3. autorización de uso de obra instituto politécnico nacional p r e s e n t e . bajo protesta de...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA

APLICADA

Y TECNOLOGÍA AVANZADA

Unidad Legaria

Diseño de una secuencia didáctica de modelación matemática

para la enseñanza del álgebra lineal en la formación de

ingenieros

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

DOCTOR EN CIENCIAS EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

PRESENTA:

Luis Ramón Siero González

DIRECTORES DE TESIS:

AVENILDE ROMO VÁZQUEZ Y ARTURO ABÚNDEZ

PLIEGO

SEPTIEMBRE, 2017

3

Autorización de uso de obra

Instituto Politécnico Nacional

P r e s e n t e

Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Luis Ramón Siero González (se anexa copia simple

de identificación oficial), manifiesto ser autor (a) y titular de los derechos morales y patrimoniales

de la obra titulada Diseño de una secuencia didáctica basada en modelación matemática que

vincule la enseñanza de materiales compuestos con la enseñanza del álgebra lineal en una

formación de ingenieros, en adelante “La Tesis” y de la cual se adjunta copia, por lo que por

medio del presente y con fundamento en el artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del

Derecho de Autor, otorgo a el Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN, autorización no

exclusiva para comunicar y exhibir públicamente total o parcialmente en medios digitales “La

Tesis” por un periodo de diez años contado a partir de la fecha de la presente autorización, dicho

periodo se renovará automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación.

En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad de autor de “La

Tesis”.

Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y patrimoniales de “La

Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente autorización no contraviene ninguna

otorgada por el suscrito respecto de “La Tesis”, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El

IPN en caso de que el contenido de “La Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos

autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos de confidencialidad o en general

cualquier derecho de propiedad intelectual de terceros y asumo las consecuencias legales y

económicas de cualquier demanda o reclamación que puedan derivarse del caso.

México, D.F., 4 de agosto de 2017.

Atentamente

____________________________

Luis Ramón Siero González

4

DEDICATORIA

La presente tesis la dedico a mi esposa Lilián Muñoz, con todo el amor y cariño. Por

haberme alentado en los momentos difíciles, por sus consejos que me ayudaron a no

desesperarme y seguir trabajando, por su comprensión, dedicación y tenacidad que me

inspiran a esforzarme cada día para ser mejor.

Sin dejar de mencionar todas las tardes de trabajo, las mal pasadas que nos dimos y las

desveladas que disfrutamos en el laboratorio durante estos tres años.

También este trabajo es para mis hijos, Luis Eduardo, Andrea y los trillizos que vienen en

camino, para que vean que con dedicación y tenacidad todo se puede.

Lili sigue como hasta hoy TE AMO CON TODO MI CORAZÓN.

𝒙𝟒 + 𝒚𝟒 + 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒚𝟑 − 𝒙𝟐 = 𝟎

5

AGRADECIMIENTOS

Quiero extender mi más sincero agradecimiento a todas las personas que con su soporte

científico y humano han colaborado en este trabajo de investigación.

Al PROME por haberme dado la oportunidad y la formación como Matemático

Educativo.

Avenilde Romo, por su apoyo antes y durante mi estancia en el PROME, por su

paciencia y consejos los cuales me ayudaron a salir adelante y terminar el posgrado.

Arturo Abúndez, por su amistad apoyo y disposición para formar parte de este

trabajo de investigación.

Leticia Garrido, por tenerme la paciencia, cuando hablaba por teléfono para

corroborar la información y por su apoyo y amistad que me brindó.

Manuel Hernández por todo el apoyo durante mi estancia en el PROME.

Alejandro Rosas por toda la información oportuna y porque siempre está dispuesto

a ayudar.

Javier Lezama, Apolo Castañeda, Mario Sánchez, Isaías Miranda, Ana Luisa

Gómez, por las clases, apoyo, consejos y experiencias que compartieron conmigo

y cada uno de mis compañeros.

A mis compañeros que, aunque casi no nos vimos, trabajamos juntos en las clases

y nos ayudamos para mejorar.

A Lenin, Rita, Olda, Santiago y Julián, que con ellos de alguna manera

compartimos ideas, nos ayudamos en lo que podíamos y creo que se generó una

amistad la cual sigue después de los estudios de posgrado, y espero que un futuro

podamos trabajar en algún proyecto de investigación.

Rubén Roa Quiñonez por las facilidades económicas y administrativas para iniciar

el estudio del Doctorado en Matemática Educativa.

Alonso Hernández Guitrón, por brindarme las facilidades para continuar con mi

Doctorado.

David Abdel Mejía Medina, Mary Cruz Granilo, María Zárate, por su apoyo en el

transcurso de mi posgrado.

6

Eilen Oviedo por su consejo, apoyo y ayudarme a gestionar viáticos, viajes para

poder llevar a cabo este trabajo de tesis y porque me brindó su amistad y sé que

podemos colaborar juntos en algún proyecto de investigación.

A la planta administrativa de ECITEC, Noemí, Olguita, Glenda, Isdania, Tania,

Gaby, Mari y Fernando, que me apoyaron en gestiones administrativas.

A mis compañeros y amigos Berenice, Abdel, Rodrigo, Ixchel, Roberto, Alejandra,

Navarro por escucharme y darme ánimos para seguir adelante.

A José Navarro, Benjamín, Mauricio, Juan, por su tiempo, y apoyo en aclararme

dudas y brindarme medios que me ayudaron a entender un poco de mecánica de

materiales y materiales compuestos.

A mi familia en general, papás, suegros, hermanas, cuñados, concuñas, sobrinos y

tíos que, aunque no entienden por qué sigo estudiando gracias por su apoyo los

Quiero Mucho.

Sí a mi querida esposa Lilián, que, aunque sé que es difícil no sé cómo me aguantas

TAMCHH.

Si alguien me faltó espero que me disculpe, pero de antemano gracias por todo y

saben que pueden contar con mi ayuda.

¡¡¡¡GRACIAS A TODOS!!!!

7

RESUMEN

Esta investigación se desarrolló en el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y

Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional de México (CICATA – IPN) y en

la Escuela de Ciencias de Ingeniería y Tecnología, unidad Valle de las Palmas de la

Universidad Autónoma de Baja California (ECITEC), donde se analiza el rol de la

modelación matemática en la formación de ingenieros en las carreras de Ingeniería

Aeroespacial, Ingeniería Mecánica, Diseño Industrial y el Tronco Común de Ingeniería.

Un análisis de las asignaturas de Mecánica Estructural de Materiales Compuestos (MEMC)

y de Álgebra Lineal (AL) mostró que dentro del curso de AL hay pocas o nulas tareas de

modelación matemática, mientras que en la asignatura de MEMC se proponen tareas que

solicitan el uso de herramientas de la asignatura de AL, mostrando una desarticulación

entre ambas asignaturas.

Ante esta problemática, que puede situarse dentro una desarticulación más general entre la

formación matemática y la formación de especialidad, esta investigación se enmarca en la

Teoría Antropológica de lo Didáctico y su objetivo principal es el diseño de una actividad

didáctica basada en modelación matemática, apoyándose para ello en la metodología

propuesta en Macias (2012) en la que el análisis de un contexto ingenieril es un elemento

clave para el diseño didáctico. Se analizó un contexto de mecánica estructural de materiales

compuestos y se trabajó con un experto en esta área. Esto permitió identificar a los

materiales laminados como unos de los más utilizados en la ingeniería, tanto en el contexto

de investigación como en el industrial y en su estudio es necesario utilizar modelos del

álgebra lineal para realizar el cálculo de esfuerzos. Se concibió una actividad de estudio y

de investigación (AEI) que consistió en el diseño y construcción de una Rampa Terapéutica

Sensorial Táctil (RTEST), para ayudar a niños con problemas de marcha entre los 3 y los

11 años; el material para la construcción de la rampa debía ser laminado y elaborado por

los estudiantes. Esta condición obligaba a calcular esfuerzos para asegurar la resistencia

del material y de la rampa.

De la implementación de esta actividad siguió una organización escolar muy particular:

equipos de estudiantes de diferentes semestres -2do, 6to., y 7mo.-, con una duración de un

8

semestre, tres profesores participaron como orientadores y cada uno evaluó el proyecto en

una asignatura diferente. Así, se buscó imitar la organización de trabajo de las empresas,

donde expertos y novicios trabajan conjuntamente en el mismo proyecto.

El análisis de la implementación muestra que la consigna de construir el material y la rampa

permitió que se produjeran actividades de modelación. En particular, los estudiantes

requerían del modelo matemático para garantizar que el material propuesto era construible

y dado que éste tenía un costo, la validación experimental se volvía más riesgosa. Por otra

parte, la misma elaboración del material y de la rampa implicó validaciones experimentales

que se confrontaron a las teóricas. Se considera que el trabajo con el experto en materiales

y con diferentes profesores permitió que el diseño de esta actividad generara una relación

entre las matemáticas de la profesión y las de la formación.

9

ABSTRACT

This research was developed at the Center for Research in Applied Science and Advanced

Technology of the National Polytechnic Institute of Mexico (CICATA - IPN) and at the

School of Sciences of Engineering and Technology, campus Palm Valley of the

Autonomous University of Baja California (ECITEC), Which analyzes the mathematical

modeling in the training of engineers, in the Aerospace Engineering, Mechanical

Engineering, Industrial Design and engineering core curriculum. An analysis of the

subjects of Structural Mechanics of Composite Materials (MEMC) and Linear Algebra

(AL) showed that there is no articulation between these subjects, because within the AL

course the exercises are only algebraic without solving application problems, whereas in

the subject of MEMC the application problems proposed are solved by using tools of the

subject of AL, making evident a disarticulation between both subjects.

Faced with this problem, which can be located within a more general disarticulation

between mathematical training and engineering training, this research is framed in the

Anthropological Theory of Didactic and its main objective is the design of a didactic

activity based on mathematical modeling, supporting this in the methodology proposed in

Macias (2012) in which the analysis of an engineering context is a key element for the

didactic design. We analyzed a context of structural mechanics of composite materials and

worked with an expert in this area. This allowed the identification of laminated materials

as one of the most used in engineering, both in the research context and in the industrial

context, involving models of linear algebra to perform the calculation of stress. A study

and research activity (AEI) consisted of the design and construction of a Tactile Sensory

Therapeutic Ramp (RTEST), to help children with walking problems between 3 and 11

years of age; The material for the construction of the ramp had to be laminated and made

by the students. This condition required the calculation of stress to ensure the strength of

the material and the ramp.

The implementation of this activity followed a very particular school organization: teams

of students from different semesters -2do, 6th, and 7th-, the duration of their development

was one semester, three teachers participated as advisors and each evaluated the Project in

10

a different subject. Thus, we sought to imitate the work organization of companies, where

experts and novices work together in the same project.

The analysis of the implementation shows that the construction of the material and the

ramp allowed mathematical modeling activities to occur. In particular, students required

the mathematical model to ensure that the proposed material was constructible and since it

had a cost, experimental validation became riskier. On the other hand, the elaboration of

the material and the ramp implied experimental validations that were confronted with the

theoretical ones. It is considered that the work with the expert on material and with different

teachers allowed the design of this activity to generate a relationship between the

mathematics of the profession and those of training.

11

GLOSARIO

Teoría Antropológica de lo Didáctico: Es un modelo epistemológico para el estudio de

la actividad humana en su dimensión institucional.

Praxeología: Permite el estudio de la actividad humana, ya sea matemática, química,

biológica, física, de modelación, etc., a partir de cuatro componentes: tipos de tarea,

técnica, tecnología y teoría.

Institución: La institución es una organización social estable que enmarca las actividades

humanas y simultáneamente las hace posible por los recursos que estas instituciones ponen

a disposición de sus sujetos. Estos recursos materiales o intelectuales, puestos a disposición

de los sujetos, han sido producidos por comunidades a lo largo del enfrentamiento de

situaciones problemáticas con el objetivo de resolverlas con regularidad y eficacia. (Castela

y Romo, 2011).

Modelación Matemática: es vista a través de la noción de praxeología y se considera que

puede hacer intervenir diferentes instituciones como son: las matemáticas, la enseñanza de

las matemáticas, las disciplinas intermediarias, la enseñanza de las disciplinas

intermediarias y la práctica. (Guzmán, 2016).

12

Índice de imágenes

FIGURA 1: ESQUEMA DE LOS PARTICIPANTES DE UN PROYECTO DE CONSTRUCCIÓN Y LAS INTERACCIONES

ENTRE ELLOS, TOMADO DE KENT Y NOSS (2002). EL TEXTO PERMANECE EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA

REFERENCIA. .........................................................................................................................................25

FIGURA 2. ESQUEMA DE ACTIVIDAD DEL SISTEMA. TOMADO DE WILLIAMS Y WAKE (2007). EL TEXTO

PERMANECE EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. ....................................................................27

FIGURA 3. ESQUEMA DE LA ACCIÓN MEDIADORA DE VIGOSTKY. TOMADO DE WILLIAMS Y WAKE (2007). EL

TEXTO PERMANECE EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. .........................................................28

FIGURA 4: CICLO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA. TOMADO DE BLUM Y BORROMEO-FERRI (2009). EL TEXTO


FIGURA 5. MODELO MATEMÁTICO, MAPEO DEL MODELO EXTRA-MATEMÁTICO AL MATEMÁTICO. TOMADO DE

BLUM, GALBRAITH, HENN Y NISS (2007). EL TEXTO PERMANECE EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA

REFERENCIA. .........................................................................................................................................34

FIGURA 6. ANIDAMIENTO DE SUB-INSTITUCIONES DE ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS A DIFERENTES NIVELES.

TOMADO DE ROMO-VÁZQUEZ (2009). SE MODIFICÓ EL NOMBRE DE LAS MATERIAS DEL SEGUNDO

CUADRO, DEL TEXTO ORIGINAL. ............................................................................................................45

FIGURA 7. RECORRIDOS PRAXEOLÓGICOS ENTRE INSTITUCIONES. .................................................................51

FIGURA 8. DIAGRAMA DE BARRAS PARA UN TREN DE ATERRIZAJE DE TRES BARRAS. .....................................71

FIGURA 9. INSTITUCIONES DE ENSEÑANZA ELEGIDAS PARA EL DISEÑO DE LA AEI Y SUS POSIBLES RELACIONES

CON OTRAS INSTITUCIONES QUE PARTICIPAN EN LA FORMACIÓN DE INGENIEROS. ................................72

FIGURA 10. DIFERENCIAS ENTRE UNA PLACA ISOTRÓPICA Y UNA PLACA ORTOTRÓPICA. TOMADO DE NETTLES

(1994). EL TEXTO PERMANECE EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. .......................................85

FIGURA 11. DEFINICIÓN DE DEFORMACIÓN DE CORTE. TOMADO DE NETTLES (1994). EL TEXTO PERMANECE EN

EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. .............................................................................................87

13

FIGURA 12. LÁMINA ORTOTRÓPICA GENERAL. TOMADO DE NETTLES (1994). EL TEXTO PERMANECE EN EL

IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. ..................................................................................................89

FIGURA 13. DESPLAZAMIENTOS DE UNA PLACA. TOMADO DE NETTLES (1994). EL TEXTO PERMANECE EN EL

IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. ..................................................................................................95

FIGURA 14. DESPLAZAMIENTO TOTAL EN LA PLACA. TOMADO DE NETTLES (1994). EL TEXTO PERMANECE EN

EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. .............................................................................................97

FIGURA 15. DEFINICIÓN DE LA CURVATURA DE LA PLACA. TOMADO DE NETTLES (1994). EL TEXTO


FIGURA 16. DIAGRAMA DE ESTRÉS RESULTANTE. ..........................................................................................99

FIGURA 17. DIRECCIONES DE LOS ESFUERZOS Y MOMENTOS RESULTANTES. TOMADO DE NETTLES (1994). EL

TEXTO PERMANECE EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. ......................................................101

NOTA: LAS K CAPAS Y LAS K+1 SON LA MISMA LAMINA (CAPA), PERO SE SEPARAN EN DOS POR EL MEDIO PLANO

GEOMÉTRICO ......................................................................................................................................103

FIGURA 18. SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN LAMINADO. TOMADO DE NETTLES (1994). EL TEXTO PERMANECE

EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. ......................................................................................103

FIGURA 19. DEFLEXIONES EN UNA PLACA. TOMADO DE NETTLES (1994). EL TEXTO PERMANECE EN EL IDIOMA

ORIGINAL DE LA REFERENCIA..............................................................................................................106

FIGURA 20. SISTEMA DE COORDENADAS PARA UN LAMINADO NORMAL. TOMADO DE NETTLES (1994). EL

TEXTO PERMANECE EN EL IDIOMA ORIGINAL DE LA REFERENCIA. ......................................................109

FIGURA 21. ESQUEMA DE LA AEI-RTEST DONDE SEÑALA LAS TAREAS, TÉCNICAS Y EN LA FASE QUE SE

ENCUENTRAN. .....................................................................................................................................130

FIGURA 22. IMAGEN DE UNA RAMPA TERAPÉUTICA COMERCIAL. OBTENIDA DE

HTTP://REHABILITACIONYFISIOETARPIAORTOTEC.BLOGSPOT.MX/2010/06/MECANOTERAPIA-LA-

MECANOTERAPIA-ES-LA.HTML. ...........................................................................................................134

FIGURA 23. BOSQUEJO DE LA RAMPA PARA DEL EQUIPO 1. ...........................................................................134

14

FIGURA 24. PROPUESTA FINAL DE LA RAMPA RTEST DEL EQUIPO 3 ............................................................141

FIGURA 25. BOSQUEJO DE LA RAMPA PARA DEL EQUIPO 4. ...........................................................................143

FIGURA 26. PANEL DE DIVINYCELL. .............................................................................................................150

FIGURA 27. LAMINADO TIPO SÁNDWICH. .....................................................................................................150

FIGURA 28. EJEMPLO DE RAMPA USANDO LOS SEÑALAMIENTOS DEL ADA. .................................................151

FIGURA 29. MEDIDAS PRELIMINARES DE LA RAMPA (LATERAL Y SUPERIOR). ...............................................152

FIGURA 30. CÁLCULOS DE ESFUERZOS DEL EQUIPO 1. ..................................................................................156

FIGURA 31. ESQUEMA DE LA RAMPA SIN EL SISTEMA DE BARANDAL. ...........................................................158



FIGURA 34. PREPARACIÓN DE RESINA Y FIBRA DE VIDRIO PARA LA FABRICACIÓN DE LA RAMPA. ................166

FIGURA 35. IMAGEN DEL LADO IZQUIERDO ES EL ENSAMBLE DE LA BASE Y LA IMAGEN DEL LADO DERECHO

PRESENTA EL ENSAMBLE TERMINADO DE LA ESTRUCTURA. ................................................................166

FIGURA 36. PROTOTIPO DE LA RAMPA CON LA FIBRA DE VIDRIO SOBRE PUESTA...........................................167

FIGURA 37. HONEY COMB DE CARTÓN. ......................................................................................................168

FIGURA 38. VISTA LATERAL DE LA RAMPA CON EL ACABADO DEL MATERIAL LAMINADO. ...........................169

FIGURA 39. ESTRUCTURA DE LA PLATAFORMA Y ESCALONES ......................................................................169

FIGURA 40. MATERIALES USADOS PARA CREAR EL LAMINADO. ...................................................................171

FIGURA 41. UTILIZACIÓN DE BROCHA PARA IMPREGNAR LA RESINA EN LA FIBRA. .......................................172

FIGURA 42. LAS TAPAS SE LAMINARON AL MISMO TIEMPO. ..........................................................................173

FIGURA 43. PROCESO DE CORTE DE LOS LAMINADOS. ..................................................................................173

15

FIGURA 44. SOBRANTE DE LOS LAMINADOS. ................................................................................................174

FIGURA 45. PLACAS DE PLÁSTICO REFORZADO Y NÚCLEO UNIDOS. ..............................................................175

FIGURA 46. PANEL DE SÁNDWICH CON EL RECUBRIMIENTO ANTIDERRAPANTE ............................................175

16

Índice de tablas

TABLA 1 BLOQUE DE LA PRAXEOLOGÍA .........................................................................................................41

TABLA 2 PERCENTIL 5 QUE REPRESENTA EL MÍNIMO PARA NIÑOS Y NIÑAS DE 3 A 11 AÑOS .........................138

TABLA 3 PERCENTILES, 5, 50 Y 95 PARA NIÑAS DE 3 A 5 AÑOS, AVILA-CHAURAND, PRADO-LEÓN Y GONZÁLEZ-

MUÑOZ, (2007) ...................................................................................................................................144

TABLA 4 LAMINADOS DE DIFERENTES FIBRAS / EPOXI 60% EN VOLUMEN VF=0. ...........................................159

17

Índice

Contenido

1 Capítulo 1. La modelación matemática en la formación de ingenieros ..... 24

Introducción ........................................................................................................................ 24

Modelación matemática en la práctica de ingenieros .......................................... 24

Las cajas negras en la modelación matemática ...................................................... 26

Matemáticas para los ingenieros y la ingeniería para las matemáticas ........ 28

Trabajos de modelación en la actualidad ................................................................. 29

La modelación matemática en la formación de ingenieros ............................... 33

El ECITEC, una formación de ingenieros en México .............................................. 37

Hacia la definición de la tesis ........................................................................................ 38

2 Capítulo 2. Elementos teóricos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico

40

Institución ............................................................................................................................ 40

Praxeología .......................................................................................................................... 40

El modelo praxeológico extendido .............................................................................. 41

Niveles de organizaciones praxeológicas matemáticas ...................................... 44

Co-determinación de lo matemático y lo didáctico ............................................... 45

Momentos del proceso de estudio ............................................................................... 47

La formación de ingenieros desde esta perspectiva institucional .................. 50

Conclusión ............................................................................................................................ 51

3 Capítulo 3. Metodología para el diseño de la Actividad de Estudio y de

Investigación (AEI) basada en modelación matemática .......................................... 53

Introducción ........................................................................................................................ 53

Metodología para el diseño de actividades didácticas de modelación

matemática ........................................................................................................................................ 54

18

Fase 1. Elección del contexto extra-matemático ............................................................ 55

Fase 2. Análisis praxeológico e identificación de un modelo matemático ........... 56

Fase 3. Análisis del modelo matemático identificado y su relación con E(M) ... 58

Fase 4. Diseño de la actividad didáctica ............................................................................. 59

Refinamiento de la metodología para el diseño de la AEI .................................. 59

Fase 1. Identificación del contexto extra-matemático: mecánica estructural de

materiales compuestos E(DI) ................................................................................................................. 61

Fase 2. Análisis de mecánica estructural de materiales compuestos E(DI) ........ 72

Fase 3. Análisis praxeológico de las matrices simétricas en álgebra lineal ......... 75

Fase 4. Diseño de la AEI ............................................................................................................ 75

Contexto experimental: Escuela de Ciencias de Ingeniería y Tecnología de la

UABC 76

Implementación de la AEI y su análisis ..................................................................... 77

Conclusión ............................................................................................................................ 78

4 Capítulo 4. Del análisis praxeológico de la mecánica estructural de

materiales compuestos al diseño de una AEI .............................................................. 81

Introducción ........................................................................................................................ 81

Análisis praxeológico e identificación de un modelo matemático en

mecánica de materiales compuestos ........................................................................................ 82

Reporte técnico de mecánica básica de materiales compuestos ............................. 82

Análisis de la Ley de Hooke en materiales no isotrópicos.......................................... 83

Análisis del modelo matemático identificado y su relación con E(M).......... 112

Análisis del libro de texto ...................................................................................................... 112

Análisis praxeológico de materiales laminados mediante el modelo de

esfuerzos ........................................................................................................................................... 118

Conclusión .......................................................................................................................... 123

5 Capítulo 5. La AEI Diseño y Construcción de la Rampa Terapéutica y

análisis de su implementación ....................................................................................... 124

Introducción ...................................................................................................................... 124

Diseño de la AEI-RTEST ................................................................................................. 126

AEI Diseño y construcción de Rampa terapéutica RTEST ................................. 127

19

Elementos para el análisis de la AEI-RTEST .......................................................... 129

Análisis de la fase uno .................................................................................................... 131

Elementos para el análisis de los cuatro pasos .................................................... 131

Análisis del equipo 1 ...................................................................................................... 133

Paso 1. Bosquejar la rampa .................................................................................................. 133

Paso 2. Determinar las dimensiones de la rampa ....................................................... 137

Paso 3. Elegir material para la estructura de la rampa RTEST .............................. 139

Paso 4. Realizar el diseño preliminar de la rampa RTEST ...................................... 140


Paso 1 Bosquejo de la rampa ............................................................................................... 142





Paso 1. Bosquejo de la rampa .............................................................................................. 148




De la fase 1 ......................................................................................................................... 152

Análisis de la fase dos .................................................................................................... 154

Análisis del Equipo 1 ...................................................................................................... 155

Paso 1. Determinar las características del material laminado ......................... 155

Calcular esfuerzos del material laminado ................................................................. 155

Generar una propuesta materializable de RTEST ................................................. 156

Determinar las características del material laminado ......................................... 157



Determinar las características del material laminado ......................................... 161



De la fase 2 ......................................................................................................................... 164

Análisis de la fase tres ................................................................................................... 164

20


Elegir materiales para la parte sensorial táctil ....................................................... 165

Elaborar material laminado ............................................................................................ 166





De la fase 3 ......................................................................................................................... 176

Conclusión .......................................................................................................................... 177

6 Conclusiones y perspectivas ................................................................................... 181

7 Referencias .................................................................................................................... 185

21

INTRODUCCIÓN

Este trabajo de investigación tiene como finalidad estudiar las necesidades matemáticas de

la formación de especialidad de futuros ingenieros y cómo éstas pueden ser consideradas

en la formación matemática de los primeros semestres. En particular, se busca generar una

vinculación entre la enseñanza del Álgebra Lineal (AL) y la enseñanza de Mecánica

Estructural de Materiales Compuestos (MEMC). La asignatura (MEMC) es parte de

programas educativos de Ingeniero Aeroespacial, se imparte generalmente en séptimo

semestre, uno de los temas abordados es el cálculo de esfuerzos, en sistemas de resortes y

estructuras de barras. Un análisis de estas asignaturas es propuesto para reconocer las

necesidades matemáticas que ahí se generan, así como los modelos matemáticos que son

utilizados, en particular los modelos lineales. Esto con el objetivo de diseñar una actividad

didáctica basada en modelación, que pueda ser parte del curso de AL, que permita a los

estudiantes reconocer a la modelación matemática como una herramienta útil, tanto para

enfrentar situaciones problemáticas en la enseñanza de especialidad como en el campo de

la ingeniería.

Este trabajo de tesis consta de cinco capítulos que permiten mostrar el proyecto de

investigación y la ruta metodológica seguida. En el primer capítulo se presenta la

problemática en la que se inscribe y que es la formación matemática de futuros ingenieros,

su razón de ser y sus desafíos, cada vez más crecientes debido tanto a la evolución

tecnológica como a la de la práctica profesional.

En el segundo capítulo se presentan los elementos teóricos de la Teoría Antropológica de

lo Didáctico (TAD, en adelante), propuesta por Chevallard (1999) y desarrollada desde

entonces por un nutrido grupo de investigadores. Este marco ofrece un modelo

epistemológico que permite el análisis de la actividad humana en su dimensión

institucional. La formación de ingenieros es presentada en términos de instituciones que la

componen, por ejemplo, cursos de matemáticas y cursos de especialidad y las relaciones

entre éstas, específicamente las que se generan en torno a la modelación matemática. La

22

praxeología, herramienta de análisis de la actividad humana, permite elucidar la

modelación en las diferentes instituciones y establecer relaciones entre éstas.

En el tercer capítulo se presenta la metodología, propuesta inicialmente en (Macias, 2012),

desarrollada y afinada desde entonces, para el diseño de actividades didácticas basadas en

modelación matemática. Esta metodología se generó específicamente para el diseño de

actividades didácticas para la formación de futuros ingenieros y pretende generar una

vinculación explícita entre las matemáticas que se enseñan y las que son útiles en la

formación de especialidad y en la práctica profesional. Se sustenta en elementos de la TAD

y su elemento distintivo es que parte de la elección y análisis de un contexto ingenieril (de

formación o profesional) para identificar la actividad de modelación matemática y cómo

ésta puede ser parte de la formación a través del diseño de una actividad didáctica. En esta

investigación, específicamente del diseño de una Actividad de Estudio y de Investigación

(AEI), cuya característica es que hace intervenir los primeros tres momentos del proceso

de estudio de una praxeología: momento del primer encuentro (M1), momento exploratorio

(M2) y momento de construcción del entorno tecnológico-teórico (M3). La AEI propuesta

consiste en el diseño y construcción de una Rampa Terapéutica Táctil, con material

laminado, para ayudar a niños de 3 a 10 años con problemas de marcha.

En el capítulo cuatro se presenta el análisis del reporte técnico de Nettles (1999) que

permite evidenciar las praxeologías de mecánica estructural de materiales compuestos y

los elementos del álgebra lineal que ahí aparecen involucrados. De la misma manera, se

presentan elementos obtenidos en las entrevistas con el experto en materiales compuestos,

que permiten complementar este análisis, que corresponde a la fase 2 de la metodología

propuesta por Macias (2012) y que es utilizada para el diseño de la AEI. Asimismo, se

analiza el libro de Grossman y Flores-Godoy (2012) ya que este texto es utilizado como

referente en los cursos de álgebra lineal. Este análisis se corresponde con la fase 3 de la

metodología propuesta por Macias (2012).

En el capítulo 5 se presenta la Actividad de Estudio de Investigación, Diseño y

construcción de una Rampa Terapéutica Sensorial y las tres fases en que se desarrolló.

Asimismo, se presenta el análisis de su implementación, considerando particularmente a 3

23

tres de los 6 equipos que la realizaron. Para el análisis se consideraron las tres fases de

desarrollo de la AEI y tres praxeologías que corresponden a cada una de ellas.

Finalmente, en el capítulo seis se presentan las conclusiones sobre el trabajo desarrollado

y perspectivas que se abren para desarrollar futuras investigaciones.

24

Capítulo 1. La modelación

matemática en la formación de

ingenieros

1 Capítulo 1. La modelación matemática en la formación de

ingenieros

Introducción

En el marco de la Matemática Educativa se ha estudiado y reflexionado sobre la enseñanza

de las matemáticas en diferentes contextos y niveles educativos. El área que se elige para

desarrollar este trabajo es el de la modelación matemática dentro de la formación de futuros

ingenieros. En esta área, de muy reciente existencia, existen investigaciones que señalan

una desvinculación de las matemáticas que se enseñan en la universidad con las que

ocupan en el campo laboral (Kent y Noss, 2001; Pollak, 1988; Romo-Vázquez, 2009;

Albertí et al. 2010; Macias 2012; Patricio, 2016; Vázquez, Trigueros y Romo, 2016). Así,

uno de los objetivos de esta investigación es vincular asignaturas de matemáticas que se

encuentran en los primeros semestres (etapa básica) con asignaturas de los últimos

semestres (etapa terminal), a través de una actividad didáctica de modelación matemática.

Por ello, se considera importante en este capítulo analizar la forma en que la modelación

ha sido estudiada en la disciplina de la Matemática Educativa y en específico cuáles son

los elementos que la hacen particular al considerar una formación de ingenieros.

Modelación matemática en la práctica de ingenieros

La modelación matemática ha sido estudiada y caracterizada en la práctica de ingenieros.

En la investigación de Kent y Noss (2002) se consideró como contexto de análisis una

compañía de ingeniería civil. Una de las primeras fases de la investigación consistió en

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entrevistar a ingenieros que trabajaban en esta empresa sobre las matemáticas que

utilizaban en sus tareas profesionales. Una de las respuestas más sorprendentes que

obtuvieron los investigadores Kent y Noss (2001) fue que “después de que egresas de la

universidad no usas las matemáticas que te enseñaron, lo más complicado es elevar al

cuadrado o al cubo” (p. 1). Dicha respuesta resulta muy sorprendente e inesperada, los

investigadores consideran que es necesario analizar la práctica de ingenieros para poder

explicar esta “invisibilidad” de las matemáticas en la práctica profesional. Este tipo de

afirmaciones podría confundir a estudiantes de ingeniería, haciéndoles pensar que

realmente no necesitan las matemáticas que están estudiando. Al analizar la práctica de

ingenieros civiles y de estructuristas en esta firma, los investigadores reconocieron

actividades que se definen en tres rubros: Diseño, Análisis y Revisión presentando un

diagrama como se muestra en la Figura 1, con los participantes para un proyecto de

construcción y con las interacciones que existen entre ellos.

Figura 1: Esquema de los participantes de un proyecto de construcción y las interacciones entre ellos,

Tomado de Kent y Noss (2002). El texto permanece en el idioma original de la referencia.

Los trabajos de construcción son multidisciplinarios, así que existen discusiones entre los

diferentes ingenieros que participan en su desarrollo, particularmente en las etapas de

análisis y de diseño, para poder llegar a un convenio entre lo que se quiere y lo que se

puede construir. Los ingenieros que pueden hacer cálculos complejos con papel y lápiz son

los que tienen poco tiempo de haber egresado de la universidad (de dos a tres años) y los

ingenieros que se encargan del diseño son los más experimentados. Los autores notan que

los ingenieros recién egresados son los encargados de las tareas más matemáticas y esto

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puede ser debido a la cercanía con su formación matemática y en particular a la relacionada

con la modelación matemática. Por su parte, los ingenieros más experimentados y

relacionados con los saberes prácticos son los responsables del diseño.

El trabajo que se requiere para desarrollar un proyecto de construcción es muy extenso, por

lo que es muy difícil que un ingeniero diseñe y haga los cálculos de toda una estructura (o

edificio). Esto obliga a generar una división del trabajo, así cada ingeniero realiza tareas

específicas lo que es determinado por el líder del proyecto. Esta organización del trabajo

puede traducirse como una economía del trabajo matemático y en consecuencia hacer que

las matemáticas se encapsulen o queden a cargo de programas computacionales o analistas,

siendo invisibles para otros ingenieros. Los ingenieros tienden a debatir sobre la geometría

estructural con relación a características cualitativas, las cuales están basadas en un

conjunto de reglas y en matemáticas. Por ejemplo, determinar cómo interactúan las fuerzas

y los elementos estructurales entre sí, requiere de elaborar un dibujo estructural y de

realizar cálculos matemáticos, que posibiliten incluso, posteriormente, modificar la

estructura.

Kent y Noss (2002) nos muestran tanto la invisibilidad de las matemáticas por algunos

usuarios expertos en un contexto profesional del ingeniero, pero al mismo tiempo permite

explicar cómo ésta puede deberse a diferentes roles, definidos para generar una economía

del trabajo matemático. Estos roles parecen atender tanto a la naturaleza de las tareas,

diseño y análisis, pero también a los conocimientos teóricos y prácticos de quienes los

desempeñan, novatos y expertos. Para reconocer algunas otras explicaciones de la

invisibilidad de las matemáticas en la práctica se analiza a continuación la investigación de

Williams y Wake (2007).

Las cajas negras en la modelación matemática

En la investigación de Williams y Wake (2007) se señala que las matemáticas pueden ser

invisibles para los estudiantes en ciertas actividades, llamando a este proceso el de cajas

negras.

Los autores reconocen como causas de dicho proceso dos circunstancias, la primera

consiste en la nueva forma de realizar tareas matemáticas: no haciendo los cálculos en

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papel y lápiz sino utilizando programas de cómputo. Por lo que el estudiante comienza a

perder la habilidad para resolver ciertos problemas requiriendo un pensamiento matemático

distinto (menos analítico), ya que utiliza el programa como una caja negra de donde lo

importante es el resultado, no cómo se obtiene. La segunda es que el estudiante mecaniza

los métodos o procesos y los hace de manera tan natural que no se da cuenta que está

utilizando las matemáticas. Estas circunstancias antes descritas y la misma investigación

se enmarcan en la Teoría de la Actividad Cultural Histórica (TACH), en la cual se

menciona que las matemáticas se hacen invisibles en los trabajos, o se cristalizan a través

de los procedimientos que se realizan y que históricamente se han mecanizado; por lo que

los trabajadores ya no les prestan atención y sólo los hacen automáticamente, es decir sin

pensar. A continuación se muestran dos figuras, la Figura 2 presenta el sistema de las

actividades del trabajo, mientras que en la Figura 3 se representa la noción de Vigostky de

la acción mediadora del sujeto en la interacción con un objeto, la cual es la base para el

triángulo de la Figura 2.

