaciones); a continuación, se numera dicha cadena em-pezando por el extremo más próximo a las ramificaciones; las ramificaciones se nombran como radicales, cambiando el sufijo –ano por –il(o).
Radical CH3 CH3CH2 CH3CH2CH2 CH3CHCH3
l Nombre metil(o)- etil(o)- propil(o)- isopropil(o)-
Se nombran los radicales precedidos de sus localizadores (número correspondiente al átomo de C que lleva el radical) y por orden alfabético, seguidos del nombre de la cadena principal; si algún radical está varias veces, se precede del prefijo numeral correspondiente (di-, tri…); los localizadores se separan entre sí mediante comas, y se separan del nombre del compuesto mediante un guion. El orden de prioridad de los distintos radicales se esta-blece alfabéticamente.
Ejemplo: Nombrar los siguientes alcanos:
a) CH3(CH2)6CH3 octano
b) CH3 – CH – CH2 – CH2 – CH3 3-metilhexano l CH2 – CH3
c) CH3 – CH – CH2 – CH – CH3 2,4-dimetilhexano l l CH3 CH2 – CH3
d) CH3 – CH – CH2 – CH – CH2 – CH3 4-etil-2-metilhexano l l CH3 CH2 – CH3
e) CH3 – CH2 – CH – CH2 – CH – CH2 – CH3 3-etil-5-metilheptano l l CH3 CH2 – CH3
CH3 CH3 l l f) CH3 – C – CH2 – CH – CH2 – C – CH3 4-etil-2,2,6,6-tetrametiloctano l l l CH3 CH2 – CH3 CH2 – CH3
2.2. Alquenos y alquinos (hidrocarburos insaturados)
Se nombran mediante el prefijo y el sufijo correspondientes, precedidos del localizador que indica la posición del doble o triple enlace si fuera necesario (el localizador puede escri-birse delante del nombre o delante del sufijo); para ello, se numera la cadena empezando por el extremo más cercano a dichas insaturaciones. Si existen dos o más insaturaciones, delante del sufijo se escribe el prefijo numeral correspondiente (di-, tri...). Si hay dobles y triples enlaces en el mismo compuesto, se escriben ambos sufijos (-en-ino), poniendo los localizadores de los triples enlaces entre ambos sufijos; en caso de igualdad los dobles enlaces tienen preferencia sobre los triples.
Si hay ramificaciones, se escoge como cadena principal la que contiene el mayor número de insaturaciones y, en caso de igualdad, la más larga. Para numerar la cadena principal, las insaturaciones tienen prioridad sobre los radicales.
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Ejemplo: Nombrar los siguientes hidrocarburos insaturados:
a) CH3CH2CCCH3 2-pentino o pent-2-ino
b) CH2=CHCH=CHCH=CH2 1,3,5-hexatrieno o hexa-1,3,5-trieno
c) CHCCH=CH2 1-buten-3-ino o but-1-en-3-ino
d) CH2 = CH – CH2 – CH – CH3 4-metil-1-hexeno o 4-metilhex-1-eno l
CH2– CH3
e) CH2 = CH – CH2 – C = CH – CH3 4-propil-1,4-hexadieno o 4-propilhexa-1,4-dieno l
CH2 – CH2 – CH3
f) CH3 –CH2 – CH– C C – CH3 4-etil-2-hepten-6-ino o 4-etilhept-2-en-6-ino l
CH = CH – CH3
2.3. Hidrocarburos cíclicos
Son aquellos que forman una cadena cerrada. Se nombran agregando el prefijo ciclo- al nombre del hidrocarburo correspondiente. El ciclo se numera del modo que permita asig-nar localizadores lo más bajos posibles a las insaturaciones y ramificaciones con el orden de prioridad indicado anteriormente.
Ejemplo: Nombrar los siguientes hidrocarburos cíclicos:
a) CH2
CH CH2 ciclohexeno CH CH2
CH2
b) CH = C – CH3
1-metil-1-ciclobuten-3-ino o 1-metilciclobut-1-en-3-ino
C C c) CH2
CH CH – CH3 3,4-dimetil-1-ciclopenteno o 3,4-dimetilciclopent-1-eno CH CH – CH3
2.4. Hidrocarburos aromáticos
Son derivados del benceno o 1,3,5 ciclohexatrieno (C6H6). En este compuesto los enlaces simples y dobles se alternan y cambian continuamente de posición; esta propiedad se llama resonancia y le confiere una gran estabilidad a la molécula
CH
CH CH
CH CH
CH
CH
CH CH
CH CH
CH
Representación esquemática de la molécula de
benceno
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Los derivados del benceno se forman al sustituir uno o más átomos de H por radicales. Para nombrarlos, se escriben los nombres de los radicales seguidos de la palabra ben-ceno, numerando el anillo de benceno igual que los hidrocarburos cíclicos. En derivados disustituidos, se pueden cambiar los localizadores por los prefijos orto- (o-), meta- (m-) o para- (p-), según estén situados en carbonos contiguos, alternos u opuestos.
Cuando un anillo de benceno pierde un átomo de H, forma el radical fenil (C6H5‒)
Ejemplo: Nombrar los siguientes hidrocarburos aromáticos:
a)
1-etil-2-metilbenceno u o-etilmetilbenceno
b)
2-etil-4-metil-1-propilbenceno
3. Grupos funcionales
Un grupo funcional es un átomo o grupo de átomos que sustituyen a uno o más átomos de H de un hidrocarburo, dando lugar a un nuevo tipo de compuesto con propiedades características.
3.1. Derivados halogenados
Se forman al sustituir uno o más átomos de H de un hidrocarburo por átomos de halógenos (F, Cl, Br o I).
Para nombrarlos, se escriben los nombres de los halógenos correspondientes precedidos de sus localizadores y por orden alfabético (junto con los radicales), seguidos del nombre de la cadena principal; si algún halógeno está varias veces, se precede del prefijo numeral correspondiente. Para numerar la cadena principal, las insaturaciones tienen prioridad so-bre los halógenos; en caso de igualdad, el orden de prioridad de los distintos halógenos y radicales se establece alfabéticamente.
Ejemplo: Nombrar los siguientes derivados halogenados:
a) CH3 – CHBr– CHCl – CH2 - CH2I 4-bromo-3-cloro-1-yodopentano b) CH2 = C – CH = CBr – CH2 – CH3 4-bromo-2-metil-1,3-hexadieno CH3 o 4-bromo-2-metilhexa-1,3-dieno c) 1-bromo-3-etilbenceno o m-bromoetilbenceno d) CH = C – CH3 1-cloro-4-metil-1,3-ciclobutadieno o
l l CH = CCl o 1-cloro-4-metilciclobuta-1,3-dieno
1,2 = orto- (o-) 1,3 = meta- (m-) 1,4 = para- (p-)
CH2 – CH3
CH3
CH2–CH2–CH3
CH2–CH3
CH3
Br CH2 – CH3
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3. 2. Compuestos oxigenados
A cada grupo funcional le corresponde un sufijo que se escribe al final del nombre de la cadena principal; si un grupo funcional está varias veces, se precede del prefijo numérico correspondiente. Si el grupo funcional no tiene una posición fija (alcoholes, cetonas) se numera la cadena principal empezando por el extremo más cercano al grupo funcional y se escriben los localizadores delante del nombre o delante del sufijo del grupo funcional. Todos ellos tienen prioridad sobre insaturaciones, ramificaciones y halógenos.
Compuesto Grupo funcional Sufijo Ejemplo
Alcohol OH -ol CH3CH2CH2OH
1-propanol o propan-1-ol
Éter O
RR'-éter (orden alfabético)
R-oxi-R’ (R’ = cadena principal)
CH3 CH2OCH3
etilmetiléter o metoxietano
Aldehído O ll o CHO CH
(CHO
-al CH3CH2CHO
propanal
Cetona
O ll o CO C
-ona CH3COCH3
propanona
Ácido carboxílico
O ll o COOH COH
ácido …-oico CH3CH2COOH
ácido propanoico
Éster O ll o COO CO
-oato de R CH3COOCH3
etanoato de metilo
Ejemplo: Nombrar los siguientes compuestos oxigenados:
a) CH2OH – CHCl – CH2 – CH2OH 2-cloro-1,4-butanodiol o 2-clorobutano-1,4-diol
b) CH3 – CO – CH = CH – CH= CH2 3,5-hexadien-2-ona o hexa-3,5-dien-2-ona c) CH3 – CH2 – CH2 – O – CH2 – CH3 etilpropiléter o etoxipropano
d) CH C – CH2 – COOH ácido 3-butinoico o ácido but-3-inoico
e) CH3 – CH = CH – CH – CHO 2-metil-3-pentenal o 2-metilpent-3-enal | CH3
f) CH C – COO – CH2– CH3 2-propinoato de etilo o prop-2-inoato de etilo Algunos nombres usuales importantes son:
fenol ácido benzoico
OH COOH CH3COOH
ácido acético
44
3.3. Compuestos nitrogenados: formulación y nomenclatura
A cada grupo funcional le corresponde un sufijo que se escribe al final del nombre de la cadena principal.
Compuesto Grupo funcio-nal
Sufijo Ejemplo
Aminas
1ª: NH2
2ª: NH
3ª: N l
RR'R''-amina
(por orden alfabético)
CH3CH2CH2NH2 propilamina
CH3CH2NHCH3 etilmetilamina
CH3NCH3 trimetilamina l CH3
Amidas
1ª: CONH2
2ª: CONH (1)
3ª: CON (1) l
-amida
CH3CH2CONH2 propanamida
CH3CONHCH3 N-metiletanamida
CH3CONCH3 l CH3 N,N-dimetiletanamida
Nitrilos CN o CN -nitrilo CH3CH2CN propanonitrilo
(1) Amidas secundarias y terciarias: se escoge como cadena principal la que lleva el grupo funcional y se escribe el nombre del hidrocarburo correspondiente con el sufijo -amida; las cadenas secundarias se nombran, ordenadas alfabéticamente, delante de la cadena principal precedidas de la letra N (localizador).
Ejemplo: Nombrar los siguientes compuestos nitrogenados:
a) CH3 – CH2 – CH2 – NH – CH2 – CH2 – CH3 dipropilamina
b) CH3 – CHI – CH2 – CONH2 3-yodobutanamida
c) CH3 – CH = CH – CN 2-butenonitrilo
d) CH3 CH2 – CONHCH3 N-metilpropanamida
e) CH3 – CH2 – N – CH3 etildimetilamina CH3
f) CH3 –CON – CH2 –CH3 N-etil-N-metiletanamida CH3
3.4. Nomenclatura de compuestos bifuncionales
Cuando un compuesto orgánico lleva dos grupos funcionales, uno de ellos actúa como grupo principal y el otro como grupo secundario. A este último en vez de un sufijo, se le asigna un prefijo, se le asigna un prefijo. El orden de prioridad de los grupos funcionales más frecuentes y los prefijos correspondientes se muestran en la siguiente tabla:
Prioridad 1º 2º 3º 4º 5º 6º
Grupo -COOH -CHO -CO -OH -NH2 -O-
Prefijo - formil- oxo- hidroxi- amino- R-oxi-
Ejemplo: Formular o nombrar los siguientes compuestos bifuncionales:
a) Ácido hidroxiacético CH2OH COOH
b) 2-aminopropanal CH3 CH CHO l NH2
45
c) CH3 CH CH2 COOH ácido 3-aminobutanoico l NH2
d) CH3 CO CHOH CH3 3-hidroxi-2-butanona o 3-hidroxibutan-2-ona 4. Isomería
Se dice que dos o más compuestos son isómeros cuando tienen la misma fórmula molecular, es decir, el mismo número de átomos de cada elemento. Existen distintos tipos de isomería.
4.1. Isomería estructural
Se dice que dos o más compuestos son isómeros estructurales cuando se diferencian en su misma fórmula desarrollada, es decir, en la distribución de sus átomos. La isomería estructural puede ser:
De cadena, cuando los compuestos se diferencian en la unión entre sus átomos de carbono. Por ejemplo, el butano y el metilpropano son isómeros de cadena.
CH3CH2CH2CH3 CH3CHCH3 Fórmula molecular: C4H10
CH3
De posición, cuando los compuestos se diferencian en la posición de sus grupos funcionales o insaturaciones. Por ejemplo, el 1-propanol y el 2-propanol son isómeros de posición.
CH2OH CH2CH3 CH3CHOHCH3 Fórmula molecular: C3H8O
De función, cuando los compuestos se diferencian en sus grupos funcionales. Por ejemplo, el 1-propanol y el etilmetiléter son isómeros de función.
CH2OH CH2CH3 CH3OCH2CH3 Fórmula molecular: C3H8O
4.2. Estereoisomería
Dos compuestos son estereoisómeros cuando se diferencian en su fórmula tridimensional, es decir, en la disposición de átomos en el espacio. La estereoisomería puede ser:
- Geométrica, cuando los compuestos se diferencian en la disposición espacial de los átomos que rodean a un doble enlace. Cuando los átomos o grupos de átomos iguales se sitúan al mismo lado del doble enlace, se dice que el compuesto tiene estructura cis, y si se sitúan en lados opuestos, se dice que tiene estructura trans. Por ejemplo, el 1,2-dicloroeteno (CHCl=CHCl) tiene dos isómeros geométricos:
Estructural
Estereoisomería Geométrica Óptica
De cadena
De posición De función
Isomería
Cl Cl
C C H H cis-1,2-dicloroeteno
Cl H
C C H Cl trans-1,2-dicloroeteno
46
Óptica, cuando los compuestos se diferencian en la disposición espacial de los átomos que rodean a un carbono asimétrico (átomo de C unido a cuatro átomos o grupo de átomos distintos). En este caso existen dos posibles estructuras que son entre sí imágenes especulares y que presentan propiedades ópticas distintas. Por ejemplo, en el
2-butanol (CH3CHOHCH2CH3) el carbono-2 es asimétrico y por ello presenta dos isómeros ópticos:
5. El petróleo y los nuevos materiales
Los compuestos orgánicos tienen numerosísimas aplicaciones, destacando su uso como combustibles y para la fabricación de plásticos y otros materiales de propiedades especí-ficas imprescindibles para las nuevas tecnologías. La materia prima más utilizada para su obtención es el petróleo, cuyos yacimientos se formaron como resultado de altas presio-nes y temperaturas actuando durante millones de años sobre restos de pequeños anima-les marinos descompuestos por bacterias anaerobias.
