phynance · 4.5 el modelo sabr 102 4.6 solución del ... el concepto de cisne negro y los ......

1Nueva ideas de física en finanzas

Guillermo Sierra Juárez

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

PHYNANCE Nuevas ideas de física en finanzas

CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS

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Phynance Nuevas ideas de Física en Finanzas


Universidad de Guadalajara

2017


Phynance Nuevas ideas de Física en Finanzas


Universidad de Guadalajara

2017

Primera edición, 2017 D.R. © Universidad de Guadalajara Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas Periférico Norte 799 Núcleo Universitario Los Belenes C.P. 45100, Zapopan, Jalisco, México ISBN Editado y hecho en México Edited and made in Mexico

: 978-607-742-983-8

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Contenido Prólogo a la primera edición 9 Capítulo 1 14

El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas 14 Capítulo 2 29

Ecuación Black-Scholes y Volatilidad 29 2.1 Modelo de Black-Scholes 29 2. 2 Volatilidad 32

Capítulo 3 45 Modelación con Procesos Brownianos Fraccionales 45 3.1 Introducción 45 3.2 Procesos Hurst 49 3.3 Ecuación Black-Scholes y Opciones Financieras Europeas en un Mercado Fraccional 55 3.4 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento Browniano Fraccional 62 3.5 Planteamiento del Problema del Consumidor Estocástico 69 3.6 Volatilidad con Metodología Rango Reescalado (𝑅𝑅/𝑆𝑆) 74 3.7 Método H-J-B con MBF para Volatilidad Estocástica 76 3.8 Volatilidad Implícita de una opción europea modelada con un MBF 82 3.9 El Índice de Volatilidad Vimex 85 3.10 Conclusiones 88


Contenido Prólogo a la primera edición 9 Capítulo 1 14

El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas 14 Capítulo 2 29

Ecuación Black-Scholes y Volatilidad 29 2.1 Modelo de Black-Scholes 29 2. 2 Volatilidad 32

Capítulo 3 45 Modelación con Procesos Brownianos Fraccionales 45 3.1 Introducción 45 3.2 Procesos Hurst 49 3.3 Ecuación Black-Scholes y Opciones Financieras Europeas en un Mercado Fraccional 55 3.4 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento Browniano Fraccional 62 3.5 Planteamiento del Problema del Consumidor Estocástico 69 3.6 Volatilidad con Metodología Rango Reescalado (𝑅𝑅/𝑆𝑆) 74 3.7 Método H-J-B con MBF para Volatilidad Estocástica 76 3.8 Volatilidad Implícita de una opción europea modelada con un MBF 82 3.9 El Índice de Volatilidad Vimex 85 3.10 Conclusiones 88

Capítulo 4 92 Geometría Diferencial y Modelo de Volatilidad SABR 92 4.1 Introducción 92 4.2 Antecedentes 94 4.3 Nociones de Geometría Diferencial 96 4.4 Nociones de Geometría Diferencial en Teoría de la Relatividad 99 4.5 El Modelo SABR 102 4.6 Solución del modelo SABR 105 4.7 Volatilidad estocástica y geometría de curvas complejas 109 4.8 Modelo λ-SABR y geometría hiperbólica 117 4.9 Interpretación geométrica 120 4.10 Aplicación del modelo SABR a la valuación de opciones en la estrategia de acumulación de reservas del Banco de México 126 4.11 Conclusiones 135 Apéndice I 137 Apéndice II 139

CAPITULO 5 142 Modelación con Teoría de la Medida y Norma en FinanzasCuantitativas 142 5.1 Introducción 142 5.2 Conceptos Básicos 144 5.3 Haz Fibrado en Finanzas y dinámica del campo de Normalización 149

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5.4 Modelo de Normalización para determinar precios de derivados 164 5.5 Derivación de la Ecuación de Black-Scholes 169 5.6 Arbitraje de Flujo de dinero 171 5.7 Modelo Fenomenológico de precios con arbitraje virtual 175 5.8 Ecuación efectiva para precios de derivados 177 5.9 Soluciones explicitas 179 5.10 Función Generadora de Movimiento Browniano Restringido 181 5.11 Ecuación para un portafolio libre de riesgo en presencia de arbitraje virtual 185 5.12 Conclusiones 189 Anexo 1 apéndice 190

Capítulo 6 194 Optimización de Portafolio con Agentes Heterogéneos 194 6.1 Introducción 194 6.2 Una primera propuesta de Modelo 198 6.2. Una primera propuesta de Modelo 203 6.3 Resultados 206 6.4 Conclusiones 209

Capítulo 7 212 Finanzas Cuánticas Aplicadas 212 7.1 Equivalencia ecuación Schrödinger-Black-Scholes 212 7.2. Introducción al cómputo cuántico 217


5.4 Modelo de Normalización para determinar precios de derivados 164 5.5 Derivación de la Ecuación de Black-Scholes 169 5.6 Arbitraje de Flujo de dinero 171 5.7 Modelo Fenomenológico de precios con arbitraje virtual 175 5.8 Ecuación efectiva para precios de derivados 177 5.9 Soluciones explicitas 179 5.10 Función Generadora de Movimiento Browniano Restringido 181 5.11 Ecuación para un portafolio libre de riesgo en presencia de arbitraje virtual 185 5.12 Conclusiones 189 Anexo 1 apéndice 190

Capítulo 6 194 Optimización de Portafolio con Agentes Heterogéneos 194 6.1 Introducción 194 6.2 Una primera propuesta de Modelo 198 6.2. Una primera propuesta de Modelo 203 6.3 Resultados 206 6.4 Conclusiones 209

Capítulo 7 212 Finanzas Cuánticas Aplicadas 212 7.1 Equivalencia ecuación Schrödinger-Black-Scholes 212 7.2. Introducción al cómputo cuántico 217

7.3 Elementos de la Mecánica Cuántica 222 7. 4 Caminata Aleatoria Cuántica 227 7.5 Resultados 230 7.6 Oscilador Armónico 232 7.7 Conclusiones 237 7.8 Apéndice 237

Bibliografía 241

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Prólogo a la primera edición

Estimado Lector

Le agradezco su interés por acercarse a leer o simplemente revisar este libro. Si bien el presente trabajo tiene fundamentalmente características técnicas, lo más importante del mismo es el factor de la novedad de las técnicas avanzadas de física incursionadas a problemas del ambiente financiero cuantitativo.

Desde el trabajo seminal de Black Scholes desde hace ya varias décadas, los nuevos desarrollos en finanzas cuantitativas en los temas de derivados financieros, las curvas de estructura de plazos de tasas de interés y la teoría de riesgos (considerando los distintos tipos de riesgos) han sido recurrentemente modelados con procesos estocásticos utilizando básicamente los movimientos geométricos brownianos.

La aparición de la econofísica por parte de Mantegna y Stanley desde hace una décadas y sus aplicaciones fundamentadas en gran medida en una estadística más avanzada como mecánica estadística y en funciones estadísticas más generales para la modelación, como las funciones de Levy, de colas anchas y de leyes de potencia han generado una visión complementaria desde el punto de vista de la física a problemas de economía.

La presente publicación también revisa la aplicación de teorías que han tenido gran éxito dentro de la ciencia

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básica especialmente la física y la teoría de sistemas aplicadas a temas de finanzas cuantitativas. Tal es el caso de la teoría de fractales y de procesos con o sin memoria medidos con el coeficiente Hurst, las métricas y curvaturas y las teorías de Gravitación, los haces fibrados y las teorías de Norma, así como las teorías de transición de fase y las aplicaciones de mecánica cuántica. A esta relación de dos áreas de la ciencia y conocimiento se le podría reconocer como phynance.

Este libro toma como fundamento el desarrollo de los capítulos las obras de investigación en la frontera de conocimiento de obras propias y del estado del arte de arte ya existentes de distintos autores, así como principalmente los trabajos seminales. La obra no es exhaustiva sino más viene selectiva en los temas y técnicas más novedosas y que da oportunidad a continuarla con nuevas perspectivas en ediciones futuras. Seguramente existen temas muy trascendentes que no han podido ser incluidos pero que podamos ir incluyendo en reediciones posteriores.

El primer capítulo es una presentación y reflexión de ideas, teoremas y teorías generales unificadoras dentro de física, matemáticas y la teoría de sistemas, así como un resumen histórico de la aparición de los hechos académicos en finanzas y conceptos e ideas básicas y nuevas como son los mercados eficientes, el concepto de cisne negro y los dragons-kings, para posteriormente en el capítulo dos presentar un resumen de la ecuación Black-Scholes, los diferentes tipos de volatilidad.

El capítulo tres presenta la aplicación de los brownianos fraccionales en las finanzas cuantitativas y de los


básica especialmente la física y la teoría de sistemas aplicadas a temas de finanzas cuantitativas. Tal es el caso de la teoría de fractales y de procesos con o sin memoria medidos con el coeficiente Hurst, las métricas y curvaturas y las teorías de Gravitación, los haces fibrados y las teorías de Norma, así como las teorías de transición de fase y las aplicaciones de mecánica cuántica. A esta relación de dos áreas de la ciencia y conocimiento se le podría reconocer como phynance.

Este libro toma como fundamento el desarrollo de los capítulos las obras de investigación en la frontera de conocimiento de obras propias y del estado del arte de arte ya existentes de distintos autores, así como principalmente los trabajos seminales. La obra no es exhaustiva sino más viene selectiva en los temas y técnicas más novedosas y que da oportunidad a continuarla con nuevas perspectivas en ediciones futuras. Seguramente existen temas muy trascendentes que no han podido ser incluidos pero que podamos ir incluyendo en reediciones posteriores.

El primer capítulo es una presentación y reflexión de ideas, teoremas y teorías generales unificadoras dentro de física, matemáticas y la teoría de sistemas, así como un resumen histórico de la aparición de los hechos académicos en finanzas y conceptos e ideas básicas y nuevas como son los mercados eficientes, el concepto de cisne negro y los dragons-kings, para posteriormente en el capítulo dos presentar un resumen de la ecuación Black-Scholes, los diferentes tipos de volatilidad.

El capítulo tres presenta la aplicación de los brownianos fraccionales en las finanzas cuantitativas y de los

procesos Hurst para la valuación de opciones, curvas de estructura de plazos de tasas de interés, la ecuación de Black-Scholes y la medida de volatilidad.

En el capítulo cuatro se presenta la deducción de uno de los modelos más técnicos y prácticos de la volatilidad, el Modelo SABR, a partir de geometría diferencial y su interpretación geométrica, al final del capítulo se plantea una aplicación a la corrección de un tipo especial de opciones que utiliza el Banco de México.

En capítulo cinco presenta la valuación del modelo de Black-Scholes y del CAPM considerando la presencia de arbitraje pero analizando el problema a partir de la teoría de medida y norma. Y en el capítulo 6 se presenta y soluciona un problema de optimización donde los agentes a optimizar son heterogéneos, es un caso interesante cuando los agentes optimizadores pueden ser más bien seguidores que actuar racionalmente.

Al final del capítulo siete se presenta la equivalencia matemática entre las ecuaciones de Schrödinger y la ecuación Black-Scholes y una aplicación de la mecánica cuántica al problema de cómputo que podría aplicarse a las simulaciones estocásticas.

Este trabajo de investigación está fundamentado en publicaciones pioneras sobre cada una de las áreas mencionadas y sobre investigaciones y aplicaciones realizadas de esos trabajos de varios años de trabajo en investigación y docencia.

Agradezco a Dios, a mis Padre mis hermanos, hermana y sus familias por su apoyo que siempre me han

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brindado. También deseo al Consejo Nacional de Ciencia y tecnología (CONACYT) en particular al Sistema Nacional de Investigadores (S.N.I.) por tener a bien considerarme como Investigador Nacional, de la misma manera estoy agradecido con la Universidad de Guadalajara (al Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativa CUCEA) por todos los apoyos brindados a mis trabajos de investigación. En forma especial me gustaría agradecer la entusiasta labor de apoyo de edición y gestión para la publicación de esta obra de la Lic. Sandra Ivett Portugal Padilla y de Paula Malinali De la Cruz Cómer, así como el apoyo y comentarios de colegas, amigos y colaboradores. Es justo además mencionar que cualquier error u omisión es responsabilidad del autor.

Espero que la lectura de esta obra genere la inquietud sobre estas nuevas áreas de estudio y anime a los estudiantes e investigadores en continuar trabajos de investigación futuros en alguna de esas áreas de conocimiento.


brindado. También deseo al Consejo Nacional de Ciencia y tecnología (CONACYT) en particular al Sistema Nacional de Investigadores (S.N.I.) por tener a bien considerarme como Investigador Nacional, de la misma manera estoy agradecido con la Universidad de Guadalajara (al Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativa CUCEA) por todos los apoyos brindados a mis trabajos de investigación. En forma especial me gustaría agradecer la entusiasta labor de apoyo de edición y gestión para la publicación de esta obra de la Lic. Sandra Ivett Portugal Padilla y de Paula Malinali De la Cruz Cómer, así como el apoyo y comentarios de colegas, amigos y colaboradores. Es justo además mencionar que cualquier error u omisión es responsabilidad del autor.

Espero que la lectura de esta obra genere la inquietud sobre estas nuevas áreas de estudio y anime a los estudiantes e investigadores en continuar trabajos de investigación futuros en alguna de esas áreas de conocimiento.

CAPITULO 1

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Capítulo 1 El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas Los sorprendentes resultados en los últimos años en los campos de las matemáticas, la física, la biología, la medicina y en general en las ciencias básicas ha extendido el uso del método científico a distintas áreas del conocimiento por ejemplo las ciencias sociales, las ciencias administrativas y en particular la economía y finanzas. No se trata solamente de una extensión del lenguaje técnico y de las herramientas básicas cuantitativas sino la adopción de campos prácticamente completos del conocimiento, sobre todo de la física y matemáticas para explicar y pronosticar fenómenos económico-financieros. Sin embargo, a pesar de la relativa novedosa adopción de estas técnicas, los hechos estilizados de la misma realidad económico financiera ha provocado una evolución hacia herramientas cada más sofisticadas y completas con tal de obtener mejores resultados, ese será uno de los propósitos de este volumen. El uso de las teorías de la física tales como la mecánica cuántica, la gravitación, la teoría de norma y la mecánica estadística en la solución de problemas financieros, como se presenta en los siguientes capítulos, conduce obligadamente a una serie de reflexiones sobre la validez de la técnica en la solución de ese tipo de problemas y a la interpretación y comprobación de sus resultados. Los capítulos siguientes presentaran los


Capítulo 1 El mundo de la Física y el mundo de las Finanzas Los sorprendentes resultados en los últimos años en los campos de las matemáticas, la física, la biología, la medicina y en general en las ciencias básicas ha extendido el uso del método científico a distintas áreas del conocimiento por ejemplo las ciencias sociales, las ciencias administrativas y en particular la economía y finanzas. No se trata solamente de una extensión del lenguaje técnico y de las herramientas básicas cuantitativas sino la adopción de campos prácticamente completos del conocimiento, sobre todo de la física y matemáticas para explicar y pronosticar fenómenos económico-financieros. Sin embargo, a pesar de la relativa novedosa adopción de estas técnicas, los hechos estilizados de la misma realidad económico financiera ha provocado una evolución hacia herramientas cada más sofisticadas y completas con tal de obtener mejores resultados, ese será uno de los propósitos de este volumen. El uso de las teorías de la física tales como la mecánica cuántica, la gravitación, la teoría de norma y la mecánica estadística en la solución de problemas financieros, como se presenta en los siguientes capítulos, conduce obligadamente a una serie de reflexiones sobre la validez de la técnica en la solución de ese tipo de problemas y a la interpretación y comprobación de sus resultados. Los capítulos siguientes presentaran los

modelos y soluciones para problemas financieros con la teoría utilizada de física en cada caso. En este primer capítulo se propone una breve compilación y una reflexión sobre los avances en esta área de conocimiento. Durante décadas se ha buscado en el campo de la física una teoría que explique todos los fenómenos de la naturaleza. La teoría de la Gran Unificación (TGU o GUT: 1 por sus siglas en inglés) trata de unificar tres de las cuatro fuerzas fundamentales en la naturaleza: la fuerza nuclear débil, fuerza nuclear fuerte y la fuerza electromagnética. La fuerza de gravedad no es considerada aún en las teoría de Gran Unificación, pero sí en una eventual Teoría del Todo (TOE) que consideraría las cuatro interacciones fundamentales. La teoría unificada de campos trata de reconciliar las cuatro fuerzas fundamentales (o campos) de la naturaleza. La Teoría del Todo es una teoría de la física teórica que explica y conecta en una sola todos los fenómenos físicos conocidos, otros nombres empleados para referirse a la misma teoría son: teoría unificada, gran teoría unificada, teoría de campos unificada y teoría del campo unificado. La mayor dificultad de proponer una teoría unificada ha consistido en armonizar correctamente leyes que gobiernan sólo un reducido ámbito de la naturaleza y transformarlas en una única teoría que la explique en su totalidad, tanto en su mundo micro como macroscópico que explique la existencia de todas las interacciones

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fundamentales: las fuerzas gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil. Se ha buscado la TGU durante varios años y no se ha podido terminar de construir la teoría para fenómenos naturales y la interacción entre ellos, pero si esta teoría trata de explicar todos los fenómenos de la naturaleza esta debería incluir al mismo comportamiento del ser humano, de la sociedad y de sus acciones en masas en especial en las acciones económico y financieras ó ¿o acaso estos fenómenos económico-sociales deberían quedar fuera de tales teorías universales? En cierta forma parecería lógico no tener teorías distintas en un mismo universo, en particular los mercados no están fuera del Universo Físico que todos conocemos, incluso considerando el carácter aleatorio intrínseco. Si esto fuera así, entonces mundos que aparentemente no tienen nada en común como el universo de lo muy pequeño (escala sub-atómica) o de lo muy grande (escala de galaxias) y en mundos completamente ajenos como los económico financieros, donde el comportamiento de precios, rendimientos volatilidad y riesgos deberían poder explicarse bajo la misma estructura matemática y conceptual. Sobre el mismo tema de unificación, paralelamente a la dificultad de combinar la unificación de fuerza tenemos desde una perspectiva distinta el Teorema de Gödel que demuestra la mismas matemáticas con incompletas lo que introduce una nueva perspectiva al estudio. La demostración de tal teorema es realmente complicada pero la idea central es sencilla y profunda.


fundamentales: las fuerzas gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil. Se ha buscado la TGU durante varios años y no se ha podido terminar de construir la teoría para fenómenos naturales y la interacción entre ellos, pero si esta teoría trata de explicar todos los fenómenos de la naturaleza esta debería incluir al mismo comportamiento del ser humano, de la sociedad y de sus acciones en masas en especial en las acciones económico y financieras ó ¿o acaso estos fenómenos económico-sociales deberían quedar fuera de tales teorías universales? En cierta forma parecería lógico no tener teorías distintas en un mismo universo, en particular los mercados no están fuera del Universo Físico que todos conocemos, incluso considerando el carácter aleatorio intrínseco. Si esto fuera así, entonces mundos que aparentemente no tienen nada en común como el universo de lo muy pequeño (escala sub-atómica) o de lo muy grande (escala de galaxias) y en mundos completamente ajenos como los económico financieros, donde el comportamiento de precios, rendimientos volatilidad y riesgos deberían poder explicarse bajo la misma estructura matemática y conceptual. Sobre el mismo tema de unificación, paralelamente a la dificultad de combinar la unificación de fuerza tenemos desde una perspectiva distinta el Teorema de Gödel que demuestra la mismas matemáticas con incompletas lo que introduce una nueva perspectiva al estudio. La demostración de tal teorema es realmente complicada pero la idea central es sencilla y profunda.

El teorema de Gödel es una de las construcciones mejor fundamentadas de las matemáticas de todos los tiempos, utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödel demuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de los trabajos de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad. El primer teorema de incompletitud afirma que bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos. Si no es posible tener la certeza de enunciados (verdaderos o falsos)en áreas tan ampliamente conocidas del mundo como la aritmética valdría la pena reflexionar que podríamos esperar resultados todavía más extremos en la construcción del edificio de la economía y las finanzas. De lo anterior se ha expuesto que no sería posible aplicar leyes y técnicas distintas a las de las leyes naturales en casos deterministas pero sobre todo en los

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casos aleatorios como si el mundo social y económico se tratara de universos ajenos. Además hay otro elemento adicional que se debe considerar y que efectivamente no es aplicable en el caso de los eventos naturales y es el relacionado al comportamiento y sobre todo la mente humana y de las computadoras. Sobre este tema Roger Penrose (1996) hace una reflexión en torno a lo que significa pensar o entender lo que es la mente y si esta debería estar sujeta a las leyes de la física. El autor plantea que la incomprensión de las leyes fundamentales de la física es la que impide aprender el concepto de mente en términos físicos o lógicos y entonces es cuando se adopta el punto de vista operacional, idealista, subjetivo, entonces se dirá que la computadora piensa siempre y cuando actué del mismo modo que lo hace una persona cuando está pensando. Para mostrar lo anterior Penrose utiliza la prueba de Turing para poder decidir si una computadora pudiera pensar. De acuerdo con esta prueba si se ocultará a un entrevistador si el entrevistado es una computadora o algún voluntario humano y el entrevistador y tratara de diferenciar entre computadora y humano mediante el procedimiento de plantear preguntas de cada uno de ellos, sí la computadora fuera capaz de responder todas las preguntas que se plantean de manera indistinguible ha como lo haría un ser humano entonces la conclusión sería que la computadora piensa y siente, ya que no hay forma de distinguir entre ambos. De este modo Penrose plantea que es factible la creación de la inteligencia artificial y lo fundamenta en que la


casos aleatorios como si el mundo social y económico se tratara de universos ajenos. Además hay otro elemento adicional que se debe considerar y que efectivamente no es aplicable en el caso de los eventos naturales y es el relacionado al comportamiento y sobre todo la mente humana y de las computadoras. Sobre este tema Roger Penrose (1996) hace una reflexión en torno a lo que significa pensar o entender lo que es la mente y si esta debería estar sujeta a las leyes de la física. El autor plantea que la incomprensión de las leyes fundamentales de la física es la que impide aprender el concepto de mente en términos físicos o lógicos y entonces es cuando se adopta el punto de vista operacional, idealista, subjetivo, entonces se dirá que la computadora piensa siempre y cuando actué del mismo modo que lo hace una persona cuando está pensando. Para mostrar lo anterior Penrose utiliza la prueba de Turing para poder decidir si una computadora pudiera pensar. De acuerdo con esta prueba si se ocultará a un entrevistador si el entrevistado es una computadora o algún voluntario humano y el entrevistador y tratara de diferenciar entre computadora y humano mediante el procedimiento de plantear preguntas de cada uno de ellos, sí la computadora fuera capaz de responder todas las preguntas que se plantean de manera indistinguible ha como lo haría un ser humano entonces la conclusión sería que la computadora piensa y siente, ya que no hay forma de distinguir entre ambos. De este modo Penrose plantea que es factible la creación de la inteligencia artificial y lo fundamenta en que la

actividad mental consiste simplemente en una frecuencia bien definida de operaciones, frecuentemente llamadas algoritmo. Las reflexiones anteriores de Penrose nos hacen plantearnos si las mismas ideas de mente y las formas de desarrollar algoritmos para seres humanos y máquinas deberían tomarse encuentra al momento de diseñar modelos de los agentes que compran y venden en los mercados financieros y también considerar en la modelación de precios de los activos ya que nos hace reflexionar sobre la racionalidad de los participantes. Por otra parte, además de la justificación de la utilización de las teorías de física y matemáticas en los medios económicos y financieros existe evidencia empírica o hechos estilizados que motivan la búsqueda de explicaciones más consistentes y profundas a las primeras aproximaciones de los comportamientos, sobre todo de las personas que operan y toman decisiones en los mercados financieros. Uno de los supuestos simplificadores sobre el comportamiento de los mercados es la distribución gaussiana en los rendimientos de los mercados. Pero este se ha ido derrumbando con las evidencias empíricas y se ha ido complementando con la propuesta de nuevas distribuciones. Durante varios años los financieros y economistas han tratado de analizar, explicar y cuantificar el rendimiento y el riesgo en los mercados. Las probabilidades de ruina financiera en una economía de mercado han sido permanente subestimadas, a lo largo del siglo XX se

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utilizaron las carteras de inversión y la volatilidad de los mercados pero los hachos han obligado a reconsiderar si es correcta la forma de medición. En 1900 Louis Bachelier, un matemático francés tuvo la valentía de estudiar los mercados financieros en una época en que los matemáticos despreciaban el dinero como materia de estudio. Bachelier puso en marcha un nuevo modelo de teoría de la probabilidad aplicándolo también a bonos del estado francés, aplicando lo que se conocería más adelante como caminata aleatoria y que afirma que los precios subirán o bajaran con la misma probabilidad al igual que sucede con los volados águila o sol pero si los lanzamientos ocurrieran de manera muy frecuente. El trabajo de Bachelier estableció los cimientos de la teoría financiera y formuló las cuestiones básicas sobre el movimiento de los precios y propuso soluciones preliminares para algunos otros problemas. A pesar de sus contribuciones Bachelier murió en el anonimato y tuvo que pasar más de medio siglo para que su tesis fuera redescubierta, sus ideas construyeron una teoría de mercado, inversiones y finanzas, como cambian los precios , como piensan los inversionistas, como administrar el dinero y como definen el riesgo. Posteriormente los economistas desarrollaron el CAPM (Capital Asset Pricig modelo) toda una herramienta matemática para analizar los mercados a partir de la medición de las medias y varianzas. Según un estudio donde se pregunta a empresarios en su método para estimar el costo de capital, el método más usado es el CAPM emplean el 73.5 %de los encuestados. El CAPM


utilizaron las carteras de inversión y la volatilidad de los mercados pero los hachos han obligado a reconsiderar si es correcta la forma de medición. En 1900 Louis Bachelier, un matemático francés tuvo la valentía de estudiar los mercados financieros en una época en que los matemáticos despreciaban el dinero como materia de estudio. Bachelier puso en marcha un nuevo modelo de teoría de la probabilidad aplicándolo también a bonos del estado francés, aplicando lo que se conocería más adelante como caminata aleatoria y que afirma que los precios subirán o bajaran con la misma probabilidad al igual que sucede con los volados águila o sol pero si los lanzamientos ocurrieran de manera muy frecuente. El trabajo de Bachelier estableció los cimientos de la teoría financiera y formuló las cuestiones básicas sobre el movimiento de los precios y propuso soluciones preliminares para algunos otros problemas. A pesar de sus contribuciones Bachelier murió en el anonimato y tuvo que pasar más de medio siglo para que su tesis fuera redescubierta, sus ideas construyeron una teoría de mercado, inversiones y finanzas, como cambian los precios , como piensan los inversionistas, como administrar el dinero y como definen el riesgo. Posteriormente los economistas desarrollaron el CAPM (Capital Asset Pricig modelo) toda una herramienta matemática para analizar los mercados a partir de la medición de las medias y varianzas. Según un estudio donde se pregunta a empresarios en su método para estimar el costo de capital, el método más usado es el CAPM emplean el 73.5 %de los encuestados. El CAPM

es un método simple para valorar un activo sea una acción por comprar o una fábrica por construir fue concebido por el economista norteamericano Wlliam Sharpe a principios de los años 70 y es otra herramienta inspirada por en la teoría de Bachelier para la construcción moderna de la teoría moderna de portafolio. Una nueva teoría que aparece a escena es la ecuación de Black-Scholes para la valoración de contratos de opciones y riesgos, sus inventores el matemático Fisher Black de Harvard University y el economista canadiense Myron Scholes transformaron con su publicación seminal en el Journal Political Economy. Al principio incluyeron a Robert Merton pero luego trabajaron de manera independiente. Su trabajo dio origen a toda una nueva rama de conocimiento en las finanzas cuantitativas. Black y Scholes no se quedaron solo en su modelo teórico de la deducción de una ecuación diferencial para determinar la prima de riesgo de una opción sino lo pusieron en la práctica. Miles de empresas se emplean para valorar las opciones de la bolsa que conceden a las empresas líderes y ha permitido un tipo de comercio enteramente nuevo basado en la volatilidad. Por otra parte, de acuerdo con hechos históricos en 1997 el índice Dow Jones (DJ) cayó 7.7 % en un solo día (la probabilidad de ocurrencia es 1 entre 50,000 millones). En julio de 2002 el índice registro tres caídas en una semana (una probabilidad de 1 entre 4,000, 000) y el 19 de octubre de 1987 el peor día de la bolsa en menos de un siglo el índice cayó 29.2 % (la probabilidad

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es inferior a 10-50). Esta caída tomo a todos por sorpresa, ¡algo no estaba funcionando bien! Según los académicos afirmaban que la ocurrencia de un evento así era prácticamente era imposible de ocurrir. Todos los modelos de las ciencias básicas o aplicadas necesariamente distorsionan la realidad de una u otra manera, por lo tanto se deben de reconsiderar algunos de los supuestos de la teoría financiera ortodoxa. En el caso de las finanzas y en particular de los mercados en primer lugar los agentes son racionales y entonces su única meta es enriquecerse, en el lenguaje económico se diría que mayor riqueza y bienestar maximizan la utilidad, es decir, inversionistas racionales constituyen un modelo racional del mercado. Sin embargo, en la realidad no solamente se piensa en una utilidad teórica medible y no siempre los agentes actúan racionalmente y en interés propio. Por otro lado, el supuesto de que todos los inversionistas tienen los mismos objetivos y un mismo horizonte de inversión de tiempo tampoco es completamente cierto en la realidad. En los mercados se cuentan con distintos horizontes de inversión, patrimonios y no todas las personas son iguales. De igual forma, el supuesto de que el cambio en los precios se mueven de forma continua no es completamente verdad, si se revisan las series financieras se presenta saltos que pueden modelarse con la teoría de valores extremos. Además del supuesto de modelación de que los precios de los activos financieros siguen un movimiento


es inferior a 10-50). Esta caída tomo a todos por sorpresa, ¡algo no estaba funcionando bien! Según los académicos afirmaban que la ocurrencia de un evento así era prácticamente era imposible de ocurrir. Todos los modelos de las ciencias básicas o aplicadas necesariamente distorsionan la realidad de una u otra manera, por lo tanto se deben de reconsiderar algunos de los supuestos de la teoría financiera ortodoxa. En el caso de las finanzas y en particular de los mercados en primer lugar los agentes son racionales y entonces su única meta es enriquecerse, en el lenguaje económico se diría que mayor riqueza y bienestar maximizan la utilidad, es decir, inversionistas racionales constituyen un modelo racional del mercado. Sin embargo, en la realidad no solamente se piensa en una utilidad teórica medible y no siempre los agentes actúan racionalmente y en interés propio. Por otro lado, el supuesto de que todos los inversionistas tienen los mismos objetivos y un mismo horizonte de inversión de tiempo tampoco es completamente cierto en la realidad. En los mercados se cuentan con distintos horizontes de inversión, patrimonios y no todas las personas son iguales. De igual forma, el supuesto de que el cambio en los precios se mueven de forma continua no es completamente verdad, si se revisan las series financieras se presenta saltos que pueden modelarse con la teoría de valores extremos. Además del supuesto de modelación de que los precios de los activos financieros siguen un movimiento

browniano considerando los supuestos de independencia y normalidad tampoco es completamente cierto en los hechos empíricos. Paralelamente a las observaciones de los párrafos anteriores, Stanley y Mantegna y más adelante D. Sornette han ido planteando y desarrollando una nueva rama de conocimiento que se ha denominado econofísica. Esta área multidisciplinaria utiliza fundamentalmente herramientas de física estadística en la solución de problemas económicos donde un punto importante a considerar es la utilización de leyes de potencia en sustitución de funciones gaussianas. Si se analiza detenidamente el comportamiento de los rendimientos de los activos se encuentra que siguen una distribución muy parecida a la campana de Gauss pero las colas no se van adelgazando hasta hacerse imperceptibles sino que siguen un Ley de potencia. En economía, la Ley de Pareto describe la distribución de los ingresos en la capa superiores de la sociedad, en donde gran parte de la riqueza de la sociedad se concentra en unos pocos, una campana de Gauss tendría mayor equidad pues distribuiría los ingresos de manera más simétrica en torno a la media. Otra reciente aportación proviene de las aportaciones de Nicolas Taleb quien analiza el mundo del azar para mostrar el gran impacto de los sucesos de baja probabilidad en nuestra vida. Introduce un nuevo tipo de suceso con tres propiedades: 1) Es un evento raro 2) Produce un efecto dramático en nuestra existencia 3) Es tan importante que no podemos evitar empeñarnos en buscarle explicaciones luego de lo ocurrido. Las guerras

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y los colapsos financieros son los mejores ejemplos de este tipo de eventos conocidos como cisnes negros. El punto central de su trabajo es que los individuos fallan en la correcta identificación de estos dos mundos y a menudo tratan a fenómenos con gran aleatoriedad e impredecibles como predecibles y donde el promedio es representativo. Existe otra propuesta de D. Sornette sobre eventos extremos es la conocida como Dragon-Kings por Sornette que corresponde a los outliers significativos que se encuentran coexistiendo con leyes de potencia en la distribución de eventos bajo un amplio rango de condiciones en una gran variedad de sistemas. Estos Dragons-Kings revelan la existencia de mecanismos de auto organización que están aparentemente en otra dirección de las distribuciones del mismo tipo. Es importante mencionar que los Dragon-Kings aparecen sobre todo en los puntos de inflexión, las transiciones de fase, las bifurcaciones o catástrofes. Algunos ejemplos usan las leyes de potencia derivadas de los métodos anteriores para entender y predecir crisis y burbujas financieras. Finalmente un tema de suma importancia es el hecho relacionado a la Hipótesis de Mercados Eficientes de los mercados financieros. El paradigma más comúnmente aceptado en el mundo financiero es que el mercado es altamente eficiente en la determinación del precio más racional. La hipótesis de mercados eficiente fue originalmente formulada en 1960 y se dice en términos generales que un mercado es eficiente si toda la información disponible es instantáneamente procesada


y los colapsos financieros son los mejores ejemplos de este tipo de eventos conocidos como cisnes negros. El punto central de su trabajo es que los individuos fallan en la correcta identificación de estos dos mundos y a menudo tratan a fenómenos con gran aleatoriedad e impredecibles como predecibles y donde el promedio es representativo. Existe otra propuesta de D. Sornette sobre eventos extremos es la conocida como Dragon-Kings por Sornette que corresponde a los outliers significativos que se encuentran coexistiendo con leyes de potencia en la distribución de eventos bajo un amplio rango de condiciones en una gran variedad de sistemas. Estos Dragons-Kings revelan la existencia de mecanismos de auto organización que están aparentemente en otra dirección de las distribuciones del mismo tipo. Es importante mencionar que los Dragon-Kings aparecen sobre todo en los puntos de inflexión, las transiciones de fase, las bifurcaciones o catástrofes. Algunos ejemplos usan las leyes de potencia derivadas de los métodos anteriores para entender y predecir crisis y burbujas financieras. Finalmente un tema de suma importancia es el hecho relacionado a la Hipótesis de Mercados Eficientes de los mercados financieros. El paradigma más comúnmente aceptado en el mundo financiero es que el mercado es altamente eficiente en la determinación del precio más racional. La hipótesis de mercados eficiente fue originalmente formulada en 1960 y se dice en términos generales que un mercado es eficiente si toda la información disponible es instantáneamente procesada

en cuando llega y es inmediatamente reflejada en un nuevo precio de los activos que se están comerciando. El fundamento de la hipótesis de mercados eficientes también se plantea desde el trabajo de Bachelier y su propuesta de comportamiento de los precios en un mercado puede ser a través de un proceso estocástico. La formulación de Samuelson (1965) mostró que los precios anticipados fluctúan aleatoriamente. Usando la hipótesis del comportamiento racional y los mercados eficientes se demostró que el valor esperado del precio en la unidad de tiempo siguiente (𝑡𝑡 + 1) dada la información hasta ese momento es el valor del precio en el tiempo 𝑡𝑡. Los procesos estocásticos que cumplen esa propiedad son llamadas martingalas que explicado en términos intuitivos se trata de modelos probabilísticos de juegos justos, donde las ganancias son compensadas por la pérdidas y la riqueza futura esperada de los jugadores debe corresponder con los valores presentes de los jugadores. La conclusión del juego justo sobre el cambio observado en los precios en un mercado financiero es equivalente a establecer que no se pueden hacer ganancias en los activos simplemente usando los datos históricos de las fluctuaciones de los precios, es decir, que la forma débil de la hipótesis de mercados que los cambios en los precios de las series financieras son prácticamente imposibles de predecir. Desde 1960 se han desarrollado un gran número de investigaciones empíricas dedicadas a probar la hipótesis de los mercados eficientes y la mayoría de estos estudios la han apoyado. Sin embargo, desde 1980

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utilizando además la información del valor presente de las proporciones ganancias/precios, dividendos y variables estructurales es posible hacer predicciones de las tasas de rendimiento a escalas mayores. En este caso las observaciones han desafiado la forma más estricta la hipótesis de los mercados eficientes. De lo anterior se concluye que las series financieras son impredecibles y sus valores futuros esencialmente imposibles de predecir, esta propiedad no es una manifestación del hecho que las series de tiempo financieras de precios no reflejen información importante. Los mercados eficientes son idealizaciones de los mercados reales es una forma muy común de cómo trabajan en ciencias básicas. Efectivamente el uso de los sistemas idealizados en investigación científica ha sido instrumental en el desarrollo de la física como disciplina. La física utiliza abstracciones con el objeto de desarrollar teoría y diseñar experimentos que siempre tienen en mente que son sistemas idealizados son solo aproximaciones a la realidad que siempre se desviara de los ideales. Algo parecido puede ser tomado en el estudio de los sistemas financieros, se asume condiciones realistas como ideal la existencia de un mercado eficiente perfecto y dentro de un sistema ideal. La validez de los resultados dependerá de la validez en los supuestos considerados. De manera general la Hipótesis de Mercados Eficientes (HME) descansa en tres argumentos los cuales son progresivamente más débiles. La primera es que los inversionistas se asumen racionales y valoran sus


utilizando además la información del valor presente de las proporciones ganancias/precios, dividendos y variables estructurales es posible hacer predicciones de las tasas de rendimiento a escalas mayores. En este caso las observaciones han desafiado la forma más estricta la hipótesis de los mercados eficientes. De lo anterior se concluye que las series financieras son impredecibles y sus valores futuros esencialmente imposibles de predecir, esta propiedad no es una manifestación del hecho que las series de tiempo financieras de precios no reflejen información importante. Los mercados eficientes son idealizaciones de los mercados reales es una forma muy común de cómo trabajan en ciencias básicas. Efectivamente el uso de los sistemas idealizados en investigación científica ha sido instrumental en el desarrollo de la física como disciplina. La física utiliza abstracciones con el objeto de desarrollar teoría y diseñar experimentos que siempre tienen en mente que son sistemas idealizados son solo aproximaciones a la realidad que siempre se desviara de los ideales. Algo parecido puede ser tomado en el estudio de los sistemas financieros, se asume condiciones realistas como ideal la existencia de un mercado eficiente perfecto y dentro de un sistema ideal. La validez de los resultados dependerá de la validez en los supuestos considerados. De manera general la Hipótesis de Mercados Eficientes (HME) descansa en tres argumentos los cuales son progresivamente más débiles. La primera es que los inversionistas se asumen racionales y valoran sus

títulos racionalmente. La segunda es que algunos inversionistas no son racionales y sus transacciones son aleatorias por lo tanto cancelan entre ellos sin afectar los precios. Y tercero, extender que los inversionistas son irracionales en forma similar ellos entran en el mercado por arbitraje racional que elimina su influencia en los precios. Cuando los inversionistas son racionales ellos valoran cada título por su valor fundamental, el valor presente neto de su flujo futuro descontado utilizando las características de su riesgo. Cuando los inversionistas aprenden algo sobre los valores fundamentales de los títulos, ellos rápidamente responden incrementando los precios cuando la noticia es buena y disminuyéndola cuando es mala. Como consecuencia los precios de los títulos incorporan toda la información disponible casi inmediatamente y los precios se ajustan a los nuevos niveles correspondientes al nuevo valor presente del flujo de efectivo. Como se ha visto de los párrafos anteriores, desde su inicio las finanzas cuantitativas han ido evolucionado acompañadas de niveles cada vez más sofisticados de matemáticas y de las concepciones generales de la ciencia en general. Además de la parte técnica de la modelación conviene reflexionar sobre la dirección e interpretación que se le están dando a los resultados y como las teorías y herramientas más avanzadas y contemporáneas de la física se pueden ir vinculando a las finanzas, al final todos los fenómenos existen en el mismo universo.

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CAPITULO 2


CAPITULO 2

Capítulo 2 Ecuación Black-Scholes y Volatilidad

2.1 Modelo de Black-Scholes Recordemos que una opción financiera es un contrato que le da al tenedor o comprador el derecho, más no la obligación, de comprar o vender algún activo financiero en una fecha predeterminada a un precio preestablecido (call option). Una opción de venta le da al tenedor el derecho, más no la obligación, de vender un valor hasta una fecha predeterminada y a un cierto precio preestablecido.

Por su duración las opciones se dividen en opciones europeas y americanas. Las primeras sólo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento, mientras que las segundas son aquellas que se pueden ejercer durante la vida de la opción, en cualquier momento antes de la expiración.

El modelo Black-Scholes (1973) fue desarrollado por Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton y propone una técnica para la estimación de precios de opciones sobre acciones, posteriormente, Merton analizó la valoración de derivados suponiendo procesos estocásticos más complejos para el precio del activo subyacente, tales como discontinuidades. Este modelo ha tenido una gran influencia en la manera en que se determina el precio de las opciones, así como en sus

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coberturas. El desarrollo de esta teoría les valió a Black, Scholes y Merton el premio Nobel de Economía en 1997.

El modelo Black-Scholes asume que el comportamiento de los precios sigue una distribución lognormal y considera una posición de cobertura con un portafolio que contenga el subyacente (posición larga) y una de opciones (posición corta). Mediante argumentos de arbitraje se va llegando a la construcción de una ecuación diferencial parcial de segundo orden cuya solución representa el precio de la prima. Este modelo es sólo aplicable a opciones europeas. A continuación se presenta la expresión para la valuación de opciones de compra Call (De Lara, 2003):

Los supuestos principales del modelo Black-Scholes son los siguientes:

1) La tasa libre de riesgos de corto plazo y la volatilidad del subyacente son conocidas y constantes durante la vida de la opción. 2) Para precio del valor subyacente se modela el comportamiento como movimiento geométrico browniano (una caminata aleatoria continua). 3) Es posible pedir prestado una parte del valor subyacente, no hay costos de transacción en la compra o venta del subyacente o la opción, ni pago de dividendos.


coberturas. El desarrollo de esta teoría les valió a Black, Scholes y Merton el premio Nobel de Economía en 1997.

El modelo Black-Scholes asume que el comportamiento de los precios sigue una distribución lognormal y considera una posición de cobertura con un portafolio que contenga el subyacente (posición larga) y una de opciones (posición corta). Mediante argumentos de arbitraje se va llegando a la construcción de una ecuación diferencial parcial de segundo orden cuya solución representa el precio de la prima. Este modelo es sólo aplicable a opciones europeas. A continuación se presenta la expresión para la valuación de opciones de compra Call (De Lara, 2003):

Los supuestos principales del modelo Black-Scholes son los siguientes:

1) La tasa libre de riesgos de corto plazo y la volatilidad del subyacente son conocidas y constantes durante la vida de la opción. 2) Para precio del valor subyacente se modela el comportamiento como movimiento geométrico browniano (una caminata aleatoria continua). 3) Es posible pedir prestado una parte del valor subyacente, no hay costos de transacción en la compra o venta del subyacente o la opción, ni pago de dividendos.

La ecuación de Black – Scholes es una ecuación diferencial parcial de segundo orden y de los supuestos anteriores se puede deducir 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 1

2 𝜎𝜎2𝑆𝑆2 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑆𝑆𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆𝑡𝑡

− 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0 (2.1) Con la condición de frontera 𝑟𝑟(𝑆𝑆𝜏𝜏𝑇𝑇) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑆𝑆𝜏𝜏 − 𝐾𝐾, 0) (2.1 a) y cuya solución para el caso de la opción call es ampliamente conocida

𝑟𝑟 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑑𝑑1) − 𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑇𝑇𝑆𝑆(𝑑𝑑2) (2.2)

𝑑𝑑1 =𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑆𝑆

𝐾𝐾)+[𝑟𝑟+𝜎𝜎22 ]𝑇𝑇

𝜎𝜎√𝜕𝜕 (2.2 a)

𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇 (2.2 b) en donde 𝑆𝑆 = precio de inicio del activo subyacente 𝐾𝐾 = precio del ejercicio 𝑟𝑟 = tasa libre de riesgo 𝑇𝑇 = periodo de vencimiento de la opción σ = volatilidad del bien subyacente

𝑆𝑆(𝑑𝑑1)y 𝑆𝑆(𝑑𝑑2)= valores que corresponden a la función de distribución normal estandarizada.

32 Phynance

2. 2 Volatilidad En economía y finanzas el tema de la volatilidad se relaciona a un indicador de la incertidumbre de los rendimientos y generalmente está asociado al estimador estadístico de desviación estándar de un activo. Aunque existen diferentes definiciones de la volatilidad, típicamente se le reconoce como una medida de dispersión de la información alrededor de la media. La volatilidad no tiene porque ser una constante y puede ser analizada como un proceso que varía en el tiempo. Existen distintas formas de modelar la volatilidad como pueden ser: la estimación paramétrica, la histórica con promedio móvil, utilizando series de tiempo (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺), con procesos estocásticos la volatilidad implícita y volatilidad local. De los hechos estilizados se ha observado dos características importantes: el efecto clustering donde que las volatilidades altas tienden a persistir por periodos prolongados antes de alcanzar un equilibrio de largo plazo. Y la segunda conocida como apalancamiento afirma que la volatilidad aumenta más que proporcionalmente cuando los rendimientos aumentan que cuando los rendimientos disminuyen. El método paramétrico para estimar la volatilidad es el más sencillo pero el menos preciso de los métodos. La volatilidad es un parámetro que no cambia en el tiempo y mantiene su mismo valor durante toda la muestra de tamaño y corresponde a la varianza o desviación estándar muestral. La principal desventaja de este


2. 2 Volatilidad En economía y finanzas el tema de la volatilidad se relaciona a un indicador de la incertidumbre de los rendimientos y generalmente está asociado al estimador estadístico de desviación estándar de un activo. Aunque existen diferentes definiciones de la volatilidad, típicamente se le reconoce como una medida de dispersión de la información alrededor de la media. La volatilidad no tiene porque ser una constante y puede ser analizada como un proceso que varía en el tiempo. Existen distintas formas de modelar la volatilidad como pueden ser: la estimación paramétrica, la histórica con promedio móvil, utilizando series de tiempo (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐺𝐺𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺𝐺𝐺), con procesos estocásticos la volatilidad implícita y volatilidad local. De los hechos estilizados se ha observado dos características importantes: el efecto clustering donde que las volatilidades altas tienden a persistir por periodos prolongados antes de alcanzar un equilibrio de largo plazo. Y la segunda conocida como apalancamiento afirma que la volatilidad aumenta más que proporcionalmente cuando los rendimientos aumentan que cuando los rendimientos disminuyen. El método paramétrico para estimar la volatilidad es el más sencillo pero el menos preciso de los métodos. La volatilidad es un parámetro que no cambia en el tiempo y mantiene su mismo valor durante toda la muestra de tamaño y corresponde a la varianza o desviación estándar muestral. La principal desventaja de este

modelo se debe a que el pronóstico de volatilidad corresponde a la estimación de la volatilidad pasada. La volatilidad histórica de promedio móvil abre una ventana móvil de un cierto horizonte de tiempo que se va recorriendo sobre el periodo completo. La volatilidad no es un parámetro sino un proceso que va evolucionando en el tiempo, a diferencia del caso anterior. Con el método de promedio móvil para una muestra, en cada estimación de la varianza se añade una nueva observación al final de la serie y simultáneamente se elimina la primera de ellas. El inicio y fin del proceso dependerá del tamaño total de la muestra. Las principales desventajas de este método es su sensibilidad al número de observaciones del promedio móvil o del tamaño de la ventana y además que la ponderación que cada observación recibe es la misma independientemente de si la información pueda ser reciente o lejana. De la misma forma que en los casos anteriores el pronóstico será igual a la volatilidad vigente. Considerando series de tiempo el modelo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (modelo autoregresivo y de promedios móviles) toma en cuenta que el promedio de los rendimientos es de cero y modela la varianza de los rendimientos o el cuadrado de los rendimientos mediante una regresión lineal con el cuadrado de los rendimientos de periodos anteriores. Este modelo se puede pensar como una generalización del caso anterior donde los coeficientes o pesos están determinados mediante un proceso de regresión. El modelo tiene las ventajas de que es capaz de realizar pronósticos de la estructura intertemporal

34 Phynance

de la volatilidad y de disminuir la estimación del efecto clustering y explotar el efecto de apalancamiento. Otro modelo de la familia de series de tiempo es el modelo 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 (Generalized Autoregressive Condicional Heteroskedasticity) que pretende estimar la varianza no condicional de los rendimientos de los activos financieros. En el caso más simple GARCH (1,1) mediante una regresión lineal supone que la varianza condicional como función de un término independiente, del error del periodo anterior y de la varianza del periodo anterior que corresponde al termino autoregresivo. Para que en modelo sea estacionario se requiere que los estimadores o coeficientes de la regresión sean positivos (incluyendo el término independiente) y que la suma de los dos primeros sea menor o igual a uno. Para la estimación de la varianza se requiere de la media que a su vez se estima también mediante una regresión donde el periodo actual se explica por el rendimiento del periodo anterior más un término aleatorio. Entre las principales ventajas de este modelo se puede mencionar que se puede hacer un pronóstico de la volatilidad en cualquier periodo futuro y de esta forma construir la estructura temporal de la volatilidad, además de capturar el efecto de clustering y no sobresestimar el efecto de apalancamiento. Por otra parte, dentro de la familia de volatilidad estocástica existe una gran cantidad de modelos, en general consiste en estimar mediante un movimiento geométrico browniano el comportamiento de la varianza de un activo compuesto por un término de


de la volatilidad y de disminuir la estimación del efecto clustering y explotar el efecto de apalancamiento. Otro modelo de la familia de series de tiempo es el modelo 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 (Generalized Autoregressive Condicional Heteroskedasticity) que pretende estimar la varianza no condicional de los rendimientos de los activos financieros. En el caso más simple GARCH (1,1) mediante una regresión lineal supone que la varianza condicional como función de un término independiente, del error del periodo anterior y de la varianza del periodo anterior que corresponde al termino autoregresivo. Para que en modelo sea estacionario se requiere que los estimadores o coeficientes de la regresión sean positivos (incluyendo el término independiente) y que la suma de los dos primeros sea menor o igual a uno. Para la estimación de la varianza se requiere de la media que a su vez se estima también mediante una regresión donde el periodo actual se explica por el rendimiento del periodo anterior más un término aleatorio. Entre las principales ventajas de este modelo se puede mencionar que se puede hacer un pronóstico de la volatilidad en cualquier periodo futuro y de esta forma construir la estructura temporal de la volatilidad, además de capturar el efecto de clustering y no sobresestimar el efecto de apalancamiento. Por otra parte, dentro de la familia de volatilidad estocástica existe una gran cantidad de modelos, en general consiste en estimar mediante un movimiento geométrico browniano el comportamiento de la varianza de un activo compuesto por un término de

tendencia y una parte estocástica de un movimiento browniano. La estimación de la volatilidad futura en los mercados financieros es uno de los grandes problemas abiertos en la investigación de las finanzas cuantitativas. Los trabajos seminales sobre el tema realizado por Derman y Dupire y otros autores proporcionan los elementos básicos iniciales para el desarrollo de nuevas teorías. A continuación presentamos un resumen de sus trabajos. El concepto de volatilidad implícita Σ(𝑆𝑆, 𝑡𝑡, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) de una opción financiera se puede aproximar al promedio de las volatilidades locales 𝜎𝜎(𝑆𝑆, 𝑡𝑡) sobre la vida de la opción entre el precio del subyacente y el precio de ejercicio. La idea es análoga al del yield to maturity de bonos cupon cero sobre un promedio de tasas forward de las tasas de interés. Dado el precio de una acción para un tiempo inicial 𝑡𝑡0 , 𝑆𝑆0, con vencimiento en 𝑇𝑇 el conjunto de valores de primas de opciones descontados para distintos valores de precio de ejercicio 𝐾𝐾 con una función de densidad neutral al riesgo 𝜑𝜑 de valor final del precio esta dado por 𝐶𝐶(𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇

∞𝐾𝐾 𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇,𝑇𝑇; 𝑆𝑆0)(𝑆𝑆𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) (2.3)

derivando dos veces respecto a la misma variable 𝜑𝜑(𝐾𝐾, 𝑇𝑇; 𝑆𝑆0) = 𝜕𝜕2𝐶𝐶

𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.4)

36 Phynance

Dado un precio final 𝑆𝑆 𝑇𝑇 en el vencimiento 𝑇𝑇 condicionada al precio spot inicial 𝑆𝑆0 . Dupire [1994] demuestra que hay solo un único proceso de difusión neutral al riesgo el cual es capaz de generar tal distribución, es decir, dado un universo de precios de opciones europeas se podría determinar la forma funcional del parámetro de difusión (llamada volatilidad local) del único proceso de difusión neutral al riesgo el cual genera esos precios, haciendo notar que la volatilidad local en general será una función del precio actual 𝑆𝑆0 . Se propone un activo que sigue un proceso geométrico browniano 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎(𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑡𝑡; 𝑆𝑆0) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.5) Aplicando el lema de Ito junto con la neutralidad del riesgo se podrá deducir una ecuación diferencial parcial para las funciones del precio de la acción la cual es una generalización directa de Black Scholes, en particular la seudo densidad de probabilidad debe satisfacer la ecuación de Fokker-Planck. Lo anterior conduce al siguiente precio de la opción descontado en términos del precio strike 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑇𝑇 = 𝜎𝜎2𝐾𝐾2

2 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐾𝐾2 + (𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝑡𝑡) (𝐶𝐶 − 𝐾𝐾 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.6) donde 𝑟𝑟𝑡𝑡 es la tasa libre de riesgo, 𝑑𝑑𝑡𝑡 son los dividendos y 𝐶𝐶 es el valor de la prima de la opción call.


Dado un precio final 𝑆𝑆 𝑇𝑇 en el vencimiento 𝑇𝑇 condicionada al precio spot inicial 𝑆𝑆0 . Dupire [1994] demuestra que hay solo un único proceso de difusión neutral al riesgo el cual es capaz de generar tal distribución, es decir, dado un universo de precios de opciones europeas se podría determinar la forma funcional del parámetro de difusión (llamada volatilidad local) del único proceso de difusión neutral al riesgo el cual genera esos precios, haciendo notar que la volatilidad local en general será una función del precio actual 𝑆𝑆0 . Se propone un activo que sigue un proceso geométrico browniano 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎(𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑡𝑡; 𝑆𝑆0) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.5) Aplicando el lema de Ito junto con la neutralidad del riesgo se podrá deducir una ecuación diferencial parcial para las funciones del precio de la acción la cual es una generalización directa de Black Scholes, en particular la seudo densidad de probabilidad debe satisfacer la ecuación de Fokker-Planck. Lo anterior conduce al siguiente precio de la opción descontado en términos del precio strike 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑇𝑇 = 𝜎𝜎2𝐾𝐾2

2 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐾𝐾2 + (𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝑡𝑡) (𝐶𝐶 − 𝐾𝐾 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.6) donde 𝑟𝑟𝑡𝑡 es la tasa libre de riesgo, 𝑑𝑑𝑡𝑡 son los dividendos y 𝐶𝐶 es el valor de la prima de la opción call.

Supongamos que el proceso de difusión tiene una tendencia neutral al riesgo 𝜇𝜇𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝑡𝑡 con volatilidad local 𝜎𝜎(𝑆𝑆, 𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎(𝑆𝑆𝑡𝑡,𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.7) donde el valor de una opción europea con precio strike 𝐾𝐾 y vencimiento 𝑇𝑇 esta dado por 𝐶𝐶(𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇

∞𝑘𝑘 𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇,𝑇𝑇; 𝑆𝑆0)(𝑆𝑆𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) (2.8)

donde 𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇, 𝑇𝑇; 𝑆𝑆0) es la seudo densidad de probabilidad del spot final en el tiempo 𝑇𝑇, de acuerdo a la ecuaciónd Fokker-Planck 12

𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇2 (𝜎𝜎2𝑆𝑆𝑇𝑇

2𝜑𝜑) − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇

(𝜇𝜇 𝑆𝑆𝑇𝑇𝜑𝜑) = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑇𝑇 (2.9)

Derivando respecto a 𝐾𝐾 dos veces la función anterior 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = − ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇𝜑𝜑(𝑆𝑆𝑇𝑇,𝑇𝑇; 𝑆𝑆0)∞

𝜕𝜕 (2.10)

𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 = 𝜑𝜑(𝐾𝐾, 𝑇𝑇; 𝑆𝑆0) (2.10 a) derivando ahora respecto al tiempo 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑇𝑇 = ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑇𝑇

∞𝑘𝑘 { 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇2 (𝜎𝜎2𝑆𝑆𝑇𝑇

2𝜑𝜑) − 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝑇𝑇

(𝜇𝜇 𝑆𝑆𝑇𝑇𝜑𝜑)} (𝑆𝑆𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)}} (2.11) integrando por partes se llega

38 Phynance

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜎𝜎2𝐾𝐾2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐾𝐾2 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇) (−𝐾𝐾 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.12) la expresión anterior se conoce como la ecuación de Dupire, cuando la acción o activo subyacente tiene una tendencia neutral al riesgo y el precio forward de la acción en el tiempo 𝑇𝑇 esta dado por 𝐹𝐹𝜕𝜕 = 𝑆𝑆0 exp {∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇𝑡𝑡}𝜕𝜕

0 (2.13) siguiendo la misma expresión menos el término de tendencia 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1

2 𝜎𝜎2𝐾𝐾2 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.14)

donde 𝐶𝐶 representa la prima de la opción 𝐶𝐶(𝐹𝐹𝜕𝜕, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) y después de despejar la varianza nos queda

𝜎𝜎2(𝐾𝐾, 𝑇𝑇, 𝑆𝑆0) = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

12𝐾𝐾2 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.15)

La expresión anterior corresponde a la definición de volatilidad local de un cierto proceso estocástico. Los precios de mercado de las opciones generalmente están en términos de la volatilidad implícita 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵(𝐾𝐾, 𝑇𝑇) de la siguiente manera 𝐶𝐶(𝑆𝑆0, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵((𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇), 𝑇𝑇) (2.16) lo que más conveniente es trabajar en términos de dos variables adimensionales donde la varianza total implícita Black-Scholes 𝜔𝜔 está definida por


𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜎𝜎2𝐾𝐾2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐾𝐾2 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇) (−𝐾𝐾 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐾𝐾) (2.12) la expresión anterior se conoce como la ecuación de Dupire, cuando la acción o activo subyacente tiene una tendencia neutral al riesgo y el precio forward de la acción en el tiempo 𝑇𝑇 esta dado por 𝐹𝐹𝜕𝜕 = 𝑆𝑆0 exp {∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇𝑡𝑡}𝜕𝜕

0 (2.13) siguiendo la misma expresión menos el término de tendencia 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1

2 𝜎𝜎2𝐾𝐾2 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.14)

donde 𝐶𝐶 representa la prima de la opción 𝐶𝐶(𝐹𝐹𝜕𝜕, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) y después de despejar la varianza nos queda

𝜎𝜎2(𝐾𝐾, 𝑇𝑇, 𝑆𝑆0) = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

12𝐾𝐾2 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.15)

La expresión anterior corresponde a la definición de volatilidad local de un cierto proceso estocástico. Los precios de mercado de las opciones generalmente están en términos de la volatilidad implícita 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵(𝐾𝐾, 𝑇𝑇) de la siguiente manera 𝐶𝐶(𝑆𝑆0, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵((𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇), 𝑇𝑇) (2.16) lo que más conveniente es trabajar en términos de dos variables adimensionales donde la varianza total implícita Black-Scholes 𝜔𝜔 está definida por

𝑤𝑤(𝑆𝑆0, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) ∶= 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵2 (𝑆𝑆0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇)𝑇𝑇 (2.17)

y considerando el logaritmo del precio de ejercicio sobre el precio forward de las acción en el tiempo 0, se define 𝑦𝑦 = log ( 𝐾𝐾

𝐹𝐹𝑇𝑇) (2.18)

reordenando se tiene la formula Black-Scholes para el valor futuro de la opción 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵(𝐹𝐹𝑇𝑇,𝑦𝑦, 𝑤𝑤) = 𝐹𝐹𝑇𝑇{𝑁𝑁(𝑑𝑑1) − 𝑒𝑒𝑦𝑦𝑁𝑁(𝑑𝑑2)} (2.19) o bien = 𝐹𝐹𝑇𝑇{𝑁𝑁 (− 𝑦𝑦

√𝑤𝑤 + √𝑤𝑤2 ) − 𝑒𝑒𝑦𝑦𝑁𝑁(− 𝑦𝑦

√𝑤𝑤 − √𝑤𝑤2 )} (2.19 a)

y considerando lo anterior la ecuación de Dupire se convierte en 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑇𝑇 = 𝑣𝑣𝐿𝐿

2 {𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦2 − 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦} + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇) 𝐶𝐶 (2.20) donde 𝜐𝜐𝐿𝐿 = 𝜎𝜎2(𝑆𝑆0,, 𝐾𝐾, 𝑇𝑇) representa la varianza local, estimando ahora las derivadas de Black- Scholes 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝑤𝑤2 = (− 18 − 1

2𝑤𝑤 + 𝑦𝑦2

2𝑤𝑤2) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝑤𝑤 (2.21 a)

𝜕𝜕2𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑤𝑤 = ( 12 − 𝑦𝑦

𝑤𝑤) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝑤𝑤 (2.21 b)

40 Phynance

𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝑦𝑦2 − 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.21 c) se puede transformar la ecuación para dejarla en términos de la varianza implícita 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝑦𝑦 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦 (2.22 a) 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝑦𝑦2 = 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝑦𝑦2 + 2 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 + 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕2 (𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦)2 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦2

(2.22 b) 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇)𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵 (2.22 c)

donde la última igualdad supone que la única dependencia explicita del precio de la opción en 𝑇𝑇 en la ecuación es del precio forward 𝐹𝐹𝜕𝜕 , la ecuación queda como

𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑇𝑇

= 𝑣𝑣𝐿𝐿2 {− 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕2 − 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 2 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕2 (𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 )2

+ 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 }

𝑣𝑣𝐿𝐿2

𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 {2 − 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦 + 2 (12 − 𝑦𝑦

𝜕𝜕) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 + (− 1

8 − 12𝜕𝜕 +

𝑦𝑦2

2𝜕𝜕2)(𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦)2 + 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦2 } (2.23 a) Tomando el factor 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 y simplificando


𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝑦𝑦2 − 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.21 c) se puede transformar la ecuación para dejarla en términos de la varianza implícita 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝑦𝑦 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦 (2.22 a) 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝑦𝑦2 = 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝑦𝑦2 + 2 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 + 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕2 (𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦)2 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦2

(2.22 b) 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇 (𝑇𝑇)𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵 (2.22 c)

donde la última igualdad supone que la única dependencia explicita del precio de la opción en 𝑇𝑇 en la ecuación es del precio forward 𝐹𝐹𝜕𝜕 , la ecuación queda como

𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑇𝑇

= 𝑣𝑣𝐿𝐿2 {− 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕2 − 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐶𝐶

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 2 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕2 (𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 )2

+ 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 }

𝑣𝑣𝐿𝐿2

𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕𝜕𝜕 {2 − 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦 + 2 (12 − 𝑦𝑦

𝜕𝜕) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 + (− 1

8 − 12𝜕𝜕 +

𝑦𝑦2

2𝜕𝜕2)(𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦)2 + 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦2 } (2.23 a) Tomando el factor 𝜕𝜕𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵

𝜕𝜕𝜕𝜕 y simplificando

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑣𝑣𝐿𝐿 {1 − 𝑦𝑦

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦 + 1

4 (− 14 − 1

𝜕𝜕 + 𝑦𝑦2

𝜕𝜕2)(𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦)2 + 1

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦2 }

(2. 23 b) Al final despejando se llega al resultado final 𝑣𝑣𝐿𝐿 =

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

1−𝑦𝑦𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦+1

4(−14− 1

𝜕𝜕+ 𝑦𝑦2𝜕𝜕2)(𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦)2+ 12𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦2

(2.24)

Supongamos el caso que no hay skew o que 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦 es cero entonces tenemos 𝑣𝑣𝐿𝐿 = 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.25) en este caso la varianza local se reduce la varianza implícita Black-Scholes de una curva forward entonces la solución es 𝑤𝑤 (𝑇𝑇) = ∫ 𝑣𝑣𝑙𝑙 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝜕𝜕0 (2.26)

el resultado anterior es importante y fue deducido de manera independiente por Dupire (1996) y Derman y Kani (1998) y si se asume un proceso estocástico para el precio de la ecuación pero la escribimos en términos de lo siguiente 𝐹𝐹𝜕𝜕 = 𝑆𝑆0 exp {∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜇𝜇𝑡𝑡}𝜕𝜕

0 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑡𝑡, 𝑇𝑇 = √𝑣𝑣𝑡𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑡,𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑 (2.27)

42 Phynance

se nota que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 , el valor descontado de una opción europea con precio de ejercicio 𝐾𝐾 y vencimiento en 𝑇𝑇 está dado por 𝐶𝐶(𝑑𝑑0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝔼𝔼 [(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] (2.28) derivando respecto al precio de ejercicio 𝐾𝐾, se tiene 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝔼𝔼[𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.29) donde 𝜃𝜃(. ) es la función Heaviside, deferenciando otra vez respecto a 𝐾𝐾 y 𝛿𝛿(. ) es la función 𝛿𝛿 de Dirac. 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 = 𝔼𝔼[𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.30) Del lema de Ito para el pago terminal de la opción (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇) se llega a la siguiente indentidad 𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+ = 𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 + 1

2 𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) 𝑑𝑑𝑇𝑇

(2.31) tomando expectativas condicionales de cada lado y usando el hecho que 𝑑𝑑𝑡𝑡,𝑇𝑇 es una martingala se tiene 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝔼𝔼[ (𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] = 1

2 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] 𝑑𝑑𝑇𝑇 (2.32)

que puede escribirse de la siguiente manera 𝔼𝔼[𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇

2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] = 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇|𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝐾𝐾] 12 𝐾𝐾2𝔼𝔼[𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 −

𝐾𝐾] = 𝔼𝔼 [𝑉𝑉𝑇𝑇|𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝐾𝐾] 12 𝐾𝐾2 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕2 (2.33)


se nota que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 , el valor descontado de una opción europea con precio de ejercicio 𝐾𝐾 y vencimiento en 𝑇𝑇 está dado por 𝐶𝐶(𝑑𝑑0,𝐾𝐾, 𝑇𝑇) = 𝔼𝔼 [(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] (2.28) derivando respecto al precio de ejercicio 𝐾𝐾, se tiene 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝔼𝔼[𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.29) donde 𝜃𝜃(. ) es la función Heaviside, deferenciando otra vez respecto a 𝐾𝐾 y 𝛿𝛿(. ) es la función 𝛿𝛿 de Dirac. 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 = 𝔼𝔼[𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] (2.30) Del lema de Ito para el pago terminal de la opción (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇,𝑇𝑇 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇) se llega a la siguiente indentidad 𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+ = 𝜃𝜃(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇 + 1

2 𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾) 𝑑𝑑𝑇𝑇

(2.31) tomando expectativas condicionales de cada lado y usando el hecho que 𝑑𝑑𝑡𝑡,𝑇𝑇 es una martingala se tiene 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝔼𝔼[ (𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)+] = 1

2 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] 𝑑𝑑𝑇𝑇 (2.32)

que puede escribirse de la siguiente manera 𝔼𝔼[𝑣𝑣𝑇𝑇𝑑𝑑𝑇𝑇

2𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 − 𝐾𝐾)] = 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝑇𝑇|𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝐾𝐾] 12 𝐾𝐾2𝔼𝔼[𝛿𝛿(𝑑𝑑𝑇𝑇 −

𝐾𝐾] = 𝔼𝔼 [𝑉𝑉𝑇𝑇|𝑑𝑑𝑇𝑇 = 𝐾𝐾] 12 𝐾𝐾2 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕2 (2.33)

Combinando términos 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝜕𝜕|𝑆𝑆𝜕𝜕 = 𝐾𝐾] 1

2 𝐾𝐾2 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐾𝐾2 (2.34)

Comparado con la definición de volatilidad local se llega 𝜎𝜎2(𝐾𝐾, 𝑇𝑇, 𝑆𝑆0) = 𝔼𝔼 [𝑣𝑣𝜕𝜕|𝑆𝑆𝜕𝜕 = 𝐾𝐾] (2.35) En este capítulo se ha revisado brevemente las ideas básicas de la ecuación de Black-Scholes, los supuestos y su solución para el precio de la prima de las opciones financieras. En la segunda parte se revisa el concepto de volatildad desde el estimador elemental de desviación estandandar, pasando por sus propiedades y modelos empiricos y series de tiempo hasta los modelos esticasticos y los importantes conceptos de volatilidad local y volatilidad implicita y sus ecuaciones más sobresalientes. La estimación de la volatilidad es uno de los más desafiantes problemas de las finanzas modernas.