Figura 2. Esquema de actividad del sistema. Tomado de Williams y Wake (2007). El texto permanece en el

idioma original de la referencia.

Instruments

Object====Outcome Subject

28

Figura 3. Esquema de la acción mediadora de Vigostky. Tomado de Williams y Wake (2007). El texto

permanece en el idioma original de la referencia.

Existen diferentes instrumentos matemáticos que se utilizan para realizar actividades,

como son las gráficas, las cuales no necesariamente son sencillas de leer. Sin embargo, los

trabajadores experimentados en su manejo con verlas pueden identificar fácilmente qué es

lo que ocurrió. Esto puede explicarse al considerar que una vez que se domina una técnica,

dejan de importar los elementos que la sustentan.

El poco o nulo reconocimiento de estos conocimientos fundamentales puede deberse

también al uso, cada vez mayor, de los programas computacionales, los cuales han

modificado fuertemente el trabajo matemático del futuro ingeniero Kent (2007). Estos

programas funcionan, muchas de las veces, como cajas negras concentrando el interés en

el resultado y no en el proceso, obligando a los usuarios a generar una capacidad de

interpretación que funciona como elemento de control y validación. Lo que nos lleva a

cuestionarnos: ¿Qué actividades didácticas favorecen la interpretación matemática? ¿En

qué conocimientos se basa dicha interpretación, únicamente en conocimientos

matemáticos?

Matemáticas para los ingenieros y la ingeniería para las matemáticas

En la investigación de Albertí et al. (2013), enfocada en la relación entre las matemáticas

y la ingeniería y cómo ésta puede favorecerse desde la educación secundaria, se señalan

tres maneras:

1. La industria y el currículo de la educación secundaria;

2. Matemáticas para la industria;

3. La industria y la educación por competencias.

Se puede notar que hay un interés por acercar la industria a la educación secundaria. Esto,

al considerar un contexto de educación superior se vuelve todavía más importante. La

educación matemática no puede ser ajena a las necesidades, prácticas y resultados de la

industria en ninguno de los niveles. Resulta por tanto importante conocer las relaciones

que pueden ser establecidas entre el currículo y la forma en que las matemáticas están

29

presentes en la industria. Para ello, este autor hace dos propuestas para las matemáticas en

la práctica de los ingenieros, la primera es que algunas universidades ofrezcan maestrías,

doctorados con enfoque para trabajar en la industria y así las matemáticas de la industria

figuren en los planes de estudio.

Una segunda, basada en el análisis que hace entre los matemáticos y los ingenieros, es

formar al ingeniero matemático, el cual debe ser capaz de resolver problemas de las

empresas, contando con una sólida formación matemática. Ya que si se compara la

actividad de los matemáticos en la industria, éstos son subordinados de los ingenieros ya

que se dedican a hacer los cálculos que los ingenieros ocupan para poder resolver el

problema. Estas dos propuestas, muy brevemente esbozadas, requieren del análisis tanto

de la industria como de la universidad, con el objetivo de proponer relaciones entre éstas,

a través de la creación de nuevas formaciones y nuevos profesionistas.

Trabajos de modelación en la actualidad

Uno de los foros importantes de Educación Matemática en el ámbito internacional es el

Congreso de Investigación Europea en Educación Matemática (CERME) el cual se celebra

cada 2 años. En febrero de 2017 se llevó a cabo por décima vez, se tuvieron 24 grupos de

trabajo en las diversas áreas de la Educación Matemática. En particular, se considera aquí

el grupo número 6 dedicado a la reflexión sobre las aplicaciones y la modelación

matemática. Dentro de este grupo existen diversas tendencias y que ha tenido una gran

incidencia en las investigaciones que desarrollan en modelación matemática, como resulta

ser los ciclos de modelación, utilizados para describir la actividad de modelación

matemática, propuestos por Blum (2002) y refinados en Blum y Borromeo-Ferri (2009).

En esta postura, el proceso de modelación puede ser descrito por ciclos, el ciclo que

proponen presenta siete pasos en los cuales mencionan que se pueden adaptar a diferentes

problemas de modelación matemática, estas etapas o pasos son por las que debe transitar

un individuo para poder encontrar la solución a un problema de modelación. Este ciclo está

representado por la siguiente figura:

30

Figura 4: Ciclo de modelación matemática. Tomado de Blum y Borromeo-Ferri (2009). El texto


Los ciclos de modelación son muy utilizados en la tradición de investigación en

modelación matemática alemana y ha permeado en otras tradiciones. Sin embargo, los

ciclos parecen basarse en una visión platónica de la actividad de modelación matemática,

definirse bajo el supuesto de que toda situación real es susceptible de ser modelada. En

Bissell y Dillon (2000) se hace una crítica a esta visión de la modelación, los autores

señalan:

Quizás lo más grave, desde el punto de vista filosófico y práctico, es que la figura

presupone una correspondencia platónica entre el ‘mundo real’ y el ‘modelo’. La

forma en que tratamos los problemas del ‘mundo real’ que no se mapean

convenientemente en el dominio de modelado, no se consideran en absoluto: la

implicación es que cada problema puede ser tratado o aquellos que no pueden ser

tratados, literalmente no son nuestro problema. (Bissell y Dillon, 2000, p. 3)

Asimismo estos autores consideran que un ciclo de modelación, como puede ser el

propuesto en Blum y Borromeo Ferri (2009), no da cuenta de la actividad de modelación

del ingeniero, quien utiliza muchos modelos matemáticos existentes, con soluciones ya

conocidas. Así, no se trata siempre de crear modelos matemáticos sino de lograr adaptar

31

modelos existentes a nuevas situaciones y de probar que la adaptación es adecuada. Bissell

y Dillon señalan que, además de ser capaces de adaptar modelos matemáticos, los

ingenieros necesitan, “generar una historia sobre el modelo” que permita comunicarlo en

las comunidades de práctica:

Los modelos no son entidades independientes y autónomas que encapsulan todo lo

que vale la pena conocer sobre un componente o sistema en un conveniente paquete

matemático. Más bien, son puntos de partida para las conversaciones entre los

practicantes acerca de los sistemas que se pretende que representen. Los modelos

tienen que ser mediados y negociados dentro de una comunidad de práctica para tener

algún sentido. Como parte de su desarrollo, los ingenieros aprenden a hablar de sus

modelos: aprenden qué historias contar sobre ellos y reconocen qué tipo de

conversaciones son legítimas. (Bissell y Dillon, 2000, p. 6)

En el libro editado por estos mismos autores, Ways of thinking and ways of seeing, se

analizan varios ejemplos que dan cuenta de la forma en que los ingenieros modelan, de

cómo adaptan modelos existentes y de las “historias que los acompañan” y que dista de la

forma en que los ciclos describen el proceso de modelación matemática.

Regresando al grupo 6 del CERME 10, se presentaron diferentes trabajos de investigación

en torno a la modelación matemática, mostrando cuestiones abiertas como son “la realidad”

como elemento clave de la modelación, la viabilidad de los problemas “reales” de

modelación en la enseñanza de las matemáticas, los paradigmas que enmarcan estas

actividades, por ejemplo la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999) y los

Espacios de Trabajo Matemático (Houdement y Kuzniak, 2006) aproximaciones teóricas

que se han empezado a utilizar con más frecuencia en esta línea de investigación. Por

supuesto, también aparecen los ciclos de modelación, que son quizá los más utilizados por

los participantes en este grupo. Para ilustrar el tipo de trabajos presentados, se presentan

tres grupos que pueden considerarse con mayor relación a esta investigación:

Modelación y enseñanza interdisciplinaria: En este tema se expusieron dos trabajos los

cuales son: Borromeo-Ferri y Mousolides (2017), presentan una reflexión teórica de la

modelación matemática como un prototipo para la educación matemática interdisciplinaria,

y el trabajo de Bracke y Lantau (2017), donde exponen modelación matemática de sistemas

32

dinámicos en una implementación escolar. Estas exposiciones se centraron en la

interacción de disciplinas en actividades de modelado, en las discusiones de estas

presentaciones surgen dos preguntas ¿Cuáles son las especificaciones del modelado

matemático interdisciplinario en relación con el modelado matemático? y ¿Pueden algunas

herramientas analíticas generalizadas en el marco de la investigación del modelado, como

el ciclo de modelación, para analizar el modelado matemático en un contexto

interdisciplinario? Y ¿Cómo?

Estrategias de Modelación: En este tema participó Stender y Kaiser (2017), exponiendo

el uso de estrategias heurísticas en las actividades de modelado, esta discusión se centra en

el uso de estrategias heurísticas para apoyar las prácticas en modelado, generando las

siguientes preguntas ¿Hasta qué punto las estrategias heurísticas desarrolladas en el marco

de solución de problemas pueden transferirse a la modelación matemática? y ¿En qué tipo

de formación de profesores pueden estas estrategias heurísticas hacerse explícitas?

Enseñanza por medio de Modelado: En este tema participó Ferrando, Donat, Diago, y

Puig (2017) con el tema de un estudio exploratorio de las intervenciones de los maestros

en actividades de modelado. La actividad de modelado que analizaron en esta investigación

consistió en identificar el lugar en el salón de clase que tiene mejor acústica y la discusión

se centró en las siguientes preguntas ¿Quién valida los resultados finales en un proyecto?,

y ¿Cómo influyen los recursos en la apertura de la tarea y las posibles respuestas de los

estudiantes?

La mayoría de los trabajos antes enunciados utilizan el ciclo de Blum (2002) y Borromeo-

Ferri, (2009), y se puede apreciar dentro de éstos que cada etapa del ciclo es independiente

de la otra, y la matematización es independiente del contexto. Se podría decir que en estos

trabajos el contexto figura de manera artificial en la actividad, porque no se hace un estudio

sobre el contexto, sobre los conocimientos que se producen ahí y que tienen relación con

los conocimientos matemático.

Algunos trabajos presentan el ciclo con algunas modificaciones como es el trabajo de Bock,

Brake, y Capraro (2017), para presentar una actividad de modelación de una empresa que

produce automóviles, y modifican el último paso del ciclo agregando el concepto de un

supervisor (cliente), que determina si el producto le gusta o no, si la respuesta del cliente

33

es afirmativa termina el ciclo y se obtiene el producto. De lo contrario, la respuesta es

negativa y vuelven al ciclo tomando en cuenta las nuevas observaciones del cliente hasta

obtener una respuesta afirmativa. Este ciclo se ha utilizado ampliamente generando

actividades didácticas en diferentes asignaturas de matemáticas y en diferentes niveles

educativos como son la secundaria y la preparatoria, pero en educación superior dentro de

la formación de ingenieros se ha utilizado muy poco, por lo que no ha sido necesario hacer

estudios de contexto para validar la actividad de modelación.

Por otra parte, la “Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) propone que toda actividad

humana puede ser modelada” (Chevallard, Bosh y Gascón, 1997), esto implica que “la

modelación no es un aspecto o dimensión más de las matemáticas, sino que la actividad

matemática es esencialmente en sí misma una actividad de modelación” (Bosh, Garcia,

Gascón y Ruíz, 2006, p. 49). En la siguiente sección se presentará la modelación en la

formación de ingenieros bajo la propuesta de la TAD presentando los diferentes trabajos

que se han realizado en los últimos años.

La modelación matemática en la formación de ingenieros

La formación matemática de futuros ingenieros ha sido objeto de estudio en años recientes

(Camarena, 1999; Bissell y Dillon 2000; Bissell 2002; Kent y Noss 2000 y 2001; Romo-

Vázquez 2009; Macias 2012; Soto 2012; Martínez 2014; Barquero y Bosch 2015; Patricio

2016). Estos trabajos han mostrado que la enseñanza de las matemáticas en formación de

ingenieros atiende a necesidades particulares. Pollak (1988) pone de manifiesto que estas

necesidades matemáticas básicas y avanzadas pueden ser abordadas a partir de la

modelación matemática, considerando a ésta como base de un nuevo paradigma educativo.

De hecho, la modelación matemática ha sido abordada en una diversidad de investigaciones

en nuestra disciplina. El estudio ICMI 14 publicado en el año 2007 permite evidenciar

diferentes perspectivas teóricas que han sido producidas para estudiarla. En la introducción

de este estudio, un modelo matemático es definido de la siguiente manera: “Un modelo

matemático consiste en un dominio extra-matemático D, de interés, algún dominio

matemático M, y un mapeo que va del dominio extra-matemático al matemático” (p. 4). Y

está representado por la siguiente figura:

34

Figura 5. Modelo matemático, mapeo del modelo extra-matemático al matemático. Tomado de Blum,

Galbraith, Henn y Niss (2007). El texto permanece en el idioma original de la referencia.

La modelación, por su parte es definida como:

Objetos, relaciones, fenómenos, suposiciones, cuestiones, etc. En D son identificados

y seleccionados como relevantes para el propósito y situación y entonces son

mapeados ~ trasladados dentro de objetos, relaciones, fenómenos, suposiciones

cuestiones, etc. Perteneciendo a M, discusiones matemáticas, manipulaciones e

inferencias son hechas, los resultados son entonces trasladados de regreso a D e

interpretados como conclusiones concernientes a este dominio. (Blum, Galbraith,

Henn y Niss, 2007, p. 4).

Esta idea de modelación, concebida como un ciclo que puede ser repetido varias veces,

puede decirse, como se mencionó en la sección precedente, es muy utilizada. Sin embargo,

hay una propuesta teórico-metodológica que se ha venido desarrollando para el diseño de

actividades de modelación matemática enmarcada en la TAD. Esta propuesta se ha

utilizado principalmente para el diseño de actividades de modelación matemática en la

formación de futuros ingenieros, como los que se presentan a continuación.

En Echavarría (2016) se diseñó un Recorrido de Estudio de Investigación (REI) en el que

se vincula la materia de análisis numérico y la materia de análisis matricial de estructuras,

implementándose con estudiantes de tercer y de quinto semestre de la carrera de Ingeniería

en Aeronáutica de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería del Instituto

Politécnico Nacional, campus Guanajuato (UPIIG-IPN). Los equipos estaban conformados

por estudiantes de tercer y quinto semestre, a quienes se les solicitó diseñar un programa

computacional que calculara los esfuerzos de diferentes estructuras. Esta tarea surgió del

35

estudio del análisis matricial de estructuras, el profesor responsable reconoció que el

programa computacional “versión estudiantes” utilizado en esta institución educativa no

cuenta con todas las cajas de herramientas y que la “versión profesional” es muy costosa.

Entonces, los estudiantes de varias generaciones podrían construir el programa

computacional “completo”, un grupo de estudiantes produciría un módulo (o caja de

herramientas), otro grupo al semestre siguiente otro módulo y así sucesivamente. Esto sitúa

a los estudiantes como productores de tecnología informática y no sólo como usuarios

expertos. El trabajo con el experto (investigador y profesor) de análisis matricial de

estructuras permitió identificar esta necesidad “real” y pedirles a los estudiantes su

desarrollo.

El REI se propuso a estudiantes de tercero y de quinto semestre, simulando una

organización de trabajo de la práctica profesional: los estudiantes de quinto semestre sabían

cómo calcular esfuerzos y ellos hacían las veces de un ingeniero experto, mientras que los

estudiantes de tercer semestre representaban el papel de un ingeniero novato, ya que ellos

sólo sabían análisis numérico. En el desarrollo de este REI, sólo uno de los cuatro equipos,

logró llevar a término el programa, hasta la interface lista para ser utilizada, mientras que

los otros tres equipos no llegaron hasta esta interface. Se reconoce que la tarea era compleja

y que los estudiantes llegaron a producir una parte importante de la técnica que permitía

realizarla. Además, Echavarría teoriza la forma en que los REI’s pueden ser diseñados para

estas formaciones.

En Vázquez, Romo, Romo-Vázquez, y Trigueros (2016), trabajaron en un diseño de una

Actividad de Estudio de Investigación (AEI) generando una secuencia didáctica basada en

modelación matemática para la formación de futuros ingenieros. Se pretendió vincular la

materia de álgebra lineal con la asignatura de análisis de señales mediante el método de

Separación Ciega de Fuentes (BSS), que fue elegido por lo siguiente:

Si consideramos que la variedad de aplicaciones de la BSS permite generar diferentes

cuestiones generatrices, que pueden servir de base para el diseño de actividades de

modelación en la formación matemática de ingenieros en distintas áreas, además de

la propuesta en el contexto de audio como son biomedicina, procesamiento de

imágenes y radioastronomía. Asimismo, consideramos que éstas pueden ser

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implementadas en distintas etapas de la formación, tanto al inicio como al final de la

preparación matemática, y durante la formación intermediaria. (pp. 54-55)

Con este trabajo se concluyó que se pueden hacer distintas AEI para el tema de la BSS que

vincule a diferentes temas a lo largo de la carrera de ingeniería biomédica.

En la investigación de Patricio (2016), se diseñó una AEI que consiste en vincular la

formación de ingenieros con la industria, la actividad fue implementada en un grupo de 20

estudiantes de la carrera de ingeniería en sistemas computacionales del Instituto

Tecnológico de Chilpancingo, de tercer semestre que cursaban la asignatura de

investigación de operaciones, que ya habían cursado la materia de matemáticas discretas y

de álgebra lineal. En la AEI se les solicitó que resolvieran una problemática de los

buscadores Web, similar a la que emplea Google (Page Rank), que fue analizada y motivó

el diseño de la AEI. Se observó que los estudiantes no están acostumbrados a resolver

problemas “reales” por lo que no utilizan las matemáticas como una herramienta y si las

llegan a utilizar, emplean las que matemáticas de la asignatura más reciente que cursaron

y no necesariamente éstas ofrecen una solución óptima para el problema de modelación

matemática que están analizando.

Por último, en el trabajo desarrollado por Tolentino (2015) se analiza la industria cervecera

y en particular el diagrama de Pareto, el cual es objeto de enseñanza en los primeros años

de las carreras de ingeniería. Este diagrama es una de las herramientas más usada para la

toma de decisiones en la línea de producción, con esta herramienta matemática los

ingenieros pueden determinar en donde se encuentra la falla más importante y pueden

arreglarla para que la empresa pueda seguir produciendo en su máxima capacidad. Hacia

el final de su tesis, Tolentino esboza una propuesta para la capacitación de ingenieros que

ingresan a la cervecera, sin que ésta haya sido probada experimentalmente.

Los trabajos mencionados anteriormente presentan una gama de actividades basadas en

modelación matemática para la formación de futuros ingenieros, que posibiliten la

vinculación de asignaturas de etapa básica con asignaturas de etapa disciplinario o de

investigación en ingeniería como en el caso de la BSS o bien la formación de ingenieros

con la industria. Es decir, todas estas actividades se diseñan a partir del análisis de

contextos de ingeniería, que permite identificar los modelos matemáticos que ahí tienen

37

lugar y que son susceptibles de ser transpuestos a la enseñanza de las matemáticas. Se

considera que esta investigación podría inscribirse en esta línea y generar el diseño de una

actividad de modelación matemática auténtica y que tenga sentido en la formación de

ingenieros.

El ECITEC, una formación de ingenieros en México

La Escuela de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología (ECITEC), ubicada en Tijuana, Baja

California, forma parte de la Unidad Valle de las Palmas, de la Universidad Autónoma de

Baja California, inició labores el 15 de agosto del 2009, llevó el nombre de Centro de

Ingeniería y Tecnología (CITEC) hasta el 2015.

Los estudiantes que ingresan a ECITEC deben de acreditar el Tronco Común de Ingeniería

(TCI), que cuenta con doce asignaturas las cuales se deben de cursar en los primeros dos

semestres, después de acreditar el TCI, eligen entre las nueve diferentes carreras de

ingeniería, que son: Bioingeniería, Ingeniería Aeroespacial, Ingeniería Mecatrónica,

Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil, Ingeniería en Energías Renovables, Ingeniería

Industrial, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Electrónica. En promedio, la duración de

estudios es de 8 a 9 semestres. Al principio la matrícula no era mayor a quinientos

estudiantes, pero en tan sólo ocho años esta institución ya superó los tres mil quinientos

alumnos y sigue creciendo.

El ECITEC es una respuesta a la demanda de carreras en el estado de Baja California Norte,

la cual está comprometida a formar individuos que resuelvan los problemas regionales y

del país, generando profesionistas competitivos, éticos y humanos, que estén dispuestos a

trabajar en equipo, para generar mejoras en su comunidad, estado, región país y el mundo.

Por otra parte, se considera que es muy importante notar que el ECITEC responde a una

demanda social particular, ya que Tijuana al ser una ciudad fronteriza pocas veces se ve

como una ciudad progresista que ofrece oportunidades a sus jóvenes. Ofrecer una

formación de calidad que garantice un desarrollo profesional es brindar una posibilidad

“real” a los jóvenes para ser ingenieros en su ciudad y en su país. O bien, para que puedan

encontrar un trabajo de ingeniero “legalmente” en los Estados Unidos de Norte América.

38

Hacia la definición de la tesis

En este capítulo se ha presentado a la modelación matemática como una de las herramientas

más útiles en la práctica de ingeniero y como la que puede generar una vinculación efectiva

entre la enseñanza matemática y la práctica de ingenieros. El análisis de diferentes

investigaciones en el campo laboral de los ingenieros civiles permite evidenciar cómo la

modelación matemática está presente en la práctica de ingenieros asociada a una división

de trabajo, que se hace considerando diferentes roles de los ingenieros, así como al uso de

programas computacionales. Las matemáticas funcionan también como un lenguaje que

permite comunicar a los ingenieros que desempeñan diferentes roles, el ingeniero analista

produce el modelo matemático que el de concepción solicita y que él mismo es capaz de

hacerlo funcionar. Esto muestra, aunque en un contexto muy particular, que la práctica

profesional de ingenieros demanda una formación matemática que dote a los futuros

profesionistas de una gran capacidad de interpretación de modelos, de sus resultados y de

su validación en el enfrentamiento de situaciones problemáticas. Es decir, no basta con

conocer los modelos matemáticos, las técnicas y validaciones asociadas sino la forma en

que éstos pueden ser validados en un contexto práctico. Esto supone que diferentes tipos

de conocimientos, matemáticos y prácticos que deben ser parte de la formación y que los

conocimientos matemáticos no son sólo los avanzados sino también los básicos. Esto

supone que la formación no se centre únicamente en los conocimientos más avanzados,

sino que logre incorporar también los conocimientos básicos, pero asociados a la

modelación matemática.

Otro elemento asociado a la modelación matemática es el de modelos matemáticos

complejos que funcionan como cajas negras, encapsulados la mayoría de las veces por

tecnologías informáticas sofisticadas, que solicitan a los usuarios más que un conocimiento

sobre las técnicas de cálculo y su sustento, una capacidad para interpretar y validar las

soluciones obtenidas. Esto nos lleva a considerar que en una actividad didáctica las cajas

negras pueden “transparentarse” hasta cierto nivel, permitiendo a los estudiantes reconocer

el modelo matemático que sustenta la técnica sin obligarlo a generar una maestría de la

misma.

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El objetivo de este trabajo es diseñar una Actividad de Estudio de Investigación (AEI) de

modelación matemática para una formación de ingenieros, que vincule un curso de etapa

básica con uno de etapa terminal de las carreras de ingeniería. Para ello, consideramos

elementos teóricos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, los cuales se presentan a

continuación.

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Capítulo 2. Marco Teórico

2 Capítulo 2. Elementos teóricos de la Teoría Antropológica de

lo Didáctico

Esta investigación se enmarca en elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico

(TAD), propuesta por Chevallard en 1999 y desarrollada por otros investigadores durante

los últimos años. Esta teoría propone un modelo epistemológico para el estudio de la

actividad humana en su dimensión institucional. Dos nociones son fundamentales en la

TAD, la de institución y la de praxeología.

Institución

Las instituciones, es decir, organizaciones sociales estables, enmarcan las actividades

humanas y simultáneamente las hacen posibles por los recursos que estas

instituciones ponen a disposición de sus sujetos. Estos recursos materiales e

intelectuales han sido producidos por comunidades, a lo largo de procesos de

enfrentamiento a situaciones problemáticas, para resolverlas con regularidad y

eficacia. (Castela y Romo, 2011, p. 85).

Praxeología

La praxeología constituye la unidad de análisis de la actividad humana, incluida la

actividad matemática y la actividad de modelación matemática. En toda actividad se

considera que hay elementos prácticos (praxis) y elementos teóricos (logos) que están

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íntimamente relacionados, pero que para su estudio es posible separarlos. La praxeología

[T, τ, θ, Θ] tiene cuatro componentes que conforman dos bloques, el técnico-práctico y el

tecnológico-teórico, como se precisa a continuación:

Tabla 1

Bloque de la praxeología

Bloque Técnico – Práctico Bloque Tecnológico - Teórico

T Tipo de tareas 𝜃 Tecnologías

𝝉 Técnicas 𝛩 Teorías

El tipo de tareas y las técnicas conforman el bloque técnico - práctico [T, τ] y se definen de

la siguiente manera:

Tipos de tareas (T), lo que se hace, el tipo de tareas engloba a las tareas que puede

decirse pertenecen a una clase de tareas.

Técnicas (𝜏), la manera en que se realizan o resuelven las tareas.

Las tecnologías y las teorías conforman el bloque Tecnológico – Teórico [𝜃, 𝛩] y se

definen de la siguiente manera:

Tecnología (𝜃), es lo que explica, produce, valida y justifica la técnica.

Teoría 𝛩 , es el discurso que a su vez explica, produce, valida y justifica la

tecnología 𝜃.

Toda praxeología es analizada en relación a determinada institución I.

El modelo praxeológico extendido

El análisis de la modelación matemática de una institución de enseñanza de la teoría de

control motivó el desarrollo del modelo praxeológico clásico, precedentemente presentado,

al considerar que el uso de una técnica matemática en una institución no matemática no

está regido únicamente por tecnologías matemáticas. Así, en el modelo praxeológico

extendido (Castela y Romo-Vázquez, 2011), la tecnología tiene dos componentes la

42

componente teórica la cual se denota por (𝜃𝑡ℎ) y la componente práctica que esta dada por

(𝜃𝑝), el cual se esquematiza como se muestra a continuación:

[𝑇, 𝜏, 𝜃𝑡ℎ , Θ𝜃𝑝 ]

← 𝑃(𝑆)← 𝐼𝑢

donde P(S) designa la institución productora de saberes e Iu la institución usuaria de estos

saberes. La componente teórica (𝜃𝑡ℎ) es la que se encarga de generar discursos que

expliquen, validen y justifiquen las técnicas matemáticas (resuelve específicamente

técnicas matemática), mientras que la componente práctica (𝜃𝑝) justifica, explica, valida,

el uso de técnicas matemáticas para resolver tareas, que no son estrictamente matemáticas.

Está componente tiene seis funciones ligadas al uso de las técnicas matemáticas, Castela y

Romo-Vázquez (2011) y Romo (2014) definen las seis funciones de la siguiente manera:

Describir el tipo de tarea y la técnica. La producción de un discurso que caracteriza

el tipo de tarea y los pasos que componen una técnica son considerados como una

pieza de saber no identificable a la maestría de la técnica en sí misma. Las acciones

en juego y el contexto donde se sitúa la praxeología, en un sistema compartido, se

pueden identificar en un sistema de representaciones y, más ampliamente,

simbólicas. La producción de estos lenguajes, y la descripción que ellos permiten,

constituye una componente decisiva del proceso de transmisión de una invención

técnica.

Validar la técnica. La función considerada corresponde a lo que en general se

entiende bajo el término justificar, en los textos que definen la noción de praxeología.

Los saberes considerados establecen que la técnica produce bien lo que ella dice que

produce, que los pasos que la componen permiten conseguir que le son asignados.

En el caso de las matemáticas, esta función es generalmente asegurada por los saberes

justificados por las teorías matemáticas. Sin embargo, en otros contextos, los saberes

válidos experimentalmente en laboratorio o empíricamente en el uso pueden validar

una técnica.

Explicar la técnica. Se trata de saberes que permiten analizar cómo la técnica y sus

diferentes pasos permiten conseguir los objetivos pretendidos.

43

Facilitar la aplicación de la técnica. Los saberes considerados en esta función

permiten a los usuarios utilizar con eficacia, pero también dan advertencias que

permiten evitar errores y torpezas conocidas como frecuentes. Este dominio de

saberes es el terreno privilegiado de las elaboraciones tecnológicas de los usuarios.

Este dominio produce efectos retomados de descripciones que lo especifican al

adaptarlo a las condiciones particulares del contexto institucional de utilización y al

enriquecimiento de la memoria de las experiencias acumuladas.

Motivar la técnica y los pasos que la componen. Estos saberes están orientados hacia

la práctica. Participan de una inteligencia de los fines: son los objetivos esperados

que justifican racionalmente los pasos, mostrando su razón de ser. Se trata de escribir

una historia de la técnica que sitúe sus componentes, los unos en relación con los

otros: ¿por qué (¿para qué?) se realiza tal paso en tal momento? Los saberes de

motivación son frecuentemente saberes relacionados con el tipo de tarea, puesto que

ellos analizan los objetivos. Permiten anticipar las etapas esperadas y juegan, por

tanto un papel heurístico importante cuando la aplicación de la técnica necesita

adaptaciones.

Evaluar la técnica. Los saberes considerados aquí tienen que ver con el dominio, las

condiciones y los límites de una técnica en relación con las tareas del tipo T. Ellos

pueden igualmente concernir la ergonomía de la técnica desde el punto de vista de

sus usuarios. Las funciones evaluar, facilitar y motivar la mayoría de las veces están

muy relacionadas: la puesta en evidencia de ciertas dificultades (evaluar) puede

provocar, al cabo de cierto tiempo, la producción de mejoramientos (facilitar); la

motivación está dada por la evaluación. (Romo, 2014, pp. 346-347)

Este modelo no es utilizado ampliamente en las investigaciones que se enmarcan en la

TAD, una de las razones que puede explicar esto es que el modelo praxeológico extendido

posibilita el análisis de actividad de modelación matemática en instituciones no

matemáticas. Asimismo, hay quienes pueden afirmar que la noción de praxeología es

suficiente para describir las tecnologías (de diferente naturaleza) que están involucradas en

determinada actividad humana. Desde nuestro punto de vista, este modelo facilita el

análisis de las praxeologías en contextos no matemáticos y permite caracterizar la

44

modelación matemática en dichos contextos, lo que posibilita el diseño de actividades

didácticas auténticas.

Niveles de organizaciones praxeológicas matemáticas

Las matemáticas dentro de la TAD pueden ser modeladas a través de praxeologías

matemáticas u organizaciones matemáticas de diferente nivel y atendiendo a una jerarquía

de niveles de determinación (Chevallard, 2002). Es un modelo de sujeción que la

institución matemática impone a las praxeologías matemáticas: éste reposa sobre una

estructuración que organiza las praxeologías en diferentes niveles anidados en orden

creciente, de acuerdo a su tamaño: puntual, local, regional y global.

El nivel más básico de una organización matemática es el puntual [T/τ/θ/Θ] posee una sola

técnica para realizar el tipo de tareas. El siguiente nivel es el local, que reagrupa todas las

organizaciones matemáticas puntuales asociadas a la misma tecnología θ. El nivel regional

reagrupa todas las organizaciones puntuales asociadas a la misma teoría Θ, el global o el

dominio reagrupa ciertas organizaciones matemáticas regionales, la disciplina es el nivel

superior y reagrupa todos los dominios. En el caso de las matemáticas, éstas constituyen la

disciplina, el análisis, la lógica, la topología y el álgebra, son dominios. El álgebra lineal

sería una organización regional del álgebra, las operaciones sobre matrices podrían

constituir una organización local y una técnica para multiplicar matrices, podría conformar

una organización puntual (dominio 2 –Álgebra- en la Figura 6). Dicho de otra manera, la

institución matemática es vista como una anidación de sub-instituciones, constituida por

organizaciones matemáticas (OM) de diferentes niveles: puntual, local, regional y global.

45

Figura 6. Anidamiento de sub-instituciones de organizaciones matemáticas a diferentes niveles. Tomado de

Romo-Vázquez (2009). Se modificó el nombre de las materias del segundo cuadro, del texto original.

El anidamiento pone en evidencia una cascada de sujeciones pesando sobre una simple

praxeología puntual, asociada a un tipo de tareas T. Así, el hecho de que un tipo de tareas

sea visto como relevante en las matemáticas puede en cierto momento prohibir ciertas

técnicas aceptadas en otras épocas o en otras disciplinas, considerando el estado de la

disciplina en ese momento (validación por medidas en geometría, uso de lenguaje

aproximado en lugar del lenguaje lógico-formal). Por otra parte, este anidamiento también

muestra que para acercarse a las matemáticas como disciplina, es difícil hacerlo a partir de

praxeologías puntuales desconectadas y es necesario al menos considerar una praxeología

local, relativamente completa (Fonseca, 2006).

Co-determinación de lo matemático y lo didáctico

Una vez que se ha mostrado la forma en que la disciplina de las matemáticas puede

modelarse a través de los niveles de determinación de praxeologías matemáticas,

consideramos necesario mostrar el modelo que Chevallard desarrolla con el objetivo de

tomar en cuenta las sujeciones que pesan sobre la organización didáctica del estudio de las

praxeologías. Es decir, la organización didáctica o praxeología didáctica que posibilita la

construcción o reconstrucción de una praxeología. Por ejemplo, es posible generar una

Disciplina: Matemáticas

……

Dominio 1: OM global [Tji/τji/θj/Θk]kji

Sector: OM regional [Tji/τji/θj/Θ]ji

Local: OM local [Ti/τi/θ/Θ]i

Puntual: OM puntual [T/τ/θ/Θ]

Álgebra

Álgebra

Lineal

Operacion

es de

matrices

Multiplic

a-ción de matrices

Sec

Lo

P

Dominio 3

Sec

Lo

P

Sec

Lo

P

46

organización didáctica que posibilite la construcción o reconstrucción de la praxeología

puntual multiplicación de matrices, la cual va a estar determinada por la praxeología

matemática multiplicación de matrices.

Chevallard señala que las organizaciones didácticas no pueden desarrollarse distanciadas

de niveles superiores, dominio y disciplina, pero también recíprocamente que estos niveles

no pueden imponerse sin considerar las condiciones de la institución de enseñanza. Por lo

que resulta una co-determinación de organizaciones matemáticas y didácticas.

[…] cada nivel impone, a un momento dado de la vida del sistema educativo un

conjunto de restricciones y de puntos de apoyo: la ecología que resulta es

determinada a la vez por lo que las restricciones prohíben o impulsan, y por la

explotación que hacen los actores de los puntos de apoyo que los diferentes niveles

les ofrecen. (Chevallard, 2002, p. 49)

Así toda organización didáctica depende en cierta medida de tres niveles superiores que

son la pedagogía, la escuela y la sociedad. Estos tres niveles son introducidos por

Chevallard, señalando que los niveles de la disciplina se sujetan a la pedagogía que impone

cierta escuela en determinada sociedad. Es decir, que si en una escuela se determina que el

aspecto formal de las matemáticas es el que debe ser transmitido, esto se impondrá a través

de cierta pedagogía que va a su vez determinar la forma en que se considere a las

matemáticas (disciplina). La escala de niveles extendida puede esquematizarse de la

siguiente manera:

47

Nivel -2 Sociedad

Nivel -1 Escuela

Nivel 0 Pedagogía

Nivel 1 Disciplina

Nivel 2 Dominio

Nivel 3 Sector

Nivel 2 Local

Nivel 1 Puntual

Este esquema es muy similar al propuesto en Chevallard (2002), aquí además de haberse

traducido al español, en el nivel 2 se colocó local en lugar de tema, que es también una

forma de llamar al nivel local; el tema de sistemas de ecuaciones lineales de dos por dos

podría así por ejemplo corresponderse con una organización local, ya que hay más de una

técnica para encontrar la solución al sistema de ecuaciones en cuestión. El nivel 1 se cambió

de subtema a puntual, ya que una praxeología puntual se podría corresponder, siguiendo

nuestro ejemplo, con un subtema de los sistemas de ecuaciones lineales, al considerar sólo

la resolución de un sistema de dos por dos por la técnica de igualación. Esta escala lo que

señala es que la forma de considerar la disciplina matemática determinará la forma en que

se enseñe determinado tema o subtema, pero esto a su vez estará sujeto a la pedagogía que

impone determinada escuela en determinada sociedad. En esta investigación no se

considera como elemento de estudio los niveles superiores, pedagogía, escuela y sociedad,

pero se reconoce que éstos tienen gran peso en el sistema de enseñanza. Los niveles de

determinación matemática si serán considerados, como se precisa más adelante.