El petróleo se suele extraer de espacios porosos de rocas muy profundas mediante per-foración. El petróleo extraído se denomina petróleo crudo y tiene que someterse a desti-lación fraccionada para separar sus distintas fracciones según sus puntos de ebullición, que dependen del número de átomos de C de los hidrocarburos que lo constituyen: gases (cadenas de menos de 5 C), combustibles líquidos (gasolina, queroseno, gasóleo y acei-tes, entre 5 y 40 C) y asfalto (más de 40 C).
Generalmente se suelen formar yacimientos de gas natural asociados a los yacimientos de petróleo, donde el gas rellena las fisuras de las rocas, pudiendo migrar a grandes dis-tancias a través del subsuelo. Está formado fundamentalmente por metano, y es un com-bustible que deja muy pocos residuos y tiene un gran poder calorífico.
Además de los materiales plásticos, fabricados mediante reacciones de polimeriza-ción de distintos hidrocarburos u otros compuestos orgánicos, en la actualidad se están desarrollando nuevos materiales basados en la química del carbono que tienen importan-tes aplicaciones tecnológicas. Los más importantes son el grafeno, los fullerenos y los nanotubos de carbono.
CH3 C
H CH2CH3
OH
CH3 C
CH3CH2 H
OH
47
EJERCICIOS
1. Nombrar los siguientes alcanos:
a) CH3 – CH2 – CH – CH2 – CH – CH3
CH3 CH3
CH3
b) CH3 – C – CH2 – CH – CH2 – CH3
CH3 CH2 – CH2 –CH3
c) CH3 – CH – CH2 – CH – CH2 – CH3
CH3 CH – CH3
CH3
d) CH3 – CH – CH2 – CH – CH2 – CH2– CH3
CH3 CH – CH3
CH3
CH3 CH3
e) CH3 – C – CH2 – CH – CH2 – C – CH2 – CH3
CH3 CH2 – CH3 CH2 – CH3
CH3 CH2 – CH3 CH3
f) CH3 – C – CH2 – CH – CH – CH2– CH2– C – CH2 – CH3
CH3 CH2 – CH2 – CH3 CH2 – CH2 – CH3
2. Formular los siguientes alcanos:
a) 3-etil-2,2-dimetilhexano.
b) 2,3-dimetil-4-propilheptano
c) 2,2,4,5-tetrametiloctano
d) 3,5-dietil-2,3-dimetil-4-propilnonano
e) 4-isopropil-2-metiloctano
f) 5-butil-3,7-dietil-2,8-dimetil-4,6-dipropilnonano
3. Nombrar los siguientes hidrocarburos:
a) CH3 – CH2 – CH – CH2 – CH = CH2
CH3
48
b) CH3 – C C – CH – CH2 – CH3
CH2 –CH3
c) CH3 – CH2 – CH = CH – CH = CH – CH3
d) CH C – CH – CH2 – CH – C C– CH3
CH3 CH2 – CH3
e) CH3 – CH = CH – CH2 – C CH
f) CH C – CH = CH – CH2 – CH = CH2
g) CH C – CH = CH – CH – C C – CH = CH2
CH3
h) CH3 – C = CH – C C – C = CH – CH3
CH3 CH2 – CH2 –CH3
i) CH3 – CH2 – CH2 – CH – CH2 – C C – CH3
CH = CH – CH3
j) CH3 – CH = CH – CH – CH2 – C C – CH3
CH = CH2
4. Formular los siguientes hidrocarburos:
a) 2,3-dimetilbut-2-eno
b) 3-etil-4-metil-1,3-pentadieno
c) hexa-1,3,4-trieno
d) butadiino
e) 4-etil-4-metil-1-hexino
f) 3,4-dietil-4,5-dimetil-1,7-octadiino
g) hept-3-en-1,6-diino
h) 3-etil-2-metil-1-penten-4-ino
i) 5-etil-2,7-dimetil-1,7-octadien-3-ino
j) 3-etenil-1,4-pentadieno
5. Nombrar los siguientes hidrocarburos:
a) CH2
CH CH CH CH
CH2
b) CH2 – CH – CH2– CH3
C C c) CH2
CH3–C CH2 CH CH – CH2 –CH3
d)
e) f)
–CH2 – CH3
CH3 –
CH3–
CH3
CH3–
–CH2–CH2–CH3
CH3
49
6. Formular los siguientes hidrocarburos:
a) 1-etil-3-metilciclobutano
b) 1,2,4-trimetil-1-ciclohexeno
c) ciclopent-1-en-3-ino
d) o-etilpropilbenceno
e) 4-etil-1,2-dimetilbenceno
f) 2-fenilbutano
7. Nombrar los siguientes derivados halogenados:
a) CH2Br – CH2 –CHCl – CH2Cl b) CH2 = CH – CH – CH2Cl
CH2 – CH3
c) CH C – CH – CH2I
CH3
d) CH2 = CH – CHCl – CH = CH – C CH
e)
f) CH2
CBr CH2
CH CHI
8. Formular los siguientes derivados halogenados:
a) 1,2,3-tribromopropano
b) 5-bromo-2,4-dimetil-1-hexeno
c) 1-cloro-1-butino
d) 2-cloro-4-metil-1,3-hexadieno
e) 3-yodo-1-ciclopenteno
f) m-clorometilbenceno
9. Nombrar los siguientes compuestos oxigenados:
a) CH3 – CHOH – CHCl – CH2 – CH3
b) CH C– CO – CH2 – CH2Br
c) CH3 – CH – O – CH2 – CH2 – CH3 | CH3
d) CH2 = C – CH2 – COOH | CH2 – CH3
e) CH2I – CH2 – CH – CHO | CH3
f) CH3 – CH = CH – COO – CH2 – CH3
Br
Cl –
CH3
50
g) CH3 – CH2 – O – CH = CH2
h) OHC – CHI – CH2 – CHO
i) CH2 = CH – CHOH – CH2OH
j) CH3 – CH2 – CO – CH – CO – CH3
CH3
k) HOOC – CHBr – CH – CH2 – CH2 – COOH
CH3
l) CH2 = CH – CH – COO– CH3
CH3
10. Formular los siguientes compuestos oxigenados:
a) 2-etilhexanal
b) ácido hexanodioico
c) 3-metilbutan-1-ol
d) 4-cloropentanoato de metilo
e) 3-clorofenol
f) ácido hept-3-enoico
g) oct-6-in-3-ona
h) metoxibenceno
i) benzoato de isopropilo
j) 3-yodo-2,3-butanodiol
k) ácido o-metilbenzoico
l) 2-etilciclobutanol
m) 2-metilbut-3-enal
n) acetato de metilo
o) 4-metil-2-pentanona
p) ácido metanoico
11. Formular los siguientes compuestos nitrogenados:
a) trietilamina
b) 3-cloro-2-pentenamida
c) 2-butinonitrilo
d) dimetilpropilamina
e) N,N-dietilbutanamida
f) 3-metil-4-yodopentanonitrilo
g) butilmetilamina
h) N-etilpropinamida
12. Nombrar los siguientes compuestos nitrogenados:
a) CH3 – CH2 – NH – CH2 – CH3
b) CH2Cl – CH – CH2 – CONH2 CH3
c) CH C – CHBr – CN
d) CH3 – CH2 – N – CH2 – CH3 CH3
e) CH2 = CH – CONH– CH3
f) CH3 – NH – CH2 – CH2 – CH3
g) CH3 – CH – CH2 – CN
CH3
51
h) CH3 – CH2 – CON – CH3
CH3
13. Nombrar los siguientes compuestos bifuncionales:
a) CH2Br – CH2 – CH – CH2 – COOH
NH2
b) CH3 – CHOH – CH2 – CONH2
c) CH3 – CH2 – CH – CO – CH3
NH2
d)
14. Formular los siguientes compuestos bifuncionales: a) 4-hidroxibutanal b) Ácido 3-oxopentanoico c) 2-aminopropanoato de etilo d) Etoxi-3-pentanol
15. Escribir las fórmulas semidesarrolladas e indicar el tipo de isomería que presentan
entre sí las siguientes parejas de compuestos: a) Propanal y propanona. b) 1-buteno y 2-buteno. c) 2,3-dimetilbutano y 3-metilpentano. d) Etilmetiléter y 1-propanol.
16. Dados los pares de compuestos orgánicos siguientes, indicar sus nombres y justifi-
car que tipo de isomería presentan:
a) CH3CH2CH2CH3 y CH3CHCH3 CH3
b) CH3CHOHCH3 y CH3CH2CH2OH
c) CH3CH2COOH y CH3COOCH3.
d) CH2=CHCH2CH2Br y CH3CH=CHCH2Br
17. Formular y nombrar un isómero de función de los siguientes compuestos: a) Propanoato de metilo. b) 2-pentanona. c) Etilpropiléter.
18. Dado el 1–butanol:
a) Escribir su estructura semidesarrollada. b) Escribir la estructura semidesarrollada de un isómero de posición, otro de ca-
dena y otro de función. Nombrar los compuestos anteriormente descritos. 19. Formular y nombrar todos los isómeros con las siguientes fórmulas moleculares,
excluyendo las estructuras cíclicas y bifuncionales: a) C3H8O b) C3H6O c) C3H6O2
COOH
OH
52
20. Formular y nombrar los siguientes compuestos orgánicos:
a) Tres isómeros de cadena de fórmula molecular C5H12.
b) Tres isómeros de posición de fórmula molecular C3H9N.
21. Representar y nombrar los posibles isómeros geométricos de los siguientes com-
puestos:
a) CH3 – CH = CH COOH
b) CH3 – CCl = CCl – CH3
c) CH3– CH = CHCl
d) CH3 – CH = C – CHO | CH3
22. Formular y nombrar todos los isómeros de fórmula C4H8. Indicar si alguno de ellos presenta isomería geométrica y, en caso afirmativo, representar los estereoisóme-ros correspondientes.
23. Indicar cuáles de los siguientes compuestos poseen isomería óptica y, en caso afirmativo, representar los estereoisómeros correspondientes.
a) CH3 – CHOH – CH2 COOH
b) CH3 – CHCl – CH3
c) CH2Cl – CH2 – CH2Br
d) CH3 – CH2 – CH – CH2 – CH2 – CH3
CH3
24. Formular y nombrar todos los compuestos de fórmula C4H9Cl. ¿Presenta alguno de ellos isomería óptica? En caso afirmativo, representar los estereoisómeros corres-pondientes.
25. Buscar en internet información sobre el grafeno, los fullerenos y los nanotubos de carbono y completar la siguiente tabla:
Estructura Propiedades Aplicaciones
Grafeno
Fullerenos
Nanotubos
53
TEMA 5. CINEMÁTICA
1. Elementos que integran un movimiento.
Se define movimiento como el cambio de posición de un punto respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo. El estudio del movimiento sin atender a las causas que lo producen recibe el nombre de cinemática.
Para estudiar el movimiento de un punto es necesario conocer su posición, su velocidad y su aceleración en cada instante. Todas estas magnitudes se representan mediante vectores.
Posición: indica dónde se encuentra el punto en cada instante. Se representa mediante un vector que une el origen de coordenadas del sistema de referencia con dicho punto. Se mide en metros (m)
Para un movimiento en el plano:
Ejemplo: El vector posición de un móvil es j2ti2)(3tr
. Calcula su vector
desplazamiento entre los instantes t = 0 y t = 3 s.
t = 0 → i-2 j2·0i2)(3·0r
(m); t = 3 s→ j6i7j2·3i2)(3·3r
(m)
Δ j6i9 )i2(j6i7r
(m)
Velocidad: indica la variación de la posición respecto al tiempo. Se mide en m/s. Si
se mide en un intervalo de tiempo t, se obtiene la velocidad media ( mv
):
t
rvm
Si se mide en un instante determinado (cuando t0), se obtiene la velocidad
instantánea ( v
):
dt
rd
t
rlimv
0t
(derivada de la posición respecto al tiempo)
Si el movimiento es en el plano ( r
= x jyi
) → v
= jvivjdt
dyi
dt
dxyx
Ejemplo: El vector posición de un móvil es j2ti2)(3tr
. Calcula su velocidad
media entre los instantes t = 0 y t = 3 s y su velocidad instantánea en t = 2 s.
Δ j6i9 )i2(j6i7r
→ j2i33
j6i9
Δt
rΔvm
(m/s)
(m/s) j2i3 jdt
d(2t)i
dt
2)-d(3t
dt
rdv
Como se trata de una velocidad constante (no depende del tiempo), la velocidad media coincide con la instantánea
La velocidad instantánea se representa mediante un vector que es tangente en cada punto a la trayectoria.
A trayectoria
B
Suponiendo un punto que se traslada de A a B:
= vector posición inicial
= vector posición en un instante t = x
= vector desplazamiento =
La trayectoria es la línea que une las sucesivas posi-ciones del punto. En los movimientos rectilíneos sin re-troceso coincide con el desplazamiento.
54
Aceleración: indica la variación de la velocidad respecto al tiempo. Se mide en m/s2.
Si se mide en un intervalo de tiempo t, se obtiene la aceleración media ( ma
):
t
vam
Si se mide en un instante determinado (cuando t0), se obtiene la aceleración
instantánea (a
):
dt
vd
t
vlima
0t
(derivada de la velocidad respecto al tiempo)
Ejemplo: El vector posición de un móvil es j2ti2)(3tr 2
. Calcula su vector
aceleración.
(m/s) j4ti3 jdt
)d(2ti
dt
2)-d(3t
dt
rdv
2
)(m/s j4 = jdt
d(4t)+i
dt
d(3) =
dt
vd=a 2
El vector aceleración se puede descomponer en dos componentes intrínsecas:
La aceleración tangencial, que mide las variaciones que se producen en el mó-dulo de la velocidad y es tangente a la trayectoria. Está presente en todos los movimientos acelerados.
dt
dva
La aceleración normal o centrípeta, que mide las variaciones que se producen en la dirección de la velocidad y es perpendicular a la trayectoria. Esta presente en todos los movimientos curvilíneos.
R
va
2
n R = radio de curvatura
Por su complejidad, el cálculo de las componentes intínsecas de la aceleración se limitará al caso de los movimientos circulares.