44 Phynance

CAPITULO 3


CAPITULO 3

Capítulo 3 Modelación con Procesos Brownianos Fraccionales 3.1 Introducción El modelo de Black-Scholes, la valuación de los distintos tipos de derivados, la estimación de curvas de estructura de plazos de tasas de interés, la volatilidad del mercado y la medición de los diferentes tipos de riegos han sido desarrollados sobre la base de procesos estocásticos tradicionales y por supuesto bajo la consideración de ciertos supuestos sobre las características de las variables financieras y los mercados. Sin embargo, se ha notado que los modelos financieros no explican, ni se ajustan completamente a la realidad. Por lo tanto, se requiere del desarrollo de teorías más generales que expliquen el mundo económico y financiero de mejor forma y que incluyan como casos particulares las explicaciones ya existentes. Un tema central en el presente capítulo está relacionado con la teoría de fractales y el particular el estudio de series con y sin memoria. De la literatura sobre este tema se encuentra el artículo seminal de Hurst [1951] en su estudio de hidrología y su novedosa metodología Rango Reescalado (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ) para la determinación del coeficiente del mismo nombre. Además se puede considerar los artículos clásicos de Mandelbrot [1968] y [1982] de quien se conoce como el padre de la geometría fractal. Por otra parte, los libros de Peters [1991] y [1994] resultan ser una referencia fundamental sobre las ideas, técnicas y conceptos de los mercados fractales. Su obra resume el

46 Phynance

estado del arte actual de las teorías de fractales y caos y su relación con los mercados financieros. De forma sencilla aplica estos conceptos matemáticos al análisis de los mercados principalmente de Estados Unidos. También una interesante descripción aparece en el artículo el trabajo de McCulloch [1978] y [1985] sobre la estadística fractal y en particular la evaluación de opciones con funciones más generales como son las de Levy (también es recomendable consultar al autor original). En cuanto al tema del Movimiento Browniano Fraccional (MBF) algunos de los primeros intentos de demostrar algunas propiedades básicas, como la de no arbitraje fueron hechos por de Dai and Hayde [1996] y Lin [1995]. A pesar de los esfuerzos realizados en esta dirección no se pudo eliminar la presencia de arbitraje en sus resultados. Posteriormente aparece una nueva forma de solución a través de la construcción de una nueva integral a partir del producto Wick y fueron analizadas entre otros por Desagupta [1995], [2000] y Shryaveev [1998]. Una vez resuelto el problema anterior para procesos brownianos fraccionales con el nuevo formalismo, quienes han tal vez publicado la mayor cantidad de material sobre el movimiento browniano fraccional y su aplicación en las Finanzas son Oksendal [2004] y Hu [2000], además de Duncan y Pasik-Duncan[6]. Estas referencias inician desde la definición de la métrica de un espacio de Hilbert y van recuperando varias de las técnicas matemáticas del modelo Black-Scholes tradicional, además mediante el uso del producto Wick, las derivadas Malliavin y las integrales Skorohod es posible generalizar entre otros, el teorema de Girsanov, las esperanzas condicionales y


estado del arte actual de las teorías de fractales y caos y su relación con los mercados financieros. De forma sencilla aplica estos conceptos matemáticos al análisis de los mercados principalmente de Estados Unidos. También una interesante descripción aparece en el artículo el trabajo de McCulloch [1978] y [1985] sobre la estadística fractal y en particular la evaluación de opciones con funciones más generales como son las de Levy (también es recomendable consultar al autor original). En cuanto al tema del Movimiento Browniano Fraccional (MBF) algunos de los primeros intentos de demostrar algunas propiedades básicas, como la de no arbitraje fueron hechos por de Dai and Hayde [1996] y Lin [1995]. A pesar de los esfuerzos realizados en esta dirección no se pudo eliminar la presencia de arbitraje en sus resultados. Posteriormente aparece una nueva forma de solución a través de la construcción de una nueva integral a partir del producto Wick y fueron analizadas entre otros por Desagupta [1995], [2000] y Shryaveev [1998]. Una vez resuelto el problema anterior para procesos brownianos fraccionales con el nuevo formalismo, quienes han tal vez publicado la mayor cantidad de material sobre el movimiento browniano fraccional y su aplicación en las Finanzas son Oksendal [2004] y Hu [2000], además de Duncan y Pasik-Duncan[6]. Estas referencias inician desde la definición de la métrica de un espacio de Hilbert y van recuperando varias de las técnicas matemáticas del modelo Black-Scholes tradicional, además mediante el uso del producto Wick, las derivadas Malliavin y las integrales Skorohod es posible generalizar entre otros, el teorema de Girsanov, las esperanzas condicionales y

lema de Ito para su posterior aplicación en las finanzas. Los artículos de Necula [2002] [2002] presentan una perspectiva diferente de los estudios de Oksendal y Hu y en forma práctica presentan una deducción de la ecuación Black-Scholes a partir de movimientos browniano fraccionales. En otro trabajo relacionado con el tema, Rosek [23] también presenta una de deducción alternativa del lema de Ito para el caso fraccional. Por último los trabajos de Giovanni Vasconcelos [2004] presentan un resumen importante el paso de los modelos brownianos clásicos a los brownianos fraccionales y sus implicaciones en los supuestos y resultados. Entre los principales objetivos de este capítulo es la generalización de dos resultados fundamentales de finanzas: la valuación de opciones call europeas y la modelación de curvas de estructura de plazos de tasas de interés. Estas generalizaciones se construyen con un proceso estocástico conocido como movimiento browniano fraccional (MBF) que a diferencia del movimiento browniano tradicional incorpora en los modelos las características de independencia o dependencia propias de las series financieras analizadas y con prácticamente los mismos supuestos financieros de los modelos desarrollados con el movimiento browniano tradicional. Para la aplicación del movimiento browniano fraccional en los problemas mencionados anteriormente es necesaria también la generalización de la herramienta matemática y la reproducción de los principales resultados del mundo de Black-Scholes, en este caso se

48 Phynance

utilizan los resultados matemáticos de Hu and Oksendal[2000] y Necula [2002]. Por otro lado, de manera simultánea a los resultados obtenidos del movimiento browniano fraccional se hace necesaria una metodología para la estimación del coeficiente Hurst (𝐻𝐻) que determine la independencia o dependencia de una serie, así como hacerla distinguir como una serie fractal. Para el cálculo de este coeficiente se aplica la metodología Rango Reescalado (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ) propuesta por el mismo Hurst, en secciones posteriores se hace una descripción amplia del coeficiente Hurst y la metodología(𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ). Un segundo objetivo del capítulo es la aplicación de la metodologías de Hurst a los resultados obtenidos de las ecuaciones Black-Scholes fraccional y en general de los bonos con variables financieras representativas de México con el fin de comparar valuaciones de opciones y curvas de interés obtenidas a partir del movimiento browniano tradicional y fraccional. Un tercer punto es sobre el tema de la volatilidad de los mercados y en particular de la volatilidad de los índices que es un tema ampliamente estudiado en la literatura. El enfoque que planteamos en este capítulo está fundamentado en la metodología de Rango Reescalado (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ) cuyos trabajos seminales fueron originalmente propuestos por Mandelbrot [10] y [11] y en una problematica muy específica del área de hidrología por Hurst [1951]. También los libros de Peters [1991] y [1994] y los trabajos de Sierra [2007] [2008] [] son referentes básicos para este trabajo.


utilizan los resultados matemáticos de Hu and Oksendal[2000] y Necula [2002]. Por otro lado, de manera simultánea a los resultados obtenidos del movimiento browniano fraccional se hace necesaria una metodología para la estimación del coeficiente Hurst (𝐻𝐻) que determine la independencia o dependencia de una serie, así como hacerla distinguir como una serie fractal. Para el cálculo de este coeficiente se aplica la metodología Rango Reescalado (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ) propuesta por el mismo Hurst, en secciones posteriores se hace una descripción amplia del coeficiente Hurst y la metodología(𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ). Un segundo objetivo del capítulo es la aplicación de la metodologías de Hurst a los resultados obtenidos de las ecuaciones Black-Scholes fraccional y en general de los bonos con variables financieras representativas de México con el fin de comparar valuaciones de opciones y curvas de interés obtenidas a partir del movimiento browniano tradicional y fraccional. Un tercer punto es sobre el tema de la volatilidad de los mercados y en particular de la volatilidad de los índices que es un tema ampliamente estudiado en la literatura. El enfoque que planteamos en este capítulo está fundamentado en la metodología de Rango Reescalado (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ) cuyos trabajos seminales fueron originalmente propuestos por Mandelbrot [10] y [11] y en una problematica muy específica del área de hidrología por Hurst [1951]. También los libros de Peters [1991] y [1994] y los trabajos de Sierra [2007] [2008] [] son referentes básicos para este trabajo.

3.2 Procesos Hurst El británico Harold Edwin Hurst (1880-1978) fue un científico que trabajó en el proyecto de construcción de la presa del río Nilo. En el momento del diseño se le presentó el problema de determinar la capacidad de almacenamiento de la presa que dependía del flujo que entra al río proveniente de diferentes elementos como lluvias y riachuelos y un flujo controlado de salida del río utilizado primordialmente en el riego. Con anterioridad, algunos hidrólogos habían supuesto, razonablemente, el comportamiento del influjo como un proceso aleatorio. Sin embargo, a él no le satisfacía esta explicación ya que en los registros históricos que mantenían los egipcios observo que en el proceso los flujos más grandes del promedio eran seguidos por sobre flujos todavía más grandes, inesperadamente el proceso cambiaba a flujos menores que el promedio y eran seguidos por flujos todavía menores que los anteriores. En un análisis simple parecían ciclos cuya longitud no era periódica. Un análisis estándar revelaba la no existencia de correlación estadísticamente significativa entre las observaciones, por lo que Hurst desarrollo su propia metodología conocida como “Análisis de Rango Reescalado” (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ), cuyo coeficiente o exponente conocido como “Exponente Hurst”, es una medida de independencia de las series de tiempo y una manera de distinguir series fractales. Hurst al resolver su problema relacionado con la capacidad de la presa encontró la siguiente ecuación

50 Phynance

empírica, que Mandelbrot y Wallis [1968], probaron posteriormente en 1969: (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ )𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐻𝐻 (3.1) donde (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ) se conoce como el estadístico “Rango Reescalado” 𝑐𝑐 = constante. 𝑐𝑐 = indicador del valor de la serie de tiempo o tamaño del superiodo. 𝐻𝐻 = exponente o coeficiente Hurst. En general, los valores de (𝑅𝑅/𝑆𝑆) se incrementan con 𝑐𝑐 por el valor de la ley de potencias igual al exponente Hurst. Esta es la primera conexión del fenómeno Hurst y la geometría Fractal, hay que mencionar además que el método (𝑅𝑅/𝑆𝑆) es un análisis no paramétrico que no requiere de una distribución especifica. Para que una serie de datos pueda ser considerada como fractal el requisito clave que debe de cumplir es una escala de ley de potencia. Por medio de una regresión lineal de los puntos de 𝑙𝑙𝑐𝑐(𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ )𝑛𝑛 contra 𝑙𝑙𝑐𝑐(𝑐𝑐) se determina el exponente de Hurst como se muestra en la siguiente ecuación 𝐼𝐼𝑐𝑐(𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ )𝑛𝑛 = In(𝑐𝑐) + 𝐻𝐻In(𝑐𝑐) (3.2) Si el sistema tiene características de independencia entonces 𝐻𝐻 = 0.50, si 0.5 < 𝐻𝐻 < 1 implica series de tiempo persistentes, es decir, caracterizadas por efectos de memoria de largo plazo, por lo tanto, lo que suceda hoy impactará en el futuro por siempre. Y finalmente si


empírica, que Mandelbrot y Wallis [1968], probaron posteriormente en 1969: (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ )𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐻𝐻 (3.1) donde (𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ ) se conoce como el estadístico “Rango Reescalado” 𝑐𝑐 = constante. 𝑐𝑐 = indicador del valor de la serie de tiempo o tamaño del superiodo. 𝐻𝐻 = exponente o coeficiente Hurst. En general, los valores de (𝑅𝑅/𝑆𝑆) se incrementan con 𝑐𝑐 por el valor de la ley de potencias igual al exponente Hurst. Esta es la primera conexión del fenómeno Hurst y la geometría Fractal, hay que mencionar además que el método (𝑅𝑅/𝑆𝑆) es un análisis no paramétrico que no requiere de una distribución especifica. Para que una serie de datos pueda ser considerada como fractal el requisito clave que debe de cumplir es una escala de ley de potencia. Por medio de una regresión lineal de los puntos de 𝑙𝑙𝑐𝑐(𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ )𝑛𝑛 contra 𝑙𝑙𝑐𝑐(𝑐𝑐) se determina el exponente de Hurst como se muestra en la siguiente ecuación 𝐼𝐼𝑐𝑐(𝑅𝑅 𝑆𝑆⁄ )𝑛𝑛 = In(𝑐𝑐) + 𝐻𝐻In(𝑐𝑐) (3.2) Si el sistema tiene características de independencia entonces 𝐻𝐻 = 0.50, si 0.5 < 𝐻𝐻 < 1 implica series de tiempo persistentes, es decir, caracterizadas por efectos de memoria de largo plazo, por lo tanto, lo que suceda hoy impactará en el futuro por siempre. Y finalmente si

0 < 𝐻𝐻 < 0.5 significa antipersistencia en la serie de tiempo. Como resultado de su investigación de la presa del río Nilo, Hurst encontró un coeficiente de 𝐻𝐻 = 0.91. Aunque el estudio se aplicó al caso del flujo del río Nilo, en términos generales puede aplicarse a cualquier serie que se sospeche se comporte como fractal en cualquier otra área de estudio. Resumiendo la metodología que desarrollo H.E. Hurst, de forma general consiste en tomar los rendimientos logarítmicos de una serie de tiempo de tamaño M. Posteriormente se forman A subperiodos contiguos de longitud n, y para cada uno de dichos subperiodos Ia de longitud n se determina su valor promedio. Se van sumando las diferencias de cada elemento respecto de la media en cada subperiodo para obtener una nueva serie de diferencias acumuladas y se determina “Rango” que a la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la serie acumulada en cada subperiodo de tamaño 𝑛𝑛. Por otro lado, se estima la desviación estándar muestral 𝑆𝑆𝐼𝐼𝐼𝐼 de las series de diferencias de la forma tradicional. Y para cada periodo el rango 𝑅𝑅𝐼𝐼𝐼𝐼 se normaliza dividiendo por su desviación estándar muestral 𝑆𝑆𝐼𝐼𝐼𝐼 correspondiente. Por lo tanto el rango reescalado para cada subperiodo 𝐼𝐼𝐼𝐼 es igual a (𝑅𝑅𝐼𝐼𝐼𝐼 / 𝑆𝑆𝐼𝐼𝐼𝐼). Como se tienen A periodos continuos de longitud 𝑛𝑛, entonces se toma el valor promedio 𝑅𝑅/𝑆𝑆 para todos los periodos. La longitud 𝑛𝑛 o el tamaño del subperiodo se incrementada al siguiente valor posible de tal forma que (𝑀𝑀 − 1)/ 𝑛𝑛 sea un valor entero. Iniciamos con el valor más pequeño de acuerdo a la condición anterior y se

52 Phynance

repiten los pasos y se repiten hasta 𝑛𝑛 = (𝑀𝑀 − 1)/2 Posteriormente aplicamos una regresión de mínimos cuadrados de 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑅𝑅/𝑆𝑆)𝑛𝑛 contra 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑛𝑛). La ordenada al origen es el 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑐𝑐) y la pendiente de la ecuación es la estimación del exponente Hurst 𝐻𝐻. Para mayor información sobre el coeficiente Hurst o la metodología (𝑅𝑅/𝑆𝑆) consultar Peters [1991], [1994]. En párrafos anteriores se han mencionado los pasos para la determinación del coeficiente Hurst (𝐻𝐻) y el comportamiento de los procesos de acuerdo al valor de dicho exponente. Sin embargo, en la práctica es necesario distinguir si el resultado de un coeficiente empírico, con un cierto negro de datos, pueden ser considerado o bien un proceso independiente o con tendencia. Para establecer un criterio se debe plantear una prueba de significancia sobre los resultados de un análisis (𝑅𝑅/𝑆𝑆) similar a las pruebas "𝑡𝑡" de las regresiones lineales. Respecto a la confiabilidad empírica Hurst estableció en un inicio su Hipótesis Nula sobre una distribución binomial resultado del lanzamiento de volados. Más tarde, Feller llego a un resultado similar por otro camino suponiendo una hipótesis nula de que 𝐻𝐻 = 0.5 tiene un comportamiento de caminata aleatoria o de browniano tradicional, es decir, de independencia. Contra las hipótesis alternativas (𝐻𝐻 <> 0.5) que corresponde a comportamiento persistente o antipersistente de los procesos. Los valores propuestos para el valor esperado y la varianza del coeficiente (H) son: Consultar Peters [1991], [1994] para mayores detalles


repiten los pasos y se repiten hasta 𝑛𝑛 = (𝑀𝑀 − 1)/2 Posteriormente aplicamos una regresión de mínimos cuadrados de 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑅𝑅/𝑆𝑆)𝑛𝑛 contra 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑛𝑛). La ordenada al origen es el 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑐𝑐) y la pendiente de la ecuación es la estimación del exponente Hurst 𝐻𝐻. Para mayor información sobre el coeficiente Hurst o la metodología (𝑅𝑅/𝑆𝑆) consultar Peters [1991], [1994]. En párrafos anteriores se han mencionado los pasos para la determinación del coeficiente Hurst (𝐻𝐻) y el comportamiento de los procesos de acuerdo al valor de dicho exponente. Sin embargo, en la práctica es necesario distinguir si el resultado de un coeficiente empírico, con un cierto negro de datos, pueden ser considerado o bien un proceso independiente o con tendencia. Para establecer un criterio se debe plantear una prueba de significancia sobre los resultados de un análisis (𝑅𝑅/𝑆𝑆) similar a las pruebas "𝑡𝑡" de las regresiones lineales. Respecto a la confiabilidad empírica Hurst estableció en un inicio su Hipótesis Nula sobre una distribución binomial resultado del lanzamiento de volados. Más tarde, Feller llego a un resultado similar por otro camino suponiendo una hipótesis nula de que 𝐻𝐻 = 0.5 tiene un comportamiento de caminata aleatoria o de browniano tradicional, es decir, de independencia. Contra las hipótesis alternativas (𝐻𝐻 <> 0.5) que corresponde a comportamiento persistente o antipersistente de los procesos. Los valores propuestos para el valor esperado y la varianza del coeficiente (H) son: Consultar Peters [1991], [1994] para mayores detalles

𝐸𝐸(𝑅𝑅′(𝑛𝑛)) = (𝑛𝑛𝑛𝑛/2)1 2⁄ (3.3) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅(𝐸𝐸(𝑅𝑅′(𝑛𝑛))) = (𝑛𝑛2/6 − 𝑛𝑛/2)𝑛𝑛 (3.4) La ecuación anterior fue corregida por Alanis and Lloyd (1976) para la determinación del valor esperado del rango reescalado y después de una corrección empírica (ver Peters) se llega a una ecuación para el valor esperado de 𝐻𝐻: 𝐸𝐸(𝑅𝑅/𝑆𝑆𝑛𝑛) = (𝑛𝑛−0.5𝑛𝑛 ) (𝑛𝑛𝑛𝑛2 )∑ √𝑛𝑛−𝑟𝑟

𝑟𝑟𝑛𝑛−1𝑟𝑟=1 (3.5)

Debido a que los valores de 𝑅𝑅/𝑆𝑆 son normalmente distribuidos, entonces podemos tomar los valores de 𝐻𝐻 como también normalmente distribuidos, en este caso la varianza esperada del exponente Hurst empíricamente se demuestra es: 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅(𝐻𝐻) = 1

𝑇𝑇 (3.6) Donde 𝑇𝑇 es el número de observaciones de la muestra. A partir de las ecuaciones [3.3], [3.4] se puede determinar el nivel de significancia con un estadístico que nos dice cuántas desviaciones estándar se encuentra alejado del valor medio 𝐸𝐸(𝐻𝐻) y el valor obtenido de 𝐻𝐻 en el proceso de Rango-Reescalado. Seleccionando un ejemplo aplicando la metodología (𝑅𝑅/𝑆𝑆) en cualquier periodo de tiempo para la estimación del coeficiente Hurst al caso del mercado financiero de México en la variable del tipo de cambio peso-dólar (TDC) se toma la serie SF 43788 del Tipo de Cambio pesos por dólar EUA interbancario 48 horas al cierre de compra de 2000 datos que van de enero de

54 Phynance

1999 a diciembre del 2006. Considerando los tamaños de conjunto (n) para TDC siguientes: 10,16,20,25,40,50,80,100,125,200,250,400,500,1000.

Grafica 3.1 Estadístico 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝑹𝑹

𝑺𝑺) del TDC vs 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝑰𝑰)

Fuente: Elaboración propia.

En la gráfica [3.1] se muestran las variables 𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑅𝑅/𝑆𝑆) contra 𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑙𝑙) comparando el caso del TDC con el de (𝐻𝐻 = 1/2). Se aprecia la pendiente positiva de ambas graficas y de acuerdo a la metodología cuando la recta pierde esta tendencia corresponde al tamaño del ciclo. Alrededor de 6 en el eje de la gráfica que son cerca de 400 días naturales. Posteriormente a la metodología del Rango Reescalado se hace una regresión de 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑅𝑅/𝑆𝑆) contra 𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑙𝑙). Los resultados para 𝐻𝐻, 𝐸𝐸(𝐻𝐻), 𝐷𝐷𝐸𝐸(𝐻𝐻) aparecen en la siguiente tabla 3.1:


1999 a diciembre del 2006. Considerando los tamaños de conjunto (n) para TDC siguientes: 10,16,20,25,40,50,80,100,125,200,250,400,500,1000.

Grafica 3.1 Estadístico 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝑹𝑹

𝑺𝑺) del TDC vs 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝑰𝑰)


En la gráfica [3.1] se muestran las variables 𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑅𝑅/𝑆𝑆) contra 𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑙𝑙) comparando el caso del TDC con el de (𝐻𝐻 = 1/2). Se aprecia la pendiente positiva de ambas graficas y de acuerdo a la metodología cuando la recta pierde esta tendencia corresponde al tamaño del ciclo. Alrededor de 6 en el eje de la gráfica que son cerca de 400 días naturales. Posteriormente a la metodología del Rango Reescalado se hace una regresión de 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑅𝑅/𝑆𝑆) contra 𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑙𝑙). Los resultados para 𝐻𝐻, 𝐸𝐸(𝐻𝐻), 𝐷𝐷𝐸𝐸(𝐻𝐻) aparecen en la siguiente tabla 3.1:

Tabla 3.1 Hipótesis del TDC Serie 𝐻𝐻 𝐸𝐸(𝐻𝐻) 𝐷𝐷𝐸𝐸(𝐻𝐻) 𝐻𝐻 − 𝐸𝐸(𝐻𝐻)

𝐷𝐷𝐸𝐸(𝐻𝐻) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐻𝐻𝐻𝐻

𝑇𝑇𝐷𝐷𝑇𝑇 0.5096 0.5726 0.0223 -2.8251 S Fuente: Elaboración propia. En la Tabla anterior se puede observar la estimación del coeficiente Hurst para las serie del TDC del mercado mexicano. El valor del exponente 𝐻𝐻 nos podría sugerir que la serie se comporta con características de persistencia pero si tomamos en cuenta el valor esperado y la desviación estándar (𝐷𝐷𝐸𝐸) los resultados no son significativos y se mantiene la hipótesis nula de un comportamiento independiente. Por lo tanto, aunque teóricamente los valores son ligeramente mayores que 𝐻𝐻 = 0.5, estadísticamente no pueden ser considerados con características persistentes. 3.3 Ecuación Black-Scholes y Opciones Financieras Europeas en un Mercado Fraccional La ecuación Black-Scholes (1973) derivada por Fischer Black y Myron Scholes y con la participación de Merton se trata de una ecuación lineal diferencial parcial parabólica con valores en la frontera. Dicha ecuación presupone que el comportamiento del subyacente asociado al derivado puede modelarse en su término estocástico con un movimiento browniano y para su derivación hace uso de al menos dos conceptos básicos de Finanzas: la cobertura y el no arbitraje.

56 Phynance

Para la deducción del modelo de Black-Scholes tanto en el caso tradicional (ver capítulo 2) como fraccional considera los siguientes supuestos:

i. Existe una tasa libre de riesgos y una varianza, ambas constantes.

ii. El mercado es líquido para el activo subyacente y el derivado.

iii. No hay costos de transacción. iv. Se puede prestar y pedir prestado a la misma

tasa. v. No se pagan dividendos.

vi. No hay oportunidades de arbitraje. El precio de una opción call europea en cualquier intervalo 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇, dado un precio de ejercicio 𝐾𝐾, una tasa libre de riesgo 𝑟𝑟, una volatilidad, un vencimiento en 𝑇𝑇 y un coeficiente Hurst 𝐻𝐻 de la serie financiera subyacente de acuerdo al trabajos Hu and Oksendal [2004] y de Necula [2002] que verificaron que en un mercado completo y no existe el arbitraje está dado por: 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆(𝑡𝑡)) = 𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1) − 𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) (3.7 a) donde

𝑑𝑑1 = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝐾𝐾 +𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)+1

2𝜎𝜎2(𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻)𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.7 b)

y

𝑑𝑑2 = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝐾𝐾 +𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)−1

2𝜎𝜎2(𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻)

𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.7 c)


Para la deducción del modelo de Black-Scholes tanto en el caso tradicional (ver capítulo 2) como fraccional considera los siguientes supuestos:

i. Existe una tasa libre de riesgos y una varianza, ambas constantes.

ii. El mercado es líquido para el activo subyacente y el derivado.

iii. No hay costos de transacción. iv. Se puede prestar y pedir prestado a la misma

tasa. v. No se pagan dividendos.

vi. No hay oportunidades de arbitraje. El precio de una opción call europea en cualquier intervalo 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇, dado un precio de ejercicio 𝐾𝐾, una tasa libre de riesgo 𝑟𝑟, una volatilidad, un vencimiento en 𝑇𝑇 y un coeficiente Hurst 𝐻𝐻 de la serie financiera subyacente de acuerdo al trabajos Hu and Oksendal [2004] y de Necula [2002] que verificaron que en un mercado completo y no existe el arbitraje está dado por: 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆(𝑡𝑡)) = 𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1) − 𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) (3.7 a) donde

𝑑𝑑1 = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝐾𝐾 +𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)+1

2𝜎𝜎2(𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻)𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.7 b)

y

𝑑𝑑2 = 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝐾𝐾 +𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)−1

2𝜎𝜎2(𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻)

𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.7 c)

Para poder derivar una generalización de la Ecuación Black-Scholes Fraccional y comprobar que la solución (deducida por Necula) anterior se propone que el término estocástico del activo subyacente estará descrito por un movimiento browniano fraccional. Se considera el comportamiento del activo subyacente que sigue un movimiento geométrico browniano con término estocástico generado por un browniano fraccional: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 𝜇𝜇𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻(𝑡𝑡) (3.8) y de un derivado, que puede ser un call europeo, función del tiempo descrito por la siguiente expresión 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡, 𝑑𝑑) = 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜇𝜇𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻(𝑡𝑡) +𝜎𝜎𝐷𝐷𝑠𝑠𝜑𝜑𝑑𝑑(𝑡𝑡)

𝜕𝜕2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆2 (3.9)

Consideremos la derivada en un MFB (Para mayores detalles consultar Duncan, Hu and Pasik-Duncan [2002] y Necula (2002)) llegamos al Lema de Ito generalizado se escribe como: 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡, 𝑑𝑑) = [𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜇𝜇𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝜎𝜎2𝑑𝑑2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕

2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆2 ] 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑑𝑑 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻(𝑡𝑡) (3.10) Siguiendo la misma idea para la deducción de la ecuación Black-Scholes original, se construye un portafolio de cobertura con una combinación de un derivado y su subyacente:

58 Phynance

𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1𝑆𝑆(𝑡𝑡) + 𝑤𝑤2𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) (3.11) o bien el cambio diferencial del portafolio 𝑑𝑑𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡) + 𝑤𝑤2𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) (3.12) Sustituyendo 𝑑𝑑𝑆𝑆 y 𝑑𝑑𝐶𝐶 tenemos 𝑑𝑑𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1[𝜇𝜇𝑆𝑆𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑆𝑆𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻] + 𝑤𝑤2 [[𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 +

𝜎𝜎2𝑆𝑆2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆2 ] 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻(𝑡𝑡)]

(3.13) Una posible combinación de cobertura de posiciones que hacen que el término estocástico se elimine es: 𝑤𝑤1 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆 , 𝑤𝑤2 = 1 (3.14) Entonces el cambio en el portafolio denotado por 𝑑𝑑𝜋𝜋(1)(𝑡𝑡) queda como: dπ(1) = ∂C(t,S)

∂t + σ2S2Ht2H−1 ∂2C(t,S)∂S2 (3.15)

Por otra parte, el rendimiento de un portafolio libre de riesgo de una cuenta bancaria está dado por: 𝑑𝑑𝜋𝜋(2) = 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑𝑡𝑡 = (− 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝐶𝐶) 𝜋𝜋𝑑𝑑𝑡𝑡 (3.16) Debido a la existencia de no arbitraje podemos igualar los rendimientos de los portafolios (1) y (2) ecuaciones


𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1𝑆𝑆(𝑡𝑡) + 𝑤𝑤2𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) (3.11) o bien el cambio diferencial del portafolio 𝑑𝑑𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡) + 𝑤𝑤2𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) (3.12) Sustituyendo 𝑑𝑑𝑆𝑆 y 𝑑𝑑𝐶𝐶 tenemos 𝑑𝑑𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1[𝜇𝜇𝑆𝑆𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑆𝑆𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻] + 𝑤𝑤2 [[𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 +

𝜎𝜎2𝑆𝑆2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆2 ] 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻(𝑡𝑡)]

(3.13) Una posible combinación de cobertura de posiciones que hacen que el término estocástico se elimine es: 𝑤𝑤1 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆 , 𝑤𝑤2 = 1 (3.14) Entonces el cambio en el portafolio denotado por 𝑑𝑑𝜋𝜋(1)(𝑡𝑡) queda como: dπ(1) = ∂C(t,S)

∂t + σ2S2Ht2H−1 ∂2C(t,S)∂S2 (3.15)

Por otra parte, el rendimiento de un portafolio libre de riesgo de una cuenta bancaria está dado por: 𝑑𝑑𝜋𝜋(2) = 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑑𝑑𝑡𝑡 = (− 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝐶𝐶) 𝜋𝜋𝑑𝑑𝑡𝑡 (3.16) Debido a la existencia de no arbitraje podemos igualar los rendimientos de los portafolios (1) y (2) ecuaciones

[3.15] y [3.16] y después de organizar términos llegamos a la ecuación Black-Scholes Fraccional: 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝐻𝐻𝜎𝜎2𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑆𝑆2 𝜕𝜕2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 0

(3.17 a) con condiciones de Frontera: 𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑆𝑆 − 𝐾𝐾, 0) (3.17 b) De forma alternativa la ecuación de Black-Scholes Fraccional también se puede representar en términos de las griegas y comprobar que la solución encontrada ecuación (3.17 a) en la sección anterior satisface la ecuación: 𝛩𝛩 + 𝑟𝑟𝑆𝑆𝑟𝑟 + 𝐻𝐻𝜎𝜎2𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑆𝑆2𝛤𝛤 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0 (3.18) y donde cada una de las griegas en el caso browniano fraccional está dado por (para mayor detalle consultar Necula (2002): Δ = 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆 = 𝑁𝑁(𝑑𝑑1) (3.19 a) ∨= 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) (3.19 b) 𝜐𝜐 = 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑑𝑑1)√𝑇𝑇2𝐻𝐻 − 𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.19 c) 𝜌𝜌 = 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 = (𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) (3.19 d) Γ = 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆2 =𝑁𝑁′′(𝑑𝑑1)

𝑆𝑆𝜕𝜕√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.19 e)

60 Phynance

Θ = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝜕𝜕)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) −

𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝜎𝜎𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝜕𝜕) 𝑁𝑁′(𝑑𝑑2)√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝜕𝜕2𝐻𝐻

(3.19 f) Cuando se sustituyen las ecuaciones 3.19 (a, b, c, d, e, f) el valor de 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) y la identidad siguiente 𝑁𝑁′(𝑑𝑑1) =𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝜕𝜕)𝑁𝑁′(𝑑𝑑2) se verifica que la solución propuesta satisface la ecuación Black-Scholes Fraccional. La f es la función de densidad de una normal estándar. A continuación se realiza la valuación de opciones call europeas sobre el subyacente del tipo de cambio peso dólar (TDC) para diferentes valores de 𝐻𝐻 que están entre 0.5 y 1. En particular, se conocen los valores 𝐻𝐻 de cada una de las series anteriores con la metodología (𝑅𝑅/𝑆𝑆) que determina las características de independencia de las variables. Los parámetros necesarios con los que se evaluaron las opciones call aparecen en la siguiente tabla: Tabla 3.2 Estadísticos del TDC

Serie 𝐷𝐷. 𝐸𝐸. 𝑅𝑅 𝑟𝑟 𝑇𝑇 𝐻𝐻 𝑇𝑇𝐷𝐷𝐶𝐶 0.0572 0.03 10.5 0.5 0.5255


La grafica (3.2) muestra diferentes curvas de precios de las opciones call sobre el TDC como función de 𝑆𝑆(𝑡𝑡) y del coeficiente Hurst 𝐻𝐻. Se puede observar que conforme el valor de 𝐻𝐻 va aumentando (de 0.5 a 1) cada curva asociada del precio del call se van desplazando de forma casi paralela hacia la parte inferior de la figura. Es decir, entre mayor sea la dependencia de una serie


Θ = 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝜕𝜕)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) −

𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝜎𝜎𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝜕𝜕) 𝑁𝑁′(𝑑𝑑2)√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝜕𝜕2𝐻𝐻

(3.19 f) Cuando se sustituyen las ecuaciones 3.19 (a, b, c, d, e, f) el valor de 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) y la identidad siguiente 𝑁𝑁′(𝑑𝑑1) =𝑟𝑟𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝜕𝜕)𝑁𝑁′(𝑑𝑑2) se verifica que la solución propuesta satisface la ecuación Black-Scholes Fraccional. La f es la función de densidad de una normal estándar. A continuación se realiza la valuación de opciones call europeas sobre el subyacente del tipo de cambio peso dólar (TDC) para diferentes valores de 𝐻𝐻 que están entre 0.5 y 1. En particular, se conocen los valores 𝐻𝐻 de cada una de las series anteriores con la metodología (𝑅𝑅/𝑆𝑆) que determina las características de independencia de las variables. Los parámetros necesarios con los que se evaluaron las opciones call aparecen en la siguiente tabla: Tabla 3.2 Estadísticos del TDC

Serie 𝐷𝐷. 𝐸𝐸. 𝑅𝑅 𝑟𝑟 𝑇𝑇 𝐻𝐻 𝑇𝑇𝐷𝐷𝐶𝐶 0.0572 0.03 10.5 0.5 0.5255


La grafica (3.2) muestra diferentes curvas de precios de las opciones call sobre el TDC como función de 𝑆𝑆(𝑡𝑡) y del coeficiente Hurst 𝐻𝐻. Se puede observar que conforme el valor de 𝐻𝐻 va aumentando (de 0.5 a 1) cada curva asociada del precio del call se van desplazando de forma casi paralela hacia la parte inferior de la figura. Es decir, entre mayor sea la dependencia de una serie

financiera con su pasado, el precio de una opción call europea calculado con la ecuación fraccional será menor que el valor de un call europeo obtenido por el método tradicional.

Grafica3.2

Precio de un Call TDC para diferentes H


Observando las mismas graficas parece que el mayor cambio en el precio del call para ambos índices ocurre cuando se encuentran cerca del precio de ejercicio. Sin embargo, la mayor diferencia porcentual ocurre cuando se combinan las siguientes dos situaciones: que la opción este fuera del dinero 𝑆𝑆 < 𝐾𝐾 y además que 𝐻𝐻 sea muy cercana a uno. En ese caso, el precio de la opción fraccional puede llegar a estar cien por ciento por debajo de la valuación tradicional. La misma característica de la sobrevaluación teórica de los calls de los subyacentes del 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 también se aprecia en los puts europeos y de manera similar el efecto es

62 Phynance

más notorio cuando se está cerca de 𝐻𝐻 igual a uno y fuera del dinero 𝑆𝑆 > 𝐾𝐾. 3.4 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento Browniano Fraccional El modelo de estructura de plazos de tasas Vasicek, desarrollado por el autor del mismo nombre en [1977], describe el comportamiento de la tasa corta o tasa spot con reversión a la media, es decir, que en el largo plazo se converge a un cierto valor de tasa de interés independientemente de donde haya iniciado. A partir de esta descripción, es posible construir la ecuación general de los bonos (una ecuación lineal diferencial parcial de segundo orden con valores a la frontera) cuya estructura matemática es similar a la ecuación de Black-Scholes. La solución a dicha ecuación nos proporciona el precio de un bono en sus diferentes plazos y de manera equivalente a partir de esta solución se puede obtener la función de estructura de plazos, es decir la tasa de interés también para cada uno de los plazos. Cabe mencionar la existencia de otros supuestos importantes, como es la existencia de un mercado donde se puede prestar y pedir prestado y la simetría en la información de los agentes. En esta sección del capítulo se propone que la tasa corta sea descrita por un modelo de Vasicek con regresión a la media, pero con el termino estocástico modelado por un movimiento browniano fraccional, es decir, se propone un modelo tradicional que posea características más generales que solamente la independencia. Además, se consideran los mismos


más notorio cuando se está cerca de 𝐻𝐻 igual a uno y fuera del dinero 𝑆𝑆 > 𝐾𝐾. 3.4 Modelo de Tasas Vasicek con Movimiento Browniano Fraccional El modelo de estructura de plazos de tasas Vasicek, desarrollado por el autor del mismo nombre en [1977], describe el comportamiento de la tasa corta o tasa spot con reversión a la media, es decir, que en el largo plazo se converge a un cierto valor de tasa de interés independientemente de donde haya iniciado. A partir de esta descripción, es posible construir la ecuación general de los bonos (una ecuación lineal diferencial parcial de segundo orden con valores a la frontera) cuya estructura matemática es similar a la ecuación de Black-Scholes. La solución a dicha ecuación nos proporciona el precio de un bono en sus diferentes plazos y de manera equivalente a partir de esta solución se puede obtener la función de estructura de plazos, es decir la tasa de interés también para cada uno de los plazos. Cabe mencionar la existencia de otros supuestos importantes, como es la existencia de un mercado donde se puede prestar y pedir prestado y la simetría en la información de los agentes. En esta sección del capítulo se propone que la tasa corta sea descrita por un modelo de Vasicek con regresión a la media, pero con el termino estocástico modelado por un movimiento browniano fraccional, es decir, se propone un modelo tradicional que posea características más generales que solamente la independencia. Además, se consideran los mismos

supuestos financieros del caso Vasicek modelado por el browniano tradicional. Se inicia considerando un modelo de tasa corta de Vasicek con reversión a la media, pero con la diferencia de que 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐻𝐻 es un movimiento browniano fraccional 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡 = 𝑎𝑎(𝑏𝑏 − 𝑟𝑟𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜎𝜎𝑑𝑑𝑑𝑑𝐻𝐻 (3.20) si se considera dos bonos de tasa fija con diferentes vencimientos en 𝑇𝑇1 y 𝑇𝑇2 dados por: 𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑1(𝑑𝑑, 𝑟𝑟𝑡𝑡; 𝑇𝑇1) (3.21 a) 𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑2(𝑑𝑑, 𝑟𝑟𝑡𝑡; 𝑇𝑇2) (3.21 b) y se construye un portafolio que esté integrado por los dos bonos con diferentes fechas de vencimiento 𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1𝑑𝑑1 + 𝑤𝑤2𝑑𝑑2 (3.22 a) o bien en términos de incrementos , el cambio en el portafolio es: 𝑑𝑑𝜋𝜋 = 𝑤𝑤1𝑑𝑑𝑑𝑑1 + 𝑤𝑤2𝑑𝑑𝑑𝑑2 (3.22 b) Por otra parte, se sabe que el cambio en el precio de cualquiera de los dos bonos, de acuerdo al lema de Ito fraccional ec. [3.10], está dado por: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖 = (𝜕𝜕𝐵𝐵𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑎𝑎(𝑏𝑏 − 𝑟𝑟𝑡𝑡) 𝜕𝜕𝐵𝐵𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑑𝑑2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝐵𝐵𝑖𝑖

𝜕𝜕𝜕𝜕2 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 +𝜕𝜕𝐵𝐵𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖𝐻𝐻(𝑡𝑡) (3.23)

64 Phynance

Después de sustituir las ecuaciones y de organizar términos el cambio del valor del portafolio será: 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 𝑤𝑤1 (

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕

2𝐵𝐵1𝜕𝜕𝑟𝑟2 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑤𝑤2 (

𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕 +

𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝐵𝐵2𝜕𝜕𝑟𝑟2 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 (3.24)

con la siguiente condición se busca eliminar la parte estocástica (browniano fraccional) para tener un portafolio de cobertura, una posible solución que hace satisface la ecuación anterior y hace el valor estocástico cero es: 𝑤𝑤1 = 1, (3.25 a) 𝑤𝑤2 = −

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕

(3.25 b)

Por otro lado tenemos que el rendimiento de un portafolio en un mercado libre de riesgos está dado por: 𝑑𝑑𝑑𝑑(2) = 𝑟𝑟𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑡𝑡 (𝐵𝐵1 −

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕) (3. 26)

Utilizando la condición de no arbitraje se igualan el rendimiento libre de riesgo de los portafolios 1 y 2 y se tiene: 𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝜎𝜎

2𝐻𝐻𝜕𝜕2𝐻𝐻−1𝜕𝜕2𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕2 −𝑟𝑟𝐵𝐵1

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕

=𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝜎𝜎

2𝐻𝐻𝜕𝜕2𝐻𝐻−1𝜕𝜕2𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕2 −𝑟𝑟𝐵𝐵2

𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕

(3.27)

de la ecuación anterior, la forma de la expresión es independiente del vencimiento del bono, es decir:


Después de sustituir las ecuaciones y de organizar términos el cambio del valor del portafolio será: 𝑑𝑑𝑑𝑑(1) = 𝑤𝑤1 (

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕

2𝐵𝐵1𝜕𝜕𝑟𝑟2 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑤𝑤2 (

𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕 +

𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝐵𝐵2𝜕𝜕𝑟𝑟2 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 (3.24)

con la siguiente condición se busca eliminar la parte estocástica (browniano fraccional) para tener un portafolio de cobertura, una posible solución que hace satisface la ecuación anterior y hace el valor estocástico cero es: 𝑤𝑤1 = 1, (3.25 a) 𝑤𝑤2 = −

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕

(3.25 b)

Por otro lado tenemos que el rendimiento de un portafolio en un mercado libre de riesgos está dado por: 𝑑𝑑𝑑𝑑(2) = 𝑟𝑟𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑡𝑡 (𝐵𝐵1 −

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕) (3. 26)

Utilizando la condición de no arbitraje se igualan el rendimiento libre de riesgo de los portafolios 1 y 2 y se tiene: 𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝜎𝜎

2𝐻𝐻𝜕𝜕2𝐻𝐻−1𝜕𝜕2𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕2 −𝑟𝑟𝐵𝐵1

𝜕𝜕𝐵𝐵1𝜕𝜕𝜕𝜕

=𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝜎𝜎

2𝐻𝐻𝜕𝜕2𝐻𝐻−1𝜕𝜕2𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕2 −𝑟𝑟𝐵𝐵2

𝜕𝜕𝐵𝐵2𝜕𝜕𝜕𝜕

(3.27)

de la ecuación anterior, la forma de la expresión es independiente del vencimiento del bono, es decir:

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 +𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑟𝑟2 −𝑟𝑟𝑟𝑟𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑟𝑟

= 𝑚𝑚(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) (3.28)

Es fácil comprobar como en el caso tradicional que 𝑚𝑚 debe ser 𝑚𝑚 = −𝑎𝑎(𝑏𝑏 − 𝑟𝑟𝑡𝑡) Y de esta forma se llega a la ecuación general de los bonos 𝜕𝜕𝑟𝑟𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝑟𝑟

𝜕𝜕𝑟𝑟2 − 𝑎𝑎(𝑏𝑏 − 𝑟𝑟𝑡𝑡) 𝜕𝜕𝑟𝑟𝜕𝜕𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝑡𝑡𝐵𝐵 = 0 (3.29)

con la condición de frontera 𝐵𝐵(𝑟𝑟𝑇𝑇, 𝑇𝑇; 𝑇𝑇 ) = 1 La solución de la ecuación general de los bonos anterior nos proporciona el precio del bono en un mercado browniano fraccional, para encontrarla se propone una solución del siguiente tipo: 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵(𝑡𝑡, 𝑟𝑟𝑡𝑡) = 𝑒𝑒𝐴𝐴(𝑡𝑡,𝑇𝑇)−𝑟𝑟𝜕𝜕𝐷𝐷(𝑡𝑡,𝑇𝑇) (3.30) 𝐴𝐴(𝑇𝑇, 𝑇𝑇) = 𝐷𝐷(𝑇𝑇, 𝑇𝑇) = 0. Se sustituye las derivadas parciales (𝜕𝜕𝑟𝑟

𝜕𝜕𝑡𝑡 ) , (𝜕𝜕𝑟𝑟𝜕𝜕𝑟𝑟) 𝑦𝑦 (𝜕𝜕2𝑟𝑟

𝜕𝜕𝑡𝑡2 ) y derivando respecto de 𝐵𝐵 se llega a: 𝜕𝜕𝐴𝐴𝜕𝜕𝑡𝑡 − 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝐷𝐷

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝐷𝐷2 − 𝑎𝑎(𝑏𝑏 − 𝑟𝑟𝑡𝑡)𝐷𝐷 − 𝑟𝑟𝑡𝑡 = 0 (3.31) Posteriormente se deriva respecto a 𝑟𝑟𝑡𝑡 y se obtiene una ecuación con una sola variable que resulta más fácil de resolver 𝜕𝜕𝐷𝐷𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝐷𝐷(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) − 1 (3.32)

66 Phynance

con solución 𝐷𝐷(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) = 1−𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝑡𝑡)

𝑎𝑎 (3.33) se sustituye en las ecuaciones anteriores y se llega a la siguiente expresión que solo depende de 𝐴𝐴: 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) − 𝜎𝜎2𝐻𝐻

𝑎𝑎2 𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 + 2𝜎𝜎2

𝑎𝑎2 𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) −𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑎𝑎2 𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑒𝑒−2𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) (3.34)

resolviendo la ecuación diferencial anterior y después de ordenar términos se llega a:

𝐴𝐴 = 𝑏𝑏

𝑎𝑎 − 𝜎𝜎2

2𝑎𝑎3 − 𝜎𝜎2

4𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡) − 𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕)

+ 𝜎𝜎2

2𝑎𝑎2 (𝑇𝑇2𝐻𝐻 − 𝑡𝑡2𝐻𝐻) + 2𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑎𝑎3 𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕)

(𝑡𝑡 − 1

𝑎𝑎)2𝐻𝐻−1

− 𝜎𝜎2𝐻𝐻2𝑎𝑎3 𝑒𝑒−2𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) (𝑡𝑡 − 1

2𝑎𝑎)2𝐻𝐻−1

(3.35)

En el caso limite cuando 𝐻𝐻 → 12 se tiene que los valores

de las funciones 𝐴𝐴(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) y 𝐷𝐷(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) de caso browniano fraccional convergen a la solución del browniano tradicional, es decir: 𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 → 𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀 y 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 → 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 entonces 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) →𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) y como 𝐷𝐷 ≠ 𝐷𝐷(𝐻𝐻), el valor de la función 𝐷𝐷 en el caso browniano y browniano fraccional es el mismo. Así cómo es posible conocer precio de un bono 𝐵𝐵(𝑡𝑡, 𝑟𝑟𝑡𝑡, 𝑇𝑇) como función de 𝐷𝐷(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) en el caso del


con solución 𝐷𝐷(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) = 1−𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝑡𝑡)

𝑎𝑎 (3.33) se sustituye en las ecuaciones anteriores y se llega a la siguiente expresión que solo depende de 𝐴𝐴: 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) − 𝜎𝜎2𝐻𝐻

𝑎𝑎2 𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 + 2𝜎𝜎2

𝑎𝑎2 𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) −𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑎𝑎2 𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑒𝑒−2𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) (3.34)

resolviendo la ecuación diferencial anterior y después de ordenar términos se llega a:

𝐴𝐴 = 𝑏𝑏

𝑎𝑎 − 𝜎𝜎2

2𝑎𝑎3 − 𝜎𝜎2

4𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡) − 𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕)

+ 𝜎𝜎2

2𝑎𝑎2 (𝑇𝑇2𝐻𝐻 − 𝑡𝑡2𝐻𝐻) + 2𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑎𝑎3 𝑒𝑒−𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕)

(𝑡𝑡 − 1

𝑎𝑎)2𝐻𝐻−1

− 𝜎𝜎2𝐻𝐻2𝑎𝑎3 𝑒𝑒−2𝑎𝑎(𝑇𝑇−𝜕𝜕) (𝑡𝑡 − 1

2𝑎𝑎)2𝐻𝐻−1

(3.35)

En el caso limite cuando 𝐻𝐻 → 12 se tiene que los valores

de las funciones 𝐴𝐴(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) y 𝐷𝐷(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) de caso browniano fraccional convergen a la solución del browniano tradicional, es decir: 𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 → 𝐷𝐷𝑀𝑀𝑀𝑀 y 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 → 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 entonces 𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) →𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) y como 𝐷𝐷 ≠ 𝐷𝐷(𝐻𝐻), el valor de la función 𝐷𝐷 en el caso browniano y browniano fraccional es el mismo. Así cómo es posible conocer precio de un bono 𝐵𝐵(𝑡𝑡, 𝑟𝑟𝑡𝑡, 𝑇𝑇) como función de 𝐷𝐷(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) en el caso del

mercado browniano fraccional, también es se puede, a partir del precio del bono, determinar la función de estructura de plazos con ayuda de la expresión siguiente: 𝑅𝑅(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) = 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡,𝑇𝑇)−𝐴𝐴(𝑡𝑡,𝑇𝑇)

𝑇𝑇−𝑡𝑡 (3.36) Se puede tomar para el análisis cualquier periodo de tiempo, en este caso se tomaron 320 datos la tasa interbancaria diaria de México (TIIE) del 31 de Enero de 2005 al 4 de Abril de 2006. En donde 𝜎𝜎 corresponde a la desviación estándar histórica de la serie y los valores de 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 se obtienen a partir de los estimadores de las regresiones siguientes, donde rt es la tasa TIIE de corto plazos para el tiempo 𝑡𝑡: 𝑟𝑟𝑡𝑡+1 = 𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1𝑟𝑟𝑡𝑡 + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (3.37) Si discretizamos la ecuación anterior para 𝑟𝑟𝑡𝑡 y 𝑡𝑡 e identificamos términos, concluimos que pueden determinarse los valores de 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 a partir de los estimadores 𝛽𝛽0 y 𝛽𝛽1 de la regresión anterior 𝑎𝑎 = 1 − 𝛽𝛽1 (3.38 a) 𝑏𝑏 = 𝛽𝛽0

1−𝛽𝛽1 (3.38 b)

Los valores de los parámetros se muestran en la tabla 3.3, para mayores detalles consultar Sierra [2007], [2008]

68 Phynance

Tabla 3.3 Parámetros de Modelo Vasicek

Parámetros 𝑏𝑏 𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝜎𝜎 Valores 0.099 -0.006 7.6 0.008


Grafica 3.3 Modelo de estructura de plazos Vasicek


En la gráfica 3.3 se muestra un comparativo de las curvas de la estructura de plazos del modelo Vasicek obtenidas a partir de un modelo de tasas corta con término browniano tradicional y browniano fraccional para valores de 𝐻𝐻 ligeramente diferentes de 0.5. Cabe mencionar que la curva de estructura de plazos resulta ser más sensible a pequeñas variaciones del coeficiente Hurst que en el caso de la valuación del call Europeo de la sección 5, además se puede verificar que ahora el valor de la estructura de plazos 𝑅𝑅(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) es función de 𝑡𝑡 y 𝐻𝐻.


Tabla 3.3 Parámetros de Modelo Vasicek

Parámetros 𝑏𝑏 𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝜎𝜎 Valores 0.099 -0.006 7.6 0.008


Grafica 3.3 Modelo de estructura de plazos Vasicek


En la gráfica 3.3 se muestra un comparativo de las curvas de la estructura de plazos del modelo Vasicek obtenidas a partir de un modelo de tasas corta con término browniano tradicional y browniano fraccional para valores de 𝐻𝐻 ligeramente diferentes de 0.5. Cabe mencionar que la curva de estructura de plazos resulta ser más sensible a pequeñas variaciones del coeficiente Hurst que en el caso de la valuación del call Europeo de la sección 5, además se puede verificar que ahora el valor de la estructura de plazos 𝑅𝑅(𝑡𝑡, 𝑇𝑇) es función de 𝑡𝑡 y 𝐻𝐻.

Si 𝐻𝐻 tiene un pequeño aumento de 𝐻𝐻 de 0.5 a 0.50001 como se aprecia en la gráfica 3.3 en el largo plazo (plazos mayores a 5 años) las tasas de los modelos de estructura de plazos del modelo Vasicek tradicional quedan por debajo del Vasicek Fraccional y tienden a converger a un mismo valor. Sin embargo, en el corto plazo el valor de la curva fraccional se dispara y crece muy rápidamente. De las observaciones anteriores, se puede concluir que el supuesto de independencia de los incrementos de la series de las tasas como en caso de la TIIE resulta ser más importante que en los casos de las valuaciones de las opciones analizada en secciones anteriores. Como consecuencia, cuando una serie de tasas cortas de interés presenta características de persistencia, el modelo de la estructura de plazos de Vasicek solamente proporciona una buena aproximación en el largo plazo. 3.5 Planteamiento del Problema del Consumidor Estocástico Recordemos que el problema del consumidor estocástico es un problema de control óptimo estocástico donde se considera una función a maximizar sujeto a una restricción con un término estocástico modelado por un movimiento browniano La metodología de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) puede aplicarse a la solución de este problema. Una referencia importante para profundizar el método es Venegas [2006].

70 Phynance

La metodología (H-J-B) supone la existencia de un agente racional que representa a todos los inversionistas y cuya utilidad depende de su consumo. Este agente desea integrar un portafolio con la posibilidad de elegir entre tres diferentes tipos de activos: un bono de tasa fija, una acción y un derivado sobre esa acción. El problema consiste en encontrar el consumo óptimo y las inversiones que deberán realizarse en cada uno de los títulos de tal forma que maximicen su utilidad. El problema del consumidor plantea maximizar la función de utilidad indirecta o de consumo proponiendo (sin perder generalidad) una función de utilidad logarítmica 𝐽𝐽(𝑊𝑊, 𝑡𝑡) = max ��𝐸 [∫ ln 𝐶𝐶0𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡|𝐹𝐹𝜌𝜌

𝜌𝜌0 ] (3.39)

donde ��𝐸 son las expectativas cuasicondicionales, es decir las expectativas en cálculo estocástico fraccional, ver artículo de Necula [2002], Hu and Oksendal[2004]. La restricción presupuestal del flujo a invertir esta dada por el cambio en la riqueza definida de la siguiente forma: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑤𝑤1𝑑𝑑𝑅𝑅𝐵𝐵 + 𝑤𝑤2𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 + (1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝑑𝑑𝑅𝑅𝑐𝑐) − 𝐶𝐶0𝑑𝑑𝑡𝑡 (3.40) Con los rendimientos de los tres activos dados por: 𝑑𝑑𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑑𝑑𝐵𝐵

𝐵𝐵 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 para el bono (3.41a) 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻 para la acción (3.41b) 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻 para el derivado (3.41c)


La metodología (H-J-B) supone la existencia de un agente racional que representa a todos los inversionistas y cuya utilidad depende de su consumo. Este agente desea integrar un portafolio con la posibilidad de elegir entre tres diferentes tipos de activos: un bono de tasa fija, una acción y un derivado sobre esa acción. El problema consiste en encontrar el consumo óptimo y las inversiones que deberán realizarse en cada uno de los títulos de tal forma que maximicen su utilidad. El problema del consumidor plantea maximizar la función de utilidad indirecta o de consumo proponiendo (sin perder generalidad) una función de utilidad logarítmica 𝐽𝐽(𝑊𝑊, 𝑡𝑡) = max ��𝐸 [∫ ln 𝐶𝐶0𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡|𝐹𝐹𝜌𝜌

𝜌𝜌0 ] (3.39)

donde ��𝐸 son las expectativas cuasicondicionales, es decir las expectativas en cálculo estocástico fraccional, ver artículo de Necula [2002], Hu and Oksendal[2004]. La restricción presupuestal del flujo a invertir esta dada por el cambio en la riqueza definida de la siguiente forma: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑤𝑤1𝑑𝑑𝑅𝑅𝐵𝐵 + 𝑤𝑤2𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 + (1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝑑𝑑𝑅𝑅𝑐𝑐) − 𝐶𝐶0𝑑𝑑𝑡𝑡 (3.40) Con los rendimientos de los tres activos dados por: 𝑑𝑑𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑑𝑑𝐵𝐵

𝐵𝐵 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 para el bono (3.41a) 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻 para la acción (3.41b) 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻 para el derivado (3.41c)

Los valores de 𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2 y 1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2 son las proporciones del portafolio asignado al bono libre de riesgo, la acción y el derivado respectivamente. Pero con la diferencia del análisis H-J-B tradicional que ahora𝐵𝐵𝐻𝐻 es un movimiento browniano fraccional. Y del lema de Ito fraccional 𝛼𝛼𝐶𝐶y 𝜎𝜎𝐶𝐶 están dados por: 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 1

𝐶𝐶 (𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝜕𝜕𝐶𝐶

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜎𝜎2𝑠𝑠2𝐻𝐻𝐻𝐻2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕2) (3.42 a)

𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜕𝜕

𝐶𝐶 (𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕) 𝜎𝜎 (3.42 b)

Sustituyendo 𝑑𝑑𝑅𝑅𝐵𝐵, 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 y 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑐𝑐 en 𝐴𝐴 y organizando términos tenemos que la evolución de la riqueza esta dada por 𝑑𝑑𝐴𝐴: 𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝛼𝛼𝐴𝐴𝑑𝑑𝐻𝐻 + 𝜎𝜎𝐴𝐴𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻 (3.43 a) 𝛼𝛼𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 (𝑤𝑤1 + 𝑤𝑤2𝜇𝜇(1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝛼𝛼𝑐𝑐 − 𝐶𝐶0

𝐴𝐴 ) (3.43 b) 𝜎𝜎𝐴𝐴 = 𝐴𝐴(𝑤𝑤2𝜎𝜎 + (1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝜎𝜎𝑐𝑐) (3.43 c) El método H-J-M estocástico consiste en encontrar 𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1 y 𝑤𝑤2 que maximice la ecuación (1) sujeto a la restricción de la ecuación (3.43a, 3.43b, 3.43c), donde ��𝐸[] es la esperanza cuasi condicional, para mayor información consultar Hu and Oksendal [2004]. La función 𝐽𝐽(𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2, 𝐶𝐶0) se puede escribirse como: 𝐽𝐽(𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2, 𝐶𝐶0) = max{𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2} 𝐸𝐸 [∫ ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜕𝜕𝑑𝑑𝐻𝐻 +𝜕𝜕+𝑑𝑑𝜕𝜕

𝜕𝜕

∫ ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜕𝜕𝑑𝑑𝐻𝐻|𝐹𝐹𝜕𝜕𝜕𝜕+𝑑𝑑𝜕𝜕

𝜕𝜕 ] (3.44)

72 Phynance

Se toma el valor esperado, luego de desarrollar y reducir algunos términos se llega a: 0 = max

{𝐶𝐶0,𝑤𝑤1,𝑤𝑤2}[ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 + (𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜌𝜌 + 𝛼𝛼𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴 +

𝜎𝜎𝐴𝐴2𝐻𝐻𝐻𝐻2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴2) 𝑑𝑑𝐻𝐻] (3.45) para la expresión anterior se propone la solución para 𝐽𝐽(𝐻𝐻, 𝐴𝐴) como la siguiente: 𝐽𝐽(𝐻𝐻, 𝐴𝐴) = 𝑉𝑉(𝐴𝐴)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (3.46) Sustituyendo la propuesta de solución con sus derivadas en (3.45) y después de organizar términos se llega a: 0 = ln C0 − ρ𝑉𝑉(𝐴𝐴) + αV′(𝐴𝐴) + 𝜎𝜎𝐴𝐴

2𝐻𝐻𝐻𝐻2𝐻𝐻−1𝑉𝑉′′(𝐴𝐴) (3.47) Se propone una solución para 𝑉𝑉(𝐴𝐴) de la siguiente forma: 𝑉𝑉(𝐴𝐴) = 𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln 𝐴𝐴 (3.48) Sustituyendo 𝑉𝑉(𝐴𝐴) y sus derivadas se tiene: 0 = ln 𝐶𝐶0 − 𝜌𝜌(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln 𝐴𝐴) + 𝛼𝛼𝐴𝐴

𝛽𝛽1𝐴𝐴 − 𝜎𝜎𝐴𝐴

2𝐻𝐻𝐻𝐻2𝐻𝐻−1 𝛽𝛽1𝐴𝐴2

(3.49) Derivando parcialmente la ecuación anterior respecto a 𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1 y 𝑤𝑤2 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:


Se toma el valor esperado, luego de desarrollar y reducir algunos términos se llega a: 0 = max

{𝐶𝐶0,𝑤𝑤1,𝑤𝑤2}[ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 + (𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜌𝜌 + 𝛼𝛼𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴 +

𝜎𝜎𝐴𝐴2𝐻𝐻𝐻𝐻2𝐻𝐻−1 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴2) 𝑑𝑑𝐻𝐻] (3.45) para la expresión anterior se propone la solución para 𝐽𝐽(𝐻𝐻, 𝐴𝐴) como la siguiente: 𝐽𝐽(𝐻𝐻, 𝐴𝐴) = 𝑉𝑉(𝐴𝐴)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (3.46) Sustituyendo la propuesta de solución con sus derivadas en (3.45) y después de organizar términos se llega a: 0 = ln C0 − ρ𝑉𝑉(𝐴𝐴) + αV′(𝐴𝐴) + 𝜎𝜎𝐴𝐴

2𝐻𝐻𝐻𝐻2𝐻𝐻−1𝑉𝑉′′(𝐴𝐴) (3.47) Se propone una solución para 𝑉𝑉(𝐴𝐴) de la siguiente forma: 𝑉𝑉(𝐴𝐴) = 𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln 𝐴𝐴 (3.48) Sustituyendo 𝑉𝑉(𝐴𝐴) y sus derivadas se tiene: 0 = ln 𝐶𝐶0 − 𝜌𝜌(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln 𝐴𝐴) + 𝛼𝛼𝐴𝐴

𝛽𝛽1𝐴𝐴 − 𝜎𝜎𝐴𝐴

2𝐻𝐻𝐻𝐻2𝐻𝐻−1 𝛽𝛽1𝐴𝐴2

(3.49) Derivando parcialmente la ecuación anterior respecto a 𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1 y 𝑤𝑤2 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

𝐶𝐶0 =𝐴𝐴𝛽𝛽1

(3.50 a) 𝑤𝑤1 + (1 − 𝜎𝜎

𝜎𝜎𝑐𝑐)𝑤𝑤2 = 1 + 𝑟𝑟−𝛼𝛼𝑐𝑐

2𝜎𝜎𝑐𝑐2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1 (3.50 b)

𝑤𝑤1 +

(𝜎𝜎−𝜎𝜎𝑐𝑐)2(𝜎𝜎𝑐𝑐2−𝜎𝜎𝑐𝑐𝜎𝜎)

𝑤𝑤2 = 1 + 𝜇𝜇−𝛼𝛼𝑐𝑐2(𝜎𝜎𝑐𝑐2−𝜎𝜎𝜎𝜎𝑐𝑐)𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1

(3. 50 c) De todo lo anterior, se observa que la solución óptima para el consumo considerando el caso estocástico fraccional es la misma que en el caso del movimiento browniano tradicional, en otras palabras, la parte que se consume no se ve afectado por un cambio en el tipo de proceso estocástico. Mientras que la proporción de la riqueza invertida en cada título, son ahora, además, función del exponente Hurst y de tiempo inicial 𝑡𝑡. En el caso una solución de esquina, se toma una solución de este tipo porque en general es más sencilla y porque nuestro objetivo es poder realizar una valuación más que analizar las propiedades de optimización. Se toma el caso 𝑤𝑤1 = 0 y 𝑤𝑤2 = 1 y sustituyendo en las ecuaciones anteriores, las expresiones para 𝛼𝛼𝑐𝑐 y 𝜎𝜎𝑐𝑐 quedan como:

𝜕𝜕𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝐻𝐻𝜎𝜎2𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑆𝑆2 𝜕𝜕

2𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆2 +

+(𝜇𝜇 − 2𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1)𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 0 (3.51)

que corresponde a la ecuación Black-Scholes Fraccional, consultar Sierra [2008] para mayores detalles, cuando 𝑟𝑟 = 𝜇𝜇 − 2𝜎𝜎2𝐻𝐻𝑡𝑡2𝐻𝐻−1. Por otra parte si la comparamos con la expresión para el valor de mercado de riesgo 𝜇𝜇 =

74 Phynance

𝑟𝑟 + 𝜆𝜆𝜆𝜆, en un mercado de estas características dicho valor es: 𝜆𝜆 = 2𝜆𝜆𝜎𝜎𝑡𝑡2𝐻𝐻−1. 3.6 Volatilidad con Metodología Rango Reescalado (𝑅𝑅/𝑆𝑆) En secciones anteriores la modelación del comportamiento de los activos subyacentes como procesos estocásticos se ha considerado dentro de los supuestos del movimiento browniano fraccional que la volatilidad del proceso es una constante en el tiempo. Sin embargo en un análisis grafico del comportamiento de la volatilidad de la variable del Tipo de Cambio Peso-Dólar (TDC) sugiere que la modelación de la volatilidad sea más bien un proceso, en una ventana móvil de un año el comportamiento observado de la volatilidad se puede confirmar esta idea. El trabajo inicial para la ecuación de Black-Scholes consideraba los términos estocásticos del subyacente como un movimiento browniano tradicional. Trabajos posteriores consideraron modelar simultáneamente el subyacente y la volatilidad como un proceso estocástico, como es el caso de artículo de 1987 de Hull and White [1987]. En dicho trabajo se llega a una a plantear la ecuación y la solución cerrada para la generalización de la formula Black-Scholes. En esta dirección es necesario determinar si las series financieras estocástica de la volatilidad del índice del TDC pueden ser consideradas como persistentes, antipersistenes o independientes. Aquí es donde aplicamos la metodología Rango- Reescalado (𝑅𝑅/𝑆𝑆) para el cálculo del coeficiente Hurst.