Momentos del proceso de estudio

La construcción o reconstrucción de una praxeología matemática o de modelación

matemática es posible a través de un proceso de estudio. Para describir finamente este

48

proceso de construcción o reconstrucción, la TAD propone un modelo de estudio de una

praxeología matemática puntual. Este modelo distingue seis momentos, que también están

asociados a grupos de actividades. Un momento es una dimensión de la actividad, una fase

en el proceso de estudio, el cual puede aparecer varias veces pero siguiendo una dinámica

global interna. En Chevallard (2002) se presenta el modelo de la siguiente manera:

Grupo I (Actividades de Estudio y de Investigación [AEI])

1. Momento del (primer) encuentro con T;

2. Momento de la exploración de T y de la emergencia de la técnica τ;

3. Momento de la construcción del bloque tecnológico-teórico.

Grupo II (Síntesis)

4. Momento de la institucionalización.

Grupo III (Ejercicios y problemas)

5. Momento del trabajo de la organización matemática (en particular de la técnica).

Grupo IV (Controles)

6. Momento de la evaluación.

1. Momento del primer encuentro con T. Se trata del primer contacto de los

estudiantes con algún componente de la praxeología que está en juego, o con alguna

situación problemática que puede ser respondida o recibir alguna aportación de la

praxeología. El propósito del primer encuentro es concientizar a la comunidad de

estudio sobre la existencia de los componentes de la praxeología, y de las cuestiones

que motivan su construcción y uso, es decir, que son su razón de ser.

2. Momento de la exploración de T y de la emergencia de la técnica τ. Se explora

la situación problemática, se identifica la tarea a resolver, y se construye o plantea

una técnica para resolverla. Se pueden identificar dos etapas: la investigación de

técnicas o mecanismos que puedan solucionar las cuestiones problemáticas, y en la

segunda, se deben abordar los problemas concretos dentro de la tarea y se resuelven

con técnicas matemáticas. En estos dos primeros momentos, el estudiar

49

problemáticas se convierte en el medio que permite construir y poner en práctica una

técnica, la cual se establecerá como el medio de resolución de otras problemáticas

del mismo tipo.

3. Momento de la construcción del bloque tecnológico-teórico. Se constituye la

tecnología y la teoría que sustenta a la técnica o técnicas que se construyen o surgen

durante el proceso de estudio. Se trata de dar respuesta a cuestiones sobre el

funcionamiento, validez y resultados arrojados por la técnica. Estas respuestas

pueden requerir realizar nuevas tareas matemáticas que se integrarán a la praxeología

en estudio.

4. Momento de la institucionalización. En este momento se precisa y formaliza la

praxeología, se definen los elementos que formaron parte de su construcción, y que

ahora forman parte de ella, separándolos de aquellos otros que pudieron haber

participado en el proceso de construcción pero que finalmente no necesitan ser

integrados a la praxeología.

5. Momento del trabajo de la organización matemática (en particular de la

técnica). Este momento se inicia buscando que el estudiante las utilice de manera

rutinaria para así fortalecer su dominio sobre ellas. Es en este proceso que la técnica

puede desarrollarse, arrojando así técnicas relativamente nuevas para la comunidad

de estudio.

6. Momento de la evaluación. Es el momento en que se cuestiona la calidad de los

componentes que conforman la praxeología. La tarea, si está bien definida o si se

asocia a las cuestiones trabajadas. La técnica, si es fiable, si es la más eficiente para

atender la problemática. La tecnología, si justifica de manera adecuada el

funcionamiento y resultados de las técnicas, y más importante aún, si está definida

de manera clara y la información que ofrece permite comprender la técnica de manera

que puedan derivarse o construirse nuevas técnicas. (Chevallard, 1999, pp. 243-246).

50

La formación de ingenieros desde esta perspectiva institucional

En este trabajo existe un interés en reconocer las instituciones involucradas en la formación

de ingenieros y las relaciones que existen entre ellas en torno a la modelación matemática.

En Romo –Vázquez (2009) se reconocen tres tipos de instituciones que participan en una

formación de ingenieros: de producción P, de enseñanza E y prácticas Ip. Las instituciones

de producción son las disciplinas matemáticas P(M) y disciplinas intermediarias P(DI) ya

que producen y validan praxeologías. Las instituciones de enseñanza tienen por objetivo

transmitir y difundir las praxeologías entre aprendices, por ejemplo, la enseñanza de las

matemáticas E(M) y la enseñanza de las disciplinas intermediarias E(DI). Las instituciones

prácticas Ip acogen y norman las actividades prácticas, por lo que las praxeologías son

utilizadas. Las actividades prácticas que tienen lugar en la formación, como el desarrollo

de proyectos o innovaciones Ap se consideran una institución práctica, ya que éstas se

acercan en cierta medida a la práctica profesional. La producción, enseñanza (difusión) y

el uso de praxeologías puede tener lugar en toda institución, la distinción hecha de las

instituciones tiene que ver con la actividad y vocación predominante en éstas. Dentro de

una formación de ingenieros las relaciones que pueden aparecer entre estas instituciones

pueden ser de diferentes tipos. Por ejemplo, una formación de ingenieros muy teórica podrá

tener una cercanía a P(M) y a P(DI) mientras que una formación muy práctica estará más

cerca de Ip. Las praxeologías matemáticas producidas en P(M) y utilizadas en Ap pueden

circular entre las diferentes instituciones de la siguiente manera:

1) De P(M) a P(DI) y luego a E(DI) y finalmente a Ap.

2) De P(M) a E(M) y luego a Ap.

3) De P(M) a E(M) a E(DI) y a Ap. Estos recorridos se esquematizan de la siguiente manera:

P(DI) Ip

P(M)

E(M) E(DI)

Ap

51

Figura 7. Recorridos praxeológicos entre instituciones.

En estos recorridos existen praxeologías que son producidas en P(M) o en P(DI), indicando

que estas instituciones validan las técnicas que permiten resolver tareas de modelación

matemática.

Conclusión

En este capítulo se han presentado elementos de la TAD que permiten enmarcar la presente

investigación. La formación de ingenieros vista a través de instituciones permite analizar

relaciones existentes, rupturas y relaciones potenciales entre los diferentes tipos de

enseñanza. Por ejemplo, es posible señalar que el modelo imperante de las formaciones en

México, la enseñanza de las matemáticas E(M) se concibe como la que dota de

herramientas para poder ingresar a la enseñanza de las disciplinas intermediarias E(DI).

Sin embargo, esta relación puede ser perturbada si las necesidades matemáticas en

determinada E(DI) se modifican o evolucionan.

En esta investigación más allá de analizar las relaciones existentes entre estas instituciones

se pretende generar una relación entre determinada E(DI) y determinada E(M), a partir del

análisis de E(DI). Para ello, será necesario proponer un dispositivo metodológico que

permita identificar estas instituciones dentro del ECITEC, institución formadora de futuros

ingenieros y contexto experimental de esta investigación. El análisis de la institución E(DI)

elegida se hará a través del modelo praxeológico extendido, pretendiendo identificar tanto

las tecnologías teóricas como prácticas. Esto con el objetivo de caracterizar la actividad de

modelación matemática en la E(DI) elegida, susceptible de ser transpuesta hacia una E(M).

La tesis de maestría desarrollada por Echavarría (2016) muestra una relación entre la

institución enseñanza de análisis matricial de estructuras E(AME), que es una E(DI) con la

enseñanza del análisis numérico E(AN), a través de la identificar una cuestión abierta en

E(EM) ¿Se puede construir un programa en computadora que calcule los desplazamientos

y las fuerzas en los elementos de armaduras planas usando el método de la rigidez? Esta

52

pregunta dio origen a un dispositivo didáctico, también definido dentro de la TAD,

conocido como Recorrido de Estudio y de Investigación.

En sintonía con el trabajo de Echavarría (2016), en esta investigación se pretende diseñar

una AEI que posibilite a los estudiantes transitar por los tres primeros momentos del

estudio de una praxeología local de modelación matemática:

1. Momento del (primer) encuentro con T;

2. Momento de la exploración de T y de la emergencia de la técnica τ;

3. Momento de la construcción del bloque tecnológico-teórico.

Para el diseño de esta AEI, se utilizará la metodología propuesta inicialmente en Macias

(2012) que se precisa en el capítulo 3.

De la misma manera, se pretende que la relación entre E(DI) y E(M) esté determinada tanto

por el diseño de la AEI como por la forma de implementarla. Para ello, resulta necesario

considerar una organización de implementación que involucre a estudiantes que estén

inscritos en E(DI) y estudiantes que estén inscritos en E(M), lo que supone analizar las

condiciones y restricciones de la institución educativa elegida, el ECITEC.

53

Capítulo 3. Metodología para el

diseño de la actividad de Estudio y de

Investigación (AEI) basada en

modelación matemática

3 Capítulo 3. Metodología para el diseño de la Actividad de

Estudio y de Investigación (AEI) basada en modelación

matemática

Introducción

En este capítulo se presenta la metodología para el diseño de actividades didácticas basadas

en modelación matemática, que consta de cuatro fases, la cual fue propuesta inicialmente

por Macias (2012) y desde entonces se ha venido refinando como puede verse en Patricio

(2016) y en Guzmán (2016). Con el objetivo de mostrar la forma en que esta metodología

ha sido considerada en este trabajo de investigación, primeramente se presenta la

metodología propuesta en Macias (2012). Esto permite en un segundo momento mostrar

cómo cada una de las fases se adaptó para lograr el objetivo principal de este trabajo de

investigación, que es el diseño e implementación de una AEI, que involucre elementos de

una institución de enseñanza de disciplinas intermediarias.

54

La fase 1 de la metodología, antes mencionada, es la elección de un contexto extra-

matemático para analizar praxeologías de modelación matemática, susceptibles de ser

transpuestas a la enseñanza de las matemáticas E(M). Esta fase resulta primordial, ya que

en esta investigación la elección adecuada de una institución de enseñanza de las

disciplinas intermediarias E(DI) es crucial para establecer una relación con una institución

de enseñanza de las matemáticas E(M). Es por ello, que dicha fase se compone de varios

elementos metodológicos: entrevista al coordinador de la carrera de ingeniería mecánica,

encuesta a docentes y estudiantes de las carreras de ingeniería, para conocer si las

matemáticas enseñadas en los primeros años universitarios (etapa básica) de la carrera de

ingeniería, permiten cursar exitosamente las asignaturas de la etapa terminal de sus

respectivas carreras. Asimismo, se hizo una observación de una clase de mecánica

estructural de materiales compuestos y se trabajó con un experto investigador en esta área,

para confirmar que la elección de esta institución posibilitaba generar una relación con el

álgebra lineal.

Posteriormente, se seleccionó un reporte técnico sobre materiales compuestos (Nettles,

1994) y se realizó un análisis praxeológico, particularmente sobre los materiales

compuestos laminados, identificándose tipos de tareas, técnicas y tecnologías. Este análisis

evidenció que elementos del álgebra lineal, como las matrices simétricas, funcionaban

como modelos matemáticos. A partir de este análisis y del trabajo con el experto en

materiales compuestos se diseñó una AEI, en la que se pide el diseño y construcción de

una Rampa Terapéutica Sensorial para ayudar a niños con problemas de marcha entre los

3 y los 10 años. Se presentan a continuación los elementos metodológicos utilizados para

diseñar esta AEI e implementarla en la Escuela de Ciencias de Ingeniería y Tecnología de

la Universidad Autónoma de Baja California (ECITEC-UABC).

Metodología para el diseño de actividades didácticas de modelación

matemática

La metodología para el diseño de actividades didácticas basadas en modelación

matemática, surgió en la investigación de maestría (Macias, 2012) con el objetivo de

analizar problemas ingenieriles reales, que fueran susceptibles de transponerse al aula. En

dicho trabajo se escogió trabajar con un modelo de Bioingeniería en donde se analizó el

55

método de separación ciega de fuentes (BSS, por sus siglas en inglés), con la mira de

reconocer necesidades matemáticas que pudieran ser consideradas en la formación básica

de ingenieros. Esta metodología se ha ido refinando desde entonces hasta ahora (Patricio

2016 y Guzmán 2016). El interés de utilizar esta metodología, es que en esta investigación

se pretende diseñar una Actividad de Estudio de Investigación (AEI). La metodología se

compone de cuatro fases, que se enuncian a continuación:

Fase 1. Elección de un contexto extra-matemático,

Fase 2. Análisis praxeológico e identificación de un modelo matemático,

Fase 3. Análisis del modelo matemático identificado y su relación con E(M),

Fase 4. Diseño de la actividad didáctica para E(M).

Fase 1. Elección del contexto extra-matemático

Primeramente, es necesario reconocer el nivel educativo en el que esta enseñanza

tendrá lugar y posteriormente los contextos de uso de esa matemática. Por ejemplo,

si consideramos la formación de ingenieros, los contextos naturales de uso son la

formación de especialidad E(DI) y la práctica profesional Ip. Entonces deberán

identificarse algunas de estas instituciones (resistencia de materiales, teoría de

control, estructura de datos) que son macro y pueden contener varias sub-

instituciones para analizar la actividad de modelación que ahí tiene lugar. La elección

de este contexto debe basarse en un acercamiento a la institución o sub-institución a

través de entrevistas con alguno(s) de sus sujetos (profesores, usuarios expertos,

investigadores), revisión de documentos (sugeridos por los sujetos antes

mencionados o una búsqueda personal) así como visitas que permitan identificar el

tipo de actividad matemática y de modelación que ahí se tienen. En particular, debe

analizarse si los modelos matemáticos identificados en el uso corresponden a los que

son enseñados en E(M). Por ejemplo, funciones, vectores, matrices, optimización

matemática, ecuaciones diferenciales, etc. Esto permitirá determinar que el contexto

elegido es propicio para basar en su análisis el diseño de la actividad didáctica

(Macias, 2012, p. 22).

56

Fase 2. Análisis praxeológico e identificación de un modelo matemático

Las actividades de modelación en el contexto extra-matemático pueden estar

conformadas por praxeologías matemáticas o praxeologías mixtas.

Una praxeología matemática está compuesta por una tarea matemática (consigna),

que se resuelve a través de una técnica matemática (manera de hacer/procedimiento),

justificada por una tecnología matemática (lo que valida la manera de hacer) y ésta a

su vez por una teoría matemática (que valida de manera más general la tecnología y

por tanto la técnica).

Una praxeología mixta puede contener elementos matemáticos y no matemáticos.

Por ejemplo, una tarea no matemática resuelta a través de una técnica matemática, lo

que requerirá tanto de validaciones matemáticas como de validaciones no

matemáticas, de tipo experimental por ejemplo validaciones relacionadas al contexto

en el que se inscribe la tarea. La componente tecnológica

(justificación/explicación/validación) podrá ser teórica θth o práctica θp.

Dependiendo del tipo de praxeologías podrá explicitarse la componente teoría Θ

relacionada a la tecnología teórica, la cual será una teoría de la disciplina matemática

o bien de la matemática escolar. Asimismo, dependiendo del tipo de tarea y del

contexto que la produce habrá una instancia, no exactamente teórica (suficientemente

estable para producir tecnologías, pero no a un nivel teórico formal como el de una

disciplina científica), que valide de manera más general la tecnología práctica. Todas

las componentes de una praxeología son igual de importantes y permiten el análisis

de la actividad. Es decir, se asume que utilizar cierta técnica para realizar

determinada tarea, tiene que ver tanto con la naturaleza de la tarea como con las

técnicas disponibles para realizarla. Las justificaciones de la técnica serán provistas

por el contexto en el que se realiza y éstas serán a su vez sustentadas por

justificaciones más generales. Asumimos por tanto que los tipos de tareas propuestos

son determinantes en el uso que se haga de los modelos matemáticos. Describimos a

continuación dos tipos de tareas que consideramos pueden solicitar del uso de

modelos matemáticos (Macias, 2012, pp. 22-23).

57

Caracterización de tipo de tareas

o Tareas matemáticas

Las tareas matemáticas son consignas que solicitan el uso de una técnica (resolución) y una

validación matemática.

Por ejemplo: Multiplicar las matrices 𝐴𝑚×𝑛 y 𝐵𝑛×𝑠 para el caso específico de 𝑚 = 2, 𝑛 =

2 y s = 1

A = (a11 a12

a21 a22), B = (

𝑏11

𝑏21)

La técnica para resolver esta tarea consiste en revisar las dimensiones de la matriz y

verificar que la cantidad de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones

de la segunda matriz (tecnología).

o Tareas no matemáticas

En este tipo de tareas la consigna no es matemática, por tanto puede requerir o no el uso de

una técnica matemática para realizarla.

Algunos ejemplos de tareas no matemáticas: preparar café, ejecutar un tiro libre en el juego

de basquetbol, realizar una abdominal. Analicemos brevemente el ejemplo de la tarea

preparar café, dos técnicas posibles para realizarla serían:

Primero se tendría que identificar si el café que se desea hacer es de grano, para

cafetera o soluble (instantáneo)

Técnica 1 (Para café de grano (cafetera) Técnica 2 (Para café soluble (instantáneo))

Colocar filtro en la cafetera Poner agua a hervir

Agregarle agua equivalente al número de

tazas que se quieran preparar

Colocar el agua en una taza

Colocar dos cucharadas de café por el

número de tazas que se van a preparar

Agregar dos cucharadas de café soluble a

la taza con agua hervida

58

Encender la cafetera Agitar el café con el agua hasta

homogeneizar la mezcla

Las dos técnicas funcionan pues permiten realizar la tarea, aquí realmente depende de la

preferencia del sujeto que realice la tarea, probablemente es conocedor de café por tanto

escogerá la técnica 1, pero si no acostumbra tomar café lo más probable es que escoja la

técnica 2 por practicidad.

o Tareas matemáticas en contextos extra-matemáticos

En este tipo de tareas aparecen en un contexto extra-matemático y pueden requerir de una

técnica matemática para su resolución, aunque esto no aparezca explícitamente. Por tanto,

se requiere de un entendimiento del contexto para reconocer que una técnica matemática

permite resolver la tarea en cuestión. Dicho de otra manera, se requerirá una adaptación de

la técnica matemática para realizar este tipo de tarea, lo cual exigirá conocimientos de la

técnica, del tipo de tarea y del contexto en que se propone.

Algunos ejemplos de este tipo de tareas son: simular la resistencia de un ala de avión o

modelar el lanzamiento de una pelota de béisbol o bien modelar el cruce de una calle. Una

vez identificado el modelo matemático (o los modelos matemáticos) y su relación con E(M)

se procede a hacer un análisis praxeológico más profundo.

Fase 3. Análisis del modelo matemático identificado y su relación con E(M)

Se identifica un modelo matemático en uso que también sea enseñado en E(M) y se

analiza a través de las funciones de la tecnología práctica: describir, validar, explicar,

facilitar, motivar y evaluar. Describir el modelo en uso permitirá evidenciar las

razones relativas al contexto por las cuales dicho modelo se ha elegido para resolver

tareas del contexto extra-matemático. Identificar los elementos que validan el uso del

modelo y en qué condiciones, permitirá comprender qué elementos contextuales

deben considerarse en el diseño de las actividades didácticas. Por ejemplo, muchos

de los modelos matemáticos se usan en condiciones “ideales”, lo que permite resolver

ciertas tareas con mayor facilidad, requiriendo luego la adaptación de las soluciones

obtenidas a la realidad. Dicha adaptación se hace en base a ciertos elementos que la

validan. Reconocer las explicaciones del uso, permite saber qué representa cada

59

elemento del modelo, en qué medida el modelo utilizado permite modelar el contexto

(o parte de éste). Analizar los elementos que facilitan el uso del modelo evidenciará

el proceso de modelación matemática, en el cual no sólo importa que el modelo

matemático permita resolver un problema del contexto extra-matemático sino que

esa resolución sea la menos compleja. Poner en evidencia qué motiva el uso del

modelo es una fase medular para el diseño de las actividades didácticas. Este análisis

de uso debe complementarse con uno didáctico sobre el modelo en el contexto de su

enseñanza (Macias, 2012, p. 24).

Fase 4. Diseño de la actividad didáctica

El diseño de la actividad didáctica debe basarse tanto en el análisis praxeológico de

uso como en el del modelo matemático identificado. Es decir, es necesario reconocer

las praxeologías de uso y de enseñanza para poder ver las relaciones entre éstas.

Elegir los tipos de tareas que, proviniendo del uso, pueden ser adaptados para ser un

tipo de tarea escolar. Por ejemplo, estudiar el comportamiento de una señal continua,

determinar el costo total de un inventario, calcular la inversa de una matriz de mezcla.

Estos tipos de tarea solicitan técnicas matemáticas que pueden ser escolares, pero

también de uso, las tecnologías matemáticas y no matemáticas tendrán que ponerse

a disposición para que los estudiantes puedan validarlas. En particular, las

tecnologías de uso tendrán que ser presentadas en los primeros cursos universitarios.

El objetivo de las actividades didácticas debe orientar el tipo de praxeologías que

figuren en la actividad, ya sea construir, movilizar o buscar conocimientos.

Convendría que el diseño de la actividad pudiera ser evaluado por un usuario experto

del modelo, esto permitiría validar las adaptaciones de las praxeologías de uso

(Macias, 2012, pp. 24-25).

Refinamiento de la metodología para el diseño de la AEI

Para esta investigación se consideraron las cuatro fases de la metodología antes presentada,

pero con dispositivos metodológicos particulares, como se detalla a continuación.

Para la primera fase, elección del contexto extra matemático, se realizó una entrevista con

el coordinador de la carrera de ingeniería mecánica, en donde se manifestó que los

60

estudiantes de séptimo semestre tenían dificultades en la materia de mecánica estructural

de materiales compuestos, ya que no recordaban álgebra lineal. Esta asignatura matemática

se considera necesaria para cursar la materia de mecánica estructural de materiales

compuestos, ya que algunos elementos del álgebra lineal son utilizados como una

herramienta para la resolución del modelo de esfuerzos.

Dentro de la entrevista, el coordinador mencionó que la asignatura de diseño de estructuras

de aeronaves, que es de la carrera de ingeniería aeroespacial, también se experimentaba la

misma situación problemática. Por lo que se consideró, primeramente, hacer un análisis

praxeológico del modelo de esfuerzos, que era parte tanto de la materia de mecánica

estructural de materiales compuestos como la de diseño de estructuras de aeronaves.

Se decidió encuestar a los maestros de las asignaturas para saber si ellos coincidían con la

apreciación del coordinador o diferían. A partir de la entrevista al coordinador y de las

encuestas aplicadas a los profesores, se determinó que la institución E(DI) sería la

asignatura de mecánica estructural de materiales compuestos y el modelo matemático para

calcular esfuerzos de materiales compuestos (Laminados) el objeto de análisis.

En la fase 2, se hizo el análisis de la mecánica estructural de materiales compuestos y en

particular de los materiales compuestos laminados a partir de un reporte técnico (Nettles,

1994). Así, se encontró una praxeología mixta, el tipo de tarea: calcular el módulo de

elasticidad aparente del laminado en la dirección X y en la dirección Y, no es matemático,

pero requiere de una técnica matemática, enseñada en la asignatura de álgebra lineal

(operaciones con matrices y uso de la matriz como modelo matemático), institución de

enseñanza matemática E(M). Las tecnologías 𝜃 asociadas a la praxeología mixta son, 𝜃1:

La ley de Hooke para laminados (material compuesto) ya que posibilita la construcción de

la matriz de rigidez de una lámina en los ejes materiales, después construir la matriz de

rigidez en las diferentes direcciones del laminado y por último la matriz de rigidez en la

tensión plana del laminado y 𝜃2: elementos del álgebra lineal posibilitan la resolución del

modelo planteado en la ley de Hooke mediante la normalización de la matriz de rigidez en

la tensión plana del laminado y mediante operaciones con matrices. Esto, para un sistema

de dos ecuaciones con dos incógnitas.

61

En la tercera fase se hace el análisis del modelo matemático matricial identificado en el

cálculo de esfuerzos, considerando el libro de texto de álgebra lineal (Grossman y Flores-

Godoy, 2012), el cual es uno de los libros más utilizados en el ECITEC para este curso.

Esto permite elucidar una posible relación entre la mecánica estructural de materiales

compuestos E(DI) y el álgebra lineal E(M).

En la cuarta fase se genera la AEI, que consiste en el diseño y construcción de una Rampa

Terapéutica Sensorial para ayudar a niños con problemas de marcha, con edades de entre

3 y 10 años.

Fase 1. Identificación del contexto extra-matemático: mecánica estructural

de materiales compuestos E(DI)

Con el objetivo de elegir un contexto extra-matemático propicio para el diseño de una

secuencia didáctica, susceptible de implementarse en la enseñanza de las matemáticas de

los primeros semestres universitarios (primero, segundo y tercero), varios elementos fueron

considerados y se enlistan a continuación:

Diseño de una encuesta, dirigida a docentes y a estudiantes, sobre las necesidades

matemáticas de los ingenieros en formación basada en el análisis bibliográfico

presentado en el capítulo 1;

Realización de entrevista al coordinador de la carrera de ingeniería mecánica;

Acercamiento a dos profesores de especialidad, que imparten la materia de

mecánica estructural de materiales compuestos.

Análisis de la mecánica estructural de materiales compuestos a través de

observación de clase y análisis de documentos.

A continuación, se describen cada uno de los elementos mencionados.

3.3.1.1 Encuesta sobre necesidades matemáticas de los ingenieros en formación para

docentes

Se realizó una encuesta a docentes que imparten materias de enseñanza de disciplinas

intermediarias, para conocer cómo se tomaban en cuenta las necesidades matemáticas de

62

las carreras de especialidad. La encuesta se conformó de 13 preguntas, inspiradas en el

análisis bibliográfico presentado en el capítulo 1, como se detalla a continuación.

La primera y segunda preguntas tienen como objetivo confirmar que el profesor encuestado

imparte al menos una asignatura en la formación de especialidad E(DI), conocida en la

Universidad Autónoma de Baja California, como formación de carrera. Así como saber

cuáles son las asignaturas a su cargo.

1. ¿Impartes materias en carrera?

a) Sí b) no

2. ¿Cuáles son?

1. 4.

2. 5.

3. 6.

La tercera pregunta tuvo por objetivo conocer el rol que es dado a los conocimientos y a

las técnicas matemáticas. La palabra “utilizas” asocia un rol a estos conocimientos en la

impartición de la asignatura, pero se reconoce que bien pudo haberse dicho: “enseñas o

utilizas matemáticas” o bien “hay matemáticas”, “las matemáticas aparecen”. Esto se

tendrá en cuenta en el análisis de las respuestas.

3. ¿En alguna de las asignaturas que impartes en carrera utilizas matemáticas?

a) Sí b) no

En base a las investigaciones analizadas (Kent y Noss, 2002 y Bisell 2004) se sabe que

existe una dificultad para reconocer las matemáticas en uso. Es por ello, que en las

preguntas 4, 5, 6 y 7 se han especificado ciertos elementos matemáticos que pueden ayudar

al profesor a reconocer y señalar las matemáticas que están presentes en su enseñanza.

4. ¿En tus clases utilizas funciones o representaciones gráficas?

5. ¿En los cálculos que presentas en tus clases aparecen derivadas o integrales?

63

6. ¿En los cálculos que presentas en tus clases aparecen elementos de álgebra lineal,

como matrices o vectores?

7. ¿En tus clases al momento de resolver ejercicios aparecen operaciones de álgebra

lineal como, suma de matrices, multiplicación de matrices, transpuesta de una

matriz, otras (especifica)?

En la investigación de Kent (2007) se caracteriza a la literatura que es necesaria para

laborar en lugares donde la tecnología informática tiene una fuerte presencia, como tecno-

matemática. Por esta razón, se hizo la pregunta 8 centrada en conocer el uso de programas

computacionales en clases, para resolver las tareas o proyectos propuestos dentro de la

asignatura o bien para brindar un entrenamiento más completo a los estudian y prepararlos

para que puedan laborar en lugares que estén altamente automatizados.

8. ¿En las asignaturas que impartes utilizas algún programa computacional para

realizar operaciones matemáticas? ¿Cuál?

En la investigación de Pollak (1988), se menciona que la modelación matemática puede

constituir el nuevo paradigma de formación de futuros ingenieros, por lo que en la pregunta

9 se busca conocer qué tanto este paradigma es utilizado.

9. ¿Has utilizado o adaptado algún modelo matemático en cualquiera de tus cursos?

¿Cuál y para qué?

En la investigación de Bissell (2012) y Dillon (2012) se analizaron herramientas

sofisticadas las cuales las denominaron como metalenguajes y fueron desarrolladas por

ingenieros para eliminar el uso de las matemáticas en ciertas tareas. Es por ello, que en las

preguntas 10, 11, 12 y 13 se presentan algunos de estos metalenguajes que pueden ayudar

al profesor a reconocer y presentar las matemáticas que se encuentran en ciertos procesos

de la industria.

10. ¿Has utilizado alguno de los siguientes elementos?

a) Diagrama de Nichols

Función de transferencia

64

𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)

Función de transferencia-loop

𝑀(𝑠) =𝐺(𝑠)

(1 + 𝐺(𝑠))

b) Diagrama de Bode

c) Diagrama de Nyquist

65

11. ¿Para qué los has utilizado?

12. ¿Por qué son útiles?

13. ¿Consideras que entre estos elementos y las matemáticas existe alguna relación?

Análisis de las respuestas de los docentes

Sin hacer un análisis muy detallado se observó que los 22 docentes encuestados que

imparten asignaturas de la especialidad en segundo, tercero, quinto y séptimo semestre

utilizan matemáticas en sus asignaturas de carrera, ya sea elementos de cálculo, de álgebra

lineal, de geometría entre otras. A continuación, se presenta un análisis de algunas de las

preguntas.

El 92% de los maestros encuestados utilizan en sus clases matrices, esto indica que el

álgebra lineal es una herramienta muy importante para la formación de ingenieros. Los

profesores que utilizan metalenguajes son el 22% y el 78% restante no tienen idea para qué

sirven o nunca los han visto, ya que ellos no trabajan con las unidades de aprendizaje de

control automático que son donde están inmersos estos instrumentos matemáticos. Se

podría pensar que el 100% de los profesores utilizan programas computacionales en sus

clases, pero la realidad es que sólo el 58% de ellos los utilizan. El programa computacional

más empleado en formación de carrera (formación de ingenieros), es Matlab.

3.3.1.2 Encuesta sobre necesidades matemáticas de los ingenieros en formación para

estudiantes

Se consideró hacer una encuesta dirigida a los estudiantes, para conocer si ellos reconocen

que están (o no) utilizando matemáticas en sus asignaturas de carrera. De la misma manera,

que la encuesta para profesores, ésta se basó en el análisis bibliográfico presentado en el

capítulo 1.

66

El primer enunciado de la encuesta que solicita información y la segunda pregunta tienen

como objetivo conocer las asignaturas en la formación de especialidad E(DI), que el

estudiante considera de mayor importancia en su formación.

1. Menciona algunas asignaturas que hayas cursado en tu carrera

2. ¿Cuál de estas asignaturas te ha parecido la más importante, y por qué?

En esta pregunta el estudiante tendrá que identificar cuáles son las intersecciones entre las

E(M) y E(DI) dependiendo de las que haya seleccionado, y si es que seleccionó alguna

E(M).

3. ¿Existen relaciones entre las asignaturas mencionadas en (1), cuáles y cómo se

pueden identificar?

Las preguntas 4, 5, 6, 7, 8, están diseñadas para ayudar a los estudiantes a identificar en

qué asignaturas utilizan matemáticas, desglosándoles elementos de las matemáticas para

que se les resultara más fácil identificarlas.

4. ¿Has realizado cálculos en tu formación? ¿De qué tipo?

5. ¿Has utilizado funciones, representaciones gráficas?

6. ¿Aparecen derivadas o integrales?

7. ¿Aparecen elementos del álgebra lineal, como vectores o matrices?

8. ¿Aparecen operaciones de álgebra lineal como suma de matrices, multiplicación de

matrices, transpuesta de una matriz, otras (especifica)?

En las investigaciones de Kent (2007), Hoyles (2010) y Hoyles (2013) reconocen cierta

literatura como tecno-matemática, muy necesaria en lugares de trabajo donde la tecnología

informática tiene fuerte presencia. Es por esta razón que esta pregunta se centra en conocer

si en la formación se utilizan programas computacionales y para hacer qué, únicamente

para hacer operaciones o si juegan un rol más importante dentro de los cálculos de la

materia.

9. ¿Utilizas algún programa computacional para realizar operaciones matemáticas?

¿Cuál(es) programa(s)? ¿En qué actividades resulta primordial su uso?

67

En el trabajo de Kent y Noss (2002) se investiga sobre una compañía de ingeniería civil,

algunas respuestas que obtuvieron al encuestar a los ingenieros fue que “Después de

egresar de la universidad no usas las matemáticas que te enseñaron, lo más complicado que

se hace es elevar al cuadrado o al cubo” (Kent y Noss, 2002, p. 1). Consideramos

importante conocer si ellos identifican a las matemáticas como una herramienta o como

una asignatura la cual tienen que acreditar para poderse graduar.

10. ¿Los cursos de matemáticas te han resultado útiles para otros cursos? ¿Para cuáles?

Esta pregunta nos sirve para identificar si los alumnos consideran a las E(M) o E(DI) como

materias útiles en su formación de ingenieros.

11. ¿Qué curso de la licenciatura consideras que ha sido el más útil hasta ahora?

En la investigación de Pollak (1988), se menciona que la modelación matemática es un

nuevo paradigma en la formación de ingenieros, por lo que esta pregunta permitirá conocer

si los estudiantes, ya lo identifican como su paradigma de formación.

12. ¿Has utilizado o adaptado algún modelo matemático? ¿Cuál y para qué?

En la investigación de Bissell (2012) y Dillon (2012) se analizaron herramientas

sofisticadas denominadas como metalenguajes y fueron desarrolladas por ingenieros para

eliminar el uso de las matemáticas en ciertas tareas. Es por ello, que en las preguntas 13,

13, 14, 15 y 16 se presentan algunos de estos metalenguajes que pueden ayudar al

estudiante a identificar las matemáticas que se encuentran en ciertas técnicas enseñadas en

la formación de carrera. Los estudiantes de 3ro. Y 5to. no identificaron los diagramas ya

estos los estudian en materias de control posteriores a su semestre, los estudiantes de 6to.

y 7mo., identificaron los diagramas, mencionando que les sirve para resolver problemas de

señales y si tienen relación con matemáticas por que la gráfica es la solución general y

pueden revisar su respuesta.

13. ¿Has utilizado alguno de los siguientes elementos?

a) Diagrama de Nichols

68

Función de transferencia

𝐺(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)

Función de transferencia-loop

𝑀(𝑠) =𝐺(𝑠)

(1 + 𝐺(𝑠))

b) Diagrama de Bode

69

c) Diagrama de Nyquist

14. ¿Para qué los has utilizado?

15. ¿Por qué son útiles?

16. ¿Consideras que entre estos elementos y las matemáticas existe alguna relación?