= aceleración tangencial
= aceleración normal
= aceleración total =
R = radio de curvatura
ta
na
a
R
55
2. Movimientos rectilíneos: MRU y MRUA
Son movimientos cuya trayectoria es una línea recta.
Como su vector de posición tiene solo una componente, el movimiento puede estu-diarse de forma escalar, indicando si el sentido de los vectores es positivo o nega-tivo.
2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Se caracteriza por tener velocidad constante; por tanto, v = vm =t
r
=
t
x
v =o
o
tt
xx
t
x
; x = xo + v·(t - to); si to = 0 x = xo + v·t
Se puede representar gráficamente la posición frente al tiempo (diagrama x-t):
Ejemplo: Desde un punto A parte un móvil con una velocidad de 3 m/s hacia un punto B separado 20 m de A. Al mismo tiempo otro móvil sale de B al encuentro del primero, con una velocidad de 2 m/s. Calcular el instante y la posición en la que se encuentran y dibujar el diagrama x-t de ambos movimientos.
t(s) 0 1 2 3 4
xA (m) 0 3 6 9 12
xB (m) 20 18 16 14 12
O A B
x
xo
t
v 0
xo
x
t
v 0
A vA vB B
20 m
x = xo + v·t
xA = 3t xA = xB; 3t = 20 - 2t; t = 4 s xB = 20 - 2t
xA = xB = 12 m
xo= posición inicial x = posición en el instante t v = velocidad t = tiempo
x(m) 20
10
0 1 2 3 4 t(s)
xA
xB
56
2.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Se caracteriza por tener aceleración constante; por tanto, a = am =t
v
a =o
o
tt
vv
t
v
; v = vo + a·(t - to); si to = 0 v = vo + a·t
Se puede representar gráficamente la velocidad frente al tiempo (diagrama v-t):
Para determinar la ecuación de la posición, aplicamos la definición de velocidad media:
vm =o
o
tt
xx
t
x
; por otro lado: vm =
2
vvo ; igualando: o
o
tt
xx
=
2
vvo
Despejando: x = xo + 2
vvo (t-to); sustituyendo v = vo + a·(t - to):
x = xo + vo(t-to) +2
o )tt(a2
1 ; para t = 0: x = xo + vot + 2at
2
1
Se puede representar gráficamente la posición frente al tiempo (diagrama x-t):
Despejando t en la ecuación v-t y sustituyendo en la ecuación x-t, se obtiene la re-lación x-v:
a
vvt o ; x = xo + vo
a
vv o +
2
o
a
vva
2
1
; operando: v2 -vo
2 = 2·a·(x-xo)
v vo
t
a 0 v
vo
t
a 0
x
xo
t
a 0 x
xo
t
a 0
vo= velocidad inicial v = velocidad en el instante t a = aceleración t = tiempo
xo= posición inicial x = posición en el instante t vo = velocidad inicial a = aceleración t = tiempo
t = tiempo
57
Ejemplo: Un coche que circula a 90 km/h acelera para realizar un adelantamiento hasta 126 km/h, en un tiempo de 5 s. Calcular: a) la aceleración; b) el espacio que recorre en los 5 s; c) calcular su aceleración si después del adelantamiento baja su velocidad hasta 108 km/h mientras recorre 100 m.
a) vo = 90 km/h = 25 m/s; v = 126 km/h = 35 m/s
v = vo + at; 35 = 25 +5a; a = 2 m/s2
b) x = xo + vot + 2at2
1; x = 25·5 + 25·2
2
1= 150 m
c) vo = 35 m/s; v = 108 km/h = 30 m/s
v2 -vo2 = 2·a·(x-xo); 302 - 352 = 2a·100; a = -1,625 m/s2
Caso particular: movimientos verticales
Ejemplo: Se lanza verticalmente hacia arriba desde 29,4 m de altura un cuerpo con velocidad inicial de 19,6 m/s. Calcular: a) altura máxima alcanzada por el cuerpo y tiempo que tarda en alcanzarla; b) tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese instante.
a) v = vo -gt; 0 = 19,6 -9,8·t; t = 2 s
y = yo + vot -2
1gt2; y = 29,4 + 19,6·2 -
2
19,8·22 = 49 m
b) En la bajada: vo = 0; yo = 49 m; y = 0
0 = 49 -2
19,8·t2; t = 3,16 s (desde el punto más alto) ; v = -9,8·3,16 = -30,97 m/s
o bien: v2 - vo2 = -2g·(y - yo); v2 = -2·9,8·(0 - 49); v = ± 30,97 m/s
3. Movimientos parabólicos
Son movimientos cuya trayectoria es una parábola. Se producen siempre que se realiza un lanzamiento no vertical en las proximidades de la superficie terrestre. siempre se pueden descomponer en un movimiento horizontal (MRU) y otro vertical (MRUA, sometido a la aceleración de la gravedad)
Tiro vertical hacia arriba
vo 0
yo
O
Tiro vertical hacia abajo
vo 0 yo
O Caída libre: vo = 0
En todos los movimientos verticales cerca de la superficie terrestre, actúa la acelera-
ción de la gravedad:
; a =-g = -9,8 m/s2
Las ecuaciones resultantes son:
v = vo -gt
y = yo + vot - gt2
v2 - vo2 = -2g·(y - yo)
v = 0
58
3.1. Tiro horizontal
Ejemplo: Se lanza horizontalmente un objeto desde una altura de 10 m con una velocidad inicial de 5 m/s. Calcular: a) velocidad y posición del objeto al cabo de 1 s; b) tiempo que está el objeto en el aire y distancia horizontal que alcanza; c) velo-cidad con la que llega al suelo.
Eje X: vx = 5 m/s; x = 5·t
Eje Y: vy = -9,8 t; y = 10 - 4,9t2
a) t = 1 s vx = 5 m/s; vy = -9,8 m/s; j8,9i5v
; v = 22 )8,9(5 = 11 m/s
x = 5·1 = 5 m; y = 10 - 4,9·12 = 5,1 m; j5,1i5r
b) 0 = 10 - 4,9t2; t = 1,43 s; x = 5·1,43 = 7,15 m = A
c) t = 1,43 s vx = 5 m/s; vy = -9,8·1,43 = -14 m/s; v = 22 14)(5 = 14,9 m/s
3.2. Tiro oblicuo
y
(0, yo)
O x A
Eje X (MRU):
vx = vo = cte
x = xo + v·t x = vo·t
Eje Y (MRUA):
(voy = 0 )
v = vo -gt vy = -g·t
y = yo + vot - gt2 y = yo - gt2
; v =
Alcance (A): si y = 0 x = A
sen α =o
oy
v
v; voy = vo·sen α
cos α =o
ox
v
v; vox = vo·cos α
Eje X (MRU):
vx = vox = cte
x = xo + v·t x = vox·t
Eje Y (MRUA):
v = vo -gt vy = voy -g·t
y = yo + vot -2
1gt2 y = yo + voyt-
2
1gt2
y voy vo v = vox
α (0, yo) vox vx hmax vy v O x A
Altura máxima (hmax): si vy = 0 y = hmax
59
Ejemplo: Se lanza un objeto desde el suelo con una velocidad inicial de 10 m/s y un ángulo de inclinación de 37º. Calcular: a) tiempo que está el objeto en el aire y dis-tancia horizontal que alcanza; b) altura máxima que alcanza.
Eje X: vox = 10· cos 37 = 8 m/s; x = 8·t
Eje Y: voy = 10· sen 37 = 6 m/s; vy = 6 -9,8 t; y = 6t - 4,9t2
a) 0 = 6t - 4,9t2; t1 = 0; t2 = 1,22 s; x = 8·1,22 = 9,8 m = A
b) 0 = 6 -9,8t; t = 0,61 s y = 6·0,61-2
19,8·0,612 = 1,83 m = hmax
4. Movimientos circulares
Son movimientos cuya trayectoria es una circunferencia. Se pueden describir me-diante magnitudes angulares.
- Posición angular (φ): indica el ángulo que forma el vector de posición en un instante cualquiera con el eje que se toma como referencia. Se mide en radianes (rad), siendo 1 rad el ángulo cuyo arco coincide con el radio de la circunferencia (360º = 2π rad).
- Velocidad angular (ω): indica la variación del ángulo recorrido respecto al tiempo. Se mide en rad/s.
Si se mide en un intervalo de tiempo t, se obtiene la velocidad angular media (ωm):
t
m
Si se mide en un instante determinado (cuando t0), se obtiene la velocidad instantánea (ω):
dt
d
tlim
0t
(derivada del ángulo respecto al tiempo)
La relación entre velocidad lineal y velocidad angular viene dada por:
v = ω·R
- Aceleración angular (α): indica la variación de la velocidad angular respecto al tiempo. Se mide en rad/s2.
Si se mide en un intervalo de tiempo t, se obtiene la aceleración media (α):
t
m
so O s R φo φ
s = posición lineal so = posición lineal inicial φ = posición angular φo = posición angular inicial R = radio
s = s - so = espacio recorrido (m)
φ = φ - φo = ángulo recorrido (rad) Se cumple que: s = φ·R
60
Si se mide en un instante determinado (cuando t0), se obtiene la aceleración instantánea (α):
dt
d
tlim
0t
(derivada de la velocidad angular respecto al tiempo)
La relación entre aceleración lineal y aceleración angular viene dada por:
at = α·R at = aceleración tangencial
4.1. Movimiento circular uniforme (MCU)
Se caracteriza por tener velocidad constante; por tanto, ω = ωm =t
ω =o
o
ttt
; φ = φo + ω·(t - to); si to = 0 φ= φo + ω·t
En magnitudes lineales:
s = so + v·t
En el MCU se introducen los conceptos de periodo y frecuencia:
- Periodo (T): tiempo que tarda el móvil en describir una circunferencia completa. (= 2π rad). Unidad: s.
2π = ω·T; T = 2πω
- Frecuencia (f): número de vueltas que da el móvil en 1 s. Unidad: Hz (= s-1)
f =2π
ωf
T
1
En el MCU no existe aceleración tangencial, ya que el módulo de la velocidad no varía, pero sí tiene aceleración normal, ya que varía la dirección de la velocidad.
R·R
)R·(
R
va 2
22
n
Ejemplo: La Luna tarda 28 días en dar una vuelta a la Tierra, siendo el radio de su órbita de 384000 km. Calcular: a) su velocidad angular y lineal y su aceleración nor-mal; b) el espacio que recorre en un día.
a) T = 28 días = 2,42·106 s; 610·42,2
2π
T
2πω 2,6·10-6 rad/s
v = ω·R = 2,6·10-6·3,84·108 = 996,8 m/s
an = ω2·R = (2,6·10-6)2·3,84·108 = 2,6·10-3 m/s2
b) φ = φo + ω·t = 2,6·10-6 · 86400 = 0,224 rad
s = φ·R = 0,224·3,84·108 = 8,6·107 m
φo= ángulo inicial φ = ángulo en el instante t ω = velocidad angular t = tiempo
so= posición inicial s = posición en el instante t v = velocidad lineal t = tiempo
61
4.2. Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Se caracteriza por tener aceleración angular constante; por tanto, α = αm =t
α =o
o
ttt
; si to = 0 ω = ωo + α·t
Se puede determinar la ecuación de la posición de forma análoga a la empleada en el MRUA:
φ = φo + ωot + 2t2
1
Despejando t en la ecuación ω-t y sustituyendo en la ecuación φ-t, se obtiene la relación φ-ω: ω2 -ωo
2 = 2·α·(φ-φo)
Ejemplo: Una rueda de 20 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniforme-mente hasta alcanzar una velocidad angular de 60 r.p.m. en 30 s. Calcular: a) ace-leración angular de la rueda; b) número de vueltas que da la rueda en los 30 s; c) aceleraciones normal y tangenciall de un punto del borde de la rueda a los 30 s.
a) ω = 60s60
min1·
vuelta1
rad2·
min
vueltas = 6,28 rad/s; ω = ωo + αt; 6,28 = α30
α = 0,21 rad/s2
b) φ = φo + ωot + 2t2
1 =
2
10,21·302 = 94,2 rad·
rad2
vuelta1
= 15 vueltas
an = ω2·R = (6,28)2·0,2 = 7,89 m/s2 ; at = α·R = 0,21·0,2 = 0,042 m/s
5. Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un movimiento rectilíneo y periódico en torno a una posición central de equilibrio. El movimiento de un cuerpo unido a un muelle o el movimiento de un péndulo son ejemplos de M.A.S.
El M.A.S. se puede considerar como la proyección de un M.C.U sobre un diámetro de la circunferencia:
0 1 6
φ 2 5’ 6’ 0’ 1’ A x 4’ 2’ 3=3’ 5 4
ωo= velocidad angular inicial ω = velocidad angular en el instante t α = aceleración angular t = tiempo
φ= ángulo en el instante t φo= ángulo inicial ωo= velocidad angular inicial α = aceleración angular t = tiempo
Supongamos que la partícula se mueve con
una velocidad angular ω describiendo una cir-cunferencia de radio A a partir del punto 0. Después de un tiempo t la partícula alcanza los puntos 1, 2, 3… siendo el ángulo recorrido φ= ω·t. Al proyectar 1, 2, 3… sobre el eje x se obtienen los puntos 1’, 2’, 3’…siendo x:
x = A· sen φ = A· sen (ω·t)
62
Si la partícula comienza a moverse por un punto distinto de 0, habrá un ángulo inicial φo, luego el ángulo recorrido vendrá dado por φ= ω·t + φo, y la posición en x será:
x = A·sen (ω·t + φo)
x = elongación o posición en el eje x en un M.A.S. Unidad: m
A = amplitud del movimiento o elongación máxima. Unidad: m
ω = frecuencia angular o pulsación. Unidad: rad/s;
ω =T
2π, siendo T = periodo o tiempo en completar una oscilación. Unidad: s
ω = 2πf, siendo f = T
1= frecuencia o nº de oscilaciones por segundo. Unidad: s-1 o Hz
t = tiempo transcurrido. Unidad: s
φo = fase inicial o ángulo correspondiente a la posición inicial. Unidad: rad
Al representar la elongación (x) frente al tiempo (t), se obtiene una función sinusoidal:
Ejemplo: Un cuerpo se encuentra unido a un muelle situado a lo largo del eje X. En el instante inicial, el muelle se comprime 3 cm y se deja libre, tardando 6 s en regresar a la posición inicial. Determinar la ecuación de la posición del cuerpo en función del tiempo y su posición en el instante t = 1 s.