𝑟𝑟 + 𝜆𝜆𝜆𝜆, en un mercado de estas características dicho valor es: 𝜆𝜆 = 2𝜆𝜆𝜎𝜎𝑡𝑡2𝐻𝐻−1. 3.6 Volatilidad con Metodología Rango Reescalado (𝑅𝑅/𝑆𝑆) En secciones anteriores la modelación del comportamiento de los activos subyacentes como procesos estocásticos se ha considerado dentro de los supuestos del movimiento browniano fraccional que la volatilidad del proceso es una constante en el tiempo. Sin embargo en un análisis grafico del comportamiento de la volatilidad de la variable del Tipo de Cambio Peso-Dólar (TDC) sugiere que la modelación de la volatilidad sea más bien un proceso, en una ventana móvil de un año el comportamiento observado de la volatilidad se puede confirmar esta idea. El trabajo inicial para la ecuación de Black-Scholes consideraba los términos estocásticos del subyacente como un movimiento browniano tradicional. Trabajos posteriores consideraron modelar simultáneamente el subyacente y la volatilidad como un proceso estocástico, como es el caso de artículo de 1987 de Hull and White [1987]. En dicho trabajo se llega a una a plantear la ecuación y la solución cerrada para la generalización de la formula Black-Scholes. En esta dirección es necesario determinar si las series financieras estocástica de la volatilidad del índice del TDC pueden ser consideradas como persistentes, antipersistenes o independientes. Aquí es donde aplicamos la metodología Rango- Reescalado (𝑅𝑅/𝑆𝑆) para el cálculo del coeficiente Hurst.

Aplicando la metodología del Rango Reescalado, continuando los pasos del algoritmo se hace una regresión de ln(R/S) contra ln(𝑛𝑛). Pero además, es necesario establecer un criterio para plantear una prueba de significancia sobre los resultados de un análisis (R/S) similar a las pruebas "𝑡𝑡" de las regresiones lineales. Siguiendo Peters [1991] encontramos un resumen de los estimadores propuestos para el valor esperado y la varianza sobre el coeficiente 𝐻𝐻 realizados por Feller y Alanis and Lloyd. El estadístico que nos dice cuántas desviaciones estándar se encuentra alejado del valor medio 𝐸𝐸(𝐻𝐻) y el valor obtenido de 𝐻𝐻 en el proceso de Rango-Reescalado. Supone en la hipótesis nula que 𝐻𝐻 = 0.5 tiene un comportamiento de caminata aleatoria o de browniano tradicional y por tanto de independencia contra las hipótesis alternativas (𝐻𝐻 <> 0.5 ) que corresponde a comportamiento persistente o antipersistente de los procesos. Aplicando la metodología (𝑅𝑅/𝑆𝑆) y los estadísticos asociados para determinar su nivel de significancia sobre la serie del TDC llegamos a la siguiente tabla, para mayores detalles consultar Sierra [2007] [2008]. Tabla 3.4 Hipótesis de serie TDC

Serie 𝑯𝑯 𝑬𝑬(𝑯𝑯) 𝑫𝑫𝑬𝑬(𝑯𝑯) 𝑯𝑯 − 𝑬𝑬(𝑯𝑯)𝑫𝑫𝑬𝑬(𝑯𝑯)

Acepta 𝑯𝑯𝒐𝒐

TDC 0.5096 0.5726 0.0223 -2.8251 S Fuente: Elaboración propia.

76 Phynance

Si se considera únicamente el valor del exponente 𝐻𝐻 se podría deducir que la serie del TDC no sigue el comportamiento de una serie persistente. Pero para confirmarlo se necesita considerar las pruebas de hipótesis para ver si el resultado para esa muestra es significativo, entonces se acepta la hipótesis inicial de una serie con características de independencia. Tabla 3.5 Estadísticos de Volatilidad TDC


Acepto 𝑯𝑯𝒐𝒐

TDC 0.7279 0.5726 0.0223 6.9641 N Fuente: Elaboración propia. Las serie de volatilidad del TDC muestra una persistencia ( 𝐻𝐻 > 0.5 ) incluso mayor que la de los rendimientos de las series originales y contundentemente estadísticamente significativos. Es decir, el comportamiento de la serie de volatilidad rechaza que se comporte como una serie independiente y presenta más bien comportamiento de una serie persistente o con memoria. 3.7 Método H-J-B con MBF para Volatilidad Estocástica De lo anterior se sugiere que se puede modelar el comportamiento de la volatilidad mediante un movimiento browniano fraccional, es decir, se pude proponer a un activo subyacente 𝑆𝑆 modelado por un browniano fraccional con su exponente Hurst 𝐻𝐻1, cuya volatilidad 𝑉𝑉 al mismo tiempo sea modelada por otro


Si se considera únicamente el valor del exponente 𝐻𝐻 se podría deducir que la serie del TDC no sigue el comportamiento de una serie persistente. Pero para confirmarlo se necesita considerar las pruebas de hipótesis para ver si el resultado para esa muestra es significativo, entonces se acepta la hipótesis inicial de una serie con características de independencia. Tabla 3.5 Estadísticos de Volatilidad TDC


Acepto 𝑯𝑯𝒐𝒐

TDC 0.7279 0.5726 0.0223 6.9641 N Fuente: Elaboración propia. Las serie de volatilidad del TDC muestra una persistencia ( 𝐻𝐻 > 0.5 ) incluso mayor que la de los rendimientos de las series originales y contundentemente estadísticamente significativos. Es decir, el comportamiento de la serie de volatilidad rechaza que se comporte como una serie independiente y presenta más bien comportamiento de una serie persistente o con memoria. 3.7 Método H-J-B con MBF para Volatilidad Estocástica De lo anterior se sugiere que se puede modelar el comportamiento de la volatilidad mediante un movimiento browniano fraccional, es decir, se pude proponer a un activo subyacente 𝑆𝑆 modelado por un browniano fraccional con su exponente Hurst 𝐻𝐻1, cuya volatilidad 𝑉𝑉 al mismo tiempo sea modelada por otro

browniano fraccional exponente Hurst 𝐻𝐻2 como en el caso siguiente: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑑𝑑𝑑𝑑𝜇𝜇 + 𝜎𝜎𝑑𝑑𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻1 (3.52 a) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑𝜇𝜇 + 𝛽𝛽𝑑𝑑𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻2 (3.52 b) Con 𝑑𝑑 = 𝜎𝜎2 y podemos suponer también que en el caso más sencillo que los dos movimientos brownianos fraccionales del subyacente y de la volatilidad no tienen ninguna relación: COV(𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻1, 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻2) = 0. Ahora se propone un derivado financiero sea función de un activo subyacente y de su volatilidad estocástica, entonces 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶(𝜇𝜇, 𝑑𝑑, 𝑑𝑑) y de la generalización del lema de Ito considerando los dos procesos se llegaría a lo siguiente: 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑𝜇𝜇 + 𝜅𝜅𝑐𝑐𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻1 + 𝜂𝜂𝑐𝑐𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻2 (3.53) con 𝛼𝛼𝑑𝑑 , 𝜅𝜅𝑐𝑐 y 𝜂𝜂𝑐𝑐 dados por: 𝛼𝛼𝑐𝑐 = 1

𝑑𝑑 (𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜇𝜇𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑

𝜕𝜕𝑆𝑆 + 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜎𝜎2𝑑𝑑2𝐻𝐻1𝜇𝜇2𝐻𝐻1−1 𝜕𝜕2𝑑𝑑

𝜕𝜕𝑆𝑆2 +𝛽𝛽2𝑑𝑑2𝐻𝐻2𝜇𝜇2𝐻𝐻2−1 𝜕𝜕2𝑑𝑑

𝜕𝜕𝜕𝜕2) (3.53 a) 𝜅𝜅𝑑𝑑 = 1

𝑑𝑑 (𝜎𝜎𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑆𝑆) (3.53 b)

𝜂𝜂𝑐𝑐 = 1

𝑑𝑑 (𝛽𝛽𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝜕𝜕) (3.53 c)

78 Phynance

Considerando los mismos supuestos de la sección (3.3) sobre el agente racional que construye un portafolio con la posibilidad de seleccionar tres diferentes tipos de activos: un bono de tasa fija, una acción y un derivado sobre esa acción, pero suponiendo que la volatilidad estocástica se describe con un movimiento browniano fraccional. Nuevamente el problema consiste en determinar el consumo óptimo y las montos a invertir en cada uno de sus títulos de tal forma que maximicen su utilidad y para resolverlo utilizaremos el método H-J-B. La restricción presupuestal del rendimiento de la riqueza compuesta por los rendimientos del bono, la acción y el derivado, donde 𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2 y 1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2 son las proporciones del portafolio asignados a cada uno de los activos respectivamente y donde 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻 es un movimiento browniano fraccional, y de la sección anterior 𝛼𝛼𝐶𝐶 y 𝜎𝜎𝐶𝐶 entonces tenemos: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑𝛼𝛼 + 𝜎𝜎𝐴𝐴1𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻1 + 𝜎𝜎𝐴𝐴2𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻2 (3.54) con 𝛼𝛼𝐴𝐴 y 𝜎𝜎𝐴𝐴1 y 𝜎𝜎𝐴𝐴2 como 𝛼𝛼𝐴𝐴 = 𝑑𝑑 (𝑤𝑤1𝑟𝑟 + 𝑤𝑤2𝜇𝜇 + (1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝛼𝛼𝑐𝑐 −

𝐶𝐶0𝐴𝐴 ) (3.54 a)

𝜎𝜎𝐴𝐴1 = 𝑑𝑑(𝑤𝑤2𝜎𝜎 + (1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝜅𝜅𝑐𝑐) (3.54 b) 𝜎𝜎𝐴𝐴2 = 𝑑𝑑𝜂𝜂𝑐𝑐(1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2) (3. 54 c) Se aplica el método H-J-B estocástico y el problema de elección consiste en encontrar 𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1 y 𝑤𝑤2 que maximice la ecuación (3.39) sujeta a la restricción (3.54), donde


Considerando los mismos supuestos de la sección (3.3) sobre el agente racional que construye un portafolio con la posibilidad de seleccionar tres diferentes tipos de activos: un bono de tasa fija, una acción y un derivado sobre esa acción, pero suponiendo que la volatilidad estocástica se describe con un movimiento browniano fraccional. Nuevamente el problema consiste en determinar el consumo óptimo y las montos a invertir en cada uno de sus títulos de tal forma que maximicen su utilidad y para resolverlo utilizaremos el método H-J-B. La restricción presupuestal del rendimiento de la riqueza compuesta por los rendimientos del bono, la acción y el derivado, donde 𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2 y 1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2 son las proporciones del portafolio asignados a cada uno de los activos respectivamente y donde 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻 es un movimiento browniano fraccional, y de la sección anterior 𝛼𝛼𝐶𝐶 y 𝜎𝜎𝐶𝐶 entonces tenemos: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑𝛼𝛼 + 𝜎𝜎𝐴𝐴1𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻1 + 𝜎𝜎𝐴𝐴2𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻2 (3.54) con 𝛼𝛼𝐴𝐴 y 𝜎𝜎𝐴𝐴1 y 𝜎𝜎𝐴𝐴2 como 𝛼𝛼𝐴𝐴 = 𝑑𝑑 (𝑤𝑤1𝑟𝑟 + 𝑤𝑤2𝜇𝜇 + (1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝛼𝛼𝑐𝑐 −

𝐶𝐶0𝐴𝐴 ) (3.54 a)

𝜎𝜎𝐴𝐴1 = 𝑑𝑑(𝑤𝑤2𝜎𝜎 + (1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2)𝜅𝜅𝑐𝑐) (3.54 b) 𝜎𝜎𝐴𝐴2 = 𝑑𝑑𝜂𝜂𝑐𝑐(1 − 𝑤𝑤1 − 𝑤𝑤2) (3. 54 c) Se aplica el método H-J-B estocástico y el problema de elección consiste en encontrar 𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1 y 𝑤𝑤2 que maximice la ecuación (3.39) sujeta a la restricción (3.54), donde

recordemos que ��𝐸[] es la esperanza cuasicondicional consultar Hu and Oksendal [2004] 𝐽𝐽(𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2, 𝑡𝑡) = max

{𝐶𝐶0,𝑤𝑤1,𝑤𝑤2}��𝐸[∫ ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡|𝐹𝐹𝜌𝜌

∞𝜌𝜌 ] (3.55)

que también puede escribirse como: 𝐽𝐽(𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2, 𝑡𝑡) = max

{𝐶𝐶0,𝑤𝑤1,𝑤𝑤2}��𝐸 [∫ ln 𝐶𝐶0

𝜌𝜌+𝑑𝑑𝜌𝜌𝜌𝜌 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 +

∫ ln 𝐶𝐶0𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡|𝐹𝐹𝜌𝜌∞

𝜌𝜌+𝑑𝑑𝜌𝜌 ] (3.56) Después de desarrollar, se sigue: 𝐽𝐽(𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2, 𝐶𝐶0) = max

{𝐶𝐶0,𝑤𝑤1,𝑤𝑤2}��𝐸[ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑜𝑜(𝑑𝑑𝑡𝑡) +

𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴) + 𝑑𝑑𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴) + 𝑜𝑜(𝑑𝑑𝑡𝑡)|𝐹𝐹𝜌𝜌] (3.57) Se sustituyen 𝑑𝑑𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴) del Lema de Ito fraccional y después de ordenar y despreciar algunos términos no significativos 𝐽𝐽(𝑤𝑤1, 𝑤𝑤2, 𝐶𝐶0) = max

{𝐶𝐶0,𝑤𝑤1,𝑤𝑤2}��𝐸 [ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝐽𝐽 + (𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜌𝜌 +

𝛼𝛼𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴 + (𝜎𝜎𝐴𝐴1

2 𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1 + 𝜎𝜎𝐴𝐴22 𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1) 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴2) 𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝜎𝜎𝐴𝐴1

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴1

𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻1 + 𝜎𝜎𝐴𝐴2𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴2𝑑𝑑𝐵𝐵𝐻𝐻2] (3.58)

Se toma el valor esperado condicionado y recordando que se supone que la covarianza entre los dos brownianos fraccionales es cero, se llega a: 0 = max

{𝐶𝐶0,𝑤𝑤1,𝑤𝑤2}��𝐸 [ln 𝐶𝐶0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 + (𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜌𝜌 + 𝛼𝛼𝐴𝐴𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴 +

(𝜎𝜎2𝐴𝐴1𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1 + 𝜎𝜎2

𝐴𝐴2𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1) 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴2) 𝑑𝑑𝑡𝑡] (3.59)

80 Phynance

Se propone la solución para 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴) del siguiente estilo: 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴) = (𝑉𝑉(𝐴𝐴) + 𝑔𝑔(𝑉𝑉))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (3.60) Sustituyendo la solución y sus derivadas y después de organizar términos se llega a: 0 = ln𝐶𝐶0 − 𝜌𝜌(𝑉𝑉(𝐴𝐴) + 𝑔𝑔(𝑉𝑉)) + 𝛼𝛼𝐴𝐴𝑉𝑉′(𝐴𝐴) +(𝜎𝜎2𝐴𝐴1𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1 + 𝜎𝜎2𝐴𝐴2𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1)𝑉𝑉′′(𝐴𝐴) + 𝛼𝛼𝑉𝑉𝑔𝑔′(𝑉𝑉) +𝛽𝛽2𝑔𝑔′′(𝑉𝑉) (3.61) Como siguiente paso, ahora se propone una solución para 𝑉𝑉(𝐴𝐴) de la siguiente forma: 𝑉𝑉(𝐴𝐴) = 𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln𝐴𝐴 (3.62) Y después de sustituir las solución y las derivadas se llegan a 0 = ln𝐶𝐶0 − 𝜌𝜌(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln𝐴𝐴) + 𝛼𝛼𝐴𝐴

𝛽𝛽1𝐴𝐴 − (𝜎𝜎2𝐴𝐴1𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1 +

𝜎𝜎2𝐴𝐴2𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1)𝛽𝛽1𝐴𝐴2 − 𝜌𝜌𝑔𝑔(𝑉𝑉) + 𝛼𝛼𝑉𝑉𝑔𝑔´(𝑉𝑉) + 𝛽𝛽2𝑉𝑉2𝑔𝑔´´(𝑉𝑉)

(3.63) Se deriva parcialmente y después de ordenar términos la ecuación anterior respecto a 𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1 y 𝑤𝑤2 y se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 𝐶𝐶0 =

𝐴𝐴𝛽𝛽1

(3.64 a) 𝑤𝑤1 + (1 + 𝐻𝐻1𝜌𝜌2𝐻𝐻1−1𝜎𝜎𝜅𝜅𝐶𝐶

𝐻𝐻1𝜌𝜌2𝐻𝐻1−1𝜅𝜅𝐶𝐶2+𝐻𝐻2𝜌𝜌2𝐻𝐻2−1𝜂𝜂2𝑐𝑐)𝑤𝑤2 = 1 +

𝑟𝑟−𝛼𝛼𝑐𝑐2(𝐻𝐻1𝜌𝜌2𝐻𝐻1−1𝜅𝜅𝐶𝐶2+𝐻𝐻2𝜌𝜌2𝐻𝐻2−1𝜂𝜂2𝑐𝑐)

(3.64 b)


Se propone la solución para 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴) del siguiente estilo: 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴) = (𝑉𝑉(𝐴𝐴) + 𝑔𝑔(𝑉𝑉))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (3.60) Sustituyendo la solución y sus derivadas y después de organizar términos se llega a: 0 = ln𝐶𝐶0 − 𝜌𝜌(𝑉𝑉(𝐴𝐴) + 𝑔𝑔(𝑉𝑉)) + 𝛼𝛼𝐴𝐴𝑉𝑉′(𝐴𝐴) +(𝜎𝜎2𝐴𝐴1𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1 + 𝜎𝜎2𝐴𝐴2𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1)𝑉𝑉′′(𝐴𝐴) + 𝛼𝛼𝑉𝑉𝑔𝑔′(𝑉𝑉) +𝛽𝛽2𝑔𝑔′′(𝑉𝑉) (3.61) Como siguiente paso, ahora se propone una solución para 𝑉𝑉(𝐴𝐴) de la siguiente forma: 𝑉𝑉(𝐴𝐴) = 𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln𝐴𝐴 (3.62) Y después de sustituir las solución y las derivadas se llegan a 0 = ln𝐶𝐶0 − 𝜌𝜌(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 ln𝐴𝐴) + 𝛼𝛼𝐴𝐴

𝛽𝛽1𝐴𝐴 − (𝜎𝜎2𝐴𝐴1𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1 +

𝜎𝜎2𝐴𝐴2𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1)𝛽𝛽1𝐴𝐴2 − 𝜌𝜌𝑔𝑔(𝑉𝑉) + 𝛼𝛼𝑉𝑉𝑔𝑔´(𝑉𝑉) + 𝛽𝛽2𝑉𝑉2𝑔𝑔´´(𝑉𝑉)

(3.63) Se deriva parcialmente y después de ordenar términos la ecuación anterior respecto a 𝐶𝐶0, 𝑤𝑤1 y 𝑤𝑤2 y se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 𝐶𝐶0 =

𝐴𝐴𝛽𝛽1

(3.64 a) 𝑤𝑤1 + (1 + 𝐻𝐻1𝜌𝜌2𝐻𝐻1−1𝜎𝜎𝜅𝜅𝐶𝐶

𝐻𝐻1𝜌𝜌2𝐻𝐻1−1𝜅𝜅𝐶𝐶2+𝐻𝐻2𝜌𝜌2𝐻𝐻2−1𝜂𝜂2𝑐𝑐)𝑤𝑤2 = 1 +

𝑟𝑟−𝛼𝛼𝑐𝑐2(𝐻𝐻1𝜌𝜌2𝐻𝐻1−1𝜅𝜅𝐶𝐶2+𝐻𝐻2𝜌𝜌2𝐻𝐻2−1𝜂𝜂2𝑐𝑐)

(3.64 b)

𝑤𝑤1 + (1 + 𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1𝜎𝜎(𝜅𝜅𝐶𝐶−𝜎𝜎)

𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1𝜅𝜅𝐶𝐶(𝜅𝜅𝐶𝐶−𝜎𝜎)+𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1𝜂𝜂2𝑐𝑐)𝑤𝑤2 = 1 +

𝜇𝜇−𝑟𝑟2

𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1𝜅𝜅𝐶𝐶(𝜅𝜅𝐶𝐶−𝜎𝜎)+𝜂𝜂2𝑐𝑐𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1 (3.64 c)

Nuevamente se puede observar que el consumo no se ve afectado por el proceso estocástico que lo modela, mientras que las posibles inversiones ahora son funciones de los exponentes Hurst (𝐻𝐻1 y 𝐻𝐻2) y de tiempo inicial 𝑡𝑡. Si en la ecuación de soluciones se toma solución de esquina 𝑤𝑤1 = 0 y 𝑤𝑤2 = 1, se sustituyen las expresiones generales de 𝜅𝜅𝐶𝐶 y 𝛼𝛼𝑐𝑐 se llega a la ecuación Black-Scholes equivalente para movimientos brownianos fraccionales con volatilidad estocástica fraccional. 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜕𝜕𝐶𝐶

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝛼𝛼 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜎𝜎2𝑟𝑟2𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1

𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕2 +

𝛽𝛽2𝑉𝑉2𝐻𝐻2𝑡𝑡2𝐻𝐻2−1𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝜕𝜕2 − 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0 (3.65)

en donde 𝑟𝑟 = 𝜇𝜇 − 2𝜎𝜎2𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1 y el valor de mercado de riesgo estará dado por: 𝜆𝜆 = 2𝜎𝜎𝐻𝐻1𝑡𝑡2𝐻𝐻1−1. La ecuación (3.65) es similar a la ecuación Black-Scholes con volatilidad estocástica obtenida por Hull and White [1987] pero con la diferencia que los procesos estocástico considerados son movimientos brownianos fraccionales y no existe correlación entre el comportamiento del subyacente y su volatilidad.

82 Phynance

3.8 Volatilidad Implícita de una opción europea modelada con un MBF La prima de una opción call europea en el intervalo 0 ≤𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇, dado un precio de ejercicio o strike 𝐾𝐾, una tasa libre de riesgo 𝑟𝑟, una volatilidad, un vencimiento en 𝑇𝑇 y el coeficiente Hurst 𝐻𝐻 de la serie financiera subyacente modelada por un su parte estocástica por un movimiento browniano fraccional de acuerdo al trabajo de Necula (2002) esta dado por: 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆(𝑡𝑡)) = 𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1) − 𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) (3.66) donde

𝑑𝑑1 =ln(𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝐾𝐾 )+𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)+12𝜎𝜎

2(𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻)

𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.67 a)

y



𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3. 67 b)

que satisface la ecuación Black-Scholes Fraccional: 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝐻𝐻𝜎𝜎2𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑆𝑆2 𝜕𝜕2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 0

(3.68) con condiciones de Frontera: 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = Max(𝑆𝑆 − 𝐾𝐾, 0) Algunas estimaciones están basados en información histórica y en general en sus pronósticos no incorporan


3.8 Volatilidad Implícita de una opción europea modelada con un MBF La prima de una opción call europea en el intervalo 0 ≤𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇, dado un precio de ejercicio o strike 𝐾𝐾, una tasa libre de riesgo 𝑟𝑟, una volatilidad, un vencimiento en 𝑇𝑇 y el coeficiente Hurst 𝐻𝐻 de la serie financiera subyacente modelada por un su parte estocástica por un movimiento browniano fraccional de acuerdo al trabajo de Necula (2002) esta dado por: 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆(𝑡𝑡)) = 𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1) − 𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2) (3.66) donde



𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3.67 a)

y



𝜎𝜎√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻 (3. 67 b)

que satisface la ecuación Black-Scholes Fraccional: 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝐻𝐻𝜎𝜎2𝑡𝑡2𝐻𝐻−1𝑆𝑆2 𝜕𝜕2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑆𝑆)𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 0

(3.68) con condiciones de Frontera: 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = Max(𝑆𝑆 − 𝐾𝐾, 0) Algunas estimaciones están basados en información histórica y en general en sus pronósticos no incorporan

cambios estructurales o de eventos extremos. Para corregir esto se debe incluir la información de la volatilidad implícita en el precio de opciones. El modelo de la volatilidad implícita toma como dados los precios de los contratos de las opciones en el mercado y a partir de estos se infieren las expectativas del mismo mercado por lo tanto tiene la ventaja de maximizar las oportunidades de inversión, de arbitraje, de cobertura e incluso de especulación. Este modelo utiliza la valuación de opciones de Black-Scholes y un método numérico de aproximaciones sencillo (como puede ser el de Newton o Newton-Raphson) para estimar la volatilidad partiendo del conocimiento del precio y de las variables y los parámetros restantes. De acuerdo con este modelo a partir del precio de contratos de opciones europeas (call o put), del precio del activo subyacente, del vencimiento de la opción y la tasa de interés libre de riesgos se estima la volatilidad correspondiente en cada momento del tiempo. Este procedimiento ya existía en el caso de procesos estocásticos, la novedad consiste en aplicarlos a procesos modelados con brownianos fraccionales y exponentes Hurst. Utilizando la solución de la ecuación de Black-Scholes Fraccional (3.66, 3.67 a y 3.67 b) y el método de Newton podemos determinar el valor de la volatilidad implícita con un algoritmo recurrente de acuerdo a la siguiente expresión para el caso que se conoce el precio de un contrato call europeo:

84 Phynance

𝜎𝜎𝑡𝑡+1 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 +𝐶𝐶−(𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1)−𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2))

𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁′(𝑑𝑑1)(√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻−𝑑𝑑1𝜎𝜎 )+𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁′(𝑑𝑑2)(√𝑇𝑇2𝐻𝐻−𝑡𝑡2𝐻𝐻−𝑑𝑑2

𝜎𝜎 )

(3.69) De forma análoga para el put europeo podemos encontrar una fórmula para la estimación de la volatilidad implícita considerando un movimiento browniano fraccional para el caso de un put europeo: 𝜎𝜎𝑡𝑡+1 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 +

𝑃𝑃−(𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(−𝑑𝑑2)−𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1))


𝜎𝜎 )

(3.70) Para realizar la estimación de la volatilidad implícita de una opción ecuaciones (3.69) y (3.70) con información del mercado de valores, utilizaremos la publicación del Mercado Mexicano de Derivados (Mexder) de Indicadores del Mercado en el Boletín de Opciones del 30 de Enero de 2007, año 4 no 728. En la tabla siguiente aparece la información necesaria para la estimación de la volatilidad que también proviene del mismo boletín. La tasa de rendimiento se calibra de la información del boletín y el modelo utilizado. Tabla 3.6 Características de Opciones

T de Opción Call Europea

Subyacente TDC Precio 11.03 Fecha Actual 14/12/2006 Vencimiento 15/06/2007 Rend. Estimado 0.045



𝜎𝜎𝑡𝑡+1 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 +𝐶𝐶−(𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1)−𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑2))


𝜎𝜎 )

(3.69) De forma análoga para el put europeo podemos encontrar una fórmula para la estimación de la volatilidad implícita considerando un movimiento browniano fraccional para el caso de un put europeo: 𝜎𝜎𝑡𝑡+1 = 𝜎𝜎𝑡𝑡 +

𝑃𝑃−(𝐾𝐾𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑁𝑁(−𝑑𝑑2)−𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑁𝑁(𝑑𝑑1))


𝜎𝜎 )

(3.70) Para realizar la estimación de la volatilidad implícita de una opción ecuaciones (3.69) y (3.70) con información del mercado de valores, utilizaremos la publicación del Mercado Mexicano de Derivados (Mexder) de Indicadores del Mercado en el Boletín de Opciones del 30 de Enero de 2007, año 4 no 728. En la tabla siguiente aparece la información necesaria para la estimación de la volatilidad que también proviene del mismo boletín. La tasa de rendimiento se calibra de la información del boletín y el modelo utilizado. Tabla 3.6 Características de Opciones

T de Opción Call Europea

Subyacente TDC Precio 11.03 Fecha Actual 14/12/2006 Vencimiento 15/06/2007 Rend. Estimado 0.045


Si se considera diferentes niveles de persistencia, es decir, distintos valores de 𝐻𝐻, de acuerdo a las ecuaciones (3.69)y (3.70) se grafica la volatilidad implícita contra precio de ejercicio comparándola con la información de la volatilidad del boletín mencionado, para valores lejanos del precio de ejercicio fuera del dinero se tiene problemas en la estimación de la volatilidad implícita. Se observa de la gráfica (3.3) que la volatilidad implícita para determinado precios de ejercicio del TDC y esta va aumentando conforme la serie tiene mayor persistencia (a medida que 𝐻𝐻 va aumentando). En otras palabras, la volatilidad implícita de opciones call europeas con subyacente que posea persistencia, es mayor que la volatilidad de opciones call con subyacentes de incrementos independientes. Otra función importante de la volatilidad implícita además de ser un indicador asociado al riesgo o la incertidumbre es ayudar a la creación de indicadores y de productos referenciados. Su importancia y su aceptación han crecido en los últimos anos ya que brinda una idea de la volatilidad que el mercado está esperando. 3.9 El Índice de Volatilidad Vimex La metodología del índice de volatilidad implícita de México (VIMEX) resume la volatilidad esperada del mercado accionario y calcula la volatilidad implícita a través de las opciones del IPC (Índice de Precios y Cotizaciones) listadas en el MexDer. El periodo de medición de la volatilidad del índice es constante en el corto plazo de 66 días hábiles o de 90 días naturales.

86 Phynance

Este procedimiento consiste principalmente de tres etapas que se mencionan a continuación (la metodología puede ser revisada con mayor detalle en la página electrónica del MexDer). Para la estimación del índice VIMEX se utiliza el modelo de valuación de opciones Black-Scholes y se necesita conocer sus variables y los parámetros necesarios mencionados en la sección anterior para la determinación de la volatilidad implícita. La metodología para la estimación del índice VIMEX consta fundamentalmente de tres etapas: En la primera etapa se calcula el promedio de las volatilidades implícitas de las parejas de opciones europeas (call y put) que se ubican por arriba y por abajo del precio strike teórico y también de acuerdo a los vencimientos más próximos y el segundo vencimiento más cercano. La segunda etapa consiste en encontrar la volatilidad implícita del precio de ejercicio en el dinero interpolando las volatilidades de la etapa anterior utilizando los precios de ejercicio inmediatos por arriba y por abajo del cierre de mercado respectivamente en el momento del cálculo y el nivel de cierre del IPC del mercado de capitales. En la etapa final se ponderan las volatilidades del vencimiento más cercano y del segundo más cercano para crear un periodo constante considerando que los vencimientos son trimestrales.


Este procedimiento consiste principalmente de tres etapas que se mencionan a continuación (la metodología puede ser revisada con mayor detalle en la página electrónica del MexDer). Para la estimación del índice VIMEX se utiliza el modelo de valuación de opciones Black-Scholes y se necesita conocer sus variables y los parámetros necesarios mencionados en la sección anterior para la determinación de la volatilidad implícita. La metodología para la estimación del índice VIMEX consta fundamentalmente de tres etapas: En la primera etapa se calcula el promedio de las volatilidades implícitas de las parejas de opciones europeas (call y put) que se ubican por arriba y por abajo del precio strike teórico y también de acuerdo a los vencimientos más próximos y el segundo vencimiento más cercano. La segunda etapa consiste en encontrar la volatilidad implícita del precio de ejercicio en el dinero interpolando las volatilidades de la etapa anterior utilizando los precios de ejercicio inmediatos por arriba y por abajo del cierre de mercado respectivamente en el momento del cálculo y el nivel de cierre del IPC del mercado de capitales. En la etapa final se ponderan las volatilidades del vencimiento más cercano y del segundo más cercano para crear un periodo constante considerando que los vencimientos son trimestrales.

Utilizando la información de la publicación del Mexder de Indicadores del Mercado en el Boletín de Opciones de los días hábiles del mes de enero de 2007(puede seleccionarse cualquier periodo de tiempo). A partir de los precios de los contratos call y put, los precios de ejercicios y las fechas de vencimiento y a partir de la volatilidad implícita reportada se calibran las tasas de interés libre de riesgo. Considerando los parámetros mencionados y las ecuaciones (3.69) y (3.70) puede estimarse las volatilidades implícitas para diferentes niveles de persistencia. En la gráfica 4 un comparativo con el índice VIMEX reportado y calculado para el supuesto de independencia con otros curvas con distintos niveles de persistencia. Se observa en la gráfica 3.4 el caso que 𝐻𝐻 cambie de subyacentes con características de independencia a 𝐻𝐻 =0.6 el nivel de volatilidad aumentaría cerca de veinte por ciento. En el caso extremo de 𝐻𝐻 = 1 la serie VIMEX estaría creciendo en casi 100 por ciento.

Grafica 3.4 Comparativo Índice Vimex para diferentes H


88 Phynance

3.10 Conclusiones La primera aportación del capítulo muestra que el valor obtenido del coeficiente Hurst por el método (𝑅𝑅/𝑆𝑆) para la serie financiera TDC representativa del mercado mexicano, si bien en un inicio parece poseer características de persistencia (teóricamente 𝐻𝐻 > 0.5), al final resulta no ser estadísticamente significativa. Por lo que se mantiene la hipótesis inicial de independencia de dicha serie. Con el proceso estocástico del MBF es posible deducir la ecuación de Black-Scholes y la valuación de derivados en un contexto más general que toma en cuenta las características particulares del mercado en estudio dentro del coeficiente 𝐻𝐻. De los resultados obtenidos como una aportación del presente capítulo, se llega a la conclusión de que el modelo Black-Scholes Fraccional teórico estima un precio menor para las opciones calls y puts europeas en caso de que el activo subyacente posea propiedades de persistencia. Esta diferencia con la estimación de precio Black-Scholes tradicional es mayor conforme mayor sea la dependencia o correlación de las series, es decir para 𝐻𝐻 cercana a uno. El efecto se refuerza cuando la opción se encuentra fuera del dinero. La combinación de ambos resultados en el caso extremo puede llegar a generar un precio calculado con el método browniano fraccional que sea cien por ciento menor que el obtenido por el browniano tradicional. Utilizando en la modelación de la tasa corta Vasicek un MBF como termino estocástico, se puede deducir la ecuación general de los Bonos, y su función de


3.10 Conclusiones La primera aportación del capítulo muestra que el valor obtenido del coeficiente Hurst por el método (𝑅𝑅/𝑆𝑆) para la serie financiera TDC representativa del mercado mexicano, si bien en un inicio parece poseer características de persistencia (teóricamente 𝐻𝐻 > 0.5), al final resulta no ser estadísticamente significativa. Por lo que se mantiene la hipótesis inicial de independencia de dicha serie. Con el proceso estocástico del MBF es posible deducir la ecuación de Black-Scholes y la valuación de derivados en un contexto más general que toma en cuenta las características particulares del mercado en estudio dentro del coeficiente 𝐻𝐻. De los resultados obtenidos como una aportación del presente capítulo, se llega a la conclusión de que el modelo Black-Scholes Fraccional teórico estima un precio menor para las opciones calls y puts europeas en caso de que el activo subyacente posea propiedades de persistencia. Esta diferencia con la estimación de precio Black-Scholes tradicional es mayor conforme mayor sea la dependencia o correlación de las series, es decir para 𝐻𝐻 cercana a uno. El efecto se refuerza cuando la opción se encuentra fuera del dinero. La combinación de ambos resultados en el caso extremo puede llegar a generar un precio calculado con el método browniano fraccional que sea cien por ciento menor que el obtenido por el browniano tradicional. Utilizando en la modelación de la tasa corta Vasicek un MBF como termino estocástico, se puede deducir la ecuación general de los Bonos, y su función de

estructura de plazos. Comparando esta curva con la obtenida del modelo Vasicek del browniano tradicional se observa que la curva de tasas es muy sensible al valor de H, es decir, al supuesto de independencia de incrementos de las series de tasas cortas es muy estricto. Para el caso de la tasa interbancaria de México (TIIE) con una pequeña perturbación alrededor del valor de 𝐻𝐻 = 1/2, la función de estructura de plazos pierde su forma en el corto plazo ya que los valores de las tasas se disparan. Sin embargo, en el largo plazo ambas curvas convergen, respetando su característica de reversión a la media. Por lo tanto, en series con persistencia, el modelo de estructura de plazos de Vasicek para tasas de interés es una buena aproximación en el largo plazo y en cada plazo las tasas de interés del modelo Vasicek fraccional son mayores que las del modelo Vasicek tradicional (𝐻𝐻 > 1/2), en otras palabras, los precios obtenidos del modelo Vasicek fraccional son menores que los precios del Vasicek tradicional. Se revisa las propiedades de independencia de la serie de volatilidad del TDC confirmando que la presencia de persistencia (en estas últimas) llega a ser significativas. Con base en el resultado anterior, se propone que tanto el activo subyacente como su volatilidad tengan un comportamiento modelado por un MBF. Con la aplicación del método H-J-B sobre un activo y su volatilidad utilizando dos procesos brownianos fraccionales no correlacionados es posible plantear a una ecuación de tipo Black-Scholes fraccional generalizada. La aplicación del método H-J-B fraccional, la propuesta de solución, así como la estimación de

90 Phynance

persistencia de la volatilidad a través del método (𝑅𝑅/𝑆𝑆) también son resultados del presente trabajo. La volatilidad implícita deducida de la ecuación Black-Scholes Fraccional de un call europeo de las serie (TDC) resulta ser mayor conforme aumenta la persistencia de la serie dado un precio de ejercicio. Si consideramos la estimación con el browniano fraccional y el exponente Hurst de la volatilidad implícita para call y put europeos del mercado mexicano para el cálculo del índice VIMEX, tenemos como resultado que entre mayor sea la memoria de una serie del IPC, el valor del índice VIMEX también será mayor.


persistencia de la volatilidad a través del método (𝑅𝑅/𝑆𝑆) también son resultados del presente trabajo. La volatilidad implícita deducida de la ecuación Black-Scholes Fraccional de un call europeo de las serie (TDC) resulta ser mayor conforme aumenta la persistencia de la serie dado un precio de ejercicio. Si consideramos la estimación con el browniano fraccional y el exponente Hurst de la volatilidad implícita para call y put europeos del mercado mexicano para el cálculo del índice VIMEX, tenemos como resultado que entre mayor sea la memoria de una serie del IPC, el valor del índice VIMEX también será mayor.

CAPITULO 4

92 Phynance

Capítulo 4 Geometría Diferencial y Modelo de Volatilidad SABR 4.1 Introducción En el mundo Black-Scholes-Merton la volatilidad es un estimador constante para distintos precios de ejercicio, situación que no se observa en la realidad, es decir, a distintos precios de ejercicio les corresponde distintas volatilidades. Para poder explicar los precios observados en el mercado aparecen los llamados skew o smiles de volatilidad. El primer término usualmente se utiliza para hacer referencia a la pendiente de la función de la volatilidad y el segundo principalmente para hacer énfasis en la curvatura de la función. Dupire (1994) propuso calibrar a partir de los precios de mercado de opciones europeas liquidas la volatilidad local 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡). Se inicia con una función local dada de volatilidad y posteriormente se calcula el precio teórico de la opción después se va cambiando la función de volatilidad teórica hasta que coincidan los mismos precios teóricos locales para cada precio de ejercicio y su vencimiento. Una vez obtenida la volatilidad local el modelo puede reproducir correctamente los precios de opciones call y put europeos para distintos strikes y vencimientos. La propuesta de volatilidad local por Dupire (1994) y Derman and Kani (1994) han contribuido en el entendimiento del smile y del skew de volatilidad. En una otra dirección complementaria una importante aproximación de volatilidad estocástica fue propuesta


Capítulo 4 Geometría Diferencial y Modelo de Volatilidad SABR 4.1 Introducción En el mundo Black-Scholes-Merton la volatilidad es un estimador constante para distintos precios de ejercicio, situación que no se observa en la realidad, es decir, a distintos precios de ejercicio les corresponde distintas volatilidades. Para poder explicar los precios observados en el mercado aparecen los llamados skew o smiles de volatilidad. El primer término usualmente se utiliza para hacer referencia a la pendiente de la función de la volatilidad y el segundo principalmente para hacer énfasis en la curvatura de la función. Dupire (1994) propuso calibrar a partir de los precios de mercado de opciones europeas liquidas la volatilidad local 𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑡𝑡, 𝑆𝑆𝑡𝑡). Se inicia con una función local dada de volatilidad y posteriormente se calcula el precio teórico de la opción después se va cambiando la función de volatilidad teórica hasta que coincidan los mismos precios teóricos locales para cada precio de ejercicio y su vencimiento. Una vez obtenida la volatilidad local el modelo puede reproducir correctamente los precios de opciones call y put europeos para distintos strikes y vencimientos. La propuesta de volatilidad local por Dupire (1994) y Derman and Kani (1994) han contribuido en el entendimiento del smile y del skew de volatilidad. En una otra dirección complementaria una importante aproximación de volatilidad estocástica fue propuesta

por Hull y White (1987) y por supuesto hay que mencionar el modelo de Heston (1993). Finalmente se considera trascendente para este trabajo la contribución de Hagan, Kumar, Lesniewski y Woodward (2002) sobre el modelo SABR. El modelo de volatilidad local se considera libre de arbitraje y es consistente con los smiles y skews de volatilidad. Sin embargo, últimamente se ha observado en el mercado (según Hagan (2002)) que la dinámica del comportamiento de los smiles y skews de volatilidad pronosticados por el modelo local son opuestos al comportamiento observado. El modelo de volatilidad local predice que el skew se mueve en dirección opuesta al nivel de mercado, pero en la realidad se mueve en la misma dirección. La consecuencia directa del modelo de volatilidad local es que las coberturas son frecuentemente menos eficientes que las coberturas de Black-Scholes ya que son efectivamente inconsistentes con el movimiento del smile del mercado. Por esta razón principalmente se considera que el modelo SABR es un mejor modelo que el de volatilidad local. EI trabajo original de Hagan (2002) y De Jong Lieke (2010) utilizan la teoría de perturbaciones para obtener el precio de opciones plain vanilla del modelo SABR y sus volatilidades implícitas asociadas. La estimación de la volatilidad implícita ha recibido varias críticas, considerando por ejemplo Rebonato (2009) en donde afirma que las volatilidades implícitas son solamente números equivocados puestos en una formula incorrecta para obtener un precio correcto, pero por

94 Phynance

varias razones esos números incorrectos han llegado a ser una métrica común en los mercados para comunicar los precios de las opciones. Este capítulo está fundamentado en Henry-Labordere P, (2009) y posteriormente Sierra (2013). 4.2 Antecedentes El modelo SABR (denominado así por las siglas en inglés de stochastic alpha beta, rho) propone el comportamiento de una tasa forward 𝑓𝑓 (que pueden ser un tasa swap forward, tasa forward del tipo de cambio, precio forward de acciones etc.) y de su volatilidad descrita por un parámetro 𝛼𝛼, mediante dos procesos estocásticos.

Es importante considerar las siguientes observaciones acerca del modelo SABR: a) la tasa forward y su volatilidad son martingalas b) todos los parámetros del modelo ,, son constantes c) cada tasa forward vive en su propia medida y no sabe nada acerca de las otras tasas forward. Se propone que la de la tasa forward y su volatilidad están descritos por las siguientes ecuaciones: 𝑑𝑑𝑓𝑓 = 𝛼𝛼𝑓𝑓𝛽𝛽𝑑𝑑𝑑𝑑1 (4.1) 𝑓𝑓(0) = 𝑓𝑓0 𝑑𝑑𝛼𝛼 = 𝜐𝜐𝛼𝛼𝑑𝑑2 (4.2) donde 𝑑𝑑𝑑𝑑1, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 son movimientos brownianos, 𝑓𝑓 es una tasa forward de algún activo subyacente, es la volatilidad y es la volatilidad de la volatilidad 𝑑𝑑𝑑𝑑1, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 12𝑑𝑑𝑑𝑑, − 1 < 𝛽𝛽 < 1


varias razones esos números incorrectos han llegado a ser una métrica común en los mercados para comunicar los precios de las opciones. Este capítulo está fundamentado en Henry-Labordere P, (2009) y posteriormente Sierra (2013). 4.2 Antecedentes El modelo SABR (denominado así por las siglas en inglés de stochastic alpha beta, rho) propone el comportamiento de una tasa forward 𝑓𝑓 (que pueden ser un tasa swap forward, tasa forward del tipo de cambio, precio forward de acciones etc.) y de su volatilidad descrita por un parámetro 𝛼𝛼, mediante dos procesos estocásticos.

Es importante considerar las siguientes observaciones acerca del modelo SABR: a) la tasa forward y su volatilidad son martingalas b) todos los parámetros del modelo ,, son constantes c) cada tasa forward vive en su propia medida y no sabe nada acerca de las otras tasas forward. Se propone que la de la tasa forward y su volatilidad están descritos por las siguientes ecuaciones: 𝑑𝑑𝑓𝑓 = 𝛼𝛼𝑓𝑓𝛽𝛽𝑑𝑑𝑑𝑑1 (4.1) 𝑓𝑓(0) = 𝑓𝑓0 𝑑𝑑𝛼𝛼 = 𝜐𝜐𝛼𝛼𝑑𝑑2 (4.2) donde 𝑑𝑑𝑑𝑑1, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 son movimientos brownianos, 𝑓𝑓 es una tasa forward de algún activo subyacente, es la volatilidad y es la volatilidad de la volatilidad 𝑑𝑑𝑑𝑑1, 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 12𝑑𝑑𝑑𝑑, − 1 < 𝛽𝛽 < 1

recordemos que la prima de una opción europea call o put esta dado por la fórmula de Black para futuros o forwards: 𝐶𝐶 = 𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇)(𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑑𝑑1) − 𝐾𝐾𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑑𝑑2)) (4.3) 𝑃𝑃 = 𝐶𝐶 + 𝑒𝑒−𝑟𝑟(𝑇𝑇−𝑡𝑡)(𝐾𝐾 − 𝑓𝑓) (4.4) con 𝑑𝑑1,2 = log (𝑓𝑓

𝐾𝐾)±12𝜎𝜎𝐵𝐵

2𝑇𝑇𝜎𝜎𝐵𝐵√𝑇𝑇

(4.5) donde 𝑇𝑇 es la fecha de vencimiento, 𝐾𝐾 es el precio strike o precio de ejercicio, 𝑓𝑓 es la tasa forward y 𝐶𝐶 y 𝑃𝑃 son los precios de las opciones call and put. Se llega a la volatilidad SABR 𝐵𝐵(𝑓𝑓, 𝐾𝐾) dada por (la expresión siguiente viene de Henry-Labordere 𝑃𝑃, (2009))

(4.6) donde 𝑧𝑧 = 𝜈𝜈

𝛼𝛼 (𝑓𝑓𝐾𝐾)(1−𝛽𝛽)2⁄ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑓𝑓

𝐾𝐾) (4.7) y 𝑥𝑥(𝑧𝑧) es definido por 𝑥𝑥(𝑧𝑧) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 {√1−2𝜌𝜌𝜌𝜌+𝜌𝜌2+𝜌𝜌−𝜌𝜌

1−𝜌𝜌 } (4.8) Para distintos casos, especialmente cuando las opciones están en el dinero, es decir, si 𝐾𝐾 = 𝑓𝑓 se reduce

96 Phynance

𝜎𝜎𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜎𝜎𝐵𝐵(𝑓𝑓, 𝑓𝑓) = 𝛼𝛼/(𝑓𝑓)(1−𝛽𝛽) {1 + [(1−𝛽𝛽)2

24𝛼𝛼2

𝑓𝑓2−2𝛽𝛽 +14

𝜌𝜌𝛽𝛽𝛼𝛼𝜌𝜌𝑓𝑓1−𝛽𝛽 + 2−3𝜌𝜌2

24 𝜈𝜈2] 𝑇𝑇 + ⋯ } (4.9) y para el caso normal o gaussiano ( = 0) con volatilidad estocástica log-normal llega a ser: 𝜎𝜎(𝐾𝐾) = 𝛼𝛼 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑓𝑓/𝐾𝐾

𝑓𝑓−𝐾𝐾 ( 𝑧𝑧𝜒𝜒(𝑧𝑧)) {1 + [ 𝛼𝛼2

24𝑓𝑓𝐾𝐾 + 2−3𝜌𝜌2

24 𝜈𝜈2] 𝑇𝑇} (4.10) 𝑧𝑧 = 𝜌𝜌

𝛼𝛼 √𝑓𝑓𝐾𝐾𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝐾𝐾 (4.11)

𝜎𝜎(𝐾𝐾) = 𝛼𝛼 ( 𝑧𝑧

𝜒𝜒(𝑧𝑧)) {1 + [𝜌𝜌𝛼𝛼𝜌𝜌4 + 2−3𝜌𝜌2

24 ]𝜈𝜈2{1+[]T}} (4.12) 𝑧𝑧 = 𝜌𝜌

𝛼𝛼 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝐾𝐾 (4.13)

a continuación se revisan algunas nociones y antecedentes de herramientas cuantitativas de geometría diferencial previo a la deducción de la ecuación de volatilidad SABR. 4.3 Nociones de Geometría Diferencial La deducción del modelo SABR de esta sección, está basado fundamentalmente en el trabajo de Henry-Labordere [2009], pero antes de la deducción conviene revisar algunos conceptos de geometría diferencial que se revisara en la sección siguiente. El campo natural donde se puede planear y resolver el modelo SABR es la geometría diferencial, a continuación se presentan algunos conceptos básicos antes de


𝜎𝜎𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜎𝜎𝐵𝐵(𝑓𝑓, 𝑓𝑓) = 𝛼𝛼/(𝑓𝑓)(1−𝛽𝛽) {1 + [(1−𝛽𝛽)2

24𝛼𝛼2

𝑓𝑓2−2𝛽𝛽 +14

𝜌𝜌𝛽𝛽𝛼𝛼𝜌𝜌𝑓𝑓1−𝛽𝛽 + 2−3𝜌𝜌2

24 𝜈𝜈2] 𝑇𝑇 + ⋯ } (4.9) y para el caso normal o gaussiano ( = 0) con volatilidad estocástica log-normal llega a ser: 𝜎𝜎(𝐾𝐾) = 𝛼𝛼 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑓𝑓/𝐾𝐾

𝑓𝑓−𝐾𝐾 ( 𝑧𝑧𝜒𝜒(𝑧𝑧)) {1 + [ 𝛼𝛼2

24𝑓𝑓𝐾𝐾 + 2−3𝜌𝜌2

24 𝜈𝜈2] 𝑇𝑇} (4.10) 𝑧𝑧 = 𝜌𝜌

𝛼𝛼 √𝑓𝑓𝐾𝐾𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝐾𝐾 (4.11)

𝜎𝜎(𝐾𝐾) = 𝛼𝛼 ( 𝑧𝑧

𝜒𝜒(𝑧𝑧)) {1 + [𝜌𝜌𝛼𝛼𝜌𝜌4 + 2−3𝜌𝜌2

24 ]𝜈𝜈2{1+[]T}} (4.12) 𝑧𝑧 = 𝜌𝜌

𝛼𝛼 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓𝐾𝐾 (4.13)

a continuación se revisan algunas nociones y antecedentes de herramientas cuantitativas de geometría diferencial previo a la deducción de la ecuación de volatilidad SABR. 4.3 Nociones de Geometría Diferencial La deducción del modelo SABR de esta sección, está basado fundamentalmente en el trabajo de Henry-Labordere [2009], pero antes de la deducción conviene revisar algunos conceptos de geometría diferencial que se revisara en la sección siguiente. El campo natural donde se puede planear y resolver el modelo SABR es la geometría diferencial, a continuación se presentan algunos conceptos básicos antes de

proceder a la deducción de la expresión de la opción y la volatilidad. Un tensor del tipo (𝑟𝑟, 𝑝𝑝) es un objeto multilineal el cual mapea r elementos de T𝑋𝑋0 ∗ 𝑀𝑀 y 𝑝𝑝 elementos de T𝑋𝑋0𝑀𝑀 a un numero real. El conjunto de tensores de tipo (𝑟𝑟, 𝑝𝑝) forman un espacio vectorial denotado por 𝑇𝑇𝑋𝑋0

(𝑟𝑟,𝑝𝑝)𝑀𝑀. Un elemento 𝑇𝑇 de 𝑇𝑇𝑋𝑋0

(𝑟𝑟,𝑝𝑝)𝑀𝑀 escrito en la base { 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖} y {𝑑𝑑𝑋𝑋𝑖𝑖}𝑖𝑖

como 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑗𝑗1…𝑗𝑗𝑝𝑝

𝑖𝑖1…𝑖𝑖𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖1

⨂. . . ⨂ 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑗𝑗1 ⨂. . . ⨂𝑥𝑥𝑗𝑗𝑝𝑝 (4.14) Utilizando otro sistema de coordenadas 𝑋𝑋𝑖𝑖 , los componentes se transforman como: 𝑇𝑇𝑗𝑗1´…𝑗𝑗𝑝𝑝´

𝑖𝑖1´…𝑖𝑖𝑟𝑟´ = 𝑇𝑇𝑗𝑗1…𝑗𝑗𝑝𝑝𝑖𝑖1…𝑖𝑖𝑟𝑟 𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖1

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖1. . . 𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖´

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑗𝑗1

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑗𝑗1´ … 𝜕𝜕𝑋𝑋𝑗𝑗𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑗𝑗´𝑖𝑖 (4.15) Una métrica 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑥𝑥) es un tensor métrico que permite medir distancias infinitamente cercanas a 𝑝𝑝 con coordenadas 𝑋𝑋𝑖𝑖 y 𝑝𝑝 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 con coordenadas 𝑋𝑋𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑗𝑗𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥𝑗𝑗 (4.16) Deducimos que bajo un cambio de coordenadas, la métrica es invariante pero para cambios contrarios en la forma contravariante se tiene 𝑔𝑔𝑗𝑗(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔𝑖𝑖´𝑗𝑗´(𝑥𝑥´) 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖´

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗´𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗 (4.17)

98 Phynance

un campo con una métrica es un campo Riemanniano que puede verse como un objeto matemático para subir y bajar índices de tensores covariantes y contravariantes 𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖 (4.18) 𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖 (4.19) La idea para medir la longitud es dividir la curva en pequeñas piezas infinitesimales cuyo cuadrado de longitud estaría dado por la ecuación (4.16). Además se supone que 𝐶𝐶: [0,1]𝑀𝑀 es una curva diferenciable uniendo los puntos 𝑥𝑥(0) = 0 y 𝑥𝑥(1) = 𝑦𝑦. La longitud 𝑙𝑙(𝐶𝐶) esta definida por

𝑙𝑙(𝐶𝐶) = ∫ √𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥(𝑡𝑡)) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑗𝑗(𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡10 (4.20)

dada una curva sobre un campo de Riemann 𝑀𝑀, se puede definir el transporte paralelo de un vector, tangente a la curva 𝐶𝐶, a lo largo de esta curva será llamada curva geodésica y su ecuación como ecuación geodésica, la condición puede escribirse como: 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝛤𝛤𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑗𝑗

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 (4.21) donde𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑖𝑖 es llamado símbolo de Christoffel y depende de la métrica y la primera derivada respecto al tensor métrico


un campo con una métrica es un campo Riemanniano que puede verse como un objeto matemático para subir y bajar índices de tensores covariantes y contravariantes 𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖 (4.18) 𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖 (4.19) La idea para medir la longitud es dividir la curva en pequeñas piezas infinitesimales cuyo cuadrado de longitud estaría dado por la ecuación (4.16). Además se supone que 𝐶𝐶: [0,1]𝑀𝑀 es una curva diferenciable uniendo los puntos 𝑥𝑥(0) = 0 y 𝑥𝑥(1) = 𝑦𝑦. La longitud 𝑙𝑙(𝐶𝐶) esta definida por

𝑙𝑙(𝐶𝐶) = ∫ √𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥(𝑡𝑡)) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑗𝑗(𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡10 (4.20)

dada una curva sobre un campo de Riemann 𝑀𝑀, se puede definir el transporte paralelo de un vector, tangente a la curva 𝐶𝐶, a lo largo de esta curva será llamada curva geodésica y su ecuación como ecuación geodésica, la condición puede escribirse como: 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝛤𝛤𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑗𝑗

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑘𝑘

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 (4.21) donde𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑖𝑖 es llamado símbolo de Christoffel y depende de la métrica y la primera derivada respecto al tensor métrico

𝛤𝛤𝑖𝑖𝑖𝑖𝑝𝑝 = 1

2𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝(−𝜕𝜕𝑝𝑝𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝜕𝜕𝑖𝑖𝑔𝑔𝑝𝑝𝑖𝑖 + 𝜕𝜕𝑖𝑖𝑔𝑔𝑖𝑖𝑝𝑝) (4.22)

En un campo Riemanniano, las curvas que minimizan la longitud en campo entre 𝑥𝑥(0) y 𝑥𝑥(1) = 𝑦𝑦 son llamadas curvas geodésicas

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝐶𝐶 ∫ √𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥(𝑡𝑡))𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑗𝑗(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡1

0 (4.23) A partir de la ecuación de Euler-Lagrange dado los puntos críticos de la funcional se puede obtener la ecuación geodésica. El tensor Riemann mide la diferencia en el transporte paralelo de un vector en un paralelogramo infinitesimal y esto sirve para medir la curvatura en un paralelogramo. El tensor de Riemann que proporciona información sobre la curvatura 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑝𝑝𝑗𝑗𝑖𝑖 = −𝜕𝜕𝑗𝑗𝛤𝛤𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝜕𝜕𝑝𝑝𝛤𝛤𝑗𝑗𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝛤𝛤𝑝𝑝𝑘𝑘𝑖𝑖 𝛤𝛤𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘 − 𝛤𝛤𝑗𝑗𝑘𝑘𝑖𝑖 𝛤𝛤𝑝𝑝𝑖𝑖𝑘𝑘 (4.24) de (4.24) es un tensor que se puede contraer y obtener el conocido tensor de Ricci 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 (4.25) donde también se puede estimar el escalar de curvatura 𝑅𝑅 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖 (4.26) 4.4 Nociones de Geometría Diferencial en Teoría de la Relatividad Los tensores de la sección anterior son muy importantes dentro de la geometría diferencial y en la física. El tensor de Riemann habla directamente de la

100 Phynance

curvatura independientemente de las coordenadas, este tensor es cero si y solo si la métrica es plana. Para mayor información puede consultarse a Misner. Thorne y Wheeler (1972) y a Weinberg (1972). El siguiente paso es derivar la ecuación de Einstein cambiando los conceptos de partículas a campos. Se construye una funcional lagrangiana que sea escalar pues se busca que la acción sea invariante 𝑆𝑆 = ∫ℒ(𝜙𝜙, 𝜙𝜙𝜐𝜐, 𝑋𝑋𝑗𝑗)√−𝑔𝑔𝑑𝑑4𝑥𝑥 (4.27) para el caso del campo gravitacional el escalar corresponde al escalar de curvatura 𝑅𝑅 y el lagrangiano de la materia 𝑆𝑆 = ∫√−𝑔𝑔 (𝑅𝑅 + ℒ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)𝑑𝑑4𝑥𝑥 (4.28) Al minimizar la acción se obtiene las ecuaciones de Einstein 𝑅𝑅𝜇𝜇𝜐𝜐 −

12 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜐𝜐𝑅𝑅 = 𝑘𝑘𝑇𝑇𝜇𝜇𝜐𝜐 (4.29)

Las ecuaciones de Einstein muestran la geometría del espacio tiempo descrita por la geometría de Riemann queda determinada por la distribución de materia energía en el espacio. En forma simplificada, la materia le dice al espacio como curvearse y por medio de las geodésicas el espacio le dice a las materias por donde moverse en una relación que no es lineal. El caso más sencillo utilizando las simetrías es el caso esférico, estático y en el vacío. (Para mayor información de agujeros negros consultar Weinberg (1972), y Misner and Wheleer 1972).


curvatura independientemente de las coordenadas, este tensor es cero si y solo si la métrica es plana. Para mayor información puede consultarse a Misner. Thorne y Wheeler (1972) y a Weinberg (1972). El siguiente paso es derivar la ecuación de Einstein cambiando los conceptos de partículas a campos. Se construye una funcional lagrangiana que sea escalar pues se busca que la acción sea invariante 𝑆𝑆 = ∫ℒ(𝜙𝜙, 𝜙𝜙𝜐𝜐, 𝑋𝑋𝑗𝑗)√−𝑔𝑔𝑑𝑑4𝑥𝑥 (4.27) para el caso del campo gravitacional el escalar corresponde al escalar de curvatura 𝑅𝑅 y el lagrangiano de la materia 𝑆𝑆 = ∫√−𝑔𝑔 (𝑅𝑅 + ℒ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)𝑑𝑑4𝑥𝑥 (4.28) Al minimizar la acción se obtiene las ecuaciones de Einstein 𝑅𝑅𝜇𝜇𝜐𝜐 −

12 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜐𝜐𝑅𝑅 = 𝑘𝑘𝑇𝑇𝜇𝜇𝜐𝜐 (4.29)

Las ecuaciones de Einstein muestran la geometría del espacio tiempo descrita por la geometría de Riemann queda determinada por la distribución de materia energía en el espacio. En forma simplificada, la materia le dice al espacio como curvearse y por medio de las geodésicas el espacio le dice a las materias por donde moverse en una relación que no es lineal. El caso más sencillo utilizando las simetrías es el caso esférico, estático y en el vacío. (Para mayor información de agujeros negros consultar Weinberg (1972), y Misner and Wheleer 1972).