Resultados de la encuesta a estudiantes

Los resultados de la encuesta aplicada a 120 estudiantes que cursaban segundo, tercero,

quinto y séptimo semestre, a partir de un análisis muy elemental, indican que las

asignaturas más útiles para los estudiantes son álgebra lineal y cálculo, sin especificar si se

refieren al cálculo diferencial e integral o a cálculo multivariable. Por otro lado, coincidió

con la encuesta de los docentes que el programa computacional más utilizado es Matlab.

El 54% de los estudiantes dijeron que habían trabajado con modelos matemáticos y

precisan algunos de los modelos vistos en la asignatura de ecuaciones diferenciales como

son: Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton, mezclas, circuitos, caída libre, tiro

parabólico y principio de Bernoulli, el último no es de la materia de ecuaciones

diferenciales. Los estudiantes sólo expresan los modelos matemáticos por el nombre, no

escriben la expresión matemática. Se podría decir que los estudiantes no perciben una

relación entre las materias de matemáticas con las asignaturas de carrera, ya que, si ellos

ven en clases la ley de Hooke, no la relacionan como modelo matemático, porque para ellos

ésta pertenece a una asignatura de física.

70

En la primera pregunta los estudiantes encuestados de tercer y quinto semestre mencionan

las materias de cálculo, pero no especifican si es diferencial, integral o multivariable y

ecuaciones diferenciales. Los estudiantes de sexto y séptimo mencionan la materia de

control, sin especificar si se trata de control moderno o clásico y ecuaciones diferenciales,

esto es porque son las últimas materias que han cursado. Para la segunda pregunta los de

tercero y quinto mencionan cálculo, ya que es la materia que necesitan para la asignatura

de ecuaciones diferenciales, los estudiantes de sexto y séptimo escriben que las asignaturas

importantes son álgebra lineal, cálculo ya que éstas las necesitan para resolver problemas

de la materia de mecánica estructural de materiales compuestos.

3.3.1.3 Entrevista al coordinador de la carrera de mecánica

Se entrevistó al coordinador de la carrera de mecánica, en la plática él mencionó que una

de las materias con mayores problemas en su enseñanza es la de Mecánica Estructural de

Materiales Compuestos (MEMC), ya que a los estudiantes se les tiene que recordar cómo

hacer operaciones con matrices. Esto, debido a que los estudiantes tendrán que utilizar un

programa computacional para calcular esfuerzos en sistemas de resortes y barras, con

matrices muy grandes. Se le preguntó si existen otras materias, para las cuales las

operaciones con matrices resulten igual de importantes, él comentó que la materia de

Diseño de Estructuras de Aeronaves (DEA), la cual forma parte de la currícula de la carrera

de ingeniería aeroespacial; ambas asignaturas se imparten en el mismo semestre (séptimo).

Así, esta entrevista permitió identificar estas dos asignaturas, considerando importante

tener un encuentro con profesores que las imparten y poder conocer qué necesidades

matemáticas reconocen ellos en su enseñanza.

3.3.1.4 Acercamiento a profesores que imparten MEMC y DEA

El siguiente paso fue contactar a los maestros de las asignaturas de MEMC y DEA, al no

obtener respuesta del maestro de la materia de MEMC se acudió con el maestro de la

materia de DEA. Al conversar con él, se le comentó que había interés en conocer qué tipo

de ejercicios resuelven los alumnos y con qué problemas o dificultades se enfrentan, saber

si ¿los estudiantes recuerdan los procedimientos u operaciones de las materias anteriores?

¿Recuerdan cómo multiplicar matrices? ¿Qué materias de tronco común necesitan recordar

para cursar con éxito la asignatura de DEA? Él propuso, permitir la observación de una de

71

sus clases, para que se pudiera conocer la dinámica de la clase, los tipos de ejercicios que

resolvían los estudiantes, sus dificultades y las técnicas matemáticas utilizadas.

En la clase de la materia de DEA, que se analizó, el profesor presentó una tarea de cálculo

de esfuerzos en un tren de aterrizaje de tres barras, dando como datos los nodos, Nodo1

(0,0,0), Nodo2 (−1,0,0.8), Nodo3 (0.6,0.2, 0.8), Nodo4 (0.6, −0.2,0.8) y el diagrama de

barras que forma el tren de aterrizaje, el cual se presenta en la Figura 8.

Figura 8. Diagrama de barras para un tren de aterrizaje de tres barras.

La clase se inició planteando el problema, “Calcular los esfuerzos de un tren de aterrizaje

de tres barras”, se inició identificando los elementos de conexión

Elementos Conexión

1 1 - 2

2 1 - 4

3 1 - 3

Inmediatamente después, se calcularon los cosenos directores de los tres elementos y se

empezaron a construir las matrices de rigidez, una por cada elemento, las cuales son

matrices simétricas. Como el tren de aterrizaje consta de tres barras que sostienen una rueda

nos queda una matriz de 6 × 6 para un elemento (una barra). Se hace lo mismo para los

otros dos elementos por lo que al final nos quedan tres matrices de 6 × 6, las cuales nos

van a servir para construir la matriz global que es con la que se pueden determinar los

2

3

4

1

72

esfuerzos, ésta tiene la dimensión de 12 × 12, multiplicando la matriz global por la matriz

de deformación para calcular los esfuerzos del tren de aterrizaje.

Esta observación de clase permitió identificar la matriz de rigidez como un modelo

matemático. Eso llevó a considerar que era necesario hacer un análisis del libro de texto

utilizado para esta clase, que permitiera identificar al menos una praxeología local, donde

este modelo fuera la componente tecnológica y su viabilidad para ser base de un diseño

didáctico.

Fase 2. Análisis de mecánica estructural de materiales compuestos E(DI)

Las asignaturas de Mecánica Estructural de Materiales Compuestos (MEMC), y Diseño de

Estructuras de Aeronaves (DEA) son las que se revelaron en las entrevistas con los

profesores, como asignaturas cuyo análisis puede permitir dar cuenta de la forma en la que

la modelación matemática tiene lugar en estas E(DI). Dichas asignaturas son parte de las

formaciones en Ingeniería Aeroespacial e Ingeniería Mecánica que se imparten en el

ECITEC. Considerando el esquema de las instituciones que participan en la formación de

ingenieros (presentado en el capítulo 2) es posible esquematizar las instituciones que

consideramos en esta investigación de la siguiente manera:

Figura 9. Instituciones de enseñanza elegidas para el diseño de la AEI y sus posibles relaciones con otras

instituciones que participan en la formación de ingenieros.

Para un primer análisis de las E(DI), Mecánica Estructural de Materiales Compuestos y

Diseño de Estructuras de Aeronaves se consideraron los libros de texto, sugeridos por los

profesores que enseñan dichas asignaturas. Para Mecánica Estructural de Materiales

P(DI) Ip

P(M)

E(M) Álgebra lineal E(DI) Mecánica Estructural de

Materiales Compuestos

73

Compuestos: se utilizó Ciencia e Ingeniería de los Materiales de Azkeland y Phulé (2004),

e Introduction to Composite Materials Design de Barbero (2011). Y para Diseño de

estructuras de aeronaves la siguiente referencia: A First Course in the Finite Element

Method de Logan (2004).

De la misma manera, se realizó un trabajo colaborativo con los profesores responsables de

los cursos, entrevistas, resolución conjunta de ejercicios y descripción de las elecciones

didácticas efectuadas para su enseñanza. Para complementar este trabajo se realizaron

observaciones de clase con el objetivo de apreciar la propuesta didáctica en

funcionamiento, la actividad de los estudiantes, sus dificultades o cuestionamientos. Todo

este trabajo permitió la elección de los materiales compuestos laminados como contexto

que debía estudiarse con mayor profundidad. Así, el análisis praxeológico del libro de

Nettles (1994) es el que constituye la base del diseño de la AEI y se presenta en el capítulo

4.

Trabajo con el experto en materiales compuestos

Por último, se trabajó con un investigador experto en el área de materiales compuestos. Se

tuvieron varias reuniones de manera personal y otras por correo electrónico. Se le señaló

que se estaba en búsqueda de analizar un modelo matemático que se utilizara en la industria

pero que también fuera objeto de enseñanza, por ejemplo, de la clase de mecánica

estructural de materiales compuestos. El experto mencionó que los materiales compuestos

laminados muy utilizados en la industria, podían ser construidos por los mismos

estudiantes, requiriendo del cálculo de esfuerzos y del modelo matemático de la ley de

Hooke para materiales compuestos Laminados. Aunque, también reconoció dificultades

que los estudiantes llegan a tener al trabajar con estos materiales:

Los estudiantes generalmente tienen problemas para hacer los cálculos matriciales

asociados al análisis de esfuerzos, lo que resulta “problemático” ya que estos

materiales son objeto de estudio en los laboratorios de investigación, en particular

las formas en que es posible modificar su estructura, lo que se conoce como

caracterización de materiales, lo que permite hacerlos todavía más óptimos.

(Discurso del experto)

74

Por otra parte, el experto aseguró que estos materiales tienen ventaja sobre muchos

materiales que son objeto de enseñanza, debido a sus características y a que el cálculo de

esfuerzos y deformación atienden a modelos matemáticos “más” sencillos de manipular.

Asimismo, aseguró que los estudiantes son capaces de construir materiales compuestos

laminados y que solicitar esta tarea, requería un trabajo sobre el modelo matemático que

permite asegurar que éstos soportarán determinado peso sin romperse.

A continuación, se presentan otras observaciones que hizo el experto:

Los materiales compuestos laminados presentan grandes ventajas comparativas con

respecto al uso de materiales metálicos: mejor relación resistencia/peso, mayor

rigidez y resistencia específica, además que se pueden construir piezas grandes y

complejas sin ensambles. La expansión del uso de los materiales compuestos se ha

limitado por el desconocimiento de su comportamiento mecánico bajo condiciones

particulares de cargas, ya que no existen modelos matemáticos generalizados que

permitan estimar la respuesta mecánica de laminados. Las propuestas de modelos

para estimar la resistencia de laminados son aquellos conocidos como Teorías de

Falla; éstas se basan en la mecánica tradicional de materiales y toman como dato de

entrada la resistencia, medida experimentalmente de una lámina, para estimar la

resistencia última de un laminado, considerando variables como el orden de apilado,

la dirección de las fibras y la fracción de volumen de los materiales constituyentes

del compuesto. La comprensión de los modelos para estimación de la resistencia y

rigidez de los laminados requiere del manejo ágil de las herramientas del Álgebra

Lineal, dado que la formulación matemática se basa en la generación de sistemas de

ecuaciones lineales que involucran información de los estados locales de esfuerzos y

deformaciones a través de la Ley de Hooke generalizada, en la que se tienen un total

de 12 constantes independientes en una matriz de flexibilidad de 6x6, considerando

al laminado como un material ortotrópico. A través de la solución de este sistema de

ecuaciones lineales es que se puede obtener el estado de esfuerzos en el laminado, el

cual sirve de referencia para el cálculo de resistencia. (Discurso del experto en una

entrevista)

75

Todo esto permitió llegar a la conclusión que se utilizarían materiales compuestos

laminados, los estudiantes tendrían que construirlos y hacer el cálculo de esfuerzos

utilizando el modelo matemático de la ley de Hooke para materiales compuestos

Laminados, esto como parte del diseño de la AEI.

Fase 3. Análisis praxeológico de las matrices simétricas en álgebra lineal

Para analizar la materia de álgebra lineal en tanto que institución de enseñanza de las

matemáticas, se eligió el libro de texto Grossman y Flores-Godoy (2012), el cual es el que

recomienda la unidad de aprendizaje. El análisis se hizo con el objetivo de identificar la

forma en que las praxeologías de matrices simétricas y de operaciones con matrices son

presentadas. Esto, permite en un segundo momento establecer una posible relación entre

las instituciones de diseño de estructura de aeronaves y del álgebra lineal.

Fase 4. Diseño de la AEI

El análisis de los textos de materiales compuestos, de álgebra lineal y el trabajo con el

experto en materiales compuestos laminados, permitió diseñar una AEI “Construcción de

una Rampa Terapéutica Sensorial”. Uno de los elementos claves para el diseño de esta AEI,

fue considerar el diseño y construcción de un dispositivo que requiriera la construcción de

un material compuesto laminado. El trabajo con el experto permitió ver que era posible que

los estudiantes construyeran estos materiales, considerando que una elección adecuada

podría llevar a los estudiantes a elegir (Laminado de fibra de vidrio desorientada y resina

poliéster, Laminado de fibra de vidrio resina de poliéster y honeycomb de cartón,

Laminado de fibra de vidrio resina de poliéster y honeycomb de aluminio, Laminado de

fibra de vidrio resina de poliéster y núcleo de divincel), que tienen bajo costo y que

requieren técnicas de construcción no muy sofisticadas. La construcción del material

compuesto laminado para determinado dispositivo obliga a calcular sus esfuerzos y

determinar el peso que puede soportar. Este tipo de tarea, construcción de un dispositivo

conformado por material compuesto laminado debía estar en el corazón de la AEI. El

dispositivo elegido hubiese podido ser de aeronáutica, sin embargo, se consideró que

debido al grado de exactitud con el que se construyen estos dispositivos no convenía pedirle

esto a un grupo de estudiantes. En aeronáutica existen rampas que se utilizan para evacuar

a los pasajeros en los aviones, este tipo de dispositivos requieren de mucha precisión, para

76

que al momento de la evacuación soporte el peso de los pasajeros y la rapidez con la que

deben evacuar. Los procesos de evacuación indican que deben evacuar un avión en noventa

segundos desde un DC9 que tiene 120 pasajeros hasta un 747 que tiene 320 pasajeros. Esto

llevó a considerar el diseño y construcción de una rampa terapéutica sensorial, que

permitiera ayudar a niños con problemas de marcha entre los 3 y los 11 años.

Se consideró que un proyecto de esta naturaleza no podría ser realizado en dos o tres

semanas, ya que el estudio del tipo de materiales, de los cálculos asociados, de las técnicas

de construcción del material, requería un tiempo mayor. Así, que se propuso como un

proyecto que tuviera como duración un semestre. Al iniciar el semestre se presentaría el

proyecto y al terminar debían entregar la rampa. Se consideró además que convendría

integrar el equipo por estudiantes de diferentes especialidades de ingeniería y de diferente

semestre. Esto, considerando la forma de trabajo industrial, donde los proyectos se

desarrollan por ingenieros de diferentes especialidades y con diferentes grados de

experiencia, desde novatos a expertos. Esto llevó a plantearle el proyecto a dos profesores

de diferentes asignaturas una de ingeniería, mecánica estructural de materiales compuestos

y la otra de diseño industrial, diseño. En cuanto a la enseñanza de las matemáticas, se

consideró un grupo de estudiantes del segundo semestre que cursaban la asignatura de

cálculo integral y que ya habían aprobado la asignatura de álgebra lineal.

Los tres profesores llegaron al acuerdo de que el proyecto sería evaluado en cada una de

las asignaturas con 30% de la calificación final y así los estudiantes de los diferentes

semestres podrían trabajar en el proyecto durante todo el semestre. Así, uno de los retos de

esta organización era tener equipos integrados por estudiantes de séptimo semestre de la

carrera de ingeniería aeroespacial, estudiantes de segundo semestre del tronco común de

ingeniería y estudiantes del sexto semestre de diseño industrial.

Contexto experimental: Escuela de Ciencias de Ingeniería y Tecnología

de la UABC

La Escuela de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología ECITEC inició labores en agosto de

2009, recibiendo alumnos de educación media superior que tienen la inquietud de estudiar

una carrera de ingeniería, la escuela cuenta con nueve carreras de ingeniería dos carreras

77

de diseño y una de arquitectura las cuales se mencionan a continuación: Bioingeniería,

Ingeniería Civil, Ingeniería en Energías Renovables, Ingeniería Industrial, Ingeniería en

Mecatrónica, Ingeniería Aeroespacial, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Mecánica e

Ingeniería en Sistemas Computacionales, arquitectura Diseño Gráfico y Diseño Industrial.

El modelo educativo de la UABC es un modelo humanista, constructivista y educación a

largo de la vida, centrado en el alumno. La escuela cuenta con 12 carreras y debido a sus

condiciones institucionales “flexibilidad de organización pedagógica” se pueden plantear

Actividades de Estudio de Investigación, presentándolas en la forma de proyectos de

modelación que involucren estudiantes de dos o tres carreras diferentes, haciendo estos

proyectos más completos. Por el número de carreas diferentes los proyectos deben de ser

multidisciplinarios, por lo que ECITEC es una buena opción para desarrollar este tipo de

proyectos.

Implementación de la AEI y su análisis

Al tener la AEI “Diseño y construcción de una rampa terapéutica sensorial” se analizó

cuáles fueron las carreras que podrían participar en este proyecto. Se recuerda que el

objetivo de la actividad era vincular la asignatura de álgebra lineal que está en el tronco

común de ingeniería, con la asignatura de mecánica estructural de materiales compuestos

que se encuentra en séptimo semestre, que está en la etapa terminal de la carrera de

ingeniería aeroespacial. Al hacer un análisis más detallado de las diferentes carreras, se

observó que la carrera de diseño industrial tiene una metodología para diseñar diferentes

prototipos, en la asignatura de diseño de sexto semestre. Se consideró que la AEI podría

ser desarrollada por estudiantes que cursaban tres asignaturas distintas, mecánica

estructural de materiales compuestos, cálculo integral y diseño.

Se entrevistó a los maestros de las asignaturas de mecánica estructural de materiales

compuestos y de diseño y se reconoció que ambas asignaturas incluyen en su evaluación

el desarrollo de un proyecto final. Así, se consideró que la AEI tuviera tres fases que podían

ser desarrolladas en el semestre, siendo la tercera la que debiera permitir el desarrollo de

un producto final y que éste coincidiera con las características de los productos finales que

se solicitaban en las asignaturas mencionadas anteriormente.

78

Al terminar la AEI, ésta se evaluó por separado en cada asignatura, con los requisitos y

requerimientos que solicitaba cada materia, el maestro de la materia de diseño evaluó a los

estudiantes frente a un comité de diseñadores (maestros de la carrera de diseño industrial),

quienes emitieron una calificación final. Por su parte, el maestro de mecánica estructural

de materiales compuestos leyó los proyectos, vio los diferentes prototipos poniendo

especial atención en la construcción del material laminado y emitió su calificación. Por

último, el maestro de cálculo integral evaluó a los estudiantes del tronco común de

ingeniería con el trabajo escrito y una exposición de 8 minutos. Por lo que el proyecto se

evaluó de dos formas diferentes, obteniendo calificaciones aprobatorias cada uno de ellos.

Conclusión

La metodología para el diseño de actividades didácticas de modelación matemática aquí

presentada muestra que la elección de un contexto extra-matemático es la fase que la

caracteriza. Esta fase posibilita reconocer contextos donde la modelación matemática funge

un rol primordial y analizarlos posibilita una transposición didáctica que acerque la práctica

profesional o la formación de especialidad a la enseñanza de las matemáticas en la

formación de futuros ingenieros.

En esta investigación, esta fase 1 ha sido precisada a través del diseño de encuestas a

profesores del área de especialidad y a estudiantes del ECITEC. La encuesta diseñada se

basó en el análisis bibliográfico reportado en el capítulo 1, reconociendo principalmente

que los ingenieros en su rol de usuarios de las matemáticas pueden no ser conscientes de

los modelos matemáticos que usan y de cómo lo hacen. Las respuestas de ambas encuestas

no fueron objeto de un análisis profundo, pero ilustraron que las relaciones entre la

formación matemática y la formación de especialidad no son sólidas. La entrevista al

coordinador de carrera y la observación de clase permitieron identificar a la mecánica

estructural de materiales compuestos, como la disciplina de ingeniería que sería objeto de

análisis en esta investigación.

El análisis praxeológico de la mecánica estructural de materiales compuestos resulta el

elemento crucial para el diseño de la AEI. Por ello, el trabajo con el experto es necesario,

pues es él quien orientó la forma de hacer este análisis y también quien lo validó. El experto

79

enunció las características de los materiales laminados, confirmó que su uso en la industria

es amplio, que también estos materiales son objeto de investigación en los laboratorios,

pues se busca estudiarlos más profundamente, modificarlos y hacerlos cada vez más

óptimos para el uso industrial.

Así, se reconoció que uno de los sectores donde estos materiales tienen mayor uso es en la

aeronáutica, por ejemplo, para la construcción de rampas –como una posible actividad que

podía ser analizada en el contexto de la ingeniería con miras a transponerla hacia el aula-.

Sin embargo, la mínima actividad de la aeronáutica exige niveles de aproximación muy

altos, el error debe estar casi ausente y esa característica es muy difícil de “reproducir” en

un contexto de formación. Es por ello, que se consideró que se podía pedir a los estudiantes

la construcción de los materiales laminados pero no en el contexto de la aeronáutica sino

en el de la salud, para diseñar una rampa terapéutica que ayudara a niños con problemas de

marcha entre los 3 y los 10 años. Así la AEI, debe preservar el tipo de tarea, diseño y

construcción de una rampa y construcción del material laminado, pero el grado de exactitud

sobre la construcción del material puede ser menor que el de una rampa aeronáutica. Para

analizar los modelos matemáticos involucrados en la construcción de un material laminado,

el experto sugirió el reporte técnico Nettles (1994), el cual se presenta en el capítulo cuatro

de esta tesis.

Para completar este análisis desde el punto de vista de enseñanza de las matemáticas y

siguiendo la metodología de diseño de actividades didácticas, presentada en este capítulo,

se analizaron elementos del texto Grosmman y Flores-Godoy (2012), referencia de gran

uso en la enseñanza del álgebra lineal en el ECITEC. El análisis realizado sobre este texto

se presenta también en el capítulo cuatro.

Finalmente, para el diseño de la AEI, se consideró que trabajar con estudiantes de tres

diferentes semestres y asignaturas posibilitaba una organización más cercana a la de la

práctica profesional, diferentes especialidades y diferentes niveles de maestría (o de

“expertise”). Se podría decir que trabajar con los estudiantes de séptimo semestre que

cursaban mecánica estructural de materiales compuestos y con los estudiantes de segundo

semestre que cursaban cálculo integral y que ya habían cursado álgebra lineal, hubiera sido

suficiente para establecer la relación entre estas dos asignaturas. Sin embargo, se consideró

80

que los diseñadores podían aportar elementos interesantes en esta AEI y sobre todo mostrar

que esta especialidad no es ajena al trabajo del ingeniero. Esto, porque generalmente en las

escuelas de ingeniería los diseñadores son vistos como los estudiantes que no estudiaron

una ingeniería por no ser “buenos en matemáticas”. Más allá de buscar eliminar este

estereotipo, se consideró que los diseñadores podían involucrarse en un proyecto con

diferentes tipos de tareas, matemáticos, de modelación, de diseño y de construcción, que

para cada una de ellas podrían aportar o investigar y sobre todo, ser miembros importantes

de un equipo de ingenieros.

Todos estos elementos permitieron el diseño e implementación de una AEI cuya tarea

principal, diseño y construcción de una rampa terapéutica, es de modelación matemática y

requiere de una gran cantidad de conocimientos matemáticos y no matemáticos para ser

desarrollada.

81

Capítulo 4. Del análisis praxeológico

de la mecánica estructural de

materiales compuestos al diseño de

una AEI

4 Capítulo 4. Del análisis praxeológico de la mecánica

estructural de materiales compuestos al diseño de una AEI

Introducción

En este capítulo se presentan los análisis praxeológicos, del reporte técnico con título Basic

Mechanics of Laminated Composite Plates (Nettles, 1994), que es utilizado en clase en la

materia de mecánica estructural de materiales compuestos MEMC, el capítulo dos del libro

de álgebra lineal de Grossman y un ejercicio presentado en la clase de MEMC, se hace el

análisis del libro de algebra lineal para poder determinar si los futuros ingenieros llegan a

estudiar y resolver problemas de la vida real, o aplicaciones y no sólo ejercicios

matemáticos para mecanizar las operaciones matriciales. El ejercicio de la clase de MEMC

se presenta para que se pueda apreciar el uso de matrices y operaciones matriciales que

deben de resolver los estudiantes y que algunas veces presentan un problema ya que no

recuerdan cómo hacer las operaciones y deben de repasar o volver a leer el capítulo de

matrices del libro de algebra lineal.

82

El análisis del reporte técnico (Nettles, 1994) permitió identificar una praxeología del

cálculo de esfuerzos y de deformación de materiales compuestos laminados,

específicamente de materiales ortotrópicos. Esta praxeología es utilizada en el campo

laboral cuando se quiere calcular las propiedades elásticas de materiales laminados, para

determinar que material es el más apropiado para, por ejemplo, construir una pieza para

una máquina. El modelo matemático involucrado en esta praxeología es matricial, la

operación que permite calcular la inversa de una matriz, también aparece; estos elementos

mantienen una relación con el álgebra lineal.

Asimismo, se analiza un ejercicio presentado en clase, ya que éste tiene relación con la

praxeología del cálculo de esfuerzos y de deformación de materiales compuestos laminados

y permite evidenciar la relación con la praxeología que aparece en Nettles (1994). Esto

permite evidenciar la relación de la praxeología escolar con la expuesta en un reporte

técnico, que no tiene como objetivo mostrar el proceso de estudio de una praxeología sino

resaltar las características de la praxeología en cuestión hacia el uso en contextos

profesionales.

Estos análisis conforman las fases 2 y 3 de la metodología de diseño de la AEI y se

presentan a continuación.

Análisis praxeológico e identificación de un modelo matemático en

mecánica de materiales compuestos

Reporte técnico de mecánica básica de materiales compuestos

En esta sección se analiza el reporte técnico con título Basic Mechanics of Laminated

Composite Plates, que fue publicado en 1994 por la National Aeronautics and Space

Administration (NASA, por sus siglas en inglés) y cuyo autor es A. T. Nettles. La elección

de este reporte se basa en que éste constituye un documento de referencia, de mecánica

básica de materiales laminados. De hecho, el experto en materiales compuestos lo

considera una herramienta de consulta rápida en la mecánica de laminados reforzados con

fibras continuas. Asimismo, este reporte es utilizado como material de consulta y de apoyo

en el curso de mecánica estructural de materiales compuestos (MEMC).

83

El reporte de mecánica básica de materiales compuestos (Nettles, 1994) cuenta con 9

capítulos. Para este análisis se eligieron los primeros cuatro capítulos, ya que en éstos se

presenta el modelo matemático utilizado para el cálculo de esfuerzos, aplicado a materiales

compuestos laminados. En el primer capítulo se presenta una breve introducción, en la que

se muestran las definiciones y terminología que serán utilizadas en los siguientes capítulos.

En el segundo capítulo se presenta la ley de Hooke para materiales anisotrópicos y está

conformado por cuatro subsecciones: en la primera se muestra el cálculo de esfuerzo y

deformación en una dirección, en la segunda se explica el cálculo de esfuerzo y

deformación especialmente para placas ortotrópicas, en la tercera se hace una

generalización del cálculo de esfuerzos para placas ortotrópicas y en la cuarta se expone el

cálculo de la rigidez invariante. En el tercer capítulo se presenta la mecánica de materiales

compuestos laminados y cuenta con cuatro subsecciones: en la primera se presenta la

definición del desplazamiento de la deformación, en la segunda la definición de esfuerzo y

momentos resultantes, en la tercera la ecuación constitutiva para materiales laminados y el

significado físico de las matrices [A], [B] y [D] respectivamente. Finalmente, en la cuarta,

se muestra la nomenclatura para secuencias de apilamiento para diferentes sistemas de

coordenadas. El análisis de estas cuatro secciones permitió tener una idea general del

cálculo de esfuerzos y deformaciones para materiales laminados

Se analizarán de la sección 1 a la 4, la sección 1, es la introducción y presenta definiciones,

terminología y notación que se utilizara a lo largo del reporte, la sección 2 muestra el

comportamiento de una sola lámina, en lo que se basa la teoría de los laminados, en la

sección 3 es la más importante ya que es donde se deduce la relación entre los esfuerzos y

las deformaciones para laminados compuestos, la mayor parte de la información en las

propiedades elásticas se pueden calcular a partir de las ecuaciones mostradas, en la sección

4 explica cómo se describe la secuencia de apilamiento de capas en los laminados.

Análisis de la Ley de Hooke en materiales no isotrópicos

El capítulo 2 lleva como título: Generalized Hookes Law for Nonisotropic Materials y

contiene 4 subsecciones donde explican las deducciones del modelo matemático del

cálculo de esfuerzos, aplicando la ley Hooke para materiales Isorópicos y Ortotrópicos. La

primera subsección es la A y en ésta se presentan el esfuerzo normal y deformación, fuerzas

84

aplicadas en una dirección. El autor inicia el apartado dando las definiciones de Esfuerzo

Normal y Deformación:

Normal Stress is defined as the force per unit area acting perpendicular to the surface

of the area. The corresponding strain is define as the elongation (or stretch) per unit

length of material in the direction of the applied force. (Nettles, 1994, p. 3)

Enseguida explica la relación entre esfuerzo y deformación, comentando que ésta es

independiente de la dirección de la fuerza y que está determinada por la constante de

elasticidad (Módulo de Young). Esto es para materiales isotrópicos, también menciona que

para materiales no isotrópicos por lo menos se deben usar dos constantes de elasticidad.

Enseguida escribe la relación de esfuerzo/deformación para materiales isotrópicos

𝜎 = 𝐸𝜀 (1)

donde

𝜎: Denota el esfuerzo

𝐸: Denota el módulo de Young (rigidez)

𝜀: Denota las deformaciones

Para materiales ortotrópicos, en la relación de esfuerzo/deformación se debe especificar la

dirección

𝜎1 = 𝐸1𝜀1; 𝜎2 = 𝐸2𝜀2 (2)

donde

𝜎1: Denota el esfuerzo en la dirección longitudinal

𝐸1: Denota la rigidez en la dirección longitudinal (módulo de Young)

𝜀1: Denota las deformaciones en la dirección longitudinal

𝜎2: Denota el esfuerzo en la dirección transversal

𝐸2: Denota la rigidez en la dirección transversal (módulo de Young)

𝜀2: Denota las deformaciones en la dirección transversal

85

El autor especifica que 𝐸1 = 𝐸𝐿 define la rigidez en la dirección longitudinal y 𝐸2 = 𝐸𝑇 es

la rigidez en la dirección transversal. Además, presenta una gráfica para placas Isotrópicas

y Ortotrópicas, donde se puede observar el comportamiento de ambos materiales.

Figura 10. Diferencias entre una placa isotrópica y una placa ortotrópica. Tomado de Nettles (1994). El

texto permanece en el idioma original de la referencia.

En esta subsección sólo muestra la relación entre esfuerzo y deformación, explicitando que

el módulo de Young representa las propiedades elásticas de los materiales isotrópicos y

ortotrópicos, así va preparando al lector a los conceptos que se utilizarán en las siguientes

subsecciones. La “Subsección B. Esfuerzo y deformación, plano de esfuerzos para placas

ortotrópicas especiales” es iniciada por una explicación sobre los esfuerzos que se

presentaron en la subsección anterior, enfatizando que sólo se tomó en cuenta la dirección

la axial y que en general los esfuerzos en una placa tienen esfuerzos en más de una sola

dirección en el plano.

Enseguida define el coeficiente de Poisson como la razón de la deformación perpendicular

a una dirección de carga dada, mostrando la relación posteriormente:

Para carga a lo largo de las fibras

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 = 𝜈12 =𝜀𝑇

𝜀𝐿=

𝜀2

𝜀1 (3a)

Para carga perpendicular a las fibras

86

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 = 𝜈21 =𝜀𝐿

𝜀𝑇=

𝜀1

𝜀2 (3b)

Las componentes de deformación se alargan a causa de una fuerza aplicada, menos la

contracción del efecto de Poisson a causa de otra fuerza perpendicular a la primera,

entonces:

𝜀1 =𝜎1

𝐸1− 𝜈21𝜀2 𝑦 𝜀2 =

𝜎2

𝐸2− 𝜈12𝜀1 (4a)

aplicando la ecuación (2)

𝜀1 =𝜎1

𝐸1− 𝜈21

𝜎2

𝐸2 𝑦 𝜀2 =

𝜎2

𝐸2− 𝜈12

𝜎1

𝐸1 (4b)

A continuación, el autor considera la presencia de fuerzas cortantes. Esfuerzo cortante y la

deformación cortante se relacionan por una constante llamada módulo de corte la cual se

denota por G.

𝜏12 = 𝛾12𝐺12 (5)

donde

𝜏12: Esfuerzo cortante

𝛾12: Deformación cortante

𝐺12: Módulo de corte

La relación (5) es similar a la relación (1) sólo que en ésta se consideran esfuerzos y

deformaciones cortantes, donde los índices 1-2 indican el corte en el plano 1-2. El autor

muestra a continuación la Figura 11 en donde se ilustra la deformación de corte.

87

Figura 11. Definición de deformación de corte. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el idioma

original de la referencia.

El autor menciona que existe una relación entre la constante de Poisson y el módulo de

Young en las dos direcciones, a lo largo del material y transversal al material, entonces se

cumple que:

𝜈21𝐸1 = 𝜈12𝐸2 (6)

Expresando las ecuaciones (4b) y (5) en su forma matricial se obtiene:

[

𝜀1

𝜀2

𝛾12

] = [𝑆11 𝑆12 0𝑆12 𝑆22 00 0 𝑆66

] [

𝜎1

𝜎2

𝜏12

] (7)

donde,

𝑆11 =1

𝐸1 𝑆22 =

1

𝐸2

𝑆12 = −𝜈12

𝐸1= −

𝜈21

𝐸2 𝑆66 =

1

𝐺12

En este punto es donde podemos observar una relación entre las asignaturas de materiales

compuestos con álgebra lineal, empleando elementos de esta asignatura como herramientas

para calcular las deformaciones o esfuerzos de los materiales laminados, ya sean

isotrópicos u ortotrópicos.

88

Calculando la inversa de la matriz de esfuerzos S, se obtiene la matriz de rigidez Q por lo

que queda lo siguiente:

[

𝜎1

𝜎2

𝜏12

] = [𝑄11 𝑄12 0𝑄12 𝑄22 00 0 𝑄66

] [

𝜀1

𝜀2

𝛾12

] (8)

donde,

𝑄11 =𝐸1

1 − 𝜈12𝜈21

𝑄22 =𝐸2

1 − 𝜈12𝜈21

𝑄12 =𝜈12𝐸2

1 − 𝜈12𝜈21=

𝜈21𝐸1

1 − 𝜈12𝜈21

𝑄66 = 𝐺12

Lo que podemos observar es que de la ecuación 7 a la 8, se hizo el cálculo de la inversa de

matriz, para cambiar de la matriz de flexibilidad a la de rigidez, es decir, tenemos un

sistema donde se presenta las deformaciones en términos de la matriz elasticidad y los

esfuerzos, 𝜀 = 𝑆𝜎, ahora queremos despejar los esfuerzos dejándolos en términos de la

matriz de rigidez y las deformaciones, 𝜎 = 𝑄𝜀 , para lograr esto mediante operaciones

básicas de álgebra lineal, se debe de calcular la inversa de la matriz de elasticidad para

obtener la matriz de rigidez, lo que relaciona las matemáticas de etapa básica con la

asignatura de las carreras de ingeniería.

En esta subsección muestra la relación entre esfuerzo y deformación en varias direcciones,

explicitando la relación entre el módulo de Young y la constante de Poisson en dos

direcciones. La “Subsección C. Esfuerzo y deformación, plano de esfuerzos para placas

ortotrópicas generales” es iniciada por el autor suponiendo que la lámina unidireccional de

la figura 1 está cargada en un ángulo diferente de 0° o 90° . La lámina se conoce

generalmente como ortotrópica, en general las direcciones de carga no coinciden con las

direcciones principales de los materiales. El esfuerzo y la deformación se deben de

transformar a coordenadas que coincidan con las direcciones principales de los materiales,

89

esto se puede lograr mediante un diagrama de cuerpo libre y la suma de fuerzas en la

dirección 1, como se puede apreciar en la figura 12.