Derivando la posición respecto al tiempo, se obtiene la ecuación de la velocidad:
Para t = 0 -0,03 = 0,03·sen(ω·0 + φo) sen φo = -1; φo=
= /s; por tanto: x = 0,03·sen
Para t = 1 s x = 0,03·sen = -0,015 m
v = = A·ω·cos(ω·t + φo) siendo = A·ω
x +A
t 0 T/4 T/2 3T/4 T
-A
63
El signo de la velocidad inicial permite determinar el valor de la fase inicial de una onda en los casos en los que hay dos posibles soluciones:
- Si vo<0 → cos φo<0 → π/2< φo<3π/2
- Si vo>0 → cos φo>0 → 0< φo<π/2 o 3π/2< φo<2π
Derivando la velocidad respecto al tiempo, se obtiene la ecuación de la aceleración:
Ejemplo: Una partícula que se encuentra inicialmente en x = 1,5 cm oscila con un pe-riodo de 6 s y velocidad inicial negativa. Determinar la ecuación de la posición del cuerpo en función del tiempo y su velocidad y su aceleración para t = 1 s.
Para t = 0 0,015 = 0,03·sen(ω·0 + φo) sen φo = 0,5 φo1= π/6; φo2= π-π/6 = 5π/6
6
π2ω = rad
3
π/s; por tanto: x = 0,03·sen(
π
3t+
5π
6)
v =dt
dx= 0,03·
3
πcos(
π
3t+
5π
6); para t = 1 s v = 0,03·
3
πcos(
π
3+
5π
6) = -0,027 m/s
a =dt
dv= -0,03·
2
3
π
sen(
π
3t+
5π
6); para t = 1 s a = -0,03·
2
3
π
sen(
π
3+
5π
6)=
= 0,016 m/s2
a = dt
dv= - A·ω2·sen(ω·t + φo)
siendo maxa = A·ω2
v +A·ω
t
0 T/4 T/2 3T/4 T
-A·ω
64
EJERCICIOS
1. El movimiento de un balón sigue la ecuación j)5t(10ti6tr 2
, expresado en
unidades del S.I. a) El vector desplazamiento entre t = 0 y t = 2 s. b) La velocidad media del balón en dicho intervalo. c) Su velocidad instantánea para t = 0 s, t = 1 s y t = 2 s. d) Su aceleración.
Solución: a) 12 i
m; b) 6 i
m/s; c) (6 j10i
) m/s; 6 i
m/s; (6 j10-i
) m/s; c) -10 j
m/s2
2. El movimiento de un punto viene dado por la ecuación r ⃗= (4 + 2t2)i + (5t - t2)j . Cal-
cular: a) El módulo de su velocidad instantánea para t = 1 s. b) El módulo de su aceleración. Solución: a) 5 m/s; b) 4,47 m/s2
3. El movimiento de un cuerpo unido a un muelle sigue la ecuación x = 4 sen2
π t.
Calcular: a) Su posición para t = 0 s, t = 1 s y t = 2 s. b) Su velocidad para t = 0 s, t = 1 s y t = 2 s. c) Su aceleración para t = 0 s, t = 1 s y t = 2 s.
Solución: a) 0 m; 4 m; 0 m; b) 6,28 m/s; 0 m/s; -6,28 m/s; c) 0 m/s2; -9,87 m/s2, 0 m/s2
4. Desde un punto A parte un coche con una velocidad de 108 km/h hacia un punto B separado 1 km de A. Al mismo tiempo una bicicleta sale de B, en la misma dirección y sentido que el coche, con una velocidad de 36 km/h. Calcular:
a) Tiempo que tardan en encontrarse. b) Posición en el instante en el que se encuentran, medida desde A. Solución: a) 50 s; b) 1500 m
5. Desde dos pueblos, A y B, separados por una distancia de 10 km, salen al encuen-tro dos automóviles con velocidades de 72 km/h y 108 km/h respectivamente. Cal-cular:
a) Tiempo que tardan en encontrarse. b) Posición en el instante en el que se encuentran, medida desde A. Solución: a) 200 s; b) 4000 m
6. Un coche pasa por un punto con una velocidad de 50 km/h; una motocicleta pasa 5 s después por el mismo punto a 60 km/h. Si circulan por una calle recta, calcular:
a) Tiempo que tarda la motocicleta en alcanzar al coche. b) Posición del punto en el que la motocicleta alcanza al coche. Solución: a) 25 s; b) 416,7 m
7. La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 108 km/h a 72 km/h. Sabiendo que durante ese tiempo recorre una distancia de 100 m. Calcular: a) La aceleración de frenado. b) La distancia total que recorre, si sigue con esa misma aceleración, hasta que se
detiene. Solución: a) -2,5 m/s2; b) 180 m
8. Un conductor va por una carretera a 144 km/h. En un instante dado, ve un obstáculo
a 75 m de distancia y frena con aceleración de -8 m/s2. a) ¿Qué velocidad tendrá en el momento del choque? Expresar el resultado en
km/h. b) ¿A qué distancia del obstáculo habría parado si hubiera circulado a 90 km/h?
Solución: a) 72 km/h; b) 35,94 m
65
9. Un coche parte del reposo desde un punto A con una aceleración de 4 m/s2 y se dirige hacia un punto B, situado a 500 m de A; al mismo tiempo otro coche pasa por el punto B y se dirige hacia A con una velocidad constante de 108 km/h. Calcular: a) Punto en el que se cruzan ambos coches. b) Velocidad (en km/h) del primer coche en ese instante. Solución: a) 200 m (desde A); b) 144 km/h
10. Desde una torre de 200 m de altura se deja caer un objeto. a) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad del cuerpo en ese instante. b) Si el objeto se lanzara hacia abajo con una velocidad inicial de 10 m/s ¿cómo
cambiarían las respuestas anteriores? Solución: a) 6,39 s; -62,6 m/s; b) 5,45 s; -63,4 m/s
11. Se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo un cuerpo con velocidad inicial de 500 m/s. Calcular: a) La altura máxima alcanzada por el cuerpo. b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. c) ¿En qué tiempos pasará por el nivel 10 km de altura? d) Velocidad al cabo de 40 y 80 s.
Solución: a) 12755 m; b) 51 s; c) 27,3 s, 74,7 s; d) 108 m/s, -284 m/s
12. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde una ventana situada a 9 m del suelo se ve pasar la pelota con una velocidad 5 m/s. Calcular: a) La velocidad inicial con la que fue lanzada la pelota. b) El tiempo que tarda en pasar por la ventana. c) La altura máxima que alcanza.
Solución: a) 14,2 m/s; b) 0,94 s; c) 10,3 m
13. Desde un punto situado a 20 m de altura se deja caer un cuerpo; al mismo tiempo se lanza otro objeto desde el suelo con una velocidad de 10 m/s. Calcular: a) Tiempo que tardan en encontrarse y punto en el que se encuentran. b) Velocidad de cada uno en ese instante. Solución: a) 2 s; 0,4 m; b) -19,6 m/s; -9,6 m/s
14. Desde un punto situado a 100 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 50 m/s; 2 s más tarde se lanza otro objeto desde el suelo con una velocidad de 150 m/s. a) ¿Cuánto tiempo tarda el segundo en alcanzar al primero? b) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante? c) ¿Dónde se encuentra el segundo cuando el primero alcanza la altura máxima? d) ¿Dónde se encuentra el segundo cuando el primero llega al suelo? Solución: a) 1,5 s; b) 15,7 m/s, 135,3 m/s; c) 418 m; d) 1005 m
15. Un esquiador salta horizontalmente desde una altura de 20 m con una velocidad inicial de 80 km/h. Calcular: a) Tiempo que el esquiador está en el aire. b) Distancia horizontal que alcanza. c) Velocidad con la que llega al suelo. Solución: a) 2,02 s; b) 44,8 m; c) 29,7 m/s
16. Un chorro de agua sale horizontalmente del caño de una fuente con una velocidad de 4 m/s. Si el agua cae a una distancia horizontal de 75 cm, calcular: a) ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra el caño? b) ¿Con qué velocidad llega el agua al suelo? Solución: a) 0,172 m; b) 4,4 m/s
66
17. Desde una ventana que está situada a 10 m del suelo, una persona lanza horizon-talmente un objeto a otra que está en la calle a 3 m de la casa. a) ¿Con qué velocidad debe lanzarlo para que caiga en las manos de la otra per-
sona si éstas se encuentran a 1 m del suelo? b) ¿Con qué velocidad llega el objeto? Solución: a) 2,21 m/s; b) 13,5 m/s
18. Se dispara un proyectil desde el suelo con una velocidad inicial de 540 m/s y un ángulo de inclinación de 30º respecto a la horizontal. Determinar: a) Tiempo que estuvo el proyectil en el aire. b) Alcance del proyectil. c) Altura máxima que alcanzó. d) Velocidad con que llegó al suelo. e) Si el disparo se realizara desde una colina de 500 m de altura, ¿cómo cambiarían
las respuestas anteriores? Solución: a) 55,1 s; b) 25768 m; c) 3719 m; d) 540 m/s;
e) 56,9 s; 26609 m; 4219 m; 549 m/s 19. Se lanza una pelota desde una altura de 1,2 m del suelo con una velocidad de 40
m/s y un ángulo de 45º. Si a 20 m de distancia hay un edificio, determinar: a) Altura a la que chocará la pelota con el edificio. b) Velocidad de la pelota en el momento del impacto. Solución: a) 18,75 m; b) 35,5 m/s
20. Un atleta lanza su jabalina desde el suelo en una dirección que forma un ángulo de
30º respecto a la horizontal y alcanza una distancia de 78 m. Despreciando al roza-miento con el aire, determinar: a) Velocidad con que salió disparada la jabalina. b) Tiempo que estuvo la jabalina en el aire. c) Altura máxima que alcanzó. d) Velocidad con que llegó al suelo. Solución: a) 29,7 m/s; b) 3,03 s; c) 11,25 m; d) 29,7 m/s
21. Dos alumnos están situados a la misma distancia de una papelera y tratan de en-
cestar una bola de papel. El primero lanza la bola desde una altura de 1 m y ésta sale con una velocidad de 10 m/s y un ángulo de elevación de 30º. El segundo lanza horizontalmente la bola desde una altura de 2 m. Sabiendo que los dos hacen ca-nasta, determinar: a) Distancia a la que se encuentra la papelera. b) Velocidad inicial con la que el segundo alumno lanza la bola.
Solución: a) 10,3 m; b) 16,1 m/s
22. Una rueda de 40 cm de radio gira a 42 r.p.m. Calcular: a) Su periodo y su frecuencia. b) La velocidad lineal y la aceleración normal de un punto de su periferia. c) El número de vueltas que dará en 5 minutos.
Solución: a) 1,43 s; 0,7 Hz; b) 1,76 m/s; 7,74 m/s2; c) 210 vueltas
23. Determinar la velocidad angular, velocidad lineal y aceleración normal de: a) Un punto del ecuador en el movimiento de rotación de la Tierra (radio de la Tierra
= 6370 km). b) La Tierra en su movimiento de traslación (distancia Tierra-Sol = 1,5·108 km).
Solución: a) 7,27·10-5 rad/s; 463,2 m/s; 0,0337 m/s2; b) 1,99·10-7 rad/s; 2,99·104 m/s; 5,95·10-3 m/s2
67
24. Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcular:
a) Número de vueltas que da el disco en 1 min. b) Velocidad lineal y aceleración normal de un punto del borde del disco a los 25 s
de iniciarse el movimiento. Solución: a) 23,8 vueltas; b) 0,312 m/s; 0,649 m/s2
25. Una rueda de 50 cm de radio gira con una velocidad angular de 60 r.p.m. cuando se le aplica un freno, dando 4 vueltas antes de detenerse. Calcular: a) La aceleración angular de la rueda. b) Tiempo que tarda en parar. c) Aceleración tangencial y normal 4 s después de empezar a frenar.
Solución: a) -0,25π rad/s2; b) 8 s; c) -0,39 m/s2; 4,93 m/s2
26. Un motorista se encuentra en una pista circular de 200 m de radio. Parte del reposo y al cabo de 20 s alcanza una velocidad de 72 km/h. Calcular:
a) Sus aceleraciones tangencial, normal y total en el instante en que alcanza dicha velocidad.
b) El número de vueltas que habrá dado al cabo de 5 minutos si, una vez alcanzados los 72 km/h, continúa con velocidad constante.
Solución: a) 1 m/s2, 2 m/s2, 2,23 m/s2; b) 4,61 vueltas
27. El movimiento de una partícula sigue la ecuación x = 8 sen
πt
2
π.
a) Determinar el período del movimiento. b) Representar la posición de la partícula respecto al tiempo en el intervalo [0,T].
Solución: a) 4 s
28. Una partícula describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje X, de forma que, en el instante inicial, se encuentra en el extremo positivo de su trayectoria y tarda 4 s en alcanzar el extremo opuesto, a 10 cm de la posición inicial. a) Determinar la posición en función del tiempo. b) Calcular la posición en los instantes t = 1 s, t = 2 s y t = 3 s.
Solución: a) x = 0,05 sen
2
πt
4
π; b) 0,0353 m; 0; -0,0353 m
29. El movimiento de un cuerpo viene dado por x = 4 sen (πt + π/4) en unidades del S.I. Calcular: a) Número de oscilaciones que realiza el cuerpo en un minuto. b) Posición, velocidad y aceleración del cuerpo cuando t = 1 s.
Solución: a) 8 m; 30; b) – 2,83 m; -8,89 m/s; 27,9 m/s2
30. Una partícula se mueve en el eje X describiendo un movimiento armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = -10 cm y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto x = 0 con velocidad negativa. Si el periodo de las oscilaciones es de 12 s, determinar: a) La expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de la partícula para t = 2 s.
Solución: a) x = 0,1 sen (π
6t + π); b) -0,0262 m/s; 0,0237 m/s2
68
TEMA 6. DINÁMICA
1. Leyes de Newton
La dinámica es la parte de la física que estudia los movimientos en relación con las causas que lo producen. Se basa en las leyes de Newton, enunciadas por Isaac Newton en 1687.
1ª ley o ley de la inercia: “Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la fuerza resultante es nula, el cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme”.