𝑑𝑑𝑑𝑑2 = −𝐴𝐴(𝑟𝑟)𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝐵𝐵(𝑟𝑟)𝑑𝑑𝑟𝑟2 + 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝛺𝛺2 (4.30) con 𝑑𝑑Ω2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑑𝑑𝑑𝑑𝜙𝜙2 (4.30 a) que es el elemento de ángulo sólido. Ahora estimando los símbolos de Christoffel Riemann, el tensor de Ricci y el escalar de curvatura con una condición física de que el tensor de energía momento sea cero y de ciertas condiciones asintóticas de frontera se puede encontrar los valores de las constantes y entonces la solución de las ecuaciones de Einstein en el espacio tiempo que es vacío es (donde 𝑀𝑀 es la masa que genera el campo): 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = − (1 − 2𝑀𝑀

𝑟𝑟 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑𝑟𝑟2

(1−2𝑀𝑀𝑟𝑟 )

+ 𝑟𝑟2𝑑𝑑𝛺𝛺2 (4.31)

Y los tensores de Riemann asociados (también para una deducción más detallada sobre agujeros negros consultar Weinberg (1972), y Misner and Wheleer 1972) 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = − 2𝑀𝑀

𝑟𝑟3 (4.32 a) 𝑅𝑅𝜃𝜃𝑟𝑟𝜃𝜃𝑟𝑟 = 𝑀𝑀 𝑟𝑟−2𝑀𝑀

𝑟𝑟2 (4.32 b) 𝑅𝑅𝜙𝜙𝑟𝑟𝜙𝜙𝑟𝑟 = 𝑀𝑀 𝑟𝑟−2𝑀𝑀

𝑟𝑟2 sen2 𝑑𝑑 (4.32 c) 𝑅𝑅𝑟𝑟𝜃𝜃𝑟𝑟𝜃𝜃 = − 𝑀𝑀

𝑟𝑟−2𝑀𝑀 (4.32 d) 𝑅𝑅𝑟𝑟𝜙𝜙𝑟𝑟𝜙𝜙 = − 𝑀𝑀

𝑟𝑟−2𝑀𝑀 sen2 𝑑𝑑 (4.32 e)

102 Phynance

𝑅𝑅𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 = 2𝑀𝑀𝑀𝑀 sen2 𝜃𝜃 (4.32 f) De lo anterior es claro que si 𝑀𝑀 es distinto de cero el tensor de Riemann también lo es y entonces estamos hablando de un espacio curvo 𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 48 𝑀𝑀2

𝑟𝑟6 (4.33) Este escalar muestra que el único punto del espacio tiempo no definido es en 𝑀𝑀 = 0 que es donde esta concentrada la masa. Se interpreta la solución como que la masa está concentrada en un punto y curva al espacio. El otro punto interesante es en 𝑀𝑀 = 2𝑀𝑀 ya que nuestro elemento de línea tiene problemas ya que 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑡𝑡 tiende a cero y 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑟𝑟 diverge pero los escalares no tiene problemas, lo que implica que no es una singularidad física como en el caso anterior sino de coordenadas. A este punto de no retorno en el que ni siquiera la luz puede salir se le conoce como horizonte. Entonces definimos dos regiones separadas por dicha frontera, aquella donde la luz no puede escapar y otra asintóticamente plana, que es la definición en el espacio tiempo de hoyo negro. Este agujero negro con la métrica de Schwarzchild representa el caso más sencillo de agujero de forma esférica y sin spin o giro. El problema fue resuelto desde la segunda década del siglo XX, inmediatamente después de la postulación de Einstein de la teoría de la relatividad general. 4.5 El Modelo SABR


𝑅𝑅𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 = 2𝑀𝑀𝑀𝑀 sen2 𝜃𝜃 (4.32 f) De lo anterior es claro que si 𝑀𝑀 es distinto de cero el tensor de Riemann también lo es y entonces estamos hablando de un espacio curvo 𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 = 48 𝑀𝑀2

𝑟𝑟6 (4.33) Este escalar muestra que el único punto del espacio tiempo no definido es en 𝑀𝑀 = 0 que es donde esta concentrada la masa. Se interpreta la solución como que la masa está concentrada en un punto y curva al espacio. El otro punto interesante es en 𝑀𝑀 = 2𝑀𝑀 ya que nuestro elemento de línea tiene problemas ya que 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑡𝑡 tiende a cero y 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑟𝑟 diverge pero los escalares no tiene problemas, lo que implica que no es una singularidad física como en el caso anterior sino de coordenadas. A este punto de no retorno en el que ni siquiera la luz puede salir se le conoce como horizonte. Entonces definimos dos regiones separadas por dicha frontera, aquella donde la luz no puede escapar y otra asintóticamente plana, que es la definición en el espacio tiempo de hoyo negro. Este agujero negro con la métrica de Schwarzchild representa el caso más sencillo de agujero de forma esférica y sin spin o giro. El problema fue resuelto desde la segunda década del siglo XX, inmediatamente después de la postulación de Einstein de la teoría de la relatividad general. 4.5 El Modelo SABR

Suponga un proceso estocástico que satisfice la siguiente ecuación diferencial estocástica en un mundo neutral al riesgo 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑡𝑡

𝑖𝑖 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑊𝑊𝑖𝑖 (4.34) 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑖𝑖𝑑𝑑𝑊𝑊𝑗𝑗 = 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 donde 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑖𝑖es un movimiento browniano y 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗 es la correlación entre dos movimientos brownianos 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑗𝑗, 𝑏𝑏𝑖𝑖 es la tendencia y 𝑖𝑖 la volatilidad con condiciones iniciales 𝑥𝑥0 = . El valor justo de la opción europea el pago en el tiempo t con función de pago 𝑓𝑓(𝑋𝑋𝑇𝑇) al vencimiento 𝑇𝑇 esta dado por el valor medio del pago condicional sobre la filtración 𝐹𝐹𝑡𝑡, el valor de la prima de la opción 𝐶𝐶 depende de la densidad de probabilidad condicional (sin considerar el descuento) 𝐶𝐶(𝛼𝛼, 𝑡𝑡, 𝑇𝑇) = 𝐸𝐸[f(XT)|Ft] = ∫ ∏ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑝𝑝(𝑇𝑇, 𝑥𝑥|𝑡𝑡, 𝛼𝛼)𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 (4.35) Después el valor medio condicional 𝐸𝐸𝑝𝑝 [|𝐹𝐹𝑡𝑡] 𝐶𝐶(𝛼𝛼, 𝑡𝑡, 𝑇𝑇) = 𝑓𝑓(𝛼𝛼) + 𝐸𝐸𝑝𝑝 [∫ 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑇𝑇

𝑡𝑡 |𝐹𝐹𝑡𝑡] (4.36) Considerando el lema de Ito 𝑓𝑓(𝑋𝑋𝑇𝑇) = 𝑓𝑓(𝛼𝛼) + ∫ 𝐷𝐷𝑓𝑓(𝑋𝑋𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑑𝑑 +𝑇𝑇

𝑡𝑡∫ ∑ 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑊𝑊𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1

𝑇𝑇𝑡𝑡 (4.37)

104 Phynance

con 𝐷𝐷 un operador diferencial de segundo orden 1 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖 + 12 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜎𝜎𝑗𝑗(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑡𝑡) 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗 (4.38) diferenciando la ecuación (4.38) respecto a 𝑇𝑇, integrando por partes y descartando algunos términos se obtiene la ecuación Forward Kolmogorov 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑇𝑇,𝜕𝜕| 𝑡𝑡,𝛼𝛼)

𝜕𝜕𝑇𝑇 = 𝐷𝐷∗ 𝑝𝑝(𝑇𝑇, 𝑥𝑥|𝑡𝑡, 𝛼𝛼) (4.39) donde 𝐷𝐷∗ = − 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 12 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑡𝑡) 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝜎𝜎𝑗𝑗(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) (4.40) y con la condición inicial 𝑝𝑝(𝑇𝑇, 𝑥𝑥|𝑡𝑡, 𝛼𝛼) = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼) (4.41) Análogamente se puede obtener la ecuación Backward-Kolmogorov (ecuación Fokker-Plank) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝜕𝜕| 𝛼𝛼)

𝜕𝜕𝜏𝜏 = 𝐷𝐷𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥| 𝛼𝛼) (4.42) 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝛼𝛼) 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖 + 12 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗𝜎𝜎𝑖𝑖(𝛼𝛼)𝜎𝜎𝑗𝑗(𝛼𝛼) 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗 (4.43) con la condición inicial 𝑝𝑝(𝜏𝜏 = 0, 𝑥𝑥|𝑡𝑡, 𝛼𝛼) = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼) (4.44) es importante notar que los coeficientes de las ecuaciones Kolmogorov no tienen un buen comportamiento bajo cambio de variables. 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥) se 1 Con la convención Einstein 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖 = ∑ 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 .


con 𝐷𝐷 un operador diferencial de segundo orden 1 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖 + 12 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜎𝜎𝑗𝑗(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑡𝑡) 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗 (4.38) diferenciando la ecuación (4.38) respecto a 𝑇𝑇, integrando por partes y descartando algunos términos se obtiene la ecuación Forward Kolmogorov 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑇𝑇,𝜕𝜕| 𝑡𝑡,𝛼𝛼)

𝜕𝜕𝑇𝑇 = 𝐷𝐷∗ 𝑝𝑝(𝑇𝑇, 𝑥𝑥|𝑡𝑡, 𝛼𝛼) (4.39) donde 𝐷𝐷∗ = − 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 12 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗(𝑡𝑡) 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝜎𝜎𝑗𝑗(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) (4.40) y con la condición inicial 𝑝𝑝(𝑇𝑇, 𝑥𝑥|𝑡𝑡, 𝛼𝛼) = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼) (4.41) Análogamente se puede obtener la ecuación Backward-Kolmogorov (ecuación Fokker-Plank) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝜕𝜕| 𝛼𝛼)

𝜕𝜕𝜏𝜏 = 𝐷𝐷𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥| 𝛼𝛼) (4.42) 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝛼𝛼) 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖 + 12 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗𝜎𝜎𝑖𝑖(𝛼𝛼)𝜎𝜎𝑗𝑗(𝛼𝛼) 𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖𝜕𝜕𝜕𝜕𝑗𝑗 (4.43) con la condición inicial 𝑝𝑝(𝜏𝜏 = 0, 𝑥𝑥|𝑡𝑡, 𝛼𝛼) = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝛼𝛼) (4.44) es importante notar que los coeficientes de las ecuaciones Kolmogorov no tienen un buen comportamiento bajo cambio de variables. 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥) se 1 Con la convención Einstein 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑖𝑖 = ∑ 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑖𝑖

𝑛𝑛𝑖𝑖=1 .

transforma de forma covariante, pero no sucede lo mismo para el caso del termino de tendencia debido al término adicional. Para que la ecuación Kolmogorov se transforme covariantemente se introduce la llamada conexión Abeliana que a su vez depende de la tendencia y volatilidad para que se realicen la transformación covariantemente bajo el cambio de variable 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖´ = 𝑏𝑏𝑖𝑖´(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜎𝜎𝑖𝑖´(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑊𝑊𝑖𝑖 (4.45) 𝑏𝑏𝑖𝑖´(𝑥𝑥´) = 𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑥𝑥) + 12 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥) 𝜕𝜕2𝑓𝑓𝑖𝑖´(𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗 (4.46 a) 𝜎𝜎𝑖𝑖 = 𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖´(𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥)´ (4.46 b) 4.6 Solución del modelo SABR La ecuación (4.42) sería interpretado como un Heat Kernel en un n dimensional campo Riemanniano con una métrica 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 y una conexión Abeliana A la solución está basada en Henry-Labordere (2009). La inversa de la métrica 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 esta dada por 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 1

2 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥) (4.47) a pesar que los dos índices se repiten no se trata de una sumatoria, la métrica (𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝛿𝛿𝑘𝑘

𝑖𝑖 ) 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 2 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗

𝜎𝜎𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝜎𝜎𝑗𝑗(𝑥𝑥) (4.48) El operador diferencial es elíptico si y solo si 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 es una métrica

106 Phynance

𝐷𝐷 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝜕𝜕𝑖𝑖 + 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝜕𝜕𝑖𝑖𝑖𝑖 (4.49) Un operador elíptico de segundo orden 𝐴𝐴 que muestra que hay una única conexión ∇ sobre un haz de línea sobre 𝑀𝑀 y una única sección 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝐷𝐷 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖∇𝑖𝑖∇𝑖𝑖 + 𝑄𝑄 = 𝑔𝑔−1

2(𝜕𝜕𝑖𝑖 + 𝐴𝐴𝑖𝑖)𝑔𝑔12𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜕𝜕𝑖𝑖 + 𝐴𝐴𝑖𝑖) + 𝑄𝑄

(4.50) Entonces la ecuación backward Kolmogorov puede ser escrita en forma covariantemente con 𝑔𝑔 = det [𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖] y 𝐴𝐴𝑖𝑖 son componentes de una conexión Abeliana 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝑥𝑥|𝛼𝛼)

𝜕𝜕𝜏𝜏 = 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝛼𝛼) (4.51) Si tomamos 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 0, 𝑄𝑄 = 0 entonces 𝐷𝐷 llega a ser el operador Laplaciano △= 𝑔𝑔−1

2𝜕𝜕𝑖𝑖𝑔𝑔12𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝜕𝜕𝑖𝑖 (4.52)

Se puede expresar la conexión 𝐴𝐴𝑖𝑖 y 𝑄𝑄 como función de la tendencia 𝑏𝑏𝑖𝑖 y la métrica 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖identificando con la ecuación (4.42) 𝜕𝜕𝑖𝑖 y 𝜕𝜕𝑖𝑖𝑖𝑖con las ecuaciones (4.35) 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 1

2 (𝑏𝑏𝑖𝑖 − 𝑔𝑔−12𝜕𝜕𝑖𝑖(𝑔𝑔

12𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖) (4.53)

𝑄𝑄 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐴𝐴𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖 − 𝑏𝑏𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖 − 𝜕𝜕𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖) (4.54) las ecuaciones (4.21 a, b) pueden ser reescritas en términos de los símbolos de Christoffel 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 1

2 (𝑏𝑏𝑖𝑖 − 𝑔𝑔𝜕𝜕𝑝𝑝𝛤𝛤𝜕𝜕𝑝𝑝𝑖𝑖 ) (4.55)


𝐷𝐷 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝜕𝜕𝑖𝑖 + 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥)𝜕𝜕𝑖𝑖𝑖𝑖 (4.49) Un operador elíptico de segundo orden 𝐴𝐴 que muestra que hay una única conexión ∇ sobre un haz de línea sobre 𝑀𝑀 y una única sección 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝐷𝐷 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖∇𝑖𝑖∇𝑖𝑖 + 𝑄𝑄 = 𝑔𝑔−1

2(𝜕𝜕𝑖𝑖 + 𝐴𝐴𝑖𝑖)𝑔𝑔12𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜕𝜕𝑖𝑖 + 𝐴𝐴𝑖𝑖) + 𝑄𝑄

(4.50) Entonces la ecuación backward Kolmogorov puede ser escrita en forma covariantemente con 𝑔𝑔 = det [𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖] y 𝐴𝐴𝑖𝑖 son componentes de una conexión Abeliana 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝑥𝑥|𝛼𝛼)

𝜕𝜕𝜏𝜏 = 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝛼𝛼) (4.51) Si tomamos 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 0, 𝑄𝑄 = 0 entonces 𝐷𝐷 llega a ser el operador Laplaciano △= 𝑔𝑔−1

2𝜕𝜕𝑖𝑖𝑔𝑔12𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝜕𝜕𝑖𝑖 (4.52)

Se puede expresar la conexión 𝐴𝐴𝑖𝑖 y 𝑄𝑄 como función de la tendencia 𝑏𝑏𝑖𝑖 y la métrica 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖identificando con la ecuación (4.42) 𝜕𝜕𝑖𝑖 y 𝜕𝜕𝑖𝑖𝑖𝑖con las ecuaciones (4.35) 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 1

2 (𝑏𝑏𝑖𝑖 − 𝑔𝑔−12𝜕𝜕𝑖𝑖(𝑔𝑔

12𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖) (4.53)

𝑄𝑄 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐴𝐴𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖 − 𝑏𝑏𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖 − 𝜕𝜕𝑖𝑖𝐴𝐴𝑖𝑖) (4.54) las ecuaciones (4.21 a, b) pueden ser reescritas en términos de los símbolos de Christoffel 𝐴𝐴𝑖𝑖 = 1

2 (𝑏𝑏𝑖𝑖 − 𝑔𝑔𝜕𝜕𝑝𝑝𝛤𝛤𝜕𝜕𝑝𝑝𝑖𝑖 ) (4.55)

Resumiendo, la ecuación Heat Kernel sobre un campo Riemanniano 𝑀𝑀 es construido sobre las siguientes piezas geométricas: i) Una métrica 𝑔𝑔 sobre 𝑀𝑀 ii) Una conexión 𝐴𝐴 iii) Una sección 𝑄𝑄. Un Heat Kernel para una ecuación Heat Kernel es una sección continua 𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) que satisfice las siguientes propiedades i) 𝜕𝜕𝜏𝜏𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) es continua en (𝜏𝜏, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦). 𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜕𝜕2𝑝𝑝(𝜏𝜏,𝑥𝑥|𝑦𝑦)

𝜕𝜕𝑥𝑥𝑖𝑖𝜕𝜕𝑦𝑦𝑗𝑗 es continua en (𝜏𝜏, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) para cualquier

sistema de coordenadas 𝑥𝑥. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) satisface las condiciones de frontera (𝜏𝜏 =0)2 y en el limite limτ→0𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦). La resolución del Heat Kernel en el corto tiempo es un importante problema en la física teórica y en las matemáticas. A continuación se muestra brevemente la solución asintótica para un Heat Kernel en un campo Riemanniano para mayor información también se recomienda DeWitt (1975). Se sigue la deducción a partir de Henry-Labordere (2009). Sea 𝑀𝑀 un campo 𝑛𝑛 dimensional Riemanniano y 𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) es el Heat Kernel de la ecuación del mismo nombre. Entonces hay secciones suaves 𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) de tal forma que para cada 𝑁𝑁 > 𝑛𝑛/2, 𝑝𝑝𝑁𝑁(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) se define la formula

2 La condición de frontera significa que para alguna sección 𝑠𝑠, entonces 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝜏𝜏→0 ∫ 𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥 𝑦𝑦)𝑠𝑠(𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑚𝑚𝑦𝑦 = 𝑠𝑠(𝑥𝑥)𝑀𝑀 .

108 Phynance

𝑝𝑝𝑁𝑁(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) =∅(𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)2) √𝑔𝑔(𝑦𝑦)

(4𝜋𝜋𝜋𝜋)𝑛𝑛2

√Δ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑃𝑃(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑒𝑒−𝜎𝜎(𝑥𝑥,𝑦𝑦)2𝜏𝜏 ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑁𝑁𝑛𝑛=0 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝜏𝜏𝑛𝑛

(4.56) esto es asintóticamente a 𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) donde i)∅ es una función cut-off 3. ii) 𝜎𝜎(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es una función mundo Synge igual a un medio del cuadrado de la distancia geodésica 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) entre 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 para una determinada métrica. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Δ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) determinante Van Vleck-Morette Δ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =𝑔𝑔(𝑥𝑥)−1

2 det (− 𝜕𝜕2𝜎𝜎(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦 ) 𝑔𝑔(𝑦𝑦)−1

2 con 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑[𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)]. iv)𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es el transporte paralelo de la conexión Abeliana a lo largo de la curva geodésica 𝐶𝐶 del punto y 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑒𝑒− ∫ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑐𝑐(𝑦𝑦,𝑥𝑥) . Los primeros coeficientes diagonales del Heat Kernel 𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑥𝑥,𝑦𝑦) son 𝑎𝑎0(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 (4.57 a) 𝑎𝑎1(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 1

6 𝑅𝑅 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥) (4.57 b) 𝑎𝑎2(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 1

180 (𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖) + 12 𝑃𝑃2 + 1

12 𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 +12 Δ𝑄𝑄 + 1

30 Δ𝑅𝑅 (4.57 c) los coeficientes llegan a ser exponencialmente más complicados conforme se incrementa con 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 el tensor 3 Antes llamamos la función cut-off . If : 𝑅𝑅 + [0,1] es una función suave tal que (𝑠𝑠) = 1 if 𝑠𝑠 < 2/4 and (𝑠𝑠) = 0 if 𝑠𝑠 > 2/4.


𝑝𝑝𝑁𝑁(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) =∅(𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)2) √𝑔𝑔(𝑦𝑦)

(4𝜋𝜋𝜋𝜋)𝑛𝑛2

√Δ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑃𝑃(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑒𝑒−𝜎𝜎(𝑥𝑥,𝑦𝑦)2𝜏𝜏 ∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑁𝑁𝑛𝑛=0 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝜏𝜏𝑛𝑛

(4.56) esto es asintóticamente a 𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥|𝑦𝑦) donde i)∅ es una función cut-off 3. ii) 𝜎𝜎(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es una función mundo Synge igual a un medio del cuadrado de la distancia geodésica 𝑑𝑑(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) entre 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 para una determinada métrica. 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) Δ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) determinante Van Vleck-Morette Δ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =𝑔𝑔(𝑥𝑥)−1

2 det (− 𝜕𝜕2𝜎𝜎(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦 ) 𝑔𝑔(𝑦𝑦)−1

2 con 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑[𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑥𝑥)]. iv)𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es el transporte paralelo de la conexión Abeliana a lo largo de la curva geodésica 𝐶𝐶 del punto y 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑒𝑒− ∫ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑐𝑐(𝑦𝑦,𝑥𝑥) . Los primeros coeficientes diagonales del Heat Kernel 𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑥𝑥,𝑦𝑦) son 𝑎𝑎0(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 (4.57 a) 𝑎𝑎1(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 1

6 𝑅𝑅 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥) (4.57 b) 𝑎𝑎2(𝑥𝑥, 𝑥𝑥) = 1

180 (𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖) + 12 𝑃𝑃2 + 1

12 𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 +12 Δ𝑄𝑄 + 1

30 Δ𝑅𝑅 (4.57 c) los coeficientes llegan a ser exponencialmente más complicados conforme se incrementa con 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 el tensor 3 Antes llamamos la función cut-off . If : 𝑅𝑅 + [0,1] es una función suave tal que (𝑠𝑠) = 1 if 𝑠𝑠 < 2/4 and (𝑠𝑠) = 0 if 𝑠𝑠 > 2/4.

de Riemann 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖 el tensor de Ricci, el escalar de curvatura 𝑅𝑅 y la conexión Abeliana asociada a la curvatura 𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 . 4.7 Volatilidad estocástica y geometría de curvas complejas El modelo de la volatilidad local puede ser calibrado con la volatilidad inicial vía la fórmula de Dupire (1994). Sin embargo, no es muy realista porque el proceso no es homogéneo en el tiempo y por lo tanto la dinámica no es invariante ante las traslaciones. El modelo de volatilidad estocástica está definido por un conjunto de dos ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE): una para la tasa forward 𝑓𝑓𝑡𝑡 y otro para la volatilidad instantánea estocástica at esto no es directamente observable en el mercado (es decir, el modelo de mercado es incompleto). Se define el modelo de volatilidad estocástica en una medida forward 𝑃𝑃𝑡𝑡 por el proceso 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡𝐶𝐶(𝑓𝑓𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡 (4.58) 𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝑏𝑏(𝑎𝑎𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜎𝜎(𝑎𝑎𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑍𝑍𝑡𝑡 (4.58 a) 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡𝑑𝑑𝑍𝑍𝑡𝑡=𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑 (4.58 b) Con 𝑍𝑍𝑡𝑡 y 𝑊𝑊𝑡𝑡 son dos movimientos brownianos correlacionados con valores iniciales 𝑓𝑓𝑡𝑡=0 = 𝑓𝑓0 y 𝑎𝑎𝑡𝑡=0 =𝛼𝛼, donde es conocida como la volatilidad de la volatilidad 𝑊𝑊𝑡𝑡 puede ser descompuesto sobre la base del movimiento browniano no correlacionado

110 Phynance

𝑊𝑊𝑡𝑡 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑡𝑡 + √1 − 𝜌𝜌2𝜌𝜌𝑍𝑍⊥ (4.58 c) 𝑎𝑎𝑡𝑡 no es martingale y tenemos un término de tendencia 𝑏𝑏(𝑎𝑎), asumimos que 𝑏𝑏(. ) and (. ) son solo funciones de la volatilidad 𝑎𝑎𝑡𝑡. Se asume 𝑏𝑏(. ) y (. ) dependiente de la tasa forward 𝑓𝑓𝑡𝑡 , de acuerdo con el resultado que afirma que 𝑓𝑓𝑡𝑡 es una martingale si y solo si el proceso de volatilidad instantánea (log-normal) 𝜉𝜉𝑡𝑡 = 𝐶𝐶(𝑓𝑓𝑡𝑡)

𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑡𝑡 no explota bajo la medida 𝑃𝑃𝑓𝑓 asociada a la tasa forward como numeraria, bajo 𝑃𝑃𝑓𝑓 (numeraria asociada a la forward) tenemos

(4.59) En particular para el caso SABR, se tiene 𝜉𝜉𝑡𝑡 = 𝑓𝑓𝑡𝑡

𝛽𝛽−1𝑎𝑎𝑡𝑡 , 𝐶𝐶(𝑓𝑓) = 𝑓𝑓𝑡𝑡𝛽𝛽, 𝑏𝑏(𝑎𝑎𝑡𝑡) = 0, 𝜎𝜎(𝑎𝑎𝑡𝑡) = 𝜐𝜐𝑎𝑎𝑡𝑡

entonces

(4.60) y para el caso SABR log-normal el proceso está definido por: 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑓𝑓𝑡𝑡𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡 (4.61) 𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝜈𝜈𝜎𝜎(𝑎𝑎𝑡𝑡)𝑑𝑑𝜌𝜌𝑡𝑡 (4.61 a) 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡𝑑𝑑𝜌𝜌𝑡𝑡=𝜌𝜌𝑑𝑑𝑍𝑍 (4.61 b)


𝑊𝑊𝑡𝑡 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑡𝑡 + √1 − 𝜌𝜌2𝜌𝜌𝑍𝑍⊥ (4.58 c) 𝑎𝑎𝑡𝑡 no es martingale y tenemos un término de tendencia 𝑏𝑏(𝑎𝑎), asumimos que 𝑏𝑏(. ) and (. ) son solo funciones de la volatilidad 𝑎𝑎𝑡𝑡. Se asume 𝑏𝑏(. ) y (. ) dependiente de la tasa forward 𝑓𝑓𝑡𝑡 , de acuerdo con el resultado que afirma que 𝑓𝑓𝑡𝑡 es una martingale si y solo si el proceso de volatilidad instantánea (log-normal) 𝜉𝜉𝑡𝑡 = 𝐶𝐶(𝑓𝑓𝑡𝑡)

𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑡𝑡 no explota bajo la medida 𝑃𝑃𝑓𝑓 asociada a la tasa forward como numeraria, bajo 𝑃𝑃𝑓𝑓 (numeraria asociada a la forward) tenemos

(4.59) En particular para el caso SABR, se tiene 𝜉𝜉𝑡𝑡 = 𝑓𝑓𝑡𝑡

𝛽𝛽−1𝑎𝑎𝑡𝑡 , 𝐶𝐶(𝑓𝑓) = 𝑓𝑓𝑡𝑡𝛽𝛽, 𝑏𝑏(𝑎𝑎𝑡𝑡) = 0, 𝜎𝜎(𝑎𝑎𝑡𝑡) = 𝜐𝜐𝑎𝑎𝑡𝑡

entonces

(4.60) y para el caso SABR log-normal el proceso está definido por: 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑓𝑓𝑡𝑡𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡 (4.61) 𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝜈𝜈𝜎𝜎(𝑎𝑎𝑡𝑡)𝑑𝑑𝜌𝜌𝑡𝑡 (4.61 a) 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡𝑑𝑑𝜌𝜌𝑡𝑡=𝜌𝜌𝑑𝑑𝑍𝑍 (4.61 b)

De la ecuación (4.57 a) 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑎𝑎𝑡𝑡

2𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜌𝜌𝑎𝑎𝑡𝑡𝑑𝑑𝑍𝑍𝑡𝑡𝑓𝑓 (4.62)

Usando 𝜉𝜉𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡 se sigue 𝑃𝑃𝑓𝑓 , por lo tanto tenemos 𝑙𝑙𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑎𝑎) = − 1

𝜈𝜈2 (𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑐𝑐 − 𝑎𝑎

𝑐𝑐 + 1) (4.63 a) 𝑙𝑙𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑎𝑎) = 1

𝜈𝜈2 ∫ 𝑒𝑒−𝜈𝜈𝑑𝑑𝜌𝜌 ∫ 𝑢𝑢−2𝑒𝑒𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢𝜈𝜈𝜌𝜌𝜌𝜌

𝜌𝜌𝑎𝑎 𝜌𝜌𝜌𝜌 (4.63 b)

El modelo lognormal define una martingala si y solo si 𝜌𝜌 < 0 y satisaface cuando la volatilidad implícita del mercado (𝜌𝜌 < 0 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑑𝑑 𝜌𝜌 > 0) (skew negativo). Sobre una superficie de Riemann se puede mostrar que una métrica puede ser siempre localizada en las vecindades del punto (también llamadas coordenadas isotérmicas) 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒∅(𝑥𝑥)𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1,2 (4.64) dos métricas sobre la superficie de Riemann, 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖 y ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖 (en coordenadas locales), son llamadas conformalmente equivalentes si hay una función globalmente suave tal que 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒∅(𝑥𝑥)ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑥𝑥) (4.65) Se entiende por uniformización que cada métrica en una superficie de Riemann conectada conformalmente equivalente a la métrica del escalar de curvatura 𝑅𝑅, es

112 Phynance

decir, todas las superficies caen en alguno de los tres tipos

1. 𝑅𝑅 = +1: esfera de Riemann 𝑆𝑆2 2. 𝑅𝑅 = 0 : plano Complejo 𝐶𝐶 3. 𝑅𝑅 = −1: Medio plano superior 𝐻𝐻2 de una

superficie hiperbólica de Poincaré La métrica asociada a los modelos de volatilidad estocástica con las definiciones de las ecuaciones 4.58 y 4.58(a, b) 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖 = 2

𝑎𝑎2(1−𝜌𝜌2) ( 𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝐶𝐶(𝑑𝑑)2 − 2𝜌𝜌 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝐶𝐶(𝑑𝑑)𝜎𝜎(𝑎𝑎) +

𝑎𝑎2𝑑𝑑𝑎𝑎2

𝜎𝜎(𝑎𝑎)2 ) = 2𝑎𝑎2(1−𝜌𝜌2) (𝑑𝑑𝑑𝑑2 − 2𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌 + 𝜌𝜌2) (4.66)

cambiando de variables, en las nuevas coordenadas se tiene 𝑑𝑑(𝑓𝑓) = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐶𝐶(𝑑𝑑´)𝑑𝑑

𝑑𝑑0 (4.67 a) 𝜌𝜌(𝑎𝑎) = ∫ 𝑢𝑢

𝜎𝜎(𝑢𝑢) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (4.67 b) la métrica en coordenadas isotérmicas (𝑑𝑑, 𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑒𝑒𝜙𝜙(𝑦𝑦)(𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦2) (4.68) con variables 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑓𝑓) (4.69 a) 𝑦𝑦 = (1 − 𝜌𝜌2)

12𝜌𝜌(𝑎𝑎) (4.69 b)

con el factor conformal 𝐹𝐹(𝑦𝑦) ≡ 𝑒𝑒𝜙𝜙(𝑦𝑦) 2

𝑎𝑎(𝑦𝑦)2(1−𝜌𝜌2)


decir, todas las superficies caen en alguno de los tres tipos

1. 𝑅𝑅 = +1: esfera de Riemann 𝑆𝑆2 2. 𝑅𝑅 = 0 : plano Complejo 𝐶𝐶 3. 𝑅𝑅 = −1: Medio plano superior 𝐻𝐻2 de una

superficie hiperbólica de Poincaré La métrica asociada a los modelos de volatilidad estocástica con las definiciones de las ecuaciones 4.58 y 4.58(a, b) 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖 = 2

𝑎𝑎2(1−𝜌𝜌2) ( 𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝐶𝐶(𝑑𝑑)2 − 2𝜌𝜌 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝐶𝐶(𝑑𝑑)𝜎𝜎(𝑎𝑎) +

𝑎𝑎2𝑑𝑑𝑎𝑎2

𝜎𝜎(𝑎𝑎)2 ) = 2𝑎𝑎2(1−𝜌𝜌2) (𝑑𝑑𝑑𝑑2 − 2𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜌𝜌 + 𝜌𝜌2) (4.66)

cambiando de variables, en las nuevas coordenadas se tiene 𝑑𝑑(𝑓𝑓) = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐶𝐶(𝑑𝑑´)𝑑𝑑

𝑑𝑑0 (4.67 a) 𝜌𝜌(𝑎𝑎) = ∫ 𝑢𝑢

𝜎𝜎(𝑢𝑢) 𝑑𝑑𝑑𝑑 (4.67 b) la métrica en coordenadas isotérmicas (𝑑𝑑, 𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 𝑒𝑒𝜙𝜙(𝑦𝑦)(𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦2) (4.68) con variables 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝑓𝑓) (4.69 a) 𝑦𝑦 = (1 − 𝜌𝜌2)

12𝜌𝜌(𝑎𝑎) (4.69 b)

con el factor conformal 𝐹𝐹(𝑦𝑦) ≡ 𝑒𝑒𝜙𝜙(𝑦𝑦) 2

𝑎𝑎(𝑦𝑦)2(1−𝜌𝜌2)

y la distancia geodésica d entre dos puntos (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) 𝑑𝑑 = ∫ 𝐹𝐹(𝑦𝑦´)𝑑𝑑𝑦𝑦

√𝐹𝐹(𝑦𝑦´)−𝐶𝐶2𝑦𝑦2

𝑦𝑦1 (4.70) con la constante determinada por la ecuación 𝐶𝐶 =𝐶𝐶(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1, 𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = ∫ 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑦𝑦

√𝐹𝐹(𝑦𝑦´)−𝐶𝐶2𝑦𝑦2

𝑦𝑦1 (4.71) Con el tensor de Ricci y el escalar de curvatura ecs. 4.24 y 4.25 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜎𝜎(𝑎𝑎)

(1−𝜌𝜌2)𝑎𝑎3 (𝜎𝜎´(𝑎𝑎)𝜎𝜎(𝑎𝑎) − 2

𝑎𝑎) 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 (4.72)

𝑅𝑅 = 𝜎𝜎(𝑎𝑎)2

𝑎𝑎2 (𝜎𝜎´(𝑎𝑎)𝜎𝜎(𝑎𝑎) − 2

𝑎𝑎) (4.73) En particular para la volatilidad de la volatilidad 𝜎𝜎(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1

(1−𝜌𝜌2) 𝑎𝑎2𝜌𝜌−4(𝜌𝜌 − 2)𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 (4.74) 𝑅𝑅 = 𝑎𝑎2𝜌𝜌−2(𝜌𝜌 − 2) (4.75) Y de otro factor conformal

𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 2(1−𝜌𝜌2)𝑝𝑝−12−𝑝𝑝𝑦𝑦

2𝑝𝑝−2

(2−𝑝𝑝)2

2−𝑝𝑝, 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑝𝑝 ≠ 2 (4.76 a)

𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 2(1−𝑝𝑝2) 𝑒𝑒

−2𝑦𝑦

√1−𝜌𝜌2, 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑝𝑝 = 2 (4.76 b) Considérese algunos ejemplos de la tabla 4.1 de métricas con su factor conformal y su curvatura asociada

114 Phynance

Tabla 4.1 Métricas de Curvaturas

Nombre

Escalar de Curvatura

Factor Conformal

Geométrico 𝑅𝑅 = −1 𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦−2 Modelo3/2 𝑅𝑅 = 0

𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑒𝑒−2𝑦𝑦

√1−𝜌𝜌2 SABR 𝑅𝑅 = −1 𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦−2 Heston 𝑅𝑅 < 0 𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦−1

Fuente: Elaboración propia. Para el factor conformal SABR y usando la ecuación 4.68 𝑑𝑑𝑆𝑆2 = 2

𝑎𝑎2(1−𝜌𝜌2) (𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑑𝑑𝑡𝑡2𝛽𝛽 − 2𝜌𝜌 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑡𝑡𝛽𝛽𝜈𝜈𝑎𝑎𝑡𝑡

+ 𝑎𝑎2𝑑𝑑𝑎𝑎2𝜈𝜈2𝑎𝑎𝑡𝑡2

) (4.77) con un cambio de variable a las nuevas coordenadas 𝑞𝑞(𝑓𝑓) = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑´

𝑑𝑑𝑡𝑡𝛽𝛽

𝑑𝑑𝑑𝑑0 (4.78 a)

𝜉𝜉(𝑎𝑎) = ∫ 𝑢𝑢𝜐𝜐𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 (4.78 b)

La métrica llego a ser en coordenadas (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) (coordenadas isotérmicas) 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝑒𝑒𝜙𝜙(𝑦𝑦)(𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦2) (4.79) con variables 𝑥𝑥 = 𝑞𝑞(𝑓𝑓) − 𝜌𝜌𝜉𝜉(𝑎𝑎) (4.80) 𝑦𝑦 = (1 − 𝜌𝜌2)

12𝜉𝜉(𝑎𝑎) (4.81)

La distancia geodésica d entre dos puntos (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)


Tabla 4.1 Métricas de Curvaturas

Nombre

Escalar de Curvatura

Factor Conformal

Geométrico 𝑅𝑅 = −1 𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦−2 Modelo3/2 𝑅𝑅 = 0

𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑒𝑒−2𝑦𝑦

√1−𝜌𝜌2 SABR 𝑅𝑅 = −1 𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦−2 Heston 𝑅𝑅 < 0 𝐹𝐹(𝑦𝑦) = 𝑦𝑦−1

Fuente: Elaboración propia. Para el factor conformal SABR y usando la ecuación 4.68 𝑑𝑑𝑆𝑆2 = 2

𝑎𝑎2(1−𝜌𝜌2) (𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑑𝑑𝑡𝑡2𝛽𝛽 − 2𝜌𝜌 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑡𝑡𝛽𝛽𝜈𝜈𝑎𝑎𝑡𝑡

+ 𝑎𝑎2𝑑𝑑𝑎𝑎2𝜈𝜈2𝑎𝑎𝑡𝑡2

) (4.77) con un cambio de variable a las nuevas coordenadas 𝑞𝑞(𝑓𝑓) = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑´

𝑑𝑑𝑡𝑡𝛽𝛽

𝑑𝑑𝑑𝑑0 (4.78 a)

𝜉𝜉(𝑎𝑎) = ∫ 𝑢𝑢𝜐𝜐𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 (4.78 b)

La métrica llego a ser en coordenadas (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) (coordenadas isotérmicas) 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝑒𝑒𝜙𝜙(𝑦𝑦)(𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 𝑑𝑑𝑦𝑦2) (4.79) con variables 𝑥𝑥 = 𝑞𝑞(𝑓𝑓) − 𝜌𝜌𝜉𝜉(𝑎𝑎) (4.80) 𝑦𝑦 = (1 − 𝜌𝜌2)

12𝜉𝜉(𝑎𝑎) (4.81)

La distancia geodésica d entre dos puntos (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)

𝑑𝑑 = ∫ 𝑦𝑦´−2𝑑𝑑𝑦𝑦√𝑦𝑦´−2−𝐶𝐶2

𝑦𝑦2𝑦𝑦1 (4.82)

con la constante C determinada por la ecuación 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = ∫ 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑦𝑦

√𝑦𝑦´−2−𝐶𝐶2𝑦𝑦2𝑦𝑦1 (4.83)

Calculando el Tensor de Ricci y el escalar de Curvatura ecs.4.25 y 4.26 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖 = −𝑦𝑦2𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 = − 𝜈𝜈2

𝑎𝑎2(1−𝜌𝜌2) 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 (4.84) 𝑅𝑅 = −2𝑦𝑦−2 = −𝜈𝜈2 (4.85) En particular para la volatilidad de la volatilidad 𝜎𝜎(𝑎𝑎) = 𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑖𝑖 =

1(1−𝜌𝜌2) 𝑎𝑎

2𝑝𝑝−4(𝑝𝑝 − 2)𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 (4.86) 𝑅𝑅 = 𝑎𝑎2𝑝𝑝−2(𝑝𝑝 − 2) (4.87) Recuérdese que la tasa forward sigue un proceso libre de tendencia (con la medida forward 𝑃𝑃𝑇𝑇) 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑡𝑡 = 𝑓𝑓𝑡𝑡𝜎𝜎𝑡𝑡𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡 (4.88) Y el modelo puede ser visto como un SVM, y asumimos 𝜎𝜎𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡

𝐶𝐶(𝑓𝑓𝑡𝑡)𝑓𝑓𝑡𝑡

, aplicando la formula Itó- Tanaka sobre el payoff 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥(𝑓𝑓𝑡𝑡 − 𝐾𝐾, 0), se obtiene 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥(𝑓𝑓𝑡𝑡 − 𝐾𝐾, 0) = 1(𝑓𝑓𝑡𝑡 − 𝐾𝐾)𝑓𝑓𝑡𝑡𝜎𝜎𝑡𝑡𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡 +

12 𝑓𝑓𝑡𝑡

2𝜎𝜎𝑡𝑡2𝛿𝛿(𝑓𝑓𝑡𝑡 −𝐾𝐾)𝑑𝑑𝑑𝑑 (4.89) Tomando el operador de valor medio Ε𝑃𝑃𝑇𝑇[. |ℱ0] y considerando la volatilidad local de Dupire se tiene

116 Phynance

𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 = 𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2𝛿𝛿(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)|ℱ0]

𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝛿𝛿(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)|ℱ0]= 𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2|𝛿𝛿 = 𝐾𝐾|ℱ0] (4.90)

Considerando la función de Dirac significa que con 1(. ) se tiene la función Heaviside 𝔼𝔼𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2|𝑓𝑓𝑡𝑡 = 𝐾𝐾) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝜀𝜀→0+

𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡21(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)∈(−𝜖𝜖,𝜖𝜖)]𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[1(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)∈(−𝜖𝜖,𝜖𝜖)]

=𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2|𝛿𝛿 = 𝐾𝐾|ℱ0] (4.91) Por definición de valor medio y asumiendo un proceso de Ito 𝜎𝜎(𝑡𝑡, 𝐾𝐾)𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 = ∫ 𝜎𝜎(𝑡𝑡,𝐾𝐾,𝑎𝑎)2 𝑝𝑝(𝑡𝑡,𝐾𝐾,𝑎𝑎|𝑓𝑓0,𝛼𝛼)𝑑𝑑𝑎𝑎

∞0

∫ 𝑝𝑝(𝑡𝑡,𝐾𝐾,𝑎𝑎|∞0 𝑓𝑓0,𝛼𝛼)𝑑𝑑𝑎𝑎

(4.92)

donde 𝑝𝑝(𝑡𝑡, 𝐾𝐾, 𝑎𝑎|𝑓𝑓0,) si se asume que 𝜎𝜎𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡𝐶𝐶(𝑡𝑡,𝑓𝑓𝑡𝑡)𝑓𝑓𝑡𝑡 con

𝑎𝑎𝑡𝑡 un Proceso de Ito y 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑓𝑓𝑡𝑡) una función dependiendo de la tasa forward y del tiempo, la volatilidad implícita es empatada si 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑓𝑓𝑡𝑡) satisface Automáticamente se puede calibrar 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝐾𝐾)2 = 𝐾𝐾2𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 (𝑡𝑡,𝐾𝐾)

𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝑎𝑎𝑡𝑡2|𝑓𝑓𝑡𝑡=𝐾𝐾] (4.93)

Utilizando la relación entre LVM y SVM se obtiene una volatilidad implícita asintótica para un SVM general. La función asintótica de la volatilidad implícita a primer orden para cualquier instante de tiempo homogéneo SVM, dependiendo implícitamente de la métrica y la conexión sobre la superficie de Riemann está dada por4 4 En el apéndice I se revisa con más detalle 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵.


𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 = 𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2𝛿𝛿(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)|ℱ0]

𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝛿𝛿(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)|ℱ0]= 𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2|𝛿𝛿 = 𝐾𝐾|ℱ0] (4.90)

Considerando la función de Dirac significa que con 1(. ) se tiene la función Heaviside 𝔼𝔼𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2|𝑓𝑓𝑡𝑡 = 𝐾𝐾) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝜀𝜀→0+

𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡21(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)∈(−𝜖𝜖,𝜖𝜖)]𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[1(𝑓𝑓𝑡𝑡−𝐾𝐾)∈(−𝜖𝜖,𝜖𝜖)]

=𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝜎𝜎𝑡𝑡2|𝛿𝛿 = 𝐾𝐾|ℱ0] (4.91) Por definición de valor medio y asumiendo un proceso de Ito 𝜎𝜎(𝑡𝑡, 𝐾𝐾)𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 = ∫ 𝜎𝜎(𝑡𝑡,𝐾𝐾,𝑎𝑎)2 𝑝𝑝(𝑡𝑡,𝐾𝐾,𝑎𝑎|𝑓𝑓0,𝛼𝛼)𝑑𝑑𝑎𝑎

∞0

∫ 𝑝𝑝(𝑡𝑡,𝐾𝐾,𝑎𝑎|∞0 𝑓𝑓0,𝛼𝛼)𝑑𝑑𝑎𝑎

(4.92)

donde 𝑝𝑝(𝑡𝑡, 𝐾𝐾, 𝑎𝑎|𝑓𝑓0,) si se asume que 𝜎𝜎𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡𝐶𝐶(𝑡𝑡,𝑓𝑓𝑡𝑡)𝑓𝑓𝑡𝑡 con

𝑎𝑎𝑡𝑡 un Proceso de Ito y 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑓𝑓𝑡𝑡) una función dependiendo de la tasa forward y del tiempo, la volatilidad implícita es empatada si 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑓𝑓𝑡𝑡) satisface Automáticamente se puede calibrar 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝐾𝐾)2 = 𝐾𝐾2𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙2 (𝑡𝑡,𝐾𝐾)

𝔼𝔼𝑃𝑃𝑃𝑃[𝑎𝑎𝑡𝑡2|𝑓𝑓𝑡𝑡=𝐾𝐾] (4.93)

Utilizando la relación entre LVM y SVM se obtiene una volatilidad implícita asintótica para un SVM general. La función asintótica de la volatilidad implícita a primer orden para cualquier instante de tiempo homogéneo SVM, dependiendo implícitamente de la métrica y la conexión sobre la superficie de Riemann está dada por4 4 En el apéndice I se revisa con más detalle 𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵.

(4.94) donde i) 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑓𝑓0+𝐾𝐾

2 , ii)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚es la volatilidad a que minimiza la distancia geodésica a la superficie de Riemann, iii) g determinante de la métrica, iv) 𝑃𝑃 transporte paralelo de norma, v) ´ derivada de acuerdo 𝑎𝑎, vi) Δ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) determinate Van Vleck-Morett, vii) 𝑔𝑔 es el determinante de la métrica, vii)𝑃𝑃 es el transporte de norma paralelo. 4.8 Modelo λ-SABR y geometría hiperbólica El modelo λ-SABR es definido por un proceso de reversión a la media, recordemos que la volatilidad 𝑎𝑎𝑡𝑡 no es un activo comerciable, nuevamente se sigue el desarrollo Henry-Labordere (2009) 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑡𝑡𝐶𝐶(𝑓𝑓𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑊𝑊𝑡𝑡 (4.95) 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑡𝑡 = 𝜆𝜆(𝑎𝑎𝑡𝑡 − ��𝜆)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜈𝜈𝑎𝑎𝑡𝑡𝑑𝑑𝑍𝑍𝑡𝑡 (4.96) 𝐶𝐶(𝑓𝑓) = 𝑓𝑓𝛽𝛽, 𝑎𝑎0 = 𝛼𝛼, 𝑓𝑓𝑡𝑡=0 = 𝑓𝑓0 (4.97) donde 𝑊𝑊𝑡𝑡 y 𝑍𝑍𝑡𝑡 son dos procesos brownianos que depende de los parámetros , ,, , and . Para =0 el modelo -SABR degenera en el modelo SABR, el más interesante para nosotros. La volatilidad implícita asintótica con precio strike 𝑓𝑓, vencimiento en 𝑇𝑇 y tasa forward 𝑓𝑓0 el modelo estocástico λ-SABR

118 Phynance

𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑓𝑓, 𝑇𝑇) =𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓

𝑓𝑓0𝑣𝑣𝑣𝑣𝑙𝑙(𝑓𝑓) (1 + 𝜎𝜎1(𝑓𝑓+𝑓𝑓0

2 )𝑇𝑇) (4.98) con 𝜎𝜎1(𝑓𝑓) = (𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓))2

24 ( 1𝑓𝑓2 + 2𝜕𝜕𝑓𝑓𝑓𝑓(𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓))

𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓) −

(𝜕𝜕𝑓𝑓(𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓))𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓) )

2) + 𝛼𝛼𝜈𝜈2 ln(𝑝𝑝)´(𝑓𝑓)(1−𝜌𝜌2)sinh (𝑑𝑑(𝑓𝑓))

2𝑑𝑑(𝑓𝑓) (4.99 a) con 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑓𝑓) = 1

𝜈𝜈 𝑣𝑣𝑙𝑙 (𝑞𝑞𝜈𝜈+𝛼𝛼𝜌𝜌+√𝛼𝛼2+𝑞𝑞2𝜈𝜈2+2𝑞𝑞𝛼𝛼𝜈𝜈𝜌𝜌𝛼𝛼(1+𝜌𝜌) ) (4.99 b)

(𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙(𝑓𝑓) = √𝛼𝛼2 + 𝑞𝑞2𝜈𝜈2 + 2𝑞𝑞𝛼𝛼𝜈𝜈𝑞𝑞 (4.100 c) 𝑑𝑑(𝑓𝑓) = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐ℎ−1 (−𝑞𝑞𝜈𝜈𝜌𝜌−𝛼𝛼𝜌𝜌2+𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓)

𝛼𝛼(1+𝜌𝜌2) ) (4.100 d)

𝑞𝑞 = 𝑓𝑓(1−𝛽𝛽)−𝑓𝑓0(1−𝛽𝛽)

(1−𝛽𝛽) (𝛽𝛽 ≠ 1); 𝑞𝑞 = 𝑣𝑣𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓0 (𝛽𝛽 = 1) (4.100 e)

Además, se tiene

(4.100 f) Con

(4.100 g) y con los términos 𝐺𝐺1(𝑥𝑥) = (𝑣𝑣𝑙𝑙 (𝑡𝑡𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑥𝑥

2))


𝜎𝜎𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑓𝑓, 𝑇𝑇) =𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑓𝑓

𝑓𝑓0𝑣𝑣𝑣𝑣𝑙𝑙(𝑓𝑓) (1 + 𝜎𝜎1(𝑓𝑓+𝑓𝑓0

2 )𝑇𝑇) (4.98) con 𝜎𝜎1(𝑓𝑓) = (𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓))2

24 ( 1𝑓𝑓2 + 2𝜕𝜕𝑓𝑓𝑓𝑓(𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓))

𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓) −

(𝜕𝜕𝑓𝑓(𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓))𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓) )

2) + 𝛼𝛼𝜈𝜈2 ln(𝑝𝑝)´(𝑓𝑓)(1−𝜌𝜌2)sinh (𝑑𝑑(𝑓𝑓))

2𝑑𝑑(𝑓𝑓) (4.99 a) con 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑓𝑓) = 1

𝜈𝜈 𝑣𝑣𝑙𝑙 (𝑞𝑞𝜈𝜈+𝛼𝛼𝜌𝜌+√𝛼𝛼2+𝑞𝑞2𝜈𝜈2+2𝑞𝑞𝛼𝛼𝜈𝜈𝜌𝜌𝛼𝛼(1+𝜌𝜌) ) (4.99 b)

(𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙(𝑓𝑓) = √𝛼𝛼2 + 𝑞𝑞2𝜈𝜈2 + 2𝑞𝑞𝛼𝛼𝜈𝜈𝑞𝑞 (4.100 c) 𝑑𝑑(𝑓𝑓) = 𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐ℎ−1 (−𝑞𝑞𝜈𝜈𝜌𝜌−𝛼𝛼𝜌𝜌2+𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑓𝑓)

𝛼𝛼(1+𝜌𝜌2) ) (4.100 d)

𝑞𝑞 = 𝑓𝑓(1−𝛽𝛽)−𝑓𝑓0(1−𝛽𝛽)

(1−𝛽𝛽) (𝛽𝛽 ≠ 1); 𝑞𝑞 = 𝑣𝑣𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑓𝑓0 (𝛽𝛽 = 1) (4.100 e)

Además, se tiene

(4.100 f) Con

(4.100 g) y con los términos 𝐺𝐺1(𝑥𝑥) = (𝑣𝑣𝑙𝑙 (𝑡𝑡𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑥𝑥

2))

𝐺𝐺0(𝑥𝑥, 𝑎𝑎) = 1 + 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥

𝐴𝐴0 = − 𝜆𝜆√1−𝜌𝜌2

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,𝐴𝐴0´ = 𝜆𝜆√1−𝜌𝜌2(𝛼𝛼𝜌𝜌+𝜈𝜈𝜌𝜌)

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2(𝜈𝜈𝜈𝜈+𝜌𝜌(𝛼𝛼−𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)) 𝐹𝐹0(𝑥𝑥, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = cos (𝑥𝑥)

𝑎𝑎 + cos(𝑥𝑥) + 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝐹𝐹1(𝑥𝑥, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐

(𝑎𝑎 + cos(𝑐𝑐) + 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑐𝑐))2 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑥𝑥

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐2 = − 𝛼𝛼√1−𝜌𝜌2

𝛼𝛼𝜌𝜌+𝜈𝜈𝜈𝜈 𝑐𝑐2´ = √1−𝜌𝜌2

𝜈𝜈𝜈𝜈+𝜌𝜌(𝛼𝛼−𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐1 = − √1 − 𝜌𝜌2

𝜌𝜌 , 𝑐𝑐2´ = 𝑐𝑐1´ 𝐴𝐴 = 𝑓𝑓1−𝛽𝛽𝜈𝜈

(1−𝛽𝛽)𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴´ = 𝑓𝑓𝜈𝜈(𝛼𝛼𝜌𝜌+𝜈𝜈𝜈𝜈)+𝑓𝑓𝛽𝛽(𝛽𝛽−1)

(𝛽𝛽−1)𝑓𝑓𝛽𝛽𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚2(𝜈𝜈𝜈𝜈+𝜌𝜌(𝛼𝛼−𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)) 𝐵𝐵 = 𝜌𝜌

√1 − 𝜌𝜌2

Para el smile asintótico de Hagan-al se puede aproximar 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 por la siguiente expresión 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≅ 𝛼𝛼 + 𝑞𝑞𝜌𝜌𝑞𝑞 sin (𝑑𝑑(𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚))

𝑑𝑑(𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) ≅ 1 La conexión para el modelo λ-SABR es

120 Phynance

𝒜𝒜 = 12(1−𝜌𝜌2) (

2𝜆𝜆��𝜆𝜌𝜌−2𝜆𝜆𝜌𝜌𝜆𝜆−𝜈𝜈𝜆𝜆2𝐶𝐶´(𝑓𝑓)𝜈𝜈𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝜆𝜆2 𝑑𝑑𝑑𝑑 +

−2𝜆𝜆��𝜆+2𝜆𝜆𝜆𝜆+𝜈𝜈𝜆𝜆2𝐶𝐶´(𝑓𝑓)𝜈𝜈2𝜆𝜆2 𝑑𝑑𝑑𝑑)

y la conexión y el transporte de norma paralelo es obtenido (con =0) 𝒜𝒜𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 1

2(1−𝜌𝜌2) (−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐶𝐶(𝑑𝑑)) +𝜌𝜌𝜈𝜈 𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑)

𝒫𝒫𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑒𝑒

12(1−𝜌𝜌2)(−𝑙𝑙𝑙𝑙

𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝐶𝐶(𝑓𝑓0)+∫

𝜌𝜌𝜈𝜈𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶𝐶𝐶𝜆𝜆)

en el caso de 𝐴𝐴𝑓𝑓 el resultado no depende de la curva de la geodésica sino de los puntos finales, finalmente es posible reproducir la fórmula original de Hagan

𝜎𝜎𝑆𝑆𝑆𝑆(𝐾𝐾, 𝑇𝑇) =𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐾𝐾

𝑓𝑓0𝑉𝑉𝑉𝑉𝑙𝑙(𝐾𝐾) (1 + 𝜎𝜎1(

𝐾𝐾+𝑓𝑓02 )𝑇𝑇) (4.101)

con 𝜎𝜎1(𝑑𝑑) =

(𝛼𝛼𝐶𝐶(𝑓𝑓))224 ( 1

𝑓𝑓2 +2𝜕𝜕𝑓𝑓𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝐶𝐶(𝑓𝑓) − (𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝐶𝐶(𝑓𝑓) )

2) + 𝛼𝛼𝜈𝜈𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝜌𝜌4 +

2−3𝜌𝜌224 𝜈𝜈2 (4.101 a)

4.9 Interpretación geométrica Al final de esta sección se mostrará que en un tipo de métrica anti-de Sitter las características de los agujeros negros asociados que son casos mucho más complejos que el caso de Schwarzchild. Retomando los últimos resultados de las ecuaciones (4.69 a y b) donde se propone un cambio de variable


𝒜𝒜 = 12(1−𝜌𝜌2) (

2𝜆𝜆��𝜆𝜌𝜌−2𝜆𝜆𝜌𝜌𝜆𝜆−𝜈𝜈𝜆𝜆2𝐶𝐶´(𝑓𝑓)𝜈𝜈𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝜆𝜆2 𝑑𝑑𝑑𝑑 +

−2𝜆𝜆��𝜆+2𝜆𝜆𝜆𝜆+𝜈𝜈𝜆𝜆2𝐶𝐶´(𝑓𝑓)𝜈𝜈2𝜆𝜆2 𝑑𝑑𝑑𝑑)

y la conexión y el transporte de norma paralelo es obtenido (con =0) 𝒜𝒜𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 1

2(1−𝜌𝜌2) (−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐶𝐶(𝑑𝑑)) +𝜌𝜌𝜈𝜈 𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑)

𝒫𝒫𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑒𝑒

12(1−𝜌𝜌2)(−𝑙𝑙𝑙𝑙

𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝐶𝐶(𝑓𝑓0)+∫

𝜌𝜌𝜈𝜈𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶𝐶𝐶𝜆𝜆)

en el caso de 𝐴𝐴𝑓𝑓 el resultado no depende de la curva de la geodésica sino de los puntos finales, finalmente es posible reproducir la fórmula original de Hagan

𝜎𝜎𝑆𝑆𝑆𝑆(𝐾𝐾, 𝑇𝑇) =𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐾𝐾

𝑓𝑓0𝑉𝑉𝑉𝑉𝑙𝑙(𝐾𝐾) (1 + 𝜎𝜎1(

𝐾𝐾+𝑓𝑓02 )𝑇𝑇) (4.101)

con 𝜎𝜎1(𝑑𝑑) =

(𝛼𝛼𝐶𝐶(𝑓𝑓))224 ( 1

𝑓𝑓2 +2𝜕𝜕𝑓𝑓𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝐶𝐶(𝑓𝑓) − (𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝐶𝐶(𝑓𝑓) )

2) + 𝛼𝛼𝜈𝜈𝜕𝜕𝑓𝑓𝐶𝐶(𝑓𝑓)𝜌𝜌4 +

2−3𝜌𝜌224 𝜈𝜈2 (4.101 a)

4.9 Interpretación geométrica Al final de esta sección se mostrará que en un tipo de métrica anti-de Sitter las características de los agujeros negros asociados que son casos mucho más complejos que el caso de Schwarzchild. Retomando los últimos resultados de las ecuaciones (4.69 a y b) donde se propone un cambio de variable

𝑥𝑥 = 𝜈𝜈𝜈𝜈 − 𝜌𝜌𝜌𝜌 (4.102 a) 𝑦𝑦 = (1 − 𝜌𝜌2)

12𝜌𝜌 (4.102 b)

que corresponde a la métrica estándar del semiplano de Poincaré o bien en la coordendas 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 2

𝜈𝜈2𝑑𝑑𝑑𝑑2+𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑑𝑑2 (4.103) o bien el elemento de línea o de distancia en términos de la variable compleja5. 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑��𝑑

ℑ(𝑑𝑑)2 (4.104) Por otra parte, existen al menos tres sistemas equivalentes de coordenadas del plano hiperbólico y que pueden hacerse mapeos entre uno y otro: El medio plano superior, del disco de Poincaré y el modelo de Minkowski. El mapeo entre el disco de Poincaré y la seudoesfera de Minkowski 𝔇𝔇 = {𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦 ∈ ℂ | |𝑧𝑧| ≤ 1} en donde, las variables espaciales definidas en términos de las variables complejas 𝑥𝑥0 = 1+|𝑑𝑑|2

1−|𝑑𝑑|2 (4.105 a) 𝑥𝑥1 = 2ℜ(𝑑𝑑)

1−|𝑑𝑑|2 (4.105 b) 𝑥𝑥2 = 2ℑ(𝑑𝑑)

1−|𝑑𝑑|2 (4.105 c) −𝑥𝑥0

2 + 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥3

2 = −1 (4.106)

5 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑦𝑦, donde 𝑥𝑥 es la parte real y 𝑦𝑦 la parte imaginaria .

122 Phynance

y bajo la métrica de Lorentz 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = −𝑑𝑑𝑑𝑑02 + 𝑑𝑑𝑑𝑑22 + 𝑑𝑑𝑑𝑑32 (4.107) en un esquema más general que correspondería con una variable más a un espacio anti-de Sitter 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = −𝑑𝑑𝑑𝑑02 − 𝑑𝑑𝑑𝑑12 + 𝑑𝑑𝑑𝑑22 + 𝑑𝑑𝑑𝑑32 (4.108) Un espacio anti- de Sitter es un espacio de máxima simetría, con curvatura negativa y en general n dimensiones. Para el caso, más simple, de dos dimensiones, el espacio de máxima simetría tiene tres posibilidades: 1)Una esfera con curvatura positiva insertada en un espacio euclidiano de 3 dimensiones, 2) el espacio hiperbólico con curvatura negativa, la cual no puede ser insertada en un espacio euclidiano tridimensional 3) Un plano hiperbólico que es infinitamente grande y el infinito es mapeado a la circunferencia de un disco de Poincaré, este disco es un mapa conformal lo cual significa que los ángulos son preservados y su suma es menor de 180º. El espacio de Lorentz es análogo al espacio hiperbólico, de la misma forma el plano hiperbólico tiene una dimensión temporal y varias espaciales. La solución de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica negativa. También es solución a las ecuaciones de Einstein con curvatura intrínseca constante y negativa. Algunas veces es útil pensar en términos de las coordenadas insertadas en el espacio y algunas veces en términos de las coordenadas intrinsecas (𝑡𝑡, , , ), entonces tenemos otra manera de expresar las variables


y bajo la métrica de Lorentz 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = −𝑑𝑑𝑑𝑑02 + 𝑑𝑑𝑑𝑑22 + 𝑑𝑑𝑑𝑑32 (4.107) en un esquema más general que correspondería con una variable más a un espacio anti-de Sitter 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = −𝑑𝑑𝑑𝑑02 − 𝑑𝑑𝑑𝑑12 + 𝑑𝑑𝑑𝑑22 + 𝑑𝑑𝑑𝑑32 (4.108) Un espacio anti- de Sitter es un espacio de máxima simetría, con curvatura negativa y en general n dimensiones. Para el caso, más simple, de dos dimensiones, el espacio de máxima simetría tiene tres posibilidades: 1)Una esfera con curvatura positiva insertada en un espacio euclidiano de 3 dimensiones, 2) el espacio hiperbólico con curvatura negativa, la cual no puede ser insertada en un espacio euclidiano tridimensional 3) Un plano hiperbólico que es infinitamente grande y el infinito es mapeado a la circunferencia de un disco de Poincaré, este disco es un mapa conformal lo cual significa que los ángulos son preservados y su suma es menor de 180º. El espacio de Lorentz es análogo al espacio hiperbólico, de la misma forma el plano hiperbólico tiene una dimensión temporal y varias espaciales. La solución de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica negativa. También es solución a las ecuaciones de Einstein con curvatura intrínseca constante y negativa. Algunas veces es útil pensar en términos de las coordenadas insertadas en el espacio y algunas veces en términos de las coordenadas intrinsecas (𝑡𝑡, , , ), entonces tenemos otra manera de expresar las variables

𝑥𝑥2 = 2𝜌𝜌1−𝜌𝜌2 sin 𝜃𝜃 cos 𝜙𝜙 (4.109 a)

𝑥𝑥3 = 2𝜌𝜌1−𝜌𝜌2 sin 𝜃𝜃 sin 𝜙𝜙 (4.109 b)

𝑥𝑥4 = 2𝜌𝜌1−𝜌𝜌2 cos 𝜃𝜃 (4.109 c)

𝑥𝑥0 = 1+𝜌𝜌2

1−𝜌𝜌2 cos 𝑡𝑡 (4.109 d)

𝑥𝑥1 = 1+𝜌𝜌2

1−𝜌𝜌2 sin 𝑡𝑡 (4.109 e) con 0 ≤ 𝜌𝜌 < 1, 0 ≤ 𝜙𝜙 < 2𝜋𝜋, 0 ≤ 𝜃𝜃 < 𝜋𝜋 𝑦𝑦 −𝜋𝜋 ≤ 𝑡𝑡 < 𝜋𝜋 En coordenadas intrínsecas cubriendo todo espacio tiempo y en términos de la métrica intrínseca d𝑠𝑠2 = − (1+𝜌𝜌2

1−𝜌𝜌2 )2

d𝑡𝑡2 + d𝑙𝑙2 (4.110) d𝑙𝑙2 = 4

(1−𝜌𝜌2)2 (d𝜌𝜌2 + 𝜌𝜌2d𝜃𝜃2 + 𝜌𝜌2sin2𝜃𝜃d𝜙𝜙2) (4.110 a) y recordando que un vector de Killing definido en un campo Riemanianno define un grupo de simetrías y en relatividad es importante porque permite definir leyes de conservación e invariantes en problemas físicos está definido por6: 𝐽𝐽𝑋𝑋2+𝑋𝑋0 = x ∂𝑋𝑋0 + x0 ∂𝑋𝑋2 (4.111) En la solución de agujero negro7 de (2 + 1) dimensiones en las coordenadas (t, , ) definidas en (4.109 a,b,c,d,e,) donde = /2 desde 𝑍𝑍 = 0 todos los puntos dentro del cilindro pertenecen al espacio anti-de Sitter, la 6 Recordemos que un vector de Killing definido sobre un campo de Riemann define una isometría y es importante porque permite definir leyes de conservación y otros invariantes para la resolución de problemas físicos. 7 Siempre nos referimos a agujero negro que esta libre de spin.

124 Phynance

superficie ( = 1) representa el infinito espacial y el espacio tiempo del agujero negro se encuentra entre las dos superficies y el cilindro bajo las cuales son identificadas una isometría generada por el vector de Killing. Esta isometría tiene puntos fijos en = /2, 𝑡𝑡 = /2, las superficies se fusionan y presentan singularidades. Una singularidad futura esta oculta por el horizonte de eventos se separan en 𝑡𝑡 = 0. Este horizonte es indicado por líneas punteadas en los cortes de tiempo constante. En la Grafica 4.1 se muestra dos superficies que pueden ser obtenidas moviendo la hipersuperficie vertical a lo largo del vector de campo de Killing. De acuerdo con Aminneborg Stefan, Bengtsson Ingemar, Holst Soren, Peldán Peter (1996), dicha región se encuentra acotada por otra superficie y es una solución regular de las ecuaciones de Einstein para un espacio anti de Sitter, y se observa que las dos superficies se fusionan cuando 𝑡𝑡 = /2 y ahí el espacio tiempo tiene una singularidad. Se tienen dos regiones asintóticas tanto en la dirección positiva como en la negativa. Continuando con Aminneborg Stefan, Bengtsson Ingemar, Holst Soren, Peldán Peter, (1996), si consideremos un rayo de luz que inicia en el origen en 𝑡𝑡 = 0 se observaría desde la que el rayo alcanzaría el infinito espacial en 𝑡𝑡 = /2 si observamos dentro del espacio tiempo de la región asintótica en la región Y positiva y con Y negativa puede verse un horizonte de eventos y por tanto un agujero negro. La localización del horizonte de eventos en tres diferentes zonas es mostrada por líneas punteadas en


superficie ( = 1) representa el infinito espacial y el espacio tiempo del agujero negro se encuentra entre las dos superficies y el cilindro bajo las cuales son identificadas una isometría generada por el vector de Killing. Esta isometría tiene puntos fijos en = /2, 𝑡𝑡 = /2, las superficies se fusionan y presentan singularidades. Una singularidad futura esta oculta por el horizonte de eventos se separan en 𝑡𝑡 = 0. Este horizonte es indicado por líneas punteadas en los cortes de tiempo constante. En la Grafica 4.1 se muestra dos superficies que pueden ser obtenidas moviendo la hipersuperficie vertical a lo largo del vector de campo de Killing. De acuerdo con Aminneborg Stefan, Bengtsson Ingemar, Holst Soren, Peldán Peter (1996), dicha región se encuentra acotada por otra superficie y es una solución regular de las ecuaciones de Einstein para un espacio anti de Sitter, y se observa que las dos superficies se fusionan cuando 𝑡𝑡 = /2 y ahí el espacio tiempo tiene una singularidad. Se tienen dos regiones asintóticas tanto en la dirección positiva como en la negativa. Continuando con Aminneborg Stefan, Bengtsson Ingemar, Holst Soren, Peldán Peter, (1996), si consideremos un rayo de luz que inicia en el origen en 𝑡𝑡 = 0 se observaría desde la que el rayo alcanzaría el infinito espacial en 𝑡𝑡 = /2 si observamos dentro del espacio tiempo de la región asintótica en la región Y positiva y con Y negativa puede verse un horizonte de eventos y por tanto un agujero negro. La localización del horizonte de eventos en tres diferentes zonas es mostrada por líneas punteadas en

cada uno de los cortes espaciales. Note que para estos cortes, excepto cuando 𝑡𝑡 = 0, va adquiriendo una torsión o doblez cuando hacemos la identificación, también en el horizonte de esos cortes parece tener una torsión. Sin embargo, esto es simplemente porque las rebanadas parecen no estar adaptadas al campo de killing, el horizonte de eventos en el espacio tiempo completo es efectivamente una superficie suave.

Grafica 4.1

Fuente: Elaboración propia. Basada en el artículo Aminneborg Stefan, Bengtsson Ingemar, Holst Soren, Peldán Peter, (1996).

En forma resumida se puede decir acerca de los parámetros y el comportamiento cualitativo del modelo:

i) Si se incrementa la volatilidad inicial, 0𝑇𝑇 se desplaza la curva smile hacia la parte superior.

ii) el exponente tiene tres efectos sobre la curva smile: a) la primera y más trascedente es un progresivo levantamiento de la curva smile conforme va de 1 a 0 b) La segunda es una

126 Phynance

disminución del nivel del smile conforme incrementa c) La tercera es la introducción de la curvatura al smile conforme va de 1 a 0.

iii) Si se mueve de 0 a −0.5 el smile se vuelve cada vez más negativa en su pendiente.

iv) El incremento de incrementa la curvatura del smile.

En el SABR se encuentra que el ajuste esta sobre determinado, es decir se puede obtener ajuste similares con diferentes parejas de {,}. 4.10 Aplicación del modelo SABR a la valuación de opciones en la estrategia de acumulación de reservas del Banco de México El modelo de volatilidad SABR puede aplicarse a la estrategia de opciones put del Banco de México para la acumulación de reservas que tiene como propósito la compra de la divisa dólar disminuyendo en lo posible su impacto en el mercado. El trabajo original sobre este tema fue desarrollado por Galan and Duclaud (1996) y en este trabajo considera en su valuación de la prima volatilidad constante. Esta sección está basada en Sierra [2013]. El Banco de México propuso en 1996 la posibilidad de comprar dólares en el mercado teniendo el cuidado de no enviar señales equivocadas al mismo mercado. A pesar que se considera recomendable tener una cantidad suficiente de reservas, se busca un esquema que favorezca la compra de dólares cuando el mercado


disminución del nivel del smile conforme incrementa c) La tercera es la introducción de la curvatura al smile conforme va de 1 a 0.

iii) Si se mueve de 0 a −0.5 el smile se vuelve cada vez más negativa en su pendiente.

iv) El incremento de incrementa la curvatura del smile.