A continuación, el autor presenta la suma de fuerzas para cada una de las direcciones del

material laminado que se muestran en la figura 10, haciendo manipulaciones algebraicas

obtiene un sistema de ecuaciones, de aquí lo expresa como un sistema matricial, como se

muestra a continuación.

El sistema matricial se puede obtener usando un diagrama de cuerpo libre como se muestra

en la Figura 12. Del diagrama de cuerpo libre 12(a) y sumando las fuerzas en la dirección

1:

Figura 12. Lámina ortotrópica general. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el idioma


∑𝐹1 = 0 = 𝜎1𝑑𝐴 − 𝜎𝑥(𝑑𝐴 cos 𝜃) cos 𝜃 – 𝜎𝑦(𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦(𝑑𝐴 cos 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 −

𝜏𝑥𝑦(𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) cos 𝜃 (9)

Del diagrama de cuerpo libre 3(b) y sumando las fuerzas en la dirección 2:

90

∑𝐹2 = 0 = 𝜎2𝑑𝐴 − 𝜎𝑥(𝑑𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜃) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 – 𝜎𝑦(𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜏𝑥𝑦(𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 +

𝜏𝑥𝑦(𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (10)

Del diagrama de cuerpo libre 3(b) y sumando las fuerzas en la dirección 1:

∑𝐹2 = 0 = 𝜏12𝑑𝐴 − 𝜎𝑥(𝑑𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 – 𝜎𝑦(𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦(𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 +

𝜏𝑥𝑦(𝑑𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (11)

Simplificando las ecuaciones (9), (10), (11) se obtiene;

𝜎1 = 𝜎𝑥 cos2 𝜃 + 𝜎𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 ,

𝜎2 = 𝜎𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝜎𝑦 cos2 𝜃 − 2𝜏𝑥𝑦(𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃) ,

𝜏12 = −𝜎𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 + 𝜎𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 (cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) (12)

La ecuación (12) se puede escribir en su forma matricial

[

𝜎1

𝜎2

𝜏12

] = (cos2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2𝜃 cos2 𝜃 −2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

−𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 (cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)) [

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] (13)

El autor determina que la matriz de 3 × 3 se le llama matriz de transformación y se denota

por [T]. Esta matriz se utiliza para transformar esfuerzos. Inmediatamente después hace

una nota donde dice “el tensor de esfuerzo cortante es el que se debe de emplear y no el

esfuerzo cortante del ingeniero, este último término no lo define anteriormente en este

trabajo, al menos hasta este momento”. La aclaración se expone porque se deben hacer

ciertas consideraciones geométricas, como la cantidad de corte debe de ser equivalente con

respecto a los ejes x e y, dado ya que estos ejes se transformarán en nuevos como se puede

apreciar en la Figura 11b.

Para transformar del sistema de coordenadas 1-2 al sistema de coordenadas x-y, se tiene

que encontrar la inversa de la matriz de transformación, los cálculos de la inversa de la

matriz no los muestra, sólo expone el resultado de la inversa de la matriz, la cual está dada

por

91

[𝑇]−1 = [cos2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 −2𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃𝑠𝑒𝑛2 𝜃 cos2 𝜃 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 (cos2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)] (14)

A continuación presenta una serie de manipulaciones algebraicas y equivalencias para

poder llegar ecuación donde se relacionan los esfuerzos con las deformaciones entonces:

[

𝜎1

𝜎2

𝜏12

] = [𝑇] [

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] por lo tanto [

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] = [𝑇]−1 [

𝜎1

𝜎2

𝜏12

] (15)

De manera similar el autor define

[

𝜀1

𝜀2

𝜀12

] = [𝑇] [

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑥𝑦

] por lo tanto [

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑥𝑦

] = [𝑇]−1 [

𝜀1

𝜀2

𝜀12

] (16)

Sustituyendo la ecuación (8) en la segunda parte de la ecuación (15) se obtiene:

[

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] = [𝑇]−1[𝑄] [

𝜀1

𝜀2

𝛾12

] = [𝑇]−1[𝑄] [1 0 00 1 00 0 2

] [

𝜀1

𝜀2

𝜀12

] (17)

Ahora sustituyendo la primera parte de la ecuación (16) en la ecuación (17) se obtiene:

[

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] = [𝑇]−1[𝑄] [1 0 00 1 00 0 2

] [𝑇] [

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑥𝑦

] (18)

El autor define la matriz de rigidez para laminados (también se le conoce como “Q-barra”)

de la siguiente manera:

[�̅�] = [𝑇]−1[𝑄] [1 0 00 1 00 0 2

] [𝑇] (19)

El autor propone el siguiente cambio de variable

𝑚 = cos 𝜃, 𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃

los componentes de la matriz Q-barra son:

92

�̅�11 = 𝑄11𝑚4 + 2(𝑄12 + 2𝑄66)𝑚

2𝑛2 + 𝑄22𝑛4 ,

�̅�12 = (𝑄11 + 𝑄22 − 4𝑄66)𝑚2𝑛2 + 𝑄12(𝑚

4 + 𝑛4) ,

�̅�22 = 𝑄11𝑛4 + 2(𝑄12 + 2𝑄66)𝑚

2𝑛2 + 𝑄22𝑚4 ,

�̅�16 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66)𝑚3𝑛 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66)𝑚

3𝑛 ,

�̅�26 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66)𝑛3𝑚 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66)𝑛𝑚3 ,

�̅�66 = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 − 2𝑄66)𝑚2𝑛2 + 𝑄66(𝑚

4 + 𝑛4) (20)

El autor expone otra nota en donde explica que, si 𝜃 es igual a otro ángulo diferente de

cero, esto implica que los términos �̅�16 y �̅�26 van a ser diferentes de cero Porque son los

únicos términos que tienen productos de seno y coseno; si el ángulo es cero, el seno es

cero. Si esto se introduce en la ecuación (18) obtenemos:

[

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] = [

�̅�11 �̅�12 2�̅�16

�̅�12 �̅�22 2�̅�26

�̅�16 �̅�26 2�̅�66

] [

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑥𝑦

] ,

[

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] = [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

] [

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

] (21)

El autor comenta que se puede observar que una deformación de corte producirá tensiones

normales, y la tensión normal contribuirá a un esfuerzo cortante. Esto, se conoce como

acoplamiento de extensión de corte y se llevará a cabo en un laminado, que se le aplica una

carga en un ángulo con respecto a las fibras (diferente a 0° y 90° ). Es decir, habrá

acoplamiento si los términos �̅�16 y �̅�26 en la matriz de rigidez del laminado son diferentes

de cero.

En esta sección el autor presentó la deducción de la relación de equivalencia de los

esfuerzos, con la matriz de rigidez [Q̅] y las deformaciones, esta información se mostró de

una manera algebraica sin mencionar ningún elemento tecnológico.

Los elementos tecnológicos implícitos pertenecen a la asignatura de álgebra lineal y se

mencionan a continuación:

93

1. El cálculo de la inversa de la matriz de transformación [𝑇].

2. Multiplicación de matrices en la ecuación 19, mostrando los elementos de la

multiplicación de matrices en la ecuación 20. Obteniendo la matriz de rigidez [Q̅].

Subsección D. Rigidez invariante, a continuación, presenta las componentes de la matriz

“ Q -barra” introduciendo las variables 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, 𝑈4 y 𝑈5 , Haciendo manipulaciones

algebraicas de las ecuaciones (20) y (21) se pueden obtener las siguientes equivalencias

quedando:

�̅�11 = 𝑈1 + 𝑈2 cos(2𝜃) + 𝑈3 cos(4𝜃) ,

�̅�22 = 𝑈1 − 𝑈2 cos(2𝜃) + 𝑈3 cos(4𝜃) ,

�̅�12 = 𝑈4 −𝑈3 cos(4𝜃) ,

�̅�66 = 𝑈5 −𝑈3 cos(4𝜃) ,

�̅�16 =1

2𝑈2 sen(2𝜃) + 𝑈3 sen(4𝜃) ,

�̅�26 =1

2𝑈2 sen(2𝜃) − 𝑈3 sen(4𝜃) , (22a)

Donde,

𝑈1 =3

8(𝑄11 + 𝑄22) +

1

4𝑄12 +

1

2𝑄66 ,

𝑈2 =1

2(𝑄11 − 𝑄22) ,

𝑈3 =1

8(𝑄11 + 𝑄22) −

1

4𝑄12 −

1

2𝑄66 ,

𝑈4 =1

8(𝑄11 + 𝑄22) +

3

4𝑄12 −

1

2𝑄66 ,

𝑈5 =1

8(𝑄11 + 𝑄22) −

1

4𝑄12 +

1

2𝑄66 , (22b)

El autor muestra una nota donde explica que las variables 𝑈2 y 𝑈3 son coeficientes de los

términos del seno y coseno en la ecuación (22a). Esto implica que al calcular los valores

94

de Q-barra, 𝑈1, 𝑈4 y 𝑈5 son independietes o invariantes a la orientación de la capa 𝜃. Este

concepto de cantidades “invariantes” puede hacer algunos cálculos más fáciles.

Es decir, los términos se pueden expresar como suma de una cantidad constante, e

independiente de la orientación de la lámina 𝑈1, incluyendo otros sumandos que dependen

del ángulo 𝜃. Este artículo no tratará más a detalle este tema debido a que sólo se presentan

las bases.

Como menciona el autor a lo largo del reporte, éste constituye una guía de referencia rápida

para los ingenieros que van a calcular esfuerzos de materiales compuestos (laminados), la

parte tecnológica queda en los libros que presenta en las referencias y no da mucha

explicación sobre cálculos o equivalencias.

En el capítulo 3 que lleva como título: Mecánica de laminados compuestos, se observa que

tiene 5 subsecciones donde deduce la ecuación para materiales laminados, también

presenta la explicación del significado físico de las matrices [A], [B] y [D], que obviamente

representan esfuerzos dentro de los materiales laminados.

Subsección A. Supuestos, en esta subsección el autor presenta las siguientes suposiciones

que se deben considerar para los cálculos de esfuerzos y deformaciones para laminados.

1. El espesor del laminado es muy pequeño comparado con otras dimensiones.

2. Las capas de lámina del laminado están perfectamente unidas.

3. Líneas perpendiculares a la superficie del laminado permanecen rectas y

perpendiculares a la superficie después de la deformación.

4. La lámina y el laminado son elásticos lineales.

5. Los esfuerzos y tensiones a través del espesor son despreciables.

Por último, comenta que estos supuestos son válidos siempre y cuando el laminado no este

dañado o que tenga pequeñas deflexiones. Los supuestos mencionados anteriormente son

elementos tecnológicos prácticos, estos motivan la técnica del cálculo de esfuerzos.

95

Subsección B. Definición de deformaciones y desplazamientos, a continuación el autor

define los desplazamientos de una placa en las direcciones 𝑥, 𝑦 y 𝑧, se designa la dirección

en 𝑥 como 𝑢, la dirección en 𝑦 como 𝑣 y la dirección en 𝑧 como 𝑤. En la figura 13 se

muestran estos desplazamientos.

Figura 13. Desplazamientos de una placa. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el idioma


Las tensiones ahora se definen como se muestra a continuación:

𝜀𝑥 ≡𝜕𝑢

𝜕𝑥; 𝜀𝑦 ≡

𝜕𝑣

𝜕𝑦; 𝛾𝑥𝑦 ≡ (

𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥) (23a)

Si la pendiente de la placa esta doblada entonces podemos decir que

96

𝜕𝑤

𝜕𝑥 a lo largo del eje 𝑥.

(23b)

𝜕𝑤

𝜕𝑦 a lo largo del eje 𝑦.

Los desplazamientos totales en el plano en cualquier punto en la placa es la suma de los

desplazamientos normales más el desplazamiento introducido por flexión. Denotando los

desplazamientos del plano central de la placa para las direccione de 𝑥 e 𝑦 con 𝑢0 y 𝑣0

respectivamente los desplazamientos son

𝑢 = 𝑢0 − 𝑧𝜕𝑤

𝜕𝑥; 𝑣 = 𝑣0 − 𝑧

𝜕𝑤

𝜕𝑦 (24)

El autor presenta la figura 13, que ayuda a entender los desplazamientos mencionados

anteriormente.

97

Figura 14. Desplazamiento total en la placa. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el idioma


Sustituyendo (24) en (23)

𝜀𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝜕𝑢0

𝜕𝑥− 𝑧

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2 ,

𝜀𝑦 =𝜕𝑣

𝜕𝑦=

𝜕𝑣0

𝜕𝑦− 𝑧

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2 ,

𝛾𝑥𝑦 = (𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥) =

𝜕𝑢0

𝜕𝑦+

𝜕𝑣0

𝜕𝑥− 2𝑧

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦 , (25)

Definiendo

𝜀𝑥0 =

𝜕𝑢0

𝜕𝑥0; 𝜀𝑦

0 =𝜕𝑣0

𝜕𝑦0; 𝛾𝑥𝑦

0 =𝜕𝑢0

𝜕𝑦0+

𝜕𝑣0

𝜕𝑥0 (26)

Definiendo las tensiones del medio plano como:

−𝜕2𝑤

𝜕𝑥2 = 𝐾𝑥; 𝜕2𝑤

𝜕𝑦2 = 𝐾𝑦; 𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝐾𝑥𝑦 (27)

Escribiendo la ecuación (25) en forma matricial nos queda:

98

[

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

] = [

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

] + 𝑧 [

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

] (28)

En la figura 15 se puede apreciar las curvaturas en la placa en las direcciones de los planos

𝑥 e 𝑦 como se muestra a continuación.

Figura 15. Definición de la curvatura de la placa. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el

idioma original de la referencia.

De la ecuación (21), aplicada a la ecuación (28) entonces tenemos

[

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

] = [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

] [

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

] + 𝑧 [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

] [

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

] (28a)

En esta sección el autor obtuvo la expresión para calcular los esfuerzos de un material

laminado, utilizando la matriz de rigidez junto con las deformaciones superficiales media

y la curvatura.

Subsección C. Definiciones de esfuerzo resultante y momento resultante, en esta sección

el autor presenta la definición de estrés resultante y explica que el esfuerzo en cada capa

del laminado varía por medio del espesor del laminado. En la figura 16 muestra el diagrama

del esfuerzo resultante.

99

Figura 16. Diagrama de estrés resultante. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el idioma


Como se puede apreciar en la figura anterior el total de las fuerzas en la dirección 𝑥 es

equivalente a:

∑𝜎𝑥(𝑑𝑧)(𝑦) (29)

se puede inferir que:

𝐴𝑠𝑑𝑧 → 0,∑𝜎𝑥(𝑑𝑧)(𝑦) = 𝑦 ∫ 𝜎𝑥𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

obteniendo

𝑁𝑥 ≡ ∫ 𝜎𝑥𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

análogamente se puede encontrar para la dirección 𝑦 y el esfuerzo cortante como se

muestra a continuación:

𝑁𝑥 ≡ ∫ 𝜎𝑥𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

,

100

𝑁𝑦 ≡ ∫ 𝜎𝑦𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

,

𝑁𝑥𝑦 ≡ ∫ 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑧ℎ/2

−ℎ/2 (30)

A continuación, el autor explica que en la figura 7 el esfuerzo que actúa en el borde produce

un momento en el medio plano. La fuerza se calcula como se muestra en (29). El momento

del brazo se encuentra a una distancia 𝑧 del medio plano, de la misma manera que se obtuvo

para el esfuerzo resultante el momento resultante se define como:

𝑀𝑥 ≡ ∫ 𝜎𝑥𝑧𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

,

𝑀𝑦 ≡ ∫ 𝜎𝑦𝑧𝑑𝑧

ℎ2

−ℎ2

,

𝑀𝑥𝑦 ≡ ∫ 𝜏𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧ℎ/2

−ℎ/2 (31)

Los momentos resultantes definidos tienen unidades de torque. Para mayor claridad en las

direcciones de los esfuerzos y los momentos resultantes se muestra en la figura 17.

101

Figura 17. Direcciones de los esfuerzos y momentos resultantes. Tomado de Nettles (1994). El texto


En esta sección el autor muestra las definiciones de esfuerzo resultante en todas las

direcciones 𝑥 , y y la de esfuerzo cortante. De la misma manera, lo define para los

momentos resultantes y con éstas se puede apreciar la relación del esfuerzo y esfuerzo

resultante.

Subsección D. Ecuación constitutiva para laminados, en esta sección el autor presenta la

deducción de la ecuación constitutiva para laminados, inicia utilizando las definiciones de

esfuerzos y momentos resultantes aunque no expone alguna metodología. Se recuerda que

este reporte inicialmente se realizó para ayudar a ingenieros que saben de materiales

compuestos, es un documento que les ayude a calcular los esfuerzos para un material

laminado.

Se inicia escribiendo las ecuaciones (30 y (31) en su forma matricial:

102

[

𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

] = ∫ [

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

]ℎ

2

−ℎ

2

𝑑𝑧 , (32)

[

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

] = ∫ [

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

]ℎ

2

−ℎ

2

𝑧𝑑𝑧 (33)

El autor especifica que las integrales de las ecuaciones (32) y (33) se deben de calcular

para cada capa del laminado para después sumarlas, se debe tener cuidado porque pueden

existir discontinuidades en las interfaces de las capas, estos detalles son Tecnología

práctica, que facilitan el uso. Utilizando el esquema de la figura 18 que especifica las capas

para un material laminado en general, entonces las ecuaciones (32) y (33) se deben de

escribir como:

[

𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

] = ∑ ∫ [

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

]

𝑘

ℎ𝑘

ℎ𝑘−1𝑑𝑧𝑛

𝑘=1 , (34)

[

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

] = ∑ ∫ [

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

]

𝑘

ℎ𝑘

ℎ𝑘−1𝑧 𝑑𝑧𝑛

𝑘=1 (35)

Ahora si se sustituye la ecuación (21) en la ecuación (28), para después sustituirlas en la

ecuación (34) y (35) para obtener.

[

𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

] = ∑ {∫ [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

]ℎ𝑘

ℎ𝑘−1𝑑𝑧 + ∫ [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

] 𝑧 ℎ𝑘

ℎ𝑘−1𝑑𝑧}𝑛

𝑘=1 , (36)

[

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

] = ∑ {∫ [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

]ℎ𝑘

ℎ𝑘−1𝑧 𝑑𝑧 + ∫ [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

] 𝑧2ℎ𝑘

ℎ𝑘−1 𝑑𝑧}𝑛

𝑘=1 , (37)

A continuación, se presenta la figura 17

103

Nota: las k capas y las k+1 son la misma lamina (capa), pero se separan en dos por el medio plano geométrico

Figura 18. Sección transversal de un laminado. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el idioma


Como las deformaciones superficiales media y la curvatura (𝜀0 y 𝐾) no son funciones de

𝑧 por lo que se pueden considerar como constantes por lo que no deberían de integrar, a

igual que la matriz de rigidez para una capa determinada, integrando obtenemos:

104

[

𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

] = ∑ {[

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

] ∫ 𝑑𝑧ℎ𝑘

ℎ𝑘−1+ [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

] ∫ 𝑧 ℎ𝑘

ℎ𝑘−1𝑑𝑧}𝑛

𝑘=1 , (38)

[

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

] = ∑ {[

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

] ∫ 𝑧ℎ𝑘

ℎ𝑘−1𝑑𝑧 + [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

] ∫ 𝑧2ℎ𝑘

ℎ𝑘−1 𝑑𝑧}𝑛

𝑘=1 , (39)

Integrando

[

𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

] = ∑ {[

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

] (ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1) + [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

] 1

2(ℎ𝑘

2 − ℎ𝑘−12 )}𝑛

𝑘=1 , (40)

[

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

] = ∑ {[

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝜀𝑥0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

]1

2(ℎ𝑘

2 − ℎ𝑘−12 ) + [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

𝑘

[

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦

]1

3(ℎ𝑘

3 − ℎ𝑘−13 )}𝑛

𝑘=1 , (41)

Ya que las deformaciones superficiales media y la curvatura no son parte de la sumatoria,

la matriz de rigidez del laminado y el término de ℎ𝑘 se pueden combinar para formar

matrices nuevas. De la ecuación (40) y (41) se pueden definir como:

𝐴𝑖𝑗 = ∑ [�̅�𝑖𝑗]𝑘(ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1) ,

𝑛𝑘=1 (42)

𝐵𝑖𝑗 =1

2∑ [�̅�𝑖𝑗]𝑘

(ℎ𝑘2 − ℎ𝑘−1

2 ) ,𝑛𝑘=1 (43)

𝐷𝑖𝑗 =1

3∑ [�̅�𝑖𝑗]𝑘

(ℎ𝑘3 − ℎ𝑘−1

3 ) ,𝑛𝑘=1 (44)

En forma matricial la ecuación constitutiva se puede escribir como:

[ 𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦]

=

[ 𝐴11 𝐴12 𝐴16

𝐴12 𝐴22 𝐴26

𝐴16 𝐴26 𝐴66

𝐵11 𝐵12 𝐵16

𝐵12 𝐵22 𝐵26

𝐵16 𝐵26 𝐵66

𝐵11 𝐵12 𝐵16

𝐵12 𝐵22 𝐵26

𝐵16 𝐵26 𝐵66

𝐷11 𝐷12 𝐷16

𝐷12 𝐷22 𝐷26

𝐷16 𝐷26 𝐷66]

[ 𝜀𝑥

0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦]

(45)

reescribiendo en su forma contraída

[𝑁𝑀

] = [𝐴 𝐵𝐵 𝐷

] [𝜀0

𝐾] (46)

105

invirtiendo parcialmente obtenemos

[𝜀0

𝐾] = [

𝐴∗ 𝐵∗

𝐶∗ 𝐷∗] [𝑁𝑀

] (47)

donde,

[𝐴∗] = [𝐴]−1 ,

[𝐵∗] = −[𝐴]−1[𝐵] ,

[𝐶∗] = [𝐵][𝐴]−1 ,

[𝐷∗] = [𝐷] − [𝐵][𝐴]−1[𝐵] (48)

escribiendo la en su forma completa se tiene que:

[ 𝜀𝑥

0

𝜀𝑦0

𝛾𝑥𝑦0

𝐾𝑥

𝐾𝑦

𝐾𝑥𝑦]

=

[ 𝐴´11 𝐴´12 𝐴´16

𝐴´12 𝐴´22 𝐴´26

𝐴´16 𝐴´26 𝐴´66

𝐵´11 𝐵´12 𝐵´16

𝐵12 𝐵22 𝐵26

𝐵´16 𝐵´26 𝐵´66

𝐶´11 𝐶´12 𝐶´16

𝐶´12 𝐶´22 𝐶´26

𝐶´16 𝐶´26 𝐶´66

𝐷´11 𝐷´12 𝐷´16

𝐷´12 𝐷´22 𝐷´26

𝐷´16 𝐷´26 𝐷´66]

[ 𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦]

(49)

donde

[𝐴´] = [𝐴∗] − [𝐵∗][𝐷∗]−1[𝐶∗] ,

[𝐵´] = [𝐵∗][𝐷∗]−1 ,

[𝐶´] = −[𝐷∗]−1[𝐶∗] ,

[𝐷´] = [𝐷∗]−1 (50)

106

El autor afirma que esta forma invertida de la ecuación constitutiva es la más usada. Para

laminados simétricos comenta que los elementos de las matrices [B] y [C] tendrán todos

sus elementos igual a cero y para laminados asimétricos, algunos de los elementos de las

matrices [B] y [C] son diferentes de cero y muestran flexiones a lo largo de la dirección x,

como se muestra en la figura 19. Esta es una tecnología práctica, es una explicación del

modelo utilizado.

Figura 19. Deflexiones en una placa. Tomado de Nettles (1994). El texto permanece en el idioma original

de la referencia.

Esta subsección presentó una deducción de la ecuación constitutiva donde relaciona los

esfuerzos, deformaciones pero deja sin definir las matrices [A], [B]y [D] las cuales se

definirán en la siguiente subsección, con esto se terminará la sección 3 dejando bien

definidos los antecedentes para calcular los esfuerzos para materiales laminados.

Subsección E. Definiciones físicas de las matrices [A], [B] y [D], en la siguiente subsección

el autor presenta una explicación del significado físico de las matrices [A], [B] y [D]. Inicia

107

definiendo el k-ésimo espesor del laminado y lo denota por 𝑡𝑘, por lo que la matriz [A] se

puede reescribir como:

𝐴𝑖𝑗 = ∑[�̅�𝑖𝑗]𝑘𝑡𝑘

𝑛

𝑘=1

Esta matriz se le denomina como extensión de la matriz de rigidez donde, relaciona los

esfuerzos normales con las tensiones excepto en los términos A16 y A26 estos términos

relacionan las deformaciones de corte con los esfuerzos normales y viceversa, estos

términos son análogos a Q16 y Q26 los cuales se presentaron en la sección 2.

Ahora para la matriz [B] definen a la distancia del plano geométrico medio al centro de la

k-ésima capa del laminado, las cuales pueden apreciar en la figura 10, la matriz [B] se

puede reescribir como:

𝐵𝑖𝑗 = ∑[�̅�𝑖𝑗]𝑘(ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1)

(ℎ𝑘 + ℎ𝑘−1 )

2= ∑[�̅�𝑖𝑗]𝑘𝑡𝑘

(ℎ𝑘 + ℎ𝑘−1 )

2

𝑛

𝑘=1

,

𝑛

𝑘=1

donde la matriz [B] se define como la matriz de rigidez de acoplamiento, este termino

relaciona los esfuerzos normales con la tensión de flexión, y viceversa, los términos B16 y

B26 relacionan las tensiones de torsión con esfuerzos normales y las deformaciones de

corte con los esfuerzos de flexión.

Para capas simétricas dentro del material laminado se considera que los términos Bijvan a

ser los mismos sólo que con signos diferentes, si se encuentra por debajo del plano medio

el signo será negativo (−z) y si se encuentra por encima del plano medio el signo será

positivo (z) por lo que se define

(ℎ𝑘 + ℎ𝑘−1 )

2≡ 𝑧�̅�

Ahora tomando en cuenta la ecuación anterior y el espesor del laminado se puede escribir

como:

(ℎ𝑘3 − ℎ𝑘−1

3 ) = [(ℎ𝑘2 + ℎ𝑘−1

2 )(ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1) + ℎ𝑘2ℎ𝑘−1 − ℎ𝑘ℎ𝑘−1

2 ]

108

= [(ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1)3 + 3ℎ𝑘

2ℎ𝑘−1 − 3ℎ𝑘ℎ𝑘−12 ]

[(ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1)3 + 3(ℎ𝑘 − ℎ𝑘−1)(ℎ𝑘 + ℎ𝑘−1)

2 − 3(ℎ𝑘3 − ℎ𝑘−1

3 )]

= 4(ℎ𝑘3 − ℎ𝑘−1

3 ) = 𝑡𝑘3 + 12𝑡𝑧𝑘

−2

Ahora la matriz [D] se le denomina matriz de tensión de flexión la cual se puede reescribir

de la siguiente manera:

𝐷𝑖𝑗 = ∑[�̅�𝑖𝑗]𝑘 (𝑡𝑘3

12+ 𝑡𝑧𝑘

−2 ) ,

𝑛

𝑘=1

Las matrices [A], [B] y [D] representan las propiedades de elasticidad, torsión y de flexión

del material laminado con estas definiciones la ecuación constitutiva relaciona los

esfuerzos y las deformaciones con las propiedades físicas del laminado, de esta manera

dejando bien definida dicha ecuación para poder obtener cualquiera de los esfuerzos o

deformaciones para un material laminado determinado.

Sección 4. Nomenclatura para el apilamiento de secuencias, analizando la sección 4 esta

contiene dos subsecciones sistema de coordenadas y nomenclatura, donde en la primera

sección presenta una explicación en como considera el acomodo de las capas del laminado

y la segunda subsección nos explica cómo se denotan los laminados.

Subsección A Sistema de coordenadas, en esta sección el autor explica que el sistema de

coordenadas se refiere en cómo se acomodan las capas del laminado, expone un ejemplo,

para laminados unidireccionales es cuando las capas que están en la dirección x están a 0°

y las capas en la dirección y están a 90° o viceversa.

Un sistema de coordenadas casi siempre se escoge uno de los ejes en la dirección de las

fibras de una de las capas del laminado. Por lo general el eje x se considera como el eje

longitudinal y el eje y se considera transversal. A continuación, se presenta la figura 20

donde muestra la orientación de un material laminado.

109

Figura 20. Sistema de coordenadas para un laminado normal. Tomado de Nettles (1994). El texto


110

La figura 20 presenta la disposición de un laminado de 8 capas con las diferentes

orientaciones del material, iniciando en 0° y se rota cada capa con la siguiente disposición

0°, 45°, −45°, 90°, −45°, 45°, 0°, no es la única manera de presentarlos sino la más

común.

En la “Subsección B. Nomenclatura”, el autor presenta una manera de denotar la secuencia

de apilamiento de materiales laminados, menciona que no es la única, pero está le dará una

noción para poder interpretar otras notaciones. Esta es una tecnología práctica, la cual tiene

la función de permitir la referencia para otro tipo de apilamiento, para facilitar la técnica.

Utilizando este tipo de acomodo es posible comprender la técnica asociada y modificarla.

Primero se asocia al 0° en la dirección de las fibras del material, a continuación, a cada

capa se le debe de asociar un ángulo, para cada capa del material se asocian ángulos

positivos cuando gira en sentido de las manecillas del reloj y ángulos negativos cuando

gira en sentido contrario a las manecillas del reloj. Aquí se presenta una función práctica

de la tecnología, nos indica una descripción de la técnica.

Para laminados simétricos se le agrega un subíndice S al arreglo y una T como subíndice

para laminados totales, se le denota laminados simétricos a aquellos laminados desde el

plano medio el apilamiento de sus capas es el mismo de ambos lados y se denotan

escribiendo el ángulo de la capa del extremo y se continua hasta llegar al plano medio, por

ejemplo [0°, 45°, −45°, 90°]𝑆 , si los laminados son totales entonces se escribe

explícitamente los ángulos de cada capa iniciando por la del extremo superior hasta llegar

a la del extremo inferior por ejemplo [0°, 45°, −45°, 90°, 90°, −45°, 45°, 0°]𝑇, esto quiere

decir que se le asocia a cada capa un ángulo y cuando son simétricos se puede abreviar por

ejemplo para el laminado de la figura 19 se denota como

[0°, 45°, −45°, 90°, 90°, −45°, 45°, 0°]𝑇

Como es simétrica se puede escribir como

[0°, 45°, −45°, 90°]𝑆

A continuación, presenta otros ejemplos de laminados como:

111

[0°, 90°, 90°, 90°, 90°, 0°]𝑇

se pude también escribir como

[0°, 904°, 0°]𝑇

donde se puede expresar un laminado total con un subíndice siempre y cuando sea el mismo

ángulo. Si este mismo se quiere expresar como un laminado simétrico, éste se puede

denotar como

[0°, 902°]𝑆

Estos son algunas de las maneras, en las que se pueden denotar el apilamiento del material

laminado el cual nos determina cómo está constituido dicho material.

Las secciones analizadas anteriormente conforman un reporte donde contiene la tecnología

para el cálculo de esfuerzos, deformaciones para un material laminado, lo hace de una

manera abreviada ya que no presenta a profundidad toda la tecnología. Esta información

está diseñada para que un ingeniero novato pueda recordar lo aprendido en su formación

de licenciatura y pueda realizar estos cálculos, con las técnicas vistas en su formación

previa, también tiene la característica de que le sirve a un ingeniero experimentado para

recordar algunos detalles que se le pudieron haber pasado. El autor presenta una técnica la

cual se presentará en una sección más adelante cuando se muestre la praxeología de un tipo

de tarea.

Este tipo de documentos dentro de la formación de ingenieros pueden ser útiles siempre y

cuando los ingenieros en formación utilicen este tipo de reporte para consultar y no como

un documento que le puede dar respuesta a los puntos tecnológicos para la aplicación de la

técnica para la resolución del tipo de tarea.

Al haber hecho un primer análisis e identificado a la ley de Hooke como elemento

tecnológico de la praxeología, la cual aparece tanto en el curso como en los libros de texto.

Esto motivó a una entrevista con el investigador experto en mecánica de materiales y

comentó que el modelo matemático era muy sencillo por lo que propuso trabajar con

112

materiales compuestos (Laminados), ya que éstos son los materiales con los que se van a

enfrentar los futuros ingenieros por este motivo se hizo el análisis del reporte.

La praxeología que se encuentra en la asignatura de MEMC, se enseña en la unidad de

aprendizaje de álgebra lineal, lo que ayudaría a vincular una materia de especialidad con

una de etapa básica, generando una nueva perspectiva a los alumnos de las aplicaciones del

álgebra lineal. También los alumnos le podrían dar respuesta a una de sus preguntas más

frecuentes: ¿Para qué me sirve lo que estoy aprendiendo en álgebra lineal? ¿En dónde se

puede aplicar?

El análisis mostró que la ley de Hooke se utiliza para el cálculo de esfuerzos en sistema de

resortes, barras, placas y haciendo algunas consideraciones se utiliza para materiales

laminados y todo se reduce a trabajar con sistemas matriciales. Este primer análisis nos

muestra que el modelo matricial tiene gran potencial y que en un análisis más fino podría

ser de utilidad para los maestros que imparten la materia de álgebra lineal. Con el objetivo

de establecer una relación entre estas dos asignaturas, se analiza a continuación la

praxeología identificada en un curso de álgebra lineal.

Análisis del modelo matemático identificado y su relación con E(M)

Análisis del libro de texto

Se presenta un análisis praxeológico del libro de texto Grossman y Flores-Godoy (2012)

de la asignatura de álgebra lineal (AL), para identificar praxeologías similares a las que se

encuentran en la materia de DEA, particularmente el capítulo 2 sección 2.1 y 2.2, que es

donde se muestra el tema de matrices y operaciones con matrices.

Para iniciar este análisis, es importante mencionar que la asignatura de AL en la

Universidad Autónoma de Baja California en la Escuela de Ciencias de la Ingeniería y la

Tecnología ECITEC, en las primeras dos unidades presenta temas de álgebra superior la

unidad 1 y 2 contiene los temas de Sistemas de Numeración y Polinomios respectivamente

mientras que las unidades 3 y 4 contempla temas de Vectores y Matrices y Sistemas de

Ecuaciones Lineales y Determinantes, que son contenidos propiamente de álgebra lineal.

113

En la sección 2.1 presenta las definiciones de vectores y matrices, el autor define a la Matriz

como: Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m

renglones y n columnas

𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) =

(

𝑎11 𝑎12 …𝑎21 𝑎22 …⋮ ⋮ …

𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛


⋮ … ⋮𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 …⋮ ⋮ …

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 …

𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛

⋮ … ⋮𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛)

(10)

presentando una definición desde el punto de vista algebraico. Luego se presentan ejemplos

de matrices, se explica que la dimensión de una matriz se define como el número de

renglones por columna (𝑚 × 𝑛) y termina por indicar cómo localizar las componentes

dentro de una matriz.

El autor continúa con la definición de Igualdad de matrices:

Dos matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) son iguales si

1) son del mismo tamaño y

2) las componentes correspondientes son iguales

el siguiente ejercicio para la reafirmación de la definición es determinar cuáles de las

matrices son iguales, y presenta 3 parejas:

i) (4 1 52 −3 0

) y (1 + 3 1 2 + 31 + 1 1 − 4 6 − 6

)

ii) (−2 01 3

) y (0 −21 3

)

iii) (1 00 1

) y (1 0 00 1 0

)

El alumno tiene que analizar si la dimensión de las matrices es igual y si las componentes

también lo son, en el inciso i) se presenta un distractor en la segunda matriz ya que la

mayoría de los componentes son expresados como una suma. En este caso la matriz si es

igual, ya que cumplen con las dos condiciones. En el inciso ii) el distractor que propone el

114

autor es cambiar los componentes del primer renglón de la segunda matriz, pero son los

mismos números, por lo que puede confundir al estudiante. En este caso las matrices no

son iguales, porque no cumple con la segunda condición. Por último, en el inciso iii) el

distractor es cambiar la dimensión de la matriz agregándole una columna a la segunda

matriz, por lo que la matriz ya no cumple la primera condición y por lo tanto no son iguales.