Si ΣF
= 0 →
MRUctev
reposo0v
Esta tendencia de los cuerpos a mantenerse en su estado de reposo o movimiento, recibe el nombre de inercia, y está presente en numerosas situaciones cotidianas. Por ejemplo, cuando un vehículo acelera, sus ocupantes tienden a permanecer en reposo, por lo que aparentemente se desplazan hacia atrás; por el contrario, cuando un vehículo frena, sus ocupantes tienden a continuar en movimiento, por lo que aparentemente se desplazan hacia delante. Desde el punto de vista de un observador situado en el interior del vehículo (sistema de referencia no inercial), sus ocupantes están sometidos a unas fuerzas que los empujan hacia atrás o hacia delante respectivamente, pero estas fuerzas son ficticias; desde el punto de vista de un observador en el exterior del vehículo (sistema de referencia inercial), este desplazamiento aparente se debe a la inercia y no existe ninguna fuerza que los empuje.
Cuando el vehículo acelera:
Para estudiar las fuerzas y los movimientos se suele elegir un sistema de referencia inercial, es decir, un sistema que se encuentre en reposo o moviéndose con MRU, de forma que el movimiento pueda explicarse sin recurrir a fuerzas ficticias. En la práctica la Tierra puede considerarse un sistema de referencia inercial, ya que su aceleración es muy pequeña y no la podemos apreciar.
2ª ley o ley fundamental de la dinámica: “Si sobre un cuerpo actúa una fuerza resultante, éste adquiere una aceleración que es directamente proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”.
am·Fm
F a
Para calcular la fuerza resultante, hay que dibujar previamente un diagrama de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Si todas las fuerzas actúan en la misma dirección se puede resolver el problema escalarrmente, toando como positivas las fuerzas que actúan a favor del movimiento y como negativas las que actúan en contra. Como la fuerza resultante y el vector aceleración son proporcionales, si la fuerza resultante es
positiva, la velocidad aumenta (a0) y si es negativa, disminuye (a0).
)(m/s naceleració a
(kg) masam
s
kg·m 1(N) Newton :Unidad .resultante fuerza FΣ
2
2
Observador no inercial: el objeto
se desplaza hacia atrás porque hay una fuerza que lo empuja.
Observador inercial:
el objeto tiende a per-manecer en reposo porque ΣF = 0, pero se desplaza respecto al vehículo que está ace-lerando.
69
Ejemplo: Sobre un cuerpo de 10 kg que se desplaza a 3 m/s, se aplica una fuerza de 40 N en la dirección y sentido del movimiento. Si la fuerza de rozamiento es de 10 N, calcular: a) la aceleración que adquiere; b) la distancia que recorrerá en 2 s.
3ª ley de Newton o ley de acción o reacción: “Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce a su vez una fuerza sobre el primero con el mismo módulo y direc-ción, pero de sentido opuesto”.
Es importante tener en cuenta que las fuerzas están aplicadas sobre cuerpos dife-rentes, por lo que no se anulan mutuamente, aunque sus efectos frecuentemente quedan enmascarados por las fuerzas de rozamiento u otras fuerzas opuestas al movimiento.
2. Fuerzas de especial interés: peso, normal, fuerza de rozamiento y tensión.
2.1. Peso
Es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos situados en sus proximidades. Teniendo en cuenta que un cuerpo sometido únicamente a la atracción
gravitatoria terrestre adquiere una aceleración g
(aceleración de la gravedad), si
aplicamos la 2º ley de Newton, tenemos que:
ΣF m·a → gm·P
( g= -9,8 j
m/s2)
Su módulo viene dado por: P = m·g (g = 9,8 m/s2)
2.2. Fuerza normal
Es la fuerza que ejerce una superficie sobre el cuerpo que se apoya en ella, como reacción a la fuerza que el cuerpo ejerce sobre dicha superficie. Su dirección es siempre perpendicular a la superficie de apoyo y su sentido es el opuesto a dicha superficie. Su módulo se determina a partir del diagrama de fuerzas, teniendo en cuenta que, en general, no se produce movimiento en la dirección de la fuerza normal
(Σ F
0).
a) → F – Fr = m·a
40 -10 = 10 a; a = 3 m/s2
b) x = xo + vot + ; x = 3·2 + = 12 m
m1 m2
= fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1.
= fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2.
Dirección: perpendicular a la superficie terrestre.
Sentido: hacia el centro de la Tierra.
70
- Cuerpo en el interior de un sistema sometido a una aceleración.
En este caso, como el cuerpo está sometido a una aceleración, se aplica la segunda ley de Newton.
α
α
- Cuerpo en un plano horizontal
Σ 0 → N – P = 0; N = P
Σ 0 → N + Fy – P = 0; N = P - Fy
Como sen = → Fy = F·sen
- Cuerpo en un plano horizontal sobre el que actúa una fuerza oblicua Si actúa una fuerza fuera de los ejes de coordenadas (x: dirección del movi-miento; y: perpendicular al movimiento), hay que descomponerla según dichos ejes teniendo en cuenta el ángulo que forma con éstos.
- Cuerpo en un plano inclinado En este caso hay que descomponer el peso según los ejes de coordenadas, te-niendo en cuenta el ángulo que forma con éstos.
Σ 0 → N – Py = 0; N = Py
Como cos = → Py = P·cos
N
P
Si el ascensor sube:
N- P = m·a Si el ascensor baja:
P – N = m·a
71
2.3. Fuerza de rozamiento
Es la fuerza que aparece en la superficie de contacto entre dos cuerpos opo-niéndose al deslizamiento. Cuando un cuerpo se desliza por una superficie el módulo de la fuerza de rozamiento viene dado por:
Fr = · N
Si el cuerpo se encuentra en reposo, la ecuación anterior representa el valor máximo de la fuerza de rozamiento. Si la fuerza aplicada supera dicho valor, el cuerpo comienza a deslizar; de lo contrario, el cuerpo permanece en reposo, siendo la fuerza de rozamiento igual a la fuerza aplicada.
En todos los problemas de cuerpos que deslizan por planos, hay que considerar al menos el peso, la normal y la fuerza de rozamiento para trazar el diagrama de fuerzas y aplicar la 2ª ley de Newton. Las situaciones más habituales son las siguientes:
α
α
α
α
Plano inclinado
- Si baja: - Si sube
Σ Σ
Px -Fr = m·a F - Px -Fr = m·a
Σ Σ
F -Fr = m·a Fx -Fr = m·a
α
μ = coeficiente de rozamiento N = fuerza normal
Plano horizontal
- Si se aplica una fuerza horizontal: - Si se aplica una fuerza oblicua:
72
Ejemplo: Un cuerpo de 50 kg de masa reposa en un plano horizontal (μ = 0,2). Determinar la fuerza de rozamiento y la aceleración si se aplica una fuerza horizontal de: a) 80 N; b) 120 N.
Ejemplo: Un cuerpo de 50 kg de masa reposa en un plano horizontal (μ = 0,2). Determinar la fuerza de rozamiento y la aceleración si se aplica una fuerza de 120 N formando un ángulo de 30º con la horizontal.
Ejemplo: Se deja caer un cuerpo de 50 kg de masa por un plano inclinado 30º (μ = 0,2). Determinar la fuerza de rozamiento y la aceleración que adquiere.
2.4. Tensión
Es la fuerza que ejercen los cuerpos unidos por una cuerda sobre ésta, mantenién-dola tensa. Por el principio de acción y reacción, la cuerda ejerce la misma fuerza sobre dichos cuerpos.
Para resolver problemas de cuerpos enlazados por cuerdas, se realiza el diagrama de fuerzas habitual incluyendo la tensión en ambos extremos de la cuerda; a conti-nuación se plantea la 2º ley de Newton para cada uno de los cuerpos por separado y se resuelve el sistema de ecuaciones.
P = m·g = 50·9,8 = 490 N
Fx = F·cos 30 = 120·cos 30 = 103,9 N
Fy = F·sen 30 = 120·sen 30 = 60 N
N = P – Fy = 490 – 60 = 430 N
Fr = μ·N = 0,2·430 = 86 N
Fx – Fr = m·a; 103,9 - 86 = 50·a; a = 0,36 m/s2
N = P = m·g = 50·9,8 = 490 N Fr, max = μ·N = 0,2·490 = 98 N
a) F Fr, max → No desliza (a = 0) F – Fr = 0; Fr = F = 80 N
b) F Fr, max → Desliza F – Fr = m·a; 120 – 98 = 50·a; a = 0,44 m/s2
N
rF
F
P
N
yF
F
rF
30º xF
P
N
rF
xP
30º yP
P
30º
P = m·g = 50·9,8 = 490 N
Px = P·sen 30 = 490·sen 30 = 245 N
Py = P·cos 30 = 490·cos 30 = 424 N = N
Fr = μ·N = 0,2·424 = 84,8 N
Px – Fr = m·a; 245 – 84,8 = 50·a; a = 3,2 m/s2
73
Las situaciones más habituales son las siguientes:
Σ Σ
(1) T - P1 = m1·a (1) T -Fr = m1·a (2) P2 - T = m2·a (2) P2 - T = m2·a
Σ (1) T - P1x -Fr = m1·a (2) P2 - T = m2·a
α
α
- Polea con plano inclinado:
Σ (1) T1 - Fr1 = m1·a (2) T2 – T1 – Fr2 = m2·a (3) F - T2 – Fr3 = m3·a
- Cuerpos enlazados sobre plano horizontal:
- Polea simple (máquina de Atwood): - Polea con plano horizontal:
(El sentido del movimiento depende de P1x y P2; aquí hemos considerado P2 P1x)
74
Ejemplo: Un cuerpo de 5 kg de masa reposa sobre un plano inclinado 30º (μ = 0,2) unido por una cuerda, que pasa por una polea, a otro cuerpo de 2 kg que cuelga por el extremo vertical. Determinar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.
Para determinar el sentido del movimiento, calculamos P1x y P2:
P1 = m1·g = 5·9,8 = 49 N; P1x = 49 ·sen 30 = 24,5 N; P2 = m2·g = 2·9,8 = 19,6 N
P1x P2 m1 desciende y m2 asciende (siempre que el rozamiento no lo impida)
3. Dinámica del movimiento circular
En el movimiento circular uniforme la única aceleración que existe es la aceleración normal o centrípeta, ya que sólo varía la dirección de la velocidad. Por tanto, la fuerza resultante (directamente proporcional a la aceleración, como indica la 2ª ley de Newton), tiene la misma dirección y sentido que dicha aceleración, es decir, hacia el centro de la circunferencia, y recibe el nombre de fuerza centrípeta.
MCU → Σ F
fuerza centrípeta ( cF
) → cF
= m· na
→ Fc = m·r
v 2
Algunos de los casos más habituales son los siguientes:
α
α
m
N
rF
P
N = P1y = 49·cos 30 = 42,4 N
Fr,max = μ·N = 0,2·42,4 = 8,48 N
Σ a·mF
(1) P1x -T -Fr = m1·a (2) T - P2 = m2·a
24,5 -T - 8,48 = 5·a T - 19,6 = 2·a
24,5 - 8,48 - 19,6 = 7·a a 0
El sistema no se desplaza a = 0
T -19,6 = 0 T = 19,6 N
N
T
T
rF
xP
30º yP
30º 1P
2P
- Vehículo que toma una curva:
En este caso la fuerza de rozamiento entre los neumáticos y el asfalto (que se opone al deslizamiento del vehículo impidiendo que éste se salga de la curva) actúa como fuerza centrípeta. Por tanto:
Fr = m·an → μ·m·g = m·r
v 2
- Cuerpo unido a una cuerda que gira en un plano horizontal
En este caso la componente horizontal de la tensión (Tx) actúa como fuerza centrí-peta, mientras que la componente vertical de la tensión (Ty) se anula con el peso. Por tanto se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
Tx = Fc → T·sen = m·r
v 2
Ty = P → T·cos = m·g
75
4. Momento lineal y momento angular. Principios de conservación
Se llama momento lineal o cantidad de movimiento de un cuerpo al producto de su masa por su velocidad:
vm· p
Según el principio de conservación del momento lineal, cuando la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo o un sistema de cuerpos es nula, su momento lineal permanece constante.
- Para un cuerpo: Si ΣF
= 0 → m· v
= cte → v
= cte (1ª ley de Newton)
- Para un sistema (m1, m2,…): Si ΣF
= 0 → m1· 1v
+ m2· 2v
+… = m1· '1v
+ m2· '2v
+…
Siendo 1v
, 2v
,…las velocidades antes de que los cuerpos interaccionen y 1v
’, 2v
,…
las velocidades después de la interacción.
Si los cuerpos se mueven en un solo eje, se puede aplicar la ecuación escalarmente, tomando como positivas las velocidades que se mueven en un sentido y como negativas las que van en el opuesto.
m1·v1 + m2·v2 + … = m1·v1’ + m2·v2’ + …
Si los cuerpos se mueven en el plano, hay que aplicar la ecuación en cada eje por separado:
Eje X: m1·v1x + m2·v2x + … = m1·v1x’ + m2·v2x’ + …
Eje Y: m1·v1y + m2·v2y + … = m1·v1y’ + m2·v2y’ + …
Este principio puede aplicarse a distintos casos de interacción entre dos o más cuerpos:
- Choque: en este caso los cuerpos cambian sus velocidades como consecuencia de las fuerzas de acción y reacción entre ellos, siendo la fuerza resultante nula para todo el sistema; por ello se puede aplicar también el principio de conservación del momento lineal:
- Lanzamiento, disparo, explosión,…: en todas estas situaciones existen dos o más cuerpos inicialmente unidos que se separan como consecuencia de fuerzas internas, siendo la fuerza resultante nula. Por tanto puede aplicarse el principio de conservación del momento lineal. Si inicialmente los cuerpos están en reposo, tendremos la ecuación:
Ejemplo: Un cuerpo de 2 kg de masa que se mueve a 4 m/s, choca con un cuerpo de 4 kg de masa que se mueve perpendicularmente a 3 m/s. Suponiendo que per-manecen unidos después del choque, determinar su velocidad final.