En el SABR se encuentra que el ajuste esta sobre determinado, es decir se puede obtener ajuste similares con diferentes parejas de {,}. 4.10 Aplicación del modelo SABR a la valuación de opciones en la estrategia de acumulación de reservas del Banco de México El modelo de volatilidad SABR puede aplicarse a la estrategia de opciones put del Banco de México para la acumulación de reservas que tiene como propósito la compra de la divisa dólar disminuyendo en lo posible su impacto en el mercado. El trabajo original sobre este tema fue desarrollado por Galan and Duclaud (1996) y en este trabajo considera en su valuación de la prima volatilidad constante. Esta sección está basada en Sierra [2013]. El Banco de México propuso en 1996 la posibilidad de comprar dólares en el mercado teniendo el cuidado de no enviar señales equivocadas al mismo mercado. A pesar que se considera recomendable tener una cantidad suficiente de reservas, se busca un esquema que favorezca la compra de dólares cuando el mercado

este ofrecido y las inhiba en el caso contrario para afectar lo menos posible el régimen de libre flotación. En agosto de ese mismo año, el Banco de México emitió un comunicado a las instituciones financieras y de crédito de México en el que invita a mediante el pago de un prima a vender dólares al instituto central, se debe mencionar que estas opciones poseen características un tanto distintas de las opciones put plain vanilla y que se detallaran más adelante. La opción propuesta por el Banco puede considerarse como un portafolio de opciones con un día de vencimiento y que pueden ejercerse una sola vez. Sin embargo, hay un riesgo en acumular reservas de esta forma y es cuando el tipo de cambio muestra una tendencia de depreciación si de un día para otro ocurre una apreciación, resultaría óptimo para los tendedores de las opciones put ejercerlas en ese momento entonces el Banco acumularía reservas a través de la compra de divisas en el mercado y al final tendría un efecto de presiones devaluatorias. Para evitar este comportamiento se ha condicionado el ejercicio de la opción a que el tipo de cambio este por abajo de un cierto nivel, de tal forma, que la opción put solo puede ejercerse si el strike del tipo de cambio no se superior al promedio aritmético de los tipos de cambio fix de los 20 días hábiles previos Galán y Duclaud (1996) proponen una aproximación al valor de la opción Put para la venta de dólares por parte del Banco de México pero considerando la volatilidad histórica. La opción de neta de dólares puede ser vista como un portafolio de opciones put europeas “at the money”, con vencimiento a un día con el precio de

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ejercicio determinado por la encuesta de Banco de México del día previo, una vez que opción es ejercida las opciones restantes se pierden. Además se debe recordar que la opción del tipo de cambio solo puede ser ejercida cuando el strike es igual o menor que el promedio aritmético de la encuesta del promedio de los n días previos a la fecha de ejercicio. Para determinar el valor del portafolio de opciones put se deberá considerar los siguientes factores: 8

a) Valor del Put “at the money”. b) Probabilidad de cumplir la restricción del

promedio de los “n” días. c) Probabilidad de ejercer la opción en un día

particular. El valor de la opción de Banco de México “OC” que cumple los factores anteriores puede aproximarse por 𝑂𝑂𝐶𝐶 = ∑ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∗ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚)𝐵𝐵𝐵𝐵 ∗𝑛𝑛

𝑡𝑡=1𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑚𝑚𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑁𝑁ó𝑚𝑚) ∗ 𝑊𝑊(𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑃𝑃𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝑁𝑁𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑚𝑚 𝑃𝑃) (4.112) 𝑂𝑂𝐶𝐶 = ∑ 𝑑𝑑−𝑟𝑟(𝑇𝑇−1) ∗ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚)𝐵𝐵𝐵𝐵 ∗ 𝑁𝑁(𝑑𝑑1) ∗𝑛𝑛

𝑡𝑡=1𝑁𝑁(𝐶𝐶)(1 − 𝑁𝑁(𝐶𝐶))𝑡𝑡−1 (4.113) donde se suman cada una de las opciones en el portafolio y OC es producto de 1) un factor de descuento, 2) el valor de la opción put “at the money” con la fórmula de Black-Scholes modificada por Garman M. and Kohlhagen S. para divisas, 3) el término de la

8 Existe una estimación más reciente de un working paper utilizando una metodología distinta se puede revisar Werner and Milo (1998).


ejercicio determinado por la encuesta de Banco de México del día previo, una vez que opción es ejercida las opciones restantes se pierden. Además se debe recordar que la opción del tipo de cambio solo puede ser ejercida cuando el strike es igual o menor que el promedio aritmético de la encuesta del promedio de los n días previos a la fecha de ejercicio. Para determinar el valor del portafolio de opciones put se deberá considerar los siguientes factores: 8

a) Valor del Put “at the money”. b) Probabilidad de cumplir la restricción del

promedio de los “n” días. c) Probabilidad de ejercer la opción en un día

particular. El valor de la opción de Banco de México “OC” que cumple los factores anteriores puede aproximarse por 𝑂𝑂𝐶𝐶 = ∑ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∗ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚)𝐵𝐵𝐵𝐵 ∗𝑛𝑛

𝑡𝑡=1𝑃𝑃𝑃𝑃𝑚𝑚𝑃𝑃(𝑁𝑁𝑚𝑚𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑁𝑁ó𝑚𝑚) ∗ 𝑊𝑊(𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑃𝑃𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝑁𝑁𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑚𝑚 𝑃𝑃) (4.112) 𝑂𝑂𝐶𝐶 = ∑ 𝑑𝑑−𝑟𝑟(𝑇𝑇−1) ∗ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚)𝐵𝐵𝐵𝐵 ∗ 𝑁𝑁(𝑑𝑑1) ∗𝑛𝑛

𝑡𝑡=1𝑁𝑁(𝐶𝐶)(1 − 𝑁𝑁(𝐶𝐶))𝑡𝑡−1 (4.113) donde se suman cada una de las opciones en el portafolio y OC es producto de 1) un factor de descuento, 2) el valor de la opción put “at the money” con la fórmula de Black-Scholes modificada por Garman M. and Kohlhagen S. para divisas, 3) el término de la

8 Existe una estimación más reciente de un working paper utilizando una metodología distinta se puede revisar Werner and Milo (1998).

probabilidad de ejercer en un día determinado y por ultimo 4) la probabilidad de cumplir la restricción de la opción. Utilizando la formula deducida por Galán and Duclaud (1996) para la condición sobre el tipo de cambio 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑆𝑆𝑡𝑡 ≤ 𝑌𝑌𝑡𝑡) =

1√2𝜋𝜋 ∫ 𝑒𝑒−

𝑥𝑥22

𝑑𝑑1−∞ 𝑑𝑑2 = 𝑁𝑁(𝑑𝑑1) (4.114)

con 𝑑𝑑1 =

𝑌𝑌1∗+(𝑡𝑡−1𝑛𝑛 −1)𝑆𝑆0∗−

1𝑛𝑛∑ 𝑆𝑆−𝑛𝑛+𝑖𝑖∗𝑡𝑡−1

𝑖𝑖=1 +𝜇𝜇𝑡𝑡(𝑡𝑡−12𝑛𝑛 −1)𝜎𝜎𝑧𝑧(𝑡𝑡)

(4.115) Por otro lado 𝑊𝑊(𝑡𝑡) es la probabilidad de ejercer en un día t, una vez que se ha ejercido la opción se elimina las posibilidad de ejercer opciones subsecuentes. Se hace notar que existen incentivos de ejercer las opciones lo más rápido posible, es decir, una vez satisfecha la restricción mencionada y que utilidad rebase el valor de la prima de la opción, esta se ejercería. Nuevamente de los resultados de Galán and Duclaud (1996) tenemos 𝑊𝑊(𝑡𝑡) = (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑃𝑃𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑃𝑃 = 𝑡𝑡) = 𝑁𝑁(𝐶𝐶)(1 − 𝑁𝑁(𝑒𝑒))𝑡𝑡−1 (4.116) 𝑁𝑁(𝐶𝐶) = 1

√2𝜋𝜋 ∫ 𝑒𝑒−𝑥𝑥22

𝐶𝐶−∞ 𝑑𝑑2 = 𝑁𝑁(𝑑𝑑1) (4.117)

𝐶𝐶 = − (𝜇𝜇+𝑂𝑂𝑐𝑐)

𝜎𝜎𝜀𝜀 (4.118)

De las ecuaciones (4.112 y 4.113) se supone que todas las opciones son de tipo put “at the money” con vencimiento de un día con los mismos parámetros sobe el tipo de cambio. Estimamos la prima OC para el

130 Phynance

portafolio con esas ecuaciones utilizando la volatilidad de SABR del 26 de Agosto de 2011 con vencimiento al 18 de Junio del 2012 (tabla 4.2). La mejor calibración para los parámetros son: Table 4.2 Parámetros


Grafica 4.2 a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

12 12.5 13 13.5Strike Price

Opción de tipo de cambio OC de Banxico

Hist-Vol PriceSABR-Vol_Price

Precio Spot del T. Cambio (𝑆𝑆𝑡𝑡) 12.48 Precio Strike (𝐾𝐾) 13.5 Tasa de interés (𝑟𝑟) 0.0478 Tasa de interés extranjera (𝑟𝑟𝑓𝑓) 0.00038 Vencimiento (𝑇𝑇) 0.825 Tiempo Inicial (𝑡𝑡) 0 Tasa de descuento 0.96133 Volatilidad (sigma) 0.165


portafolio con esas ecuaciones utilizando la volatilidad de SABR del 26 de Agosto de 2011 con vencimiento al 18 de Junio del 2012 (tabla 4.2). La mejor calibración para los parámetros son: Table 4.2 Parámetros


Grafica 4.2 a)

0

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0.2

0.3

0.4




Precio Spot del T. Cambio (𝑆𝑆𝑡𝑡) 12.48 Precio Strike (𝐾𝐾) 13.5 Tasa de interés (𝑟𝑟) 0.0478 Tasa de interés extranjera (𝑟𝑟𝑓𝑓) 0.00038 Vencimiento (𝑇𝑇) 0.825 Tiempo Inicial (𝑡𝑡) 0 Tasa de descuento 0.96133 Volatilidad (sigma) 0.165

Grafica 4.2 b)

Grafica 4. 2 c)

0

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0.2

0.3

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00.05

0.10.15

0.20.25

0.30.35

0.4




132 Phynance

Grafica 4.2 d)


las graficas 4.2 (a, b,c, d)9 de la parte superior muestran la valuación de las opciones del banco de México OC (4.112 and 4.113) cuya estimación se realiza por métodos númericos y los resultados se muestran comparando la prima obtenida para la opción OC utilizando volatilidad constante (histórica) y la obtenida a partir de la volatilidad del modelo SABR. En todos los casos, se observa que el valor de la prima de la opción OC es menor con la volatilidad SABR que el valor la misma opción con la volatilidad histórica y esta diferencia se incrementa conforme se incrementa el precio de ejercicio. En otras palabras, con la volatilidad histórica se sobrevalua el valor de las primas OC y el efecto es más importante conforme aumenta el precio strike.

9 Vencimiento a) 19 septiembre 2011 b) 19 diciembre 2011 c) 16 marzo 2012 d) 18 junio 2012.

00.10.20.30.40.5





Grafica 4.2 d)


las graficas 4.2 (a, b,c, d)9 de la parte superior muestran la valuación de las opciones del banco de México OC (4.112 and 4.113) cuya estimación se realiza por métodos númericos y los resultados se muestran comparando la prima obtenida para la opción OC utilizando volatilidad constante (histórica) y la obtenida a partir de la volatilidad del modelo SABR. En todos los casos, se observa que el valor de la prima de la opción OC es menor con la volatilidad SABR que el valor la misma opción con la volatilidad histórica y esta diferencia se incrementa conforme se incrementa el precio de ejercicio. En otras palabras, con la volatilidad histórica se sobrevalua el valor de las primas OC y el efecto es más importante conforme aumenta el precio strike.

9 Vencimiento a) 19 septiembre 2011 b) 19 diciembre 2011 c) 16 marzo 2012 d) 18 junio 2012.

00.10.20.30.40.5




Grafica 4.3 a)

Grafica 4.3 b)

00.05

0.10.15

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0.3

24 115 203 297Vencimiento


Hist-Vol Price

SABR-Vol_Price

00.05

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134 Phynance

Grafica 4.3 c)

Grafica 4.3 d)

Fuente: Elaboración propia. En la figura 4.3 se tienen los precios de ejercicio a) 𝐾𝐾 =12, b) 𝐾𝐾 = 12.5, c) 𝐾𝐾 = 13, d) 𝐾𝐾 = 13.5. En todos los casos donde las opciones OC del Banco de México como función del vencimiento, el comportamiento es muy

0

0.1

0.2

0.3

0.4

24 115 203 297Vencimientoy



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Grafica 4.3 c)

Grafica 4.3 d)

Fuente: Elaboración propia. En la figura 4.3 se tienen los precios de ejercicio a) 𝐾𝐾 =12, b) 𝐾𝐾 = 12.5, c) 𝐾𝐾 = 13, d) 𝐾𝐾 = 13.5. En todos los casos donde las opciones OC del Banco de México como función del vencimiento, el comportamiento es muy

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similar para las cuatro figuras. Una vez que se compraran las primas, las provenientes de volatilidades históricas son mayores que las primas que vienen del SABR. De la misma forma, la prima de la opción de Banco de México OC utilizando la volatilidad histórica estaría sobreestimada respecto a la prima de OC obtenida con el modelo SABR. 4.11 Conclusiones Finalmente en esta sección se mencionan algunos resultados para el modelo SABR del análisis que se hizo con la geometría diferencial y revisión de los resultados de la teoría física de gravitación. En la propuesta de modelación de la volatilidad estocástica de un activo financiero se transforma de forma covariante, pero el término de tendencia no lo hace de la misma forma por lo que hay que introducir una conexión Abeliana para que la transformación sea covariante y sea igual en cualquier sistema de referencia. En otras palabras, la métrica de las variables correspondería a un espacio plano. En el caso del modelo SABR, la métrica sorprendentemente está definida en términos de las volatilidades y de la correlación. La distancia espacial de los eventos físicos tiene un equivalente de distancia entre eventos pero ahora función de las variables de las tasas forward y la volatilidad ecuación. Dependiendo del signo del escalar de curvatura puede tratarse la superficie del modelo de una esfera

136 Phynance

Riemanniana, de un plano complejo o de una superficie hiperbólica de Poincaré. Después de una serie de cambios de variable en un espacio anti-de Sitter y de las soluciones de la ecuaciones de Einstein se llega a una métrica de Lorentz y la relación del plano hiperbólico y el disco de Poincaré. La solución de agujero negro en el espacio de Sitter es mucho más complicada que la de agujero negro de Schwarzchild. La cilindro de la Grafica 4.1 es una generalización en coordenadas intrínsecas de las pero en lugar de tener 4 coordenadas espaciales (dos con signo positivo y dos con signo negativo), tendríamos una de tasa forward (con signo positivo y negativo) y una de volatilidad (igual con signos positivos y negativos). Una posible interpretación de las dos variables financieras en el agujero negro de la figura4.1. Las regiones límites de los cortes del cilindro, es decir, los círculos se encuentran en el infinito de volatilidad y de tasas forward, en las caras del cilindro se unen las dos superficies y son puntos de singularidad presentes y futuras (líneas punteadas) es decir no están definidos los valores de las variables financieras. Por medio de las geodésicas se determina la forma de moverse de las tasas forward y volatilidad dentro de este tipo de espacios anti-de Sitter. Se presenta un resumen del modelo SABR propuesto originalmente por Henry-Labordere en el contexto de la geometría diferencial y del Heat Kernel y se puede


Riemanniana, de un plano complejo o de una superficie hiperbólica de Poincaré. Después de una serie de cambios de variable en un espacio anti-de Sitter y de las soluciones de la ecuaciones de Einstein se llega a una métrica de Lorentz y la relación del plano hiperbólico y el disco de Poincaré. La solución de agujero negro en el espacio de Sitter es mucho más complicada que la de agujero negro de Schwarzchild. La cilindro de la Grafica 4.1 es una generalización en coordenadas intrínsecas de las pero en lugar de tener 4 coordenadas espaciales (dos con signo positivo y dos con signo negativo), tendríamos una de tasa forward (con signo positivo y negativo) y una de volatilidad (igual con signos positivos y negativos). Una posible interpretación de las dos variables financieras en el agujero negro de la figura4.1. Las regiones límites de los cortes del cilindro, es decir, los círculos se encuentran en el infinito de volatilidad y de tasas forward, en las caras del cilindro se unen las dos superficies y son puntos de singularidad presentes y futuras (líneas punteadas) es decir no están definidos los valores de las variables financieras. Por medio de las geodésicas se determina la forma de moverse de las tasas forward y volatilidad dentro de este tipo de espacios anti-de Sitter. Se presenta un resumen del modelo SABR propuesto originalmente por Henry-Labordere en el contexto de la geometría diferencial y del Heat Kernel y se puede

verificar que se comprueba que se llega a los mismos resultados que los originales de Hagan y la teoría de perturbaciones.

Es posible escribir la ecuación covariante y resolver las ecuaciones Kolmogorov forward y backward y cada modelo tiene asociada un factor conformal que está relacionado con el escalar de curvatura.

Se compara la prima de la opción que propone el Banco de México considerando la volatilidad histórica, con la volatilidad obtenida del SABR. En general el comportamiento de ambas volatilidades es similar como función del precio de ejercicio y el vencimiento, pero en casi todos los casos, la prima de la volatilidad histórica es mayor que cuando se utiliza la volatilidad del modelo SABR.

Apéndice I La expansión heat kernel y la formula asintótica para la densidad de probabilidad a primer orden con una métrica g sobre una superficie de Riemann y una conexión Abeliana 𝐴𝐴 and sección 𝑄𝑄 𝑝𝑝(𝜏𝜏, 𝑥𝑥 ∥ 𝑦𝑦) = √𝑔𝑔(𝑦𝑦)

(4𝜋𝜋𝜋𝜋) √△ (𝑦𝑦, 𝑥𝑥) 𝒫𝒫(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑒𝑒−𝑑𝑑2(𝑥𝑥,𝑦𝑦)4𝜏𝜏 (1 +

𝑎𝑎1(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝜏𝜏) La estimación de la expresión asintótica para la volatilidad implícita involucra dos pasos. El primero consiste de calcular la función LV (𝑇𝑇, 𝑓𝑓) asociada a SVM, en el segundo paso se deduce la volatilidad implícita de la volatilidad local

138 Phynance

𝜎𝜎(𝑇𝑇, 𝑓𝑓)2 = 𝐶𝐶(𝑓𝑓)2Ε𝑃𝑃𝑃𝑃[𝑎𝑎𝑃𝑃

2 ! 𝑓𝑓𝑃𝑃 = 𝑓𝑓] = 𝑓𝑓2𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑇𝑇, 𝑓𝑓)2 el valor medio del cuadrado de la SV cuando la tasa forward es fija es el LV y la definición del valor medio, la expresión asintótica para la probabilidad condicional 𝜎𝜎(𝑇𝑇, 𝑓𝑓)2 = ∫ 𝑓𝑓(𝑃𝑃,𝑎𝑎)𝑒𝑒𝜖𝜖𝜖𝜖(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎∞

0∫ ℎ(𝑡𝑡,𝑎𝑎)∞

0 𝑒𝑒𝜖𝜖𝜖𝜖(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎 con 𝜙𝜙(𝑎𝑎) = 𝑑𝑑2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), ℎ(𝑇𝑇, 𝑎𝑎) =√𝑔𝑔√△ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝒫𝒫(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)(1 + 𝑎𝑎1(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑇𝑇), 𝑓𝑓(𝑇𝑇, 𝑎𝑎) =2ℎ(𝑡𝑡, 𝑎𝑎)𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑 𝜖𝜖 = − 1

4𝑃𝑃 A orden cero, 𝜎𝜎2 esta dado por 𝜎𝜎(0, 𝑓𝑓)2 = 2𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) con 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 la volatilidad estocástica que minimiza la distancia geodésica en la superficie Riemanniana 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≡ 𝑎𝑎! 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝜙𝜙(𝑎𝑎) a primer orden, se encuentra la expresión siguiente para el numerador

Pegando la expresión para f y g, finalmente se obtiene


𝜎𝜎(𝑇𝑇, 𝑓𝑓)2 = 𝐶𝐶(𝑓𝑓)2Ε𝑃𝑃𝑃𝑃[𝑎𝑎𝑃𝑃

2 ! 𝑓𝑓𝑃𝑃 = 𝑓𝑓] = 𝑓𝑓2𝜎𝜎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑇𝑇, 𝑓𝑓)2 el valor medio del cuadrado de la SV cuando la tasa forward es fija es el LV y la definición del valor medio, la expresión asintótica para la probabilidad condicional 𝜎𝜎(𝑇𝑇, 𝑓𝑓)2 = ∫ 𝑓𝑓(𝑃𝑃,𝑎𝑎)𝑒𝑒𝜖𝜖𝜖𝜖(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎∞

0∫ ℎ(𝑡𝑡,𝑎𝑎)∞

0 𝑒𝑒𝜖𝜖𝜖𝜖(𝑎𝑎)𝑑𝑑𝑎𝑎 con 𝜙𝜙(𝑎𝑎) = 𝑑𝑑2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), ℎ(𝑇𝑇, 𝑎𝑎) =√𝑔𝑔√△ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝒫𝒫(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)(1 + 𝑎𝑎1(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑇𝑇), 𝑓𝑓(𝑇𝑇, 𝑎𝑎) =2ℎ(𝑡𝑡, 𝑎𝑎)𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑 𝜖𝜖 = − 1

4𝑃𝑃 A orden cero, 𝜎𝜎2 esta dado por 𝜎𝜎(0, 𝑓𝑓)2 = 2𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) con 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 la volatilidad estocástica que minimiza la distancia geodésica en la superficie Riemanniana 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≡ 𝑎𝑎! 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝜙𝜙(𝑎𝑎) a primer orden, se encuentra la expresión siguiente para el numerador

Pegando la expresión para f y g, finalmente se obtiene

La última expresión depende solo de la métrica y la conexión 𝐴𝐴 y no de los primeros coeficientes 𝑎𝑎1(𝑦𝑦, 𝑥𝑥). El paso final es usar la relación asintótica entre volatilidad local e implícita que se han obtenido de la expansión heat kernel expansión en el tiempo sobre una dimensión de tiempo real

que puede aproximarse

Apéndice II Tabla II-1

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CAPITULO 5

142 Phynance

CAPITULO 5 Modelación con Teoría de la Medida y Norma en Finanzas10Cuantitativas 5.1 Introducción El trabajo presentado en este capítulo está basado principalmente en una revisión del trabajo de Ilinski (2001) a quien se le reconoce como el creador de las ideas y las expresiones matemáticas de Teoría de Medida y Norma en derivados financieros. La ecuación y solución de Black-Scholes (1973) desde su deducción original y posteriores aproximaciones por otros métodos (binomial, simulaciones, ecuación de calor y otros) ha llevado siempre implícitamente el supuesto de que el sistema se encuentra en un equilibrio, de igual forma se tiene el mismo supuesto en el modelo de CAPM. Sin embargo, los mercados en su dinámica del día a día no están permanente en equilibrio y las oportunidades de arbitraje son evidencia de ello. La presente propuesta considera la presencia de arbitraje (conocido como virtual) y se presenta una ecuación y una solución más general de opciones europeas tipo Call y Put, así como una generalización del modelo CAPM. Para realizar este planteamiento se hace uso de la teoría de norma y en particular de los haces fibrados que han tenido resultados favorables en áreas de la física como la gravitación y el electromagnetismo. Geométricamente se plantea un caso similar para 10 En subsecuente nos referimos también como Modelación de Teoría de Norma en Finanzas.


CAPITULO 5 Modelación con Teoría de la Medida y Norma en Finanzas10Cuantitativas 5.1 Introducción El trabajo presentado en este capítulo está basado principalmente en una revisión del trabajo de Ilinski (2001) a quien se le reconoce como el creador de las ideas y las expresiones matemáticas de Teoría de Medida y Norma en derivados financieros. La ecuación y solución de Black-Scholes (1973) desde su deducción original y posteriores aproximaciones por otros métodos (binomial, simulaciones, ecuación de calor y otros) ha llevado siempre implícitamente el supuesto de que el sistema se encuentra en un equilibrio, de igual forma se tiene el mismo supuesto en el modelo de CAPM. Sin embargo, los mercados en su dinámica del día a día no están permanente en equilibrio y las oportunidades de arbitraje son evidencia de ello. La presente propuesta considera la presencia de arbitraje (conocido como virtual) y se presenta una ecuación y una solución más general de opciones europeas tipo Call y Put, así como una generalización del modelo CAPM. Para realizar este planteamiento se hace uso de la teoría de norma y en particular de los haces fibrados que han tenido resultados favorables en áreas de la física como la gravitación y el electromagnetismo. Geométricamente se plantea un caso similar para 10 En subsecuente nos referimos también como Modelación de Teoría de Norma en Finanzas.

finanzas, utilizando estos conceptos para diferentes activos divisas, monedas, acciones y considerado el valor del dinero en el tiempo. Además de la idea de circuitos en planos o trayectorias locales para intercambios financieros cerrados no tienen arbitraje y por otro lado circuitos en superficie con curvatura para la presencia de arbitraje. Además de Ilinski, el tema en cuestión ha sido analizado por muy pocos autores, a continuación se mencionan algunos de los trabajos más sobresalientes. En Sornette (1998) se hace una crítica a la teoría de normalización de finanzas. El autor comenta que aunque la idea en sí es interesante, ni la distribución log-normal, ni las ecuaciones de Black-Scholes demuestran la veracidad de la teoría. Reconoce que el elemento de la introducción del arbitraje aparece de forma correcta como parte de una teoría, pero uno de los problemas que se enfrentan las teorías es que en los mercado reales incompletos y que su operador no es único. En Zhou and Xiao (2010) se revisa el modelo de derivados financieros desde el punto de vista de la simetría de normalización y se muestra como la forma de la ecuación puede permanecer invariante bajo transformaciones de numerarias locales, además muestra una relación entre curvatura del haz fibrado y arbitraje. En Ilinski and Kalini (1998) se propone un arbitraje virtual y una reacción de los especuladores, el modelo toma en cuenta la restricción al no arbitraje y las caminatas no brownianas. En el modelo se introduce el formalismo geométrico diferencial estocástico para introducir la teoría de finanzas estocásticas e introducir la teoría de arbitraje domestico donde el mercado es

144 Phynance

modelado como un haz fibrado principal y el arbitraje corresponde a la curvatura y la estrategia de arbitraje. 5.2 Conceptos Básicos Un haz fibrado11 consiste de subespacios idénticos unidos para conformar un espacio completo. Se puede mencionar, por ejemplo, un plano como una colección de líneas unidimensionales puestas sobre un eje por ejemplo X. Cada una de las líneas es idéntica a las otras desde el punto de vista geométrico. Estos subespacios se denominan fibras y el espacio sobre el que se pegan es llamada base, entonces cualquier haz fibrado E consiste de una base B e idénticas fibras F que son colocadas en cada punto de la base B. Otro ejemplo es un cilindro o tubo, en donde se tiene un haz fibrado que tiene una base que es un circulo y las líneas son las fibras F, otro posibilidad del haz fibrado puede ser la base una línea y las fibras serían los círculos. Las dimensión del haz fibrado está dada por Dimensión de E= Dimensión B + Dimensión F. (ver Grafica 5.1). Para comparar cantidades locales se necesita una conexión. Si imaginamos desde el punto de vista físico, una partícula que se mueve a lo largo de un haz fibrado utiliza dos conjuntos de números: el primero se refiere a conjunto b que son las coordenadas de las partículas en la base 𝐵𝐵 mientras que 𝐹𝐹 denota las coordenadas de las partículas en la fibra 𝐹𝐹(𝑏𝑏) correspondiente al punto b. Si nos referimos a una partícula, esta no puede saltar súbitamente de un punto a otro, solo puede hacerlo a 11 La definición matemática formal de haz fibrado aparece en el anexo 1.


modelado como un haz fibrado principal y el arbitraje corresponde a la curvatura y la estrategia de arbitraje. 5.2 Conceptos Básicos Un haz fibrado11 consiste de subespacios idénticos unidos para conformar un espacio completo. Se puede mencionar, por ejemplo, un plano como una colección de líneas unidimensionales puestas sobre un eje por ejemplo X. Cada una de las líneas es idéntica a las otras desde el punto de vista geométrico. Estos subespacios se denominan fibras y el espacio sobre el que se pegan es llamada base, entonces cualquier haz fibrado E consiste de una base B e idénticas fibras F que son colocadas en cada punto de la base B. Otro ejemplo es un cilindro o tubo, en donde se tiene un haz fibrado que tiene una base que es un circulo y las líneas son las fibras F, otro posibilidad del haz fibrado puede ser la base una línea y las fibras serían los círculos. Las dimensión del haz fibrado está dada por Dimensión de E= Dimensión B + Dimensión F. (ver Grafica 5.1). Para comparar cantidades locales se necesita una conexión. Si imaginamos desde el punto de vista físico, una partícula que se mueve a lo largo de un haz fibrado utiliza dos conjuntos de números: el primero se refiere a conjunto b que son las coordenadas de las partículas en la base 𝐵𝐵 mientras que 𝐹𝐹 denota las coordenadas de las partículas en la fibra 𝐹𝐹(𝑏𝑏) correspondiente al punto b. Si nos referimos a una partícula, esta no puede saltar súbitamente de un punto a otro, solo puede hacerlo a 11 La definición matemática formal de haz fibrado aparece en el anexo 1.

través de una serie de pasos infinitesimales por lo que será suficiente establecer una regla de comparación para puntos y sumar las diferencias.

Grafica 5.1 Haces Fibrados Basicos

Plano descompuesto B y F Cilindro descompuesto B y F

Fuente: Elaboración propia con base en Ilinski (2001).

El ajuste Δ𝐹𝐹(𝑏𝑏) entre sistemas coordenados de las fibras 𝐹𝐹(𝑏𝑏) y 𝐹𝐹(𝑏𝑏 + 𝑑𝑑𝑏𝑏) se calcula como el producto escalar de las diferencias entre los puntos de la base db y el campo calibrado 𝐴𝐴 (Grafica. 5.2) Δ𝐹𝐹(𝑏𝑏) = 𝑑𝑑𝑏𝑏 ⋅ 𝐴𝐴𝐹𝐹 ≡ ∑ 𝐴𝐴𝑖𝑖𝐹𝐹(𝑏𝑏) ⋅𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑖𝑖=1 𝑑𝑑𝑏𝑏𝑖𝑖

Figura 5.2 Ajuste de Sistemas Coordenados


146 Phynance

La comparación de dos objetos distantes dependerá de la ruta tomada entre ellos en la base B, una curva y el campo de conexión a lo largo de la curva que produce un transporte paralelo a lo largo de la misma. Si uno considera las coordenadas de dos elementos de las fibras uniendo dos puntos distantes, usando para la comparación un campo de conexión y una curva y se encuentra que no hay diferencia, entonces se puede decir que el segundo elemento es el resultado del transporte paralelo del primer elementos a lo largo de la curva, es decir, la diferencia en coordenadas es el resultado de un desajuste de sistema coordenados y la diferencia covariante a lo largo de la curva es cero. Si los objetos no están conectados por transporte paralelo a lo largo de la curva hay una diferencia covariante distinta de cero a lo largo de la misma curva. Para definir las reglas generales para el transporte paralelo, no es importante si los resultados del transporte paralelo a lo largo de dos curvas diferentes con el mismo punto final son diferentes. Por ejemplo, sin perder generalidad, si consideramos un transporte paralelo en un rectángulo de una esfera moviéndose a lo largo de camino 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 o 𝐴𝐴𝐴𝐴 es fácil ver que hay una diferencia, para entender el origen de la diferencia tiene que ver con la curvatura para el caso de un rectángulo plano. La diferencia covariante será menor conforme el radio de la esfera tiende a infinito, es decir, disminuirá conforme R-2multiplicada por la superficie del triángulo esférico. La diferencia Δ entre dos transportes paralelos a lo largo de dos curvas con el mismo fin sobre la base de algunos haz fibrados con una conexión es definido para ser igual al producto del área S encerrado por las curvas y la curvatura 𝑅𝑅 del haz fibrado asociada con la


La comparación de dos objetos distantes dependerá de la ruta tomada entre ellos en la base B, una curva y el campo de conexión a lo largo de la curva que produce un transporte paralelo a lo largo de la misma. Si uno considera las coordenadas de dos elementos de las fibras uniendo dos puntos distantes, usando para la comparación un campo de conexión y una curva y se encuentra que no hay diferencia, entonces se puede decir que el segundo elemento es el resultado del transporte paralelo del primer elementos a lo largo de la curva, es decir, la diferencia en coordenadas es el resultado de un desajuste de sistema coordenados y la diferencia covariante a lo largo de la curva es cero. Si los objetos no están conectados por transporte paralelo a lo largo de la curva hay una diferencia covariante distinta de cero a lo largo de la misma curva. Para definir las reglas generales para el transporte paralelo, no es importante si los resultados del transporte paralelo a lo largo de dos curvas diferentes con el mismo punto final son diferentes. Por ejemplo, sin perder generalidad, si consideramos un transporte paralelo en un rectángulo de una esfera moviéndose a lo largo de camino 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 o 𝐴𝐴𝐴𝐴 es fácil ver que hay una diferencia, para entender el origen de la diferencia tiene que ver con la curvatura para el caso de un rectángulo plano. La diferencia covariante será menor conforme el radio de la esfera tiende a infinito, es decir, disminuirá conforme R-2multiplicada por la superficie del triángulo esférico. La diferencia Δ entre dos transportes paralelos a lo largo de dos curvas con el mismo fin sobre la base de algunos haz fibrados con una conexión es definido para ser igual al producto del área S encerrado por las curvas y la curvatura 𝑅𝑅 del haz fibrado asociada con la

conexión Δ= 𝑆𝑆𝑆𝑆, la curvatura de un haz fibrado caracteriza su geometría por tanto son objetos muy útiles para su estudio aplicaciones (Ver Grafica 5.3).

Grafica 5.3 Transporte Paralelo


De manera similar, el espacio de portafolios puede ser planteado como un haz fibrado con la base de todas las posibles estructuras de portafolio que cuestan un dólar y las semi-lineas de fibras como los posibles valores de dinero de portafolio y la conexión como el valor del dinero en el tiempo. Para el caso de monedas extranjeras o divisas se puede definir la base por ejemplo con cinco monedas distintas; libra esterlina (GBP), dólar (USD), marco alemán (DM), y yen japonés (Jy). La fibra correspondería a una semi-linea con coordenadas F de 0 a infinito. Un haz fibrado estará en el espacio del dinero, cualquier moneda puede ser intercambiada por otra y entonces la curva en la base consiste de todos los posibles saltos de un punto a otro de la base. El transporte paralelo asociado con cada curva es simplemente el tipo de cambio que constituye la conexión sobre esta base discreta (ver Grafica 5.4).

148 Phynance

El valor presente neto (VPN) resumen el principio básico del valor del dinero en el tiempo. De la misma manera que no puede sumarse distintas monedas directamente, diferentes flujos en el tiempo tampoco pueden ser comparados directamente, sino que deben tomarse una referencia en un punto común del tiempo. El método de valor presente de un proyecto establece que si el VPN es positivo invierte en el proyecto y si es negativo no se invierte (ver Grafica 5.4).

Grafica 5.4

Haz Fibrado en Divisas y Acciones


La interpretación geométrica es muy interesante, el procedimiento de descuento juega el papel de transporte paralelo en un haz fibrado que consiste del eje temporal como la base y las semi-lineas como las fibras. La multiplicación por el factor de descuento sirve de ajuste en sistema coordenado en diferentes momentos del tiempo y las tasas de descuento coinciden la conexión del campo vectorial. La ideas se pueden generalizar para construir haces fibrados para cualquier clase de activos y ajustar este espacio con el espacio del tiempo y crear otro haz fibrado que consiste de la descripción del ambiente


El valor presente neto (VPN) resumen el principio básico del valor del dinero en el tiempo. De la misma manera que no puede sumarse distintas monedas directamente, diferentes flujos en el tiempo tampoco pueden ser comparados directamente, sino que deben tomarse una referencia en un punto común del tiempo. El método de valor presente de un proyecto establece que si el VPN es positivo invierte en el proyecto y si es negativo no se invierte (ver Grafica 5.4).

Grafica 5.4

Haz Fibrado en Divisas y Acciones


La interpretación geométrica es muy interesante, el procedimiento de descuento juega el papel de transporte paralelo en un haz fibrado que consiste del eje temporal como la base y las semi-lineas como las fibras. La multiplicación por el factor de descuento sirve de ajuste en sistema coordenado en diferentes momentos del tiempo y las tasas de descuento coinciden la conexión del campo vectorial. La ideas se pueden generalizar para construir haces fibrados para cualquier clase de activos y ajustar este espacio con el espacio del tiempo y crear otro haz fibrado que consiste de la descripción del ambiente

dinámico. Para hacer esto se toma el producto de las bases que describen los movimientos del dinero a lo largo del mercado y los movimientos de los activos en el tiempo. El nuevo haz fibrado consiste de precios en el tiempo en el plano en los puntos señalados por los nombres de los activos en el tiempo. Este haz permitiría comparar dinero en diferentes activos y en diferentes momentos del tiempo. Las ganancias de rendimiento de arbitraje están siempre asociadas a flujo de intercambio de activos por dos rutas distintas teniendo puntos de inicio y finales comunes. En lugar de dos rutas puede estudiarse una trayectoria cerrada de flujos de activos. Se utilizara el término de curvatura para representar exceso de rendimiento, asociado con la conexión definida por el tipo de cambio y la tasa de interés. La cantidad 𝑅𝑅 es no negativa e igual a cero solo si no hay arbitraje. Si una operación genera ganancias la dirección contraria genera perdida. La cantidad R caracteriza la existencia de arbitraje sin especifica la operación particular. 𝑅𝑅 está relacionada con la del haz fibrado financiero, en el caso de la electrodinámica 𝑅𝑅 es la energía del campo electromagnético. 5.3 Haz Fibrado en Finanzas y dinámica del campo de Normalización Para definir un haz fibrado12 el primer paso es construir la base, supongamos que queremos modelar un sistema financiero con 𝑁𝑁 + 1 tipos de activos que pueden ser 12 Para una definición más formal de haz fibrado consultar apéndice 1.

150 Phynance

divisas o acciones. Y supongamos un conjunto de activos numerados de 0 a 𝑁𝑁 y que tal conjunto puede ser representado en un plano dimensional por 𝑁𝑁 + 1 puntos, la dimensión del espacio embebido puede ser elegida arbitrariamente. Para agregar el tiempo en la construcción anexamos una retícula 𝑍𝑍 para cada punto del activo, si se discretiza el tiempo hay un paso de tiempo natural y todos los actos del trading suceden discretamente, esto da un conjunto de prebase 𝐿𝐿0 =(0,1,2, … , 𝑁𝑁), cualquier punto de la pre-base esta completamente caracterizado por los números (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) donde el primer numero indica el numero de activos y el segundo muestra un momento del tiempo, en esta notación un evento asociado con el punto (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) sucede en el momento n y el activo 𝑖𝑖. EL siguiente paso es definir la forma de conectar la pre-base, la conectividad es importante para definir todas las posibles trayectorias sobre la base y los correspondientes transportes paralelos para hacer esto introducimos la matriz de vínculos Γ: 𝐿𝐿0𝑥𝑥𝐿𝐿0 → {0, ±1} definida por la siguiente regla: para cualesquiera dos elementos de la base 𝑥𝑥 ≡ (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) ∈ 𝐿𝐿0 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ≡ (𝑘𝑘, 𝑚𝑚) ∈ 𝐿𝐿0 los elementos de la matriz de links Γ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es cero Γ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 (5.1) Excepto en los siguientes casos a) 𝑖𝑖 = 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 − 1 para la condición del i-ésimo titulo existe un momento que no es la fecha de vencimiento del titulo Γ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 Γ(𝑦𝑦, 𝑥𝑥) = −1 (5.2)


divisas o acciones. Y supongamos un conjunto de activos numerados de 0 a 𝑁𝑁 y que tal conjunto puede ser representado en un plano dimensional por 𝑁𝑁 + 1 puntos, la dimensión del espacio embebido puede ser elegida arbitrariamente. Para agregar el tiempo en la construcción anexamos una retícula 𝑍𝑍 para cada punto del activo, si se discretiza el tiempo hay un paso de tiempo natural y todos los actos del trading suceden discretamente, esto da un conjunto de prebase 𝐿𝐿0 =(0,1,2, … , 𝑁𝑁), cualquier punto de la pre-base esta completamente caracterizado por los números (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) donde el primer numero indica el numero de activos y el segundo muestra un momento del tiempo, en esta notación un evento asociado con el punto (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) sucede en el momento n y el activo 𝑖𝑖. EL siguiente paso es definir la forma de conectar la pre-base, la conectividad es importante para definir todas las posibles trayectorias sobre la base y los correspondientes transportes paralelos para hacer esto introducimos la matriz de vínculos Γ: 𝐿𝐿0𝑥𝑥𝐿𝐿0 → {0, ±1} definida por la siguiente regla: para cualesquiera dos elementos de la base 𝑥𝑥 ≡ (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) ∈ 𝐿𝐿0 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ≡ (𝑘𝑘, 𝑚𝑚) ∈ 𝐿𝐿0 los elementos de la matriz de links Γ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es cero Γ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 (5.1) Excepto en los siguientes casos a) 𝑖𝑖 = 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 − 1 para la condición del i-ésimo titulo existe un momento que no es la fecha de vencimiento del titulo Γ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 Γ(𝑦𝑦, 𝑥𝑥) = −1 (5.2)

𝑏𝑏) 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚, 𝑖𝑖 ≠ 𝑘𝑘 y el e-nésimo momento del tiempo i-ésimo activo puede ser cambiado por alguna cantidad del k-ésimo activo para alguna tasa, supongamos que la transacción es instantánea , en este caso Γ(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1 (5.3)

Grafica 5.5 Haz Fibrado y Conectividad en Finanzas (Divisas y

Acciones)


Cuando las matrices de vínculos son distintos de cero decimos que los puntos correspondientes están conectados, la definición establece que los puntos de la base están conectados si ellos representan el mismo título y momentos consecutivos del tiempo o pertenecen al mismo instante de tiempo y pueden ser intercambiados. (Ver Grafica 5.5). Usando la matriz Γ(. , . ) podemos definir una curva en la base, una curva 𝛾𝛾(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) en L0 que relaciona dos puntos 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐿𝐿0 es un conjutno de puntos {𝑥𝑥𝑗𝑗}𝑗𝑗=1

𝑝𝑝 de la base tal que: 1. El primero y último punto del conjunto coincide con el punto final de la curva 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑥𝑝𝑝 = 𝑦𝑦.

152 Phynance

2. Para todos los segmentos 𝑝𝑝 − 1 (𝑥𝑥𝑗𝑗, 𝑥𝑥𝑗𝑗+1) los elementos de la de relaciones son distintos de cero en la matriz Γ(𝑥𝑥𝑗𝑗, 𝑥𝑥𝑗𝑗+1) = ±1 ⊬ 𝑗𝑗 = 1, … 𝑝𝑝 − 1. La noción de la curva permite finalmente definir la base donde 𝐿𝐿0 puede ser dividido en un conjunto de componentes. Cada componente conectada es un conjunto máximo de elementos de 𝐿𝐿0 que puede ser relacionado a alguna curva para una pareja de elementos. El grupo G usado en el sistema financiero está dentro del grupo de dilataciones, es decir, es un grupo de mapeos g de ℝ+ ≡ [0, +∞)𝑎𝑎 ℝ que actua por multiplicación de alguna 𝑥𝑥 ∈ ℝ para alguna constante positiva 𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝜆𝜆(𝑔𝑔)𝑥𝑥. Este grupo es de reescalamiento de unidades de activos con un factor de reescalamiento 𝜆𝜆(𝑔𝑔). La función de transición de un haz fibrado con esta estrutura de grupo corresponde a varios precios, tipos de cambio y factores de descuento. En esta estructura de grupo, la fibra que trabajara con ℝ+ 𝐹𝐹 = ℝ+ ≡ [0, +∞) (5.4) El cambio del elemento 𝑓𝑓 es acompañado por una multiplicación y un factor de re-escalamiento, es decir, para una acción de una estructura de grupo. 𝑠𝑠(𝑥𝑥 ≡(𝑖𝑖. 𝑚𝑚)) da el numerador de unidades del i-ésimo activo del tiempo m. Una sección cruzada describe la evolución en el tiempo de una asignación inicial de dinero 𝑠𝑠(𝑖𝑖, 0) 𝑖𝑖 = 0, … 𝑁𝑁 en el 𝑡𝑡 = 0, uno tiene 𝑠𝑠(0,0) unidades del activo 0, 𝑆𝑆(1,0) unidades del activo 1 mientras en el momento 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚, las correspondientes cantidades


2. Para todos los segmentos 𝑝𝑝 − 1 (𝑥𝑥𝑗𝑗, 𝑥𝑥𝑗𝑗+1) los elementos de la de relaciones son distintos de cero en la matriz Γ(𝑥𝑥𝑗𝑗, 𝑥𝑥𝑗𝑗+1) = ±1 ⊬ 𝑗𝑗 = 1, … 𝑝𝑝 − 1. La noción de la curva permite finalmente definir la base donde 𝐿𝐿0 puede ser dividido en un conjunto de componentes. Cada componente conectada es un conjunto máximo de elementos de 𝐿𝐿0 que puede ser relacionado a alguna curva para una pareja de elementos. El grupo G usado en el sistema financiero está dentro del grupo de dilataciones, es decir, es un grupo de mapeos g de ℝ+ ≡ [0, +∞)𝑎𝑎 ℝ que actua por multiplicación de alguna 𝑥𝑥 ∈ ℝ para alguna constante positiva 𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝜆𝜆(𝑔𝑔)𝑥𝑥. Este grupo es de reescalamiento de unidades de activos con un factor de reescalamiento 𝜆𝜆(𝑔𝑔). La función de transición de un haz fibrado con esta estrutura de grupo corresponde a varios precios, tipos de cambio y factores de descuento. En esta estructura de grupo, la fibra que trabajara con ℝ+ 𝐹𝐹 = ℝ+ ≡ [0, +∞) (5.4) El cambio del elemento 𝑓𝑓 es acompañado por una multiplicación y un factor de re-escalamiento, es decir, para una acción de una estructura de grupo. 𝑠𝑠(𝑥𝑥 ≡(𝑖𝑖. 𝑚𝑚)) da el numerador de unidades del i-ésimo activo del tiempo m. Una sección cruzada describe la evolución en el tiempo de una asignación inicial de dinero 𝑠𝑠(𝑖𝑖, 0) 𝑖𝑖 = 0, … 𝑁𝑁 en el 𝑡𝑡 = 0, uno tiene 𝑠𝑠(0,0) unidades del activo 0, 𝑆𝑆(1,0) unidades del activo 1 mientras en el momento 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚, las correspondientes cantidades

𝑠𝑠(0, 𝑚𝑚), 𝑠𝑠(1, 𝑚𝑚). . 𝑆𝑆(𝑁𝑁, 𝑚𝑚) el espacio de las secciones cruzadas es el espacio de todos los posibles escenarios de movimientos de dinero o flujo de dinero. La principal función del integrando será la invariancia de Normalización local, es decir, invariancia bajo la acción global de la estructura de grupo, esta sección cruzada activo cero 𝑆𝑆(1,0), 𝑖𝑖 = 0 … 𝑁𝑁 en 𝑡𝑡 = 0 y se tiene 𝑠𝑠(0,0). Una conexión es una regla para el transporte paralelo de un elemento de la fibra de un punto de una base, digamos x a otro punto y. Una operación 𝑈𝑈(𝑦𝑦) de transporte paralelo a lo largo de la curva 𝛾𝛾 pertenece al la estructura de grupo y actúa de la fibra 𝐹𝐹𝑥𝑥 a la 𝐹𝐹𝑦𝑦 𝑈𝑈(𝑦𝑦): 𝐹𝐹𝑥𝑥 → 𝐹𝐹𝑦𝑦 (5.5) El operador de transporte paralelo a lo largo de la curva 𝛾𝛾 , 𝑈𝑈(𝛾𝛾), es definida como un producto de operadores de transporte paralelo a lo largo de los vínculos que constituyen las curva 𝛾𝛾 𝑈𝑈(𝛾𝛾) = ∏ 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑖𝑖, 𝑥𝑥𝑖𝑖+1), 𝛾𝛾 ≡ {𝑥𝑥𝑖𝑖}𝑖𝑖=1

𝑝𝑝−1𝑝𝑝−1𝑖𝑖=1 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑝𝑝 = 𝑦𝑦

(5.6) significa que si dejamos definir solo los operadores de transporte paralelo a lo largo de los vínculos elementales entonces 𝑈𝑈(𝛾𝛾) = 𝑈𝑈−1(𝛾𝛾−1) esto nos restringe a una definición de estos operadores a lo largo de los vínculos elementales con una conectividad positiva. Si se suman las reglas para el transporte paralelo a lo largo de los vínculos elementales con conectividad

154 Phynance

positiva y operadores de transporte paralelo a lo largo de los vínculos de asimetría. La definición de este conjunto es equivalente a la definición de transporte paralelo en el haz fibrado y la conectividad es definida como la posibilidad de movimientos de los activos en el espacio y tiempo que permite darle una interpretación del trasporte paralelo. Entonces dos principios de conectividad positiva son definidos: El primero para conectar dos puntos (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) y (𝑖𝑖, 𝑛𝑛 + 1) representa la disposición del i-ésimo activo de una unidad de tiempo que resulta de la multiplicación de un numero de activos por un factor de interés o tasa interna calculada como: 𝑈𝑈((𝑖𝑖, 𝑛𝑛), (𝑖𝑖, 𝑛𝑛 + 1)) = 𝑒𝑒𝑟𝑟1△ ∈ 𝐺𝐺 (5.7) donde △ es una unidad de tiempo y 𝑟𝑟𝑖𝑖 es la tasa apropiada de rendimiento para el i-ésimo activo, en el límite continuo 𝑟𝑟𝑖𝑖 es la componente temporal del campo vectorial de conexión correspondiente al punto (i, Δ𝑛𝑛). De forma similar el operador de transporte paralelo es definido como una segunda clase de links entre los puntos (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) y (𝑘𝑘, 𝑛𝑛) si hay posibilidad de cambiar el nésimo momento una unidad del i-ésimo activo a 𝑆𝑆𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 unidades del k-ésimo activo 𝑈𝑈((𝑖𝑖, 𝑛𝑛), (𝑘𝑘, 𝑛𝑛)) = 𝑆𝑆𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 ∈ 𝐺𝐺 (5.8) En general un operador de transporte paralelo a lo largo de una curva es un factor por el cual número de unidades de activos es multiplicado como resultado de una operación de multiplicación de la curva. El


positiva y operadores de transporte paralelo a lo largo de los vínculos de asimetría. La definición de este conjunto es equivalente a la definición de transporte paralelo en el haz fibrado y la conectividad es definida como la posibilidad de movimientos de los activos en el espacio y tiempo que permite darle una interpretación del trasporte paralelo. Entonces dos principios de conectividad positiva son definidos: El primero para conectar dos puntos (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) y (𝑖𝑖, 𝑛𝑛 + 1) representa la disposición del i-ésimo activo de una unidad de tiempo que resulta de la multiplicación de un numero de activos por un factor de interés o tasa interna calculada como: 𝑈𝑈((𝑖𝑖, 𝑛𝑛), (𝑖𝑖, 𝑛𝑛 + 1)) = 𝑒𝑒𝑟𝑟1△ ∈ 𝐺𝐺 (5.7) donde △ es una unidad de tiempo y 𝑟𝑟𝑖𝑖 es la tasa apropiada de rendimiento para el i-ésimo activo, en el límite continuo 𝑟𝑟𝑖𝑖 es la componente temporal del campo vectorial de conexión correspondiente al punto (i, Δ𝑛𝑛). De forma similar el operador de transporte paralelo es definido como una segunda clase de links entre los puntos (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) y (𝑘𝑘, 𝑛𝑛) si hay posibilidad de cambiar el nésimo momento una unidad del i-ésimo activo a 𝑆𝑆𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 unidades del k-ésimo activo 𝑈𝑈((𝑖𝑖, 𝑛𝑛), (𝑘𝑘, 𝑛𝑛)) = 𝑆𝑆𝑛𝑛𝑖𝑖,𝑘𝑘 ∈ 𝐺𝐺 (5.8) En general un operador de transporte paralelo a lo largo de una curva es un factor por el cual número de unidades de activos es multiplicado como resultado de una operación de multiplicación de la curva. El

resultado de transporte paralelo a lo largo de dos curvas diferentes con los mismos puntos de frontera no son iguales para un conjunto genérico de operadores, una medida de diferencia es el tensor de curvatura 𝑅𝑅. Sus elementos son iguales a la multiplicación resultante después de transporte paralelo a lo largo de un círculo encerrado todas las plaquetas elementales13 con links distintos de cero en la base 𝐿𝐿 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝→0 = ∏ 𝑈𝑈𝑚𝑚 − 1𝑚𝑚 (5.9) 𝑚𝑚 corre sobre todas las plaquetas {𝑈𝑈𝑚𝑚} son los transportes paralelos correspondientes a los operadores de transporte paralelos y acordando sobre la orientación. Los elementos del tensor de curvatura miden el exceso de rendimientos sobre la operación correspondientes a las plaquetas encerradas. Considere una plaqueta de elemento que involucra dos diferente activos: acciones y efectivo. Se supone que los activos puede intercambiarse con una tasa 𝑆𝑆𝑖𝑖, esto significa que una acción es intercambiada de Si unidades de efectivo en algún momento ti con la tasa inversa para las operaciones efectivo operación es 𝑆𝑆𝑖𝑖−1. El tipo de cambio Si es considerado como un conjunto de tiempos equidistantes {𝑡𝑡}𝑖𝑖=1𝑁𝑁 con saltos de tiempo △= 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 − 𝑡𝑡𝑖𝑖. La tasa de interés para el efectivo es 𝑟𝑟0 entre dos

13 La curvatura se relaciona al transporte paralelo alrededor de bucles cerrados que en espacios discretos son N-gons con 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, . . , 𝑥𝑥𝑁𝑁 unidos consecutivamente por vínculos que llamaremos N-gons plaquetas. Se pueden asociar transporte paralelo a lo largo de bucles alrededor de cada plaqueta de la base.

156 Phynance

tiempos subsecuentes 𝑡𝑡𝑖𝑖 y 𝑡𝑡𝑖𝑖+1, el volumen de cash se incrementa por un factor 𝑒𝑒𝑟𝑟0△las acciones están caracterizadas por una tasa r1. Como mencionaremos la tasa 𝑟𝑟1 está relacionada a la tasa promedio de las acciones. Suponga una operación de arbitraje entre dos tiempos subsecuentes 𝑡𝑡𝑖𝑖 y 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 donde hay dos posibilidades para un inversionista que posee una unidad de efectivo en el momento ti y quiere obtener acciones en el momento𝑡𝑡𝑖𝑖+1. La primera posibilidad es poner efectivo en un depósito bancario con tasa de interés r0 en el momento ti regresando dinero en el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 y comprar acciones del precio Si+1 cada uno. En el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 los inversionistas tendrán 𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△ acciones por unidad de cash en el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖 . Si esos dos números no son iguales 𝑒𝑒𝑟𝑟0△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 y 𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△ existirá oportunidad de arbitraje (ver Grafica 5.6).

Grafica 5.6

Plaqueta Acción-Efectivo


Suponga el siguiente rendimiento


tiempos subsecuentes 𝑡𝑡𝑖𝑖 y 𝑡𝑡𝑖𝑖+1, el volumen de cash se incrementa por un factor 𝑒𝑒𝑟𝑟0△las acciones están caracterizadas por una tasa r1. Como mencionaremos la tasa 𝑟𝑟1 está relacionada a la tasa promedio de las acciones. Suponga una operación de arbitraje entre dos tiempos subsecuentes 𝑡𝑡𝑖𝑖 y 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 donde hay dos posibilidades para un inversionista que posee una unidad de efectivo en el momento ti y quiere obtener acciones en el momento𝑡𝑡𝑖𝑖+1. La primera posibilidad es poner efectivo en un depósito bancario con tasa de interés r0 en el momento ti regresando dinero en el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 y comprar acciones del precio Si+1 cada uno. En el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 los inversionistas tendrán 𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△ acciones por unidad de cash en el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖 . Si esos dos números no son iguales 𝑒𝑒𝑟𝑟0△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 y 𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△ existirá oportunidad de arbitraje (ver Grafica 5.6).

Grafica 5.6

Plaqueta Acción-Efectivo


Suponga el siguiente rendimiento

𝑅𝑅(2) = 𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△𝑆𝑆𝑖𝑖+1

−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ + 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟0△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟1△ − 2 (5.10)

Esto es la suma del exceso de rendimientos sobre las operaciones de arbitraje de plaquetas en el límite continuo R(2)/2 △ converge al cuadrado del elemento del tensor de curvatura. En ausencia del arbitraje es equivalente a la igualdad 𝑆𝑆𝑖𝑖

−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△𝑆𝑆𝑖𝑖+1𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ = 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟0△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟1△ = 1 (5.11)

Se puede utilizar las cantidades para medir el arbitraje como un exceso de rendimiento. La expresión 𝑆𝑆𝑖𝑖

−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△𝑆𝑆𝑖𝑖+1𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ − 1 presenta la regularización de latticce de un elemento del tensor de curvatura, nos permite de escribir de una manera más formal

𝑅𝑅(2) = 𝑈𝑈1𝑈𝑈2𝑈𝑈3−1𝑈𝑈4

−1 + 𝑈𝑈3𝑈𝑈4𝑈𝑈2−1𝑈𝑈1

−1 − 2 = (𝑅𝑅1234 + 1) + (𝑅𝑅1234 + 1)−1 − 2 (5.12) esta forma se puede generalizar a otras plaquetas, tales como plaquetas espacio-espacio, por ejemplo, en un modelo de tipo de cambio para tres monedas, los elementos espacio-espacio del tensor de curvatura son iguales a 𝑅𝑅123 = 𝑆𝑆12𝑆𝑆23𝑆𝑆31 − 1 (5.13) y donde el arbitraje cruzado puede ser caracterizado por la cantidad 𝑅𝑅(2) = 𝑆𝑆12𝑆𝑆23𝑆𝑆31 + 𝑆𝑆21𝑆𝑆13𝑆𝑆32 − 2 (5.14) el último punto para agregar en esta sección es la noción de transformación de normalización que significa que un cambio de escala en las fibra:

158 Phynance

𝑓𝑓𝑥𝑥 → 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑥𝑥 ≡ 𝑓𝑓𝑥𝑥`, 𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥´) ∈ 𝐹𝐹𝑥𝑥(𝑥𝑥`), 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∈ 𝐺𝐺𝑥𝑥 ∈ 𝐿𝐿 (5.15) junto con la transformación de operadores de transporte paralelo 𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) → 𝑔𝑔(𝑦𝑦)𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑔𝑔−1(𝑥𝑥) ≡ 𝑈𝑈´(𝑦𝑦, 𝑥𝑥) ∈ 𝐺𝐺 (5.16) es fácil ver que el operador de transporte paralelo conmuta con la transformación de normalización 𝑔𝑔(𝑦𝑦)(𝑈𝑈(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑥𝑥) = 𝑈𝑈´(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑥𝑥´ (5.17) y el tensor de curvatura es invariante bajo transformación 𝑈𝑈1𝑈𝑈2𝑈𝑈3

−1𝑈𝑈4−1 = 𝑈𝑈1´𝑈𝑈2(𝑈𝑈3)´−1(𝑈𝑈4)−1 (5.18)

En los párrafos anteriores se ha planteado que los precios y los factores de descuento tienen significado geométrico como elementos del grupo de estructura de un haz fibrado, son los responsables del transporte paralelo en las direcciones de espacio y tiempo. A continuación se mencionan algunas suposiciones sobre la invariancia de reenormalización dentro del grupo de dilatación. Supuesto 1. Dinámica de Invariancia de reenormalización Las propiedades observables y los proceso dinámicos del ambiente no dependen de la elección de unidades de los activos en cuestión. Supuesto 2. Incertidumbre intrínseca El ambiente financiero real es intrínsecamente incierto, en otras palabras hay probabilidades distintas de cero


𝑓𝑓𝑥𝑥 → 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑥𝑥 ≡ 𝑓𝑓𝑥𝑥`, 𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥´) ∈ 𝐹𝐹𝑥𝑥(𝑥𝑥`), 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∈ 𝐺𝐺𝑥𝑥 ∈ 𝐿𝐿 (5.15) junto con la transformación de operadores de transporte paralelo 𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) → 𝑔𝑔(𝑦𝑦)𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑔𝑔−1(𝑥𝑥) ≡ 𝑈𝑈´(𝑦𝑦, 𝑥𝑥) ∈ 𝐺𝐺 (5.16) es fácil ver que el operador de transporte paralelo conmuta con la transformación de normalización 𝑔𝑔(𝑦𝑦)(𝑈𝑈(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑥𝑥) = 𝑈𝑈´(𝑦𝑦, 𝑥𝑥)𝑓𝑓𝑥𝑥´ (5.17) y el tensor de curvatura es invariante bajo transformación 𝑈𝑈1𝑈𝑈2𝑈𝑈3

−1𝑈𝑈4−1 = 𝑈𝑈1´𝑈𝑈2(𝑈𝑈3)´−1(𝑈𝑈4)−1 (5.18)

En los párrafos anteriores se ha planteado que los precios y los factores de descuento tienen significado geométrico como elementos del grupo de estructura de un haz fibrado, son los responsables del transporte paralelo en las direcciones de espacio y tiempo. A continuación se mencionan algunas suposiciones sobre la invariancia de reenormalización dentro del grupo de dilatación. Supuesto 1. Dinámica de Invariancia de reenormalización Las propiedades observables y los proceso dinámicos del ambiente no dependen de la elección de unidades de los activos en cuestión. Supuesto 2. Incertidumbre intrínseca El ambiente financiero real es intrínsecamente incierto, en otras palabras hay probabilidades distintas de cero

de obtener excesos de tasas de rendimientos diferentes de las obtenidas en ambientes de certidumbre. Supuesto 3. Principio de mínima acción El exceso de la tasa de retorno, es decir, la desviación de la tasa de retorno sobre la tasa libre de riesgo, en cualquier operación toma el valor más pequeño posible que es permitido por el ambiente económico externo. Supuesto 4. Localidad Significa que si una teoría es completa, la dinámica de un activo es directamente influenciada solamente por activos conectados Γ, por definición dos puntos de la base L están Γ conectadas si existiera la posibilidad de intercambiar activos. La localidad propone un factor de intercambio 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 entre los puntos 𝑥𝑥 = (𝑖𝑖, 𝑛𝑛) y (𝑘𝑘, 𝑚𝑚)

1. Tal factor existe si los elementos correspondientes de la matriz de vínculos Γ((i, n), (k, m)) es diferente de cero

2. 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 es una función de otros factores de intercambio Uxz y Uwy tales que Γ(x, z)y Γ(w, y) y flujos de dinero Mxz y Mwy a lo largo de los vínculos Uxy = f({Uxz, Mxz}Γ(x,z){Uwy, Mwy}Γ(w,y))

Supuesto 5. Principio de Correspondencia Cuando el flujo de dinero no entra en la teoría, la teoría tiene que ser equivalente a las finanzas matemáticas estándar, en el límite de tiempo continuo se obtendrá caminatas cuasi brownianas correlacionadas con precios y factores de descuento y se reproducirán los

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resultados de la teoría de portafolios y derivados. Si se introducen flujos monetarios, se usaran algunos principios para desarrollar sus dinámicas, una forma que las propiedades estadísticas de movimiento de precios será un acuerdo general con análisis real de datos. Se denomina a un conjunto particular de valores de los factores de transporte paralelo de {𝑆𝑆, 𝑟𝑟} a la distribución de probabilidad de la configuración y es la cantidad principal para construir. Suponga una distribución de probabilidad exponencial 𝑃𝑃({𝑆𝑆, 𝑟𝑟}) = 𝑁𝑁𝑒𝑒−𝐴𝐴𝑔𝑔|𝑆𝑆,𝑟𝑟| (5.19)

donde 𝑁𝑁 es un factor de normalización y 𝐴𝐴𝑔𝑔|𝑆𝑆, 𝑟𝑟| es la nueva funcional que corresponde a la acción respecto a la invariancia de normalización. La medida de integración tiene que se invariante y los precios y tasas de la configuración entran en la acción en forma de producto a lo largo de la curvas cerradas en la base 𝐿𝐿, dichos operadores de transporte paralelo a lo largo de las curvas pueden verificarse que la sola combinación {𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖} que se establece constante bajo la transformación general de normalización son productos de 𝑈𝑈12, 𝑈𝑈23, …𝑈𝑈𝑛𝑛1. en este caso se restringirá a la dependencia funcional de la acción de los productos. Sin pérdida de generalidad nos restringiremos a un conjunto de transporte paralelo cíclico al transporta paralelo a lo largo de la base, es decir, a curvas que no puedes ser reducidas. Se puede representar la acción como una expansión de series en términos de curvaturas de plaquetas elementales 𝑅𝑅


resultados de la teoría de portafolios y derivados. Si se introducen flujos monetarios, se usaran algunos principios para desarrollar sus dinámicas, una forma que las propiedades estadísticas de movimiento de precios será un acuerdo general con análisis real de datos. Se denomina a un conjunto particular de valores de los factores de transporte paralelo de {𝑆𝑆, 𝑟𝑟} a la distribución de probabilidad de la configuración y es la cantidad principal para construir. Suponga una distribución de probabilidad exponencial 𝑃𝑃({𝑆𝑆, 𝑟𝑟}) = 𝑁𝑁𝑒𝑒−𝐴𝐴𝑔𝑔|𝑆𝑆,𝑟𝑟| (5.19)

donde 𝑁𝑁 es un factor de normalización y 𝐴𝐴𝑔𝑔|𝑆𝑆, 𝑟𝑟| es la nueva funcional que corresponde a la acción respecto a la invariancia de normalización. La medida de integración tiene que se invariante y los precios y tasas de la configuración entran en la acción en forma de producto a lo largo de la curvas cerradas en la base 𝐿𝐿, dichos operadores de transporte paralelo a lo largo de las curvas pueden verificarse que la sola combinación {𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖} que se establece constante bajo la transformación general de normalización son productos de 𝑈𝑈12, 𝑈𝑈23, …𝑈𝑈𝑛𝑛1. en este caso se restringirá a la dependencia funcional de la acción de los productos. Sin pérdida de generalidad nos restringiremos a un conjunto de transporte paralelo cíclico al transporta paralelo a lo largo de la base, es decir, a curvas que no puedes ser reducidas. Se puede representar la acción como una expansión de series en términos de curvaturas de plaquetas elementales 𝑅𝑅

𝐴𝐴𝑔𝑔|𝑆𝑆, 𝑟𝑟| = ∑ 𝛼𝛼𝛾𝛾1,𝛾𝛾2..𝛾𝛾𝛾𝛾(𝑅𝑅𝛾𝛾1 + 1)(𝑅𝑅𝛾𝛾2 +{𝛾𝛾1.𝛾𝛾2..𝛾𝛾𝛾𝛾}1) … (𝑅𝑅𝛾𝛾𝛾𝛾 + 1) (5.20)

donde la suma es tomada sobre todos los posibles conjuntos de plaquetas elementales con algún coeficiente arbitraria 𝛼𝛼𝛾𝛾1,𝛾𝛾2..𝛾𝛾𝛾𝛾 la ecuación anterior da una forma general de una acción de normalización invariante, cualquier invariante de normalización dinámica tiene que ser descrito por una acción de este tipo. La forma general de una acción lineal en curvatura puede ser escrita como: 𝐴𝐴𝑔𝑔({𝑆𝑆, 𝑟𝑟}) = ∑ 𝛼𝛼𝛾𝛾(𝑅𝑅𝛾𝛾 + 1){𝛾𝛾1.𝛾𝛾2..𝛾𝛾𝛾𝛾} (5.21)

que es la suma es tomada sobre todas las plaquetas elementales 𝛾𝛾𝑛𝑛, incluyendo diferentes orientaciones, si el coeficiente correspondiente a la plaqueta elemental no depende de la orientación, entonces se puede reescribir 𝐴𝐴𝑔𝑔({𝑆𝑆, 𝑟𝑟}) = ∑ 𝛼𝛼𝑝𝑝[(𝑅𝑅𝑝𝑝 + 1) + (𝑅𝑅𝑝𝑝 + 1)−1 −𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝2] (5.22)

Para ilustrar el significado de la acción consideremos un sistema de dos activos (acciones y efectivo) en una normalización fija. La acción es una invariante de normalización por lo que es posible encontrar una transformación invariante que no cambie la dinámica pero simplifique los cálculos, hay varias posibles elecciones de normalización, una de las cuales es una normalización axial en la que los elementos del grupo son tomados constantes o en la dirección del tiempo.