Ahora el autor expone la definición de la suma de matrices:

Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) dos matrices 𝑚 × 𝑛. Entonces la suma de 𝐴 y 𝐵 es la

matriz 𝑚 × 𝑛, 𝐴 + 𝐵 dada por

𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗) =

(

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 …𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 …

⋮ ⋮ …

𝑎1𝑗 + 𝑏1𝑗 … 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛

𝑎2𝑗 + 𝑏2𝑗 … 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛

⋮ … ⋮𝑎𝑖1 + 𝑏𝑖1 𝑎𝑖2 + 𝑏𝑖2 …

⋮ ⋮ …𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 …

𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛 + 𝑏𝑖𝑛

⋮ … ⋮𝑎𝑚𝑗 + 𝑏𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛)

(11)

Es decir, 𝐴 + 𝐵 es la matriz 𝑚 × 𝑛 que se obtiene al sumar las componentes

correspondientes de 𝐴 y 𝐵.

Para esta definición pone una Advertencia, que le indica al lector que la suma de matrices,

sólo se puede realizar, si las matrices tienen la misma dimensión. En seguida, presenta un

ejemplo numérico para que el alumno pueda ver y analizar la suma de matrices.

El autor muestra la definición de Multiplicación de una matriz por un escalar:

Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y si 𝛼 es un escalar, entonces la matriz 𝑚 ×

𝑛, 𝛼𝐴, esta dada por

𝛼𝐴 = 𝛼(𝑎𝑖𝑗) =

(

𝛼𝑎11 𝛼𝑎12 …𝛼𝑎21 𝛼𝑎22 …

⋮ ⋮ …

𝛼𝑎1𝑗 … 𝛼𝑎1𝑛

𝛼𝑎2𝑗 … 𝛼𝑎2𝑛

⋮ … ⋮𝛼𝑎𝑖1 𝛼𝑎𝑖2 …

⋮ ⋮ …𝛼𝑎𝑚1 𝛼𝑎𝑚2 …

𝛼𝑎𝑖𝑗 … 𝛼𝑎𝑖𝑛

⋮ … ⋮𝛼𝑎𝑚𝑗 … 𝛼𝑎𝑚𝑛)

(12)

115

Esto es de 𝛼𝐴 = 𝛼(𝑎𝑖𝑗) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de 𝐴

por 𝛼. Si 𝛼𝐴 = 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), entonces 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗 para 𝑖 = 1, 2, … ,𝑚 𝑦 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛.

El autor propone una matriz y les pide que hagan el producto de un escalar por la matriz

con tres escalares diferentes un número entero, una fracción y el cero, de esta manera

presenta los diferentes casos que pueden tener.

A continuación, presenta un teorema con las leyes conmutativa, asociativa y distributiva

haciendo la demostración de la ley conmutativa e ilustra la ley asociativa con un ejemplo

numérico.

Teorema 2.1.1. Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.

Entonces:

i) 𝐴 + 𝟎 = 𝐴

ii) 0𝐴 = 𝟎

iii) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (Ley conmutativa para la suma de matrices)

iv) (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (Ley asociativa para la suma de matrices)

v) 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 (Ley distributiva para la suma de matrices)

vi) 1𝐴 = 𝐴

vii) (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵

dentro del teorema muestra una nota, en donde hace la aclaración que el cero que presenta

en el inciso i) del teorema es la matriz nula. En el inciso ii) el cero a la izquierda de la

matriz A, es el escalar, mientras que el cero que esta a la derecha del igual es la matriz nula.

Para finalizar la sección el autor presenta un resumen de la sección en donde vuelve a

explicar las definiciones más importantes abreviando los enunciados, después muestra una

autoevaluación, ejercicios propuestos y ejercicios con un programa computacional

(Matlab), con esto finaliza la sección 2.1.

La sección 2.2 aborda los temas de Productos Vectorial y Matricial, al principio del

apartado comienza exponiendo la definición de producto escalar junto con sus respectivos

ejemplos. Luego, expone un teorema que comprende la ley conmutativa del producto

escalar, la ley distributiva del producto escalar, el producto escalar con el vector nulo.

116

Enseguida presenta la definición de producto de dos matrices

Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) una matriz 𝑚 × 𝑛, y sea 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) una matriz 𝑛 × 𝑝. Entonces el

producto de 𝐴 y 𝐵 es una matriz 𝑚 × 𝑝, 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗), en donde

𝑐𝑖𝑗 = (𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 𝑖 𝑑𝑒 𝐴) ∙ (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑗 𝑑𝑒 𝐵)

Es decir, el elemento 𝑖𝑗 de 𝐴𝐵 es el producto punto del renglón 𝑖 de 𝐴 y la columna

𝑗 de B. Si esto se extiende, se obtiene

𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗

Si el número de columnas de 𝐴 es igual al número de renglones de 𝐵, entonces se

dice que 𝐴 y 𝐵 son compatibles bajo la multiplicación.

A continuación, el autor expone una advertencia y una observación, la advertencia explica

que dos matrices A y B se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la matriz A

es igual al número de renglones de la matriz B, si esto no se cumple entonces las matrices

no se pueden multiplicar, porque el número de componentes del renglón de la matriz A no

coincidirá con el número de componentes de la matriz B. La observación plantea que el

producto de matrices no es conmutativo, esto quiere decir que AB ≠ BA , existe una

excepción ya que en ciertas ocasiones las matrices cumplen con la ley conmutativa esto es

que AB = BA , después presenta un ejemplo numérico y un problema de aplicación

simplificado donde el alumno sólo tiene que hacer la multiplicación de matrices, para

obtener el resultado.

Posteriormente, se presenta el Teorema 2.2.2 Ley asociativa de la multiplicación de

matrices:

Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) una matriz de 𝑚 × 𝑛, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) una matriz de 𝑚 × 𝑝 y 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)

una matriz de 𝑝 × 𝑞. Entonces la ley asociativa

𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 (13)

se cumple y 𝐴𝐵𝐶, definida por cualesquiera de los lados de la ecuación anterior, es

una matriz de 𝑛 × 𝑞.

117

No hace la demostración si no que la pospone para el final de la sección, porque comenta

que con la notación de sumatoria es menos laboriosa.

El siguiente Teorema que presenta es el 2.2.3 Leyes distributivas de la multiplicación de

matrices:

Si todas las sumas y todos los productos siguientes están definidos, entonces

𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 (14)

(𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 (15)

Para este Teorema el autor también pospone la demostración para el final de la sección. A

continuación, presenta la multiplicación de matrices como una combinación lineal de las

columnas de A

Sea 𝐴 una matriz de 𝑚 × 𝑛 y 𝑥 un vector de 𝑛 × 1. Considere el producto

𝐴𝒙 =

(

𝑎11 𝑎12 …𝑎21 𝑎22 …⋮ ⋮ …



⋮ … ⋮𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 …⋮ ⋮ …

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 …

𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛

⋮ … ⋮𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛)

(

𝑥1𝑥2

⋮𝑥𝑖

⋮𝑥𝑛)

= (

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛

⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛

)

o

𝐴𝒙 = 𝑥1 (

𝑎11𝑎21

⋮𝑎𝑚1

) + 𝑥2 (

𝑎12𝑎22

⋮𝑎𝑚2

) + ⋯+ 𝑥𝑛 (

𝑎1𝑛𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑚𝑛

) (16)

observe que

𝑐1 = (

𝑎11𝑎21

⋮𝑎𝑚1

) es la primera columna de 𝐴, 𝑐2 = (

𝑎12𝑎22

⋮𝑎𝑚2

) es la segunda columna de 𝐴

y así sucesivamente hasta escribir

𝐴𝒙 = 𝑥1𝑐1 + 𝑥2𝑐2 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑐𝑛

118

al lado derecho de la ecuación se le llama combinación lineal de los vectores

𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛. Este tema se estudiará en la sección 5.3 del libro.

Enseguida presenta los subtemas de aplicación de cadenas de Markov, la interpretación de

la notación sumatoria con sus ejemplos y el teorema de las propiedades de las sumatorias,

seguidas de las dos demostraciones de la ley asociativa y la ley distributiva, con un resumen

de la unidad. En éste se presentan las definiciones y teoremas de la sección y para finalizar

problemas utilizando un programa computacional (Matlab).

En conclusión, las praxeologías son presentadas, dando mayor atención a la componente

tecnológica y mostrando las técnicas asociadas. Se presentan pocas aplicaciones y muchos

ejercicios numéricos, la forma de presentar las tecnologías, teoremas y definiciones, es

algebraico. Una de las ventajas es que agrega un apartado para trabajar con el programa

computacional Matlab, que va a ser muy útil para las materias que cursen en semestres más

adelante. Al tener un acercamiento con un maestro que imparte la materia de álgebra lineal,

comenta que no utiliza Matlab en la clase, aunque el autor del libro incluyó un apartado en

las secciones del capítulo de Vectores y Matrices. El profesor hace hincapié en que utiliza

el programa computacional GeoGebra, para que los alumnos puedan visualizar

gráficamente las operaciones con vectores, para aclarar cualquier duda que les pueda

quedar de la clase. Nos parece que otros libros de álgebra lineal deben ser analizados y

también algunas de las clases, para poder conocer realmente las praxeologías enseñadas y

sus formas didácticas asociadas.

Análisis praxeológico de materiales laminados mediante el modelo de

esfuerzos

En esta sección se analiza un ejemplo de la praxeología asociada al modelo de esfuerzos:

σ1 = E1ε1; σ2 = E2ε2, en un material compuesto laminado de fibra de vidrio en matriz

poliéster que presenta la siguiente secuencia de apilado [452/−452 / 0]S .

El análisis se hace a partir de lo que fue presentado en una de las clases de MEMC.

Tipo de tareas T

119

𝑇1: Calcular el módulo de elasticidad aparente del laminado en dirección X.

𝑇2: Calcular el módulo de elasticidad aparente del laminado en dirección Y.

Para el siguiente problema se proporciona la siguiente información.

E1 = 40 𝐺𝑃𝑎 G12 = 2.8 𝐺𝑃𝑎

E2 = 9.8 𝐺𝑃𝑎 ν21 = 0.3

Técnica 𝜏

𝜏: Matriz de rigidez de una lámina en ejes materiales

[�̅�] = [𝑄11 𝑄12 0𝑄12 𝑄22 00 0 𝑄𝑠𝑠

] =

[

𝐸1

1 − 𝜈12 ∙ 𝜈21

𝜈21 ∙ 𝐸2

1 − 𝜈12 ∙ 𝜈210

𝜈21 ∙ 𝐸1

1 − 𝜈12 ∙ 𝜈21

𝐸2

1 − 𝜈12 ∙ 𝜈210

0 0 𝐺12]

[�̅�] = [40.90 3.01 03.01 10.02 00 0 2.80

]

Matriz de rigidez de las láminas a 𝟒𝟓°

Utilizando las expresiones para el cálculo de la matriz de rigidez para cualquier orientación

de fibras se obtiene

[�̅�] = [

�̅�11 �̅�12 �̅�16

�̅�12 �̅�22 �̅�26

�̅�16 �̅�26 �̅�66

]

eje xy: ejes globales

ejes 12: ejes materiales

Llamados: cos θ = 𝑚 sen θ = 𝑛

�̅�11 = 𝑄11𝑚4 + 2(𝑄12 + 2𝑄66)𝑚

2𝑛2 + 𝑄22𝑛4 ,

120

�̅�12 = (𝑄11 + 𝑄22 − 4𝑄66)𝑚2𝑛2 + 𝑄12(𝑚

4 + 𝑛4) ,

�̅�22 = 𝑄11𝑛4 + 2(𝑄12 + 2𝑄66)𝑚

2𝑛2 + 𝑄22𝑚4 ,

�̅�16 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66)𝑚3𝑛 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66)𝑚

3𝑛 ,

�̅�26 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66)𝑛3𝑚 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66)𝑛𝑚3 ,

�̅�66 = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 − 2𝑄66)𝑚2𝑛2 + 𝑄66(𝑚

4 + 𝑛4)

[�̅�] = [17.03 11.43 7.7211.43 17.03 7.727.72 7.72 7.01

]

Matriz de rigidez de las láminas a 𝟒𝟓°

Análogamente al caso de 45 grados

[�̅�] = [17.03 11.43 −7.7211.43 17.03 −7.72−7.72 −7.72 7.01

]

Matriz de rigidez en tensión plana del laminado.

[𝐴] = ∑[�̅�𝑖𝑗]𝑘𝑡𝑘

𝑛

𝑘=1

En este caso la matriz es

[𝐴] = ([𝑄]0° + 2[𝑄]45° + 2[𝑄]−45°)2𝑡

siendo t el espesor de la lámina.

[𝐴] = [218.04 97.46 097.46 156.28 0

0 0 61.68] 109𝑡 𝑁/𝑚

Matriz de rigidez normalizada en tensión plana del laminado.

[𝐴∗] =[𝐴]

10 𝑡= [

21.80 9.75 09.75 15.63 00 0 6.17

] 𝐺𝑃𝑎

121

𝜏1: Aplicando un esfuerzo de tracción en dirección X

[

𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

] = [𝑁𝑥

00

]

o en forma de tensión media que actúa sobre el laminado

[

𝜎𝑥0

𝜎𝑦0

𝜏𝑥𝑦0

] = [

𝜎𝑥

00

]

La relación entre tensión media y deformaciones del laminado es:

[𝜎] = [𝐴∗][𝜀]

Se puede calcular el estado de deformaciones para el estado de carga aplicado

[

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

] = [0.06362

−0.0396900

] 10−9𝜎𝑥

En particular en dirección del eje X la relación entre deformación y tensión es:

𝜀𝑥 = (0.06362) 10−9𝜎𝑥

Por lo tanto, el módulo de elasticidad aparente en dirección X es:

𝐸𝑥 = 15.72 𝐺𝑃𝑎

𝜏2: Aplicando un esfuerzo de tracción en dirección Y.

[

𝜎𝑥0

𝜎𝑦0

𝜏𝑥𝑦0

] = [0𝜎𝑦

0

]

Ahora el estado de deformaciones es:

122

[

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

] = [−0.0396900.08874

0] 10−9𝜎𝑦

En dirección del eje Y.

𝜀𝑥 = (0.08874) 10−9𝜎𝑦

Por tanto, el módulo de elasticidad aparente en dirección Y es:

𝐸𝑦 = 11.27 𝐺𝑃𝑎

Tecnología 𝜽:

𝜃1: La ley de Hooke para materiales isotrópicos, ortotrópicos nos ayuda a construir las

matrices locales de cada elemento para después generar la matriz global,

𝜎1 = 𝐸1𝜀1; 𝜎2 = 𝐸2𝜀2

donde

𝜎1: Denota el esfuerzo en la dirección longitudinal

𝐸1 : Denota la rigidez en la dirección longitudinal (módulo de Young o módulo de

elasticidad)

𝜀1: Denota las deformaciones en la dirección longitudinal

𝜎2: Denota el esfuerzo en la dirección transversal

𝐸2 : Denota la rigidez en la dirección transversal (módulo de Young o módulo de

elasticidad)

𝜀2: Denota las deformaciones en la dirección transversal

Especifica que E1 = EL define la rigidez en la dirección longitudinal y E2 = ET es la

rigidez en la dirección transversal.

123

𝜃2: El álgebra lineal nos sirve para resolver el modelo planteado en la ley de Hooke

operaciones con matrices y cálculo de inversa de matrices.

Conclusión

En el análisis paraxeológico para materiales compuestos laminados para el cálculo del

módulo de elasticidad ejercicio planteado en la clase de MEMC, se observaron dos tipos

de tareas T1 y T2, éstas pueden realizarse con la misma técnica y otra muy similar para cada

una. Las técnicas están asociadas a la ley de Hooke para materiales compuestos laminados

y al álgebra lineal para determinar esfuerzos, deformaciones y el módulo de elasticidad.

Esta praxeología nos permite apreciar la relación que existe entre las instituciones de E(M),

álgebra lineal, con la de E(DI), Mecánica estructural de materiales compuestos. Esta

relación será fundamental en el diseño de la Actividad de Estudio de Investigación (AEI)

para la unidad de aprendizaje de Mecánica estructural de materiales compuestos. En

particular, uno de los objetivos es que esta praxeología pueda convertirse en una

praxeología de modelación basada en una relación entre esfuerzo, deformación y módulo

de Young para materiales compuestos laminados con diferentes direcciones de apilamiento

en el laminado. En el siguiente capítulo se presenta la AEI diseñada y el análisis de su

implementación.

124

Capítulo 5. La AEI Diseño y

Construcción de la Rampa

Terapéutica y análisis de su

implementación

5 Capítulo 5. La AEI Diseño y Construcción de la Rampa

Terapéutica y análisis de su implementación

Introducción

La Actividad de Estudio y de Investigación, Rampa Terapéutica Sensorial Táctil (AEI-

RTEST), cuya tarea principal es diseñar y construir una rampa RTEST, para niños de entre

3 a 11 años de edad, la cual se presenta en la primera sección de este capítulo, se

implementó con tres grupos de estudiantes de diferente especialidad y de diferente

semestre.

Tronco común de ingeniería (TCI), segundo semestre,

Diseñadores industriales (D), sexto semestre y

Aeroespacial (IA), séptimo semestre.

Esta conformación de equipos buscó asemejarse a una forma de organización de la práctica

profesional, en la que para el desarrollo de proyectos se reúne a ingenieros de diferentes

especialidades y de diferente trayectoria, desde novatos hasta expertos. Aunque esta

organización no es común en esta formación, el desarrollo de proyectos de ingeniería como

dispositivo didáctico es bastante utilizado. En estos proyectos, los equipos de estudiantes

deben generar un prototipo, una propuesta innovadora o un dispositivo que reduzca costos

o permita producir un componente de un proyecto más importante. En el desarrollo de la

AEI-REST que involucraba estudiantes de diferentes asignaturas y semestres, fue

125

necesario también tener un equipo de profesores responsables de los cursos de Mecánica

estructural de materiales compuestos (MEMC), Cálculo integral (CI) y Diseño (D). Aunque

las rampas sensoriales táctiles existen, solicitar a los estudiantes su diseño y construcción

tiene una característica que proviene del análisis praxeológico de la mecánica estructural

de materiales compuestos, en particular del reporte técnico Nettles (1994) y del trabajo con

el experto: el tipo de material de construcción la rampa debe ser laminado y de un costo

asequible, ya los estudiantes deben construirla. Esto implica que los estudiantes realicen

un estudio sobre las rampas existentes y propongan un diseño distinto y en ese sentido

innovador, incluso el que su construcción tenga un costo menor que las que existen en el

mercado. En la primera parte de este capítulo se presenta la AEI-RTEST.

Para analizar el desarrollo de la AEI-RTEST y particularmente los tres momentos del

proceso de estudio, definidos en Chevallard (2002): momento del primer encuentro M1,

momento exploratorio M2 y momento de construcción del entorno tecnológico teórico M3,

la AEI-RTEST es vista a través de tres fases las cuales se pueden relacionar con tres

grandes tipos de tareas: T1) Proponer un primer diseño para la rampa RTEST

(anteproyecto), T2) Calcular esfuerzos del material laminado y T3) Elaborar y elegir

materiales para la rampa RTEST: Laminado tipo sándwich, este tipo de material se

construye uniendo dos láminas delgadas llamadas pieles a un núcleo que mantiene un

determinado espacio entre las dos laminas, Gay, (2015) y para la parte sensorial táctil,

desarrollados cada uno en una de las tres fases de la AEI-REST. En cada fase, los

estudiantes produjeron un reporte para el cual les fue dado una pauta. En la fase 1 (tres

semanas) se realizó T1 y se produjo un reporte inicial, en la fase 2 (tres semanas) se

desarrolló T2 y se produjo el reporte intermedio y en la fase 3 (cuatro semanas) se realizó

T3 y se produjo el reporte final.

Para el análisis de la AEI-RTEST se eligieron tres equipos, llamados aquí: equipo 1, equipo

2 y equipo 3. Los equipos 1 y 2 realizaron una AEI-RTEST de manera similar a la de los

dos equipos que no se consideran en este análisis y por eso fueron elegidos. Mientras que

el equipo 3 realizó una propuesta muy distinta al resto, quizá por no tener diseñadores entre

sus integrantes. Consideramos que esta selección se basa en la metodología de análisis de

casos propuestas en Artigue, y Blomhj (2013); Barquero, Serrano, y Ruíz-Munzón

(2016) y Bosch, Gascón, y Nicolás (2016).

126

A continuación, se presenta las consideraciones para el diseño de la AEI-RTES,

consideraciones para su diseño y tiempo para su ejecución.

Diseño de la AEI-RTEST

Las cuatro fases del diseño de la AEI-RTEST son las siguientes:

Fase 1. Elección de un contexto extra-matemático, eligiéndose el de materiales compuestos

Fase 2. Análisis praxeológico e identificación de un modelo matemático, en esta fase se

realizó un análisis praxeológico del reporte técnico de materiales compuestos Nettles,

1994, en el que se caracterizan los materiales laminados y se presenta la técnica para hacer

los cálculos de esfuerzos para estos materiales. Se reconoció un elemento tecnológico la

ley de Hooke para materiales laminados, que se basa en un modelo matricial que relaciona

los esfuerzos con las propiedades elásticas (módulo de Young) y la deformación de los

materiales. Si se quiere obtener los esfuerzos, basta con hacer la multiplicación de la matriz

de elasticidad con la matriz de deformación, pero si se desea encontrar la deformación,

primero se calcula la inversa de la matriz de elasticidad, obteniéndose la matriz de rigidez

que se multiplica por la matriz de esfuerzos para determinar la deformación del material.

Así, se reconocieron los elementos del álgebra lineal figuraban en estos cálculos.

Fase 3. Análisis del modelo matemático identificado y su relación con E(M), aquí se hace

el análisis de modelo matemático. Con el objetivo de reconocer la forma en que los

elementos del álgebra lineal utilizados en el cálculo de esfuerzos son enseñados, se analizó

el libro de Grossman y Flores-Godoy (2012).

Fase 4. Diseño de la actividad didáctica para E(M), con el estudio del contexto y los análisis

realizados en las tres fases anteriores posibilita, el solicitar la construcción de materiales

compuestos, para construir con ellos una rampa, esto proviene específicamente viene del

trabajo con el experto y del análisis presentado en el capítulo cuatro (fase 2). Los análisis

permitieron determinar la tarea principal de la AEI-RTEST, construir una Rampa

Terapéutica Táctil, solicitar el diseño y construcción de una rampa se motiva, además, por

el hecho de que los ingenieros aeroespaciales al egresar de la carrera alguna de sus tareas

es diseñar y construir aviones, trenes de aterrizaje, rampas de acceso, entre otras. Sin

127

embargo, el dominio de la aeronáutica requiere mucha exactitud y precisión, esto llevó a

considerar que solicitar en la AEI, la construcción de una rampa de acceso quedaría fuera

del alcance de los estudiantes por la exigencia de precisión. En cambio, la construcción de

la rampa terapéutica no requiere de tanta precisión, pero es del tipo de tarea, construcción

de una rampa.

La AEI-RTEST se desarrolla en tres fases, la primera fase consiste en hacer la propuesta

de diseño de la rampa, donde los estudiantes deben determinar las dimensiones de la rampa,

su ángulo de inclinación, elegir el material para construirla y determinar su diseño –forma

de la rampa-. En la segunda fase, se espera que se haga el cálculo de esfuerzos para los

diferentes tipos de materiales, material laminado, material táctil, material para la estructura.

Para esto, se espera utilicen el modelo matemático de la ley de Hooke para materiales

compuestos, laminados, determinando la matriz de elasticidad para después obtener la

matriz de rigidez mediante la inversa de la matriz de elasticidad, para finalmente hacer la

multiplicación de matrices, obteniendo así los esfuerzos y deformaciones para el material

y determinar si éste es realmente apropiado para la construcción de la rampa. Finalmente,

la tercera fase consiste en la elaboración de la rampa: elaboración de la estructura de la

rampa, construcción del material laminado y ensamblaje de la rampa. Aquí se espera que

los estudiantes construyan la estructura de la rampa con el material elegido (madera o

metal), hagan su propio material laminado, realizando sus pieles de fibra de vidrio y

pegarlas con el núcleo del material que utilizarán: divincel, honeycomb de cartón y

honeycomb de aluminio, etc., dejando listo el material laminado y finalmente ensamblen

el material laminado en la estructura de la rampa. A continuación, se presenta la AEI-

RTEST.

AEI Diseño y construcción de Rampa terapéutica RTEST

Este proyecto será desarrollado en equipos estudiantes del tronco común de ingeniería,

ingeniería aeroespacial y diseñadores industriales. El objetivo principal es construir una

rampa terapéutica (RTEST).

Para construir la rampa deberán:

a) Determinar un ángulo de inclinación que debe de tener la RTEST.

128

b) Elegir diferentes tipos de superficies, para la estimulación sensorial y táctil

o considerar una sola superficie. La elección debe justificarse.

c) Utilizar material compuesto LAMINADO, (debe ser fabricado por

ustedes).

Entregables del proyecto y fechas:

Reporte inicial: primer informe (propuesta del proyecto)

En un reporte de no más de 2000 palabras, sin contar las referencias, presentar:

I. Breve introducción de la propuesta

II. Descripción de una RTEST.

III. Bosquejo de la RTEST que se proyecta construir, detallando medidas y

considerando que es para niños de 3 a 10 años de edad.

IV. Propuesta de materiales para la estructura de la RTEST (el material debe ser

laminado).

V. Materiales propuestos para la estimulación sensorial y táctil.

VI. Determinar los tipos de esfuerzos que se deben calcular.

VII. Justificación de la propuesta (argumentar por qué ésta es la mejor propuesta

para desarrollar el proyecto).

VIII. Presentación de 6 diapositivas donde expliquen las actividades de la fase

Entrega del documento y presentación: tres semanas

Reporte intermedio: segundo informe

Realizar un reporte de no mayor a 4000 palabras, sin contar las referencias, desarrollando

los siguientes apartados:

I. Breve introducción al reporte

II. Validación de los materiales compuestos (el material debe de ser laminado)

III. Reporte y justificación del avance de la construcción de la rampa.

IV. Cálculos de esfuerzos

V. Presentar los cálculos de esfuerzos.

129

VI. Explicar y justificar la forma de realizar los cálculos.

VII. Justificar que estos cálculos aseguran la viabilidad de construcción de la rampa.

VIII. Justificación de las superficies por donde caminarán los niños.

IX. Conclusión que evidencie que el avance del proyecto es pertinente.

Entrega del documento y presentación: tres semanas

Entrega de rampa y reporte final

Realizar un reporte de no mayor a 5000 palabras, sin contar las referencias, desarrollando

los siguientes apartados:

I. Exposición del proyecto (3 de junio del 2016).

II. Entrega de la rampa.

Reporte final: tercer informe

El reporte final debe contener, resumen, introducción, objetivo, desarrollo (incluir en este

apartado los cálculos para el desarrollo del prototipo), metodología, conclusión y

referencias.

Entrega del documento y presentación: cuatro semanas

NOTA: Toda la información deberá de ser referenciada en estilo APA y que ésta sea

fidedigna.

Elementos para el análisis de la AEI-RTEST

A continuación, se presenta la AEI-RTEST en cada una de estas fases, dentro de las cuales

existe una praxeología inmersa, basándose en los reportes de los estudiantes e investigando

obras que permiten comprender las técnicas puestas en funcionamiento y sobre todo las

tecnologías asociadas.

130

A partir de un primer análisis de los reportes de los cinco equipos, se consideró que las

praxeologías, considerando tres de sus cuatro componentes pueden esquematizarse de la

manera siguiente:

Figura 21. Esquema de la AEI-RTEST donde señala las tareas, técnicas y en la fase que se encuentran.

La técnica 𝜏1 , puede relacionarse estrechamente con una metodología de diseño,

comúnmente utilizada en la construcción de prototipos, que aquí será considerada de

acuerdo a Prado, Avila, y Herrera, (2005), siguiendo la orientación del experto en

antropometría. La técnica τ2, es una técnica para el cálculo de esfuerzos de materiales

laminados isotrópicos y ortotrópicos, que está inmersa en la asignatura de MEMC

(institución de enseñanza de disciplinas intermediarias), cuyo análisis detallado se presentó

en el capítulo 4 y se basa en la información presentada en Nettles, (1994). La técnica 𝜏3,

131

puede relacionarse con técnicas prácticas para la construcción de materiales laminados y

estructura de la rampa, solicitando técnicas y tecnologías que surgieron en las fases

anteriores; que ayudan a exhibir las instituciones prácticas en donde se describen técnicas

para la elaboración de materiales laminados y en algunos casos se generan tecnologías

prácticas.

Análisis de la fase uno

En la primera fase se les solicitó a los estudiantes, proponer un primer diseño para la rampa

RTEST (t1). El análisis de esta fase se basó en el reporte inicial entregado por los equipos

de estudiantes, buscando evidenciar los cuatro pasos de τ1, a partir de las partes del reporte,

como se muestra a continuación:

Paso 1. Bosquejar la rampa (II y III),

Paso 2. Determinar las dimensiones de la rampa (II y III),

Paso 3. Elegir material para la estructura de la rampa (IV)

Paso 4. Realizar el diseño preliminar de la rampa. (V y VI)

Elementos para el análisis de los cuatro pasos

Los pasos 1 y 2 pueden relacionarse con un proceso de adecuación antropométrica en el

diseño industrial, como la propuesta en Prado, Avila, y Herrera (2005), cuya metodología

es:

1. Reconsiderar las componentes y objetivos del sistema hombre –objeto-entorno

planteados desde el comienzo a lo largo del proyecto.

2. Determinar la o las dimensiones del objeto o espacio en que se llevará a cabo la

adecuación antropométrica.

3. Determinar la dimensión del cuerpo que ha de tomarse en cuenta para la

adecuación antropométrica.

4. Determinar el principio ergonómico que se aplicará. Éste puede tener un efecto

directo sobre la dimensión antropométrica utilizada.

132

5. Determinar si será un solo tamaño de diseño para todos los usuarios. Si no es así,

deberán establecer varios tamaños o un diseño ajustable para satisfacer a todos

los usuarios.

6. Seleccionar el percentil adecuado (1, 5, 50, 95 o 100). Cuando un producto de un

solo tamaño va a ser usado por personas de diferentes tallas es necesario

considerar al usuario del percentil adecuado.

7. Extraer la dimensión humana seleccionada de las tablas antropométricas

correspondientes a la población usuaria específica (pueden ser niños, mujeres u

hombres de determinada población). Si no existe una tabla de medidas, se

recomienda tomar una muestra relativamente pequeña de usuarios reales y

medirlos entre 100 – 150 sujetos representativos.

8. Considerar las holguras, movimientos, ropa, calzado, tareas, postura; en fin, todos

los lineamientos descritos en la primera sección.

9. Hacer las operaciones aritméticas correspondientes, para determinar la dimensión

específica del objeto.

10. Simulación preliminar. Combinar todos los valores de diseño obtenidos en una

simulación hecha con base en dibujo a escala, maqueta o modelo elaborado por

computadora para averiguar si son compatibles.

11. Análisis de modelos físicos a pequeña escala.

12. Pruebas de requerimientos funcionales. (pp. 113-121)

En el paso 3, donde se determina la dimensión del cuerpo que ha de tomarse en cuenta

para tomar decisiones antropométricas, proporcionamos unos ejemplos para tener

una mejor comprensión de lo que se tiene que hacer: Conocer el largo de la mano,

relacionado con el tamaño del mango de una cafetera para 12 tasas; El perímetro de

la cabeza de una persona, relacionado con el tamaño de un casco; etc.

En el caso 4, donde se determina el principio ergonómico que usara, a continuación,

se presenta un ejemplo: Un principio ergonómico es mantener la configuración

esquelética óptima; dado el tipo de trabajo que se hace al lavar los trastos, se

recomienda que la altura del fregadero sea de 25 mm debajo de codo flexionado.

Enseguida se presenta el análisis del reporte inicial por equipos con base a los pasos de la

técnica mencionados anteriormente. Iniciaremos con el análisis del equipo 1.

133

Análisis del equipo 1

Paso 1. Bosquejar la rampa

Este es el primer encuentro con el tipo de tarea T1 (momento 1), podríamos decir que ellos

buscan responder las cuestiones: ¿cómo diseñar la rampa? ¿Hay normas oficiales que debe

atender su diseño? Como los estudiantes investigaron e identificaron la norma (NOM-001-

SSA1-1993, NOM-233-SSA1-2003), en la que se establecen los requisitos arquitectónicos

para facilitar el acceso, tránsito, uso y permanencia de las personas con discapacidad en

establecimientos de atención médica ambulatoria y hospitalaria del Sistema Nacional de

Salud, ellos consideran no usar la norma para el diseño de su rampa. Presentamos unos

elementos de la norma: Indica las características de los pasamanos: Tubulares de 0.38 m

de diámetro, en rampas y escaleras deben prolongarse 0.60 m en el arranque y en la llegada.

Esto puede deberse a que los estudiantes reconocen dificultades para alcanzar la norma y

que realmente no están buscando patentar un nuevo diseño ni venderlo al público. El equipo

1 presenta en su reporte una serie de bosquejos realizados antes de indicar el definitivo, los

cuales fueron numerados para poder tener el orden cronológico que siguieron para llegar a

la propuesta final. Los alumnos al hacer la revisión de rampas terapéuticas, encontraron

páginas web de empresas que venden este tipo de productos. Por las imágenes e

información que aparecen en el reporte se pudo identificar los medios que utilizaron, estas

páginas presentan una breve descripción de los productos, materiales que utilizan y en

algunos casos medidas de escalones o inclinación de la rampa. Éstos, fueron el resultado

de investigar sobre las diferentes rampas terapéuticas existentes

(http://rehabilitacionyfisioetarpiaortotec.blogspot.mx/2010/06/mecanoterapia-la-

mecanoterapia-es-la.html, http://www.cuiddo.es/escalera-rampa-metalica-pasamanos-

regulable.html, http://www.chinesport.it/catalogo/parallele-e-scale-perriabilitazione/), a

continuación, se presenta un ejemplo de rampas las cuales se pueden apreciar en las

direcciones electrónicas mostradas anteriormente. La rampa de la Figura 2, que aparece en

los reportes se encuentra en la primera página, las otras dos páginas muestran imágenes de

rampas que también aparecen en los reportes.

134

Figura 22. Imagen de una rampa terapéutica comercial. Obtenida de

http://rehabilitacionyfisioetarpiaortotec.blogspot.mx/2010/06/mecanoterapia-la-mecanoterapia-es-la.html.

En seguida se presenta la secuencia de los cuatro bosquejos de la rampa del equipo uno, en

ellos no aparecen medidas, se privilegia la estética basada en el diseño: uso de colores, de

formas, incluso del teclado de un piano, que muestran que están pensadas para niños

pequeños.

Figura 23. Bosquejo de la rampa para del equipo 1.

1

2

3 4

135

Antes de iniciar con el análisis del bosquejo, presentamos algunas definiciones de rampa

desde el punto de vista de la arquitectura y de la mecanoterapia. Las páginas de donde se

obtuvo está información fueron propuestas por los maestros de las asignaturas de Diseño y

Antropometría.

Arquitectura:

Rampa: Plano de declive que permite conectar dos niveles a distinta altura.

Rampa de acceso: Rampa que conduce de una planta a otra, que puede o no conectar

con el exterior.

Rampa escalonada: Secuencia de rampas conectadas entre sí mediante escalones.

Diccionario de arquitectura y construcción (http://www.parro.com.ar/definicion-de-

rampa)

Mecanoterapia:

Actividad terapéutica que agrupa a un conjunto de técnicas de tratamiento, basadas

principalmente en la movilización de tejidos y articulaciones, estiramientos y

fortalecimientos músculo-tendinosos, relajación neuromuscular, facilitación

propioceptiva, reeducación motora y en general cualquier técnica encaminada a

enseñar, recuperar, reforzar o propiciar alguna habilidad del sistema

neuromusculoesquelético. Fundamentalmente se requiere para su aplicación, de un

ambiente terapéutico adecuado, con objetos y aparatos que faciliten cualquiera de los

objetivos propios de un programa, siempre guiada por un terapista físico

experimentado en las diferentes técnicas descritas anteriormente.