Eje X: m1·v1x + m2·v2x = (m1+ m2)·vx’ → 2·4 = 6·vx’; vx’ = 1,33 m/s
Eje Y: m1·v1y + m2·v2y = (m1 + m2)·vy’ → 4·3 = 6·vy’; vy’ = 2 m/s
j2i1,33 v
(m/s); v = 22 21,33 = 2,3 m/s
0 = m1· '1v
+ m2· '2v
+…
Unidad: kg·m/s
m2 m1
2v
1v
Retroceso de un arma:
m1· 1v
+ m2· 2v
+… = m1· '1v
+ m2· '2v
+…
Si los cuerpos quedan unidos tras el choque:
m1· 1v
+ m2· 2v
+… = (m1 + m2 +…)· 'v
76
El momento angular de una partícula )L(
respecto a un punto es el producto vectorial
del vector de posición de la partícula respecto a dicho punto por su momento lineal (o cantidad de movimiento). En los movimientos de rotación suele calcularse respecto al centro de la circunferencia.
α = ángulo que forman .vyr
Unidad: kg·m2/s
Cuando actúan fuerzas centrales (fuerzas cuya dirección coincide con la del vector posición), se cumple el principio de conservación del momento angular:
Si L
= cte r1·m·v1·sen α1 = r2·m·v2·sen α2
Por este principio, cuando aumenta el radio de la trayectoria de un cuerpo sometido a fuerzas centrales, disminuye su velocidad. Esto se cumple en el movimiento plane-tario (2ª ley de Kepler).
Ejemplo: Suponiendo que la Tierra describe una orbita circular alrededor del Sol de 1,5·1011 m de radio, determinar el módulo del momento angular de la Tierra respecto al Sol.
v = T
r2π=
31536000
10·5,1·π2 11
= 2,99·104 m/s
4042411 2,68·1090sen·2,99·10·5,98·101,5·10L · kg·m2/s
5. Fuerza gravitatoria. Leyes de Kepler
5.1. Ley de la gravitación universal
La ley de la gravitación universal fue enunciada por Isaac Newton en 1666 y afirma que dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que existe entre sus centros.
La fuerza gravitatoria es una fuerza central, ya que está dirigida siempre hacia el centro de M, coincidiendo con el vector posición de m. Por ello, cuando un cuerpo se desplaza sometido a la acción de la fuerza gravitatoria, ésta actúa como fuerza centrípeta, de forma que el cuerpo describe un movimiento circular uniforme (MCU).
m r
M α
αsen·v·m·r=L
vmrprL
El módulo del momento angular viene dado por:
m1
21F
12F
r m2
2
212112
r
mmGFF
12F
fuerza que ejerce m1 sobre m2 (N)
21F
fuerza que ejerce m2 sobre m1 (N)
G = cte. de gravitación universal = 6,67·10-11Nm2/kg2
m1, m2 = masas que se atraen (kg)
r = distancia del centro de m1 al centro de m2 (m)
77
Ejemplo: Suponiendo que la órbita de la Tierra en torno al Sol es una circunferencia de radio 1,5·1011 m, determinar la masa del Sol.
T = 365 días = 31536000 s; v= ω·r = r·T
π2= 1110·5,1·
31536000
π2 = 2,99·104 m/s
1110·67,6
11
24
211 10·5,1
)10·99,2(m
)10·5,1(
m·M M =2·1030 kg
5.2. Leyes de Kepler
Kepler enunció en 1609 tres leyes empíricas acerca del movimiento planetario a partir de los datos recopilados por Tycho Brahe. Se demuestran matemáticamente a partir de la ley de la gravitación universal y el principio de conservación del mo-mento angular.
1ª ley (ley de las órbitas): " Los planetas giran describiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol"
2ª ley (ley de las áreas): " El radio vector que une un planeta con el Sol, recorre áreas iguales en tiempos iguales"
Esto equivale a afirmar que la velocidad areolar de cada planeta es constante, de-finiéndose la velocidad areolar como el área recorrida por el radio vector por unidad de tiempo:
m
M r
m adquiere una aceleración normal: aN = ω2·r
Aplicando la segunda ley de Newton:
F= m·a G v =
o bien: G ω2·r ω =
t1 A1 A2 t2
Si t1= t2 A1 = A2
m rP rA perihelio M afelio
La distancia de los planetas al Sol varía a lo largo de su trayectoria. El punto de la órbita más cercano al Sol recibe el nombre de pe-rihelio, y el más alejado es el afelio.
vareolar =dt
dA= cte; si el movimiento es circular, vareolar =
T
πr
Δt
ΔA 2
(m2/s)
78
Para calcular la velocidad areolar en un movimiento elíptico, suponemos que el pla-neta realiza un pequeño desplazamiento Δr, recorriendo un área triangular A.
Se puede obtener el mismo resultado aplicando el principio de conservación del mo-mento angular al afelio y al perihelio:
rA·m·vA·sen 90 = rP·m·vP·sen 90 rA· vA = rP ·vP
Ejemplo: Cuando la Tierra está en el afelio su distancia al Sol es de 1,52·1011 m y su velocidad orbital es de 2,92·104 m/s. Hallar: a) La velocidad orbital en el perihelio si en este punto su distancia al Sol es de
1,47·1011 m. b) La velocidad areolar de la Tierra.
a) 1,52·1011 ·2,92·104 = 1,47·1011·vP; vP = 3,02·104 m/s
b) v areolar =2
10·92,2·10·52,1 411
= 2,22·1015 m2/s
3ª ley (ley de los periodos): "El cuadrado del periodo de un planeta es directamente proporcional al cubo del radio (o semieje mayor) de la órbita del planeta".
Es decir: T 2 = K·r 3 (siendo r = )2
rr PA
Si se aplica a dos planetas distintos:
Esta fórmula se puede deducir también a partir de la teoría de la gravitación universal:
G
2
S
2
M m 2π=m ·r
r T T 2 = 3
s
2
r·GM
π4= K·r3, siendo K =
s
2
GM
π4
Ejemplo: Sabiendo que el radio de la órbita de la Tierra es 1,5·1011 m, y el de Urano 2,87·1012 m, determinar el periodo de Urano.
312
311
2
2
2
)10·87,2(
)10·5,1(
T
)año1( T2 = 83,7 años
6. Fuerza electrostática
Toda la materia está constituida por cargas eléctricas: positivas (en los protones) y ne-gativas (en los electrones), de forma que las cargas del mismo signo se repelen y las de distinto signo se atraen. La unidad de carga eléctrica en el sistema internacional es el culombio (C). Se dice que la carga está cuantizada, ya que la carga de cualquier cuerpo es un múltiplo de carga elemental, e = 1,6 10-19 C, siendo la carga del protón +e y la del electrón -e. Los fenómenos de electrización se deben a la pérdida o ganancia de electrones que altera el equilibrio entre cargas positivas y negativas.
Δr A
r
A = ; por tanto: v areolar =
Si se aplica al afelio y al perihelio:
v areolar = cte rA· vA = rP ·vP
3
2
3
1
2
2
21
r
r
T
T
79
La ley que rige la interacción entre cargas eléctricas o ley de Coulomb fue enunciada por el físico francés Charles Coulomb en 1785 y afirma que: "La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de di-chas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa".
.
Si hay dos o más fuerzas aplicadas sobre la misma carga, estas se suman vectorial-mente.
Ejemplo: Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q1=-2 μC en el punto (1,0) y q2= 4 μC en el punto (-2,0). Si se coloca en el origen una carga q3 = -1 μC determinar la fuerza ejercida sobre ella por las cargas q1 y q2.
N018,0(1)
)10·1·(2·10·9·10F
2
66
912
N009,0(2)
)10·1·(4·10·9·10F
2
66
923
F
0,018 + 0,009 = 0,027 N (Dirección y sentido: eje X-)
q2 q3 q1
Si son del mismo signo se repelen Si las cargas son de signo opuesto se atraen
21F
q1
r
12F
q2
21F
q1 r q2
12F
2
21
2112r
qqKFF
12F
fuerza que ejerce q1 sobre q2 (N)
21F
fuerza que ejerce q2 sobre q1 (N)
K = cte. de Coulomb = 9·109 Nm2/C2 (en el aire o el vacío)
q1, q2 =cargas que se atraen (C)
r = distancia de q1 a q2 (m)
80
EJERCICIOS
1. Sobre un cuerpo de 50 kg de masa que se mueve con una velocidad de 4 m/s, se aplica una fuerza de 100 N. Suponiendo el rozamiento nulo, calcular: a) ¿Qué espacio habrá recorrido dicho cuerpo a los 2 s, si se aplica la fuerza en el
sentido que lleva el movimiento inicialmente? b) ¿Qué espacio habrá recorrido a los 2 s si la fuerza se aplica en sentido contrario?
Solución: a) 12 m; b) 4 m
2. Sobre un cuerpo de 300 kg de masa se aplica una fuerza horizontal de 800 N. a) ¿Qué valor tendrá la fuerza de rozamiento si se mueve con una velocidad cons-
tante de 10 m/s? b) ¿Qué valor tendrá la fuerza de rozamiento si, partiendo del reposo, adquiere una
velocidad de 10 m/s en 5 s? Solución: a) 800 N; b) 200 N
3. Sobre un cuerpo de 5 kg de masa que está en un plano horizontal, se aplica una fuerza horizontal de 50 N. Si la fuerza de rozamiento es de 10 N, calcular: a) La velocidad que habrá adquirido cuando se hayan recorrido 4 m. b) Si en ese momento cesa la fuerza, ¿qué recorrido efectuará el cuerpo hasta pa-
rarse de nuevo? Solución: a) 8 m/s; b) 16 m
4. Calcular la fuerza normal que ejerce la superficie de apoyo sobre un cuerpo de 200 kg de masa en los siguientes casos: a) La superficie de apoyo es horizontal. b) La superficie forma un ángulo de 30º con la horizontal. c) La superficie de apoyo es horizontal y se ejerce sobre el cuerpo una fuerza de 500
N formando un ángulo de 30º con la horizontal. Solución: a) 1960 N; b) 1697 N; c) 1710 N
5. Calcular la fuerza normal (peso aparente) de una persona de 60 kg de masa que se encuentra en un ascensor que arranca con una aceleración de 3 m/s2 y frena con una aceleración de -2 m/s2 en las siguientes etapas del movimiento: a) Cuando arranca en la subida. b) Mientras sube con velocidad constante. c) Cuando frena en la subida. d) Cuando arranca en la bajada. e) Cuando frena en la bajada.
Solución: a) 768 N; b) 588 N; c) 468 N; d) 408 N; e) 708 N
6. Sobre un cuerpo de 20 kg de masa que se mueve a 10 m/s, se aplica una fuerza hori-zontal de 100 N a favor del movimiento. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,25, calcular: a) La aceleración que adquiere. b) Su velocidad al cabo de 3 s. Solución: a) 2,55 m/s2; b) 17,65 m/s
7. Sobre un cuerpo de 15 kg de masa que se encuentra en un plano horizontal se aplica una fuerza horizontal de 80 N. a) ¿Qué valor tendrá el coeficiente de rozamiento si, partiendo del reposo, recorre 50
m en 5 s? b) Si deja de aplicarse dicha fuerza ¿qué espacio recorrerá hasta detenerse?
Solución: a) 0,136; b) 150 m
81
8. Sobre un cuerpo de 5 kg de masa que está en un plano horizontal, se aplica una fuerza de 50 N formando un ángulo de 30º con la horizontal, siendo el coeficiente de roza-miento de 0,2. Calcular: a) La aceleración del cuerpo. b) La velocidad que adquiere después de recorrer 5 m bajo la acción de dicha fuerza.
Solución: a) 7,7 m/s2; b) 8,77 m/s
9. Un niño de 30 kg se desliza por un tobogán de 4 m de altura y 45º de inclinación. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, calcular: a) Su aceleración. b) Su velocidad al llegar al suelo.
Solución: a) 5,54 m/s2; b) 7,91 m/s
10. Un automóvil de 1500 kg de masa sube por una carretera que tiene una inclinación de 10º con velocidad constante de 72 km/h. Si el coeficiente de rozamiento es 0,15, de-terminar: a) Fuerza que ejerce el motor. b) Si se para el motor ¿qué espacio recorrerá el automóvil hasta detenerse?
Solución: a) 4724 N b) 63,5 m
11. Un cuerpo de 2 kg de masa está sobre un plano inclinado 30º. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,3, determina el módulo y el sentido de: a) La fuerza que hay que aplicar para que suba con una aceleración de 1 m/s2. b) La fuerza que hay que aplicar para que baje con una aceleración de 1 m/s2.
Solución: a) 16,9 N; b) 2,7 N
12. Se deja caer un cuerpo desde una altura de 50 m por un plano inclinado 45º y a conti-nuación desliza por un plano horizontal (μ = 0,05 en ambos planos). Calcular: a) La velocidad al llegar a la base del plano. b) Espacio que recorrerá en el plano horizontal hasta detenerse.
Solución: a) 30,5 m/s; b) 949,2 m
13. De los extremos de una cuerda que pasa por una polea cuelgan dos cuerpos de 30 kg y 12 kg. Calcular: a) La aceleración del sistema. b) La tensión de la cuerda.
Solución: a) 4,2 m/s2; b) 168 N
14. Sobre un plano horizontal ( = 0,5) se tiene un cuerpo de 20 kg que se encuentra unido a otro de 12 kg, estando éste último suspendido mediante una cuerda que pasa por una polea colocada en el borde del plano. Hallar: a) Aceleración del sistema. b) Tensión de la cuerda Solución: a) 0,61 m/s2; b) 110,25 N
15. Un cuerpo de 3 kg de masa reposa sobre un plano inclinado 30º unido por una cuerda,
que pasa por una polea, a otro de 2 kg que cuelga por el extremo vertical del plano. Determinar la aceleración que adquiere el sistema al dejarlo libre y la tensión de la cuerda en los siguientes casos: a) Despreciando el rozamiento. b) Considerando un coeficiente de rozamiento de 0,3.
Solución: a) 0,98 m/s2, 17,6 N; b) 0, 19,6 N
82
16. Un cuerpo de 15 kg de masa reposa sobre un plano inclinado 20º unido por una cuerda, que pasa por una polea, a otro de 10 kg que cuelga por el extremo vertical del plano. Determinar el coeficiente de rozamiento mínimo que debe existir para que el sistema permanezca en reposo. Solución: 0,345
17. Un tren está formado por una locomotora de 10000 kg de masa y dos vagones de 5000 kg de masa cada uno. Si el coeficiente de rozamiento es 0,5 y el tren circula con una aceleración de 1 m/s2, calcular: a) La fuerza que ejerce la locomotora. b) La tensión en ambos enganches.