162 Phynance

También se pueden fijar los tipos de cambio a lo largo de una dirección espacial y para un momento del tiempo. A continuación se fija el precio de las acciones en el momento 𝑡𝑡 = 0 como 𝑆𝑆0, y significa que la situación de la base, la única variable dinámica es el tipo de cambio como función del tiempo y la correspondiente medida de integración es la medida invariante 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑖𝑖/𝑆𝑆𝑖𝑖. Definiendo 𝑡𝑡𝑖𝑖 = 𝑖𝑖Δ, 𝑖𝑖 = −∞,… ,∞ se llega a la siguiente acción como función de {𝑆𝑆𝑖𝑖} 𝐴𝐴𝑔𝑔({𝑆𝑆, 𝑟𝑟}) = ∑ 𝛼𝛼𝑖𝑖(𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ +𝑖𝑖=−∞𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒−𝑟𝑟0△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ − 2) (5.23) eligiendo 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 1/2Δ𝜎𝜎𝑖𝑖2 que no es dificl en el limite Δ →0 la expresión converge a la integral

𝐴𝐴𝑔𝑔(𝑆𝑆(. )) =12 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 1

𝜎𝜎2(𝜏𝜏)∞−∞ (

𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏)𝜕𝜕𝜏𝜏𝑆𝑆(𝜏𝜏) − 𝜇𝜇)

2

(5.24) que corresponde a una caminata aleatoria con volatilidad 𝜎𝜎(𝑑𝑑) dependiente del tiempo y tasa promedio del rendimiento de las acciones 𝜇𝜇 = 𝑟𝑟0 − 𝑟𝑟1 (5.25) se introduce 𝑆𝑆(𝑑𝑑𝑖𝑖) como 𝑆𝑆(𝑑𝑑𝑖𝑖) = 𝑆𝑆(𝑡𝑡𝑖𝑖 + Δ/2) que permite representar el termino 𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ y después del desarrollo y simplificación y sustituyendo y suponiendo 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 1/2Δ𝜎𝜎𝑖𝑖2 se obtiene 𝐴𝐴𝑔𝑔(𝑆𝑆(. )) =

12∑

1𝜎𝜎𝑖𝑖2(𝑆𝑆´𝑙𝑙(𝜏𝜏𝑖𝑖)𝑆𝑆𝑙𝑙

+ 𝑟𝑟𝑙𝑙 − 𝑟𝑟0) (𝑆𝑆´𝑚𝑚(𝜏𝜏𝑖𝑖)𝑆𝑆𝑚𝑚

+ 𝑟𝑟𝑚𝑚 −∞𝑖𝑖=−∞

𝑟𝑟0) (5.26) el sistema como un todo no es conservativo y ambas tasas r0 y r1 son externas al sistema, se supone certidumbre y que la capitalización de la compañía se ha


También se pueden fijar los tipos de cambio a lo largo de una dirección espacial y para un momento del tiempo. A continuación se fija el precio de las acciones en el momento 𝑡𝑡 = 0 como 𝑆𝑆0, y significa que la situación de la base, la única variable dinámica es el tipo de cambio como función del tiempo y la correspondiente medida de integración es la medida invariante 𝑑𝑑𝑆𝑆𝑖𝑖/𝑆𝑆𝑖𝑖. Definiendo 𝑡𝑡𝑖𝑖 = 𝑖𝑖Δ, 𝑖𝑖 = −∞,… ,∞ se llega a la siguiente acción como función de {𝑆𝑆𝑖𝑖} 𝐴𝐴𝑔𝑔({𝑆𝑆, 𝑟𝑟}) = ∑ 𝛼𝛼𝑖𝑖(𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ +𝑖𝑖=−∞𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒−𝑟𝑟0△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ − 2) (5.23) eligiendo 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 1/2Δ𝜎𝜎𝑖𝑖2 que no es dificl en el limite Δ →0 la expresión converge a la integral

𝐴𝐴𝑔𝑔(𝑆𝑆(. )) =12 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 1

𝜎𝜎2(𝜏𝜏)∞−∞ (

𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏)𝜕𝜕𝜏𝜏𝑆𝑆(𝜏𝜏) − 𝜇𝜇)

2

(5.24) que corresponde a una caminata aleatoria con volatilidad 𝜎𝜎(𝑑𝑑) dependiente del tiempo y tasa promedio del rendimiento de las acciones 𝜇𝜇 = 𝑟𝑟0 − 𝑟𝑟1 (5.25) se introduce 𝑆𝑆(𝑑𝑑𝑖𝑖) como 𝑆𝑆(𝑑𝑑𝑖𝑖) = 𝑆𝑆(𝑡𝑡𝑖𝑖 + Δ/2) que permite representar el termino 𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1△𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟0△ y después del desarrollo y simplificación y sustituyendo y suponiendo 𝛼𝛼𝑖𝑖 = 1/2Δ𝜎𝜎𝑖𝑖2 se obtiene 𝐴𝐴𝑔𝑔(𝑆𝑆(. )) =

12∑

1𝜎𝜎𝑖𝑖2(𝑆𝑆´𝑙𝑙(𝜏𝜏𝑖𝑖)𝑆𝑆𝑙𝑙

+ 𝑟𝑟𝑙𝑙 − 𝑟𝑟0) (𝑆𝑆´𝑚𝑚(𝜏𝜏𝑖𝑖)𝑆𝑆𝑚𝑚

+ 𝑟𝑟𝑚𝑚 −∞𝑖𝑖=−∞

𝑟𝑟0) (5.26) el sistema como un todo no es conservativo y ambas tasas r0 y r1 son externas al sistema, se supone certidumbre y que la capitalización de la compañía se ha

incrementado, nuevas acciones por la misma cantidad han sido emitidas y dividendos han sido pagados pero no en efectivo. El número de acciones para cada acción es 𝑒𝑒𝑟𝑟1Δ significa que las acciones acumuladas tendrán un precio 𝑆𝑆1𝑒𝑒𝑟𝑟1Δ mientras que el precio original fue S0 tomando en cuenta el descuento y la certidumbre se tiene la expresión 𝑆𝑆1 = 𝑒𝑒(𝑟𝑟0−𝑟𝑟1)𝑆𝑆0 (5.27) que nos dice que la tasa de rendimiento de la acción debería ser 𝑟𝑟0 − 𝑟𝑟1. La forma general de la acción con curvatura cuadrática R es representada 𝐴𝐴𝑔𝑔({𝑆𝑆, 𝑟𝑟}) = ∑ 𝛼𝛼𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝑅𝑅𝛾𝛾𝛾𝛾𝑅𝑅𝛾𝛾𝛾𝛾{𝛾𝛾𝛾𝛾.𝛾𝛾𝛾𝛾} (5.28) después de la suma es tomada sobre todas las plaquetas elementales incluyendo distintas orientación 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾, en el caso de un sistema de efectivo y acciones se genera un procesos estocástico que en el límite continuo con varianzas y coeficientes de correlación de una sección cruzada se puede demostrar 𝐴𝐴𝑔𝑔(𝑆𝑆(. )) = ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑∞

−∞ ∑ 12 (𝜎𝜎

2(𝑑𝑑))𝑙𝑙𝛾𝛾−1 (𝑆𝑆´(𝜏𝜏𝑖𝑖)𝑆𝑆(𝜏𝜏𝑖𝑖)

+ 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟0)2𝑁𝑁

𝑙𝑙,𝛾𝛾=1 (5.29) el tipo de correlación de la descripción de activos con correlaciones que no son debidas a flujos monetarios. Es claro, que las acciones cuadráticas son casos particulares de acciones más generales y pueden ser considerados en casos donde las fluctuaciones de arbitraje son suficientemente pequeñas y que uno puede limitar a la acción general.

164 Phynance

5.4 Modelo de Normalización para determinar precios de derivados Se consideraran los siguientes supuestos: un solo tipo de acciones, perfecta movilidad de capitales, un portafolio con dos activos de riesgo, un parámetro para los derivados y las acciones subyacentes con el precio de la acción como un solo factor. Además de asumir la existencia de activos libres de riesgo, depósitos bancarios con una tasa de interés 𝑟𝑟𝑏𝑏, acciones o derivados pueden ser intercambiados por efectivo y viceversa. Las tasa de cambio son 𝑆𝑆𝑖𝑖y 𝐶𝐶𝑖𝑖 es decir una acción o un derivado es intercambiado por Si o 𝐶𝐶𝑖𝑖 unidades de efectivo en el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖, y las tasas inversas de cambio son 𝑆𝑆𝑖𝑖

−1 y𝐶𝐶𝑖𝑖−1, considera el periodo

que inicia en t=0 y vencimiento en 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇 es conveniente elegir el tiempo 𝑇𝑇 como el vencimiento del contrato derivado, supongamos que existe el horizonte de tiempo más corte Δ= 𝑇𝑇/𝑁𝑁 y Δ es tomado como unidad de tiempo. Significa que los tipos de cambio 𝑆𝑆𝑖𝑖 y 𝐶𝐶𝑖𝑖 es el conjunto de tiempo equidistante {𝑡𝑡𝑖𝑖}𝑖𝑖=0

𝑁𝑁 , 𝑡𝑡𝑖𝑖 = 𝑖𝑖Δ que representa el transporte paralelo. La tasa de interés para el efectivo es 𝑟𝑟𝑏𝑏 entre dos tiempos subsecuentes 𝑡𝑡𝑖𝑖 y 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 y el volumen de efectivo que se incrementa por el factor 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑏𝑏Δ. Las acciones y los derivados están caracterizados por las tasas 𝑟𝑟1 y 𝑟𝑟2, dichas tasas son responsables del transporte paralelo en la misma dirección. Se propone una acción de campo de normalización que utiliza el tensor de curvatura asociada con las operaciones de plaquetas elementales. Por ejemplo, supongamos una operación de plaquetas efectivo-


5.4 Modelo de Normalización para determinar precios de derivados Se consideraran los siguientes supuestos: un solo tipo de acciones, perfecta movilidad de capitales, un portafolio con dos activos de riesgo, un parámetro para los derivados y las acciones subyacentes con el precio de la acción como un solo factor. Además de asumir la existencia de activos libres de riesgo, depósitos bancarios con una tasa de interés 𝑟𝑟𝑏𝑏, acciones o derivados pueden ser intercambiados por efectivo y viceversa. Las tasa de cambio son 𝑆𝑆𝑖𝑖y 𝐶𝐶𝑖𝑖 es decir una acción o un derivado es intercambiado por Si o 𝐶𝐶𝑖𝑖 unidades de efectivo en el momento 𝑡𝑡𝑖𝑖, y las tasas inversas de cambio son 𝑆𝑆𝑖𝑖

−1 y𝐶𝐶𝑖𝑖−1, considera el periodo

que inicia en t=0 y vencimiento en 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇 es conveniente elegir el tiempo 𝑇𝑇 como el vencimiento del contrato derivado, supongamos que existe el horizonte de tiempo más corte Δ= 𝑇𝑇/𝑁𝑁 y Δ es tomado como unidad de tiempo. Significa que los tipos de cambio 𝑆𝑆𝑖𝑖 y 𝐶𝐶𝑖𝑖 es el conjunto de tiempo equidistante {𝑡𝑡𝑖𝑖}𝑖𝑖=0

𝑁𝑁 , 𝑡𝑡𝑖𝑖 = 𝑖𝑖Δ que representa el transporte paralelo. La tasa de interés para el efectivo es 𝑟𝑟𝑏𝑏 entre dos tiempos subsecuentes 𝑡𝑡𝑖𝑖 y 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 y el volumen de efectivo que se incrementa por el factor 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑏𝑏Δ. Las acciones y los derivados están caracterizados por las tasas 𝑟𝑟1 y 𝑟𝑟2, dichas tasas son responsables del transporte paralelo en la misma dirección. Se propone una acción de campo de normalización que utiliza el tensor de curvatura asociada con las operaciones de plaquetas elementales. Por ejemplo, supongamos una operación de plaquetas efectivo-

acciones que tiene el siguiente curso de las acciones: un trader pide prestada una acción en el tiempo 𝑡𝑡𝑖𝑖 y la vende por 𝑆𝑆𝑖𝑖 unidades de efectivo y pone el efectivo en el banco hasta el tiempo 𝑡𝑡𝑖𝑖+1 y cierra su posición corta en el tiempo 𝑡𝑡𝑖𝑖+1, pidiendo prestado 𝑒𝑒𝑟𝑟1Δ𝑆𝑆𝑖𝑖+1 unidades de efectivo y comprando acciones, el resultado del trader será 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑏𝑏Δ𝑆𝑆𝑖𝑖 − 𝑒𝑒𝑟𝑟1Δ𝑆𝑆𝑖𝑖+1 unidades de efectivo, el exceso de rendimiento de esta operación es: 𝑄𝑄𝑖𝑖

(1) = 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟𝑏𝑏Δ𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟1Δ − 1 (5.30)

para obtener esta expresión hemos descontado la cantidad y convertido en acciones, la operación fue iniciada en acciones. La ecuación tiene elementos de tensor de curvatura correspondientes a los activos de los ciclos. Si 𝑄𝑄𝑖𝑖

(1) ≠ 0 un trader puede tener un exceso de rendimiento esta es una operación inversa, la cantidad 𝑅𝑅𝑖𝑖

(1) = (𝑆𝑆𝑖𝑖−1𝑒𝑒𝑟𝑟1Δ𝑆𝑆𝑖𝑖+1𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟Δ + 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟Δ𝑆𝑆𝑖𝑖+1

−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟1Δ − 2)/Δ (5.31) y usamos para medir el precio equivocado (exceso de rendimiento) en operaciones efectivo acción, en ausencia de precio equivocado a la igualdad 𝑆𝑆𝑖𝑖

−1𝑒𝑒𝑟𝑟1Δ𝑆𝑆𝑖𝑖+1𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟Δ = 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟Δ𝑆𝑆𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟1Δ = 1 (5.32)

lo mismo puede ser para otras operaciones de plaqueta, por ejemplo el elemento del tensor de curvatura para una plaqueta efectivo derivado está dada por 𝑄𝑄𝑖𝑖

(2) = 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟Δ𝐶𝐶𝑖𝑖+1−1 𝑒𝑒−𝑟𝑟2Δ − 1 (5.33)

166 Phynance

las cantidades plaquetas son invariantes de normalización, es decir, no cambian bajo una transformación de normalización reescalada. Se propone la acción de normalización más simple que depende de correlaciones de activos acción cuadrática local en tiempo 𝐴𝐴𝑔𝑔 = 12 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑∞

−∞ [𝛼𝛼11 (𝑆𝑆´´𝑆𝑆 + 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟0)

2+ (𝐶𝐶´´

𝐶𝐶 + 𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟0)2

+

2𝛼𝛼12 (𝐶𝐶´´𝐶𝐶 + 𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟0) (𝑆𝑆´´

𝑆𝑆 + 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟0)] (5.34) aquí ‖𝛼𝛼‖ es la inversa de la matriz de correlación de las cantidades plaquetas , la correlación es importante ya que el derivado depende del precio subyacente que causa la correlación. La acción directa del movimiento del precio subyacente, el precio sigue un movimiento geométrico browniano en ausencia del flujo de dinero, ese flujo de dinero puede cambiar significativamente la función de distribución y otras propiedades de la caminata aleatoria. Si se selecciona una tasa libre de riesgo 𝑟𝑟𝑏𝑏 y 𝑟𝑟𝑏𝑏 − 𝑟𝑟1 y𝑟𝑟𝑏𝑏 −𝑟𝑟2 tasas promedio de rendimiento sobre las acciones y derivados las variables son el precio 𝑆𝑆(𝑡𝑡) y 𝐶𝐶(𝑡𝑡) y la medida correspondiente de integración en la integral funcional para la probabilidad de transición es la medida invariante 𝒟𝒟𝒟𝒟 𝒟𝒟𝒮𝒮 = ∏ 𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝑡𝑡 (5.35)

Si se fija el precio de las acciones en el tiempo 𝑡𝑡 = 0, 𝑆𝑆0 = 𝑆𝑆(0), y el tipo de cambio del derivado de la acción


las cantidades plaquetas son invariantes de normalización, es decir, no cambian bajo una transformación de normalización reescalada. Se propone la acción de normalización más simple que depende de correlaciones de activos acción cuadrática local en tiempo 𝐴𝐴𝑔𝑔 = 12 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑∞

−∞ [𝛼𝛼11 (𝑆𝑆´´𝑆𝑆 + 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟0)

2+ (𝐶𝐶´´

𝐶𝐶 + 𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟0)2

+

2𝛼𝛼12 (𝐶𝐶´´𝐶𝐶 + 𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟0) (𝑆𝑆´´

𝑆𝑆 + 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟0)] (5.34) aquí ‖𝛼𝛼‖ es la inversa de la matriz de correlación de las cantidades plaquetas , la correlación es importante ya que el derivado depende del precio subyacente que causa la correlación. La acción directa del movimiento del precio subyacente, el precio sigue un movimiento geométrico browniano en ausencia del flujo de dinero, ese flujo de dinero puede cambiar significativamente la función de distribución y otras propiedades de la caminata aleatoria. Si se selecciona una tasa libre de riesgo 𝑟𝑟𝑏𝑏 y 𝑟𝑟𝑏𝑏 − 𝑟𝑟1 y𝑟𝑟𝑏𝑏 −𝑟𝑟2 tasas promedio de rendimiento sobre las acciones y derivados las variables son el precio 𝑆𝑆(𝑡𝑡) y 𝐶𝐶(𝑡𝑡) y la medida correspondiente de integración en la integral funcional para la probabilidad de transición es la medida invariante 𝒟𝒟𝒟𝒟 𝒟𝒟𝒮𝒮 = ∏ 𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝑡𝑡 (5.35)

Si se fija el precio de las acciones en el tiempo 𝑡𝑡 = 0, 𝑆𝑆0 = 𝑆𝑆(0), y el tipo de cambio del derivado de la acción

al momento de ejercer el derivado. La ponderación de la probabilidad de las trayectorias de los precios en ausencia del flujo de dinero está dado por la acción anterior y la medida anterior. Se necesita calcular la matriz de correlación ‖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖‖ y su inversa ‖𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖‖ para sustituir en la ecuación anterior. Un instrumento derivado de una acción, el precio del derivado tiene que ser correlacionado con el precio de la acción. Es conveniente para nuestro propósito escribir la función 𝐶𝐶(𝑡𝑡) para algunas funciones desconocidas 𝑆𝑆(𝑡𝑡) se integrara 𝐶𝐶(𝑡𝑡) sobre todos las funciones 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆(𝑡𝑡)) sin perder generalidad. El coeficiente de correlación C11 es por definición la volatilidad del precio del activo 𝐶𝐶11 =

⟨(1𝑆𝑆𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)+(𝑟𝑟1−𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)(1

𝑆𝑆𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)+(𝑟𝑟1−𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)⟩𝑑𝑑𝑡𝑡 = 1

𝛽𝛽1 (5.36)

y denotamos el segundo factor de correlación 𝐶𝐶12 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝛼𝛼(𝑡𝑡)/2𝛽𝛽𝑡𝑡 introduciendo 𝛼𝛼(𝑡𝑡) =

⟨(1𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)+(𝑟𝑟2−𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)(1

𝑆𝑆𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)+(𝑟𝑟1−𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)⟩⟨(1

𝑆𝑆𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)+(𝑟𝑟1−𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)(1𝑆𝑆𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)+(𝑟𝑟1−𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)⟩

(5.37) usando la expansión de lema de Ito y suponiendo que el primer término que depende de 𝑑𝑑𝑆𝑆, encontramos un expresión para 𝛼𝛼 igual a 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑 , el coeficiente de

correlación se puede escribir 𝐶𝐶12 = 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑 /2𝛽𝛽1 (5.38)

𝐶𝐶22 se calcula de manera similar, la correlación en el cambio de derivados depende de la 𝑆𝑆 mencionada y de la naturaleza estocástica de la función 𝐶𝐶(𝑆𝑆), la suma

168 Phynance

puede ser expresada como suma de la correlación 𝛼𝛼2(𝑡𝑡)

2𝛽𝛽1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 S y algunas correlaciones residuales 𝐶𝐶22 = ⟨(1

𝐶𝐶 𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡) + (𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡) (1𝐶𝐶 𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡) + (𝑟𝑟2 −

𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)⟩ /𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛼𝛼2(𝑡𝑡)2𝛽𝛽1

+ (1−𝛼𝛼)2(𝑡𝑡)2𝛽𝛽2

(5.39) el ultimo termino desaparece si las derivadas son la acción de tal forma 𝛼𝛼 = 1 𝑦𝑦 𝐶𝐶11 = 𝐶𝐶12 , la matriz es resultado

‖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖‖ = (1

2𝛽𝛽1

𝛼𝛼2𝛽𝛽1

𝛼𝛼2𝛽𝛽1

𝛼𝛼(𝑡𝑡)2

2𝛽𝛽1+ (1−𝛼𝛼)2

2𝛽𝛽2

) (5. 40)

y la inversa ‖𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖‖ = (2𝛽𝛽1 + 2𝛼𝛼2

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽22𝛼𝛼

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽22𝛼𝛼2

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽22

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽2)

𝐴𝐴𝑔𝑔 = 12 ∫ 𝛽𝛽1𝑑𝑑𝑡𝑡∞

−∞ [( 1𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + (𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟𝑏𝑏))

2+

∫ 𝛽𝛽2𝑑𝑑𝑡𝑡(1−𝛼𝛼)2 [( 1

𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡 + (𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟𝑏𝑏)) −∞−∞

𝛼𝛼(𝑡𝑡) (1

𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡 +(𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟𝑏𝑏)

)]2

] (5.41)

se debe notar que 𝐴𝐴𝑔𝑔 = ∑ (𝛽𝛽1𝑅𝑅𝑖𝑖

(1) + 𝛽𝛽2(1−𝛼𝛼)2 𝑅𝑅𝑖𝑖

(2,1))𝑖𝑖 (5.42)


puede ser expresada como suma de la correlación 𝛼𝛼2(𝑡𝑡)

2𝛽𝛽1𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 S y algunas correlaciones residuales 𝐶𝐶22 = ⟨(1

𝐶𝐶 𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡) + (𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡) (1𝐶𝐶 𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡) + (𝑟𝑟2 −

𝑟𝑟0)𝑑𝑑𝑡𝑡)⟩ /𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛼𝛼2(𝑡𝑡)2𝛽𝛽1

+ (1−𝛼𝛼)2(𝑡𝑡)2𝛽𝛽2

(5.39) el ultimo termino desaparece si las derivadas son la acción de tal forma 𝛼𝛼 = 1 𝑦𝑦 𝐶𝐶11 = 𝐶𝐶12 , la matriz es resultado

‖𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖‖ = (1

2𝛽𝛽1

𝛼𝛼2𝛽𝛽1

𝛼𝛼2𝛽𝛽1

𝛼𝛼(𝑡𝑡)2

2𝛽𝛽1+ (1−𝛼𝛼)2

2𝛽𝛽2

) (5. 40)

y la inversa ‖𝛼𝛼𝑖𝑖𝑖𝑖‖ = (2𝛽𝛽1 + 2𝛼𝛼2

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽22𝛼𝛼

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽22𝛼𝛼2

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽22

(1−𝛼𝛼)2 𝛽𝛽2)

𝐴𝐴𝑔𝑔 = 12 ∫ 𝛽𝛽1𝑑𝑑𝑡𝑡∞

−∞ [( 1𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + (𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟𝑏𝑏))

2+

∫ 𝛽𝛽2𝑑𝑑𝑡𝑡(1−𝛼𝛼)2 [( 1

𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡 + (𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟𝑏𝑏)) −∞−∞

𝛼𝛼(𝑡𝑡) (1


𝑑𝑑𝑡𝑡 +(𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟𝑏𝑏)

)]2

] (5.41)

se debe notar que 𝐴𝐴𝑔𝑔 = ∑ (𝛽𝛽1𝑅𝑅𝑖𝑖

(1) + 𝛽𝛽2(1−𝛼𝛼)2 𝑅𝑅𝑖𝑖

(2,1))𝑖𝑖 (5.42)

donde

𝑅𝑅(1) = (𝑄𝑄(1))2

Δ 𝑅𝑅(2,1) = (𝑄𝑄𝑖𝑖(2)−𝛼𝛼𝑖𝑖𝑄𝑄𝑖𝑖

(1) )2

Δ (5.43) esta acción está en un sistema de lattice son considerados usando la acción en tiempo continuo 5.5 Derivación de la Ecuación de Black-Scholes En esta sección se deriva la ecuación de Black-Scholes en el límite clásico a partir de la teoría de normalización en primer caso, en ausencia de flujo monetario, el término de Ag en el lado de derecho de la ecuación para el precio de un activo subyacente permite usar el lema de Ito en la deducción. ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑∞

−∞ [+ ∫ [( 1𝐶𝐶(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 + (𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟𝑏𝑏)) − 𝛼𝛼(𝑑𝑑) ( 1


𝑑𝑑𝑡𝑡 +∞−∞

(𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟𝑏𝑏))]2

] (5.44) ya que 𝑆𝑆(𝑑𝑑) sigue un movimiento geométrico browniano podemos usar el lema de Ito para expander 𝑑𝑑𝑑𝑑 y se puede reescribir el termino de acción ∫ 𝛽𝛽2𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶2

(𝐶𝐶−𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆)

2 [1𝐶𝐶

𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑡𝑡 + 1

𝐶𝐶𝜎𝜎2

2 𝑆𝑆2 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆2 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟𝑏𝑏 (1 − 𝑆𝑆

𝐶𝐶𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆) +

(𝑟𝑟2 − 𝑆𝑆𝐶𝐶

𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆 𝑟𝑟1)]

2 (5.45)

la última expresión se puede simplificar si la componente de la conexión ( en la que la normalización es axial) es fija de tal forma 𝑟𝑟2 = 𝑟𝑟1

𝑆𝑆𝐶𝐶

𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆. En el caso

general los valores de 𝑆𝑆 y 𝑑𝑑 no serán los precios de

170 Phynance

mercado de un número fijo de acciones y derivados en el caso de la tasa promedio del rendimiento de acciones obedece la acción 𝑟𝑟1 = 𝑟𝑟𝑏𝑏 − 𝜇𝜇. La normalización elegida de 𝑆𝑆 corresponde a un número fijo de acciones, de la misma forma, la fijación de la normalización corresponde a 𝐶𝐶 como el precio de un número fijo de contratos derivados que nos permitirá obtener la expresión para el termino arbitrario de acción

∫𝛽𝛽2𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+

𝜎𝜎22 𝑆𝑆

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑟𝑟𝑏𝑏(𝐶𝐶−𝑆𝑆

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆)

𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆)2

(5.46)

En el límite clásico 𝛽𝛽2 → ∞ que corresponde a la ausencia de arbitraje, la acción reduce la integración funcional sobre funciones 𝐶𝐶(𝑑𝑑, 𝑆𝑆) a la contribución de solo la trayectoria clásica es definida por la ecuación Black-Scholes para el precio de derivados financieros 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑑𝑑 +

𝜎𝜎22 𝑆𝑆

2 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆2 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟𝑏𝑏 (𝐶𝐶 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝐶𝐶

𝜕𝜕𝑆𝑆) (5.47) Esta ecuación no depende de algún tipo particular de derivado y ahora se procederá con la derivación de las condiciones de frontera. Para la derivación de las cantidades de plaquetas de frontera para una opción call europea, en el vencimiento 𝑇𝑇 la opción puede ser vendida o comprada por 𝐶𝐶(𝑇𝑇) unidades de efectivo pero puede ser intercambiado (junto con 𝐸𝐸 unidades de efectivo) para una acción. Si el precio de la acción 𝑆𝑆 es menor que el precio de ejercicio 𝐸𝐸 que conforma el call. El nuevo vinculo crea nuevas oportunidades de arbitraje que se toma en cuenta para introducir el termino 𝛽𝛽𝑅𝑅𝑁𝑁 existe un nuevo arbitraje que es disponible al vencimiento en 𝑇𝑇; uno puede pedir


mercado de un número fijo de acciones y derivados en el caso de la tasa promedio del rendimiento de acciones obedece la acción 𝑟𝑟1 = 𝑟𝑟𝑏𝑏 − 𝜇𝜇. La normalización elegida de 𝑆𝑆 corresponde a un número fijo de acciones, de la misma forma, la fijación de la normalización corresponde a 𝐶𝐶 como el precio de un número fijo de contratos derivados que nos permitirá obtener la expresión para el termino arbitrario de acción

∫𝛽𝛽2𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕+

𝜎𝜎22 𝑆𝑆

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2𝑑𝑑𝑑𝑑−𝑟𝑟𝑏𝑏(𝐶𝐶−𝑆𝑆

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆)

𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆)2

(5.46)

En el límite clásico 𝛽𝛽2 → ∞ que corresponde a la ausencia de arbitraje, la acción reduce la integración funcional sobre funciones 𝐶𝐶(𝑑𝑑, 𝑆𝑆) a la contribución de solo la trayectoria clásica es definida por la ecuación Black-Scholes para el precio de derivados financieros 𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑑𝑑 +

𝜎𝜎22 𝑆𝑆

2 𝜕𝜕2𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆2 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟𝑏𝑏 (𝐶𝐶 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝐶𝐶

𝜕𝜕𝑆𝑆) (5.47) Esta ecuación no depende de algún tipo particular de derivado y ahora se procederá con la derivación de las condiciones de frontera. Para la derivación de las cantidades de plaquetas de frontera para una opción call europea, en el vencimiento 𝑇𝑇 la opción puede ser vendida o comprada por 𝐶𝐶(𝑇𝑇) unidades de efectivo pero puede ser intercambiado (junto con 𝐸𝐸 unidades de efectivo) para una acción. Si el precio de la acción 𝑆𝑆 es menor que el precio de ejercicio 𝐸𝐸 que conforma el call. El nuevo vinculo crea nuevas oportunidades de arbitraje que se toma en cuenta para introducir el termino 𝛽𝛽𝑅𝑅𝑁𝑁 existe un nuevo arbitraje que es disponible al vencimiento en 𝑇𝑇; uno puede pedir

prestado el portafolio consistente de la operación y 𝐸𝐸 unidades de monedas intercambiándolo por acciones si 𝑆𝑆(𝑇𝑇) > 𝐸𝐸 vendiendo acciones por 𝑆𝑆(𝑇𝑇) unidades de efectivo y comprando el portafolio también otra vez, esto que da las plaquetas exceden al rendimiento 𝑄𝑄𝑁𝑁 = [[𝑆𝑆(𝑇𝑇)𝜃𝜃(𝑆𝑆(𝑇𝑇) − 𝐸𝐸) + 𝐸𝐸𝜃𝜃(𝐸𝐸 − 𝑆𝑆(𝑇𝑇))]][𝐶𝐶(𝑇𝑇) +𝐸𝐸]−1 − 1 (5.48) y para la cantidad de plaqueta 𝑅𝑅𝑁𝑁´ se obtiene 𝑅𝑅𝑁𝑁´ =

𝐸𝐸𝐸𝐸(𝐸𝐸−𝑆𝑆(𝑇𝑇))+𝑆𝑆(𝑇𝑇)𝐸𝐸(𝑆𝑆(𝑇𝑇)−𝐸𝐸)𝐶𝐶(𝑇𝑇)+𝐸𝐸 + 𝐶𝐶(𝑇𝑇)+𝐸𝐸

𝐸𝐸𝐸𝐸(𝐸𝐸−𝑆𝑆(𝑇𝑇))+𝑆𝑆(𝑇𝑇)𝐸𝐸(𝑆𝑆(𝑇𝑇)−𝐸𝐸) (5.49) en el límite cuasiclasico 𝛽𝛽 → ∞ que reproduce las condiciones de frontera para las opciones call europeas 𝐶𝐶(𝑇𝑇) = [𝑆𝑆(𝑇𝑇) − 𝐸𝐸]𝜃𝜃(𝑆𝑆(𝑇𝑇) − 𝐸𝐸) (5.50)

sin considerar la posibilidad de arbitraje en el tiempo 𝑇𝑇, podemos usar esta ecuación como una condición de normalización fija y no necesitamos considerar adicionalmente plaquetas en la frontera. 5.6 Arbitraje de Flujo de dinero Para introducir el arbitraje de flujo de dinero es conveniente usar un haz fibrado de base continua. En el caso de derivado y acciones, las coordenadas en la base son (𝑡𝑡, 𝑋𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝑆𝑆) donde t es el tiempo, 𝑋𝑋𝑆𝑆 es la fracción del tiempo almacenado en acciones y 𝑋𝑋𝐶𝐶 es la correspondiente fracción de derivados. Para realizar arbitraje por definición se deben explotar las ventajas de las ineficiencias del mercado, en el

172 Phynance

espacio de configuración está restringido a un portafolio libre de riesgo, así como en física o matemáticas se necesita introducir un potencial externo −𝜆𝜆∫(𝑥𝑥𝐶𝐶

𝑑𝑑𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑥𝑥𝑆𝑆

𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆 )

2 (5.51)

dentro de acción de arbitraje. La acción por si misma puede ser construida usando los principios de invariancia de normalización, maximización de utilidades, la estrategia de los inversionistas no siempre son óptimas, existe perfecta movilidad de capitales, el horizonte de inversión es de corto tiempo, y no hay costos de transacción y la hipótesis de mercado fractal. En el caso de aversión al riesgo absoluta (𝜆𝜆 → ∞), las trayectorias de flujo de dinero con probabilidades diferentes de cero están confinadas a reducir un sub-espacio definido por 𝑋𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝑋𝐶𝐶

𝑆𝑆𝐶𝐶𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆 = 0 (5.52)

que elimina el término potencial que coordina el portafolio de arbitraje que esta parametrizado por 𝑘𝑘: 𝑋𝑋𝐶𝐶 = 𝑘𝑘 𝐶𝐶

𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑋𝑋𝑆𝑆 = −𝑘𝑘 𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

(5.53)

Por lo tanto, en la acción para el arbitraje define un campo unidimensional con la línea como espacio de configuración. La simplificación será alcanzada si suponemos que el arbitraje mantiene el portafolio con


espacio de configuración está restringido a un portafolio libre de riesgo, así como en física o matemáticas se necesita introducir un potencial externo −𝜆𝜆∫(𝑥𝑥𝐶𝐶

𝑑𝑑𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑥𝑥𝑆𝑆

𝑑𝑑𝑆𝑆𝑆𝑆 )

2 (5.51)

dentro de acción de arbitraje. La acción por si misma puede ser construida usando los principios de invariancia de normalización, maximización de utilidades, la estrategia de los inversionistas no siempre son óptimas, existe perfecta movilidad de capitales, el horizonte de inversión es de corto tiempo, y no hay costos de transacción y la hipótesis de mercado fractal. En el caso de aversión al riesgo absoluta (𝜆𝜆 → ∞), las trayectorias de flujo de dinero con probabilidades diferentes de cero están confinadas a reducir un sub-espacio definido por 𝑋𝑋𝑆𝑆 + 𝑋𝑋𝐶𝐶

𝑆𝑆𝐶𝐶𝜕𝜕𝐶𝐶𝜕𝜕𝑆𝑆 = 0 (5.52)

que elimina el término potencial que coordina el portafolio de arbitraje que esta parametrizado por 𝑘𝑘: 𝑋𝑋𝐶𝐶 = 𝑘𝑘 𝐶𝐶

𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝑋𝑋𝑆𝑆 = −𝑘𝑘 𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

(5.53)

Por lo tanto, en la acción para el arbitraje define un campo unidimensional con la línea como espacio de configuración. La simplificación será alcanzada si suponemos que el arbitraje mantiene el portafolio con

un valor máximo absoluto de 𝑘𝑘, entonces maximizando el precio, el valor máximo 𝑘𝑘0 es dictado por la posición límite para un arbitrarista promedio, entonces el significado de los parámetros 𝑘𝑘 es la fracción del portafolio completo en activos de riesgo. La suposición permite reducir el conjunto de portafolios con arbitraje a solo dos puntos (𝑘𝑘0

𝐶𝐶𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕, −𝑘𝑘0

𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

) (5.54 a)

(−𝑘𝑘0

𝐶𝐶𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕, +𝑘𝑘0

𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

𝐶𝐶−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

) (5.54 b)

en esta forma el flujo de dinero de arbitraje esta descrito por este modelo que nos permitirá usar los resultados de esos capítulos en el análisis de la reacción del mercado a fluctuaciones de arbitraje virtual. En el caso de haz fibrado continuo es conveniente fijar el calibre de tal forma que el precio de base de portafolios en cada punto de la base es igual a uno y las componentes correspondientes de la conexión del punto (𝑡𝑡, 𝑋𝑋𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝑆𝑆) son: 𝐴𝐴0 = (1 − 𝑥𝑥𝑆𝑆 − 𝑥𝑥𝐶𝐶)𝑟𝑟𝑏𝑏 + 𝑥𝑥𝑆𝑆 (𝑟𝑟𝑙𝑙 + 𝑑𝑑𝑆𝑆(𝑡𝑡)

𝑆𝑆(𝑡𝑡) ) + 𝑥𝑥𝐶𝐶 (𝑟𝑟2 + 𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑡𝑡)𝐶𝐶(𝑡𝑡) )

(5.55) Para el caso anterior base, la matriz de transición no normalizada para el incremento del paso Δ en el gauge tiene la forma 𝑃𝑃(𝑡𝑡𝑖𝑖, 𝑡𝑡𝑖𝑖−1) = (𝑒𝑒𝛽𝛽 Δ𝐴𝐴0(−𝑘𝑘0) 1

1 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑒𝑒𝛽𝛽 Δ𝐴𝐴0(𝑘𝑘0) ) (5.56)

174 Phynance

lo que sigue 𝐴𝐴0(±𝑘𝑘0) = 𝑟𝑟𝑏𝑏 ± 𝑘𝑘0 (𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑆𝑆2𝜎𝜎2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑏𝑏𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝑏𝑏𝐶𝐶) /(𝐶𝐶 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆) (5.57) y se puede reescribir la matriz de transición

Normalizando e introduciendo la notación ℒ𝐵𝐵𝑆𝑆𝐶𝐶 = 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑆𝑆2𝜎𝜎2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑏𝑏𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝑏𝑏𝐶𝐶 (5.59) entonces se obtiene la matriz de transición

𝑃𝑃(𝑡𝑡𝑖𝑖, 𝑡𝑡𝑖𝑖−1) = 12 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ−1 [1

2 k0β Δℒ𝐵𝐵𝑆𝑆𝐶𝐶/ (𝐶𝐶 −

𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆) 𝑋𝑋 (𝑠𝑠−1

2k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵) 𝑠𝑠−1

2k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵)

𝑠𝑠12k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐵𝐵) 𝑠𝑠12k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐵𝐵))]

(5.60) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕 + 𝜆𝜆𝑅𝑅 = 𝜈𝜈(𝑡𝑡), ⟨𝜈𝜈(𝑡𝑡)⟩𝜈𝜈 = 0 , ⟨𝜈𝜈(𝑡𝑡)𝜈𝜈(𝑡𝑡)⟩𝜈𝜈 = ∑ 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡)2 (5.61) Se puede ver que el modelo de normalización para derivados es complicado por lo que se busca soluciones por simulaciones más que soluciones teóricas. Nos


lo que sigue 𝐴𝐴0(±𝑘𝑘0) = 𝑟𝑟𝑏𝑏 ± 𝑘𝑘0 (𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑆𝑆2𝜎𝜎2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑏𝑏𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝑏𝑏𝐶𝐶) /(𝐶𝐶 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆) (5.57) y se puede reescribir la matriz de transición

Normalizando e introduciendo la notación ℒ𝐵𝐵𝑆𝑆𝐶𝐶 = 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑆𝑆2𝜎𝜎2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟𝑏𝑏𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟𝑏𝑏𝐶𝐶 (5.59) entonces se obtiene la matriz de transición

𝑃𝑃(𝑡𝑡𝑖𝑖, 𝑡𝑡𝑖𝑖−1) = 12 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ−1 [1

2 k0β Δℒ𝐵𝐵𝑆𝑆𝐶𝐶/ (𝐶𝐶 −

𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆) 𝑋𝑋 (𝑠𝑠−1

2k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵) 𝑠𝑠−1

2k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵)

𝑠𝑠12k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐵𝐵) 𝑠𝑠12k0β Δℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝜕𝜕/(𝜕𝜕−𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐵𝐵))]

(5.60) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕 + 𝜆𝜆𝑅𝑅 = 𝜈𝜈(𝑡𝑡), ⟨𝜈𝜈(𝑡𝑡)⟩𝜈𝜈 = 0 , ⟨𝜈𝜈(𝑡𝑡)𝜈𝜈(𝑡𝑡)⟩𝜈𝜈 = ∑ 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡)2 (5.61) Se puede ver que el modelo de normalización para derivados es complicado por lo que se busca soluciones por simulaciones más que soluciones teóricas. Nos

concentraremos en las correcciones al no arbitraje causados por el flujo de dinero de arbitraje aunque posteriormente se puede agregar otros factores. Se propone un modelo fenomenológico para el precio de los derivados con arbitraje virtual y que sea consistente con el modelo de normalización y se generalizara la ecuación de Black-Scholes al caso de arbitraje virtual. 5.7 Modelo Fenomenológico de precios con arbitraje virtual Supongamos un momento del tiempo 𝜏𝜏 < 𝑡𝑡 con una oportunidad de arbitraje en el mercado que sucede cuando el precio de la acción subyacente era 𝑆𝑆´ ≡ 𝑆𝑆(𝜏𝜏), denotamos por el rendimiento de arbitraje instantáneo por 𝜈𝜈(𝜏𝜏, 𝑆𝑆) el arbitraje reaccionaría bajo la circunstancia y actuaría de tal forma que el arbitraje disminuiría gradualmente y los rendimientos de mercado a su estado de equilibrio en ausencia de arbitraje. El proceso de relajación puede ser descrito por la ecuación 𝑑𝑑ℛ𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹(ℛ), ℛ(𝜏𝜏) = 𝜈𝜈(𝜏𝜏, Π) (5.62) Se propone la función de reacción del mercado expandida 𝐹𝐹(ℛ) = −𝜆𝜆ℛ − 𝜆𝜆2ℛ2 − 𝜆𝜆3ℛ3 − ⋯. Con el tiempo general y los coeficientes 𝑆𝑆 dependientes de {𝜆𝜆𝑖𝑖} con fluctuaciones es natural solo mantener el primer término en el lado derecho y se reescribe como 𝑑𝑑ℛ𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆ℛ. ℛ(𝜏𝜏) = 𝜈𝜈(𝜏𝜏, 𝑆𝑆′) (5.63)

176 Phynance

Con el parámetro característico 𝜆𝜆 que puede ser estimado de micro teoría o del mercado, sin embargo, para ser tratable se considerará como constante La solución nos da la cual después de sumar sobre todas las posibles fluctuaciones con frecuencias correspondientes conduce a la siguiente expresión para el rendimiento de arbitraje al tiempo 𝜏𝜏 ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = ∫ 𝑑𝑑𝜏𝜏𝑡𝑡

0 ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆′∞0 𝑒𝑒−𝜆𝜆(𝑡𝑡−𝜏𝜏)𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝜏𝜏, 𝑆𝑆′), 𝑡𝑡 < 𝑇𝑇

(5.64) donde 𝑇𝑇 es el vencimiento del contrato derivado que inicia en el tiempo 𝑡𝑡 = 0. La función 𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆|𝜏𝜏, 𝑆𝑆´) es la frecuencia con fluctuaciones de arbitraje en el tiempo 𝜏𝜏 cuando el precio del subyacente era 𝑆𝑆´ al tiempo t con precio del subyacente es 𝑆𝑆. Esta función aparece en presencia de los especuladores en el mercado cuyas actividades sensibles al precio crean oportunidades de arbitraje, para especificar el proceso de arbitraje 𝜈𝜈(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) asumiendo que las fluctuaciones en diferentes tiempo y precios subyacentes son independientes del ruido blanco con varianza Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡) ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)⟩ = 0, ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)𝑣𝑣(𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′)⟩ = Σ2𝜃𝜃(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝛿𝛿(𝑡𝑡 −𝑡𝑡′)𝛿𝛿(𝑆𝑆 − 𝑆𝑆′) (5.65) La función 𝑓𝑓(𝑡𝑡) es introducida al modelo como una dependencia del tiempo empírica de los rendimientos de arbitraje y suavisamiento de la transición al arbitraje virtual cero en la fecha de expiración, la cantidad Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡) puede ser estimada del mercado


Con el parámetro característico 𝜆𝜆 que puede ser estimado de micro teoría o del mercado, sin embargo, para ser tratable se considerará como constante La solución nos da la cual después de sumar sobre todas las posibles fluctuaciones con frecuencias correspondientes conduce a la siguiente expresión para el rendimiento de arbitraje al tiempo 𝜏𝜏 ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = ∫ 𝑑𝑑𝜏𝜏𝑡𝑡

0 ∫ 𝑑𝑑𝑆𝑆′∞0 𝑒𝑒−𝜆𝜆(𝑡𝑡−𝜏𝜏)𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝜏𝜏, 𝑆𝑆′), 𝑡𝑡 < 𝑇𝑇

(5.64) donde 𝑇𝑇 es el vencimiento del contrato derivado que inicia en el tiempo 𝑡𝑡 = 0. La función 𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆|𝜏𝜏, 𝑆𝑆´) es la frecuencia con fluctuaciones de arbitraje en el tiempo 𝜏𝜏 cuando el precio del subyacente era 𝑆𝑆´ al tiempo t con precio del subyacente es 𝑆𝑆. Esta función aparece en presencia de los especuladores en el mercado cuyas actividades sensibles al precio crean oportunidades de arbitraje, para especificar el proceso de arbitraje 𝜈𝜈(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) asumiendo que las fluctuaciones en diferentes tiempo y precios subyacentes son independientes del ruido blanco con varianza Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡) ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)⟩ = 0, ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)𝑣𝑣(𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′)⟩ = Σ2𝜃𝜃(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝛿𝛿(𝑡𝑡 −𝑡𝑡′)𝛿𝛿(𝑆𝑆 − 𝑆𝑆′) (5.65) La función 𝑓𝑓(𝑡𝑡) es introducida al modelo como una dependencia del tiempo empírica de los rendimientos de arbitraje y suavisamiento de la transición al arbitraje virtual cero en la fecha de expiración, la cantidad Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡) puede ser estimada del mercado

Σ2

2𝜆𝜆 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = ⟨( ℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶−.𝑆𝑆𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐵𝐵)

2(𝑡𝑡)⟩ (5.66)

Y tiene que anularse en la aproximación del vencimiento, tan pronto como aproximamos el rendimiento de arbitraje estocástico ha sido reemplazado por la ecuación 𝑑𝑑Π = [𝑟𝑟 + ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)]Π 𝑑𝑑𝑡𝑡 (5.67) que puede ser reescrito ℒ𝐵𝐵𝑆𝑆𝐶𝐶 = ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) (𝐶𝐶 −𝑆𝑆 𝜕𝜕𝐶𝐶

𝜕𝜕𝑆𝑆) (5.68) Usando el operador ℒ𝐵𝐵𝑆𝑆, se completa la formulación del modelo fenomenológico. Un modelo de esta estructura fue derivado del modelo del sistema derivado-efectivo-acción, el modelo se reduce a Black-Scholes en el caso de que la reacción del mercado 𝜆𝜆 → ∞ ∑ = 0. En presencia de fluctuaciones arbitrarias de arbitraje ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆), los únicos objetos que pueden ser calculados son el valor promedio y momentos de orden mayor en lo derivados. 5.8 Ecuación efectiva para precios de derivados Iniciamos notando que la distribución de probabilidad ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆), es gaussiana pero puede ser mostrado que los pesos de la probabilidad pueden ser de la forma

(5.69)

178 Phynance

donde el kernel del operador 𝐾𝐾 está definido 𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′) = 𝜃𝜃(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)𝜃𝜃(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡′) ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑑𝑑)𝜃𝜃(𝑡𝑡 −∞

0𝑑𝑑)𝑒𝑒−𝜆𝜆(𝑡𝑡+𝑡𝑡′−𝑑𝑑𝑑𝑑) × 𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝑑𝑑, 𝑑𝑑)𝑃𝑃(𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′⎸𝑑𝑑 , 𝑑𝑑) (5.70) es fácil ver que el kernel es del orden 1/𝜆𝜆 y se anula 𝜆𝜆 →∞, en particular los resultados en la siguiente ecuación por las funciones de correlación ⟨ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)ℛ(𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′)⟩ = Σ2𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′) (5.71) permitiremos regresar a la ecuación dinámica para el precio del derivado ℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) (𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) −𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝐵𝐵)

𝜕𝜕𝐵𝐵 ) (5.72) notamos que Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡) juega un papel del pequeño parámetro del problema, el ruido ℛ puede ser considerado como débil y encontramos una solución interactiva ℛ de a ecuación, al orden más bajo trivial, se tiene la ecuación ℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶 = ℛ (𝐶𝐶 −𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐵𝐵) = ℛ (1 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵) ℒ𝐵𝐵𝐵𝐵

−1ℛ (𝐶𝐶 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵)

(5.73) el cual promediando sobre todas las posibles realizaciones de la funciones ℛ dan la ecuación para el precio del derivado promedio 𝐶𝐶 ≡ ⟨𝐶𝐶⟩ℛ incluyendo los términos proporcionales Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡)

(5.74) con las condiciones de pago 𝐶𝐶(𝑇𝑇, 𝑆𝑆) = 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑆𝑆) la ecuación es un resultado central de esta sección, esta ecuación se reduce a Black-Scholes cuando 𝜆𝜆 →∞ 𝑜𝑜 Σ → ∞.


donde el kernel del operador 𝐾𝐾 está definido 𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′) = 𝜃𝜃(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)𝜃𝜃(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡′) ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑑𝑑)𝜃𝜃(𝑡𝑡 −∞

0𝑑𝑑)𝑒𝑒−𝜆𝜆(𝑡𝑡+𝑡𝑡′−𝑑𝑑𝑑𝑑) × 𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝑑𝑑, 𝑑𝑑)𝑃𝑃(𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′⎸𝑑𝑑 , 𝑑𝑑) (5.70) es fácil ver que el kernel es del orden 1/𝜆𝜆 y se anula 𝜆𝜆 →∞, en particular los resultados en la siguiente ecuación por las funciones de correlación ⟨ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)ℛ(𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′)⟩ = Σ2𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 ⎸𝑡𝑡′, 𝑆𝑆′) (5.71) permitiremos regresar a la ecuación dinámica para el precio del derivado ℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = ℛ(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) (𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) −𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝐵𝐵)

𝜕𝜕𝐵𝐵 ) (5.72) notamos que Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡) juega un papel del pequeño parámetro del problema, el ruido ℛ puede ser considerado como débil y encontramos una solución interactiva ℛ de a ecuación, al orden más bajo trivial, se tiene la ecuación ℒ𝐵𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶 = ℛ (𝐶𝐶 −𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐵𝐵) = ℛ (1 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵) ℒ𝐵𝐵𝐵𝐵

−1ℛ (𝐶𝐶 − 𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵)

(5.73) el cual promediando sobre todas las posibles realizaciones de la funciones ℛ dan la ecuación para el precio del derivado promedio 𝐶𝐶 ≡ ⟨𝐶𝐶⟩ℛ incluyendo los términos proporcionales Σ2𝑓𝑓(𝑡𝑡)

(5.74) con las condiciones de pago 𝐶𝐶(𝑇𝑇, 𝑆𝑆) = 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑆𝑆) la ecuación es un resultado central de esta sección, esta ecuación se reduce a Black-Scholes cuando 𝜆𝜆 →∞ 𝑜𝑜 Σ → ∞.

5.9 Soluciones explicitas En esta sección se deriva la solución explicita para los precios de los derivados promedio ��𝑉(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = ⟨𝑉𝑉(𝑡𝑡, 𝑆𝑆, 𝑥𝑥)⟩ (5.75) Con arbitraje virtual 𝑥𝑥(. ) se buscaran las soluciones promedio de 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝜎𝜎2𝑆𝑆2

2 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2 + 𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑆𝑆 − 𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑉𝑉 = 0 (5.76) Con condiciones de frontera 𝑉𝑉(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)⎸𝜕𝜕=𝑇𝑇 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑆𝑆) (5.77) Con un proceso estocástico 𝑟𝑟(𝑡𝑡) suponemos una función con la presencia de arbitraje por ejemplo costos de transacción u otras razones. Se supone que este proceso es independiente del proceso de los precios de las acciones, es conveniente descomponer como 𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑟𝑟0 + 𝑥𝑥(𝑡𝑡). (5.78) Donde 𝑥𝑥(𝑡𝑡) es la parte estocástico del retorno y 𝑟𝑟0 es la tasa de interés libre de riesgo constante su generalización es directa a una función no estocástica. Lo más directo es seguir la solución de la ecuación Back Scholes con tasa de interés fija o si se cambia o también uno tiene que promediar la configuración dependiente para una función arbitraria 𝑟𝑟(𝑡𝑡) para una opción call y put se tiene la formula 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑑𝑑1(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)) − 𝐸𝐸𝐸𝐸− ∫ 𝑟𝑟(𝜕𝜕)𝑑𝑑𝜕𝜕𝑇𝑇

𝑡𝑡 𝑆𝑆(𝑑𝑑2(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)) (5.79)

180 Phynance

𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 = 𝐸𝐸𝐸𝐸− ∫ 𝑟𝑟(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇𝑡𝑡 𝑁𝑁(−𝑑𝑑2(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)) − 𝑆𝑆𝑁𝑁 (−𝑑𝑑1(𝑡𝑡, 𝑆𝑆))

(5.80) con la notación 𝑑𝑑1(2)(t, S) = log(𝑆𝑆 𝐸𝐸⁄ )+∫ 𝑟𝑟(𝜏𝜏)𝑇𝑇

𝑡𝑡 𝑑𝑑𝜏𝜏 ±𝜎𝜎2(𝑇𝑇−𝑡𝑡)/2σ √𝑇𝑇−𝑡𝑡 (5.81)

promediando y sobre el proceso aleatorio 𝑟𝑟(𝑡𝑡) usaremos las siguientes relaciones 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = 1

√2𝜋𝜋 ∫ 𝜃𝜃(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝐸𝐸−𝑦𝑦2

2 𝑑𝑑𝑦𝑦 ∞−∞ (5.82 a)

𝜃𝜃(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = ∫ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥−𝑦𝑦)

𝜔𝜔−𝑖𝑖0𝑑𝑑𝜔𝜔2𝜋𝜋𝑖𝑖

∞∞ (5.82b)

Cuyos resultados en la representación integral para la función de error 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = ∬ 𝐸𝐸−𝑦𝑦2/2∞

−∞𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥−𝑦𝑦)

𝜔𝜔−𝑖𝑖0 𝑑𝑑𝑦𝑦√2𝜋𝜋

𝑑𝑑𝜔𝜔2𝜋𝜋𝑖𝑖 = ∫ 𝑒𝑒

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥−𝑖𝑖2 /2

𝜔𝜔−𝑖𝑖0 𝑑𝑑𝜔𝜔2𝜋𝜋𝑖𝑖

∞−∞

(5.83) Después de reescalar 𝜔𝜔, esta ultima ecuación se trasforma

12𝜋𝜋𝑖𝑖 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑−𝑖𝑖0 𝐸𝐸−𝑦𝑦𝑤𝑤22 +𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑁𝑁 ( 𝑖𝑖

√𝛾𝛾) ,∞−∞ (5.84)

Sustituyendo la representación y promediando sobre todo el proceso aleatorio uno obtiene expresiones para los precios call y put a través de la función generadora Φ(𝛼𝛼, 𝑇𝑇, 𝑡𝑡) = ⟨𝐸𝐸𝛼𝛼 ∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ (5.85) Solo esta da el promedio del precio call


𝑃𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆 = 𝐸𝐸𝐸𝐸− ∫ 𝑟𝑟(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇𝑡𝑡 𝑁𝑁(−𝑑𝑑2(𝑡𝑡, 𝑆𝑆)) − 𝑆𝑆𝑁𝑁 (−𝑑𝑑1(𝑡𝑡, 𝑆𝑆))

(5.80) con la notación 𝑑𝑑1(2)(t, S) = log(𝑆𝑆 𝐸𝐸⁄ )+∫ 𝑟𝑟(𝜏𝜏)𝑇𝑇

𝑡𝑡 𝑑𝑑𝜏𝜏 ±𝜎𝜎2(𝑇𝑇−𝑡𝑡)/2σ √𝑇𝑇−𝑡𝑡 (5.81)

promediando y sobre el proceso aleatorio 𝑟𝑟(𝑡𝑡) usaremos las siguientes relaciones 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = 1

√2𝜋𝜋 ∫ 𝜃𝜃(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝐸𝐸−𝑦𝑦2

2 𝑑𝑑𝑦𝑦 ∞−∞ (5.82 a)

𝜃𝜃(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = ∫ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥−𝑦𝑦)

𝜔𝜔−𝑖𝑖0𝑑𝑑𝜔𝜔2𝜋𝜋𝑖𝑖

∞∞ (5.82b)

Cuyos resultados en la representación integral para la función de error 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = ∬ 𝐸𝐸−𝑦𝑦2/2∞

−∞𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑥𝑥−𝑦𝑦)

𝜔𝜔−𝑖𝑖0 𝑑𝑑𝑦𝑦√2𝜋𝜋

𝑑𝑑𝜔𝜔2𝜋𝜋𝑖𝑖 = ∫ 𝑒𝑒

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥−𝑖𝑖2 /2

𝜔𝜔−𝑖𝑖0 𝑑𝑑𝜔𝜔2𝜋𝜋𝑖𝑖

∞−∞

(5.83) Después de reescalar 𝜔𝜔, esta ultima ecuación se trasforma

12𝜋𝜋𝑖𝑖 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑−𝑖𝑖0 𝐸𝐸−𝑦𝑦𝑤𝑤22 +𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑁𝑁 ( 𝑖𝑖

√𝛾𝛾) ,∞−∞ (5.84)

Sustituyendo la representación y promediando sobre todo el proceso aleatorio uno obtiene expresiones para los precios call y put a través de la función generadora Φ(𝛼𝛼, 𝑇𝑇, 𝑡𝑡) = ⟨𝐸𝐸𝛼𝛼 ∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ (5.85) Solo esta da el promedio del precio call

𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 𝑆𝑆 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝜋𝜋𝜋𝜋

∞−∞

𝑒𝑒−𝑤𝑤2/2𝑒𝑒𝑖𝑖𝑤𝑤��𝑑1(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝑑𝑑−𝜋𝜋0 ⟨𝑒𝑒𝜋𝜋𝑑𝑑 ∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏( 1𝜎𝜎 √𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ −

𝐸𝐸𝑒𝑒−𝑟𝑟0(𝑇𝑇−𝑡𝑡) ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝜋𝜋𝜋𝜋

∞−∞


𝑑𝑑−𝜋𝜋0 ⟨𝑒𝑒∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏[ 𝑖𝑖𝑤𝑤𝜎𝜎 √𝑇𝑇−𝑡𝑡−1]𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ (5.86) Donde son las expresiones de no arbitraje ��𝑑1(2)(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑆𝑆 𝐸𝐸⁄ )+𝑟𝑟0(𝑇𝑇−𝑡𝑡)±𝜎𝜎2(𝑇𝑇−𝑡𝑡)/2

𝜎𝜎 √𝑇𝑇−𝑡𝑡 (5.87) Una expresión similar pude ser derivada para la opción put europea ��𝑃(𝑡𝑡, 𝑆𝑆) =

𝐸𝐸𝑒𝑒−𝑟𝑟0(𝑇𝑇−𝑡𝑡) ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝜋𝜋𝜋𝜋

∞−∞

𝑒𝑒−𝑤𝑤22 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑤𝑤��𝑑2(𝑡𝑡,𝑆𝑆)

𝑑𝑑−𝜋𝜋0 ⟨𝑒𝑒− ∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏[ 𝑖𝑖𝑤𝑤𝜎𝜎 √𝑇𝑇−𝑡𝑡−1]𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ −

𝑆𝑆 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝜋𝜋𝜋𝜋

∞−∞


𝑑𝑑−𝜋𝜋0 ⟨𝑒𝑒−𝜋𝜋𝑑𝑑 ∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏( 1𝜎𝜎 √𝑇𝑇−𝑡𝑡)𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ (5.88) Se observa que las correcciones de arbitraje virtual pueden ser encontradas como una función generadora Φ(𝛼𝛼, 𝑇𝑇, 𝑡𝑡) para un proceso aleatorio 𝑟𝑟(𝑡𝑡). A continuación se encuentra la expresión para la función generadora para un puro proceso Ornstein-Uhlenbeck que describe las fluctuaciones de arbitraje virtual en ausencia de costos de transacción, también se deduce la expresión aproximada explicita para un movimiento browniano la incertidumbre en el movimiento debido a los costos de transacción en ausencia de arbitraje virtual y proceso compuestos que toman en cuenta arbitraje virtual y costos de transacción. 5.10 Función Generadora de Movimiento Browniano Restringido Encontramos una aproximación para la función generadora cuando el proceso 𝑥𝑥(𝑡𝑡) es restringido a un

182 Phynance

movimiento browniano en el intervalo (𝑥𝑥 ∈ [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎]) . Esto corresponde a la situación de costos de transacciones finitas en el intervalo para el rendimiento de arbitraje el cual no atraerá arbitraristas y por lo tanto no es eliminado, similar a la sección previa, el promedio sobre 𝑥𝑥(0) con la distribución estacionaria del movimiento browniano restringido el cual es una distribución homogénea dentro del intervalo [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎]. La función de probabilidad de transición obedece la ecuación de Fokker-Planck, con condición de frontera 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = Σ2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 (5.89)

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎸𝜕𝜕=±𝑎𝑎 = 0 (5.90) Puede ser planteado como una serie 𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥′, 𝑥𝑥) = 1

2𝑎𝑎 + 1𝑎𝑎 ∑ 𝑒𝑒−Σ2

2 (𝑘𝑘𝑘𝑘)2𝜕𝜕 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑥𝑥′ +∞𝑘𝑘=1

𝑎𝑎)]𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎)] 𝑣𝑣 ≡ 𝜋𝜋2𝑎𝑎 (5.91)

Que permite escribir la función generadora en forma de series de Taylor ⟨𝑒𝑒𝛼𝛼 ∫ 𝜕𝜕(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ = 1 + 𝛼𝛼 ⟨∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇𝜕𝜕 ⟩ +

𝛼𝛼2

2 ⟨∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇𝜕𝜕 ∫ 𝑥𝑥(𝑐𝑐)𝑑𝑑𝑐𝑐𝑇𝑇

𝜕𝜕 ⟩ + ⋯ (5.92) Evaluando los promedios y considerando que el segundo término es igual a cero debido a la simetría que nos deja con las primeras contribuciones no lineales, que después de ser evaluadas y en el límite (∑/𝑎𝑎)2(𝑇𝑇 −𝑡𝑡) → 0 es posible aproximar el lado derecho, resulta 𝛼𝛼2

2 ⟨∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝜏𝜏 ∫ 𝑥𝑥(𝑐𝑐) 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑇𝑇𝜕𝜕

𝑇𝑇𝜕𝜕 ⟩ ≈ 1

6 𝛼𝛼2𝑎𝑎2(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)2 (5.93)


movimiento browniano en el intervalo (𝑥𝑥 ∈ [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎]) . Esto corresponde a la situación de costos de transacciones finitas en el intervalo para el rendimiento de arbitraje el cual no atraerá arbitraristas y por lo tanto no es eliminado, similar a la sección previa, el promedio sobre 𝑥𝑥(0) con la distribución estacionaria del movimiento browniano restringido el cual es una distribución homogénea dentro del intervalo [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎]. La función de probabilidad de transición obedece la ecuación de Fokker-Planck, con condición de frontera 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = Σ2

2𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2 (5.89)

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎸𝜕𝜕=±𝑎𝑎 = 0 (5.90) Puede ser planteado como una serie 𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥′, 𝑥𝑥) = 1

2𝑎𝑎 + 1𝑎𝑎 ∑ 𝑒𝑒−Σ2

2 (𝑘𝑘𝑘𝑘)2𝜕𝜕 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑥𝑥′ +∞𝑘𝑘=1

𝑎𝑎)]𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎)] 𝑣𝑣 ≡ 𝜋𝜋2𝑎𝑎 (5.91)

Que permite escribir la función generadora en forma de series de Taylor ⟨𝑒𝑒𝛼𝛼 ∫ 𝜕𝜕(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ = 1 + 𝛼𝛼 ⟨∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇𝜕𝜕 ⟩ +

𝛼𝛼2

2 ⟨∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇𝜕𝜕 ∫ 𝑥𝑥(𝑐𝑐)𝑑𝑑𝑐𝑐𝑇𝑇

𝜕𝜕 ⟩ + ⋯ (5.92) Evaluando los promedios y considerando que el segundo término es igual a cero debido a la simetría que nos deja con las primeras contribuciones no lineales, que después de ser evaluadas y en el límite (∑/𝑎𝑎)2(𝑇𝑇 −𝑡𝑡) → 0 es posible aproximar el lado derecho, resulta 𝛼𝛼2

2 ⟨∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝜏𝜏 ∫ 𝑥𝑥(𝑐𝑐) 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑇𝑇𝜕𝜕

𝑇𝑇𝜕𝜕 ⟩ ≈ 1

6 𝛼𝛼2𝑎𝑎2(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)2 (5.93)

Interpolando llegamos a una fórmula para funciones generadoras que describen ambos casos limites

⟨𝑒𝑒𝛼𝛼 ∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏) 𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇𝑡𝑡 ⟩ ≈ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 (𝛼𝛼2𝑎𝑎4 4(𝑇𝑇−𝑡𝑡)

15𝛴𝛴2 (1 − 𝑒𝑒−5Σ2(𝑇𝑇−𝑡𝑡)8𝑎𝑎2 ))

(5.94) En el modelo virtual y de costos de transacción se considera 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡 = −𝜆𝜆𝑥𝑥 (1 − 𝑎𝑎√𝑑𝑑2+𝑎𝑎2) + Σ𝜂𝜂(𝑡𝑡) (5.95)

el cuál es la versión suave con una función de reacción , la representación de la integral de trayectoria.

(5.96) la cual tiene un promedio sobre x con la distribución estacionaria para el proceso 𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊𝑊𝑊ℎ𝑡𝑡(𝑎𝑎, 𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 × 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 (− 𝜆𝜆

𝛴𝛴2 (𝑥𝑥2 −2𝑎𝑎√𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎2)) (5.97) ⟨𝑒𝑒𝛼𝛼 ∫ 𝑑𝑑(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝜏𝜏𝑇𝑇

𝑡𝑡 ⟩ ≈ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 (𝛼𝛼2𝛴𝛴2

2𝜆𝜆2 [(𝑇𝑇 − 𝑡𝑡)(1 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) − 𝐵𝐵(𝑇𝑇 −

𝑡𝑡)]) 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎 ≡ √ 𝜆𝜆𝜋𝜋Σ2 (5.98)

Simplificando, las expresiones para el precio de un call y put plain vanilla

184 Phynance

(5.99)

(5.100) De las expresiones anteriores para las opciones call y put considerando arbitraje, podemos graficar el comportamiento en función de dos parámetros A medida que el coeficiente de la reacción del mercado 𝜆𝜆 y Σ disminuye el valor del call se va alejando de los precios black scholes de equilibrio. Ver Graficas 5.6.

Grafica 5.6

Valuación de Call con arbitraje Virtual


(5.99)

(5.100) De las expresiones anteriores para las opciones call y put considerando arbitraje, podemos graficar el comportamiento en función de dos parámetros A medida que el coeficiente de la reacción del mercado 𝜆𝜆 y Σ disminuye el valor del call se va alejando de los precios black scholes de equilibrio. Ver Graficas 5.6.