Barras paralelas: Para el entrenamiento y reeducación de la marcha asistida, con

descarga parcial de paso. Para adultos y niños, apertura y altura ajustable con

plataforma de madera de pino de primera calidad, laqueada y sellada, con pasamanos

de tubo redondo de acero cromado. Dimensiones: 3 m. de Largo x 80 cm. de ancho.

(Plataforma para niños y adultos) con un ángulo de inclinación de 0 grados.

http://www.parro.com.ar/definicion-de-rampa)

http://www.parro.com.ar/definicion-de-rampa)

136

Rampa: Es para el entrenamiento de la marcha agregando mayor complejidad,

fabricada en pino, acabado barniz natural.

Rehabimedic (http://www.rehabimedic.com)

El primer bosquejo no tiene escalones, el piso de la rampa lo hicieron semicircular, con

una pendiente no muy pronunciada, le agregaron un pasamanos de ambos lados para que

los niños pudieran apoyarse y pudieran realizar su terapia, además tenían la idea de

agregarle una bocina para que las personas que la usaran pudieran escuchar música. En el

segundo bosquejo se puede apreciar claramente que la forma de la rampa cambió, aunque

mantuvieron ciertos elementos: la bocina y el pasamanos. Ahora querían que el piso fuera

como un piano para que mientras caminaran se escuchara una nota musical. La pendiente

de la rampa la hicieron más pronunciada y le agregaron tres escalones perpendiculares a la

rampa.

En el tercer bosquejo respetaron ciertos elementos como fueron los escalones, el

pasamanos y la misma pendiente, el cambio fue quitar la bocina y decorar la rampa y el

pasamanos con figuras geométricas de colores para hacerla más agradable para los niños.

En el penúltimo bosquejo, cambiaron la dirección de los escalones dejándolos en la misma

dirección que la rampa (eliminaron la forma de L), el pasamanos lo pintaron de colores y

le agregaron un ajustador para poder subir o bajar el pasamanos.

Notamos que, en estos cuatro bosquejos, la geometría (o forma) de la rampa va variando

acercándose a lo que es una rampa terapéutica, aquí no figuran las dimensiones y el

elemento estético aparece con mayor fuerza. Los estudiantes buscan que la rampa sea

colorida, con formas divertidas e incluso que pudiera ofrecer música. Algunas preguntas

emergen, ¿determinar el elemento estético está asociado con la elección del material y el

cálculo de su resistencia? ¿Es un elemento tecnológico? El momento M1 de la AEI–

RTEST, se puede apreciar en la secuencia de bosquejos presentados en la figura 3. Los

alumnos buscaron en diferentes páginas de internet de diversas empresas que se dedican a

vender rampas terapéuticas, enfocadas únicamente en corregir el problema de la marcha,

logran apreciar las diferentes geometrías, en L (imagen 2 y 3) o en línea recta (imagen 4)

http://www.rehabimedic.com)/

137

las cuales son válidas ya que estas son las dos geometrías que se pueden apreciar en la

mayoría de las páginas de mecanoterapia o rehabilitación.

Paso 2. Determinar las dimensiones de la rampa

Determinar las dimensiones de la rampa, solicita utilizar algunos elementos

antropométricos. Para elucidarlos, se ha consultado un trabajo del Instituto Nacional de

Seguridad e Higiene en el Trabajo, en el cual se presentan los conceptos básicos de

antropometría. La antropometría es el estudio cuantitativo de las características físicas del

ser humano, y se divide en dos, estática y dinámica.

La antropometría estática es la que se encarga de obtener las mediciones del cuerpo humano

en una posición fija y específica, se utiliza para diseñar las dimensiones de espacios de

trabajo, determinando las distancias entre el cuerpo y lo que lo rodea. Por ejemplo,

herramientas, mobiliario etc.

La antropometría dinámica es la que se ocupa de hacer las mediciones del cuerpo humano

a partir del movimiento asociado a determinadas actividades, de aquí se pueden diseñar

uniformes de trabajo, deportivos etc.

Las dimensiones del cuerpo humano como estatura, altura del codo, altura de rodillas,

ancho máximo del cuerpo, alcance brazo frontal, alcance brazo lateral, longitud de la palma

de la mano, diámetro de empuñadura, están distribuidas normalmente, los percentiles

determinan el porcentaje de un dato antropométrico siendo igual o menor a un determinado

valor. Por ejemplo, cuando nos referimos a la talla, el percentil 50 (P50) indica que el

individuo tiene una talla promedio, es decir pertenece al 50% de la población que tiene esa

talla (o una menor).

Para determinar las dimensiones de la rampa es necesario calcular los percentiles de niños

y niñas de 3 a 11 años, lo que permite determinar estatura, altura del codo, altura de rodillas,

ancho máximo del cuerpo, alcance brazo frontal, alcance brazo lateral, longitud palma de

la mano, diámetro de empuñadura. Es necesario, calcular los percentiles de 95, 50 y 5, para

poder estimar adecuadamente las longitudes corporales de los niños y asimismo poder

proponer las dimensiones de la rampa tomando en cuenta que el 95% de los niños de 3 a

138

11 años pueden usarla. En la siguiente tabla se ilustra el percentil 5 para niñas de 3 a 11

años y se presenta a manera de ejemplo,

Tabla 2

Percentil 5 que representa el mínimo para niños y niñas de 3 a 11 años

En este segundo paso de la técnica los estudiantes deben hacer los cálculos de los

percentiles o consultar trabajos publicados con las medidas antropométricas de diferentes

grupos étnicos, esto determina el máximo, la media y el mínimo para las dimensiones que

requieren los individuos de la muestra. Los estudiantes del equipo 1 investigaron en Avila-

Chaurand, Prado-León y González-Muñoz (2007), que es un trabajo donde se muestran las

medidas antropométricas de la población Mexicana, Cubana, Colombiana, Chilena y

Venezolana, de niños, jóvenes y adulto, los percentiles de 95, 50 y 5 P95, P50 y P5

respectivamente. Este paso de la técnica estuvo a cargo de los estudiantes de diseño,

quienes desde el tronco común cursan materias, en las cuales este tipo de cálculos se hacen

recurrentemente, mientras que los estudiantes de ingeniería no cuentan con esta formación,

ellos construyen y diseñan midiendo a personas conocidas y generalmente calculan un

promedio. El promedio es algo que en antropometría no se debe de hacer, se trabaja con

percentiles de P5, P50 y P95, en casos que se requiera más precisión, se trabaja con P1, y

P99. Estos percentiles se utilizan cuando se diseñan elementos de seguridad para trabajos

en la empresa.

139

Paso 3. Elegir material para la estructura de la rampa RTEST

En esta parte los alumnos proponen un solo material para la estructura de la rampa

justificando su elección a partir de enumerar sus ventajas, por lo que es muy posible que

está selección se haya hecho considerando su experiencia, ya que han hecho otros trabajos

y han trabajado con este material, desde tercer semestre los alumnos llevan materias de

máquinas y herramientas y diseño aeronáutico y es donde comienzan a trabajar con fibra

de vidrio, tubulares cuadrados o redondo de acero o aluminio.

Tubular cuadrado: Perfil tubular rectangular, este tipo de perfil le garantiza la

resistencia estructural demandada. Su presentación es en tramo, contamos con

diferentes pesos, espesores, áreas y colores de identificación. Esta familia de perfiles

está constituida por rectangulares, cuadrados y tubos redondos, para usos

estructurales o industriales de acuerdo a norma ASTM A-500 y largos estándar de 6

metros. Por sus características pueden ser utilizados para fines generales y

estructurales.

Ventajas

Los tubos estructurales soldados ofrecen grandes ventajas sobre los clásicos perfiles

estructurales:

* Por su forma cerrada y bajo peso presentan un mejor comportamiento a esfuerzos

de torsión y resistencia al pandeo.

* Facilidad de montaje, permitiendo la realización de uniones simples por soldadura.

* Superficies exteriores reducidas, sin ángulos vivos ni rebabas, permitiendo un fácil

mantenimiento y protección contra corrosión.

* Posibilidad de configuraciones de gran belleza.

Los estudiantes no hacen cálculos de resistencia para saber qué material es el más

adecuado, en cambio, escogen el material en base a la experiencia adquirida en proyectos

140

escolares previos. En las materias de diseño, las cuales cursan desde el primero hasta el

décimo semestre, los estudiantes trabajan con distintos materiales como cartón, madera

(por ejemplo, pino o triplay), metal (como el acero o aluminio en forma de placas o tubos),

cerámica y vidrio. Se podría decir que reconocen que están desarrollando un proyecto

escolar, lo que hace intervenir su experiencia y podríamos también decir que la función

facilitar el uso aparece aquí. Es decir, si un material utilizado en otro proyecto ha mostrado

cumplir con las ventajas que se señalan, ¿por qué habría de ser necesario hacer cálculos

que garanticen lo que se conoce? Además, en las ventajas enumeradas, aparece la facilidad

de montaje, un mantenimiento fácil y su maleabilidad para conseguir configuraciones “de

gran belleza”. Es interesante notar, cómo otra vez se hace alusión a la estética, ¿hasta qué

punto este elemento resulta importante para la elección de un material?

Paso 4. Realizar el diseño preliminar de la rampa RTEST

En el último paso de la técnica los alumnos muestran un diseño preliminar de la rampa

RTEST, que es en donde se conjuntan los resultados de los pasos anteriores para proponer

su diseño, como se ilustra a partir de lo presentado en el apartado VII de su reporte:

Características a considerar en el diseño

Cuando sea posible, el pasamanos debe tener dos alturas, la superior entre 95-105 cm

y la inferior entre 65-75 cm. Debe estar separado de la pared entre 4.5-5.5 cm. Debe

extenderse por lo menos 30 cm más allá de los extremos de la escalera, así como

tener una sección preferentemente circular de diámetro entre 4-5 cm.

Pendiente

Determinada por la relación entre el desnivel que se debe salvar y la longitud de la

proyección horizontal. Las pendientes máximas según la proyección horizontal L del

plano inclinado de la rampa, son las siguientes: - Si la longitud de la proyección

horizontal es mayor de 6 m y menor de 9 m, la pendiente máxima será del 6%. - Si

la longitud de la proyección horizontal es mayor de 3 m y menor o igual a 6 m, la

pendiente máxima será del 8%. - Si la longitud de la proyección horizontal es menor

o igual a 3 m, la pendiente máxima será del 10%.

141

Ancho

El ancho mínimo recomendable es de 120cm. Si se prevé una circulación intensa en

ambos sentidos, entonces el ancho debe ser mínimo 180cm. Las rampas en tramos

con más del 6% de pendiente y que salven un desnivel de más de 18,5 cm tendrán un

pasamanos a ambos lados. Teniendo en cuenta los datos anteriores, haremos el

cálculo de las dimensiones de la rampa que necesitamos.

Figura 24. Propuesta final de la rampa RTEST del equipo 3

El cálculo de los percentiles que fue analizado en el paso 2 de la técnica, les ayuda a

determinar las dimensiones que utilizarán para la propuesta final del diseño de la rampa.

Para esta propuesta, los alumnos anotaron todos los materiales que van a usar para la

estructura de la rampa y el pasamanos. El pasamanos lo están proponiendo ajustable para

que lo puedan utilizar los niños de entre 3 y 11 años. La norma oficial mexicana NOM-

142

233-SSA1-2003, establece los materiales y dimensiones para rampas en lugares públicos

que permitan el acceso a personas con discapacidad.

La propuesta del diseño que presenta este equipo, es similar a algunas rampas que se

encuentran en el mercado con una geometría en línea, esta disposición para la rampa y las

escaleras, presenta una ventaja, se reduce el espacio que se debe utilizar para su uso. Los

materiales para la estructura de la rampa los proponen basados en su experiencia en

proyectos escolares previos y los materiales que se están utilizando en las rampas

existentes, ya que ellos no justifican la elección de los materiales, si no a partir de una

comparación entre ventajas y desventajas de diferentes materiales. En la parte sensorial

táctil, los alumnos no encontraron información fidedigna. Pudieron haber encontrado

información referente a la parte sensorial táctil de una empresa que se especializa en

generar espacios de estimulación como Snoezelen, como también existen investigaciones

que proponen materiales para espacios o actividades que promuevan estimulación táctil,

visual, auditiva (Molina y Banguero 2008 y Lázaro, Blasco y Lagranja 2010). Estos

trabajos han mostrado que los materiales deben de ser de diferentes texturas para que

puedan experimentar diferentes sensaciones como superficies: suaves, duras, ásperas, lisas.

Ahora se analiza la tarea 1 desarrollada por el equipo cuatro, buscando ilustrar los cuatro

pasos de la técnica y su tecnología asociada.


Paso 1 Bosquejo de la rampa

En este primer paso de la técnica los estudiantes presentan un bosquejo de la rampa,

resultado de una búsqueda en internet, que funciona como media, sobre las diferentes

rampas que se utilizan para dar terapia. A partir de esta búsqueda, los estudiantes eligieron

colocar la siguiente información: descripción de la rampa, materiales para la estructura,

material para la superficie, dimensiones y acabado. Todos los tipos de rampas que

investigaron tienen de dos a cuatro escalones, pero ellos en su diseño eliminaron los

escalones proponiendo sólo la pendiente de la rampa como se muestra en la figura 4, aquí

no toman en cuenta un descanso para la rampa y al parecer el acceso se hace

exclusivamente por el inicio de la rampa.

143

Figura 25. Bosquejo de la rampa para del equipo 4.


Para determinar las dimensiones de la rampa se apoyan en la antropometría como

herramienta para cuantificar las medidas del cuerpo humano, en este caso de los niños de

3 a 11 años. Revisando las medidas de los P5, P50 y P95 de los niños, los estudiantes

presentan una tabla con dichos percentiles, a manera de ejemplo se presenta una con las

medidas de las niñas de 3 a 5 años, con todos los percentiles mencionados anteriormente,

en el reporte se muestran los percentiles para niños y niñas de 3 a 11 años. Las tablas

mostradas por los estudiantes provienen de Avila-Chaurand, Prado-León y González-

Muñoz, (2007). Se seleccionó esta tabla para presentar una análoga a la del equipo anterior.

Los estudiantes reconocen la importancia de las medidas antropométricas para el diseño de

la rampa, ya que éstas les ayudarán a justificar su propuesta, mostrando a los percentiles

como un elemento tecnológico que permite determinar las dimensiones de la rampa y

validando la geometría propuesta, como lo presentan en su reporte.

Para poder proponer una estructura y dimensiones de la rampa terapéutica,

necesitamos conocer las dimensiones antropométricas de los niños de 3 a 11 años.

Esta información nos ayudará a determinar elementos muy importantes de la rampa

como:

144

1. Peso y estatura de los usuarios. Esto determinará si el material puede soportar el

peso de las personas que le den uso a la rampa. (Se debe de tomar en cuenta que

el material debe reforzarse, de tal manera que pueda soportar por lo menos 10 kg

más)

2. Anchura de la rampa

3. Longitud de la rampa

4. En caso de llevar barandal, ayudará a determinar la altura y grados de colocación

de éste.

5. Grosor de la barra para el barandal.

6. En caso de ser una rampa con escaleras, distancia de escalón a escalón.

Percentiles, 5, 50 y 95 para niñas de 3 a 5 años, Avila-Chaurand, Prado-León y González-Muñoz,

(2007)

NUMERO DE

USUARIOS N = 56 N = 40 N = 48

EDAD DEL

USUARIO 3 Años 4 Años 5 Años

NIÑAS PERCENTILES PERCENTILES PERCENTILES

DIMENSIONES 5 50 95 5 50 95 5 50 95

Peso (kg) 12 15 18.6 13.7 16.9 20.3 14.5 19 24.5

Estatura 892 969 1044 960 1035 1112 1016 109

4

118

8

Altura muñeca 403 447 493 436 481 525 456 513 572

Altura del codo 509 575 641 555 625 693 571 662 755

145

El objetivo de conocer los percentiles es para poder tener una idea de las dimensiones de

los niños y niñas entre las edades de 3 a 11 años, específicamente del 95% o menor de la

población de niños de 3 a 11 años de la región y con esta información poder presentar un

diseño de la rampa.

Nota: Las medidas que presentan en este cálculo está dada en milímetros.


En este caso los estudiantes proponen dos materiales para la estructura de la rampa,

justificando el uso de cada uno de ellos, como se muestra a continuación.

Fibra de vidrio: Las fibras de vidrio son buenos aislantes térmicos debido a su alto

índice de área superficial en relación al peso. Los bloques de fibra de vidrio atrapan

aire entre ellos, haciendo que la fibra de vidrio sea un buen aislante térmico, con

conductividad térmica. Las fibras recién hechas, más delgadas, son las más fuertes

debido a que son más dúctiles. Cuanto más se raye su superficie, menor será la

tenacidad resultante. Debido a que el vidrio presenta una estructura amorfa, sus

propiedades son isotrópicas, es decir, son las mismas a lo largo y ancho de la fibra (a

diferencia de la fibra de carbono, cuya estructura molecular hace que sus propiedades

sean diferentes a lo largo y ancho). La humedad es un factor importante para la

tensión de rotura; puede ser adsorbida fácilmente y causar rupturas y defectos

superficiales microscópicos, disminuyendo la tenacidad.

Honey comb de Aluminio: El nido de abeja en aluminio es ligero, resistente a la

compresión y al corte, resistente al fuego y a la corrosión, imperecedero y

Anchura máx.

Cuerpo 260 295 330 268 300 334 270 310 350

Longitud de pie 138 153 168 148 165 181 152 175 191

Anchura de pie 55 63 71 57 66 73 61 69 77

Diámetro

empuñadora 20 23 26 21 25 28 21 26 31

146

reutilizable. Las aplicaciones del nido de abeja de aluminio son múltiples y en

sectores diferentes: - medios de transporte: desde la industria ferroviaria hasta la

industria naval

- como componente de máquinas, en la serigrafía, en el sector de la construcción, etc.

Además, el nido de abeja se utiliza como núcleo para paneles sándwich. Las

aplicaciones son las siguientes:

Suelos, techos, puertas, paredes divisorias, fachadas, encimeras para máquinas

automáticas y para todos los productos que necesitan tener una excelente relación

rigidez peso.

La fibra de vidrio y el honeycomb de aluminio son materiales que utilizarán para la

pendiente de la rampa, pero no en su estructura. Ahora bien, estos materiales proporcionan

el esfuerzo de compresión y de tensión dándole prioridad al material laminado. Los

materiales que proponen los alumnos son adecuados, aunque al consultarlo con el maestro

de la clase de mecánica estructural de materiales compuestos comentó: “el honeycomb de

aluminio es un buen material, pero es muy caro”, por lo que se les recomienda a los

estudiantes utilizar un honeycomb de cartón y la fibra de vidrio.


En esta parte de la técnica, los estudiantes proponen un diseño de la rampa y explican cómo

debe de ser una rampa de este tipo.

Una rampa terapéutica suele consistir de una plataforma en dos series de unos dos a

seis escalones de distinta altura o en una escalera y una rampa continua, con las

correspondientes barandillas o pasamanos a unos 90 centímetros sobre los escalones.

La escalera y la rampa se utilizan después de la iniciación de la marcha sobre barras

paralelas; de esta forma se introduce más dificultad como son los peldaños y

preparamos al paciente para la vida diaria en el que el uso de escaleras es muy

frecuente.

Ésta es utilizada para dar terapia complementaria a lesiones de cadera, rodilla y

tobillo, así como discapacidades que afecten al movimiento de las extremidades

inferiores.

147

Algunas de las características básicas que debe de cumplir una rampa terapéutica

son:

Contar con un barandal de apoyo

Una inclinación variable entre los 10 y 30 grados

Un mínimo de 5 a 6 escalones, de preferencia con altura regulable para cada tipo

de paciente y sus necesidades.

Ancho de 110 centímetros

El barandal de apoyo debe ser adaptado para diferentes alturas de los pacientes, la

variación de apoyo depende del nivel a la que se encuentre el paciente, entre mayor

ángulo mayor será el esfuerzo del paciente en hacer el recorrido del mismo.

Los estudiantes presentan nuevamente su bosquejo inicial (ver figura 4), en éste muestran

información de dos materiales con los que formarán el laminado que se utilizará para la

pendiente de la rampa; describen cómo se trabajan estos materiales presentando a

continuación la técnica:

1. Elige un área de trabajo ventilada para evitar los humos peligrosos de la

mezcla de resina. Trabajar con fibra de vidrio en un lugar cerrado puede

causar la irritación de la piel.

2. Se prepara el área donde se va a trabajar la fibra de vidrio y para ello se puede

utilizar algún tipo de molde que sea resistente a la fibra de vidrio y se tiene

que tomar en cuenta que si se va a trabajar en alguna especie de molde se

tiene que colocar un desmoldante previamente para cuando seque la fibra de

vidrio este pueda desprenderse fácilmente.

3. Se mezcla el endurecedor y la resina. Deja que la mezcla se seque rápido sin

usar demasiado endurecedor. No utilizar demasiado endurecedor prolongará

el tiempo de secado.

4. Corta la fibra de vidrio con un par de tijeras de aproximadamente 2 pulgadas

(5 cm) más grande que el molde.

148

5. Humedece la fibra de vidrio de modo que sea lo suficientemente flexible para

moldearla. Puedes pasar la resina con un cepillo sobre ella o puedes sumergir

la lámina de fibra de vidrio en la mezcla.

6. Coloca la base de fibra de vidrio sobre el molde para crear la base de tu pieza.

Añade las capas posteriores, siguiendo el mismo procedimiento, corta la placa

a medida, humedece y coloca sobre el molde. El número de capas depende de

la finalidad de la pieza que estás creando.

7. Lija los bordes de la pieza para crear una línea suave. Coloca la pieza en el

automóvil, y atornilla para mantenerla en su lugar. Aplica el sellador sobre el

panel, así como sobre la pieza, y permite que se seque. Pasa una lijadora

eléctrica sobre esa superficie, y añade otra capa. Repite el procedimiento

hasta que rellenes todos los huecos y la superficie sea lisa.

Enseguida, los estudiantes proponen un proveedor que puede surtir lo necesario en relación

a estos materiales. Este equipo se concentró en justificar el material laminado y no en

proponer material para la estructura de su rampa, muestran diferentes rampas y con ellas

el material propuesto para su estructura, pero no hacen eso para su rampa. Al final no

hicieron una propuesta del diseño de la rampa, ellos sólo se quedaron con el bosquejo

presentado en el paso 1 de la técnica.

Por último, analizamos el reporte inicial del equipo 3, analizando los cuatro pasos de la

técnica.


Paso 1. Bosquejo de la rampa

Este equipo no presenta un bosquejo de la rampa ya que no cuentan con ningún diseñador

dentro de su equipo y no diferenciaron entre bosquejo de la rampa y diseño preliminar.


El equipo no hizo este análisis ya que ninguno de los integrantes del equipo es un diseñador,

más bien ellos investigaron la norma utilizada para discapacitados de los Estados Unidos,

149

para poder proponer las dimensiones de la rampa y sus resultados se ven en el paso cuatro

de la técnica.


Los estudiantes se enfocaron en el material laminado y no en el material que utilizarán para

la estructura de la rampa sólo comentaron que este material debe de tener mucha

resistencia, para soportar el peso de los usuarios. Se presentan a continuación los materiales

propuestos por este equipo.

En Gay (2015), se presentan las propiedades de los materiales laminados tipo sándwich.

Una estructura tipo Sándwich resulta al unir dos extremos con un núcleo ligero y una

distancia predeterminada entre los extremos.

Las propiedades de los laminados tipo sándwich son las siguientes:

Su peso es ligero

Rigidez a la flexión muy alta

Excelentes propiedades de aislamiento térmico

Una de las configuraciones para estos materiales, recomienda que el núcleo tenga

materiales con propiedades mecánicas débiles, pero con extremos que tengan propiedades

mecánicas fuertes. Para proponer los materiales se debe tener en cuenta la relación peso-

resistencia. Los materiales que propuestos por los estudiantes fueron espuma de

poliestireno, honeycomb de aluminio, honeycomb de cartón con extremos de fibra de

vidrio.

150

El material propuesto para la construcción de la rampa es un material compuesto de

tipo sándwich, compuesto de 2 laminados de fibra de vidrio con resina de poliéster y

entre ellos se coloca un núcleo de Divinycell.

Figura 26. Panel de Divinycell.

Los materiales laminados tipo sándwich tienen una alta relación de resistencia-peso

con la única desventaja de que su método de fabricación es caro y tardado, y

dependiendo del método, incluso se podría llegar a necesitar equipo especial muy

costoso. Por eso, en aplicaciones no aeroespaciales, donde el peso no es un punto de

suma importancia, no es tan empleado.

Figura 27. Laminado tipo sándwich.


Los estudiantes proponen un diseño de la rampa y explican cómo debe de ser una rampa

de este tipo:

151

Para las consideraciones de tamaño de la rampa primero nos basaremos en las

medidas estipuladas en el “Americans with Disabilities Act” (ADA) del gobierno de

Estados Unidos que estipula los siguientes requerimientos:

Una pendiente no mayor a 1:12 que equivale a 4.8 grados de inclinación o 1

pie de rampa por cada pulgada de ascenso.

Un ancho mínimo de 36 pulgadas

Una altura del pasamanos mínimo de 34 pulgadas

Figura 28. Ejemplo de rampa usando los señalamientos del ADA.

Este diseño preliminar nos da un inicio en cuanto a medidas iniciales, se tiene el plan

de entrevistarse con expertos en rehabilitación y terapia física para mejorar esas

medidas y adaptarlas mejor a la situación, así como adaptar un sistema que permita

cambiar la inclinación de la rampa para poder obtener ejercicios más rigurosos y un

sistema que permita cambiar las superficies estimulantes, ya sea por exceso de

desgaste o para cambiar por otras diferentes haciéndolo más versátil. A continuación,

se muestra un bosquejo acotado de la rampa.

152

Figura 29. Medidas preliminares de la rampa (lateral y superior).

Este equipo propone modificar las medidas de la rampa después de tener un acercamiento

con expertos en el área de rehabilitación, aunque no cementan nada específicamente sobre

la entrevista con los expertos ni tampoco sobre cómo hacer modificaciones al ángulo de

inclinación, que éste sea modificable, conforme pase el tiempo y vayan mejorando los

usuarios pueda seguir siendo útil poniendo un nivel más de complejidad en los ejercicios.

Esta propuesta fusiona las barras con la rampa que son los aparatos que utilizan para

rehabilitar a los niños con problemas de marcha.

De la fase 1

Se encontró que en el paso 1 de la técnica que es el bosquejo de la rampa, los equipos 1 y

2, que son los que cuentan con diseñadores, muestran el dibujo que representa la idea de

cómo van a realizar la rampa, mientras que los integrantes del equipo 3 no hacen este dibujo

y ellos se van directo a la norma de los Estados Unidos ADA y buscan cuáles y cómo son

las rampas que se utilizan para dar terapia.

En el paso 2 de la técnica, determinar las dimensiones de la rampa, los equipos 1 y 2

calculan los percentiles de 95, 50 y 5 los cuales proporcionan el máximo, media y mínimo

de las medidas del cuerpo humano, estos fueron calculados para niños de 3 a 11 años de

esta manera están asegurando que las medidas abarcan hasta el 95% de la población de los

niños. El equipo 3 no sabe cómo hacer estos cálculos por lo que ellos consultan la norma

de los Estados Unidos ADA para obtener las dimensiones de la rampa.

153

El paso 3 de la técnica, que es elegir el material de la estructura de la rampa, el equipo 1

propone un material tubular cuadrado con las ventajas para su uso que son: 1) Por su forma

cerrada y bajo peso presentan un mejor comportamiento a esfuerzos de torsión y resistencia

al pandeo, 2) Facilidad de montaje, permitiendo la realización de uniones simples por

soldadura, 3) Superficies exteriores reducidas, sin ángulos vivos ni rebabas, permitiendo

un fácil mantenimiento y protección contra corrosión, 4) Posibilidad de configuraciones de

gran belleza, los equipos dos y tres en vez de proponer material para la estructura, proponen

material para la rampa, es decir se enfocan en el material laminado, en el que están

pensando para construir la pendiente de la rampa. Lo interesante sería ver al final cuál fue

el material que utilizaron para la estructura de la rampa.

El último paso de la técnica que es realizar una propuesta preliminar de la rampa RTEST,

el equipo 1 presenta un diseño de la rampa en donde incluye escalones proponiendo una

diferencia a los otros dos; el equipo 2 sólo presenta una rampa, pero ellos hacen énfasis en

el diseño en el material que van a utilizar para forrar la pendiente de la rampa, para la parte

sensorial. Por su parte, el equipo 3 presenta un diseño en base a la norma ADA, pero

proponen un cambio de dimensiones para que sea más pequeña junto con una innovación

en el diseño, proponiendo un mecanismo para ajustar en el ángulo de inclinación para que

la rampa pueda ser más versátil y con el tiempo poder proporcionarle ejercicios de mayor

intensidad.

La tarea t1 requiere una técnica τ1con cuatro pasos, los pasos 1 y 3 forman parte del primer

momento del AEI, que es el primer encuentro con la tarea T, el paso 2 inicia formando

parte del primer momento al resolver este paso los alumnos tienen que empezar a pensar

cómo calcular las dimensiones. Esto forma parte del segundo momento que es la

exploración de la tarea T1 y la emergencia de la técnica, que es cómo van a calcular los

percentiles. Por último, el paso 4 inicia en el momento 1, pero este paso también llega a

aparecer en el tercer momento, el de construcción del bloque tecnológico-teórico, los

estudiantes pueden explicar cómo hicieron los materiales laminados o por qué utilizaron

un material y no otro para la estructura de la rampa. Con esta información los estudiantes

ya pueden empezar a pensar cuáles son las técnicas, matemáticas o prácticas que van a

utilizar para la solución de su problema inicial.

154

Análisis de la fase dos

En la segunda fase se les solicitó a los estudiantes determinar las características del material

laminado elegido para la construcción de la rampa, realizar los cálculos de esfuerzos y por

último generar una propuesta viable para la rampa. Se recuerda que se les pidió entregar

un reporte, siguiendo la siguiente estructura:

I. Breve introducción al reporte

II. Validación de los materiales compuestos (el material debe de ser laminado)

elegidos

III. Reporte y justificación del avance de la construcción de la rampa.

IV. Cálculos de esfuerzos del material laminado.

V. Explicar y justificar la forma de realizar los cálculos.

VI. Justificar que estos cálculos aseguran la viabilidad de construcción de la rampa.

VII. Justificación de las superficies por donde caminarán los niños.

VIII. Conclusión que evidencie que el avance del proyecto es pertinente.

El análisis de la segunda fase se basó en el reporte intermedio entregado por los equipos

de estudiantes y se buscó dar cuenta de los tres pasos que conforman la técnica:

Paso 1. Determinar las características del material laminado (II y III),

Paso 2. Calcular esfuerzos del material laminado seleccionado (IV y V) y

Paso 3. Generar una propuesta materializable de la rampa RTEST (VI, VII y VIII).

A continuación, se presenta el análisis de los pasos de la técnica t2, basado en el reporte

intermedio. Iniciaremos con el análisis del equipo uno.

155

Análisis del Equipo 1

Paso 1. Determinar las características del material laminado

Se espera que los estudiantes describan el material laminado con el que pretenden trabajar,

investiguen sus características y las enuncien. Esto les permitirá tener la información

necesaria para iniciar el siguiente paso de la técnica dos: hacer el cálculo de esfuerzos.

Los estudiantes del equipo uno, inician presentando una lista de los materiales que van a

utilizar tanto para la estructura como para la pendiente y los escalones: 1) Perfiles

cuadrados huecos, 2) Conexión muro piso, 3) Tubos de acero para usos estructurales, 4)

Honeycomb de cartón, 5) Tapete antideslizante. Lo único que especifican son las

dimensiones de cada material y enseguida dan una breve explicación del uso que tiene en

la actualidad. Ellos no describen las características del material o lo que se debe saber para

realizar el cálculo de esfuerzos. Es importante, hacer notar que, aunque no pusieron esta

información en el documento, sí investigaron dichas características porque hicieron bien

los cálculos, ya que éstos fueron revisados por el experto (maestro del curso de mecánica

estructural de materiales compuestos).

Calcular esfuerzos del material laminado

En el segundo paso se espera que los estudiantes presenten la descripción tecnológica y

muestren la técnica del cálculo de esfuerzos con el material laminado con el que trabajarán.

Este equipo eligió el material laminado de fibra de vidrio/resina de poliéster y honeycomb

de cartón.

156

Los alumnos inician describiendo el proceso tecnológico presentando las fórmulas, que al

sustituir los valores presentan la técnica donde determinan el módulo de elasticidad

transversal y elasticidad fibra o longitudinal. El módulo de corte del material, el coeficiente

de Poisson, para entonces calcular la matriz de rigidez y obtener los esfuerzos utilizando

el material laminado con el que trabajarán para esta AEI. Al terminar, no presentan ninguna

conclusión o criterio considerado para determinar el material apropiado para realizar la

rampa, aunque los cálculos están bien hechos, parece que los estudiantes lo hacen como un

requisito que pide el trabajo. Es decir, no logran relacionar que los cálculos les permiten

justificar la elección del material para la rampa.

Figura 30. Cálculos de esfuerzos del equipo 1.

Generar una propuesta materializable de RTEST

En esta parte se esperaría ver una mezcla del reporte inicial con el reporte intermedio,

donde exponen que el material laminado elegido es el adecuado para la construcción de la

rampa y empleado a su propuesta de diseño inicial es funcional.

A continuación, se muestra la conclusión del reporte intermedio apartado VIII

Gracias a los avances realizados en la investigación y a los cálculos realizados se ha

comprobado teóricamente que es funcional el uso de los diversos materiales elegidos,

para la realización de la rampa. También hemos comprendido que el uso de estas

rampas sí generará un impacto terapéutico para los niños de la institución en donde

se instalará y la importancia de proyectos como éste. La resistencia de los materiales

157

y los cálculos nos ayudó a comprobar que la construcción de nuestra rampa es viable

y tendrá una estructura resistente y ergonómica. En cuestión a lo práctico, el avance

actual de la construcción de la rampa da una mayor confiabilidad gracias al uso de

los cálculos, ya que actualmente no contamos con ningún inconveniente al momento

de construirla.

Los estudiantes presentan una conclusión y mencionan que con los cálculos comprobaron

que la construcción de la rampa es viable, pero no especifican como lo comprueban, más

adelante también dicen que gracias a los cálculos les da una mayor confiabilidad para su

construcción. Al igual no mencionan cómo los cálculos les otorgan esta seguridad para la

construcción de la misma, lo que nos lleva a pensar que la AEI-RTEST hasta este momento

es una tarea más escolar que práctica, en la que ellos se apegan a un contrato institucional,

explícito en parte por la pauta del reporte. Esto dificulta que los estudiantes logren

incorporar una lógica más relacionada con la acción de vender su proyecto, o de ser parte

de una empresa ingenieril.

Ahora se analiza el reporte intermedio del equipo dos a partir de los pasos de la técnica

mencionados al principio de la fase dos.

Determinar las características del material laminado

Este equipo utilizó dos referencias de internet la primera, casas restauradas Crujillo, (2012),

(http://www.casasrestauradas.com/panel-sandwich-i-que-es-y-para-que-sirve/) en la que

se presentan las características de materiales tipo sándwich donde lo definen de la siguiente

manera:

Es un producto industrial compuesto por dos chapas de acero perfilado y prelacado

que permiten una resistencia mecánica al conjunto y un núcleo aislante puede ser de

poliuretano inyectado (PUR), poliestireno extruido (XPS), poliestireno expandido

(EPS), lana de roca, etc., que cumplen las funciones de aislante térmico y acústicos

excelentes. Esto unido a dos capas de cobertura de exterior.