Solución: a) 118000 N; b) 59000 N; 29500 N
18. Sobre un plano horizontal ( = 0,4) se tiene un cuerpo de 6 kg que se encuentra unido a otro de 4 kg, estando éste último suspendido mediante una cuerda que pasa por una polea colocada en el borde del plano. Sobre el cuerpo que está en el plano se ejerce una fuerza de 80 N formando un ángulo de 37º con la horizontal. Hallar: a) Aceleración del sistema. b) Tensión de la cuerda
Solución: a) 2,05 m/s2; b) 47,4 N 19. Un cuerpo de 10 kg reposa sobre un plano horizontal unido mediante una cuerda, que
pasa por una polea a un cuerpo de 5 kg que reposa sobre un plano inclinado 30º. El coeficiente de rozamiento vale 0,4 para ambos. a) ¿Con qué fuerza horizontal se ha de tirar del primer cuerpo para que ambos se
muevan con una aceleración de 0,5 m/s2? b) ¿Cuál será la tensión de la cuerda?
Solución: a) 88,2 N; b) 44,0 N
20. Un coche de 2000 kg de masa toma una curva de 100 m de radio a 90 km/h. Calcular el coeficiente de rozamiento mínimo que tiene que existir entre los neumáticos y la carretera para que el vehículo no derrape. Solución: 0,64
21. Calcular en km/h la velocidad con la que un coche puede tomar una curva de 75 m de
radio si el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y la carretera es de 0,24. Solución: 47,9 km/h
22. Una partícula de 3 kg está suspendida de un hilo de 1 m de longitud, cuyo extremo
opuesto está unido a un punto fijo del techo. La partícula describe circunferencias de 50 cm de radio en un plano horizontal. Calcular: a) La tensión del hilo b) El tiempo que tarda en describir la circunferencia.
Solución: a) 33,95 N; b) 1,87 s 23. Un cuerpo está suspendido de un hilo de 70 cm de longitud, cuyo extremo opuesto
está unido a un punto fijo del techo, de forma que el hilo forma un ángulo de 45º con la vertical y el cuerpo gira en un plano horizontal. Calcular: a) La velocidad del cuerpo. b) El tiempo que tarda en dar una vuelta.
Solución: a) 2,2 m/s; b) 1,41 s
83
24. Una bola de billar de 30 g de masa que se mueve con una velocidad de 8 m/s choca
con otra bola de 40 g que se mueve en sentido opuesto a 5 m/s. Si la primera bola rebota con una velocidad de 6 m/s, ¿qué velocidad adquiere la segunda bola después del choque? Solución: 5,5 m/s
25. Dos patinadores de 50 y 75 kg de masa que se mueven con velocidades respectivas
de 4 m/s y 2 m/s, chocan, permaneciendo unidos después del choque. Determinar la velocidad a la que se mueven después del choque si: a) Antes del choque se movían en la misma dirección y sentido. b) Antes del choque se movían en la misma dirección pero en sentido opuesto. c) Antes del choque se movían en direcciones perpendiculares.
Solución: a) 2,8 m/s; b) 0,4 m/s; c) 2 m/s
26. Un proyectil de 5 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 3 kg
que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal ( = 0,2). El proyectil, des-pués de chocar permanece incrustado en el bloque y se observa que éste último des-liza 25 cm sobre la superficie hasta pararse. Calcular: a) Velocidad del bloque cuando comienza a deslizar. b) Velocidad del proyectil antes de incrustarse en el bloque. Solución: a) 0,99 m/s; b) 595 m/s
27. Una roca de 6 kg de masa, inicialmente en reposo, explota en tres fragmentos de 1 kg,
2 kg y 3 kg respectivamente. Sabiendo que el primer fragmento sale despedido con una velocidad de 30 m/s y el segundo sale despedido con una velocidad de 20 m/s, en direcciones perpendiculares, determinar la velocidad del tercer fragmento. Solución: 16,7 m/s
28. Sabiendo que un satélite de Marte describe órbitas circulares de 9390 km de radio y
tarda en cada una de ellas 7,7 h, calcular la masa de Marte. Solución: 6,38·1023 kg
29. Un satélite de 1000 kg de masa describe una órbita circular de 12·103 km de radio
alrededor de la Tierra (masa de la Tierra = 5,98·1024 kg). Calcular: a) El periodo del satélite. b) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angular del satélite respecto
al centro de la Tierra. Solución: a) 1,31·104 s; b) 5,77·106 kg·m/s; 6,92·1013 kg·m2/s
30. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre debe situarse un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra? (MT = 5,98·1024 kg; RT = 6370 km) Solución: 3,59·107 m
31. Mercurio (m = 3,1·1023 kg) describe una orbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99·1010 m, y su velocidad orbital es de 3,88·104 m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60·1010 m. a) Calcular la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio. b) Calcular el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio. c) Explicar, sin realizar cálculos, si el momento lineal y el momento angular serán
iguales en el afelio que en el perihelio. Solución: a) 5,9·104 m/s; b) 1,83·1028 kgm/s; 8,41·1038 kgm2/s
84
32. Completar la siguiente tabla aplicando la 3ª ley de Kepler:
Planeta T r
Tierra 1 año 1,5·108 km
Marte 1,88 años
Júpiter 7,8·108 km
33. Dos cargas eléctricas de 5 μC y -10 μC se encuentran en los puntos (-1,2) y (3,5) respectivamente. Calcular y representar las fuerzas con las que se atraen.
Solución: 0,018 N
34. Dos cargas eléctricas q1 = 6 C y q2= 3C están situadas en los puntos (-2,0) y (1,0) respectivamente. Determinar el módulo, dirección y sentido de la fuerza que ejercerán
sobre una carga de -4C situada en el origen de coordenadas. Solución: 0,054 N
35. Dos cargas eléctricas q1 = 4 C y q2= -6 C están situadas en los puntos (2,0) y (0,-3) respectivamente. Representar la fuerza sobre una carga de –1 mC situada en el origen de coordenadas y determinar su módulo.
Solución: 10,8 N
36. El radio del átomo de hidrógeno es 5,3·10-11 m. Utilizando los valores que se dan en la tabla de la página 3, calcular: a) La fuerza eléctrica entre el núcleo y el electrón. b) La fuerza gravitatoria entre el núcleo y el electrón. c) La relación que hay entre ambas fuerzas. ¿Qué conclusión se puede sacar? Solución: a) 8,2·10-8 N; b) 3,6·10-47 N; c) 2,28·1039
85
TEMA 8: TRABAJO Y ENERGÍA
1. Concepto de trabajo
Se dice que una fuerza realiza un trabajo sobre un cuerpo cuando dicha fuerza contribuye al desplazamiento del cuerpo, produciéndose una transferencia de energía a dicho cuerpo. Matemáticamente, el trabajo realizado por una fuerza constante viene dado por el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
El trabajo puede ser:
- Trabajo motor (W 0), cuando 0 90º (→ cos 0). Favorece el movimiento del cuerpo y éste aumenta su energía.
- Trabajo nulo (W = 0), cuando = 90º (→ cos = 0). No contribuye al movimiento del cuerpo, por lo que su energía permanece constante.
- Trabajo resistente (W 0), cuando 90º 180º (→ cos 0). Se opone al movimiento del cuerpo y éste disminuye su energía (ej: fuerza de rozamiento).
Ejemplo: Un cuerpo de 5 kg de masa desciende por un plano inclinado 37º desde una altura de 3 m. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, calcular el trabajo de cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Δ
W =
W = trabajo. Unidad: Julio (J)
= fuerza. Unidad: N
= desplazamiento. Unidad: m
= ángulo que forman y
O bien: W = = Fx·Δx
Siendo: = componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento (eje x) =
Δx = desplazamiento a lo largo del eje x = x - xo
90º
Δ
N
rF
r
P
37º
P = m·g = 5·9,8 = 49 N
Py = P·cos 37= 49·cos 37 = 39,2 N = N
Fr = μ·N = 0,2·39,2 = 7,84 N
sen 37 = r
3
; Δr =
37sen
3= 5 m
WP = P·Δr·cos 1 = 49·5·cos (90-37) = 147 J
WN = N·Δr·cos 2 = 39,2·5·cos 90 = 0
WFr = Fr·Δr·cos 3 = 7,84·5·cos 180 = -39,2 J
86
Gráficamente, si representamos la fuerza ejercida en la dirección del desplazamiento, frente al desplazamiento que se produce, el trabajo viene dado por el área comprendida entre la gráfica y el eje de abscisas.
Una de las fuerzas variables más importantes es la fuerza elástica ejercida por un muelle, cuyo valor viene dado por la ley de Hooke, IFI = K·x, siendo K la constante elástica del muelle y x el alargamiento producido. Para calcular el trabajo realizado al alargar un muelle se representa la fuerza elástica frente al alargamiento y a conti-nuación se calcula el área comprendida entre dicha gráfica y el el eje de abscisas.
Ejemplo: Un cuerpo se une al extremo de un muelle y al ejercer una fuerza de 5 N, el muelle se alarga 2 cm. Calcular: a) la constante elástica del muelle; b) el trabajo realizado al alargar el muelle.
a) F = K·x; K = 0,02
5
x
F250 N/m
b)
Trabajo de una fuerza constante
Fx
A B
W
C D xo x
W = Fx·Δx = área del rectángulo ABCD
F A
W
B C x
W = área del triángulo ABC
W = ·K·x2
5 N A W
0,02 m
W = área del triángulo ABC
W = = 0,05 J
O bien:
W = = ·250·(0,02)2 = 0,05 J
Trabajo de una fuerza variable
Fx B
A W
C D xo x
W = área del trapecio ABCD
87
2. Energía cinética. Teorema de las fuerzas vivas
La energía cinética (Ec) es la energía que posee un cuerpo por el hecho de estar en movimiento.
Según el teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética, cuando una o varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, el cuerpo varía su energía cinética en una cantidad igual al trabajo total realizado. Esto nos permite hallar una expresión para calcular la energía cinética.
Suponemos un cuerpo sobre el que actúa una fuerza resultante (FT) que lo desplaza a lo largo del eje x.
Ejemplo: Un cuerpo de 5 kg de masa desciende por un plano inclinado 37º desde una altura de 3 m. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, calcular la velocidad del cuerpo al llegar a la base del plano.
El teorema de las fuerzas vivas resulta especialmente útil en el caso de que la fuerza que actúe sea variable, ya que, al ser la aceleración variable, no pueden resolverse aplicando las ecuaciones del MRUA.
3. Fuerzas conservativas. Energía potencial
Se dice que una fuerza es conservativa cuando la energía cinética que pierde un cuerpo al desplazarse en sentido contrario a dicha fuerza, queda almacenada en el cuerpo y vuelve a recuperarse cuando el cuerpo regresa a la posición inicial. Es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa al actuar sobre un cuerpo que describe una trayectoria cerrada es siempre nulo.
Un ejemplo de fuerza conservativa es el peso. Suponemos un cuerpo que se lanza hacia arriba desde A hasta B, regresando a continuación a la posición inicial.
Por tanto: m· = Ecf - Eco → Ec = ·m·v2
Podemos escribir el teorema de las fuerzas vivas como: WT = ·m·v2 - ·m·vo2
Δx
WT = ΔEc → FT·Δx =Ecf - Eco
m·a·Δx = Ecf - Eco
Como: v2 -vo2 = 2·a·Δx → a·Δx =
N
rF
r
P
37º
Calculamos el trabajo que realiza cada fuerza (ver ejemplo de la página 91):
WP = 147 J; WN = 0; WFr = -39,2 J
WT = WP + WN + WFr = 147 -39,2 = 107,8 J
WT = 1
2·m·v2 -
1
2 m·vo
2
107,8 =2
1·5·v2 → v = 6,6 m/s
88
Otras fuerzas conservativas importantes son la fuerza elástica y la fuerza eléctrica.
Se dice que una fuerza es disipativa o no conservativa cuando la energía cinética que pierde un cuerpo al desplazarse en sentido contrario a dicha fuerza no se recupera cuando el cuerpo regresa a la posición inicial, sino que se disipa en forma de calor. El ejemplo más representativo de fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento.
La energía cinética que pierde un cuerpo al desplazarse en sentido contrario a una fuerza conservativa, queda almacenada en el cuerpo en forma de energía potencial (Ep), de forma que el valor de la energía potencial que almacena un cuerpo es igual al trabajo realizado por la fuerza conservativa correspondiente pero con signo opuesto. Para cada fuerza conservativa existe una forma de energía potencial distinta:
- Energía potencial asociada al peso (energía potencial gravitatoria)
- Energía potencial asociada a la fuerza elástica (energía potencial elástica):
B
h
A
B
A
Trabajo de A a B:
WP = P·Δr·cos 180 = - m·g·h
Trabajo de B a A:
WP = P·Δr·cos 0 = m·g·h
WT = WP (A→B) + WP (B→A) = - m·g·h + m·g·h = 0
Al subir el peso realiza un trabajo negativo (el cuerpo pierde energía cinética) y al bajar el peso realiza un trabajo positivo (el cuerpo recupera su energía ciné-tica). El trabajo total realizado por el peso es nulo.
B
h
A
Trabajo de A a B:
WP = P·Δr·cos 180 = - m·g·h
Ep = -WP = - (-m·g·h) → Ep = m·g·h
Siempre que un cuerpo está situado a una cierta altura res-pecto a la superficie terrestre, posee energía potencial gravi-tatoria. Si el cuerpo se deja libre, esta energía potencial se transforma en energía cinética.
A
B
x
Trabajo de A a B:
WFe = - ·K·x2
Ep = - WFe → Ep = ·K·x2
Siempre que un cuerpo está unido a un muelle y se encuentra desplazado respecto a su posición de equilibrio, posee energía potencial elástica. Si el cuerpo se deja libre, esta energía potencial se transforma en energía cinética.
89
4. Principio de conservación de la energía mecánica
Se llama energía mecánica (Em) de un cuerpo a la suma de su energía cinética y su energía potencial.