Grafica 5.6

Valuación de Call con arbitraje Virtual


5.11 Ecuación para un portafolio libre de riesgo en presencia de arbitraje virtual En esta sección del capítulo, evaluaremos un portafolio en presencia de arbitraje. Considere un portafolio 𝜋𝜋 con 𝑁𝑁 + 1 activos en el caso de no arbitraje con 𝑟𝑟0 la tasa libre de riesgo 𝑑𝑑Π𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟0Π = 0 Π(0) = 1 (5.101) en el caso de arbitraje virtual cambia a ℛ(𝑡𝑡, Π)Π (5.102) donde ℛ(𝑡𝑡, Π) representa el rendimiento con arbitraje virtual, la evolución del arbitraje virtual permite llegar a la ecuación 𝑑𝑑ℛ𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹(ℛ), ℛ(𝜏𝜏) = 𝑣𝑣(𝜏𝜏, Π) (5.103) Despreciando algunos términos se puede llegar

186 Phynance

𝑑𝑑ℛ𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆ℛ ℛ(𝜏𝜏) = 𝑣𝑣(𝜏𝜏, Π) (5.104) Después de encontrar la solución y sumando sobre todas las posibles fluctuaciones ℛ(𝑡𝑡, Π) ≡ ∫ 𝑒𝑒𝜆𝜆(𝑇𝑇−𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑑𝑑

−∞ (5.105) si se especifica el proceso estocástico como ruido blanco con varianza Σ2(Π) que depende de la estructura del portafolio ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝛱𝛱)⟩𝑣𝑣 = 0, ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝛱𝛱)𝑣𝑣(𝑡𝑡′, 𝛱𝛱)⟩𝑣𝑣 = Σ2(Π)δ(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡′) (5.106) Y que puede ser expresado Σ2(Π)/2𝜆𝜆 = ⟨(𝑟𝑟Π − 𝑟𝑟0)2⟩𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 (5.107)

donde el rendimiento de arbitraje será sustituido por 𝑑𝑑Π𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟0Π = ℛ(𝑡𝑡, Π)Π (5.108) Π = ∫ 𝐺𝐺(𝑡𝑡, 𝑡𝑡′)𝑑𝑑

−∞ ℛ(𝑡𝑡′, Π)Π(𝑡𝑡′)𝑑𝑑𝑡𝑡′ (5.109) 𝑑𝑑Π𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟0Π = ∫ 𝐺𝐺(𝑡𝑡, 𝑡𝑡′)𝑑𝑑

−∞ 𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑡𝑡′, Π)Π(𝑡𝑡′)𝑑𝑑𝑡𝑡′ (5.110) y utilizando la función de Green se llega 𝑑𝑑Π𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟0Π = Σ2(Π)

2𝜆𝜆2 𝑒𝑒𝑚𝑚0𝑑𝑑 (5.111) con la solución


𝑑𝑑ℛ𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝜆𝜆ℛ ℛ(𝜏𝜏) = 𝑣𝑣(𝜏𝜏, Π) (5.104) Después de encontrar la solución y sumando sobre todas las posibles fluctuaciones ℛ(𝑡𝑡, Π) ≡ ∫ 𝑒𝑒𝜆𝜆(𝑇𝑇−𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑑𝑑

−∞ (5.105) si se especifica el proceso estocástico como ruido blanco con varianza Σ2(Π) que depende de la estructura del portafolio ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝛱𝛱)⟩𝑣𝑣 = 0, ⟨𝑣𝑣(𝑡𝑡, 𝛱𝛱)𝑣𝑣(𝑡𝑡′, 𝛱𝛱)⟩𝑣𝑣 = Σ2(Π)δ(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡′) (5.106) Y que puede ser expresado Σ2(Π)/2𝜆𝜆 = ⟨(𝑟𝑟Π − 𝑟𝑟0)2⟩𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 (5.107)

donde el rendimiento de arbitraje será sustituido por 𝑑𝑑Π𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟0Π = ℛ(𝑡𝑡, Π)Π (5.108) Π = ∫ 𝐺𝐺(𝑡𝑡, 𝑡𝑡′)𝑑𝑑

−∞ ℛ(𝑡𝑡′, Π)Π(𝑡𝑡′)𝑑𝑑𝑡𝑡′ (5.109) 𝑑𝑑Π𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟0Π = ∫ 𝐺𝐺(𝑡𝑡, 𝑡𝑡′)𝑑𝑑

−∞ 𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑡𝑡′, Π)Π(𝑡𝑡′)𝑑𝑑𝑡𝑡′ (5.110) y utilizando la función de Green se llega 𝑑𝑑Π𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑟𝑟0Π = Σ2(Π)

2𝜆𝜆2 𝑒𝑒𝑚𝑚0𝑑𝑑 (5.111) con la solución

Π(𝑡𝑡) ≈ (1 + Σ2(Π)2𝜆𝜆2 𝑡𝑡) 𝑒𝑒𝑟𝑟0𝑡𝑡 (5.112)

Después de analizar el caso del APT, tenemos el CAPM como caso particular 𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑟𝑟0 + 𝑏𝑏𝑖𝑖𝛾𝛾 + 1

2𝜆𝜆2 (𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)𝑖𝑖𝑖𝑖 − 22𝜆𝜆2 (𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)00 (5.113)

introduciendo una fracción del mercado de portafolio θ𝑖𝑖 y encontrando una expresión para la tasa promedio del rendimiento en el portafolio de mercado 𝑟𝑟𝑚𝑚 = 𝑟𝑟0 + ∑ 𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖𝛾𝛾 + 1

2𝜆𝜆2 𝑢𝑢𝑚𝑚 − 12𝜆𝜆2 (𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)00 (5.114)

donde se ha introducido la notación 𝑢𝑢𝑚𝑚 =∑ (𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)𝑖𝑖𝑖𝑖𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖 que permite definir el valor dela variable 𝛾𝛾 = 1

𝜎𝜎𝑚𝑚(𝑟𝑟𝑚𝑚 − 𝑟𝑟0 + 1

2𝜆𝜆2 (𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)00 − 12𝜆𝜆2 𝑢𝑢𝑚𝑚) (5.115)

que para encontrar el CAPM generalizado con el supuesto de arbitraje virtual 𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑟𝑟0 + 𝛽𝛽𝑖𝑖(𝑟𝑟𝑚𝑚 − 𝑟𝑟0) + 𝛽𝛽𝑖𝑖

2𝜆𝜆2 [(𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)00 − 𝑢𝑢𝑚𝑚] +(𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)𝑖𝑖𝑖𝑖

2𝜆𝜆2 − (𝑈𝑈Δ𝑈𝑈−1)002𝜆𝜆2 (5.116)

que para el siguiente paso suponemos una aproximación para la diagonal de la matriz Δ Δ𝑖𝑖𝑖𝑖 = Δδ𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑟𝑟 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑁𝑁 + 1 (cero en otro caso) donde se llega a

188 Phynance

𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑟𝑟0 + 𝛽𝛽𝑖𝑖(𝑟𝑟𝑚𝑚 − 𝑟𝑟0) +𝛽𝛽𝑖𝑖Δ2𝜆𝜆2 (∑ 𝑒𝑒𝑘𝑘,02 −𝑁𝑁

𝐾𝐾=2

∑ ∑ 𝜃𝜃𝑖𝑖𝑒𝑒𝑘𝑘,𝑖𝑖2𝑁𝑁𝑘𝑘=2

𝑁𝑁𝑖𝑖=1 ) + Δ

2𝜆𝜆2 ∑ (𝑒𝑒𝑘𝑘,𝑖𝑖2 − 𝑒𝑒𝑘𝑘,02 )𝑁𝑁𝑘𝑘=2 (5.117)

Que despreciando unos términos se puede llegar a 𝑟𝑟𝑖𝑖 ≃ 𝑟𝑟0 + 𝛽𝛽𝑖𝑖(𝑟𝑟𝑚𝑚 − 𝑟𝑟0) +

Δ2𝜆𝜆2 (1 − 𝛽𝛽𝑖𝑖)∑ 𝑒𝑒𝑘𝑘,𝑖𝑖2𝑁𝑁

𝑘𝑘=2 (5.118)

Grafica 5.7 CAPM con Arbitraje virtual



𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑟𝑟0 + 𝛽𝛽𝑖𝑖(𝑟𝑟𝑚𝑚 − 𝑟𝑟0) +𝛽𝛽𝑖𝑖Δ2𝜆𝜆2 (∑ 𝑒𝑒𝑘𝑘,02 −𝑁𝑁

𝐾𝐾=2

∑ ∑ 𝜃𝜃𝑖𝑖𝑒𝑒𝑘𝑘,𝑖𝑖2𝑁𝑁𝑘𝑘=2

𝑁𝑁𝑖𝑖=1 ) + Δ

2𝜆𝜆2 ∑ (𝑒𝑒𝑘𝑘,𝑖𝑖2 − 𝑒𝑒𝑘𝑘,02 )𝑁𝑁𝑘𝑘=2 (5.117)

Que despreciando unos términos se puede llegar a 𝑟𝑟𝑖𝑖 ≃ 𝑟𝑟0 + 𝛽𝛽𝑖𝑖(𝑟𝑟𝑚𝑚 − 𝑟𝑟0) +

Δ2𝜆𝜆2 (1 − 𝛽𝛽𝑖𝑖)∑ 𝑒𝑒𝑘𝑘,𝑖𝑖2𝑁𝑁

𝑘𝑘=2 (5.118)

Grafica 5.7 CAPM con Arbitraje virtual


En la gráfica 5.7 se muestra el rendimiento CAPM con arbitraje virtual como función del parámetro delta y lambda en ambos casos produce una rotación disminuyendo la pendiente de la relación de rendimiento virtual. 5.12 Conclusiones Utilizando Teoría de Norma en teoría financiera de derivados y de portafolios, a través de los conceptos de haz fibrado, curvatura, transporte paralelo curvatura pueden deducirse las ecuaciones tradicionales de Black-Scholes y del modelo CAPM. A partir del mismo formalismo de teoría de norma, puede ampliarse a la consideración fuera de equilibrio, considerando la posibilidad de arbitraje donde de la misma forma se puede deducir y proponer una solución equivalente de Black-Scholes y CAPM. El arbitraje puede considerarse como una fuerza en física y geométricamente como una deformación de un espacio con curvatura. Se deduce y grafican los precios de opciones call y put como función de ciertos parámetros. A medida que el coeficiente de la velocidad de reacción 𝜆𝜆 del mercado ante arbitraje virtual aumenta, (en el caso que 𝜆𝜆 tiende a infinito) el valor de call virtual se va aproximando al comportamiento del call tradicional de equilibrio y el funcionamiento se mueve en dirección contraria con para la desviación estándar del ruido blanco, el parámetro Σ.

190 Phynance

En el caso del CAPM al momento de aumentar el valor de la función de velocidad de reacción 𝜆𝜆, la pendiente va acercándose a cero iniciando desde valor negativo y luego empieza a crecer, con el parámetro delta ocurre, a medida que aumenta el parámetro disminuye la pendiente. Anexo 1 apéndice 1. Haz Fibrado desde el punto de vista en Matemáticas (Basado en Ilinski 2001) A continuación se establecerán una serie de definición matemática Definición 1. Un espacio 𝑀𝑀 es un campo n –dimensional suave si se cumple lo siguiente: 1. Existe un conjunto de vecindades 𝑈𝑈𝑖𝑖 ∈ 𝑀𝑀 tal que su unión genera el espacio completo ⋃𝑈𝑈𝑖𝑖 = 𝑀𝑀 2. Existe una función 𝜙𝜙𝑖𝑖 que mapea la vecindad en un dominio abierto de un espacio euclidiano n-dimensional y obedece a cualesquiera dos vecindades 𝑈𝑈𝑖𝑖 e 𝑈𝑈𝑗𝑗 con 𝑈𝑈𝑖𝑖 ∩ 𝑈𝑈𝑗𝑗 ≠ ∅ el mapeo 𝜙𝜙𝑖𝑖°𝜙𝜙𝑗𝑗−1: 𝜙𝜙𝑗𝑗(𝑈𝑈𝑖𝑖 ∩ 𝑈𝑈𝑗𝑗) → 𝜙𝜙𝑖𝑖(𝑈𝑈𝑖𝑖 ∩𝑈𝑈𝑗𝑗) es una función suave del espacio euclidiano, los dominios 𝜙𝜙𝑖𝑖(𝑈𝑈𝑖𝑖) son llamados gráficas y al conjunto completo de los graficas se le llama Atlas Definición: Un haz fibrado suave es un objeto compuesto de la siguiente forma

1. Un campo suave 𝐸𝐸 es llamado espacio total (haz).

2. Un campo suave 𝐵𝐵 es llamado espacio base.


En el caso del CAPM al momento de aumentar el valor de la función de velocidad de reacción 𝜆𝜆, la pendiente va acercándose a cero iniciando desde valor negativo y luego empieza a crecer, con el parámetro delta ocurre, a medida que aumenta el parámetro disminuye la pendiente. Anexo 1 apéndice 1. Haz Fibrado desde el punto de vista en Matemáticas (Basado en Ilinski 2001) A continuación se establecerán una serie de definición matemática Definición 1. Un espacio 𝑀𝑀 es un campo n –dimensional suave si se cumple lo siguiente: 1. Existe un conjunto de vecindades 𝑈𝑈𝑖𝑖 ∈ 𝑀𝑀 tal que su unión genera el espacio completo ⋃𝑈𝑈𝑖𝑖 = 𝑀𝑀 2. Existe una función 𝜙𝜙𝑖𝑖 que mapea la vecindad en un dominio abierto de un espacio euclidiano n-dimensional y obedece a cualesquiera dos vecindades 𝑈𝑈𝑖𝑖 e 𝑈𝑈𝑗𝑗 con 𝑈𝑈𝑖𝑖 ∩ 𝑈𝑈𝑗𝑗 ≠ ∅ el mapeo 𝜙𝜙𝑖𝑖°𝜙𝜙𝑗𝑗−1: 𝜙𝜙𝑗𝑗(𝑈𝑈𝑖𝑖 ∩ 𝑈𝑈𝑗𝑗) → 𝜙𝜙𝑖𝑖(𝑈𝑈𝑖𝑖 ∩𝑈𝑈𝑗𝑗) es una función suave del espacio euclidiano, los dominios 𝜙𝜙𝑖𝑖(𝑈𝑈𝑖𝑖) son llamados gráficas y al conjunto completo de los graficas se le llama Atlas Definición: Un haz fibrado suave es un objeto compuesto de la siguiente forma

1. Un campo suave 𝐸𝐸 es llamado espacio total (haz).

2. Un campo suave 𝐵𝐵 es llamado espacio base.

3. Un mapeo suave 𝐸𝐸 → 𝐵𝐵 llamada proyección, cuyo Jacobiano se requiere tengan un rango máximo 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵 para todo punto.

4. Un campo suave 𝐹𝐹 es llamado la fibra. 5. Un grupo 𝐺𝐺 de transformaciones suaves de la

fibra 𝐹𝐹 (esto implica que la acción 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐹𝐹 → 𝐹𝐹 , este grupo es llamado estructura de grupo del haz fibrado).

6. Una estructura de haz fibrado vincula las entidades anteriores. La base 𝐵𝐵 viene con un sistema de coordenadas vecinales o graficas encima de cada una de las cuales del producto directo vía un difeomorfismo 𝜙𝜙𝑑𝑑: 𝐹𝐹𝐺𝐺𝐹𝐹𝑑𝑑 →𝑝𝑝−1(𝐹𝐹𝑑𝑑) que satisface 𝑝𝑝𝜙𝜙(𝑓𝑓, 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥, las transformaciones 𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜙𝜙𝑖𝑖

−1°𝜙𝜙𝑖𝑖: 𝐹𝐹 × 𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 → 𝐹𝐹 ×𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 donde 𝐹𝐹𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐹𝐹𝑖𝑖 ∩ 𝐹𝐹𝑖𝑖.

Son llamadas funciones de transición de los haz fibrados. Toda transformación 𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 tiene la forma 𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑓𝑓, 𝑥𝑥) = (𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓, 𝑥𝑥), donde para todas las 𝑑𝑑, 𝑗𝑗, 𝑥𝑥 la transformación 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥 es un elemento de la estructura de grupo 𝐺𝐺. Un haz fibrado principal es definida como un haz cuyas fibras F coinciden con la estructura de grupo el cual actúa sobre la fibra 𝐹𝐹 = 𝐺𝐺 como 𝑔𝑔: 𝐺𝐺 → 𝐺𝐺 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 Definición: En cualquier curva 𝛾𝛾 en la base, una conexión es un mapeo de la fibra 𝐹𝐹𝛾𝛾(𝑎𝑎) asociada al punto 𝛾𝛾(𝑎𝑎) de la base a la fibre 𝐹𝐹𝛾𝛾(𝑏𝑏)por encima del punto 𝛾𝛾(𝑏𝑏) Y satisface los siguientes requerimientos:

192 Phynance

1. ∅(𝛾𝛾) depende continuamente de la trayectoria 𝛾𝛾(𝑡𝑡), un pequeño cambio en la trayectoria no puede conducir a un gran cambio como resultado del trasporte paralelo. 2. ∅(𝛾𝛾) es independiente de la parametrización de la trayectoria. 3. ∅(𝛾𝛾) es un mapeo identidad si 𝛾𝛾(𝑡𝑡)=constante sino hay trayectoria entonces no hay transporte. Se mantiene las siguientes ecuaciones ∅(𝛾𝛾1, 𝛾𝛾2) =∅(𝛾𝛾1)∅(𝛾𝛾2) , ∅(𝛾𝛾−1) = (∅(𝛾𝛾))−1 la primera relación establece que el transporte paralelo a lo largo de dos curvas consecutivas es equivalente al transporte paralelo a lo largo de la curva resultante combinado. La segunda dice que el transporte paralelo a lo largo de la misma curva en direcciones opuestas genera el inverso de un transporte paralelo.


1. ∅(𝛾𝛾) depende continuamente de la trayectoria 𝛾𝛾(𝑡𝑡), un pequeño cambio en la trayectoria no puede conducir a un gran cambio como resultado del trasporte paralelo. 2. ∅(𝛾𝛾) es independiente de la parametrización de la trayectoria. 3. ∅(𝛾𝛾) es un mapeo identidad si 𝛾𝛾(𝑡𝑡)=constante sino hay trayectoria entonces no hay transporte. Se mantiene las siguientes ecuaciones ∅(𝛾𝛾1, 𝛾𝛾2) =∅(𝛾𝛾1)∅(𝛾𝛾2) , ∅(𝛾𝛾−1) = (∅(𝛾𝛾))−1 la primera relación establece que el transporte paralelo a lo largo de dos curvas consecutivas es equivalente al transporte paralelo a lo largo de la curva resultante combinado. La segunda dice que el transporte paralelo a lo largo de la misma curva en direcciones opuestas genera el inverso de un transporte paralelo.

CAPITULO 6

194 Phynance

Capítulo 6 Optimización de Portafolio con Agentes Heterogéneos

6.1 Introducción El problema de la creación de burbujas financieras y las subsecuentes crisis económicas y financieras han estado presentes por siempre en los mercados financieros. En estudios recientes se ha tratado de plantear y resolver dichos problemas desde una perspectiva distinta, de forma similar a los planteamientos en física de las transiciones de fase o por ejemplo de la orientación de los spines en los materiales como el modelo de Ising14. En este capítulo, se considera un importante componente de imitación en las compras y ventas de los inversionistas como un efecto poderoso para inflar y desinflar las burbujas en los mercados financieros. Sin embargo, este punto de vista, difiere de la propuesta de la teoría económica convencional sobre del comportamiento racional de los agentes que desean optimizar en el tiempo su utilidad, la cual está basada fundamentalmente en el consumo. La optimización intertemporal estocástica utilizando el método H-J-B es un tema ampliamente analizado en la literatura. Sin embargo, una propuesta bastante clara y precisa se puede encontrar en Venegas (2006). Se revisan desde los modelos de optimización determinista de tiempo continuo y el modelo 14 Un trabajo que resume esta visión que se puede consultar es Boguta (2009).


Capítulo 6 Optimización de Portafolio con Agentes Heterogéneos

6.1 Introducción El problema de la creación de burbujas financieras y las subsecuentes crisis económicas y financieras han estado presentes por siempre en los mercados financieros. En estudios recientes se ha tratado de plantear y resolver dichos problemas desde una perspectiva distinta, de forma similar a los planteamientos en física de las transiciones de fase o por ejemplo de la orientación de los spines en los materiales como el modelo de Ising14. En este capítulo, se considera un importante componente de imitación en las compras y ventas de los inversionistas como un efecto poderoso para inflar y desinflar las burbujas en los mercados financieros. Sin embargo, este punto de vista, difiere de la propuesta de la teoría económica convencional sobre del comportamiento racional de los agentes que desean optimizar en el tiempo su utilidad, la cual está basada fundamentalmente en el consumo. La optimización intertemporal estocástica utilizando el método H-J-B es un tema ampliamente analizado en la literatura. Sin embargo, una propuesta bastante clara y precisa se puede encontrar en Venegas (2006). Se revisan desde los modelos de optimización determinista de tiempo continuo y el modelo 14 Un trabajo que resume esta visión que se puede consultar es Boguta (2009).

intertemporal determinista del consumidor hasta las decisiones de consumo e inversión bajo condiciones de riesgo e incertidumbre. La intención del método H-J-B es la maximización de la utilidad esperada de funciones dependientes del consumo en un periodo de tiempo en donde el agente puede decidir entre adquirir, bonos libres de riesgo, acciones o incluso derivados financieros. Es posible deducir la ecuación de Black-Scholes con esta técnica.15 La ecuación fundamental de la programación dinámica estocástica en tiempo continuo es la ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman y se aplica a resolver problemas de control óptimo estocástico. La programación dinámica es muy útil en la solución de problemas de optimización en donde se toman decisiones en varias etapas. De acuerdo con Venegas (2006) Bellman encontró que el principio de optimalidad podía ser aplicado al cálculo de variaciones y problemas de control óptimo y que su trabajo estaba relacionado con las ecuaciones de Hamilton-Jacobi de la mecánica. Para conjuntar las tres contribuciones se hace referencia a la ecuación como Hamilton-Jacobi-Bellman (𝐻𝐻 − 𝐽𝐽 − 𝐵𝐵) en el caso estocástico esta es una ecuación diferencial de segundo orden. En la literatura se encuentra el trabajo de Kaisoji (2000) donde se propone un modelo que busca explicar las burbujas y las crisis de los mercados en términos de transiciones de fase de las ciencias naturales a través de un modelo de Ising. El sistema aplicado al mercado 15 Se puede consultar Venegas (2006) para revisar la deducción.

196 Phynance

establece que en la fase bull (mercados alcistas) ocurre una burbuja especulativa y se observa multiestabilidad pero al alcanzar un cierto nivel crítico, de repente un cambio inesperado en la actitud de inversionista ocurre y el mercado se transforma a ser de un mercado bull a un mercado bear (un mercado a la baja). En otras palabras, se pretende explicar el cambio de fase donde la mayoría de los agentes que desean ser compradores de activos (cuando crece la burbuja) financieros y pasan a actuar como vendedores y generalmente previo a una crisis. El trabajo anterior propone una explicación para la crisis 1987-1992 donde se estiman los parámetros del modelo y se propone que burbujas y crashes son provocadas por comportamientos multitudinarios y de imitación Una parte interesante del trabajo es la combinación de traders racionales y ruidosos (que se guían por imitación) en una economía y encontrar los patrones óptimos de consumo de activos riesgos y sin riesgo. En Kaisoji (2010) se propone un modelo de transiciones de fase para explicar de Burbujas y Crisis, se plantea una economía con dos clases de activos riesgosos, los que generan burbujas y los que no generan burbujas, y por otra parte los activos libres de riesgos. Además los inversionistas se dividen en los racionales y los ruidosos, los primeros maximizan su utilidad esperada de la riqueza del siguiente periodo y los traders ruidosos maximizan su utilidad entre la elección de activos de burbujas y libres de riesgo. En el trabajo se muestra que el comportamiento de imitación es la principal causa de las burbujas.


establece que en la fase bull (mercados alcistas) ocurre una burbuja especulativa y se observa multiestabilidad pero al alcanzar un cierto nivel crítico, de repente un cambio inesperado en la actitud de inversionista ocurre y el mercado se transforma a ser de un mercado bull a un mercado bear (un mercado a la baja). En otras palabras, se pretende explicar el cambio de fase donde la mayoría de los agentes que desean ser compradores de activos (cuando crece la burbuja) financieros y pasan a actuar como vendedores y generalmente previo a una crisis. El trabajo anterior propone una explicación para la crisis 1987-1992 donde se estiman los parámetros del modelo y se propone que burbujas y crashes son provocadas por comportamientos multitudinarios y de imitación Una parte interesante del trabajo es la combinación de traders racionales y ruidosos (que se guían por imitación) en una economía y encontrar los patrones óptimos de consumo de activos riesgos y sin riesgo. En Kaisoji (2010) se propone un modelo de transiciones de fase para explicar de Burbujas y Crisis, se plantea una economía con dos clases de activos riesgosos, los que generan burbujas y los que no generan burbujas, y por otra parte los activos libres de riesgos. Además los inversionistas se dividen en los racionales y los ruidosos, los primeros maximizan su utilidad esperada de la riqueza del siguiente periodo y los traders ruidosos maximizan su utilidad entre la elección de activos de burbujas y libres de riesgo. En el trabajo se muestra que el comportamiento de imitación es la principal causa de las burbujas.

Otro trabajo relacionado con el tema es de De Long(1990) donde se presenta un modelo de generaciones traslapadas en un mercado de activos compuesto por traders ruidosos o irracionales con creencias estocásticas erróneas afectan a los precios. La falta de predicción crea un riesgo latente en el precio de los activos que pueden divergir significativamente del valor de los fundamentales. El modelo explica algunas de las anomalías financieras como el exceso de volatilidad de los precios, la reversión a la media de los rendimientos y el enigma del premio Mehra-Prescott. El modelo planteado en este trabajo toma como antecedente principal el modelo de Kaizoji (2011) donde supone un número fijo de traders racionales y de traders ruidosos (𝑁𝑁𝑅𝑅𝑅𝑅 , 𝑁𝑁𝑅𝑅𝑅𝑅) que coexisten simultáneamente. Los primeros diversifican entre activos riesgos y activos libres de riesgo sobre la base de la maximización del valor esperado de la utilidad. Los traders ruidosos usan indicadores técnicos y sociales tales como el precio momentáneo y la imitación para la asignación de la riqueza. Se supone que la preferencia de los inversionistas racionales está caracterizada por una función de utilidad adversa al riesgo de constante absoluta y con un cierto factor de aversión. Se encuentra que existen bifurcaciones que dependen de la influencia de traders ruidosos sobre los racionales que separa un régimen normal de una burbuja. Una pregunta que se busca responder en dicho trabajo es saber si los inversionistas racionales pueden estabilizar

198 Phynance

los mercados financieros y al final se encontró que en general si depende de un parámetro de control en donde para ciertos valores de dicho parámetro se logra estabilizar la dinámica de los precios y en ciertos momentos pueden dominar los traders ruidosos. Se encuentra que el parámetro de control es inversamente proporcional a la media del exceso del rendimiento esperado de los activos riesgosos y por otra parte es proporcional a proporción de traders ruidosos sobre racionales. Los traders ruidosos siguen un proceso de imitación momentánea en procesos de corto plazo favorecen un proceso de burbuja. El modelo se aplica al caso de la crisis punto com 1995-2000. A continuación se presentan dos sencillos modelos. 6.2 Una primera propuesta de Modelo En la presente sección se propone una economía integrada por dos tipos de agentes o traders: los racionales y los ruidosos, los primeros buscan la maximización intertemporal de su riqueza con la posibilidad de distribuir la asignación de su portafolio entre activos libres de riesgo como bonos gubernamentales y también de activos riesgos como acciones de la bolsa que constituyen una proporción (1 − ) del total de los inversionistas. Por otra parte, los segundos agentes son una proporción de inversionistas ruidosos que también buscan la maximización de su riqueza intertemporalmente y que esta puede estar integrada a su vez por activos libres de riesgo y la otra parte por la adquisición de activos que siguen un comportamiento de imitación multitudinaria.


los mercados financieros y al final se encontró que en general si depende de un parámetro de control en donde para ciertos valores de dicho parámetro se logra estabilizar la dinámica de los precios y en ciertos momentos pueden dominar los traders ruidosos. Se encuentra que el parámetro de control es inversamente proporcional a la media del exceso del rendimiento esperado de los activos riesgosos y por otra parte es proporcional a proporción de traders ruidosos sobre racionales. Los traders ruidosos siguen un proceso de imitación momentánea en procesos de corto plazo favorecen un proceso de burbuja. El modelo se aplica al caso de la crisis punto com 1995-2000. A continuación se presentan dos sencillos modelos. 6.2 Una primera propuesta de Modelo En la presente sección se propone una economía integrada por dos tipos de agentes o traders: los racionales y los ruidosos, los primeros buscan la maximización intertemporal de su riqueza con la posibilidad de distribuir la asignación de su portafolio entre activos libres de riesgo como bonos gubernamentales y también de activos riesgos como acciones de la bolsa que constituyen una proporción (1 − ) del total de los inversionistas. Por otra parte, los segundos agentes son una proporción de inversionistas ruidosos que también buscan la maximización de su riqueza intertemporalmente y que esta puede estar integrada a su vez por activos libres de riesgo y la otra parte por la adquisición de activos que siguen un comportamiento de imitación multitudinaria.

Se plantea la ecuación Hamilton-Jacobi-Bellman (𝐻𝐻 −𝐽𝐽 − 𝐵𝐵) para resolver el problema de las asignaciones optimas intertemporales de los activos considerando los dos tipos de inversionistas y en una segunda fase del problema suponiendo que las proporciones de los inversionistas van cambiando en el tiempo. Esta ecuación está asociada al problema de control óptimo estocástico, donde se considera una función a maximizar sujeto a una restricción con un término estocástico modelado por un movimiento browniano. Una referencia importante para revisar el método puede ser Venegas (2006). Consideremos la riqueza de los traders racionales y de los ruidosos como 𝐴𝐴1 y 𝐴𝐴2 respectivamente. Los traders racionales pueden hacer sus elecciones entre bonos con rendimiento 𝑟𝑟 libre de riesgo (en una proporción de su riqueza de (1 − 𝜋𝜋) y rendimiento con riesgo 𝑅𝑅𝑎𝑎 como acciones que siguen un comportamiento de un movimiento geométrico browniano (en una proporción ). De acuerdo a la idea propuesta por Kaisoji (2011), se supone que el número total de traders ruidosos (𝑁𝑁) esta constituido por los traders que son optimistas e invierten en activos riesgos (𝑁𝑁+) y los que invierten en los activos libres de riesgo (𝑁𝑁−) y siguiendo a los mismos autores también se define una nueva variable S que se utiliza como referencia para saber si los mercados son alcistas o no y sobre la preferencia de comprar activos riesgosos. Se considera la evolución discreta de S en cada momento del tiempo y la probabilidad de cambiar entre traders optimistas y no (𝑁𝑁+ y 𝑁𝑁−).

200 Phynance

En este capítulo se considera para el efecto de imitación un comportamiento de S como un geométrico browniano. Como se trata de una proporción, multiplicamos S por el total de los traders ruidosos (𝑁𝑁) y posteriormente por 𝐽𝐽 para transformar la transformar la posesión de activos en riqueza, buscando capturar el efecto de imitación multitudinaria y en donde junto con los activos riesgos componen la riqueza de los traders ruidosos 𝐴𝐴2. A continuación aplicamos el método 𝐻𝐻 − 𝐽𝐽 − 𝐵𝐵 en donde se desea maximizar la esperanza de la utilidad intertemporal de traders racionales y ruidosos que proviene directamente de sus riquezas respectivas. 𝐽𝐽(𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝜆𝜆, 𝜃𝜃) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐴𝐴1,𝐴𝐴2𝜆𝜆,𝜃𝜃)𝐸𝐸 [(1 −𝜋𝜋) ∫ ln 𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑 +𝑇𝑇

𝜌𝜌 𝜋𝜋 ∫ ln 𝐴𝐴2𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑| ℱ𝑇𝑇𝜌𝜌 ] (6.1)

donde la riqueza de los traders racionales (6.1) y de los traders ruidosos (6.2)se puede repartir entre activos libres de riesgo y activos riesgos. 𝑑𝑑𝐴𝐴1 = (1 − 𝜆𝜆)𝐴𝐴1𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜆𝜆𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.2 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴2 = (1 − 𝜃𝜃)𝐴𝐴2𝐽𝐽𝑁𝑁𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 + 𝜃𝜃𝐴𝐴2𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.2 b) donde los rendimientos de los activos libres de riesgo y de los activos riesgos además el comportamiento dinámico de la posesión de activos ruidosos y de 𝑆𝑆 está dado por: 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑎𝑎

𝑎𝑎 = 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.3 a)


En este capítulo se considera para el efecto de imitación un comportamiento de S como un geométrico browniano. Como se trata de una proporción, multiplicamos S por el total de los traders ruidosos (𝑁𝑁) y posteriormente por 𝐽𝐽 para transformar la transformar la posesión de activos en riqueza, buscando capturar el efecto de imitación multitudinaria y en donde junto con los activos riesgos componen la riqueza de los traders ruidosos 𝐴𝐴2. A continuación aplicamos el método 𝐻𝐻 − 𝐽𝐽 − 𝐵𝐵 en donde se desea maximizar la esperanza de la utilidad intertemporal de traders racionales y ruidosos que proviene directamente de sus riquezas respectivas. 𝐽𝐽(𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝜆𝜆, 𝜃𝜃) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐴𝐴1,𝐴𝐴2𝜆𝜆,𝜃𝜃)𝐸𝐸 [(1 −𝜋𝜋) ∫ ln 𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑 +𝑇𝑇

𝜌𝜌 𝜋𝜋 ∫ ln 𝐴𝐴2𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑| ℱ𝑇𝑇𝜌𝜌 ] (6.1)

donde la riqueza de los traders racionales (6.1) y de los traders ruidosos (6.2)se puede repartir entre activos libres de riesgo y activos riesgos. 𝑑𝑑𝐴𝐴1 = (1 − 𝜆𝜆)𝐴𝐴1𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜆𝜆𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.2 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴2 = (1 − 𝜃𝜃)𝐴𝐴2𝐽𝐽𝑁𝑁𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 + 𝜃𝜃𝐴𝐴2𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.2 b) donde los rendimientos de los activos libres de riesgo y de los activos riesgos además el comportamiento dinámico de la posesión de activos ruidosos y de 𝑆𝑆 está dado por: 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑎𝑎

𝑎𝑎 = 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.3 a)

𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝑑𝑑𝜇𝜇 + 𝜎𝜎𝑑𝑑𝑊𝑊𝑠𝑠 (6.3 b)

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝜇𝜇 (6.3 c) 𝑆𝑆(𝜇𝜇) = 𝑁𝑁+(𝑡𝑡)−𝑁𝑁−(𝑡𝑡)

𝑁𝑁 (6.3 d) donde los movimientos brownianos son 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 y 𝑑𝑑𝑊𝑊𝑠𝑠, se puede reexpresar de una forma más reducida 𝐽𝐽(𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝜆𝜆, 𝜃𝜃) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐴𝐴1,𝐴𝐴2𝜆𝜆,𝜃𝜃)𝐸𝐸 [(1 −𝜋𝜋) ∫ ln 𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝜌𝜌𝑡𝑡𝑑𝑑𝜇𝜇 +𝑇𝑇

𝑡𝑡 𝜋𝜋 ∫ ln 𝐴𝐴2𝑒𝑒−𝜌𝜌𝑡𝑡𝑑𝑑𝜇𝜇| ℱ𝑇𝑇𝑡𝑡 ] (6.4)

𝑑𝑑𝐴𝐴1𝐴𝐴1

= [(1 − 𝜆𝜆)𝑟𝑟 + 𝜆𝜆𝜆𝜆]𝐴𝐴1𝑑𝑑𝜇𝜇 + 𝜆𝜆𝛽𝛽𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.5 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴2𝐴𝐴2

= [(1 − 𝜃𝜃)𝐽𝐽𝐽𝐽𝜇𝜇 + 𝜃𝜃𝜆𝜆𝑑𝑑]𝑑𝑑𝜇𝜇 + (1 − 𝜃𝜃)𝐽𝐽𝐽𝐽𝜎𝜎𝑑𝑑𝑊𝑊𝑠𝑠 +𝜃𝜃𝛽𝛽𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.5 b) Separando para poder integrar

(6.6) Seguimos

(6.7) desarrollando el diferencial de J de acuerdo al lema de Ito ( y despreciando términos)

(6.8)

202 Phynance

Y se propone para J la siguiente relación lineal de 𝐴𝐴1 y 𝐴𝐴2 y con sus derivadas parciales 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2) = ((1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) + 𝜋𝜋𝑉𝑉2(𝐴𝐴2))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.9) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌 = −𝜌𝜌((1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) + 𝜋𝜋𝑉𝑉2(𝐴𝐴2))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 a) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴1

= (1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1´(𝐴𝐴1)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 b) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴2

= 𝜋𝜋𝑉𝑉2´(𝐴𝐴2)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 c) 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴12

= (1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1´´(𝐴𝐴1)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 d) 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴22

= 𝜋𝜋𝑉𝑉2´´(𝐴𝐴2)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 e) 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴1𝜕𝜕𝐴𝐴2= 0 (6.10 f)

Sustituyendo ecuaciones y simplificando

(6.11) Ahora proponiendo una función lineal para 𝐴𝐴1 y 𝐴𝐴2 y con sus derivadas 𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) = 𝐷𝐷01 + 𝐷𝐷1𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴1 (6.12) 𝑉𝑉2(𝐴𝐴2) = 𝐷𝐷02 + 𝐷𝐷2𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴2 (6.13) 𝜕𝜕𝑉𝑉1𝜕𝜕𝐴𝐴1

= 𝐷𝐷1𝐴𝐴1

(6.14 a)


Y se propone para J la siguiente relación lineal de 𝐴𝐴1 y 𝐴𝐴2 y con sus derivadas parciales 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2) = ((1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) + 𝜋𝜋𝑉𝑉2(𝐴𝐴2))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.9) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌 = −𝜌𝜌((1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) + 𝜋𝜋𝑉𝑉2(𝐴𝐴2))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 a) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴1

= (1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1´(𝐴𝐴1)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 b) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴2

= 𝜋𝜋𝑉𝑉2´(𝐴𝐴2)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 c) 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴12

= (1 − 𝜋𝜋)𝑉𝑉1´´(𝐴𝐴1)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 d) 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴22

= 𝜋𝜋𝑉𝑉2´´(𝐴𝐴2)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.10 e) 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴1𝜕𝜕𝐴𝐴2= 0 (6.10 f)

Sustituyendo ecuaciones y simplificando

(6.11) Ahora proponiendo una función lineal para 𝐴𝐴1 y 𝐴𝐴2 y con sus derivadas 𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) = 𝐷𝐷01 + 𝐷𝐷1𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴1 (6.12) 𝑉𝑉2(𝐴𝐴2) = 𝐷𝐷02 + 𝐷𝐷2𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴2 (6.13) 𝜕𝜕𝑉𝑉1𝜕𝜕𝐴𝐴1


(6.14 a)

𝜕𝜕𝑉𝑉2𝜕𝜕𝐴𝐴2


(6.14 b) 𝜕𝜕2𝑉𝑉1𝜕𝜕𝐴𝐴12

= −𝐷𝐷1𝐴𝐴12

(6.14 c) 𝜕𝜕2𝑉𝑉2𝜕𝜕𝐴𝐴22

= −𝐷𝐷2𝐴𝐴22

(6.14 d) Sustituyendo los resultados anteriores se llega a la siguiente expresión

(6.15) Se deriva parcialmente respecto 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2 y los parámetros de y y se llega a : 𝐷𝐷1 =

1𝜌𝜌 (6.16 a)

𝐷𝐷2 =

1𝜌𝜌 (6.16 b)

𝜆𝜆 = 𝛼𝛼−𝑟𝑟

𝛽𝛽2 (6.16 c) 𝜃𝜃 = (𝐽𝐽2𝑁𝑁2𝜎𝜎2−𝐽𝐽𝑁𝑁𝐽𝐽+𝛼𝛼)

𝐽𝐽2𝑁𝑁2𝜎𝜎2+𝛽𝛽2 = 1 + (𝛼𝛼−𝐽𝐽𝑁𝑁𝐽𝐽−𝛽𝛽2)𝐽𝐽2𝑁𝑁2𝜎𝜎2+𝛽𝛽2 (6.16 d)

6.2. Una primera propuesta de Modelo En esta segunda parte del capítulo se vuelve a aplicar el método 𝐻𝐻 − 𝐽𝐽 − 𝐵𝐵 de maximización de la utilidad esperada al mismo caso de dos traders, racionales y ruidosos. Los primeros con posibilidad de elegir entre activos riesgos y libres de riesgo y los segundos entre

204 Phynance

activos riesgos y considerando la imitación. Un cambio importante en esta segunda parte es que la proporción de traders racionales y ruidosos depende del total de traders ruidosos 𝑁𝑁 y estos a su vez del tiempo 𝑡𝑡. 𝐽𝐽(𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝜆𝜆, 𝜃𝜃) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐴𝐴1,𝐴𝐴2𝜆𝜆,𝜃𝜃)𝐸𝐸 [(1 −𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡)) ∫ ln 𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝑇𝑇

𝜌𝜌 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡)) ∫ ln 𝐴𝐴2𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡| ℱ𝑇𝑇𝜌𝜌 ]

(6.17) 𝑑𝑑𝐴𝐴1 = (1 − 𝜆𝜆)𝐴𝐴1𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜆𝜆𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.18 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴2 = (1 − 𝜃𝜃)𝐴𝐴2𝐽𝐽𝑁𝑁(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 + 𝜃𝜃𝐴𝐴2𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.18 b) donde en términos de los rendimientos están definidos: 𝐽𝐽(𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝜆𝜆, 𝜃𝜃) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐴𝐴1,𝐴𝐴2𝜆𝜆,𝜃𝜃)𝐸𝐸 [(1 −𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))) ∫ ln 𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝑇𝑇


(6.19) 𝑑𝑑𝐴𝐴1𝐴𝐴1

= [(1 − 𝜆𝜆)𝑟𝑟 + 𝜆𝜆𝜆𝜆]𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.20 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴2𝐴𝐴2

= [(1 − 𝜃𝜃)𝐽𝐽𝑁𝑁(𝑡𝑡)𝜇𝜇 + 𝜃𝜃𝜆𝜆𝑑𝑑]𝑑𝑑𝑡𝑡 + (1 −𝜃𝜃)𝐽𝐽𝑁𝑁(𝑡𝑡)𝜎𝜎𝑑𝑑𝑊𝑊𝑠𝑠 + 𝜃𝜃𝜆𝜆𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.20 b) Separando otra vez las integrales

(6.21) Después de despreciar términos y desarrollar 𝑑𝑑𝐽𝐽 con lema de Ito


activos riesgos y considerando la imitación. Un cambio importante en esta segunda parte es que la proporción de traders racionales y ruidosos depende del total de traders ruidosos 𝑁𝑁 y estos a su vez del tiempo 𝑡𝑡. 𝐽𝐽(𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝜆𝜆, 𝜃𝜃) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐴𝐴1,𝐴𝐴2𝜆𝜆,𝜃𝜃)𝐸𝐸 [(1 −𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡)) ∫ ln 𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝑇𝑇


(6.17) 𝑑𝑑𝐴𝐴1 = (1 − 𝜆𝜆)𝐴𝐴1𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜆𝜆𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.18 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴2 = (1 − 𝜃𝜃)𝐴𝐴2𝐽𝐽𝑁𝑁(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑅𝑅𝑠𝑠 + 𝜃𝜃𝐴𝐴2𝑑𝑑𝑅𝑅𝑎𝑎 (6.18 b) donde en términos de los rendimientos están definidos: 𝐽𝐽(𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, 𝜆𝜆, 𝜃𝜃) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝐴𝐴1,𝐴𝐴2𝜆𝜆,𝜃𝜃)𝐸𝐸 [(1 −𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))) ∫ ln 𝐴𝐴1𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑𝑡𝑡 +𝑇𝑇


(6.19) 𝑑𝑑𝐴𝐴1𝐴𝐴1

= [(1 − 𝜆𝜆)𝑟𝑟 + 𝜆𝜆𝜆𝜆]𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜆𝜆𝜆𝜆𝐴𝐴1𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.20 a) 𝑑𝑑𝐴𝐴2𝐴𝐴2

= [(1 − 𝜃𝜃)𝐽𝐽𝑁𝑁(𝑡𝑡)𝜇𝜇 + 𝜃𝜃𝜆𝜆𝑑𝑑]𝑑𝑑𝑡𝑡 + (1 −𝜃𝜃)𝐽𝐽𝑁𝑁(𝑡𝑡)𝜎𝜎𝑑𝑑𝑊𝑊𝑠𝑠 + 𝜃𝜃𝜆𝜆𝑑𝑑𝑊𝑊𝑎𝑎 (6.20 b) Separando otra vez las integrales

(6.21) Después de despreciar términos y desarrollar 𝑑𝑑𝐽𝐽 con lema de Ito

(6.22) Se sugiere que 𝐽𝐽 sea función lineal de 𝐴𝐴1y 𝐴𝐴2 y después de obtener sus derivadas parciales 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2) = ((1 − 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) +𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))𝑉𝑉2(𝐴𝐴2))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.23) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌 = −𝜌𝜌((1 − 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) + 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))𝑉𝑉2(𝐴𝐴2))𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 +(−𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) + 𝑉𝑉2(𝐴𝐴2)) 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜌𝜌 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.24)

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴1

= (1 − 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡)))𝑉𝑉1´(𝐴𝐴1)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.25 a) 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴2= 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))𝑉𝑉2´(𝐴𝐴2)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.25 b)

𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴1

2 = (1 − 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡)))𝑉𝑉1´´(𝐴𝐴1)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.25 c) 𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝐴𝐴2

2 = 𝜋𝜋(𝑁𝑁(𝑡𝑡))𝑉𝑉2´´(𝐴𝐴2)𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.25 d) 𝜕𝜕2𝜕𝜕

𝜕𝜕𝐴𝐴1𝜕𝜕𝐴𝐴2= 0 (6.25 e)

Sustituyendo y reduciendo términos

(6.26) proponiendo la función explicita para A1 y A2 y sus derivadas quedan como: 𝑉𝑉1(𝐴𝐴1) = 𝐷𝐷01 + 𝐷𝐷1𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴1 (6.27)

206 Phynance

𝑉𝑉2(𝐴𝐴2) = 𝐷𝐷02 + 𝐷𝐷2𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴2 (6.28) 𝜕𝜕𝑉𝑉1𝜕𝜕𝐴𝐴1


(6.29 a) 𝜕𝜕𝑉𝑉2𝜕𝜕𝐴𝐴2


(6.29 b) 𝜕𝜕2𝑉𝑉1𝜕𝜕𝐴𝐴1

2 = − 𝐷𝐷1𝐴𝐴1

2 (6.29 c) 𝜕𝜕2𝑉𝑉2𝜕𝜕𝐴𝐴2

2 = − 𝐷𝐷2𝐴𝐴2

2 (6.29 d)

(6.30) Se deriva parcialmente respecto A1, A2 y los parámetros de y y se llega a: 𝐷𝐷1 = 1

𝜌𝜌+ 11−𝜋𝜋

𝜕𝜕𝜋𝜋𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

(6.31 a)

𝐷𝐷2 = 1𝜌𝜌−1

𝜋𝜋𝜕𝜕𝜋𝜋𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

(6.31 b)

𝜆𝜆 = 𝛼𝛼−𝑟𝑟𝛽𝛽2 (6.31 c)

𝜃𝜃 = (𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎2−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜇𝜇+𝛼𝛼)

𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎2+𝛽𝛽2 = 1 + (𝛼𝛼−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜇𝜇−𝛽𝛽2)

𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎2+𝛽𝛽2

(6.31 d)

6.3 Resultados De la sección anterior de puede mencionar los siguientes resultados: el valor de J que es el optimización de los activos racionales y ruidosas queda


𝑉𝑉2(𝐴𝐴2) = 𝐷𝐷02 + 𝐷𝐷2𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴2 (6.28) 𝜕𝜕𝑉𝑉1𝜕𝜕𝐴𝐴1


(6.29 a) 𝜕𝜕𝑉𝑉2𝜕𝜕𝐴𝐴2


(6.29 b) 𝜕𝜕2𝑉𝑉1𝜕𝜕𝐴𝐴1

2 = − 𝐷𝐷1𝐴𝐴1

2 (6.29 c) 𝜕𝜕2𝑉𝑉2𝜕𝜕𝐴𝐴2

2 = − 𝐷𝐷2𝐴𝐴2

2 (6.29 d)

(6.30) Se deriva parcialmente respecto A1, A2 y los parámetros de y y se llega a: 𝐷𝐷1 = 1

𝜌𝜌+ 11−𝜋𝜋

𝜕𝜕𝜋𝜋𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

(6.31 a)

𝐷𝐷2 = 1𝜌𝜌−1

𝜋𝜋𝜕𝜕𝜋𝜋𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

(6.31 b)

𝜆𝜆 = 𝛼𝛼−𝑟𝑟𝛽𝛽2 (6.31 c)

𝜃𝜃 = (𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎2−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜇𝜇+𝛼𝛼)

𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎2+𝛽𝛽2 = 1 + (𝛼𝛼−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜇𝜇−𝛽𝛽2)

𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎2+𝛽𝛽2

(6.31 d)

6.3 Resultados De la sección anterior de puede mencionar los siguientes resultados: el valor de J que es el optimización de los activos racionales y ruidosas queda

expresado como la combinación ponderada del logaritmo natural de 𝐴𝐴1 y 𝐴𝐴2: 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2) = ((1 − 𝜋𝜋) (𝐷𝐷01 + 1

𝜌𝜌 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴1) + 𝜋𝜋(𝐷𝐷02 +1𝜌𝜌 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴2)) 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌 (6.32) que cuando el tiempo crece mucho, la función converge a cero 𝐽𝐽(𝑡𝑡, 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2)lim 𝜌𝜌→∞ = ((1 − 𝜋𝜋) (𝐷𝐷01 + 1

𝜌𝜌 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴1) + 𝜋𝜋(𝐷𝐷02 +1𝜌𝜌 𝑙𝑙𝑙𝑙𝐴𝐴2)) 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝜌𝜌

lim 𝜌𝜌→∞→ 0 (6.33)

En el siguiente resultado se recupera la prima de riesgo, donde se observa que cuando el activo libre de riesgo es igual a la tendencia del activo riesgoso entonces es igual a cero y solo se invierte en bonos (ec. 6.16 c) De la condición (6. 16 d) se encuentra el ponderador del trader ruidoso 𝜃𝜃 = (𝐽𝐽2𝑁𝑁2𝜎𝜎2−𝐽𝐽𝑁𝑁𝐽𝐽+𝛼𝛼)

𝐽𝐽2𝑁𝑁2𝜎𝜎2+𝛽𝛽2 = 1 + (𝛼𝛼−𝐽𝐽𝑁𝑁𝐽𝐽−𝛽𝛽2)𝐽𝐽2𝑁𝑁2𝜎𝜎2+𝛽𝛽2 (6.34)

Si 𝜃𝜃 = 0, que es el caso que sigue solamente los activos de imitación para este número de traders ruidosos 𝑁𝑁 = 𝐽𝐽𝐽𝐽±√𝐽𝐽2𝐽𝐽2−4𝐽𝐽2𝜎𝜎2𝛼𝛼

2𝜎𝜎2𝐽𝐽2 (6.35)

208 Phynance

que debe cumplirse del signo de la raíz que 14 > 𝛼𝛼 𝜎𝜎2𝜇𝜇2 de

la soluciones reales y de 𝑁𝑁 > 0 1 > (1 − 4 𝜎𝜎2𝜇𝜇2 𝛼𝛼)

En el caso del Modelo 2, se obtiene una expresión similar para el valor 𝐽𝐽

(6.37)

(6.38) Si es constante se recuperan las ecuaciones (6.32 y 6.33) Como en el caso anterior se recupera el mismo premio al riesgo, (ec. 6.16 d) Y de la última condición, la ponderación del trader ruidoso

𝜃𝜃 = (𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜎𝜎2−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜇𝜇+𝛼𝛼)

𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜎𝜎2+𝛽𝛽2

= 1 + (𝛼𝛼−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜇𝜇−𝛽𝛽2)


(6.39)

Si 𝜃𝜃 = 0 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝛼𝛼𝐽𝐽𝜇𝜇−𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜎𝜎2 (6.40)


que debe cumplirse del signo de la raíz que 14 > 𝛼𝛼 𝜎𝜎2𝜇𝜇2 de

la soluciones reales y de 𝑁𝑁 > 0 1 > (1 − 4 𝜎𝜎2𝜇𝜇2 𝛼𝛼)

En el caso del Modelo 2, se obtiene una expresión similar para el valor 𝐽𝐽

(6.37)

(6.38) Si es constante se recuperan las ecuaciones (6.32 y 6.33) Como en el caso anterior se recupera el mismo premio al riesgo, (ec. 6.16 d) Y de la última condición, la ponderación del trader ruidoso

𝜃𝜃 = (𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜎𝜎2−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜇𝜇+𝛼𝛼)


= 1 + (𝛼𝛼−𝐽𝐽𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡)𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜇𝜇−𝛽𝛽2)


(6.39)

Si 𝜃𝜃 = 0 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝛼𝛼𝐽𝐽𝜇𝜇−𝐽𝐽22𝑁𝑁𝜎𝜎2 (6.40)

𝑁𝑁 = 𝐽𝐽𝐽𝐽±√𝐽𝐽2𝐽𝐽2−4𝐽𝐽2𝜎𝜎2(𝛼𝛼𝛼𝛼+𝐶𝐶)2𝜎𝜎2𝐽𝐽2 (6.41)

donde c es una constante de integración t el tiempo 14 >𝛼𝛼 𝜎𝜎2𝐽𝐽2 (𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑐𝑐)

Nuevamente esta es la condición para que solo se sigan los activos de imitación 6.4 Conclusiones El presente capitulo busca la solución al problema de una economía constituida por traders racionales y ruidosos utilizando el método 𝐻𝐻 − 𝐽𝐽 − 𝐵𝐵, suponiendo que la maximización de la utilidad proviene esencialmente de la riqueza. El primer modelo de las secciones anteriores encuentra una solución a la función de utilidad del problema combinado los dos agentes en términos de los parámetros, como la tasa de descuento, así como el valor de la prima de riesgo y la ponderación de inversión para cada uno de los agentes. Se observa que en el caso límite del número de agentes para solamente seguir un proceso de imitación y de ciertas condiciones que deben cumplirse en 𝑁𝑁 para que el problema tenga solución. EL segundo caso incorpora la posibilidad de ir cambiando en el tiempo la proporción de agentes racionales y ruidosos. Los resultados son similares pero que el segundo modelo queda en términos de relación funcional entre los ponderadores y el número de

210 Phynance

agentes ruidosos. También se llega a una expresión del número de agentes en función de los parámetros y el tiempo.


agentes ruidosos. También se llega a una expresión del número de agentes en función de los parámetros y el tiempo.

CAPITULO 7

212 Phynance

Capítulo 7 Finanzas Cuánticas Aplicadas

7.1 Equivalencia ecuación Schrödinger-Black-Scholes En este último capítulo se muestra la relación entre las dos ecuaciones fundamentales de la teoría de finanzas cuantitativas y la mecánica cuántica: la ecuaciones de Black-Scholes y Schrödinger respectivamente. En el mundo de la física microscópica (al nivel de las partículas subatomicas) la posición de una particula se puede describir como distribución de una variable aleatoria, de la misma similar el comportamiento de los precios de un activo también se describen de forma similar. El trabajo está fundamentado en los trabajos de fisica cuántica de Cohen-Tannoudji , Dui B., Laloe F. (1991), DWave. La ecuación de Schrödinger utiliza una función de estado compleja para determinar la probabilidad en la posición de una partícula y en finanzas la estimación del precio de la opción es análoga la ecuación Black Scholes. El precio de la opción |𝐶𝐶⟩ es directamente observable y no requiere de tratamiento probabilístico. En el primer caso la ecuación de Schrödinger satisface la condición ⟨𝜓𝜓|𝜓𝜓⟩ = 1 para la mecánica cuántica mientras que el valor ⟨𝐶𝐶|𝐶𝐶⟩ es arbitrario. En mecánica cuántica los Hamiltonianos son Hermitianos y por lo tanto tienen eigenvalores reales. En el caso de Black-Scholes para el Hamiltoniano del precio de las opciones no son hermitianos, por lo tanto los eigenvalores pueden ser complejos y entonces los


Capítulo 7 Finanzas Cuánticas Aplicadas

7.1 Equivalencia ecuación Schrödinger-Black-Scholes En este último capítulo se muestra la relación entre las dos ecuaciones fundamentales de la teoría de finanzas cuantitativas y la mecánica cuántica: la ecuaciones de Black-Scholes y Schrödinger respectivamente. En el mundo de la física microscópica (al nivel de las partículas subatomicas) la posición de una particula se puede describir como distribución de una variable aleatoria, de la misma similar el comportamiento de los precios de un activo también se describen de forma similar. El trabajo está fundamentado en los trabajos de fisica cuántica de Cohen-Tannoudji , Dui B., Laloe F. (1991), DWave. La ecuación de Schrödinger utiliza una función de estado compleja para determinar la probabilidad en la posición de una partícula y en finanzas la estimación del precio de la opción es análoga la ecuación Black Scholes. El precio de la opción |𝐶𝐶⟩ es directamente observable y no requiere de tratamiento probabilístico. En el primer caso la ecuación de Schrödinger satisface la condición ⟨𝜓𝜓|𝜓𝜓⟩ = 1 para la mecánica cuántica mientras que el valor ⟨𝐶𝐶|𝐶𝐶⟩ es arbitrario. En mecánica cuántica los Hamiltonianos son Hermitianos y por lo tanto tienen eigenvalores reales. En el caso de Black-Scholes para el Hamiltoniano del precio de las opciones no son hermitianos, por lo tanto los eigenvalores pueden ser complejos y entonces los

análisis se vuelven más complicados. Por otro lado la ecuación de Schrödinger es reversible en el tiempo y además un problema de condiciones iniciales, mientras que los procesos descritos por Black-Scholes son irreversible en el tiempo debido a que su Hamiltoniano no es Hermitiano. La ecuación de Black-Scholes para determinar el precio de una opción (tipo Call o Put) es la siguiente: 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = − 1

2 𝜎𝜎2𝑆𝑆2 𝜕𝜕

2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑆𝑆2 𝑟𝑟𝑆𝑆

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑟𝑟𝑟𝑟 (7.1)

se propone un cambio de variable 𝑆𝑆 = 𝑒𝑒𝑥𝑥;−∞≤ 𝑥𝑥 ≤∞ (7.2) la ecuación de Black-Scholes- Schrödinger se puede plantear de la siguiente forma 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐻𝐻𝐵𝐵𝑆𝑆𝑟𝑟 (7.3) donde el Hamitoniano Black-Scholes está dado de la siguiente forma 𝐻𝐻𝐵𝐵𝑆𝑆 = −𝜎𝜎2

2𝜎𝜎2𝜕𝜕𝑥𝑥2 + (12 𝜎𝜎

2 − 𝑟𝑟) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 (7.4)

Se introduce un operador Hamiltoniano el cual es denotado por H que involucra la evolución del sistema en el tiempo y es el operador más importante en el precio de las opciones, dicho operador es no Hermitiano (ver apéndice).

214 Phynance

Si se considera el operador de coordenadas y el operador diferencial, hay eigenestados que son de importancia especial. El operador de coordenada la ecuación se puede escribir de la forma siguiente: ��𝑥|𝑥𝑥⟩ = 𝑥𝑥|𝑥𝑥⟩ (7.5) La ecuación de eigenestado para un hamiltoniano no hermitiano está dado por 𝐻𝐻, existen estados cuánticos los cuales son llamados eigenestados de energía con eigenvalores de energía reales de una forma de un conjunto completo de estado dado por: 𝐻𝐻𝑅𝑅|𝜓𝜓𝐸𝐸⟩ = 𝐸𝐸|𝜓𝜓𝐸𝐸⟩; 𝐸𝐸∗ = 𝐸𝐸 (7.6 a) ⟨𝜓𝜓𝐸𝐸|𝐻𝐻𝑅𝑅

𝑇𝑇 = ⟨𝜓𝜓𝐸𝐸|𝐻𝐻𝑅𝑅 = ⟨𝜓𝜓𝐸𝐸|𝐸𝐸 (7.6 b) ∫ 𝑑𝑑𝐸𝐸𝜇𝜇(𝐸𝐸)|𝜓𝜓𝐸𝐸⟩⟨𝜓𝜓𝐸𝐸| = ℑ𝑂𝑂𝐸𝐸 (7.6 c)

Utilizando las ecuaciones de arriba se puede llegar a la ecuación de completez para la energía (ver apéndice I) ∫ 𝑑𝑑𝐸𝐸𝜇𝜇(𝐸𝐸)𝑂𝑂𝐷𝐷 𝜓𝜓𝐸𝐸(𝑥𝑥)��𝜓𝐸𝐸(𝑥𝑥´) = ⟨𝑥𝑥|ℑ|𝑥𝑥´⟩ = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥´) (7.7)

Por otro lado, si se desea escribir la ecuación de Schrödinger primero se necesita especificar los grados de libertad del sistema y al mismo tiempo es necesario especificar el hamiltoniano 𝐻𝐻 del sistema que describe el rango de energía también como la forma de energía del sistema puede ser, donde el operador Hamiltoniano es 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻(𝑥𝑥, 𝜕𝜕/𝜕𝜕𝑥𝑥)


Si se considera el operador de coordenadas y el operador diferencial, hay eigenestados que son de importancia especial. El operador de coordenada la ecuación se puede escribir de la forma siguiente: ��𝑥|𝑥𝑥⟩ = 𝑥𝑥|𝑥𝑥⟩ (7.5) La ecuación de eigenestado para un hamiltoniano no hermitiano está dado por 𝐻𝐻, existen estados cuánticos los cuales son llamados eigenestados de energía con eigenvalores de energía reales de una forma de un conjunto completo de estado dado por: 𝐻𝐻𝑅𝑅|𝜓𝜓𝐸𝐸⟩ = 𝐸𝐸|𝜓𝜓𝐸𝐸⟩; 𝐸𝐸∗ = 𝐸𝐸 (7.6 a) ⟨𝜓𝜓𝐸𝐸|𝐻𝐻𝑅𝑅

𝑇𝑇 = ⟨𝜓𝜓𝐸𝐸|𝐻𝐻𝑅𝑅 = ⟨𝜓𝜓𝐸𝐸|𝐸𝐸 (7.6 b) ∫ 𝑑𝑑𝐸𝐸𝜇𝜇(𝐸𝐸)|𝜓𝜓𝐸𝐸⟩⟨𝜓𝜓𝐸𝐸| = ℑ𝑂𝑂𝐸𝐸 (7.6 c)

Utilizando las ecuaciones de arriba se puede llegar a la ecuación de completez para la energía (ver apéndice I) ∫ 𝑑𝑑𝐸𝐸𝜇𝜇(𝐸𝐸)𝑂𝑂𝐷𝐷 𝜓𝜓𝐸𝐸(𝑥𝑥)��𝜓𝐸𝐸(𝑥𝑥´) = ⟨𝑥𝑥|ℑ|𝑥𝑥´⟩ = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥´) (7.7)

Por otro lado, si se desea escribir la ecuación de Schrödinger primero se necesita especificar los grados de libertad del sistema y al mismo tiempo es necesario especificar el hamiltoniano 𝐻𝐻 del sistema que describe el rango de energía también como la forma de energía del sistema puede ser, donde el operador Hamiltoniano es 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻(𝑥𝑥, 𝜕𝜕/𝜕𝜕𝑥𝑥)

− ℏ𝑖𝑖

𝜕𝜕|𝜓𝜓(𝑡𝑡)⟩𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝐻𝐻|𝜓𝜓(𝑡𝑡)⟩ (7.8)

Si se considera una partícula cuántica m moviéndose en una dimensión dentro de un potencial 𝑉𝑉(𝑥𝑥), la ecuación de Schrödinger está dado por − ℏ

𝑖𝑖 ⟨𝑥𝑥 | 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡| 𝜓𝜓(𝑡𝑡)⟩ = ⟨𝑥𝑥|𝐻𝐻|𝜓𝜓(𝑡𝑡)⟩ ⇒ − ℏ

𝑖𝑖𝜕𝜕|𝜓𝜓(𝑡𝑡)⟩

𝜕𝜕𝑡𝑡 =𝐻𝐻 (𝑥𝑥, 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕) 𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) (7.9) donde el operador Hamiltoniano actúa en la base normal para una partícula cuántica moviéndose en una dimensión está dado por 𝐻𝐻 = − ℏ

2𝑚𝑚𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕2 + 𝑉𝑉(𝑥𝑥) (7.10) Si se compara los Hamiltonianos de Schrödinger y Black-Scholes se tiene lo siguiente 𝐻𝐻 = − ℏ

2𝑚𝑚𝜕𝜕2

𝜕𝜕𝜕𝜕2 + 𝑉𝑉(𝑥𝑥) Hamiltoniano de Schrödinger (7.11) 𝐻𝐻𝐵𝐵𝐵𝐵 = − 𝜎𝜎2

2𝜎𝜎2

𝜕𝜕𝜕𝜕2 + (12 𝜎𝜎2 − 𝑟𝑟) 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑟𝑟 Hamiltoniano de Blank-Scholes (7.12) Para la ecuación Schrödinger el potencial será 𝑉𝑉(𝑥𝑥) y el correpondientes para Black-Scholes (1

2 𝜎𝜎2 − 𝑟𝑟) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝑟𝑟

de la misma forma r = − ℏ2𝑚𝑚 será equivalente a − 𝜎𝜎2

2 . Después de haber analizado la similitud entre los Hamiltonianos de Black-Scholes y Schrödinger puede

216 Phynance

mostrarse que el precio de la opción satisface la ecuación de Schrödinger (imaginaria en el tiempo) 𝐻𝐻|𝐶𝐶, 𝑡𝑡⟩ = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 |𝐶𝐶, 𝑡𝑡⟩ (7.13) Con el valor final fijo con la función de pago siguiente |𝐶𝐶, 𝑡𝑡⟩ = |𝑃𝑃⟩; 𝑇𝑇 > 𝑡𝑡 (7.14) Si se compara la función de onda de la mecánica cuántica y la del precio de la opción financiera 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) que es directamente observable y puede describirse por un espacio vectorial lineal de dimensión infinita y los operadores lineales como H actuando en el vector espacial. Se supone que el Hamiltoniano tiene la siguiente expresión 𝐻𝐻 = −𝜎𝜎2(𝑥𝑥)

2𝜎𝜎2𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 (7.15) donde 𝜎𝜎2(𝑥𝑥) representa la volatilidad de precio de la acción y es un estimador del grado para el cual la evolución del precio de la acción es aleatorio. El Hamiltoniano de Black-Scholes 𝐻𝐻𝐵𝐵−𝑆𝑆 no es Hermitiano pero se puede utilizar para establecer la ecuación la ecuación de Black-Scholes- Schrödinger 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝑥𝑥)𝜕𝜕𝜏𝜏 = ⟨𝑥𝑥|𝐻𝐻|𝐶𝐶⟩ = 𝜎𝜎2(𝑥𝑥)

2𝜎𝜎2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥2 − (𝜎𝜎

2(𝑥𝑥)2 − 𝑟𝑟) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝑥𝑥)𝜕𝜕𝑥𝑥 −

𝑟𝑟𝐶𝐶(𝜏𝜏, 𝑥𝑥) (7.16)


mostrarse que el precio de la opción satisface la ecuación de Schrödinger (imaginaria en el tiempo) 𝐻𝐻|𝐶𝐶, 𝑡𝑡⟩ = 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 |𝐶𝐶, 𝑡𝑡⟩ (7.13) Con el valor final fijo con la función de pago siguiente |𝐶𝐶, 𝑡𝑡⟩ = |𝑃𝑃⟩; 𝑇𝑇 > 𝑡𝑡 (7.14) Si se compara la función de onda de la mecánica cuántica y la del precio de la opción financiera 𝐶𝐶(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) que es directamente observable y puede describirse por un espacio vectorial lineal de dimensión infinita y los operadores lineales como H actuando en el vector espacial. Se supone que el Hamiltoniano tiene la siguiente expresión 𝐻𝐻 = −𝜎𝜎2(𝑥𝑥)

2𝜎𝜎2𝜕𝜕𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 (7.15) donde 𝜎𝜎2(𝑥𝑥) representa la volatilidad de precio de la acción y es un estimador del grado para el cual la evolución del precio de la acción es aleatorio. El Hamiltoniano de Black-Scholes 𝐻𝐻𝐵𝐵−𝑆𝑆 no es Hermitiano pero se puede utilizar para establecer la ecuación la ecuación de Black-Scholes- Schrödinger 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝑥𝑥)𝜕𝜕𝜏𝜏 = ⟨𝑥𝑥|𝐻𝐻|𝐶𝐶⟩ = 𝜎𝜎2(𝑥𝑥)

2𝜎𝜎2𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥2 − (𝜎𝜎

2(𝑥𝑥)2 − 𝑟𝑟) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜏𝜏,𝑥𝑥)𝜕𝜕𝑥𝑥 −

𝑟𝑟𝐶𝐶(𝜏𝜏, 𝑥𝑥) (7.16)

en términos de la variable 𝑥𝑥 𝑦𝑦 del tiempo 𝑡𝑡, la ecuación Black-Scholes- Schrödinger para el precio de una opción está dado por 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑡𝑡 = 12 𝜎𝜎2(𝑆𝑆)𝑆𝑆2 = 𝜎𝜎2𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑆𝑆2 − 𝑟𝑟𝑆𝑆 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡,𝑥𝑥)𝜕𝜕𝑆𝑆 + 𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)

(7.17) a partir de la ecuación de Schrödinger y del Hamiltoniano Black-Scholes se puede derivar la ecuación Black-Scholes. Se presentaron las diferencias y similitudes entre las ecuaciones fundamentales Schrödinger y Black-Scholes y se muestra que la primera puede ser derivada de la segunda usando herramientas de la mecánica cuántica. 7.2. Introducción al cómputo cuántico En esta sección del capítulo se presentará una introducción al cómputo cuántico. Desde el punto de vista tradicional sobre el concepto básico de las ciencias de la computación es que las computadoras funcionan como proceso mecánico más que un proceso mental o de inteligencia. Alan Turing (1950) formalizó una abstracción conocida como máquina de Turing la cual sería capaz de efectuar cualquier cálculo mediante la instrucción de un algoritmo y a partir de esto deducir si una maquina es capaz de poder pensar. Esta versión fue reconsiderada cuando Robert Solovay y Volker Strassen (1977) publicaron un prueba rápida en simulación Montecarlo para un problema que no podía ser resuelto por ningún algoritmo determinístico eficiente, mientras que este desafío podía ser fácilmente resuelto usando una máquina de Turing probabilística.