De igual manera, muestran los distintos tipos de paneles tipo sándwich como son los

paneles de sándwich de fachada, paneles de cobertura, paneles sándwich con forma de teja,

paneles sándwich lana de roca, paneles para almacenes fríos, y paneles sándwich de

158

madera. Por otro lado, presentan los requisitos de los paneles como son los de seguridad,

penetración, duración, estéticos y relativos a la construcción.

La otra página Euragrate, (2012), (http://www.eurograte.es/fibra_de_vidrio/) explica las

características de la fibra de vidrio como son la resistencia química, mecánica, peso ligero,

mantenimiento mínimo, aislamiento eléctrico y la forma de fabricación. Al terminar esta

sección, muestran una propuesta del diseño de la rampa, ya diferente al bosquejo

presentado en la fase uno.

Figura 31. Esquema de la rampa sin el sistema de barandal.

En esta figura, se puede observar que le agregaron dos escalones y un descanso por lo que

ya se puede ingresar a la rampa de los dos lados, presentando mayor utilidad.

Este equipo con lo que investigó, terminó de generar una propuesta de diseño de la rampa,

sabiendo que trabajaran con materiales tipo sándwich que contengan fibra de vidrio, hacen

la propuesta de que el material de la estructura y barandales será de madera, Al finalizar la

sección del cálculo de esfuerzos presentan una tabla con las propiedades del material

compuesto de fibra de vidrio, kevlar y carbono, la cual se muestra a continuación:

159

Tabla 3

Laminados de diferentes fibras / epoxi 60% en volumen vf=0.

Vidrio Kevlar Carbono

Densidad (kg/m3) 2080 1350 1530

Tensión de rotura a tracción dirección X (MPa) 1250 1410 1270

Tensión de rotura a compresión dirección X (MPa) 600 280 1130

Tensión de rotura a dirección Y (MPa) 35 28 42

Tensión de rotura a compresión dirección Y (MPa) 141 141 141

Tensión de rotura en cizalladura plano XY (MPa) 63 45 63

Tensión de rotura en cizalladura interlaminar (MPa) 80 60 90

Módulo de elasticidad longitudinal E1, (MPa) 45,000 85,000 134,000

Módulo de elasticidad longitudinal E2, (MPa) 12,000 5,600 7,000

Módulo de cizalladura G12, (MPa) 4,500 2,100 4,200

Coeficiente de Poisson 0.3 0.34 0.25


En esta sección los alumnos inician tomando como media/medio el capítulo de laminados

de un curso de la universidad Carlos III de Madrid, diseñado e impartido por Navarro, C.,

y Barbero, E. (2013), el cual se encuentra en línea en la siguiente dirección

(http://ocw.uc3m.es/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-de-estructuras/elasticidad-

resistencia-de-materialesii/material-de-clase-1/materiales-compuestos/capitulo6.pdf),

donde presentan el cálculo de esfuerzos para materiales compuestos. Los alumnos

presentan los cálculos resumidos, con los datos de su material laminado el cual es fibra de

160

vidrio, con resina de poliéster para las pieles y para el núcleo honeycomb de aluminio. Por

cuestiones de economía los alumnos cambiaron el honeycomb de aluminio por honeycomb

de cartón, con el consentimiento del maestro de la materia de mecánica estructural de

materiales compuestos, se presentan los cálculos a continuación.


161


En esta parte se observó que los alumnos regresaron a completar la fase uno dentro de la

fase dos, al mostrar una propuesta del diseño de la rampa, lo que se puede ilustrar a partir

de la conclusión de su reporte apartado VIII:

El uso de material compuesto es una gran alternativa para crear estructuras que sean

rígidas y ligeras al mismo tiempo. El objetivo de la rampa RTEST es ese mismo, una

alternativa práctica y eficiente para las pruebas fisioterapéuticas para pacientes con

problemas de la marcha. Los materiales seleccionados, fibra de vidrio y Honey comb

de cartón, son materiales que presentan buenas propiedades de rigidez y muy ligeros

al mismo tiempo. Si un paciente necesita de ejercitar sus extremidades inferiores

estando fuera de un centro de rehabilitación, puede tener la opción de contar con una

rampa de fácil acceso y transporte.

El hule antiderrapante es un material que se diseña para amortiguar el paso de las

personas, así como evitar resbalones y derrapes que pueda ocurrir un accidente

imprudente, es por eso que se considera una buena alternativa para el uso de la rampa,

ya que brinda una protección al paciente.

Al concluir se puede observar que prestan atención a las características de los materiales

porque enuncian las bondades del material para generar estructuras rígidas y ligeras. Este

equipo quería trabajar con fibra de vidrio y honey comb de aluminio, pero al final optó por

cambiar de material ya que el honey comb de aluminio es muy caro por lo que no era viable

hacer la rampa con él. Por otra parte, proponen el uso de material antiderrapante para usar

en la rampa como medio de seguridad para los usuarios.

Por último, se analiza el reporte intermedio del equipo tres utilizando los tres pasos de la

técnica dos.

Determinar las características del material laminado

Para el primer paso de la técnica el equipo tres utilizó varias medias/medios como son los

libros de texto de la clase de mecánica estructural de materiales compuestos, Gay, (2015).,

y Barbero, (2011)., además un capítulo introducción de materiales compuestos, el cual se

obtuvo de internet. Los estudiantes obtuvieron de éste y de otros documentos, la definición

162

de los materiales compuestos, clasificación de los materiales compuestos, materiales

compuestos de matrices poliméricas, características de diferentes resinas y paneles tipo

sándwich, no muestran las características del material laminado que van a ocupar para su

rampa en esta sección, éstas las determinan al momento de hacer los cálculos.


Aquí los estudiantes presentan los cálculos de una manera muy ordenada inician

especificando cuales son los datos estandarizados de la elasticidad y relación de Poisson

de la fibra de vidrio y también hacen lo mismo para la resina de polyester, después

obtuvieron los valores de relación volumétrica para la fibra de vidrio y la matriz, calculando

enseguida las fórmulas de micro mecánica para obtener sus propiedades conjuntas, para

por último obtener la matriz de rigidez y de elasticidad de la lámina. Este equipo muestra

los cálculos muy detalladamente, no presenta nada de la tecnología, pero detallan muy bien

la técnica. A continuación presentamos el final de los cálculos de esfuerzos del equipo 3.

163



En el apartado VIII del reporte, los alumnos expresan que el costo de los materiales es muy

alto y posiblemente no puedan cubrirlo para la construcción de la rampa, con las

dimensiones que se propusieron en el diseño inicial, mencionan también que “En cuanto a

laminados se refiere la gran debilidad de estos materiales es que al ser muy delgados su

resistencia a la flexión se ve severamente afectada”. En la última fase va a ser interesante

analizar la evolución de argumentos que han ido presentando y qué eligen finalmente para

su propuesta final.

164

De la fase 2

En esta fase se pudo observar que el equipo dos terminó lo que había dejado inconcluso en

la primera fase, probablemente no habían entendido bien como lo querían hacer y hasta

que investigaron sobre las características de los materiales para la rampa, pudieron conectar

y escoger un diseño preliminar. Es decir, lograron determinar el elemento tecnológico. Por

su parte, los equipos uno y tres, siguen adelante con la propuesta del diseño inicial y lo

complementan con el cálculo de esfuerzos, aunque el equipo tres hace un análisis un poco

más a conciencia que los otros dos equipos. Todos los equipos al momento de terminar los

cálculos no presentan ninguna justificación, que valide el uso del material laminado,

aunque en su conclusión solo mencionan que el material es adecuado para su uso. Lo que

les falta es determinar el valor del módulo de elasticidad para después compararlo con el

valor de las tablas de esta manera validando los cálculos realizados. Los estudiantes para

pasar a la fase tres tienen que comprar los materiales y es en ese momento en donde se dan

cuenta que son caros los materiales por lo que tienen que analizar las características del

material y buscar algún material similar que pueda fungir como repuesto del otro.

Análisis de la fase tres

En la tercera fase se les solicitó a los estudiantes elaborar materiales para la rampa RTEST

para la parte sensorial táctil y elaborar el material laminado con el que trabajarán para

realizar la rampa. Se les pidió entregar un reporte de máximo 5000 palabras, siguiendo la

siguiente estructura: resumen, introducción, objetivo, desarrollo (incluir en este apartado

los cálculos para el desarrollo del prototipo), metodología, conclusión y referencias.

El análisis de la tercera fase se basó en el reporte final entregado por los equipos de

estudiantes y se buscó dar cuenta de los dos pasos que conforman la técnica 3:

Paso1. Elegir materiales para la parte sensorial táctil y

Paso 2. Elaborar material laminado.

165

A continuación, se presenta el análisis de la técnica 3 a partir del reporte final, en el que

aparece se detalla la elaboración de material para la parte sensorial táctil y la elaboración

del material laminado.


Elegir materiales para la parte sensorial táctil

En el paso uno de la técnica 3, encuentran un media/medio (una fuente de información/en

la que hay disponible un medio que permite realizar la tarea) en Internet pero no mencionan

cual es y presentan la siguiente información referente a la parte sensorial táctil:

La riqueza de los estímulos sensoriales beneficia los pensamientos, la inteligencia y

el lenguaje y resulta importante a fin de desarrollar las capacidades receptivas y

sensoriales potenciando el desarrollo cognoscitivo. Es importante recordar que

cualquier información sensorial, visual, auditiva, táctil constituye uno de los

primeros pasos de cualquier modelo conceptual de aprendizaje y cuya actuación se

centra en potenciar el desarrollo de los principales canales sensoriales, facilitando la

percepción de los diferentes estímulos.

El sentido de la vista participa activamente en el proceso de adquisición de

conocimientos, ya que a través de éste se percibe el mundo que nos rodea. “A través

de la vista se ejercita en los niños y niñas las nuevas nociones de color, tamaño,

posición y movimientos.”

A través del tacto, el cuerpo percibe las diferentes sustancias y objetos.

Sentido térmico: noción, fría, caliente, tibia, helada y comparaciones entre

ellas.

Sentido extereognóstico: es aquel que hace conocer las distintas formas del

cuerpo.

Sentido bárico o muscular: nociones pesadas y livianas, hundir, flotar y

guardar el equilibrio

Los estudiantes no proponen materiales para la parte sensorial táctil, lo único que presentan

son elementos sobre las diferentes percepciones sensoriales, por lo que se considera que

este equipo no cumplió con el primer paso de técnica.

166

Elaborar material laminado

En esta sección los estudiantes presentan una serie de actividades como evidencias de la

elaboración de la rampa como se muestra a continuación

Actividad 1 preparación de materiales laminados

Figura 34. Preparación de resina y fibra de vidrio para la fabricación de la rampa.

Actividad 2. Ensamblaje de la estructura

Figura 35. Imagen del lado izquierdo es el ensamble de la base y la imagen del lado derecho presenta el

ensamble terminado de la estructura.

167

Actividad 3 Prototipo de la rampa.

Figura 36. Prototipo de la rampa con la fibra de vidrio sobre puesta.

La conclusión de los alumnos se muestra a continuación:

Gracias a los avances realizados en la investigación y los cálculos realizados se ha

comprobado teóricamente que es funcional el uso de los diversos materiales elegidos

para la realización de la rampa. También hemos comprendido que el uso de estas

rampas si generará un impacto terapéutico para los niños de la institución en donde

se instalará y la importancia de proyectos como este. La resistencia de los materiales

y los cálculos nos ayudó a comprobar que la construcción de nuestra rampa es viable

y que tendrá una estructura resistente y ergonómica. En cuestión al práctico, el

avance actual de la construcción de la rampa da una mayor confiabilidad gracias al

uso de los cálculos, ya que actualmente no contamos con ningún inconveniente al

momento de construirla.

Los estudiantes comentan que no tuvieron ningún inconveniente y los materiales que

usaron no fueron tan caros, por lo que pudieron terminar la rampa sin ningún problema.

Ahora se analiza el reporte final del equipo dos a partir de los pasos de la técnica

mencionados al principio de la fase tres.

168


Los estudiantes no propusieron nada sobre estos materiales, este equipo consideró que las

terapias que recibirán los niños deben de ser con zapatos, por lo que en su investigación no

encontraron materiales que les pudiera proporcionar alguna sensibilidad mientras los niños

trajeran zapatos, por lo que no le agregaron esta parte al escrito.


En esta sección los estudiantes presentan un proceso para la elaboración del material y de

la rampa que a continuación se describirá:

Para el proceso de fabricación se encargó material honeycomb de cartón al proveedor

Ultrech ubicado en Estados Unidos, como se muestra en la Figura 37 y se compró

fibra de vidrio tipo Mat para hacer laminados sobre el anterior.

Figura 37. Honey comb de cartón.

169

Utilizando fibra poliéster cristalina, se hizo un laminado de dos capas por ambos

lados del cartón y queda como se muestra en la Figura 38.

Figura 38. Vista lateral de la rampa con el acabado del material laminado.

Se utilizó madera triplay para hacer la estructura y los escalones como se muestra en

la Figura 39.

Figura 39. Estructura de la plataforma y escalones

Posteriormente se hizo en ensamble para la unión de la rampa con el sistema de

escaleras se utilizó una bisagra metálica y tornillos.

Por último, una reflexión del equipo se presenta a continuación:

La única desventaja que tiene este material es que su estética no es muy atractiva, sin

embargo, hay una amplia variedad de colores y dibujos con los cuales puede ser

impreso. En el caso de la rampa terapéutica no se encontró algún tipo de material que

pueda provocar en el usuario algún tipo de sensibilidad, ya que por lo general, el uso

170

de la rampa se realiza con zapatos o algún tipo de protección en el pie y los materiales

que se utilizan para generar alguna sensibilidad en el usuario son materiales como:

terciopelo, plástico, madera, plástico entre otros. La desventaja de estos materiales

es que no son muy apropiados de utilizar en una superficie tanto por sus

características como por su mantenimiento.

Los estudiantes consideran que los materiales compuestos son adecuados para este tipo de

estructuras y las desventajas que ellos aprecian es en la estética del material y los materiales

que encontraron para provocar alguna sensibilidad son materiales que no consideran

apropiados para ponerlos en la superficie de una rampa.

Ahora se analizará, el reporte final del equipo tres mediante los pasos de la técnica

mencionados anteriormente.


Al revisar el último reporte no aparece nada de materiales que ayuden a la sensibilidad

táctil de los niños, pero en el primer reporte encontraron una media que les ayudó a

entender cuáles podrían ser algunos materiales que se puedan utilizar para esta parte, ellos

encontraron que:

Los materiales que se emplearan para la estimulación táctil deben de ser materiales

que creen en el paciente una estimulación sensorial táctil significativa sin llegar a

dañarlo, por lo que los materiales no pueden ser muy abrasivos, lo cual creara una

respuesta sensorial que hará que el paciente experimente sensaciones únicas que

causaran un proceso neurológico que ejercitara el cerebro.

Estos materiales pueden ir desde materiales sintéticos similares a la plastilina, geles

y gomas, materiales naturales como granos, césped. Corteza de árbol y algunos frutos

texturizados como coco o piña, y también materiales suaves como gamuza o algodón.

También pueden variar en la presentación como pueden ser desde juguetes pequeños,

pequeños bloques, hasta paneles de paredes y piso de gran tamaño.

Los estudiantes propusieron una serie de materiales que se podrían utilizar para la rampa,

tomando en cuenta dos condiciones, la primera que la sensación sea positiva y la segunda

que el material no sea muy abrasivo, para que los niños quieran caminar sobre ella.

171


En esta sección los estudiantes presentan un proceso de manufactura para la elaboración

del material laminado, este proceso se hace en dos partes la primera parte es laminar las

tapas por el método de Layup y la segunda parte es cortar y unir el núcleo con las tapas ya

fabricadas, a continuación, explican el método de Layup.

1. Se corta el material de refuerzo, en este caso fibra de vidrio tipo E en

configuración “Mat”. Se cortan 2 capas en orientación 0° y 2 en orientación 90°.

2. Se prepara la superficie que se usara como base para laminar aplicándole

una capa de película desmoldante.

3. Se prepara la mezcla de la resina-catalizador con una relación de 98-2 para

evitar que la resina se polimerice durante el proceso de laminado.

Figura 40. Materiales usados para crear el laminado.

4. Se aplica una capa de la mezcla resina catalizador sobre la superficie con el

fin de empapar la fibra por completo de la resina.

5. Se coloca una capa de fibra de vidrio en orientación 0° asegurando que se

adhiera totalmente a la resina y evitando que se creen burbujas.

6. Posteriormente se aplica una capa de la mezcla resina catalizador sobre la

fibra de vidrio asegurándose que esta quede completamente impregnada de la mezcla.

172

7. Después de pasar un rodillo de metal sobre el laminado para asegurar que

la adhesión es completa y para eliminar el exceso de resina y eliminar las burbujas

de aire.

Figura 41. Utilización de brocha para impregnar la resina en la fibra.

8. A continuación, se repiten los pasos 5 al 7 alternando las orientaciones de

la fibra de la siguiente manera:

a. 90°

b. 0°

c. 90°

9. Una vez apilada, impregnadas y comprimidas las láminas constituyentes del

laminado este queda terminado y se deja curar por aproximadamente 24 hrs.

10. Ya que pasaron las 24 hrs., se desmolda el material de la superficie que se

usó como base.

11. Este proceso se realiza 2 veces, una por cada una de las tapas

173

Figura 42. Las tapas se laminaron al mismo tiempo.

12. Posteriormente se le remueve el exceso de material al laminado para dejarlo

en las medidas finales usando una cortadora de disco, comúnmente usada en corte de

loseta.

Figura 43. Proceso de corte de los laminados.

174

Figura 44. Sobrante de los laminados.

La segunda parte del método de manufactura implica el corte y unión del núcleo

con las tapas. Método que se describe a continuación.

1. Primero se corta el Foamular al tamaño adecuado usando un cortador de

poliestireno. Que a uso de un alambre calentado por una resistencia hace fácil el corte

del material.

Figura 44. Cortador de poliestireno.

175

2. Una vez cortadas los 3 elementos del material se unen con cinta adhesiva

plástica de doble cara. Esto para asegurar que las placas y el núcleo no se deslicen

entre si y cause dislocaciones.

Figura 45. Placas de Plástico reforzado y núcleo unidos.

3. Ya unidos los 3 materiales se le cubre con un material antiderrapante para

agregarle el factor seguridad a la rampa.

Figura 46. Panel de sándwich con el recubrimiento antiderrapante

176

Los estudiantes describen la técnica para la elaboración del material laminado, pero en

algunos pasos de ambas partes del método hacen ciertas aclaraciones como en los pasos

tres y cinco de la primera parte del método, aclaran la relación que debe de tener la resina

para que no se polimerice, y en el cinco especifican como colocar la capa de fibra en qué

dirección y tener cuidado especial en que no se formen burbujas, lo que muestra un mayor

entendimiento de la técnica y con estas aclaraciones ya no poseen una técnica si no una

tecnología porque al haberlo hecho la primera vez seguramente llegaron a tener errores y

por lo mismo tuvieron que volver a empezar y estos intentos les dio el conocimiento y

entendimiento para poder justificar los procesos.

De la fase 3

En esta fase se les solicita a los estudiantes, elaborar y elegir materiales para la rampa: el

material laminado y los materiales que utilizaran para la parte sensorial táctil. Esta tarea se

separa en dos técnicas: 1) Elegir materiales que estimulen la parte sensorial táctil de los

usuarios. 2) Elaboración del material laminado. Para la primera técnica, se pudo observar

que ningún equipo propusiera materiales para la estimulación sensorial táctil, sin embargo,

encuentran definiciones en internet de las características que debe de tener el material o

materiales que ayuden al usuario a la estimulación sensorial táctil, ningún equipo indica la

referencia de donde lo obtuvo. Al hacer esta búsqueda el trabajo de Molina y Banguero

(2008), presenta el diseño de un espacio que estimule de manera sensorial a niños con

multidéficit en edades tempranas, que les ayude con su desarrollo. En Inglaterra existe el

centro Snoezelen que se dedica ayudar a niños y adultos con discapacidad intelectual, la

primer sala abrió sus puertas al público en 1987 en Wittington Hall, el centro se dedica a

generar ambientes sensoriales para personas con enfermedades mentales, los espacios

estimulan los cinco sentidos del ser humano y les ayuda a mejorar su calidad de vida. En

la segunda técnica el equipo uno y dos muestran una técnica para la elaboración del

material laminado, especificando la técnica de fibra de vidrio y la técnica de para hacer el

material laminado, cada equipo con el laminado que cada equipo selecciono, el equipo tres

presenta una técnica-tecnológica, es decir describe la técnica para el material laminado

pero agrega notas indicando cómo hacer el trabajo más sencillo, esto indica que ellos

177

desarrollaron el material e indican como se puede duplicar el trabajo poniendo especial

atención en algunos detalles que faciliten el trabajo.

Por ejemplo:

Primero se corta el Foamular al tamaño adecuado usando un cortador de poliestireno.

Que a uso de un alambre calentado por una resistencia hace fácil el corte del material.

Aquí indican que se debe de cortar el foamular y un poliestireno del mismo tamaño, pero

también mencionan como hacer el trabajo más sencillo, haciendo especifica la técnica

práctica para la construcción del material, con esto se concluye que, el trabajo del equipo

tres muestra un análisis más detallado que el de los equipos uno y dos, facilitando la

generación de este tipo de materiales a compañeros de generaciones futuras.

Conclusión

El análisis realizado en este capítulo nos muestra la AEI, su aplicación y la aparición de

tecnologías teóricas y prácticas, las tecnologías teóricas se pueden ver a través de las tres

fases. En la fase uno, aparecen cuando los estudiantes van a determinar las dimensiones de

la rampa, los primeros dos equipos, hacen una búsqueda de las medidas antropométricas

de los niños mexicanos, mientras que el último equipo busca en las normas para personas

discapacitadas la forma y dimensiones de una rampa. Posteriormente, en la fase 2 al hacer

los cálculos de esfuerzos, los tres equipos reproducen el método visto en clase, el cual

también está presente en la literatura del curso, aunque cada uno lo hace para el material

específico de su rampa.

Por último, en la tercera fase los primeros dos equipos al hacer sus materiales laminados

siguen al pie de la letra los algoritmos de preparación del material y lo muestran de manera

muy escueta en sus reportes. Por otro lado, las tecnologías prácticas se presentan de manera

explícita en la fase tres, el equipo tres lo presenta en su reporte final en donde paso a paso

expone cómo hacer el material, indicando qué es lo que se debe hacer, agregando consejos

al momento de hacer el material, como por ejemplo, en la segunda parte de la manufactura

del material, lo primero que se hace es cortar foamular ellos lo presentan en su reporte de

la siguiente manera: “Primero se corta el Foamular al tamaño adecuado usando un cortador

178

de poliestireno. Que a uso de un alambre calentado por una resistencia hace fácil el corte

del material”, este tipo de detalles hacen presente la existencia de las tecnologías prácticas

que, aunque los otros dos equipos no las explicitaron en su reporte, se considera que están

implícitas. Un dispositivo metodológico como entrevistas a los equipos, una vez entregado

el reporte permitirían evidenciarlas.

La forma de desarrollar la AEI-RTERT simula la organización de una empresa donde se

tiene el departamento de diseño, los ingenieros expertos y los ingenieros novatos, donde

trabajan juntos y es necesario que concilien las diferentes ideas que puedan tener para el

proyecto. Las aportaciones de los estudiantes de diseño fueron las medidas antropométricas

de los usuarios, la introducción de ergonomía en el diseño y la estética de la rampa, de la

misma manera el aporte de los ingenieros aeroespaciales fue el cálculo de esfuerzos que es

esencial para poder determinar el material que se debe de utilizar para la estructura de la

rampa como también para proponer el material laminado, sin esto los materiales que

podrían proponer los diseñadores no serían los adecuados y no pudieran justificar por qué

se eligió específicamente ese material, por lo que es muy importante que los diseñadores e

ingenieros trabajen juntos para poder producir un prototipo adecuado tanto en materiales

como en dimensiones y agradable a la vista.

Por otra parte, este tipo de trabajos le permite al estudiante hacer las cosas, explicar por

qué se hacen de esa manera, explorar diversas maneras de hacer las cosas y escoger cual

es la más apropiada y colaborar con sus compañeros. Esta es una experiencia que enriquece

el aprendizaje de los estudiantes ya que son de diferentes disciplinas y por consiguiente

tienen diferente manera de ver y solucionar los problemas.

Diseñar la rampa (fase 1) requiere tener identificado el tipo de tarea, construir una rampa

terapéutica y los pasos que permiten realizarla. Determinar sus dimensiones y su forma

(ángulo de inclinación, tipos de piezas que la conforman y materiales necesarios para

construirla. Elegir los materiales para construirla obliga a considerar la resistencia de los

materiales y a efectuar cálculos. No se trata de utilizar modelos matemáticos porque el

objetivo es aprender qué son y cómo se utilizan, sino que su uso está motivado por una

necesidad práctica, construir el material y asegurar que éste resistirá. Solicitar la rampa

sensorial táctil, implica considerar diferentes tipos de materiales para la estructura, para la

179

superficie y para que ésta sea táctil. Aunque, se observa que los estudiantes se concentraron

en la estructura y en la rampa misma, la característica de lo táctil no fue realmente

considerada como elemento clave de la rampa. Esto lleva a considerar que en una nueva

implementación debe solicitarse un estudio sobre los materiales táctiles, sus características,

a compararlos y que determinen uno óptimo. Esta segunda fase caracterizada por el cálculo

de esfuerzos, se confrontó a la realidad práctica al construir el material.

Se puede notar que los estudiantes realizaron esta tarea con una técnica que involucra

diferentes tecnologías y que la necesidad de materializar la rampa, obliga a describir la

técnica de construcción del material (función tecnológica práctica). La construcción del

material laminado se convierte así en la tarea clave de esta AEI, como lo “predecía” el

experto. Es posible, que la solicitud del reporte de esta fase 3, motive a los estudiantes a

describir su técnica, pero es posible que la naturaleza de la tarea misma implique tener

certeza de que la construcción del material se podrá llevar a cabo. Quizá sea esto último lo

que motive la descripción de la técnica, asegurando que cada paso seguido de esa forma

permitirá que el material sea construido.

El análisis de estas fases muestra cómo la actividad de modelización matemática no puede

centrarse sólo en el modelo matemático, sino que los elementos del contexto la posibilitan.

Asimismo, se considera que la organización de la AEI en equipos de estudiantes de

diferentes experiencias y con diferentes formaciones es un elemento que permite su

desarrollo. Cada especialidad aporta con sus conocimientos y el trabajo en equipo se ve

reflejado en las diferentes fases, no siendo equitativo, pero sí óptimo.

De la misma manera, se considera que el trabajo con los diferentes profesores posibilita el

desarrollo de una AEI en la que intervienen diversos tipos de conocimientos. La misma

forma de desarrollar la AEI obliga a una nueva organización institucional que se hace a un

nivel micro, pero que deja ver a los estudiantes que el trabajo en equipo, la investigación,

la confrontación de los cálculos realizados con base en modelos matemáticos que permiten

la construcción práctica de la rampa, son características de la actividad del futuro ingeniero.

Por otra parte, para la implementación de la AEI se designaron 10 semanas de las 16 de las

que se dispone en el ciclo escolar: tres semanas para la fase uno, tres semanas para la fase

dos y cuatro semanas para la fase tres, terminando en la última semana de clases sin tener

180

tiempo para realizar alguna corrección. Para una futura implementación, se recomendaría

agregar una semana a las fases uno y dos e iniciar en la segunda semana de clases y de esta

manera se finalizaría dos semanas antes de que termine el semestre, teniendo tiempo para

correcciones finales.

181

Capítulo 6. Conclusiones y

perspectivas

6 Conclusiones y perspectivas

Esta investigación se desarrolló con el objetivo principal de diseñar una actividad didáctica,

que permitiera generar una relación entre una asignatura de etapa básica, con una de etapa

disciplinaria. En este caso, la relación generada fue entre la asignatura de mecánica

estructural de materiales compuestos con la de álgebra lineal.

Se eligió diseñar una Actividad de Estudio de Investigación AEI-RTEST, la cual se

propone dentro del paradigma de cuestionamiento del mundo en la formación de

ingenieros. En esta AEI a diferencia de los proyectos que se proponen comúnmente en las

carreras de ingeniería, los modelos matemáticos en juego deben ser explicitados. Los

proyectos de ingeniería tienen el fin de hacer una innovación a algún proceso o proponer

un prototipo (producto nuevo). En esta AEI-RTEST diseño y construcción de una rampa

terapéutica, “la innovación” consiste en la construcción de materiales laminados

(materiales compuestos). La AEI surgió del análisis, de la teoría de mecánica de materiales

y materiales compuestos, se adaptó para simular la organización de una empresa en donde

existen ingenieros expertos, novatos y diseñadores. El rol de los estudiantes deja de ser de

aprendices, convirtiéndose en ingenieros a cargo de un proyecto, en el que deben generar

una propuesta, investigar, validar, justificar y construir un prototipo, dándole solución a un

problema. El rol de los profesores fue el de encargados de área, donde varios equipos de

trabajo desarrollan un determinado proyecto. De esta manera, pueden cuestionar las

propuestas y reportes entregados por los futuros ingenieros. Este tipo de organización se

asemeja al de las empresas, por lo que se le brinda al estudiante una pequeña experiencia

que “simula” la dinámica de una empresa, pretendiendo que no logre adoptar una lógica

distinta a la imperante “dinámica tradicional” de un proyecto escolar.

182

Algunas tareas de la AEI-RTEST son abiertas, lo que permite que aparezcan elementos

que en el diseño de esta AEI no se tenían contemplados como fueron la antropometría y la

estimulación sensorial. Los equipos que contaban con diseñadores, buscaron tablas

antropométricas de la región, para poder tener las medidas de los individuos a los que

estaba dirigido el proyecto, con base en estas medidas propusieron su diseño. En cambio,

el equipo que no tenía diseñadores, tuvo que buscar la norma para dimensionar la rampa

de acuerdo a estándares internacionales, proponiendo un diseño que cumpliera con las

necesidades del proyecto. En la parte sensorial se tenía que investigar los tipos de

materiales permitidos o buscar cuáles eran las características de los materiales para escoger

aquellos con los que iban a trabajar. La antropometría era un elemento que no se tenía

contemplado al momento de diseñar la AEI, para trabajos futuros podría analizarse

conjuntamente con los estudiantes, la conveniencia de considerar una muestra y obtener

estas medidas, ya que las tablas que existen pueden excluir algún grupo de personas. Por

otro lado, la parte sensorial, es muy importante y no especifican materiales que la

favorezcan, lo que sí indican es que las superficies sean lo más diversas posibles, para que

puedan experimentar una gama muy amplia de sensaciones.

Implementar una AEI necesita de mucho tiempo, por lo que este tipo de actividades no son

muy recomendadas para diseñar todo un curso, ya que las condiciones institucionales

difícilmente lo permiten, sus tiempos son cortos. En cambio, lo que sí se puede hacer es

identificar, a través de la metodología aquí propuesta posibles relaciones entre disciplinas,

que posibiliten el diseño de una AEI, que involucre una actividad de modelación, la cual

se puede desarrollar durante un semestre, de manera paralela a los cursos. En esta propuesta

se trabajó con el tema de cálculo de esfuerzos para materiales laminados, multiplicación

de matrices y cálculo de la inversa de una matriz, aunque indirectamente se agregaron los

temas de antropometría para poder proponer un diseño adecuado. Se puede modificar la

AEI de tal manera que se abarquen más o menos temas.

La AEI-RTEST tiene varias aportaciones; con referencia a la formación de ingenieros, el

objetivo de formar ingenieros es conducirlos a enfrentar situaciones que requieren

conocimientos de diferentes disciplinas, innovar procesos para generar prototipos, adaptar

modelos matemáticos para resolver diversos problemas y justificar dichas adaptaciones;

trabajar en equipos multidisciplinarios, defender su postura ante profesionistas con otras

183

disciplinas y llegar a un conceso que resuelva el problema al que se enfrentan. Se considera

que el desarrollo de esta AEI, contribuyó en cierta medida, al desarrollo de estas

capacidades ya que fue un trabajo en equipo compuesto por estudiantes con diferentes

perfiles, conocimientos y niveles de experiencia en el uso de dichos conocimientos.

Asimismo, enfrentaron una tarea principal, diseño y construcción de una rampa sensorial,

que requería de una diversidad de saberes teóricos y prácticos así como de investigar,

simular y desarrollar un prototipo. La realización de reportes escritos y la presentación del

prototipo obligan a visibilizar tanto los saberes teóricos como los prácticos. La modelación

matemática es el corazón de esta AEI y está caracterizada por la adaptación de algunos

modelos conocidos y de otros investigados, su complejidad es alta, pero los estudiantes

logran transitar entre las características de los materiales laminados (saberes teóricos) y la

construcción del material (saberes prácticos). En este sentido, se considera que el trabajo

con el experto en materiales laminados fue fundamental, ya que su gran conocimiento y

experiencia legitimó la construcción “artesanal” de estos materiales, sustentada en un

trabajo teórico como es el cálculo de esfuerzos.

El desarrollo de esta AEI también genera aportaciones a los profesores de las materias: les

permite fomentar el trabajo multidisciplinario con aprendices de otras disciplinas, trabajar

con los estudiantes de manera no tradicional y fungir como “director del estudio”,

destacando la relación entre disciplinas.

El diseño de la AEI-RTEST muestra que algunas de las tareas son abiertas y permite a los

estudiantes trabajar de manera similar a un REI. Lo nuevo de la AEI es la manera en que

se diseñó, se buscaron praxeologías locales: La primera, diseñar un prototipo para dar

terapia a niños y adultos, la segunda calcular el esfuerzo de una estructura o de un material,

y por último la tercera elaborar el prototipo de un aparato de rehabilitación, estas

praxeologías involucraran a dos instituciones de enseñanza, al relacionar las tres se genera

una praxeología nueva, diseñar y construir una rampa sensorial táctil, de donde surgen tres

tipos de tarea, cada una con su técnica y las tecnologías involucradas, éstas se relacionaron

con una fase de la AEI quedándonos tres fases vinculadas para un proyecto de modelación.

En las primeras dos fases tenemos elementos teóricos y concluyendo la tercera fase con

elementos prácticos, que es la construcción de la rampa, en donde los estudiantes deben de

184

tener una serie de competencias desarrolladas para poder hacer el material laminado,

construir la estructura y por último ensamblar la rampa.

Esta AEI ayudó a trabajar de una manera diferente problemas de modelación matemática

dentro de una formación de ingenieros, enriqueciéndola con el trabajo y opinión de

diseñadores industriales, generando una formación integral para los futuros ingenieros y

de alguna manera mostrándoles que este tipo de trabajo tiene una organización que se

asemeja al de la industria.

Para complementar este trabajo en un futuro se propone lo siguiente:

1. Diseñar nuevas AEI que involucren a las mismas instituciones de enseñanza y al

mismo modelo matemático, es decir la institución E(DI): Mecánica estructural de

materiales compuestos, E(M): Álgebra lineal.

2. Generar tipos de tareas que puedan resolver los estudiantes en clase de mecánica

estructural de materiales compuestos, que se encuentren dentro de alguna de las

fases de las AEI.

3. Hacer una secuencia didáctica que culmine con la implementación de la AEI, dentro

de materiales compuestos utilizando la ley de Hooke como modelo matemático.

4. Trabajar con la ley de Hooke, pero con resortes, barras, o placas, haciendo una AEI.

5. Este trabajo también se puede dirigir a otras disciplinas como, teoría de control,

control clásico, control moderno y ecuaciones diferenciales.

6. Transformar la AEI-RTEST en un REI y analizarlo desde el punto de vista de

medio-media.

Estas propuestas se desprenden de este trabajo de investigación y se considera que pueden

enmarcarse dentro de la misma propuesta teórico-metodológica que se genera en esta

investigación, lo que permitiría a su vez mostrar su solidez.

185

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