Em = Ec + Ep
El principio de conservación de la energía mecánica afirma que cuando sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas, su energía mecánica permanece constante. Este principio se deduce de la propia definición de energía potencial, ya que es la forma de energía que queda almacenada en un cuerpo cuando, por efecto de una fuerza conservativa, este pierde energía cinética.
Por tanto, cuando todas las fuerzas son conservativas, se cumple que:
EmA = EmB → EcA + EpA = EcB + EpB
Ejemplo: Se deja caer un objeto de 2 kg desde 5 m de altura. Calcular: a) ¿qué velocidad tendrá cuando se encuentre a 2 m de altura?; b) ¿Qué velocidad tendrá cuando llegue al suelo?
En presencia de fuerzas no conservativas, el principio de conservación de la energía mecánica no se cumple, ya que se produce una variación de su energía mecánica igual al trabajo realizado por dichas fuerzas (Wnc). Por tanto:
Wnc = ΔEm → Wnc = (EcB + EpB) – (EcA + EpA) → EcA + EpA + Wnc = EcB + EpB
En la mayoría de los casos el trabajo no conservativo coincide con el realizado por la fuerza de rozamiento. Es decir, Wnc = WFr = Fr·Δx·cos180 = -Fr·Δx. En estos casos la ecuación queda:
EcA + EpA - Fr·Δx = EcB + EpB
Ejemplo: Un cuerpo de 5 kg de masa desciende por un plano inclinado 37º desde una altura de 3 m. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, calcular la velocidad del cuerpo al llegar a la base del plano.
A
B 5 m
2 m
C
a) EcA + EpA = EcB + EpB → m·g·hA = m·g·hB + ·m·vB2
9,8·5 = 9,8·2 + ·VB2 → VB = 7,7 m/s
b) EcA + EpA = EcC + EpC → m·g·hA = .m·vC2
9,8·5 = ·vC2 → vC = 9,9 m/s
N
rF
r
P
37º
EcA + EpA - Fr·Δx = EcB + EpB
m·g·hA - Fr ·Δx = 2
1·m·vB
2
Fr = μ·N = μ·m·g·cos 37 = 0,2·5·9,8·cos 37 = 7,84 N
sen 37 = r
3
; Δr =
37sen
3= 5 m
5·9,8·3 – 7,84·5 = 2
1·5·vB
2 → vB = 6,6 m/s
90
5. Energía potencial eléctrica. Trabajo en el campo eléctrico
La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa ya que, cuando un cuerpo se desplaza en sentido opuesto a la fuerza eléctrica, almacena energía en forma de energía poten-cial.
La energía potencial eléctrica en una posición r es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica para llegar a dicha posición, pero con signo opuesto.
Para cualquier valor de r, si las cargas son del mismo signo, Ep0, y si son de signo
opuesto, Ep 0.
El potencial eléctrico en un punto (V) es la energía potencial que adquiere la unidad de carga positiva situada en dicho punto.
Si hay varias cargas rodeando a un punto, el potencial total se calcula sumando los po-tenciales creados por cada una de las cargas por separado (VT = V1 + V2 + …).
Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos (0,0) y (10,0) respectivamente, Determinar el potencial eléctrico en el punto (5,5).
r1 = r2 = 22 55 7,07 m
V10·82,307,7
10·310·9V 3
69
1
; V10·09,507,7
10·410·9V 3
69
2
V = 3,82·103 V - 5,09·103 = -1,27·103 V
El trabajo necesario para desplazar una carga q' de un punto A a un punto B del campo eléctrico, sin alterar su velocidad, es igual a la variación de su energía potencial.
W = EpB - EpA = q'VB -q'VA;
Si W 0, el trabajo se realiza en contra del campo; si W 0, se realiza a favor del campo (espontáneamente).
Para que se produzca una corriente eléctrica es necesario que exista una diferencia de potencial entre los extremos del conductor. En un conductor metálico, los electro-
nes (q 0) se desplazan espontáneamente del polo negativo (VA 0) al polo positivo
(VB 0), de forma que la diferencia VB - VA es positiva y el trabajo realizado es negativo (a favor del campo eléctrico).
Ejemplo: Dos cargas eléctricas de 3 μC y -4 μC, se encuentran situadas en los puntos (0,0) y (10,0) respectivamente, Determinar el trabajo necesario para trasladar una carga de -1μC del punto A(5,5) al punto B(5,0).
VA = 3,82·103 V - 5,09·103 = -1,27·103 V
V1B = 9·109·-63·10
5= 5,4·103 V; V10·2,7
5
10·410·9V 3
69
B2
VB = 5,4·103 V - 7,2·103 = -1,8·103 V
W = -1·10-6·(-1,8·103 + 1,27·103) = 5,3·10-4 J (trabajo en contra del campo)
V = Si q' = 1 C Ep = V (Unidad: voltio, V)
Ep = r
q·qK 21
W = q' (VB - VA)
91
EJERCICIOS
1. Un mueble de 100 kg de masa se desplaza horizontalmente 2 m por acción de una fuerza constante de 600 N que forma 30º con la horizontal. Si el coeficiente de roza-miento es 0,3, calcular el trabajo de cada una de las fuerzas que actúan sobre el mueble. Solución: 1039 J; 0 J; 0 J; -408 J
2. Un cuerpo de 10 kg de masa recorre en sentido ascendente 50 m por un plano incli-
nado 30º por efecto de una fuerza de 120 N paralela al plano. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, calcular el trabajo de cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Solución: 6000 J; 0 J; -2450 J; -848,7 J 3. Una fuerza variable actúa sobre un cuerpo a lo largo de 12 cm según indica la figura.
Determinar el trabajo realizado durante dicho desplazamiento.
Solución: 0,6 J
4. Un cuerpo se une al extremo de un muelle cuya constante elástica es 120 N/m y se separa 20 cm de su posición de equilibrio.
a) Representar el módulo de la fuerza elástica del muelle en función del desplaza-miento.
b) Calcular el trabajo realizado a lo largo de dicho desplazamiento. Solución: b) 2,4 J
5. Un coche de masa 1500 kg que se mueve por una carretera llana con una velocidad de 108 km/h, frena y disminuye su velocidad a 72 km/h, en 125 m. El rozamiento se considera despreciable.
a) Hallar el trabajo realizado por los frenos. b) ¿Qué fuerza ejercen los frenos? Solución: a) -375000 J; b) 3000 N
6. El motor de un coche de 2000 kg proporciona una fuerza de 4000 N. El rozamiento se considera despreciable.
a) Si circula por un terreno llano ¿qué energía cinética tendrá, después de haber recorrido 100 m partiendo del reposo? ¿Qué velocidad llevará?
b) Si circula por una carretera de 5º de inclinación ¿qué energía cinética tendrá, después de haber recorrido 100 m partiendo del reposo? ¿Qué velocidad lle-vará?
Solución: a) 4·105 J; 72 km/h; b) 2,29·105 J; 54,5 km/h
F(N)
8
6
4
2
0
0 4 8 12 x(cm)
92
7. Una fuerza variable actúa sobre una partícula de 10 g de masa, inicialmente en re-poso, según indica la gráfica.
Calcular: a) Los trabajos realizados para llevar a la partícula a los puntos A, B y C. b) La velocidad de la partícula en dichos puntos. Solución: a) 3 J; 9 J; 4,5 J; b) 24,5 m/s; 49,0 m/s; 57,4 m/s
8. Al dejar caer un objeto de 15 kg desde cierta altura se obtiene la siguiente tabla, en la que se ha considerado nulo el rozamiento del aire. Completar los datos que faltan.
Energía mecánica
Energía potencial
Energía ci-nética
Altura Velocidad
1470 J 0 m/s
5 m
1176 J
0 m
9. Se lanza desde el suelo y verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de
8 m/s. Si consideramos despreciable el rozamiento con el aire: a) ¿Qué velocidad tendrá cuando se encuentre a 2 m de altura? b) ¿Qué altura alcanzará? Solución: a) 4,98 m/s; b) 3,26 m
10. Un cuerpo de 500 g se encuentra unido a un muelle de constante elástica 200 N/m. Si se comprime el muelle 10 cm y a continuación se deja libre, ¿con qué velocidad saldrá despedido el cuerpo?
Solución: 2 m/s
11. Un bloque de 1 kg se encuentra en un plano horizontal unido a un muelle de constante elástica 400 N/m. Si una bala de 50 g se dispara contra el bloque con una velocidad de 100 m/s quedando incrustada en él, determinar la longitud que se comprime el muelle (suponer que el rozamiento es nulo).
Solución: 0,244 m
12. Un cuerpo de 5 kg se deja caer un plano inclinado 45º desde una altura de 50 m. Si el coeficiente de rozamiento es 0,05, calcular:
a) Velocidad del cuerpo al llegar al final del plano. b) La energía perdida a causa del rozamiento. Solución: a) 30,5 m/s; b) 122,5 J
13. Un bloque de 5 kg es lanzado hacia arriba sobre un plano inclinado 30º con una ve-
locidad inicial de 10 m/s. Se observa que recorre una distancia de 6 m sobre la superficie del plano y que después desliza hacia abajo hasta el punto de partida.
a) Calcular la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque. b) Hallar la velocidad del cuerpo cuando vuelve a la posición inicial. Solución: a) 17,2 N; b) 4,2 m/s
F(N)
3
2
1
0 0 2 4 6 8 x(m)
A B
C
93
14. Un vehículo de 1000 kg de masa está subiendo una cuesta de 15º con una velocidad
de 72 km/h. En un momento dado se le acaba la gasolina. Si el coeficiente de roza-miento es 0,1, calcular:
a) El espacio que recorrerá hasta pararse. b) La energía mecánica perdida por el rozamiento. Solución: a) 57,4 m; b) -5,43·104 J
15. Un bloque de 5 kg que se desliza por un plano horizontal choca con una velocidad de
10 m/s contra un muelle de constante elástica 25 N/m. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2, determinar la longitud que se comprime el muelle.
Solución: 4,1 m
16. Dos cargas q1 = 10 C y q2 = -20 C, están situadas en los puntos (0,0) y (3,0) res-pectivamente. Calcular:
a) El potencial eléctrico en el punto (1,0). b) El potencial eléctrico en el punto (-1,0). Solución: a) 0; b) 45000 V
17. Dos cargas de 1 μC y -1μC están situadas en los puntos (-1,0) y (1,0) respectivamente. Calcular:
a) El potencial eléctrico en el punto (3,0). b) El potencial eléctrico en el punto (0,3). Solución: a) -2250 V; b) 0
18. Dos cargas q1 = 10 μC y q2= -20 μC están en los puntos (3,0) y (0,4) respectivamente. Calcular el trabajo necesario para trasladar una carga q3 = -10 μC desde el punto (3,4) hasta el origen de coordenadas), indicando si es a favor o en contra del campo.
Solución: -0,225 J
19. Tres cargas de 2 μC cada una se encuentran situadas en tres de los vértices de un cuadrado de lado 10 cm. Determinar:
a) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadrado que unen las car-gas.
b) El trabajo realizado al desplazarse otra carga de 2 μC entre dichos puntos. Solución: a) 8,81·105 V; 8,81·105 V; b) 0
20. Dos cargas fijas q1 = 12,5 nC y q2 = -2,7 nC se encuentran situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (2,0) y (-2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas están expresadas en metros, calcular:
a) El potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A (-2,3). b) El trabajo necesario para trasladar un ión de -3,2·10-19 C de carga del punto A al
punto B, siendo B (2,3), indicando si es a favor o en contra del campo. Solución: a) 14,4 V; b) -5,84·10-18 J
21. Dos cargas puntuales iguales, de valor 2·10-6 C, están situadas respectivamente en
los puntos (0,8) y (6,0). Si las coordenadas están expresadas en metros, determinar: a) La fuerza ejercida sobre una carga de 3 mC en el origen de coordenadas (0,0). b) El trabajo que es necesario realizar para llevar una carga de 3 mC desde el origen
de coordenadas hasta el punto P (3,4), punto medio del segmento que une ambas cargas.
Solución: a) 1,72 N; b) 5,85 J
TABLA PERIÓDICA DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
s1 s2 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 p1 p2 p3 p4 p5 p6
1 1,0
H -1,1
2 4,0
He 0
3 7,0
Li 1
4 9,0
Be 2
5 10,1
B -3,3
6 12,0
C -4,2,4
7 14,0
N -3,3,5
8 16,0
O -2
9 19,0
F -1
10 20,1
Ne 0
11 23,0
Na 1
12 24,3
Mg 2
13 27,0
Al 3
14 28,1
Si -4,2,4
15 31,0
P -3,3,5
16 32,0
S -2,2,4,6
17 35,5
Cl -1,1,3,5,7
18 39,9
Ar 0
19 39,1
K 1
20 40,0
Ca 2
21 45,0
Sc
22 47,9
Ti
23 50,9
V
24 52,0
Cr 2,3,6
25 54,9
Mn 2,4,6,7
26 55,8
Fe 2,3
27 58,9
Co 2,3
28 58,7
Ni 2,3
29 63.5
Cu 1,2
30 65.4
Zn 2
31 69,7
Ga
32 72,6
Ge
33 74,9
As -3,3,5
34 79,0
Se -2,2,4,6
35 79,9
Br -1,1,3,5,7
36 83,8
Kr 0
37 85,5
Rb 1
38 87,6
Sr 2
39 88,9
Y
40 91,2
Zr
41 92,9
Nb
42 95,9
Mo
43 99,0
Tc
44 101,1
Ru
45 102,9
Rh
46 106,4
Pd
47 107,9
Ag 1
48 112,4
Cd 2
49 114,8
In
50 118,7
Sn 2,4
51 121,7
Sb 3,5
52 127,6
Te -2,2,4,6
53 126,9
I -1,1,3,5,7
54 131,3
Xe 0
55 132,9
Cs 1
56 137,3
Ba 2
57 138,9
La
72 178,5
Hf
73 180,9
Ta
74 183,8
W
75 186,2
Re
76 190,2
Os
77 192,2
Ir
78 195,1
Pt 2,4
79 197,0
Au 1,3
80 200,6
Hg 1,2
81 204,4
Tl
82 207,2
Pb 2,4
83 209,0
Bi
84 209,0
Po
85 210,0
At
86 222,0
Rn 0
87 223,0
Fr 1
88 226,0
Ra 2
89 227,0
Ac
f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14
6
7
1
2
3
4
5
6
7
A C T Í N I D O S
L A N T Á N I D O S