218 Phynance

De ahí surgió la pregunta que sirve de reflexión sobre modelos más poderosos de cómputo. David Deutsch (Deutsch 1985) buscó adoptar una aproximación más general y trato de desarrollar una máquina abstracta “la computadora cuántica universal” la cual era capaz de simular un sistema físico arbitrario. Deutsch- Jozsa (Deutsch D., Jozsa R. 1992) mostraron que una computadora cuántica es efectivamente más poderosa que una máquina de Turing probabilística. Casi al mismo tiempo Richard Feynman mostró lo mismo en términos de Hamiltonianos para hacer cualquier cálculo clásico arbitrario. Shor (2000) mostró como el cálculo de algoritmos discretos puede ser eficientemente desempeñado por una computadora cuántica con una gran importancia en problemas de criptográfica. El cómputo cuántico no es una teoría de física en el sentido que describe un proceso natural sino más bien utiliza su formalismo y construye su propio lenguaje y conceptos abstractos sin la intención de modelar la parte física. Las computadoras convencionales que conocemos tienen la ventaja de desempeñar operaciones aritméticas a gran velocidad, miles de millones de operaciones por segundo. Estas operaciones son efectuadas a tal velocidad que permite correr aplicaciones con número de operaciones complejas. Sin embargo, a pesar que las computadoras clásicas han realizado excelentes tareas hay áreas donde los cálculos para estas son extremadamente difíciles como son: el


De ahí surgió la pregunta que sirve de reflexión sobre modelos más poderosos de cómputo. David Deutsch (Deutsch 1985) buscó adoptar una aproximación más general y trato de desarrollar una máquina abstracta “la computadora cuántica universal” la cual era capaz de simular un sistema físico arbitrario. Deutsch- Jozsa (Deutsch D., Jozsa R. 1992) mostraron que una computadora cuántica es efectivamente más poderosa que una máquina de Turing probabilística. Casi al mismo tiempo Richard Feynman mostró lo mismo en términos de Hamiltonianos para hacer cualquier cálculo clásico arbitrario. Shor (2000) mostró como el cálculo de algoritmos discretos puede ser eficientemente desempeñado por una computadora cuántica con una gran importancia en problemas de criptográfica. El cómputo cuántico no es una teoría de física en el sentido que describe un proceso natural sino más bien utiliza su formalismo y construye su propio lenguaje y conceptos abstractos sin la intención de modelar la parte física. Las computadoras convencionales que conocemos tienen la ventaja de desempeñar operaciones aritméticas a gran velocidad, miles de millones de operaciones por segundo. Estas operaciones son efectuadas a tal velocidad que permite correr aplicaciones con número de operaciones complejas. Sin embargo, a pesar que las computadoras clásicas han realizado excelentes tareas hay áreas donde los cálculos para estas son extremadamente difíciles como son: el

reconocimiento de imágenes, el lenguaje natural y en donde se aprende de la experiencia para mejorar tareas particulares. Y aunque ha habido muchos esfuerzos en estos campos, estos han sido lentos considerando que los prototipos de grandes computadoras consumen bastas cantidades de espacio y energía. La forma de operar del cómputo cuántico es radicalmente diferente del cómputo tradicional que transforma cadenas de bits de 0´𝑠𝑠 y 1´𝑠𝑠 (código binario) a otros sistemas. El cómputo cuántico es distinto y requiere de nuevos materiales, nuevos diseños y nueva arquitectura de computadora, así como una forma de programar los sistemas completamente diferentes. Se reemplazan los bit (0,1) con un nuevo tipo de información los qubit y esto cambiará la forma de pensar sobre el cómputo. Un ejemplo clásico de cómo el computo tradicional no puede resolver ciertos problemas es el siguiente problema sobre apagadores luz (Este caso es tomado de la página Dwave, pero es un ejemplo representativo de la literatura). Dicho problema involucra la mejor combinación para un conjunto de varios apagadores, el problema es aplicable a otros muchos casos posibles. Consideremos un conjunto de apagadores que encienden una lámpara y supongamos que cada apagador tiene asociado un número (un valor implícito) y se puede elegir si se apaga o se enciende el apagador (apagado +1 o encendido −1). El paso siguiente es sumar el valor implícito de los apagadores de los valores encendidos (o de los apagados) y al final se obtiene un número de la combinación de apagadores

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apagados o encendidos buscando aquel que tengas el valor más pequeño. 𝐸𝐸(𝑠𝑠) = ∑ ℎ𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖 . (7.18) Se encuentra que si todos los apagadores con valores implícitos positivos se colocan en apagado y los que tengan con valores implicitos negativos se encienden el resultado obtenido será de valor mínimo. Si se adiciona una regla adicional que haga el problema más difícil que consiste en agregar otro valor sesgo a cada pareja de apagadores (𝐽𝐽) y al final sumar el resultado de cada par al valor que ya teníamos. De la misma manera tendríamos que estimar si cada apagador debería estar encendido o apagado con esta nueva regla con el objetivo de minimizar el valor 𝐸𝐸(𝑠𝑠) = ∑ ℎ𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖 + ∑ ∑ 𝒥𝒥𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖 . (7.19) En este caso es mucho más difícil saber si los apagadores deberían estar en apagado o encendido porque el resultado se ve afectado por los apagadores vecinos. Del acoplamiento de los apagadores podemos acomodar encendido y apagado y hay cuatroposibilidades[encendido,encendido] [encendido,apagado] [apagado,encendido] [apagado,apagado]. De acuerdo al número de apagadores las posibles respuestas son: 2 apagadores - 22 = 4 posibles respuestas 10 apagadores= 210 =1024 posibles respuestas


apagados o encendidos buscando aquel que tengas el valor más pequeño. 𝐸𝐸(𝑠𝑠) = ∑ ℎ𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖 . (7.18) Se encuentra que si todos los apagadores con valores implícitos positivos se colocan en apagado y los que tengan con valores implicitos negativos se encienden el resultado obtenido será de valor mínimo. Si se adiciona una regla adicional que haga el problema más difícil que consiste en agregar otro valor sesgo a cada pareja de apagadores (𝐽𝐽) y al final sumar el resultado de cada par al valor que ya teníamos. De la misma manera tendríamos que estimar si cada apagador debería estar encendido o apagado con esta nueva regla con el objetivo de minimizar el valor 𝐸𝐸(𝑠𝑠) = ∑ ℎ𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖 + ∑ ∑ 𝒥𝒥𝑖𝑖,𝑗𝑗𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑗𝑗𝑗𝑗𝑖𝑖 . (7.19) En este caso es mucho más difícil saber si los apagadores deberían estar en apagado o encendido porque el resultado se ve afectado por los apagadores vecinos. Del acoplamiento de los apagadores podemos acomodar encendido y apagado y hay cuatroposibilidades[encendido,encendido] [encendido,apagado] [apagado,encendido] [apagado,apagado]. De acuerdo al número de apagadores las posibles respuestas son: 2 apagadores - 22 = 4 posibles respuestas 10 apagadores= 210 =1024 posibles respuestas

100 apagadores= 2100=1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376 posibles respuestas. El juego pasa de ser muy simple a muy complicado, incluso utilizando las más poderosas supercomputadoras y con solo 500 apagadores no habría tiempo suficiente en el universo para probar todas las configuraciones. En casos como el anterior o cualquiera que se pueda expresar en esos términos, es donde la mecánica cuántica puede ayudar. La fuerza fundamental de la computadora cuántica proviene de la idea que se pueden combinar un bit de información en una superposición de estados. Es decir, se puede pensar de esto como una situación en donde los “qubits” no han decidido en que están estado van a estar, es decir, como una superposición de estados o estar en ambos estados al mismo tiempo o alternativamente pensar que el quibit está indeciso entre el estado +1 y −1. Un bit de información de mecánica cuántica (qubit) puede residir en saber como una superposición de estados donde no se ha decidido si el valor está en +1 o −1. Si se considera un conjunto de apagadores como antes pero ahora considerando una memoria de computo cuántico. La computadora D-wave (D-wave) permite tomar una representación cuántica y extraer las configuración de encendido y apagado con el valor mínimo. Si se inicia con el sistema con una superposición de estados y lentamente se va ajustando la computadora

222 Phynance

cuántica para apagar el efecto de la superposición cuántica. Al mismo tiempo se irá incrementando los valores implicitos (ℎ 𝑦𝑦 𝐽𝐽). Cuando esta operación se desempeña, los apagadores sale lentamente de superposición y se elige el estado clásico encendido o pagado y cada apagador debió haber elegido entre estar apagado o encendido. La mecánica cuántica trabaja dentro de la computadora para ayudar a los apagadores a encontrar los estados correctos que dan el valor menor cuando todos se suman. 7.3 Elementos de la Mecánica Cuántica De acuerdo a lo presentado en secciones anteriores, se plantea la estructura y notación de mecánica cuántica para espacios vectoriales, cualquier función de estado puede ser expresado como la suma de eigenfunciones o funciones propias, que están definidas en un espacio de Hilbert ℋ 𝜓𝜓(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝜓𝜓𝑖𝑖

∞𝑖𝑖=0 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡). (7.20)

Si usamos {𝜓𝜓0, 𝜓𝜓1, … } como vectores unitarios podemos escribir los vectores bra y kets de 𝜓𝜓 como vectores renglones y columnas respectivamente de dimensiones infinitas

⟨𝜓𝜓| ≡ (𝑐𝑐0 ∗, 𝑐𝑐1 ∗, … ) y |𝜓𝜓⟩ ≡ (𝑐𝑐0𝑐𝑐1⋮

). (7.21)

Un observable físico 𝒪𝒪 es expresado como un operador lineal O mientras que el valor clásico de 𝒪𝒪 es el valor esperado ⟨𝒪𝒪⟩ , el valor del observable, en mecánica como la posición o el momento debe ser real como la


cuántica para apagar el efecto de la superposición cuántica. Al mismo tiempo se irá incrementando los valores implicitos (ℎ 𝑦𝑦 𝐽𝐽). Cuando esta operación se desempeña, los apagadores sale lentamente de superposición y se elige el estado clásico encendido o pagado y cada apagador debió haber elegido entre estar apagado o encendido. La mecánica cuántica trabaja dentro de la computadora para ayudar a los apagadores a encontrar los estados correctos que dan el valor menor cuando todos se suman. 7.3 Elementos de la Mecánica Cuántica De acuerdo a lo presentado en secciones anteriores, se plantea la estructura y notación de mecánica cuántica para espacios vectoriales, cualquier función de estado puede ser expresado como la suma de eigenfunciones o funciones propias, que están definidas en un espacio de Hilbert ℋ 𝜓𝜓(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝜓𝜓𝑖𝑖

∞𝑖𝑖=0 (𝑟𝑟, 𝑡𝑡). (7.20)

Si usamos {𝜓𝜓0, 𝜓𝜓1, … } como vectores unitarios podemos escribir los vectores bra y kets de 𝜓𝜓 como vectores renglones y columnas respectivamente de dimensiones infinitas

⟨𝜓𝜓| ≡ (𝑐𝑐0 ∗, 𝑐𝑐1 ∗, … ) y |𝜓𝜓⟩ ≡ (𝑐𝑐0𝑐𝑐1⋮

). (7.21)

Un observable físico 𝒪𝒪 es expresado como un operador lineal O mientras que el valor clásico de 𝒪𝒪 es el valor esperado ⟨𝒪𝒪⟩ , el valor del observable, en mecánica como la posición o el momento debe ser real como la

longitud de (1 + 𝑖𝑖) para tener significado físico se requiere ⟨𝒪𝒪𝒪𝒪 ℝ⟩ 𝒪𝒪† es llamado operador adjunto de 𝒪𝒪. ⟨𝑓𝑓|𝑔𝑔⟩ = ⟨𝑓𝑓|𝑂𝑂|𝑔𝑔⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 |𝑓𝑓⟩ = 𝒪𝒪†|𝑓𝑓⟩. (7.22)

De las secciones anteriores, recordemos que un operador 𝒪𝒪 con 𝒪𝒪† = 𝒪𝒪 es llamado autoadjunto o Hermitiano, los valores medibles medidos 𝑐𝑐𝑖𝑖 son siempre eigenvalores de sus respectivos operadores 𝑂𝑂. En física clásica los observables como localización, movimiento o energía donde cambian sus valores de acuerdo a ciertas leyes dinámicas, en principio pueden ser observados sin alterar el mismo sistema, este no es el caso de la física cuántica. El espectro de probabilidad si los eigevalores o valores propios 𝑐𝑐𝑖𝑖 no son degenerados y tienen eigenvalores 𝜓𝜓𝑖𝑖 para medir 𝑐𝑐𝑖𝑖 es 𝑝𝑝𝑖𝑖 = |⟨𝜓𝜓𝑖𝑖|𝜓𝜓⟩|2. Si los eigenvalores 𝑐𝑐𝑖𝑖 son degenerados y {𝜓𝜓𝑖𝑖,1, 𝜓𝜓𝑖𝑖,2, … 𝜓𝜓𝑖𝑖,𝑑𝑑𝑖𝑖} entonces la probabilidad estará dada por 𝑝𝑝𝑖𝑖 = ∑ |⟨𝜓𝜓𝑖𝑖𝑖𝑖|𝜓𝜓⟩|2𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 (7.23) Si se reduce la función de onda y si los eigenvalores 𝑐𝑐𝑖𝑖 son no degenerados, el estado pos medida |𝜓𝜓´⟩=|𝜓𝜓𝑖𝑖⟩ se expresará por 𝜓𝜓′ = 1

√𝑝𝑝𝑖𝑖 ∑ |𝜓𝜓𝑖𝑖𝑖𝑖⟩ ⟨𝜓𝜓𝑖𝑖𝑖𝑖|𝜓𝜓⟩𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑖𝑖=1 (7.24) Considerando un estado |𝜓𝜓⟩ compuesto de dos eigenestados |𝜓𝜓1⟩ y |𝜓𝜓2⟩ de una ecuación de

224 Phynance

Schrödinger independiente de tiempo con los eigenvalores de energía 𝐸𝐸1 y 𝐸𝐸2. |𝜓𝜓⟩ = 𝑐𝑐1|𝜓𝜓1⟩ +𝑐𝑐2|𝜓𝜓2⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 |𝑐𝑐1|2 + |𝑐𝑐2|2 (7.25) y el valor esperado de la energía estaría dado por ⟨𝐻𝐻⟩ =|𝑐𝑐1|2𝐸𝐸1 + |𝑐𝑐2|2𝐸𝐸2 , si actualmente revisamos las medidas considerando 𝐸𝐸1 y 𝐸𝐸2 con probabilidades |𝑐𝑐2| 𝑦𝑦 |𝑐𝑐2|2. Si se mide el estado resultante otra vez siempre obtendremos la misma energía como en la primera medición como la función de onda colapsada a 𝜓𝜓1 𝑐𝑐 𝜓𝜓2 𝜓𝜓⟩ → {|𝜓𝜓1⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖 |𝑐𝑐1|2

|𝜓𝜓2⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖 |𝑐𝑐2|2 (7.26) El hecho que ⟨ℋ⟩ es sólo valor estático y se puede reflexionar sobre si una cualidad física de un sistema existe por sí mismo o esta invariablemente ligado al proceso de medición. La interpretación de Copenague de física cuántica sostiene que un observable 𝒪𝒪 solo existe si el sistema en cuestión sucede que está en un eigenestado de acuerdo al operador 𝑂𝑂. Las computadoras cuánticas esencialmente están compuesta de tres partes: a) una memoria, la cual está en el estado actual de la máquina, b) un procesador, el cual desempeña operaciones elementales y c) una orden de entrada y salida la cual permite un conjunto de estados iniciales y el estado final del cálculo.

Para la memoria cuántica un qubit es la analogía al bit clásico, el bit cuántico o qubit está representado por un


Schrödinger independiente de tiempo con los eigenvalores de energía 𝐸𝐸1 y 𝐸𝐸2. |𝜓𝜓⟩ = 𝑐𝑐1|𝜓𝜓1⟩ +𝑐𝑐2|𝜓𝜓2⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 |𝑐𝑐1|2 + |𝑐𝑐2|2 (7.25) y el valor esperado de la energía estaría dado por ⟨𝐻𝐻⟩ =|𝑐𝑐1|2𝐸𝐸1 + |𝑐𝑐2|2𝐸𝐸2 , si actualmente revisamos las medidas considerando 𝐸𝐸1 y 𝐸𝐸2 con probabilidades |𝑐𝑐2| 𝑦𝑦 |𝑐𝑐2|2. Si se mide el estado resultante otra vez siempre obtendremos la misma energía como en la primera medición como la función de onda colapsada a 𝜓𝜓1 𝑐𝑐 𝜓𝜓2 𝜓𝜓⟩ → {|𝜓𝜓1⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖 |𝑐𝑐1|2

|𝜓𝜓2⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑝𝑝𝑖𝑖 |𝑐𝑐2|2 (7.26) El hecho que ⟨ℋ⟩ es sólo valor estático y se puede reflexionar sobre si una cualidad física de un sistema existe por sí mismo o esta invariablemente ligado al proceso de medición. La interpretación de Copenague de física cuántica sostiene que un observable 𝒪𝒪 solo existe si el sistema en cuestión sucede que está en un eigenestado de acuerdo al operador 𝑂𝑂. Las computadoras cuánticas esencialmente están compuesta de tres partes: a) una memoria, la cual está en el estado actual de la máquina, b) un procesador, el cual desempeña operaciones elementales y c) una orden de entrada y salida la cual permite un conjunto de estados iniciales y el estado final del cálculo.

Para la memoria cuántica un qubit es la analogía al bit clásico, el bit cuántico o qubit está representado por un

sistema el cual puede adoptar uno de dos estados distintos 0 y 1 se puede definir como sigue: El Qubit (o bit cuántico) es un sistema cuántico cuyo estado puede ser completamente descrito por una superposición de dos eigenestados ortonormales etiquetados como |0⟩ 𝑦𝑦 |1⟩. El estado general |𝜓𝜓⟩ ∈ ℋ de un qubit esta dado por |𝜓𝜓⟩ = 𝛼𝛼|0⟩ + 𝛽𝛽|1⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 |𝛼𝛼|2 + |𝛽𝛽|2 = 1 (7.27) El valor de un qubit es el observable 𝒩𝒩 con el operador Hermitiano 𝒩𝒩 |𝑖𝑖⟩ = 𝑖𝑖 |𝑖𝑖⟩ sobre el espacio de Hilbert o bien en representación matricial 𝑁𝑁 = (0 0

0 1) (7.28) el valor esperado de 𝑁𝑁 está dado por ⟨𝑁𝑁⟩ = ⟨𝜓𝜓|𝑁𝑁|𝜓𝜓⟩ = (𝛼𝛼∗ 𝛽𝛽∗) (0 0

0 1) (𝛼𝛼𝛽𝛽) = |𝛽𝛽|2 (7.29)

entonces ⟨𝑁𝑁⟩ corresponde a la probabilidad para encontrar el sistema en el estado |1⟩ si una medida es desempeñada por los quibits. Si se combinan dos qubits, el estado general del sistema resultante es: |𝜓𝜓⟩ = 𝛼𝛼|00⟩ + 𝛽𝛽|10⟩ + 𝛾𝛾|01⟩ + 𝛿𝛿|11⟩ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 |𝛼𝛼|2 +|𝛽𝛽|2 + |𝛾𝛾|2 + |𝛿𝛿|2 = 1 (7.30) Se puede todavía definir distintos observables 𝒩𝒩(1) 𝑦𝑦 𝒩𝒩(2) para el valor de cada quibit con los operadores 𝒩𝒩(1) |𝑖𝑖, 𝑗𝑗⟩ = 𝑖𝑖 |𝑖𝑖, 𝑗𝑗⟩ y 𝒩𝒩(2) |𝑖𝑖, 𝑗𝑗⟩ = 𝑗𝑗|𝑖𝑖, 𝑗𝑗⟩ y sus valores esperados

226 Phynance

⟨𝒩𝒩(1)⟩ = |𝛼𝛼|2 + |𝛽𝛽|2 𝑦𝑦 ⟨𝒩𝒩(2)⟩ = |𝛾𝛾|2 + |𝛿𝛿|2 (7.31) que permitirá reconstruir la distribución de probabilidad entre los eigenvalores, para ejemplificar consideremos los estados |Ψ𝐴𝐴⟩ = 1

√2 (|00⟩ +|11⟩), |Ψ𝐵𝐵⟩ = 1√2 (|10⟩ +|01⟩), (7.32)

|Ψ𝐶𝐶⟩ = 1√2

(|00⟩ + |10⟩ + 01⟩ +|11⟩),

con todos con valores esperados ⟨𝒩𝒩(1)⟩ = ⟨𝒩𝒩(2)⟩ =1/2 si medimos un solo qubit podemos obtener |0⟩ ó |1⟩ con la misma probabilidad y sin embargo puede obtenerse estados después de la medida totalmente diferentes |Ψ𝐴𝐴⟩ = |11⟩, |Ψ𝐵𝐵⟩ = |10⟩ 𝑦𝑦 (7.33) |Ψ𝐶𝐶⟩ = 1

√2(||10⟩ +|11⟩),

Y los valores esperados para el segundo qubit son ahora dados por ⟨𝒩𝒩𝐴𝐴

(1)⟩ = 1, ⟨𝒩𝒩𝐵𝐵(2)⟩ = 0 𝑦𝑦 ⟨𝒩𝒩𝐵𝐵

(2)⟩ = 12 (7.34)

El estado de la maquina clásica puede ser dado como los estados distintos de todos los bits en memoria y registros procesados. El “estado del qubit” es un término sin sentido, si el estado de la máquina es la combinación de estados de más de un sistema. El estado de la máquina de una computadora cuántica de 𝑛𝑛 qubit es el estado actual de un sistema combinado de n qubits idénticos subsistemas.


⟨𝒩𝒩(1)⟩ = |𝛼𝛼|2 + |𝛽𝛽|2 𝑦𝑦 ⟨𝒩𝒩(2)⟩ = |𝛾𝛾|2 + |𝛿𝛿|2 (7.31) que permitirá reconstruir la distribución de probabilidad entre los eigenvalores, para ejemplificar consideremos los estados |Ψ𝐴𝐴⟩ = 1

√2 (|00⟩ +|11⟩), |Ψ𝐵𝐵⟩ = 1√2 (|10⟩ +|01⟩), (7.32)

|Ψ𝐶𝐶⟩ = 1√2

(|00⟩ + |10⟩ + 01⟩ +|11⟩),

con todos con valores esperados ⟨𝒩𝒩(1)⟩ = ⟨𝒩𝒩(2)⟩ =1/2 si medimos un solo qubit podemos obtener |0⟩ ó |1⟩ con la misma probabilidad y sin embargo puede obtenerse estados después de la medida totalmente diferentes |Ψ𝐴𝐴⟩ = |11⟩, |Ψ𝐵𝐵⟩ = |10⟩ 𝑦𝑦 (7.33) |Ψ𝐶𝐶⟩ = 1

√2(||10⟩ +|11⟩),

Y los valores esperados para el segundo qubit son ahora dados por ⟨𝒩𝒩𝐴𝐴

(1)⟩ = 1, ⟨𝒩𝒩𝐵𝐵(2)⟩ = 0 𝑦𝑦 ⟨𝒩𝒩𝐵𝐵

(2)⟩ = 12 (7.34)

El estado de la maquina clásica puede ser dado como los estados distintos de todos los bits en memoria y registros procesados. El “estado del qubit” es un término sin sentido, si el estado de la máquina es la combinación de estados de más de un sistema. El estado de la máquina de una computadora cuántica de 𝑛𝑛 qubit es el estado actual de un sistema combinado de n qubits idénticos subsistemas.

El espacio de Hilbert combinado ℋ es la composición de n espacios de Hilbert de un quibit ℋ = ℋ1 ×ℋ2 × …×ℋ𝑛𝑛 = ∁2𝑛𝑛 (7.35) si se interpretan los eigenvectores |𝑑𝑑0 …𝑑𝑑𝑛𝑛−1⟩ como dígitos binarios donde 𝑑𝑑0 al menos significa bit se puede escribir como |Ψ⟩ = ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖|𝑖𝑖⟩2𝑛𝑛−1

𝑖𝑖=0 con |𝑑𝑑0 + 2𝑑𝑑1 + ⋯+2𝑛𝑛−1𝑑𝑑𝑛𝑛−1⟩ ≡|𝑑𝑑0 …𝑑𝑑𝑛𝑛−1⟩ (7.36) el valor de 𝒩𝒩𝑖𝑖 para el valor de 𝒩𝒩𝑖𝑖 del i-ésimo quibit esta dado por 𝒩𝒩𝑖𝑖|𝑑𝑑0 …𝑑𝑑𝑛𝑛−1⟩ = 𝑑𝑑𝑖𝑖|𝑑𝑑0 …𝑑𝑑𝑛𝑛−1⟩ (7.37) Y tiene el valor esperado ⟨𝒩𝒩𝑖𝑖⟩ = ∑ 𝑑𝑑𝑖𝑖|𝑐𝑐𝑑𝑑0…𝑑𝑑𝑛𝑛−1|

2(𝑑𝑑0…𝑑𝑑𝑛𝑛−1) (7.38)

7. 4 Caminata Aleatoria Cuántica Aharanov, Davidovich y Zagury (1993) proponen que una caminata aleatoria cuántica sea realizada con una moneda y un caminante donde cada uno tiene su propio espacio de estados el cual conformaran un sistema compuesto por ambos la moneda y el caminante conjuntos. Un operador unitario definirá el resultado de un volado de la moneda mientras el otro operador unitario definirá el movimiento de caminante basado en el resultado de la moneda, el segundo operador produce a liga entre la moneda y el caminante.

228 Phynance

En la caminata aleatoria clásica (Nayak 2000) en cada paso hay la probabilidad para una partícula para moverse de izquierda a derecha a lo largo de una línea recta. Durante una sola caminata aleatoria la partícula está en una localización definida. Se puede observar la probabilidad en una fracción de cada caminata para la cual la partícula está en cada localización después de un número especificado de pasos. En una caminata aleatoria cuántica la partícula es una superposición de localizaciones a lo largo de una línea. Los valores mostrados en la gráfica son las probabilidades de encontrar (en el caso de física) una partícula en cada localización, si la partícula es observada después de un número especificado de pasos. El estado de la partícula después de n pasos puede ser expresada como ∑ 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|𝑠𝑠, 𝑘𝑘⟩𝑠𝑠,𝑘𝑘 (7.39) donde 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘 son valores numéricos complejos, k es un entero entre – 𝑛𝑛 y +𝑛𝑛 dada la localización a lo largo de una línea y 𝑠𝑠 ∈ {0,1} es un solo bit cuantico (recordemos llamado quibit) que representa en valor de un volado para determinar la dirección de una partícula en el paso siguiente: 0 y 1 corresponde a incrementar o disminuir k por 1 respectivamente. La probabilidad de observar de una partícula en la localización k es |𝜓𝜓0,𝑘𝑘|

2 + |𝜓𝜓1,𝑘𝑘|2 (7.40)

Después de superposición ∑ 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|𝑠𝑠, 𝑘𝑘⟩𝑠𝑠,𝑘𝑘 llega a ser (1/√2)∑ 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|0, 𝑘𝑘⟩ + (−1)5𝑠𝑠,𝑘𝑘+1 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|0, 𝑘𝑘⟩ +


En la caminata aleatoria clásica (Nayak 2000) en cada paso hay la probabilidad para una partícula para moverse de izquierda a derecha a lo largo de una línea recta. Durante una sola caminata aleatoria la partícula está en una localización definida. Se puede observar la probabilidad en una fracción de cada caminata para la cual la partícula está en cada localización después de un número especificado de pasos. En una caminata aleatoria cuántica la partícula es una superposición de localizaciones a lo largo de una línea. Los valores mostrados en la gráfica son las probabilidades de encontrar (en el caso de física) una partícula en cada localización, si la partícula es observada después de un número especificado de pasos. El estado de la partícula después de n pasos puede ser expresada como ∑ 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|𝑠𝑠, 𝑘𝑘⟩𝑠𝑠,𝑘𝑘 (7.39) donde 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘 son valores numéricos complejos, k es un entero entre – 𝑛𝑛 y +𝑛𝑛 dada la localización a lo largo de una línea y 𝑠𝑠 ∈ {0,1} es un solo bit cuantico (recordemos llamado quibit) que representa en valor de un volado para determinar la dirección de una partícula en el paso siguiente: 0 y 1 corresponde a incrementar o disminuir k por 1 respectivamente. La probabilidad de observar de una partícula en la localización k es |𝜓𝜓0,𝑘𝑘|

2 + |𝜓𝜓1,𝑘𝑘|2 (7.40)

Después de superposición ∑ 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|𝑠𝑠, 𝑘𝑘⟩𝑠𝑠,𝑘𝑘 llega a ser (1/√2)∑ 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|0, 𝑘𝑘⟩ + (−1)5𝑠𝑠,𝑘𝑘+1 𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘|0, 𝑘𝑘⟩ +

(−1)5𝜓𝜓𝑠𝑠,𝑘𝑘−1|1, 𝑘𝑘⟩. Entonces una partícula cuántica comenzara con una localización definida K que tiene igual probabilidad de llegar a ser observado. Después de pasar a las ubicaciones 𝐾𝐾 + 1 o 𝐾𝐾 − 1 de la misma caminata aleatoria clásica, sin embargo, después de más de un paso, la interferencia entre términos múltiples en superposición da diferente comportamiento entre caminata aleatoria clásica y cuántica. El comportamiento de la caminata aleatoria cuántica varía con la elección del estado inicial del quibit. Este quibit puede iniciar con un estado definido (0 u 1) igual que en el caso bit general, más generalmente el quibit puede iniciar con la superposición de estados 0 y 1. A continuación se muestran en los siguientes ejemplos de estados iniciales del quibit. La condición inicial asimétrica tiene 𝜓𝜓00 = 1 y los otros valores igual a cero. La condición inicial simétrica tiene 𝜓𝜓00 = 𝑖𝑖

√2 , 𝜓𝜓10 = 1√2 y los otros valores iguala a cero. En

ambos casos inician con la localización igual a cero, igual que en el caso de caminata aleatoria clásica. Posteriormente a un número par o impar de pasos, las partículas solo pueden tener localizaciones pares o impares a lo largo de la línea, seleccionando el conjunto de puntos se muestra una curva conectada probabilidades distintas de cero.

230 Phynance

7.5 Resultados La siguiente simulación de una caminata aleatoria de tipo cuántico está basada completamente en (Gómez-Muñoz J.L., Delgado F., (2011)) y en la notación cuantica. Consideremos una moneda tiene dos estados posibles águilas o sol mientras que el caminante puede tener cualquier número entero sobre el que va avanzando, la moneda tiene originalmente el número 0 y el caminante inicia en el origen cero |w [0] ⟩ = | 0c ⟩ ⊗ | 0p ⟩. (7.41) Si definimos un volado de la moneda el cual tiene un operador que puede ser cualquier operador unitario que actúa sobre la moneda 𝐶𝐶, la moneda tiene dos estados 0 y 1 o águila y sol, notemos que el último signo es negativo h = 1

√2 ( | 0c ⟩ ∙ ⟨ 0c | + | 1c⟩ ∙ ⟨ 0 c | + | 0c⟩ ∙ ⟨ 1c | − | 1c⟩ ∙ ⟨ 1c |) (7.42) si se define el operador del movimiento de un caminante simple, P se mueve a la izquierda (𝑗𝑗 − 1) si la moneda esta en el estado 0 y se mueve a ( 𝑗𝑗 + 1) si la moneda esta en estado, es exactamente de la misma forma que se harías un volado a mano pero que no seria computacionalmente eficiente para definir el operador de esta forma s = | 0c ⟩ ∙ ⟨ 0c | ⨂ ∑ (| (j − 1)p⟩ ∙ ⟨ jp |)∞

j=−∞ + | 1c ⟩ ∙

⟨ 1c | ⨂ ∑ (| (j + 1)p⟩ ∙ ⟨ jp |)∞j=−∞ (7.43)


7.5 Resultados La siguiente simulación de una caminata aleatoria de tipo cuántico está basada completamente en (Gómez-Muñoz J.L., Delgado F., (2011)) y en la notación cuantica. Consideremos una moneda tiene dos estados posibles águilas o sol mientras que el caminante puede tener cualquier número entero sobre el que va avanzando, la moneda tiene originalmente el número 0 y el caminante inicia en el origen cero |w [0] ⟩ = | 0c ⟩ ⊗ | 0p ⟩. (7.41) Si definimos un volado de la moneda el cual tiene un operador que puede ser cualquier operador unitario que actúa sobre la moneda 𝐶𝐶, la moneda tiene dos estados 0 y 1 o águila y sol, notemos que el último signo es negativo h = 1

√2 ( | 0c ⟩ ∙ ⟨ 0c | + | 1c⟩ ∙ ⟨ 0 c | + | 0c⟩ ∙ ⟨ 1c | − | 1c⟩ ∙ ⟨ 1c |) (7.42) si se define el operador del movimiento de un caminante simple, P se mueve a la izquierda (𝑗𝑗 − 1) si la moneda esta en el estado 0 y se mueve a ( 𝑗𝑗 + 1) si la moneda esta en estado, es exactamente de la misma forma que se harías un volado a mano pero que no seria computacionalmente eficiente para definir el operador de esta forma s = | 0c ⟩ ∙ ⟨ 0c | ⨂ ∑ (| (j − 1)p⟩ ∙ ⟨ jp |)∞

j=−∞ + | 1c ⟩ ∙

⟨ 1c | ⨂ ∑ (| (j + 1)p⟩ ∙ ⟨ jp |)∞j=−∞ (7.43)

la evolución del sistema compuesto de la moneda y el caminante, el operador asociado al volado mueve al caminante, la evolución del sistema es calculado y almacenado, se define el operador que proyecta la posición para cada posición del caminante de la siguiente forma pp [j_] ∶= | 0c , jp ⟩ ∙ ⟨ 0c , jp | + | 1c , jp⟩ ∙ ⟨ 0c , jp | (7.44) de lo anterior se calcula las probabilidades para cada posición del caminante probabilidades = Tabla [{ j, ⟨ w [pasos] | ∙ pp [j] ∙ | w [pasos] ⟩ }, {j, −pasos, pasos}] De los operadores anteriores si se grafica la evolución del caminante (con 40 pasos), se tienen la siguiente graficas (para mayores detalles consultar Gómez-Muñoz J.L., Delgado F., (2011)).

Grafica 7.1

Caminata Aleatoria Cuántica

232 Phynance

Fuente: Elaboración propia generada con código de Gómez-Muñoz J.L., Delgado F. (2011).

7.6 Oscilador Armónico El oscilador armónico tradicional unidimensional es de vital importancia en física, el caso más simple consiste de un sistema de una partícula de masa m moviéndose en un potencial que depende de la posición x y que tiene en general la expresión (para mayor información consultar Cohen 1991) 𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 1

2 𝑘𝑘𝑥𝑥2 (7.45) puede verse como una partícula es atraída hacia el plano 𝑥𝑥 = 0 (el mínimo valor de 𝑉𝑉(𝑥𝑥) que corresponde al equilibrio estable y 𝑘𝑘 es una constante positiva real) con la fuera restauradora 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑘𝑘𝑥𝑥 (7.46) la cual es proporcional a la distancia entre la partícula y 𝑥𝑥 = 0, sabemos que en mecánica clásica el movimiento de la oscilación sinusoidal alrededor de 𝑥𝑥 =0 de frecuencia angular 𝜔𝜔 = √ 𝑘𝑘

𝑚𝑚 (7.47)

- 40 - 20 20 40

0.05

0.10

0.15

0.20


Fuente: Elaboración propia generada con código de Gómez-Muñoz J.L., Delgado F. (2011).

7.6 Oscilador Armónico El oscilador armónico tradicional unidimensional es de vital importancia en física, el caso más simple consiste de un sistema de una partícula de masa m moviéndose en un potencial que depende de la posición x y que tiene en general la expresión (para mayor información consultar Cohen 1991) 𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 1

2 𝑘𝑘𝑥𝑥2 (7.45) puede verse como una partícula es atraída hacia el plano 𝑥𝑥 = 0 (el mínimo valor de 𝑉𝑉(𝑥𝑥) que corresponde al equilibrio estable y 𝑘𝑘 es una constante positiva real) con la fuera restauradora 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑘𝑘𝑥𝑥 (7.46) la cual es proporcional a la distancia entre la partícula y 𝑥𝑥 = 0, sabemos que en mecánica clásica el movimiento de la oscilación sinusoidal alrededor de 𝑥𝑥 =0 de frecuencia angular 𝜔𝜔 = √ 𝑘𝑘

𝑚𝑚 (7.47)

- 40 - 20 20 40

0.05

0.10

0.15

0.20

un gran número de sistemas están gobernados por las ecuaciones de los osciladores armónicos. Considerando una energía potencial que es gobernada por la dinámica de la ecuación 𝑚𝑚 𝑑𝑑2𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑡𝑡2 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 (7.48)

La solución general de esta ecuación es de la forma: 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑀𝑀cos (𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) (7.49) donde 𝜔𝜔 y las constantes 𝑋𝑋𝑀𝑀 y 𝜑𝜑 son determinadas por las condiciones iniciales, por otro lado la energía cinética de la partícula está dada por: 𝑇𝑇 = 1

2 𝑚𝑚 (𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡)

2= 𝑝𝑝2

2𝑚𝑚 (7.50) donde 𝑝𝑝 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑡𝑡 es el momento de la partícula y su energía total es: 𝐸𝐸 = 𝑇𝑇 + 𝑉𝑉 = 𝑝𝑝2

2𝑚𝑚 + 12 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑘𝑘2 (7. 51)

entonces tenemos 𝐸𝐸 = + 1

2 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑘𝑘𝑀𝑀2 (7.52)

La energía de la partícula es por lo tanto independiente del tiempo (que es una propiedad general de los sistemas conservativos) y que solo puede tomar valores de cero o positivos. En mecánica cuántica, las cantidades clásicas 𝑘𝑘 y 𝑝𝑝 son reemplazadas por los observables 𝑋𝑋 y 𝑃𝑃 las cuales satisfacen [𝑋𝑋, 𝑃𝑃] = 𝑖𝑖ℏ (7.53)

234 Phynance

Y de ahí se llega al operador Hamiltoniano del sistema 𝐻𝐻 = 𝑃𝑃2

2𝑚𝑚 + 12 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑥𝑥𝑀𝑀

2 (7.54) Como 𝐻𝐻 es independiente del tiempo (sistema conservativo) el estudio de la mecánica cuántica del oscilador armónico reduce la solución de la ecuación de eigenvalor 𝐻𝐻|𝜑𝜑 > = 𝐸𝐸|𝜑𝜑 > (7.55) que puede escribirse [− ℏ2

2𝑚𝑚𝑑𝑑2

𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 12 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑥𝑥2] 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸𝜑𝜑(𝑥𝑥) (7.56)

Algunas propiedades importantes de los eigenvalores del Hamiltoniano es que son positivos y tiene paridad definida y el espectro de la energía es discreto. Los observables 𝑋𝑋 y 𝑃𝑃 tienen longitudes de longitud y momento respectivamente. Los observables de ��𝑋 𝑦𝑦 ��𝑃 ��𝑋 = 𝑋𝑋√𝑚𝑚𝑚𝑚

ℏ (7.57)

��𝑃 = 𝑃𝑃 1√𝑚𝑚𝑚𝑚ℏ (7.58)

Si utilizamos esos nuevos operadores la relación de conmutación canónica puede ser escrita como [��𝑋, ��𝑃] = 𝑖𝑖 (7.59) donde el Hamiltoniano puede ser de la forma 𝐻𝐻 = ℏ𝜔𝜔��𝐻 (7.60)


Y de ahí se llega al operador Hamiltoniano del sistema 𝐻𝐻 = 𝑃𝑃2

2𝑚𝑚 + 12 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑥𝑥𝑀𝑀

2 (7.54) Como 𝐻𝐻 es independiente del tiempo (sistema conservativo) el estudio de la mecánica cuántica del oscilador armónico reduce la solución de la ecuación de eigenvalor 𝐻𝐻|𝜑𝜑 > = 𝐸𝐸|𝜑𝜑 > (7.55) que puede escribirse [− ℏ2

2𝑚𝑚𝑑𝑑2

𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 12 𝑚𝑚𝜔𝜔2𝑥𝑥2] 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸𝜑𝜑(𝑥𝑥) (7.56)

Algunas propiedades importantes de los eigenvalores del Hamiltoniano es que son positivos y tiene paridad definida y el espectro de la energía es discreto. Los observables 𝑋𝑋 y 𝑃𝑃 tienen longitudes de longitud y momento respectivamente. Los observables de ��𝑋 𝑦𝑦 ��𝑃 ��𝑋 = 𝑋𝑋√𝑚𝑚𝑚𝑚

ℏ (7.57)

��𝑃 = 𝑃𝑃 1√𝑚𝑚𝑚𝑚ℏ (7.58)

Si utilizamos esos nuevos operadores la relación de conmutación canónica puede ser escrita como [��𝑋, ��𝑃] = 𝑖𝑖 (7.59) donde el Hamiltoniano puede ser de la forma 𝐻𝐻 = ℏ𝜔𝜔��𝐻 (7.60)

con ��𝐻 = 1

2 (��𝑋2 + ��𝑃2) (7.61) ��𝐻|𝜑𝜑𝜈𝜈

𝑖𝑖 > 𝜀𝜀𝜈𝜈 |𝜑𝜑𝜈𝜈𝑖𝑖 > (7.62)

Y se llega a los operadores de creación y aniquiacion 𝑎𝑎 = 1

√2 (��𝑋 + 𝑖𝑖��𝑃) (7.63) 𝑎𝑎† = 1

√2 (��𝑋 − 𝑖𝑖��𝑃) (7.64) ��𝑋 = 1

√2 (𝑎𝑎† + 𝑎𝑎) (7.65) ��𝑃 = 𝑖𝑖

√2 (𝑎𝑎† − 𝑎𝑎) (7.66) El conmutador de 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑎𝑎† [𝑎𝑎, 𝑎𝑎†] = 1 (7.67) Se puede mostrar ��𝐻 = 𝑎𝑎𝑎𝑎† − 1

2 (7.68) Para grafica del oscilador armónico cuántico (tomamos para 40 pasos) siguiendo el programa de (Gómez-Muñoz J.L., Delgado F., (2011)) en los puntos básicos

Grafica 7.2 Oscilador Armónico Cuántico

236 Phynance

Fuente: Elaboración propia generada con programa de Gómez-Muñoz J.L., Delgado F., (2011).

La presentación anterior puede ser útil ya que Frisch (1933) se presenta el modelo del oscilador armónico como una forma de explicación de la dinámica económica en especial el precio del trading de acciones o índice que oscilan alrededor del equilibrio similar a un oscilador armónico amortiguado. El modelo de Frisch no explica completamente el comportamiento del precio de una acción después que existe un impulso inicial ya que esta debería decaer exponencialmente rápido y alcanzar el equilibrio. El precio de equilibrio debería reflejar el valor real de la acción, sin embargo, los datos empíricos revelan que la volatilidad de una sola acción existe aunque no haya información que impulse del precio de la acción. Se puede usar un modelo de oscilador armónico cuántico amortiguado en lugar de un clásico para describir las fluctuaciones del precio de una sola acción con la función de probabilidad descrita o una función de onda cuántica. El modelo (Meng X., Zhang J., Guo H., 2016) introduce el movimiento browniano para la descripción matemática del movimiento de la bolsa de valores bajo

- 4 - 2 2 4

2

4

6

8

10

12


Fuente: Elaboración propia generada con programa de Gómez-Muñoz J.L., Delgado F., (2011).

La presentación anterior puede ser útil ya que Frisch (1933) se presenta el modelo del oscilador armónico como una forma de explicación de la dinámica económica en especial el precio del trading de acciones o índice que oscilan alrededor del equilibrio similar a un oscilador armónico amortiguado. El modelo de Frisch no explica completamente el comportamiento del precio de una acción después que existe un impulso inicial ya que esta debería decaer exponencialmente rápido y alcanzar el equilibrio. El precio de equilibrio debería reflejar el valor real de la acción, sin embargo, los datos empíricos revelan que la volatilidad de una sola acción existe aunque no haya información que impulse del precio de la acción. Se puede usar un modelo de oscilador armónico cuántico amortiguado en lugar de un clásico para describir las fluctuaciones del precio de una sola acción con la función de probabilidad descrita o una función de onda cuántica. El modelo (Meng X., Zhang J., Guo H., 2016) introduce el movimiento browniano para la descripción matemática del movimiento de la bolsa de valores bajo

- 4 - 2 2 4

2

4

6

8

10

12

la descripción una partícula libre browniana (se hace el comparativo con una situación física) con su dinámica estocástica surgiendo la fluctuación y disipación de ambientes que satisfacen el proceso de caminatas aleatorias después de un tiempo t. 7.7 Conclusiones Una nueva forma de cómputo que apoya a la solución de problemas donde existe limitación del cómputo tradicional es la computación cuántica. Fundamentada en los conceptos y el marco de la mecánica cuántica se va construyendo la estructura equivalente desde los qubits hasta la programación más sofisticada. Dentro de la Finanzas, una aplicación importante es la generación de las caminatas aleatorias cuánticas que pueden servir de base para los movimientos brownianos cuánticos en la generación de simulaciones para la valuación de escenarios en las opciones. Para futuras investigaciones se piensa generara movimientos brownianos cuánticos y comparar el valor de la valuaciones de los instrumentos financieros con la los brownianos tradicionales. 7.8 Apéndice Una matriz 𝑀𝑀 tiene un conjugado Hermitiano definido por 𝑀𝑀𝑡𝑡

† = 𝑀𝑀𝑡𝑡∗, el conjugado Hermitiano sobre el

operador 𝑂𝑂 esta dado por ⟨𝑓𝑓|𝑂𝑂†|𝑔𝑔⟩ ≡ ⟨𝑔𝑔|𝑂𝑂|𝑓𝑓⟩∗

238 Phynance

Un Hamiltoniano será hermitiano o anti-Hermitiano porque es necesario entender el espacio que el operador actúa, en caso del mismo espacio N o el dual 𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 , en finanzas la diferencia es importante. La ecuación de completez se refiere a la existencia de una base de vectores de tal forma que cualquier vector pueda expresarse como una combinación lineal de su estado base. Los estados base están dados por |𝑛𝑛⟩ y puede estar representados por vectores columna y renglón con entradas todas cero y uno en la nth posición, tenemos entonces lo siguiente: (𝑛𝑛 = 0 ± 1,±2,…± ∞ )

|𝑛𝑛⟩ =[ …010. . .]

; ⟨𝑛𝑛| = […0 1 0… ]

considerando ⟨𝑚𝑚|𝑛𝑛⟩ = 𝛿𝛿𝑛𝑛−𝑚𝑚 ≡ {1 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚

0 𝑛𝑛 ≠ 𝑚𝑚 y la ecuación de completez está dada por ∑ |𝑛𝑛⟩+∞

𝑛𝑛=−∞ ⟨𝑛𝑛| = ℑ Donde ℑ es una matriz unitaria de dimensión, los vectores columna y renglón que están definidos por |𝑥𝑥⟩-"vector ket " y |x⟩-" 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑏𝑏𝑣𝑣𝑏𝑏". En el límite cuando el término de la 𝑏𝑏 → 0 tenemos lo siguiente |𝑥𝑥⟩= lim

𝑑𝑑→01

√𝑑𝑑 |n⟩;−∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ ∞


Un Hamiltoniano será hermitiano o anti-Hermitiano porque es necesario entender el espacio que el operador actúa, en caso del mismo espacio N o el dual 𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 , en finanzas la diferencia es importante. La ecuación de completez se refiere a la existencia de una base de vectores de tal forma que cualquier vector pueda expresarse como una combinación lineal de su estado base. Los estados base están dados por |𝑛𝑛⟩ y puede estar representados por vectores columna y renglón con entradas todas cero y uno en la nth posición, tenemos entonces lo siguiente: (𝑛𝑛 = 0 ± 1,±2,…± ∞ )

|𝑛𝑛⟩ =[ …010. . .]

; ⟨𝑛𝑛| = […0 1 0… ]

considerando ⟨𝑚𝑚|𝑛𝑛⟩ = 𝛿𝛿𝑛𝑛−𝑚𝑚 ≡ {1 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚

0 𝑛𝑛 ≠ 𝑚𝑚 y la ecuación de completez está dada por ∑ |𝑛𝑛⟩+∞

𝑛𝑛=−∞ ⟨𝑛𝑛| = ℑ Donde ℑ es una matriz unitaria de dimensión, los vectores columna y renglón que están definidos por |𝑥𝑥⟩-"vector ket " y |x⟩-" 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑏𝑏𝑣𝑣𝑏𝑏". En el límite cuando el término de la 𝑏𝑏 → 0 tenemos lo siguiente |𝑥𝑥⟩= lim

𝑑𝑑→01

√𝑑𝑑 |n⟩;−∞ ≤ 𝑥𝑥 ≤ ∞

entonces el producto escalar está dado por la función delta de Dirac ⟨𝑥𝑥|𝑥𝑥´⟩ = 𝛿𝛿(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥´) ≡ {∞ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥´

0 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥´ y la ecuación de completez equivalente para bases infinitas está dada por ∑ |𝑛𝑛⟩+∞

𝑛𝑛=−∞ ⟨𝑛𝑛| → 𝑎𝑎 ∑ |𝑥𝑥⟩+∞𝑛𝑛=−∞ ⟨𝑥𝑥| ⟹ ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥+∞

−∞ |𝑥𝑥⟩⟨𝑥𝑥| = ℑ donde ℑ es el operador de identidad dado en la función de estado. La ecuación de completez es la ecuación clave en el análisis del espacio de estado, para el caso de dos partículas con posiciones de 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 la ecuación de completez está dado ℑ = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦|𝑥𝑥, 𝑦𝑦⟩⟨𝑥𝑥, 𝑦𝑦|𝑜𝑜+∞

−∞ con |𝑥𝑥, 𝑦𝑦⟩ ≡ |𝑥𝑥⟩ ⊗ |𝑦𝑦⟩ , si queremos generalizar la ecuación de completez para muchas partículas, la ecuación en el caso de tres partículas ℑ = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑⟩⟨𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑|𝑜𝑜+∞

−∞ O bien si se desea generalizar la ecuación a 𝑛𝑛 partículas, el siguiente se obtiene el siguiente resultado: ℑ = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑 … 𝑑𝑑𝑛𝑛|𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑 … 𝑛𝑛⟩⟨𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑 … 𝑛𝑛|+∞

−∞ Los dos vectores (funciones de estado) son representados por |𝜓𝜓⟩ 𝑦𝑦 ⟨𝜓𝜓| ∈ 𝑉𝑉𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 pueden se mapeados unos en otros, como se mencionó la ecuación de completez: |𝜓𝜓⟩⟨𝜓𝜓| = ⟨𝜓𝜓 ∫ |𝑥𝑥⟩∞

−∞ ⟨𝑥𝑥|𝜓𝜓⟩ = ∫ 𝜓𝜓(𝑥𝑥) × 𝜓𝜓(𝑥𝑥) ≥ 0∞−∞

240 Phynance

BIBLIOGRAFÍA


BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía Aharonov, Y., Davidovich, L. and Zagury, N. (1993). Quantum Random Walks. Phys. Rev. A, 48, 1687 – 1690. doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.48.1687 Aminneborg, S., Bengtsson, I., Holst, S. and Peldán, P. (1996). Making anti-de Sitter black holes. Quantum Gravity, 13, 2707-2714. doi: 10.1088/0264-9381/13/10/010 Avramidi, I. (2002). Heat kernel approach in quantum field theory. Nuclear Physic B, Proc. Suppl, (104), 3–32. Baaquie, B. E. (2004). Quantum Finance: Path Integrals and Hamiltonians or Options and Interest Rate. USA: Cambirdge. Black, F. and Scholes, M. (1973). The pricing of Options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81 (3), 637-659. doi: https://doi.org/10.1086/260062 Boguta, M. (2009). A new space time series model for interacting agents in financial markets (Mater´s Thesis in Financial Mathematics). Halmstad University, Suecia. Childs, A., Farhi, E. and Gutman, S. (2001). An example of difference between quantum and classical walks. Recuperado de https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0103020.pdf Cohen, C., Dui, B. and Laloe, F. (1991). Quantum Mechanics University of Michigan, Wiley-Vch.

242 Phynance

Cont, R. (1994). Long dependence in financial markets. Centre de Mathematiques appliqees, Ecole Polytechnique France / Finances Publiques, 49(2), pp. 282-286. Dai, W. and Haydem, C. (1996). Ito Formula with respect to fraccional brownian motion and its application, Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 9(4), 439-448. Dasgupta, A. (1997). Fractional Brownian Motion: Its properties and applications to stochastic integration. (Ph. D. Thesis, Dept. of Statistic) University of Carolina, Chapel Hill. De Jong, L. (2010). Option pricing with pertibartion methods, January 2010. Thesis Delft University of Technology Faculty of Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science Delft Institute of Applied Mathematics. De Long, J.B. (1990). Noise traders Risk in Financial Markets. Journal of Political Economy, 98(4) De Witt (1975). Quantum Field Theory in Curved space time. Physics report, 19C(6). Derman, E., Kani, I., (1994). Riding on a smile. Risk, 7, 32-39. Desagupta, A. and Kallianpur, G. (2000). Arbitrage opportunities for class of Gladyshev process. Appl. Math.Optim., 41, 377-385. doi: https://doi.org/10.1007/s002459911019


Cont, R. (1994). Long dependence in financial markets. Centre de Mathematiques appliqees, Ecole Polytechnique France / Finances Publiques, 49(2), pp. 282-286. Dai, W. and Haydem, C. (1996). Ito Formula with respect to fraccional brownian motion and its application, Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 9(4), 439-448. Dasgupta, A. (1997). Fractional Brownian Motion: Its properties and applications to stochastic integration. (Ph. D. Thesis, Dept. of Statistic) University of Carolina, Chapel Hill. De Jong, L. (2010). Option pricing with pertibartion methods, January 2010. Thesis Delft University of Technology Faculty of Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science Delft Institute of Applied Mathematics. De Long, J.B. (1990). Noise traders Risk in Financial Markets. Journal of Political Economy, 98(4) De Witt (1975). Quantum Field Theory in Curved space time. Physics report, 19C(6). Derman, E., Kani, I., (1994). Riding on a smile. Risk, 7, 32-39. Desagupta, A. and Kallianpur, G. (2000). Arbitrage opportunities for class of Gladyshev process. Appl. Math.Optim., 41, 377-385. doi: https://doi.org/10.1007/s002459911019

Deutsch, D. and Jozsa, R. (1992). Rapid solutions of problems by quantum computation. Proceedings of the Royal Society of London A., 439, 553-558. doi:10.1098/rspa.1992.0167 Deutsch, D. (1985). Quantum theory, the Church–Turing principle and the universal quantum computer. Proceedings of the Royal Society A., 400(1818), 97–117. doi: 10.1098/rspa.1985.0070 Duncan, T., Hu, Y. and Pasik, B. (2002). Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion, SIAMJ.Control Optim., 38, 582-612. doi: https://doi.org/10.1137/S036301299834171X Dupire, B. (1994). Pricing with smile, RISK, 7, 18-20. Dwave. Recuperado de https://www.dwavesys.com/tutorials/background-reading-series/quantum-computing-primer Farinelli, S. (2014). Geometric Arbitrage Theory and Market Dynamics, Disponible en http://arxiv.org/pdf/0910.1671.pdf Frisch, R. (1993). Propagation problems and impulse problems in dynamic economics, in: Economic Essays in Honor of Gustav Cassel. London: George Allen & Unwin, pp. 171–205. Galan, M., Duclaud, J., Garcia, A. (1996). Una estrategia de acumulación de reservas mediante opciones de venta de dólares: El caso de México, Documento de trabajo del Banco de México.

244 Phynance

Gatheral, J. (2006). The volatility surface, A Practitioner’s Guide (John Wiley & Sons, Hoboken, NJ.) Gómez, J., Delgado, F. (2011). Recuperado de: http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/index.htm#download Hagan, P., Kumar, D., Lesniewski and Woodward, D. (2002). “Managing Smile Risk”, Wilmott Magazine, September, 84-108. Henry, P. (2009). Analysis, Geometry, and Modeling in Finance. Chapman and Hall. Heston, S., Loewentein, W. (1993). Options with Stochastic Volatilities with Applicattions to Bond and Currency Options. Review of financial studies, 6, 327-343. Hu, Y. and Oksendal, B. (2000). Fractional White Noise Calculus and Applications to Finance, Preprint University of Oslo. Hull, J. and White, A. (1987). The Pricing of Options on Assets on Stochastic Volatilities, The Journal of Finance, 42(2), 281-300. Hurst, H. (1951). The long-term storage capacity of reservoirs Transactions of American Society Civil Engineer, pp. 116 - 195. Ilinski, K. (2001). Physics of Finance: Gauge Modelling in Non-equilibrium Pricing, , NY USA, John Wiley and Sons, Consultado: Octubre 2014, Disponible en http://arxiv.org/abs/hep-th/9712034.


Gatheral, J. (2006). The volatility surface, A Practitioner’s Guide (John Wiley & Sons, Hoboken, NJ.) Gómez, J., Delgado, F. (2011). Recuperado de: http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/index.htm#download Hagan, P., Kumar, D., Lesniewski and Woodward, D. (2002). “Managing Smile Risk”, Wilmott Magazine, September, 84-108. Henry, P. (2009). Analysis, Geometry, and Modeling in Finance. Chapman and Hall. Heston, S., Loewentein, W. (1993). Options with Stochastic Volatilities with Applicattions to Bond and Currency Options. Review of financial studies, 6, 327-343. Hu, Y. and Oksendal, B. (2000). Fractional White Noise Calculus and Applications to Finance, Preprint University of Oslo. Hull, J. and White, A. (1987). The Pricing of Options on Assets on Stochastic Volatilities, The Journal of Finance, 42(2), 281-300. Hurst, H. (1951). The long-term storage capacity of reservoirs Transactions of American Society Civil Engineer, pp. 116 - 195. Ilinski, K. (2001). Physics of Finance: Gauge Modelling in Non-equilibrium Pricing, , NY USA, John Wiley and Sons, Consultado: Octubre 2014, Disponible en http://arxiv.org/abs/hep-th/9712034.

Ilinski, K., Kalinin, G. (1998). Black-Scholes equation from gauge theory of arbitraje, PDF. Kaisoji, T., Saichev, A. and Sornette, D. (2011). Equilibrium Model of rational and noise traders:bifurcations to endogenous bubbles. arXiv:1109.4726v1[q-fin.ST] Kaisoji T. (2000). Speculative bubles and crashes in stock markets: an interacting-agent model of speculative activity, Physica A, 287, 493-506. Kaisoji, T. (2010). A behavioral Model of Bubbles and Crashes, Munich Personal RePEC. Kempe, J. (2008). Quantum random walks - an introductory overview. Recuperado de: https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0303081.pdf Kravych, Y. (2002). Stock Price Modelling by Long-Memory Process, Overview of the Fractional Brownian Motion Approach. University of New Wales Sydney Australia. Lin, S. (1995). Stochastic analysis of fractional brownian motion and applications, SIAM Review, 10, 422 - 437. Mandelbrot, B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. NY: W.H. Freeman. Mandelbrot, B. and Ness, V. (1968). Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications. SIAM review, 10, 11(3).

246 Phynance

Meng, X., Zhang, J., Guo, H. (2016). Quantum Brownian motion model for the stock market. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. Misner, C., Thorne, K. and Wheeler, A. (1973). Gravitation. Princeton and Oxford: Princeton University Press Mexder “Boletin diario de Transacciones de mercado del mercado de opciones”. Recuperado de http://www.mexder.com.mx/MEX/Boletin_Diario.html McCulloch, J. (1985) The value of european Options with Log-Stable Uncertainty. Working paper. McCulloch, J. (1978). The pricing of Short Lived Options when Price Uncertainty is Log-symetrics stable. Working paper. Mandelbrot, B., Hudson, R. (2006). Fractales y Finanzas. España: TusQuets Nayak, A., Vishwanath, A. (2000). Quantum Walk on the line. Recuperado de https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0010117.pdf Necula, C. (2002). Modelling and detecting Long Memory in Stock returns, Academy of Economic Studies. Dissertation Paper. Necula, C. (2002). Option Pricing in a Fractional Borwnian Motion Enviroment. Bucharest Romania: Academy of Economic Studies. Nielsen, M., Chuang, I. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.


Meng, X., Zhang, J., Guo, H. (2016). Quantum Brownian motion model for the stock market. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. Misner, C., Thorne, K. and Wheeler, A. (1973). Gravitation. Princeton and Oxford: Princeton University Press Mexder “Boletin diario de Transacciones de mercado del mercado de opciones”. Recuperado de http://www.mexder.com.mx/MEX/Boletin_Diario.html McCulloch, J. (1985) The value of european Options with Log-Stable Uncertainty. Working paper. McCulloch, J. (1978). The pricing of Short Lived Options when Price Uncertainty is Log-symetrics stable. Working paper. Mandelbrot, B., Hudson, R. (2006). Fractales y Finanzas. España: TusQuets Nayak, A., Vishwanath, A. (2000). Quantum Walk on the line. Recuperado de https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0010117.pdf Necula, C. (2002). Modelling and detecting Long Memory in Stock returns, Academy of Economic Studies. Dissertation Paper. Necula, C. (2002). Option Pricing in a Fractional Borwnian Motion Enviroment. Bucharest Romania: Academy of Economic Studies. Nielsen, M., Chuang, I. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.

Norros, I., Valkeila, E., and Virtamo, J. (1999). An Elementary approach to a Girsanov Formula and Other Analytical Results on Fractional Brownian Motions. Bernoulli, 5(4), 571-587. Oksendal, B. (2004). Fractional Brownian Motion in Finance. Preprint University of Oslo. Palomas, E. (2002). Evidencia e Implicaciones del fenomeno Hurst en el mercado de capitales. Gaceta de economia, 8(15). Penrose, R., (1996), La nueva mente del emperador: En torno a la cibernetica, la mente y las leyes de la fisica, México: CONACYT y Fondo de Cultura Económica. Peters, E. (1991). Chaos and Order in Capital Markets. New York: John Wiley and Sons. Peters, E. (1994). Fractal Market Analysis( Applying Chaos Theory to Invesment an Economic). New York: John Wiley and Sons. Rebonato, R., Mckay, K. and White, R. (2009). The SABR/LIBOR market model. A. Wiley. Rosek, S. and R. (2006). Schobel Risk Preference Based Option Pricing in Fraccional Brownian Market. Preprint Faculty of Economics and Business Administration, University of Tbingen, Germany. Rosek, S. (2009). Option Pricing in Fractional Brownian Markets. Germany: Springer. Shieifer, S. (2000). Inefficient Markets: An introduction to behavioral finance. United Kingdom: Oxford.

248 Phynance

Shiryaev, A. (1998). On arbitrage and replication for fractal model. Shiryaev and Sulem editors, Workshop on mathematical finance, INRIA, Paris. Sierra G, Ramírez M., (2013) “Optimización de Portafolio con Agentes Heterogéneos” Libro Modelos para la toma de decisiones en la ingeniería económica y financiera: un enfoque estocástico Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo. Sierra, G. (2007). Procesos Hurst y Movimientos Brownianos Fraccionales. Revista de Administración, Finanzas y Economía, 1 (1), 1-21. Sierra, G. (2013). Application of SABR Model to Strategy of Accumulation of Reserves Central Bank in México. Journal of Business and Economics, 4 (5), ISSN: 2155-7950. Sierra, G. (2008). Aplicación del método H-J-B para la modelación estocástica de la volatilidad en series con persistencia: El caso del IPC en México. Eseconomía, Número 20, 73-99. Sierra, G. (2008). Valuación de opciones europeas y modelos de estructura de plazos Vasicek sobre subyacentes con características de memoria larga: El caso de México. Panorama Económico, 3 (6), 67-94. Sierra, G. (2010). Modelación de la volatilidad del IPC y el tipo de cambio con Brownano Fraccional. En Venegas, F. (Coord.), Avances Recientes en Valuación de Activos y Administración de riesgos. Vol. 1. (pp. 37-58). México: Universidad Panamericana


Shiryaev, A. (1998). On arbitrage and replication for fractal model. Shiryaev and Sulem editors, Workshop on mathematical finance, INRIA, Paris. Sierra G, Ramírez M., (2013) “Optimización de Portafolio con Agentes Heterogéneos” Libro Modelos para la toma de decisiones en la ingeniería económica y financiera: un enfoque estocástico Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo. Sierra, G. (2007). Procesos Hurst y Movimientos Brownianos Fraccionales. Revista de Administración, Finanzas y Economía, 1 (1), 1-21. Sierra, G. (2013). Application of SABR Model to Strategy of Accumulation of Reserves Central Bank in México. Journal of Business and Economics, 4 (5), ISSN: 2155-7950. Sierra, G. (2008). Aplicación del método H-J-B para la modelación estocástica de la volatilidad en series con persistencia: El caso del IPC en México. Eseconomía, Número 20, 73-99. Sierra, G. (2008). Valuación de opciones europeas y modelos de estructura de plazos Vasicek sobre subyacentes con características de memoria larga: El caso de México. Panorama Económico, 3 (6), 67-94. Sierra, G. (2010). Modelación de la volatilidad del IPC y el tipo de cambio con Brownano Fraccional. En Venegas, F. (Coord.), Avances Recientes en Valuación de Activos y Administración de riesgos. Vol. 1. (pp. 37-58). México: Universidad Panamericana

Sierra, G. Procesos Hurst y Movimiento Browniano Fraccional en Mercados Fractales: Valuación y aplicación a los derivados y Finanzas. Concurso Mexder. Sierra, G. (2007). Procesos Hurst y Movimiento Browniano Fraccional en Mercados Fractales (Tesis de Doctorado en Ciencias Financieras). ITESM, CCM. Sierra, G. (2015). Modelación de Medidas y Norma en finanzas. EconoPapers, 5 (2), 143-186. Solovay, R., Strassen, V. (1977). A Fast Monte-Carlo Test for PrimalitySIAM J. Comput 6: 84-85. Sornette, D. (1998). Gauge theory of Finance. International Journal of Modern Physics C, 9 (3), 505. doi: 10.1142/S0129183198000406 Sornette, D. Dragon-Kings, Black Swans and prediction of crisis. International Journal of terraspace science and enginering. Turing, A. (1950). Computing Machinery and Intelligence. Mind LIX (236): 433-460, doi:10.1093/mind/LIX.236.433 Vasconcelos, G. (2004). A guide walk down wall street: an introduction to econophysics. Universidade Federal Pernambuc Brasil. Vasicek, O. (1977). An equilibrium characterization of term structure, Journal of Financial Economics, 5, 177-188. Venegas, F. (2006). Riesgos Financieros y Económicos. México: Thompson.

250 Phynance

Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and applicattions of the general theory of Relativity. NY: John Wiley & Sons. Werner, A., Milo, A. (1998). Acumulacion de reservas internacionales a traves d ela venta de opciones: El caso de México. Documento de trabajo del Banco de México Wilmott, P. (2005). Quantitative Finance. Wiley. Zhou, S., Xiao, L. (2010). An application of Simmetry Approach to Finance: Gauge Symmetry in Finance. Symmetry, 2 (4), 1763-1775.


Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and applicattions of the general theory of Relativity. NY: John Wiley & Sons. Werner, A., Milo, A. (1998). Acumulacion de reservas internacionales a traves d ela venta de opciones: El caso de México. Documento de trabajo del Banco de México Wilmott, P. (2005). Quantitative Finance. Wiley. Zhou, S., Xiao, L. (2010). An application of Simmetry Approach to Finance: Gauge Symmetry in Finance. Symmetry, 2 (4), 1763-1775.

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Nuevas ideas de física en finanzas

se terminó de imprimir en diciembre de 2017 en los talleres de PROMETEO EDITORES S.A. DE C.V. Libertad 1457, Col. Americana C.P. 44160, Guadalajara,

Jalisco.

La edición consta de 50 ejemplares.

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